一、一类半线性抛物方程初值问题解的爆破性质（论文文献综述）
王宇彤[1]（2019）在《带非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性》文中指出本文研究了带有不同非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性,主要考虑两类分别含有不同的耗散机制的方程.第一类为拟抛物方程,如半线性拟抛物方程和广义BBM方程.对于半线性拟抛物方程,我们关注了解的适定性以及方程中出现的Fujita指标与初值的关系.对于广义BBM方程,在大初值的情形下,方程含有的热扩散项与非线性项的竞争机制是我们主要研究的问题和面对的困难,同时我们还关注了方程在非零常状态下大扰动解表现出来的双曲特性.第二类方程是各向异性退化抛物方程,我们分别考虑了带退化扩散项的广义BBM方程以及在流体和磁场中都在同一个方向上退化扩散的磁流体方程组.由于耗散机制的退化,在某些方向上无法看到粘性效果,这是我们面对的主要困难.我们将分别考虑这两类方程的Cauchy问题的解的适定性和衰减性态等.具体内容如下:第一章为绪论,我们介绍了在本文中大量用到的Green函数方法.接着介绍了本文中考虑的三类方程:半线性拟抛物方程,广义BBM方程和磁流体方程组的物理背景,研究历史和已有的工作,最后陈述了本文研究的问题和主要结果.第二章中,我们研究了多维空间中一类半线性拟抛物方程在小初值情况下解的整体存在性和逐点估计.首先利用频域分解的方法,得到了 Green函数的逐点估计,同时对在方程变形中出现的非局部化算子进行了处理.接着,采用[76]中提出的整体迭代法,不需要证明局部解的存在性,而是利用解的衰减性质直接得到了整体经典解的存在唯一性和衰减估计.在这个基础上,我们又利用Green函数得到了解的逐点估计,并给出了方程解存在的Fujita指标的范围.最后,我们考虑初值所在空间与Fujita指标的关系,通过定义初值在某些负指数Sobolev空间,扩大了 Fujita指标的范围,即扩大了解存在的范围并对应有更好的衰减.就作者所知,目前已有很多文献中提到过负指数空间会对解的衰减产生影响,但尚无结果提到负指数空间对解的范围产生的影响.第三章中,我们考虑了广义BBM方程在三维空间中的Cauchy问题在非零常状态附近大扰动解的整体存在性,衰减估计以及逐点估计.我们主要面临的困难有:首先,大扰动失去了小性,使得我们不再能够利用先验估计等假设;其次,方程带有非局部化算子,使得我们没有像带粘性的Burgers方程一样的最大模原理;同时我们还有非线性项无法被控制的困难.本章分为三个部分,第一部分中,通过构造Cauchy收敛列的方法得到了解的局部存在性.接着,利用经典的Fourier方法,得到解的Green函数的逐点估计,并对方程做了变换,利用新的方程解的L2有界来导出原方程的解的H2有界,从而通过Sobolev嵌入定理得到解的L∞有界性.利用这一有界性,可以提高解本身的正则性,再结合局部解的存在性从而得到解的整体存在性.第二部分,考虑了解的衰减估计,此时,用通常的长短波分解的方法已不再可行,为此,我们利用了新的方法,利用与时间相关的时频分解,将解分成两部分后分别用Green函数和精细能量估计进行处理,得到了解的Hs衰减估计.第三部分考虑了方程大扰动解的逐点估计,在缺少了小扰动的小性的情况下,我们充分利用了已经得到的解的L∞有界和衰减,利用时间的衰减作为小性的替代,克服了这一困难.从以上逐点估计中可以更清晰地看到解的大时间行为,我们发现方程的解在具有抛物方程性态的同时,还表现出了双曲的特性.在零状态下的扰动看不到这种双曲性态,而非零常状态情况下的扰动可以让我们看到,方程的解在扩散的同时,其主体又将沿着某一条与非零常状态相关的直线移动,并且在沿着这条直线的方向上衰减速度最慢.在第四章中,我们研究了带有退化扩散项的广义BBM方程在小扰动情况下解的整体存在性和衰减性态.我们面临的主要困难在于扩散项的退化导致在某一个方向上没有粘性效应,也不再满足Shizuta-Kawashima条件,因而通常抛物方程的研究方法在这里并不适用.为此,我们充分借助了其他方向上的粘性效果转化为阻尼作用,证明了方程解的整体存在性及衰减.本章首先通过迭代的方法得到了局部存在性.