一、三维抛物型方程的一个新的高精度显式差分格式（论文文献综述）
韩俊茹[1]（2019）在《线性双曲型方程的高精度紧致差分格式》文中提出双曲型方程是一类重要的偏微分方程,由于寻求问题本身的精确解比较困难,因此采用数值方法来求解此类方程有极具深远的意义和实际应用价值.本文建立了求解线性双曲型方程的高阶紧致差分格式.首先,在空间上采用Kreiss提出的四阶紧致差分公式进行逼近,时间上采用Taylor级数展开及截断误差修正的方法,提出了一种求解一维线性双曲型方程的高精度紧致全隐格式.该格式在时间和空间上均具有四阶精度.采用Fourier方法分析了该格式的稳定性.然后通过几个具有精确解的数值算例进行数值验证,数值实验证明本文所提格式与文献中已有的数值方法的计算结果相比较,具有较好的稳定性和精确性.接下来,将一维线性双曲型方程的高精度紧致差分方法直接推广到二维问题,建立了时间和空间均具有四阶精度的紧致差分格式.此时需要迭代计算,采用修正的多重网格全近似格式,从而加快了迭代收敛速度,减少了迭代次数,节省了计算时间,提高了计算效率.通过一些具有精确解的算例进行数值验证.数值结果表明,本文方法在时间与空间上都能达到四阶精度,这与本文的理论分析相吻合,而且计算误差明显要比文献中的计算误差更小,计算精度高.最后,将本文所推导的格式接入到偏微分方程有限差分法求解软件,使得偏微分方程数值解研究人员更加方便地对本文格式进行使用计算和对比研究.
詹涌强,谭志明[2]（2017）在《解三维抛物型方程的一个高精度显式差分格式》文中认为提出了求解三维抛物型方程的一个高精度显式差分格式.首先,推导了一个特殊节点处一阶偏导数（■u）/（■/t）的一个差分近似表达式,利用待定系数法构造了一个显式差分格式,通过选取适当的参数使格式的截断误差在空间层上达到了四阶精度和在时间层上达到了三阶精度.然后,利用Fourier分析法证明了当r<1/6时,差分格式是稳定的.最后,通过数值试验比较了差分格式的解与精确解的区别,结果说明了差分格式的有效性.
杨晓佳,王燕[3]（2016）在《求解扩散方程的高精度显式紧致差分格式》文中研究表明首先针对一维扩散方程,空间方向采用二阶导数的四阶紧致差分公式进行离散,时间方向采用泰勒级数展开的方法进行离散,推导出了一种高精度显式紧致差分格式;然后通过Fourier分析方法给出了格式的稳定性条件为λ≤1/2（λ为网格比）;最后通过数值实验验证了格式的精确性和可靠性.
马明书[4]（1998）在《解三维抛物型方程的一个新的高精度显格式》文中认为本文构造了一个解三维抛物型方程的高精度三层显式差分格式，其稳定性条件为ｒ＝Δｔ／Δｘ２＝Δｔ／Δｙ２＝Δｔ／Δｚ２≤１／４，截断误差为Ｏ（Δｔ２＋Δｘ４）·
徐保邹[5]（2020）在《几类偏微分方程数值解的基于POD方法的降维高阶紧差分算法研究》文中提出本文主要研究了抛物型方程和Fisher-Kolmogorov方程的几种高阶紧差分算法。在大型工程问题计算中,高阶紧差分方法会产生数以千万的未知量,从而占用大量的计算时间。为了克服这一不足,本文采用Proper Orthogonal Decomposition（简记为POD）来对高阶紧差分格式进行降维优化和改进。这种基于POD方法的降维高阶紧差分方法不仅具有计算所需节点少、与谱方法相近的高分辨率和边界易处理等等一系列优点,而且还能极大的缩短计算时间,降低计算内存要求、减少CPU运行负担。数值算例说明数值计算结果与理论结果是吻合的,并且降维方法在保证精度的同时极大地节省了计算时间。这说明这种降维方法是有效的和可行的。全文分为五章,主要的内容如下:第一章,我们首先对偏微分方程作了简单的概述,并且简单的介绍了有限差分法的几种形式以及POD方法的背景知识和应用。第二章主要研究了抛物型方程的降维四阶紧差分格式。首先基于泰勒公式,我们给出了一维和二维抛物型方程的四阶紧差分格式详细推导步骤。然后,通过引入POD方法,我们得到了降维的紧差分格式和两种格式之间误差的估计公式,最后通过几组数值算例说明我们方法求解抛物型方程解的有效性。第三章,我们首先对抛物型方程的六阶紧差分格式作了详细的介绍。然后,我们将POD方法应用到抛物型方程的求解中去,建立了既能保证精度又能节省大量计算时间的降维六阶紧差分格式。随后借助分裂方法,该方法被成功推广到多维抛物型方程。第四章在第三章的基础上对其进行扩展、改进。将上述方法应用到扩展的Fisher-Kolmogorov方程上,Fisher-Kolmogorov方程形式比抛物型方程更为复杂,而且还具有混合导数,求解起来更具有难度。本章中给出了算法的详细步骤,最后用数值算例说明了该方法的高精度、高效率以及可行性。第五章主要是系统总结了整篇文章的主要工作和创新之处,并且给出了需要深入研究的内容,留待以后继续探讨。
