一、三角多項式的恆等定理兼談三角函数的周期（论文文献综述）
馬明[1]（1963）在《三角多項式的恆等定理兼談三角函数的周期》文中指出 本文主要目的在于提出并証明一个关于三角多項式的恆等定理,并用以計算一些三角函数多項式的周期。此定理的証明沒有在书籍或文献中发现,因而这里的証法是否妥当,尚希讀者指正。 （一） 三角多項式的恒等定理在代数学中,把形为φ（x）=c0+c1x+c2x2+…+cnxn的函数叫做关于x的多項式,其中n是正整数或零,c0,c1,c2,…,cn都是常数。当cn（?）0时,n称为多項式φ（x）的次数。同样地,对于形为 f（x）=a0+（a1cos x+b1 sin x）++（a2cos 2x+b2 sin 2x）+…++（ancos nx+bn sin nx）的函数叫做关于x的三角多項式,其中n是正整数,所有的ai（i=0,1,2,…,n）与bj（j=1,2,…,n）都是常数。当an与bn真不同时为零时（或an2+bn2）（?）0时),n称为三角多項式f（x）的次数。因而,三角多項式是关于角系数为正整数的正弦与余弦的綫性組合。
林智彬[2]（2011）在《带Hilbert核奇异积分方程的间接数值解法》文中指出本论文研究用配位法尤其是间接数值解法处理带Hilbert核奇异积分方程的数值解。文章分为两个部分。第一部分为第一章到第四章，主要建立奇异积分数值解所需要的基础。第一章综述了奇异积分方程数值解法的国内外研究现状，给出了配位法和间接数值解法的历史和发展趋势。第二章和第三章叙述了本文需要的解析函数边值问题和奇异积分方程的基本理论以及它们在平面弹性力学等方面的应用。第四章处理带Hilbert核的奇异积分的求积公式，这是奇异积分方程数值解法的前提。基于路见可、杜金元和Elliot等人所提出的奇异积分离散法框架，我们详细研究了一个求积公式的具体表示，讨论了其收敛性，并给出了具体的数值计算实例。第二部分包括第五到八章，进入奇异积分方程间接数值解的直接研究。首先对一般方程进行标准化，然后在归一化条件下进行简化标准化方程，就会得到等价的Fredholm方程（I+λM）y=F。在没有归一化之前，由于核的奇异性，奇异积分方程的解是不适定的，但是Fredholm方程有较为成熟的理论，如，由Fredholm方程的性质，可知，对于任何的F，方程可解的条件是， λ是一个正则值，否则， λ是一个特征值。接下来这一步是本方法的关键：对Fredholm方程中的算子建立关于权函数的求积公式。具体作法是，对积分进行离散化时使用了对应积分核的权函数的正交多项式的零点作为插值节点得到拟插值型的数值求积公式，但同时，对未知函数我们却使用变换权函数的正交多项式的零点作为Lagrange插值的节点，从而得到一个性质优异的离散化算子，然后把δnT作用在方程上，便得到了带Hilbert核奇异积分方程的间接数值方程组。这种配位法有效地避免了奇异积分中奇性核对数值计算敏感所带来的困难，使得本方法有较好的收敛精度和收敛速度。数值方程是一个系数矩阵较为稀疏的线性方程组，最后对方程组求解，就可以得到奇异积分方程的间接数值解，进而得到逼近解。我们验证了这种方法的可行性和收敛性，并用该方法详细计算实际的例子，包括具体的算法和收敛速度分析。