接着在进行局部解延拓时,先得到了解的Green函数估计,再利用先验假设和能量估计的方法,将非线性部分分成两个方向进行处理,在有粘性效应的切向上利用粘性项控制,在退化的法向上则利用分部积分等,得到了解在Hs空间中的有界性.最后,在研究解的衰减情况时,采用了高低频分解的办法,切向低频的部分利用Duhamel原理以及各向异性空间的不等式技巧,切向高频部分则利用Poincaré-like不等式及能量估计,从而得到了小扰动解的整体存在性和衰减估计.第五章中,我们研究了带有退化扩散项的磁流体力学方程组（MHD方程组）在小扰动情况下Cauchy问题的解的整体存在性和大时间行为.此时除了扩散项的退化带来的困难之外,方程组相较于方程的复杂性也使得难度有进一步的增加.为此,首先我们利用Duhamel原理,证明通过方程构造的映射为压缩映射,利用不动点原理得到了解的局部存在性.接着,为了证明解的存在性,我们主要分为三个步骤进行考虑.首先,在先验假设的前提下,借助能量估计的手段,并利用方程的对称性,使得流体方程和磁场方程在处理之后相加可以部分抵消,从而先得到了解的Hs有界性.接着在进行解的衰减估计时,利用频域分解的办法,在低频部分利用Green函数的办法,并借助大量各向异性空间的不等式技巧进行处理,在高频部分时则仍旧利用Poincaré-like不等式及能量估计得到了解的Hs衰减性态.最后通过类似的方法得到了解的L∞衰减估计.这样便封闭了先验估计,再利用经典的连续性方法便可以将局部解延拓至整体,从而得到解的整体存在性和大时间的衰减行为.
郑攀[2]（2014）在《几类非线性抛物方程和Keller-Segel趋化模型解的定性分析》文中研究指明本文讨论几类来源于物理学、化学、生物学等其它应用研究领域的非线性抛物方程（组），其主要内容包括两部分：第一部分为第二至第四章，探究几类非线性抛物方程（组）解的局部化、全局爆破、单点爆破、完全爆破、Fujita临界指数、爆破速率、第二临界指数、长时间渐近行为、生命跨度、有限时间熄灭以及衰减估计;第二部分为第五章，讨论一类来自生物的带有Logistic源的拟线性抛物-椭圆的Keller-Segel趋化模型解的全局有界性和有限时间爆破.全文具体内容安排如下：第一章,绪论.首先介绍所研究问题的实际背景和发展状况，然后陈述本文的主要研究内容.第二章,考虑一类带有强非线性源的双重退化抛物方程的Cauchy问题.首先利用自相似方法、迭代方法、比较原理和抛物正则化的方法,讨论了该问题解的局部化性质;其次在一定条件下,使用反正法证明了该问题对任意紧支集初值的解都会全局爆破.紧接着,在一些适当假设条件下,研究了该问题的径向单调递减解的单点爆破以及给出在爆破点附近的解的上界估计;最后,在一些特殊的条件下,使用交集比较原理和自相似方法,讨论了该问题解的完全爆破和完全爆破时间关于初值的稳定性.第三章,首先讨论一类具有局部化源的多方过滤方程的Cauchy问题,通过构造各种不同形式的自相似上下解以及使用能量方法,得到了该问题的Fujita临界指数和整体存在临界指数,而且在一些附加条件下还研究了爆破集与爆破速率估计.接着考虑了一类带有非齐次密度和源的退化抛物方程的Cauchy问题,通过构造自相似解，利用上、下解方法和凸方法建立了第二临界指数，研究了整体解的大时间渐近行为,而且还给出了爆破解的生命跨度估计.第四章,首先考虑一类具有非局部源和内部吸收项的多方过滤方程的初边值问题,基于Lp-积分估计方法、Gagliardo-Nirenberg不等式技巧和比较原理,得到了该问题解在有限时间熄灭的性质,并给出了熄灭解的精确的衰减估计.其次,讨论了一类带有非局部源的非线性抛物方程组的初边值问题,利用能量方法和比较原理,给出了该问题解在有限时间熄灭的充分条件.第五章,研究了一类带有Logistic源和齐次Neumann边界条件的拟线性抛物-椭圆的Keller-Segel趋化模型,首先利用标准的Moser-Alikakos迭代方法来得到了该模型解的全局有界性.其次使用能量方法来给出该模型解在有限时间爆破的充分条件．