王婷[6]（2008）在《抛物问题的显—隐有限差分区域分解并行算法》文中研究表明数学物理及工程问题,如油气藏的勘探与开发、航天飞行器的设计、大型水利设施的建筑、空气动力学、天体物理学等等,无不归结为求解高维的大型偏微分方程模型问题,这些问题往往是高维的,计算规模大而且计算区域形态不规则,给计算带来很大的困难,与此同时,我们对计算精度的要求越来越高,而单机计算的速度已远远不能满足实际的需求,随着大规模科学计算的需要和并行计算环境的发展成熟,区域分解方法已成为数值求解偏微分方程最有效的方法之一。简而言之,区域分解方法就是把计算的区域分裂成若干子区域,子区域的形状尽可能的规则,从而原问题的求解转化成在各个子区域上分别解决问题,区域分解算法具有很多其他方法无以比拟的优越性:首先,它把大型的问题转化为若干小型问题,缩小计算的规模;其次,它各子区域上的计算是并行的,缩短计算的时间;再次,它允许在不同的子域上选用不同的数学模型,以便整体模型更适合于工程物理的实际情况;然后,它允许使用局部拟一致网格,无需用整体拟一致网格,甚至各子上可以采用不同的离散方法进行计算;最后,若子区域的形状足够规则,可使得其上或者已有熟知通用的快速算法,或者已有解这类规则问题的高效软件备用,当然,区域分解方法还有其他的优点,但以缩小规模及并行计算尤为根本。用区域分解法来求偏微分方程数值解已有大量研究[35,47,48,50,51,52],他们把这种方法应用于求解椭圆问题[59,60]、对称正定线性系统[61]以及抛物问题[31-34,44]等.同时,区域分解方法也是构建预条件子的有效方法之一[41],区域分解算法的主要困难在于:如何定义内边界点的值和在子区域上选取合理的计算解去近似,于是,区域分解方法划分为两类:重叠型区域分解法和非重叠型区域分解法,子区域的选择主要考虑区域形状的可计算性以及问题的物理背景,尤其是后者,特别适用于在不同物理子区域上有不同控制方程的复合问题,非重叠型区域分解方法,比重叠型区域分解方法实现起来比较直观易用,但它的理论分析往往比较困难。重叠型区域分解法的原始思想来源于经典的Schwarz交替法,近年来建立在Schwarz交替法基础上的区域分解法在理论分析和实际应用中取得令人注目的发展,从椭圆方程到抛物方程,从加性或乘性Schwarz算法发展到并行或串行子区域校正算法,从混合元到特征差分[12-16,36],此类算法已成为一种行之有效的迭代方法,然而,由于其子区域的部分重叠性,也在一定程度上使得并行计算有所牵制,非重叠型区域分解法将计算区域分解成若干个独立的不同子区域,具有高度并行、更适合模型要求和网格剖分灵活等优点,对于此方法,内边界上的预处理方法是必须要考虑的,显-隐格式区域分解方法就是以显格式计算出相邻子区域相交内边界的近似值的一种方法,显-隐格式区域分解方法综合了二者的优点,借助前一层效值解的信息,用显格式给出在这一层的子问题的未知内边界条件,把—个整体区域上的问题化为若干个子区域上的子问题,在每个子区域上用隐式方法求解,从而实现了并行,由计算角度而言,就是把—个整体的大型方程组分解为若干个小型方程组,实现了并行,由于给出子区域间内边界条件的方法利用了上一层数值解的信息,具有显性性质,导致了算法需要一个稳定性条件,但这个稳定性条件没有显式方法那么严格。关于各类区域分解方法,前人也做了很多研究:X.C.Cai[59,60,61]等给出了关于多种椭圆方程的基于重叠不匹配网格的重叠mortar有限元、有限差分方法的理论分析.C.N.Dawson,Q.Du和T.F.Dupont[31-34,44]等提出了多种显-隐区域分解的有限差分及有限元算法,给出了相应的误差估计,然而只是基于热传导方程提出的,且对高维问题的分析只讨论了内边界上一个方向的显式情形,张宝琳[25,27,30]等将Saul’yev的非对称差分格式应用于一对内边界点,或将具有较高稳定性的显格式置于内边界点重写了Dawson的区域分解方法,但并没有提高整体精度,李长峰[1,2,3]研究了关于热传导方程、抛物方程的基于Dawson思想的区域分解有限差分算法,得到了类似的结论。在导师芮洪兴教授的精心指导下,本文作者在前人工作的基础上,对区域分解方法做了部分研究工作,结合杜强教授的在内边界应用多步显格式的算法,我们将迎风格式、高精度格式或不匹配网格应用到非重叠显-隐有限差分区域分解算法,对变系数热传导问题或一般抛物问题给出了最大模误差分析,并通过数值实验得到的数值结果验证了算法的有效性,这种算法在内边界处,不仅采用大步长的空间步长,而且将每一个时间层分为若干子层,用较小的时间步长进行若干次显格式计算,在得到内边界点的近似值后,用隐格式在各个子区域上并行计算求出内点的值,此算法不仅扩大了原来显格式的稳定性条件,而且有较好的并行性,全文共分四章。