张学仓[3]（2011）在《Sturm-Liouville算子的矩阵逼近及其应用》文中研究说明Sturm-Liouville（SL）算子是数学和物理中最重要的微分算子之一。SL算子的特征谱逼近本身具有重要的实际意义,同时也是很多其它的微分方程数值求解的基础。用传统的有限差分和有限元以及它们的渐近修正方法离散SL问题得到的广义矩阵特征值问题中,只有很少一部分谱较精确地逼近SL算子的谱。已有的数值方法对于SL算子的高阶特征谱的计算都还不够精确和高效。高阶特征谱难以计算的主要原因是越高阶的特征函数越高频地振荡。高频振荡解的逼近是目前数值计算的热点和难点问题之一一个理想的逼近算子是其所有的谱都很精确地逼近SL算子的谱。本论文的主要目的就是寻找尽可能理想的有限矩阵算子逼近无穷维空间上的SL算子。从函数逼近论的角度看,这相当于是寻找一个好的有限维子空间来逼近未知解所在的无穷维空间或其对偶空间。通过在子空间上的插值投影,就可以得到逼近微分算子的微分矩阵。逼近的精度完全取决于插值基函数、离散点和插值公式的选取。本文分别以代数多项式和三角多项式为基函数,从插值的收敛性、稳定性和计算效率综合考虑离散点和插值公式的选取,系统地构造了逼近SL算子的微分矩阵,并分析和验证了它们的高精度特性。首先,对于代数多项式基,本文通过对插值过程的仔细分析,充分说明了谱方法中常用的Chebyshev点和重心Lagrange插值公式是最佳的选择；通过对边界条件的消去处理,得到了满足各种边界条件的Chebyshev微分矩阵；证明了对一类奇异SL算子,Chebyshev微分矩阵是理想的；对于正则SL算子,Chebyshev微分矩阵只有约π/2的特征谱收敛,本论文用基于共形映射和重心有理插值公式的改进的Chebyshev微分矩阵来逼近正则SL算子,得到更精确的结果；分别把Chebyshev微分矩阵和改进的微分矩阵对常系数正则SL算子的π/2和收敛性推广到变系数情形。其次,对于三角多项式基,本文根据不同的边界条件,选择自动满足边界条件的三角多项式基来构造微分矩阵；除周期边界对应的微分矩阵为已有的Fourier拟谱方法外,给出了其它边界条件对应的新的三角多项式重心插值公式和微分矩阵,并第一次用它们来求解SL问题。证明了对于常系数正则SL算子,三角多项式微分矩阵是理想的；对于变系数正则SL算子,三角多项式微分矩阵的精度至少和渐近修正的有限差分或有限元方法是一样的,而且对于很多变系数问题可以达到指数精度。最后,本文还给出了SL算子的高精度微分矩阵逼近的几个重要应用。一类应用就是求解特征谱问题,如Schrodinger算子的特征谱计算、波导的模式计算等本质上都是求解一个SL问题。特别地,本文从算子谱逼近的角度研究了人工边界条件和完美匹配层PML,并基于此得到一个波导模式计算的统一算法,高精度计算了一直以来难以计算的泄露模。另一类应用是求解包含SL算子的其它微分方程。特别地,本文从算子谱逼近的角度讨论了高波数Helmholtz方程的数值求解存在困难的原因,并利用微分矩阵给出了高精度的求解结果；用高精度的微分矩阵逼近二阶时间演化偏微分方程和单向Helmholtz方程中的SL算子,结合常微分方程组的指数积分子求解,得到了这类偏微分方程简洁、高精度、高效率的数值解法。
张方盛,林纬华[4]（1980）在《谈谈函数周期性问题》文中研究指明 研究函数的周期性问题是有一定意义的。这是因周期函数常用来描述现实世界一些周期性现象中的数量关系,如果一个函数是周期函数,那末对其性态的研究可带来不少方便;周期函数内容也是长期来中学数学教学中的一个难点,在进行三角函数周期性教学时,师生常会提出一连串似易实难的问题。
周思宇[5]（2021）在《一类三角函数的周期性问题探究》文中进行了进一步梳理周期性是函数的重要性质之一,也是高考数学的高频考点.对于经常遇到的一些函数,如■等,我们很容易判断它们具有周期性并求出其最小正周期.但这些函数的组合,例如■等,是否仍然是周期函数?如果是,最小正周期又是多少?我们知道,两个奇函数（或偶函数）相加,如果新函数的定义域关于原点对称,则新函数仍具有奇偶性.
高文武[6]（2012）在《拟插值的若干理论及其应用》文中研究说明拟插值在函数逼近理论及其应用中起着重要的作用.拟插值的一个最大优点在于它不需要求解任何线性方程组就能够直接给出逼近函数.而且,一些拟插值甚至还具有保形性（例如MQ拟插值、B-样条拟插值等）.另外,和插值相比,拟插值还具有计算稳定、计算量小等其它优点.特别地,当采样信息含有噪声时,拟插值还能够过滤噪声.因而,拟插值无论在理论上还是在实际应用中都受到了广泛的研究.但是,大多数对拟插值的研究往往针对采样信息是离散函数值（或离散函数值的有限个线性组合）的情形.由于在实际应用中,采样信息通常更多的是线性泛函信息（某种微分方程右端项的离散值）而不是离散函数值（例如方程数值解、遥感、地震数据等）.因此,为了使得拟插值能够应用到更多领域,讨论针对线性泛函信息的拟插值将更有意义.另一方面,当用拟插值求解微分方程数值解时,往往需要用拟插值逼近高阶导数.这将降低数值解的逼近阶.因此,为了得到具有高阶逼近阶的数值解,就需要构造这样的一个拟插值格式：它可以由方程右端项的离散值及边界条件（初始条件或者其它的条件）直接给出方程的数值解,而不需要逼近高阶导数.基于以上两点,本论文重点研究针对线性泛函信息的拟插值的构造及其应用.我们构造一个针对线性泛函信息的拟插值格式并给出它的误差估计.根据误差估计,可以找到一个拟插值算子,使得它能够提供与微分方程右端项的光滑阶一致的最佳逼近阶.作为应用,我们用它分别去求解微分方程数值和构造动力系统中的Lyapunov函数.理论和数值结果都表明这个格式能够克服无网格配置法的缺陷：求解大型线性方程组、计算不稳定等.在一些场合,采样信息往往具有周期性,例如信号处理、医学图像处理等.这时,显然用周期函数来拟合这种信息将更加合理.三角B-样条拟插值可以拟合周期采样信息.但是,由于三角B-样条拟插值以三角B-样条基为核函数,它的光滑阶低.因此,如果用三角B-样条拟插值来逼近高阶导数,就需要用高阶的三角B-样条基为核函数.这即意味着需要计算高阶的广义差商,从而导致计算不稳定.为了克服三角B-样条拟插值的缺陷,本论文最后构造了一个无穷次光滑的周期拟插值格式.这个格式不仅可以拟合周期采样信息,而且还可以逼近高阶导数.另外,由于这个格式的核函数的构造只需要二阶广义差商,它避免了高阶广义差商的不稳定性.作为应用,我们用它分别逼近一个函数自身、一阶导数、二阶导数,以及求解与时间有关的偏微分方程.数值结果表明我们构造的拟插值格式不仅能够很好地逼近函数,而且对导数也有较好的逼近性质.