第一章,由于关于此类算法大部分讨论的是常系数的问题,我们给出关于变系数热传导方程的显-隐有限差分区域分解算法,大体的做法是在内边界点以较小的时间步长（?）和较大的空间步长（?）进行J次显格式计算,然后,再用隐格式在各个子区域并行计算,得到的整体精度为O（△t+h2+J（?）3）,同时,这种算法较古典显格式的稳定性至少放宽了Jd2倍,计算格式也很简单,易于并行程序的实现。第一章内容安排如下:关于一、二维的算法和误差估计将分别在1.2和1.3节给出,首先,在1.2.1节给出了一维变系数热传导问题的模型,然后在1.2.2-1.2.4节讨论了一致剖分网格情形,时空不同剖分情形和多个子区域的情形,在1.3.1节给出了二维变系数热传导问题的模型之后,关于2个子区域和4个子区域的二维区域分解方法分别在1.3.2和1.3.3节讨论.最后,在1.4节我们用数值算例验证了我们的结论,本章部分结果已经在《山东大学学报》（理学版）上发表。第二章,我们给出稳定性条件宽松的高精度有限差分区域分解方法,关于一维抛物问题,我们把区域划分为一些互不相交的多个等距剖分的子区域,我们在内边界点采用高精度的显式差分格式,而且在内边界点取小的时间步长（?）和大的空间步长（?）计算,在得到内边界处的近似值后,再在内点采用高精度的紧交替方向隐式差分格式并行计算,这种有限差分区域分解方法得到了较好的收敛精度O（△t2+h4+Jq（?）5）,而且该算法的计算格式也很简单,易于编程实现,对于高维抛物问题,我们同样地在内边界点采用一族高精度的两层显式差分格式,在内点用紧交替方向隐格式进行计算,在这些格式采用的基础上,我们首先把稳定性条件的界较古典显格式扩大了Jd2倍,其次,在内边界点的格式是关于x和y方向都是显式的,然后,在内点的隐格式是可以再并行的,且其中的系数矩阵是三对角阵,可以提高并行效率,最后,也是最重要的是,这种区域分解算法的整体精度为O（△t2+（?）△t+J（?）3）,而且当选取特殊的d和网格比（?）后,精度可以达到O（△t2+h4+Jh5）。第二章内容是这样安排的:首先,在2.2节,我们不但介绍了关于一维抛物问题的一些预备知识,还在之后的各个小节分析了算法、误差估计和并行效率,然后,关于二、三维的区域分解算法和误差分析我们将分别在2.3和2.4节中给出,最后,在2.5节我们用一些数值算例验证了算法的稳定性和数值精度.本章部分结果已经在《International Journal of Computer Mathematics》上发表。第三章讨论的是不匹配网格的有限差分区域分解方法,不匹配的区域分解方法在子区域采取了不同的剖分,所以在内边界处有一些不匹配的点,在这一章,我们将修正的Saul’yev非对称格式和古典隐格式相结合,得到一种在内边界使用的简单的新显格式,然后就给出非重叠不匹配有限差分区域分解算法,这种算法在二维情形的大多数内边界点是关于x和y方向都是显格式的,而且,它的稳定性条件为r≤1,这比古典显格式的稳定性条件在一维情形下扩展了2D2倍,在二维时扩展了4D2倍,当计算出内边界点的值后,就只剩下求解两个互不相关的、可并行计算的隐式差分问题,另外,这个区域分解算法的精度为O（△t+h12+h12+H3）,计算格式也很简单,易于并行程序的实现,关于一、二维问题的区域分解算法和数值解的收敛性结果分别在3.2节和3.3节给出.最后,在3.4节我们用一些数值算例验证了算法的稳定性和数值精度。第四章,我们不但将多层显-隐差分区域分解算法由第一章的热传导方程扩展到一般抛物方程,而且介绍了三类区域分解的迎风差分算法,关于一维抛物问题,我们首先在4.2节给出一维一般抛物方程的模型和预备知识,并在4.3节给出了关于此模型的有限差分区域分解算法,其次,我们在4.4节给出了三类迎风差分算法。包括一阶迎风差分算法（UDA）、内边界二阶迎风差分算法（IMUDA）和二阶迎风差分算法（MUDA）,一阶迎风差分算法是在内边界点和内点上分别采用显、隐的一阶迎风差分格式的算法,内边界二阶迎风算法是只在内边界点处采用二阶显式迎风差分格式,而在内点处仍用古典的隐式差分格式的算法,二阶迎风差分算法是在内边界点和内点上分别采用显、隐的二阶迎风差分格式的算法,接下来,我们在4.5节和4.6节介绍了关于二维一般抛物方程的多层显-隐差分区域分解方法,最后,在4.7节给出了数值算例验证了我们的结论,其中包括一个实际问题——放射性杆中的热传导问题,本章部分结果已经在《山东大学学报》（理学版）及《工程数学学报》上发表。