韩惠丽[7]（2004）在《Hermite半三角插值公式及其应用》文中研究表明函数插值与函数逼近有着密切的关系，插值多项式可看作实现逼近的一个重要工具。函数插值经常用于推导数值微分、数值积分、求微分方程和积分方程的数值解。由于广泛的理论和实践的需要，代数多项式插值和三角多项式插值的研究在近几十年来发展很快，人们在推导周期函数的数值积分、积分方程和奇异积分方程等数值解的公式时，三角插值成为必不可少的工具，插值基同样起着重要的作用。与代数多项式相比，三角多项式插值的研究要困难一些，其研究方法也有众多不同。 带重节点的Hermite三角插值问题的研究是近二十几年来比较活跃的研究课题，在这方面有许多学者采用不同的研究方法得到不同的结果。1960年，H.E.Salzer分几种情况讨论了非等距节点且节点重数都相等的Hermite三角插值问题，但他仅给出插值基，并没有研究问题的余项。1972年，R.Kress比较完整地讨论了节点为偶数个等距节点且节点重数都相等的Hermite三角插值问题，推广了Salzer的结论。Kress引入了一类特殊的三角”母”函数，它具有很好的三角性质，利用此函数Kress成功地构造了三角插值基，讨论了Hermite三角插值公式、Hermite三角插值多项式的收敛性及在数值积分上的应用等方面的性质。他所运用的思想和方法为后来继续讨论Hermite三角插值问题拓宽了思路，而且给出了很好的插值基和余项的表达形式。1979年和1983年，Tom Lyche和I.Ichim分别利用三角差商的方法讨论了Hermite三角插值问题，并且Tom Lyche给出了Newton公式。1993年F.J.Delvos引入了π周期函数与反π周期函数的概念后，构造出插值节点在[0，π)上的Hermite三角插值多项式，且不论插值节点的重数之和奇偶与否。相对2π周期的Hermite三角插值问题来说要简单一些。但他也没有分析余项，而且所得到的三角插值多项式不是阶数最小的，换句话说，这些三角多项式可以看作是具有π变换节点性质的三角多项式。虽说D.P.Dryanov在1994年也讨论了这个问题，但他只是利用Chebyshev系统理论证明了Hermite三角插值基的存在唯一性，并没有给出一般插值基的表达式，因为利用Chebyshev系统理论构造插值基是很困难的。1997年金国祥利用Kress和Delvos的思想和方法，运用三角多项式HnT（α）类的概念，构造出一般Hermite三角插值基的表达式。 作为带重节点的Hermite三角插值的直接应用，周期函数带重节点的求积公式也被不少学者所研究。有关周期函数带重节点的求积公式的研究也是比较活跃的研究课题，相对单节点的求积公式而言，带重节点的求积公式的研究要困难得多，即使是正常积分的相应问题仍有许多问题巫待研究，奇异积分的相应间题的研究则几近空白.1976年S.Karlin和A.Pinkus利用Che饰shev系统理论讨论了正常积分的G auss型求积公式.1978年，D几.Barrow首先运用拓扑度的一些结果和非线性分析的一些方法更一般地讨论了这个间题，并把Kax血和Pinkus的结果推广到被积函数为周期函数的情况.1991年，D.P.Dryanov、R.Q.Jian和A.Sharma利用Birkhoff三角插值讨论了周期函数在等距节点上的正常积分带重节点的求积公式.1994年Dryanov利用Her而te三角插值建立了周期函数正常积分带重节点的G aus。求积公式.1997一1998年金国样在讨论含Hilbert核奇异积分的带重节点的求积公式时，也讨论了周期函数正常积分的数值计算问题，并建立了可（a）型求积公式. 从现有文献看，Hermlte半三角插值问题一直被人们所忽略.本文通过利用Kress的方法重新定义了一类三角”子”函数，并得到很好的性质，主要研究了带重节点的Hermite半三角插值间题及Hermite三角插值问题，分别得到两种情况下的插值基，从而具体讨论了2二周期与反2二周期三角函数的Hermite插值问题，运用高阶奇异积分及其推广的留数定理研究了收敛性.利用这些结论得到反27T周期函数或2二周期函数正常积分的求积公式，这为以后研究含余割核的奇异积分方程的数值解间题莫定了很好的基础. 本文包括三章，内容如下: 第一章是引言，主要叙述带重节点的Hermite半三角插值问题的研究背景及相关文献的结果.同时介绍了本论文的大致框架及主要结果. 第二章给出一类特殊三角”子”函数的定义，通过讨论这类特殊的三角函数及其一些基本性质，我们构造出Hermite半三角插值基和Hermite三角插值基.在讨论的过程中，我们发现这两种插值问题之间有着很有趣的联系，它们的解的情况是完全”平行”的，即插值节点的重数之和为奇数（或偶数）时的反27r周期三角插值问题正好是对应的插值节点重数之和为偶数（或奇数）时的2二周期三角插值问题.接着利用半三角插值基和三角插值基分别讨论了反2二周期函数和2二周期函数的插值问题，推广了金国样的结果.最后研究它们的收敛性问题，如果函数具有解析性，则运用路见可教授关于高阶奇异积分及其推广的留数定理给出了余项的积分表示形式， 第三章主要研究Hte半三角插值基和Her血te三角插值基在积分方面的应用，利用第二章的结果讨论了几种积分形式的求积公式.