杭旭登[7]（2004）在《偏微分方程迭代并行解法与网格优化方法》文中研究指明科学计算对计算规模的要求是无止境的，随着计算机能力的飞速的发展，计算的规模已经从几千几万到百万甚至千万上亿的规模。算法也相应地由串行的算法发展到适合大规模并行计算机的并行算法。计算规模的扩大带来了许多新问题。首先，并行计算机的体系结构要求相应的算法能充分挖掘计算能力，促进了并行计算方法的研究；其次，大规模的数值模拟计算对于计算方法的稳定性和计算网格的品质提出了更高的要求，推动了算法的稳定性和流体计算中计算网格的优化研究。因此，本文的主要研究目标是针对偏微分方程大规模的数值模拟中出现的这些问题进行研究，提出解决的方法和进行理论分析。 现代并行计算面临许多问题。从并行机的体系结构来说，大规模分布式内存并行计算机（MPP，或PC Cluster）是发展的主导方向，其主要特征是采用消息传递进行不同处理机之间的通信。现代大规模并行计算面临的主要瓶颈是全局通信问题和同步问题。全局通信体现了整个问题的全局综合，这是种全局性无法避免，但可以通过别的途径使之达到相同的功能，比如通过迭代方法。在构造偏微分方程离散计算格式时，应尽可能考虑避免整体数据的强相关和无需全局通讯的具有高并行度的格式。研究突破代数的层面，从差分格式乃至偏微分方程，甚至物理问题的层面来提出新的算法。偏微分方程的差分格式是离散逼近的重要的一步，其并行性方面的研究最近二十年来得到广泛的重视和发展。但离散格式的构造和格式的代数求解没有充分地结合起来，这两者相结合的问题没有受到足够的重视。实际上，差分格式的成功和代数方程组的求解息息相关，只有把差分格式和方程组的迭代求解结合起来研究，才可能使代数方程组的一些比较有效的迭代方法发挥更大的作用，构造真正适合应用的差分格式。大规模科学计算的另外一个问题是对于高速流动的流体，当用Lagrange方法或ALE方法进行计算时，容易出现网格折叠的情况而中断计算，这是精密物理的大规模数值模拟中目前遇到的瓶颈问题之一。 针对以上的问题，本论文对偏微分方程的差分数值求解进行了讨论。针对在现代并行计算机条件下如何充分有效地利用大量的计算机资源，高效稳定地数值求解偏微分方程，进行了详细的讨论。本论文的特点是结合迭代算法研究差分格式和结合差分格式研究迭代算法，从而使两者有机地结合到一起，为更好的解决辐射流体热传导和粒子输运计算等问题，探索新的研究途径。对区域分解的并行算法进行了理论分析和数值试验比较研究，将这些方法应用于抛物型方程和中子输运方程，得到了一些有创新性的结果；对代数方程组的求解的红黑排序混合算法进行了详细的理论分析和数值试验，并将其应用于辐射流体力学计算和油藏模拟中，取得了满意的计算结果；结合并行差分格式对Krylov子空间方法提出了一种并行预条件技术，并对其谱性质进行了较深入的分析；对于流体计算网格的优化，提出了一种组合优化的方法，这种优化方法的计算量小，并且能优化凹网格的问题，同时能较好的保持优化过的网格的重心能匹配原来网格的重心，能比较有效的解决网格的优化问题。 全文的主要内容可以大致分为三个部分：并行差分方法，线性代数方程组的并行高效求解和姆格优化这花个部分既相互独立，同时又相互影响和相互促进。木文结构如下:首先是绪论，概括介绍了本文的研究背萦和主要内容;第一章、第二章、式的钩造技术，主要研究了迭代并行差分格式的稳定性和收敛性，第说章研究并行差分格以及结合迭代技术的迭代并行差分格式的构造和理论分析;第四章研究中子输运方程离散纵标方法的迭代并行差分格式:第五章讨论了红黑排序混合算法的收敛速度问题，以及该算法在实际工程计算中的应娜:第六章是墓于界荡预估和修正的并行预条件技术。第七章讨论了计算流体的A LE方法中的卿格重构和优化技术。本文的杰要f作如一F:口}给出DFF差分格式的一个2范数的严格的无条件稳定性的证明，并估计出稳定性的常数， 同时证明了用OFF差分格式构造的区域分解并行差分格式的稳定性的必要条件。阴对显式迭代并行差分格式证明了其对于模型问题的稳定性条件比纯显式差分格式放宽了 封仍以七。睁}从空间区域分解出发，综合考虑迭代算法和差分格式的相互关系，使得两者相互触合，取 长补辣，设计了高效的迭代并行差分格式，这些新构造的并行格式其有良好的性质，主要 表现在如下豹几个方面: 给一)差分格式豹稳定性非常好。 （二）差分格式有较高的精度。 （蕊）差分格式构造比较简单，对区域的剂分没有任何限制。 （洲）差分格式不需要全局通信，有很好的扩展性。 （五）便于对已有的程序进行改造。拼〕将构造抛物型方程并行差分格式的方法推广到中子输运方程，进行了数值试验。吓!对线性代数方程组的迭代算法，红黑排序混合算法，分析了其算法特性和算法的收敛加速 悄况。证明了红黑排序混合算法比自然排序的算法，!讨样用共辘梯度法和Jacob玄迭代方法 求解，混合算法收敛速度是自然排序的2倍;用GMRES算法，混合算法收敛速度是自然 排序算法的2到4倍。大金的数徽试验验证了理沦?