代晋军[8]（2005）在《含余割核奇异积分方程数值解法》文中认为奇异积分方程的数值解法是奇异积分方程理论及应用中一个重要的内容。一方面,由于一些实际的工程问题往往可以转化为奇异积分方程的问题,这就对数值解法提出了很实际的要求;另一方面,在奇异积分方程理论的研究中,只有很少一部分方程能写出封闭形式的解,大部分只能作定性研究,如Noether定理,因此寻求奇异积分方程的逼近解就显得很重要。同时,研究奇异积分方程的数值解必然会丰富和发展奇异积分方程理论与其它学科如算子理论,计算理论,函数逼近论,正交多项式理论,Fourier分析等的联系。 在已有的大量研究成果中,关于Cauchy核奇异积分方程的数值解法发展得较为成熟,如配置法,样条法,迦辽金方法等。特别是关于各种配置法研究成果很丰富。关于周期核的奇异积分方程,如Hilbert核奇异积分方程的数值解法的研究工作相对就要少一些,研究起来也要困难一些。而关于余割核的奇异积分方程的数值解法及相应的关于余割核奇异积分的数值求积的研究几乎还是空白。 本文将首先研究含余割核奇异积分的求积问题。我们采用了一种类似经典的分离奇点的方法将奇异积分求积问题转化为正常的周期函数积分的求积问题,而关于周期函数的积分求积有不少现有成果可资利用。这种转化法还未见诸文献。然后将余割核奇异积分求积的结果应用到含余割核奇异积分方程的数值解法方面,提出了一种配置法。 具体来讲,全文分为五个部分: 前言介绍了本课题的背景和国内外的主要研究现状和方法,本问题的由来和选题的理由以及得到的主要结果。 第一章中主要包含两方面的工作。我们研究了带权2π反周期函数正常积分的求积,建立了半三角插值型求积公式和具最高半三角精度的求积公式;利用一种类似经典的分离奇点的方法,将含余割核的奇异积分的求积转化为正常的带权2π周期函数的正常积分,在此过程中,运用了大量的关于文献[4]中研究半三角插值的思想,获得了求积余项的表达式,讨论了求积公式的收敛性。 第二章讨论了与含余割核奇异积分方程相连的奇异积分算子的性质,将
闵捷[9]（2016）在《关于三角函数周期的两个命题》文中进行了进一步梳理三角函数的周期一般是指它们的最小正周期,所以在教材中出现求三角函数周期的问题就是求它的最小正周期。按照这个要求,我们就会发现在教材中关于求三角函数周期的几个例题的解答就不够完整,这些解答只找出了三角函数的一个周期,却没有证明为什么找出的这个周期恰是这个函数的最小的正周期。本文就这个问题给出两种常见类型的三角函数周期的证明:
鲁大勇[10]（2011）在《紧小波框架》文中研究表明本学位论文主要研究了五个方面的问题：框架小波的提升;紧框架小波包的构造；依照来自延拓原理的紧小波框架展开式的依范数收敛性和点点收敛性；周期紧小波框架的构造;一些函数空间的紧小波框架系数刻画.在第二章,回顾了框架的一些基本知识,简单介绍了小波框架和Gabor框架,并给出了二者的提升方案.在第三章,我们用不同于Ron和Shen的证明方法证明了高维空间上的延拓原理（酉延拓原理和斜延拓原理）,给出了来自延拓原理的紧小波框架的多尺度结构和快速算法,并给出了此类紧小波框架的提升方案.在第四章,我们证明了如果来自延拓原理的母框架小波属于L1（Rd）且具有一定的衰减性,那么它们周期化后的函数能生成L2（[0,1]d）上的紧小波框架.在第五章,通过引入紧小波框架的空间结构和正则性条件,我们证明了依照来自延拓原理的紧小波框架展开式不但是依Lp-范数：1<p<∞,收敛于f,而且还是点点收敛于f.在第六章,我们依次给出了空间Lp（R）,1<p<∞,Hard空间H1（R）, Sobolev空间,Lipschitz空间∧σ,0<α<1,和Zygmund类∧*的紧小波框架刻画.