刘利斌,刘焕文[8]（2008）在《一维抛物型方程的样条子域精细积分（SSPI）隐格式》文中研究指明对一维抛物型方程初边值问题的求解,以往已经有一些数值解法,它们或者无条件稳定但精度不高,或者精度高但仅为条件稳定,且稳定性条件严格.另外,以往的差分格式在处理第二、第三类边界条件问题时,对带导数边界条件都是进行简单的差分逼近,影响了数值解的精度.因此构造一个无条件稳定且对各类边值问题都具有良好精度的数值方法具有重要意义.为此,基于子域精细积分思想,结合三次样条函数,提出了求解一维抛物型方程初边值问题含参数的样条子域精细积分格式.该格式为绝对稳定且精度很高.由于三次样条函数的采用,避免了通常有限差分法中处理带导数边界条件时产生的逼近误差,大大提高了求解第二、三类边界条件问题时的精度.
廖锋[9]（2018）在《若干非线性发展方程组的数值解法研究》文中提出本文采用有限差分方法,正交样条配置方法,时间分裂步方法以及谱方法,具体研究了Schr?dinger-Boussinesq（SBq）方程,Klein-Gordon-Schr?dinger（KGS）方程,耦合Gross-Pitaevskii（CGP）方程以及修正Gross-Pitaevskii（MGP）方程的数值解法.由于SBq方程为四阶非线性耦合方程组,为了构建SBq方程的三点紧差分格式,我们采用降阶法将两分量耦合的四阶偏微分方程（PDE）等价转化为三分量耦合的二阶PDE.基于降阶方程组构建了两个守恒的非线性紧差分格式,利用守恒性得到数值解的先验估计,然后通过离散能量方法证明了数值解的存在性,收敛性以及稳定性.由于非线性紧差分格式需要进行迭代运算,十分耗机时.为此构建了SBq方程的线性紧差分格式,其优势在于无需迭代运算,提高了计算效率,但问题是线性格式不能严格保证离散能量的守恒性.为此定义了三项递推序列,基于该序列定义了新形式的离散能量表达式,并证明了线性格式的守恒性,最后采用cut-off截断函数法证明了收敛性.运用正交样条配置（OSC）方法构建了SBq方程的两个守恒OSC格式.对于非线性OSC格式,基于离散能量守恒律得到了数值解有界性估计,由此证明了数值解的存在性,收敛性以及稳定性.对于线性OSC格式,通过新定义的三项递推序列,证明了线性OSC格式的离散能量守恒性.由于无法利用离散能量表达式对数值解进行先验估计,为此采用cut-off截断函数法证明了线性OSC格式的收敛性.在前面的工作中,分别运用有限差分方法以及OSC方法研究了SBq方程的数值解问题,进一步我们运用Fourier拟谱方法继续研究该方程.构建了SBq方程的时间分裂指数波积分Fourier拟谱（TS-EWI-FP）方法,对于Schr?dinger-like方程采用时间分裂Fourier拟谱方法,而对于Boussinesq-like方程则采用指数波积分Fourier拟谱方法进行求解.TS-EWI-FP方法为全显格式且可利用快速Fourier变换有效求解.由于TS-EWI-FP方法缺乏严密的理论分析,为此我们研究了KGS方程的指数波积分Fourier拟谱（EWI-FP）方法.EWI-FP方法为全显格式,在时间方向可达到二阶精度,在空间方向为谱精度.在理论上,我们利用数学归纳法证明了EWI-FP方程的H1模误差估计,而对于高维KGS方程,在适当的正则性条件下可证明EWI-FP方法的H2模误差估计.对于CGP方程,我们考虑了带角动量旋转项CGP方程的显式差分格式.事实上,CGP方程的显式差分格式是很容易构造的,所以该工作的意义在于分析显式差分格式的最大模误差估计并确定CFL条件.首先利用数学归纳法证明了显差分格式的2L模误差估计,然后综合利用离散能量方法,时间与空间变量变换技巧以及降阶法证明了显差分格式的L?模误差估计.在文章最后讨论了MGP方程的时间分裂步差分方法,该方法不需要求解大规模的差分方程组,可以借助快速正弦变换有效求解.另外该方法不会随着差分格式空间精度的提高而增加计算量,因此我们可通过构建高精度差分格式以期望获得与谱方法相近的精度,具体讨论了空间四阶与六阶精度的时间分裂差分方法.
武莉莉,祁应楠[10]（2017）在《三维热传导方程的高精度有限差分方法》文中认为提出了数值求解三维热传导方程的一个四阶精度的有限差分格式,首先对三个空间方向上的二阶导数项,采用四次样条函数来近似,从而得到半离散的常微分方程.然后利用常微分方程的解析解表达式,时间矩阵利用Padé近似,得到时间和空间均为四阶精度的差分格式.最后利用方法计算了两个数值算例,并与文献中结果进行了对比,从而验证了高精度格式的性能.