二、三角多項式的恆等定理兼談三角函数的周期（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、三角多項式的恆等定理兼談三角函数的周期（论文提纲范文）
（2）带Hilbert核奇异积分方程的间接数值解法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 奇异积分方程的背景及研究目的和意义 |
| 1.2 奇异积分方程的国内外研究现状及发展趋势 |
| 1.3 研究奇异积分方程间接数值解法的基本方法 |
| 1.4 论文的结构安排 |
| 第2章 基础理论知识 |
| 第3章 奇异积分方程及应用 |
| 第4章 带 Hilbert 核奇异积分的求积公式 |
| 4.1 正常积分的求积公式 |
| 4.2 H_n~T(θ)型求积公式 |
| 4.3 奇异积分的求积公式 |
| 4.4 求积公式的收敛性 |
| 4.5 数值例子 |
| 第5章 带 Hilbert 核奇异积分方程的标准化 |
| 5.1 标准化的几个引理 |
| 5.2 奇异积分方程的标准化 |
| 第6章 带 Hilbert 核奇异积分方程的间接数值解法 |
| 6.1 奇异积分方程的归一化条件 |
| 6.2 间接数值解法 |
| 第7章 存在性和收敛性 |
| 第8章 数值例子 |
| 第9章 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 申请学位期间发表的学术论文 |
| 附录：本论文部分 MATLAB 程序 |
（3）Sturm-Liouville算子的矩阵逼近及其应用（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 引言 |
| 1.1 Sturm-Liouville问题及其理论 |
| 1.1.1 Sturm-Liouville问题 |
| 1.1.2 Sturm-Liouville理论 |
| 1.2 Sturm-Liouville问题的应用 |
| 1.3 Sturm-Liouville问题的求解 |
| 1.3.1 解析解 |
| 1.3.2 渐近和摄动解 |
| 1.4 Sturm-Liouville问题的数值解 |
| 1.4.1 打靶法 |
| 1.4.2 有限差分法 |
| 1.4.3 有限元法 |
| 1.4.4 谱方法 |
| 1.5 本论文的内容概要 |
| 第二章 基于代数多项式插值和共形映射的微分矩阵 |
| 2.1 构造矩阵特征值问题的统一框架 |
| 2.2 代数多项式插值 |
| 2.2.1 理论收敛性 |
| 2.2.2 Lebesgue常数与稳定性 |
| 2.2.3 重心插值公式 |
| 2.3 微分矩阵逼近Sturm-Liouville算子 |
| 2.3.1 Sturm-Liouville算子的形式逼近 |
| 2.3.2 边界条件处理 |
| 2.3.3 误差分析 |
| 2.4 共形映射和重心有理插值微分矩阵 |
| 2.4.1 加权插值 |
| 2.4.2 共形映射和重心有理插值微分矩阵 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.6 小结 |
| 第三章 基于三角多项式插值的微分矩阵 |
| 3.1 三角多项式插值与对应的微分矩阵 |
| 3.1.1 周期边界条件 |
| 3.1.2 Neumann边界条件 |
| 3.1.3 Dirichlet边界条件 |
| 3.1.4 Dirichlet-Neumann边界条件 |
| 3.1.5 Neumann-Dirichlet边界条件 |
| 3.1.6 Robin边界条件 |
| 3.2 误差分析 |
| 3.2.1 Lebesgue常数 |
| 3.2.2 收敛性 |
| 3.3 数值实验 |
| 3.4 小结 |
| 第四章 奇异Sturm-Liouville算子与人工边界条件和PML |
| 4.1 有限区间上的奇异算子逼近 |
| 4.2 无穷区间上的奇异算子逼近与人工边界条件和PML |
| 4.3 波导模式计算 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 几个重要的应用 |
| 5.1 高波数Helmholtz方程 |
| 5.2 时间演化偏微分方程 |
| 5.3 单向Helmholtz方程 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 完成文章目录 |
| 简历 |
（5）一类三角函数的周期性问题探究（论文提纲范文）
| 1 两周期函数之和的周期性 |
| 2 三角多项式的周期性 |
（6）拟插值的若干理论及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 1.2.1 针对一般线性泛函信息的拟插值算子的构造 |
| 1.2.2 拟插值算子在微分方程数值解、动力系统中的应用 |
| 1.2.3 MQ三角样条拟插值的构造 |
| 第二章 拟插值的研究成果和进展 |
| 2.1 拟插值、Strang-Fix条件及误差估计 |
| 2.2 高精度拟插值格式的构造 |
| 2.3 几种拟插值格式 |
| 2.3.1 B-样条拟插值 |
| 2.3.2 MQ拟插值 |
| 2.3.3 三角B-样条拟插值 |
| 2.3.4 广义B-样条拟插值 |
| 第三章 针对一般线性泛函信息的拟插值 |
| 3.1 背景介绍 |
| 3.2 定义在整个实数轴R上的拟插值算子的构造 |
| 3.3 定义在有界区间[a,b]上的拟插值算子的构造 |
| 3.4 针对离散导数值的MQ拟插值 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 拟插值在微分方程数值解、动力系统中的应用 |
| 4.1 求解微分方程数值解 |
| 4.1.1 背景介绍 |
| 4.1.2 求解微分方程 |
| 4.2 构造Lyapunov函数 |
| 4.2.1 预备知识及背景介绍 |
| 4.2.2 用拟插值构造Lyapunov函数 |
| 4.3 小结 |
| 第五章 MQ三角样条拟插值 |
| 5.1 预备知识及背景介绍 |
| 5.2 MQ三角样条拟插值 |
| 5.2.1 MQ三角样条拟插值的构造 |
| 5.2.2 误差估计 |
| 5.3 用MQ三角样条拟插值求微分方程数值解 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 论文工作总结 |
| 6.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 作者己发表或正在准备的论文 |
| 致谢 |
（7）Hermite半三角插值公式及其应用（论文提纲范文）
| 郑重声明 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 第二章 三角和半三角函数的Hermite插值 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 三角和半三角多项式 |
| 2.3 三角和半三角Hermite插值 |
| 2.4 C_(2π)与(?)_(2π)中函数的Hermite插值 |
| 第三章 三角插值的应用 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 正交三角多项式 |
| 3.3 三角插值的应用 |
| 参考文献 |
| 后记 |
（8）含余割核奇异积分方程数值解法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 前言 |
| 第一章 含余割核奇异积分求积公式 |
| §1.1 引言 |
| §1.2 三角和半三角Lagrange插值 |
| §1.3 正常积分的求积公式 |
| §1.4 具最高半三角精度的求积公式 |
| §1.5 含余割核奇异积分的求积公式 |
| §1.6 求积公式的收敛性 |