二、三维抛物型方程的一个新的高精度显式差分格式（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、三维抛物型方程的一个新的高精度显式差分格式（论文提纲范文）
（1）线性双曲型方程的高精度紧致差分格式（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 多重网格方法概述 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第二章 一维线性双曲型方程的高精度紧致差分格式 |
| 2.1 高精度紧致差分格式 |
| 2.2 稳定性分析 |
| 2.3 数值实验 |
| 2.4 结论 |
| 第三章 二维线性双曲型方程的差分格式及多重网格算法 |
| 3.1 高精度紧致差分格式 |
| 3.2 稳定性分析 |
| 3.3 多重网格方法 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.5 结论 |
| 第四章 格式在偏微分方程有限差分法求解软件上实现 |
| 4.1 软件介绍 |
| 4.2 格式的接入过程 |
| 4.3 格式在软件上的使用 |
| 4.4 结论 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历及论文发表情况 |
（3）求解扩散方程的高精度显式紧致差分格式（论文提纲范文）
| 1 差分格式的建立 |
| 2 稳定性分析 |
| 3 数值实验 |
| 算例1[9-10] |
| 算例2 |
| 算例3 |
| 4 结论 |
（5）几类偏微分方程数值解的基于POD方法的降维高阶紧差分算法研究（论文提纲范文）
| 内容摘要 |
| abstract |
| 引言 |
| 1 绪论 |
| 1.1 选题背景及研究目的和意义 |
| 1.2 有限差分方法 |
| 1.3 基于POD方法的降维模型的发展概况 |
| 1.4 算子分裂法的研究进展 |
| 2 抛物型方程的降维四阶紧差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 抛物型方程四阶紧差分格式以及快照的生成 |
| 2.3 抛物型方程降维四阶紧差分格式 |
| 2.4 抛物型方程降维四阶紧差分格式的误差估计 |
| 2.5 数值算例 |
| 2.6 本章小结 |
| 3 抛物型方程的降维六阶紧差分格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 抛物型方程六阶紧差分格式 |
| 3.3 抛物型方程降维六阶紧差分格式 |
| 3.4 多维抛物型方程 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 本章小结 |
| 4 Fisher-Kolmogorov方程的降维六阶紧差分格式 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 Fisher-Kolmogorov方程的一维六阶紧差分格式 |
| 4.3 Fisher-Kolmogorov方程的二维六阶紧差分格式 |
| 4.4 二维Fisher-Kolmogorov方程的降维六阶紧差分格式 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.6 本章小结 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 后记 |
| 附录：攻读硕士学位期间发表的部分学术论着 |
（6）抛物问题的显—隐有限差分区域分解并行算法（论文提纲范文）
| 中文部分 |
| 中文摘要 |
| Abstract(in English) |
| 第一章 变系数热传导方程的显-隐有限差分区域分解算法 |
| §1.1 引言 |
| §1.2 一维热传导问题 |
| §1.2.1 一维热传导问题的模型 |
| §1.2.2 一致剖分网格情形 |
| §1.2.3 不同时空步长的情形 |
| §1.2.4 多个相同子区域的情形 |
| §1.3 二维热传导问题 |
| §1.3.1 二维热传导问题的模型 |
| §1.3.2 两个子区域的情形 |
| §1.3.3 四个子区域的情形 |
| §1.4 数值算例 |
| 第二章 高精度显-隐有限差分区域分解方法 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 一维抛物问题 |
| §2.2.1 算法描述 |
| §2.2.2 误差分析 |
| §2.2.3 并行效率分析 |
| §2.3 二维抛物问题 |
| §2.3.1 算法描述 |
| §2.3.2 误差分析 |
| §2.4 三维抛物问题 |
| §2.4.1 算法描述 |
| §2.4.2 误差分析 |
| §2.5 数值算例 |
| 第三章 不匹配网格的有限差分区域分解方法 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 非一致剖分的一维抛物问题 |
| §3.2.1 算法描述 |
| §3.2.2 误差分析 |
| §3.3 不匹配网格上的二维抛物问题 |
| §3.3.1 算法描述 |
| §3.3.2 误差分析 |
| §3.4 数值算例 |
| 第四章 一般抛物方程的显-隐有限差分区域分解方法 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 一维一般抛物方程模型和预备知识 |
| §4.3 一维一般抛物方程的显-隐有限差分区域分解方法 |
| §4.3.1 算法描述 |
| §4.3.2 误差分析 |
| §4.4 一维一般抛物方程的三类迎风差分区域分解方法 |
| §4.4.1 算法描述 |
| §4.4.2 误差分析 |
| §4.5 二维一般抛物方程模型和预备知识 |
| §4.6 二维一般抛物方程的显-隐有限差分区域分解方法 |
| §4.6.1 算法描述 |
| §4.6.2 误差分析 |
| §4.7 数值算例 |
| 插图目录 |
| 表格目录 |
| 符号 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 作者简介 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
| 英文部分 |
| Abstract(in English) |
| 摘要 |
| Chapter 1 Explicit-Implicit Finite Difference Domain Decomposition Algorithm for Variable Coefficient Heat Equations |