| 第二章 与含余割核奇异积分方程相伴的奇异积分算子 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 几个引理 |
| §2.3 奇异积分方程的标准化及相伴算子的性质 |
| 第三章 含余割核奇异积分方程的数值解法 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 直接数值解法 |
| §3.3 间接数值解法 |
| §3.4 同一性 |
| §3.5 可行性与收敛性 |
| §3.6 κ＞0的情形 |
| §3.7 κ＜0的情形 |
| 第四章 几类解具有奇性的周期核奇异积分方程 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 解具一阶奇性的Hilbert核奇异积分方程 |
| §4.3 解具高阶奇性的Hilbert核奇异积分特征方程 |
| §4.4 解具一阶奇性的余割核奇异积分特征方程 |
| 参考文献 |
| 后记 |
（10）紧小波框架（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 相关背景 |
| 1.2 紧小波框架的发展过程 |
| 第二章 Hilbert空间上框架的基本知识 |
| 2.1 框架的定义及基本性质 |
| 2.2 重构公式中典范对偶框架的近似处理 |
| 2.3 二进小波框架 |
| 2.4 小波框架的提升 |
| 2.5 Gabor框架 |
| 2.6 Gabor框架的提升 |
| 第三章 L~2(R~d)上的紧小波框架 |
| 3.1 框架多尺度分析 |
| 3.2 酉延拓原理 |
| 3.3 B-样条小波框架的构造 |
| 3.4 紧小波框架的空间结构与快速算法 |
| 3.5 紧小波框架的提升 |
| 3.6 紧框架小波包 |
| 3.7 斜延拓原理 |
| 第四章 周期紧小波框架 |
| 4.1 一类周期紧小波框架的构造 |
| 4.2 周期函数的延拓原理 |
| 第五章 紧小波框架展开式的收敛性 |
| 5.1 L~p(R)中紧小波框架展开式的依范数收敛性 |
| 5.2 紧小波框架展开式的点点收敛性 |
| 5.3 依范数收敛和点点收敛的小波框架例子 |
| 第六章 使用紧小波框架刻画函数空间 |
| 6.1 紧小波框架和抽样定理 |
| 6.2 使用Littlewood-Paley函数刻画空间L~p(R) |
| 6.3 使用框架系数刻画空间L~p(R) |
| 6.4 Hardy空间H~1(R)和一些必要工具 |
| 6.5 Hardy空间H~1(R)的刻画 |
| 6.6 Sobolev空间的刻画 |
| 6.8 Zygmund函数类∧_*(R)的刻画 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 课题总结 |
| 7.2 未来工作的展望 |
| 参考文献 |
| 已发表或接受发表的论文 |
| 已投稿论文 |
| 致谢 |
四、三角多項式的恆等定理兼談三角函数的周期（论文参考文献）
- [1]三角多項式的恆等定理兼談三角函数的周期[J]. 馬明. 数学通报, 1963(06)
- [2]带Hilbert核奇异积分方程的间接数值解法[D]. 林智彬. 天津工程师范学院, 2011(08)
- [3]Sturm-Liouville算子的矩阵逼近及其应用[D]. 张学仓. 浙江大学, 2011(02)
- [4]谈谈函数周期性问题[J]. 张方盛,林纬华. 数学通报, 1980(10)
- [5]一类三角函数的周期性问题探究[J]. 周思宇. 中学数学月刊, 2021(08)
- [6]拟插值的若干理论及其应用[D]. 高文武. 复旦大学, 2012(02)
- [7]Hermite半三角插值公式及其应用[D]. 韩惠丽. 武汉大学, 2004(04)
- [8]含余割核奇异积分方程数值解法[D]. 代晋军. 武汉大学, 2005(05)
- [9]关于三角函数周期的两个命题[J]. 闵捷. 数学大世界(中旬), 2016(09)
- [10]紧小波框架[D]. 鲁大勇. 武汉大学, 2011(07)