| §1.1 Introduction |
| §1.2 One-dimensional Heat Conduction Problem |
| §1.2.1 One-dimensional Heat Conduction Model |
| §1.2.2 Uniform Mesh Case |
| §1.2.3 Varying Time and Space Steps Case |
| §1.2.4 Multiple Subdomains Case |
| §1.3 Two-dimensional Heat Conduction Problem |
| §1.3.1 Two-dimensional Heat Conduction Model |
| §1.3.2 Two-subdomains Case |
| §1.3.3 Four-subdomains Case |
| §1.4 Numerical Experiments |
| Chapter 2 Explicit-Implicit Finite Difference Domain Decomposition Method with High Accuracy |
| §2.1 Introduction |
| §2.2 One-dimensional Parabolic Problems |
| §2.2.1 Algorithm Presentation |
| §2.2.2 Error Analysis |
| §2.2.3 Parallel Efficiency Analysis |
| §2.3 Two-dimensional Parabolic Problems |
| §2.3.1 Algorithm presentation |
| §2.3.2 Error Analysis |
| §2.4 Three-dimensional Parabolic Problems |
| §2.4.1 Algorithm Presentation |
| §2.4.2 Error Analysis |
| §2.5 Numerical Experiments |
| Chapter 3 A Finite Difference Non-matching Domain Decomposition Method |
| §3.1 Introduction |
| §3.2 One-dimensional Parabolic Problems with Different Discretization on Subdomains |
| §3.2.1 Algorithm Presentation |
| §3.2.2 Error Analysis |
| §3.3 Two-dimensional Parabolic Problems on Non-Matching Grid |
| §3.3.1 Algorithm Presentation |
| §3.3.2 Error Analysis |
| §3.4 Numerical Experiments |
| Chapter 4 Explicit-Implicit Finite Difference Domain Decomposition method for The General Parabolic Problems |
| §4.1 Introduction |
| §4.2 One-dimensional General Parabolic Model and Preliminaries |
| §4.3 Explicit-Implicit Finite Difference Domain Decomposition Method for One-dimensional General Parabolic Problems |
| §4.3.1 Algorithm Presentation |
| §4.3.2 Error Analysis |
| §4.4 Three-kind Upwind Difference Domain Decomposition Method for One-dimensional General Parabolic Problems |
| §4.4.1 Algorithms Presentation |
| §4.4.2 Error Analysis |
| §4.5 Two-dimensional General Parabolic Model and Preliminaries |
| §4.6 Explicit-Implicit Finite Difference Domain Decomposition Method for Two-dimensional General Parabolic Problems |
| §4.6.1 Algorithm Presentation |
| §4.6.2 Error Analysis |
| §4.7 Numerical Experiments |
| List of Figures |
| List of Tables |
| Notation |
| Bibliography |
| Acknowledgement |
| List of Publications & Preprints |
| Curriculum Vitae |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（7）偏微分方程迭代并行解法与网格优化方法（论文提纲范文）
| 绪论: 偏微分方程的并行数值解法 |
| 0.1 引言 |
| 0.2 偏微分方程并行数值解法中的问题 |
| 0.2.1 偏微分方程的并行差分格式 |
| 0.2.2 偏微分方程中求解线性代数方程组的迭代解法 |
| 0.3 本论文的主要工作 |
| 第一章 DU FORT FRANKEL预估的并行差分方法稳定性分析 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 DFF格式并行差分格式的稳定性分析 |
| 1.2.1 稳定性分析 |
| 1.2.2 并行差分方法的矩阵表示 |
| 第二章 基于JACOBI修正的显式并行差分格式 |
| 2.1 介绍 |
| 2.2 对于s=3的情况 |
| 2.3 数值试验 |
| 第三章 界面修正的并行迭代差分格式 |
| 3.1 介绍 |
| 3.2 基于界面修正的迭代并行方法的一般框架 |
| 3.3 线性抛物型方程的并行差分方法 |
| 3.4 并行差分格式的理论分析。 |
| 3.5 数值例子 |
| 第四章 中子输运的并行离散纵标方法 |
| 4.1 中子输运方程介绍 |
| 4.2 并行中子输运方程迭代差分格式的算法 |
| 4.3 测试的数值算例 |
| 第五章 红黑排序混合KRYLOV算法及其应用 |
| 5.1 KRYLOV子空间算法和预条件技术 |
| 5.2 混合迭代算法 |
| 5.2.1 混合算法的介绍 |
| 5.2.2 红黑排序混合算法的理论分析 |
| 5.2.3 混合算法的收敛速度的理论加速 |
| 5.2.4 红黑排序混合算法的误差分析 |
| 5.3 数值试验 |
| 5.4 结论 |
| 5.5 红黑排序混合算法的应用 |
| 5.5.1 混合算法对辐射流体力学求解代数方程组的应用 |
| 5.5.2 混合算法在油藏模拟中的应用 |
| 5.5.2.1 混合算法及预条件技术 |
| 5.5.2.2 楼值模拟结果 |
| 第六章 界面预估与修正预条件技术 |
| 6.1 介绍 |
| 6.2 KRYLOV子空间算法和预条件的关系。 |
| 6.3 并行预条件的构造 |
| 6.4 对IPP预条件的谱分析(特殊情况:(?)_i=A_i) |
| 6.5 一般情况的讨论 |
| 6.6 数值试验 |
| 第七章 ALE方法中的一种网格优化算法 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 组合优化的网格生成算法 |
| 7.3 数值试验 |
| 6.4 结论 |
| 附录: 常用KRYLOV算法 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 博士期间发表论情况 |
（9）若干非线性发展方程组的数值解法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 前言 |
| 1.2 研究的问题 |
| 1.2.1 SCHR?DINGER-BOUSSINESQ方程 |
| 1.2.2 KLEIN-GORDON-SCHR?DINGER方程 |
| 1.2.3 GROSS-PITAEVSKII方程 |
| 1.3 数值方法简介 |
| 1.3.1 有限差分法 |
| 1.3.2 正交样条配置(OSC)方法 |
| 1.3.3 时间分裂步方法 |
| 1.3.4 谱方法 |
| 1.4 cut-off 截断函数分析法 |
| 1.5 基本引理 |
| 1.6 本文的创新点 |
| 第二章 SCHR?DINGER-BOUSSINESQ方程的守恒紧差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 准备知识与符号 |
| 2.3 紧差分格式的建立 |
| 2.4 守恒性分析 |
| 2.5 收敛性分析 |
| 2.5.1 格式A-B的收敛性分析 |
| 2.5.2 格式C的收敛性分析 |
| 2.6 计算方法 |
| 2.6.1 格式A的计算方法 |
| 2.6.2 格式B的计算方法 |
| 2.7 数值实验 |
| 2.7.1 格式A-B的计算结果分析 |
| 2.7.2 格式C的计算结果分析 |
| 2.7.3 格式A-B-C的比较 |
| 第三章 SCHR?DINGER-BOUSSINESQ方程的守恒OSC格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 符号与记号 |
| 3.3 OSC格式及其辅助引理 |
| 3.4 OSC格式的守恒性分析 |
| 3.5 OSC格式数值解的存在性 |
| 3.6 收敛性与稳定性分析 |
| 3.7 计算方法 |
| 3.7.1 格式I的计算方法 |
| 3.7.2 格式II的计算方法 |
| 3.8 数值实验 |
| 第四章 SCHR?DINGER-BOUSSINESQ方程的TS-EWI-FP方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 SBQ方程的数值方法 |
| 4.2.1 Boussinesq-like方程的EWI-FP方法 |
| 4.2.2 Schr?dinger-like方程的时间分裂步谱方法 |
| 4.3 高维SBQ方程的TS-EWI-FP方法 |
| 4.4 数值实验 |
| 第五章 KLEIN-GORDON-SCHR?DINGER方程的EWI-FP方法 |
| 5.1 KGS 方程的周期边界问题 |
| 5.2 一维KGS方程的EWI-FP方法 |
| 5.3 收敛性分析 |
| 5.3.1 主要结论 |
| 5.3.2 主要结论的证明 |
| 5.4 高维KGS方程的EWI-FP方法 |
| 5.5 数值实验 |
| 第六章 耦合GROSS-PITAEVSKII方程的显式差分格式 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 符号与辅助引理 |
| 6.3 显差分格式及其主要结论 |
| 6.3.1 显差分格式 |
| 6.3.2 主要结论 |
| 6.4 误差估计 |
| 6.5 数值实验 |
| 第七章 修正GROSS-PITAEVSKII方程的时间分裂差分方法 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 时间分裂差分方法 |
| 7.2.1 四阶离散方法 |
| 7.2.2 六阶离散方法 |
| 7.3 数值实验 |
| 第八章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表(录用)论文情况 |
（10）三维热传导方程的高精度有限差分方法（论文提纲范文）
| 1 引言 |
| 2 四阶精度差分格式 |
| 3 格式的稳定性分析 |
| 4 数值算例 |
| 5 结论 |
四、三维抛物型方程的一个新的高精度显式差分格式（论文参考文献）
- [1]线性双曲型方程的高精度紧致差分格式[D]. 韩俊茹. 宁夏大学, 2019(02)
- [2]解三维抛物型方程的一个高精度显式差分格式[J]. 詹涌强,谭志明. 数学的实践与认识, 2017(11)
- [3]求解扩散方程的高精度显式紧致差分格式[J]. 杨晓佳,王燕. 河北大学学报(自然科学版), 2016(02)
- [4]解三维抛物型方程的一个新的高精度显格式[J]. 马明书. 应用数学和力学, 1998(05)
- [5]几类偏微分方程数值解的基于POD方法的降维高阶紧差分算法研究[D]. 徐保邹. 三峡大学, 2020(02)
- [6]抛物问题的显—隐有限差分区域分解并行算法[D]. 王婷. 山东大学, 2008(01)
- [7]偏微分方程迭代并行解法与网格优化方法[D]. 杭旭登. 中国工程物理研究院, 2004(01)
- [8]一维抛物型方程的样条子域精细积分（SSPI）隐格式[J]. 刘利斌,刘焕文. 数值计算与计算机应用, 2008(02)
- [9]若干非线性发展方程组的数值解法研究[D]. 廖锋. 南京航空航天大学, 2018(01)
- [10]三维热传导方程的高精度有限差分方法[J]. 武莉莉,祁应楠. 数学的实践与认识, 2017(20)