霍冠泽[3]（2020）在《求解若干非线性抛物方程的B方法研究》文中指出B方法是近年发展起来的数值求解非线性抛物型偏微分方程中爆破解（b1ow-up so-1ution）的一种高效算法.2015 年,B 方法由 Beck 等[13]提出,旨在求解具有爆破现象的二阶非线性抛物方程,因而以爆破（blow-up）的英文首字母命名.注意到在临近爆破时间时,非线性抛物方程的解具有较大的变化率和数值,其相对于空间导数项对解的扰动是占优的,因而B方法在设计时借助常微分方程理论中常用的变易常数方法,在抽象空间先精确求解对爆破现象起重要作用的非线性常微分方程,再利用变易常数方法将对解的爆破行为影响较小的空间导数部分引入数值格式设计.B方法在设计的过程中充分考虑了解的几何性质,是对传统时间离散格式的改进,可以认为是一种特殊的保持解的几何结构的数值方法.本文主要应用B方法数值求解具有爆破解的四阶非线性抛物方程、二阶对流反应扩散方程和具有猝灭解的二阶非线性抛物方程这三类问题,针对每个具体问题构造相应的数值求解格式,分析数值解的存在唯一性和局部截断误差,并进行数值实验验证所得结论.本文结构如下:第一章,首先对非线性抛物方程的背景和研究近况做简要介绍,概述B方法的提出和发展过程;其次对本文研究的三个数学模型的物理背景及研究现状进行概述;最后,介绍B方法数值格式的构造方法.第二章,首先使用B方法求解具有爆破解的四阶非线性抛物方程,推导相应B方法的多种数值格式,并以其中VCFE格式为例分别给出了 B方法数值解的局部截断误差和相应传统方法（向前Euler法）数值解的局部截断误差,进而通过比较证明了 B方法的局部截断误差小于传统方法的局部截断误差.用B方法的VCBE格式离散四阶非线性抛物方程,得到一族四阶椭圆方程,我们应用上下解理论证明了此方程解的存在唯一性,进而得到VCBE格式数值解的存在唯一性.最后,通过数值算例验证了求解这一问题的B方法数值解的误差在相同条件下小于相应传统方法数值解的误差.第三章,我们运用B方法求解具有爆破解的二阶对流反应扩散方程,推导相应的B方法的多种数值计算格式,以VCFE格式为例,证明了 B方法的局部截断误差小于相应传统方法的局部截断误差.用B方法的VCBE格式离散对流反应扩散方程,得到一族椭圆方程,应用上下解理论证明了此方程解的存在性,进而得到VCBE格式数值解的存在性.并通过数值算例验证了在时间步长相同的情况下,B方法数值解的误差比相应传统方法的数值解误差更小.第四章,将B方法推广到具有猝灭解的二阶非线性抛物方程.首先,我们仍然先精确求解方程的非线性部分,再利用变易常数法的思想,引入方程的线性部分（空间导数部分）,进而推导出B方法的多种数值格式.其次,以VCFE格式为例,证明B方法的局部截断误差小于相应传统方法的局部截断误差,并用B方法的VCBE格式离散二阶非线性抛物方程,得到一族椭圆方程,应用上下解理论证明了此方程解的存在性,进而得到VCBE格式解的存在性.最后,通过数值实验使用B方法对猝灭时间在数值上进行估计,验证B方法对于具有猝灭解的方程数值求解的适用性.第五章,我们对本文工作进行了总结.
杨露[4]（2017）在《关于非线性发展方程一些问题的研究》文中研究指明非线性发展方程是从力学、流体力学、物理、化学、生物学、人口动力学等大量实际问题中提出来的,所以这些方程都有重要的实际背景与广泛应用,也是非线性偏微分方程体系中最重要的研究方向之一.这类方程的研究,不论是从理论方面,还是数值计算方面,都能帮助我们认识自然学科中随时间而演变的状态或过程.本文主要研究带有非局部源的半线性拟抛物方程和带有对数源项的半线性阻尼波动方程的初边值问题弱解存在性以及一类粘弹性波动方程和半线性拟抛物方程解的爆破时间的上、下界.主要结果如下:·研究了一类带有非局部源的半线性拟抛物方程的初边值问题.首先在J（u0）<d和J（u0）= d两种情形下,利用位势井结合Galcrkin方法对整体弱解的存在性进行研究并得到相关推论,进而给出解的指数渐近行为以及解的爆破准则,最后给出解的整体存在性和不存在性的门槛结果.在J(u0>d情形下,首先得到比较原理,继而给出弱解的整体存在性以及抽象爆破准则.·研究了带有对数源项的半线性阻尼波动方程的初边值问题.首先,我们利用新的方法引进了一族新的位势井,然后运用这族新位势井理论得到该问题的整体解的存在性定理.其次,在解的存在性基础上,证明了在新定义的位势井族的流之下的不变性,得到解的真空隔离性质.最后,利用积分估计方法得到解的能量衰减估计,使得能量以指数形式趋于零.·研究了一类粘弹性波动方程解的爆破时间的下界和半线性拟抛物方程解的爆破时间的上、下界.在解爆破的基础上,利用合适的辅助函数和一阶微分不等式以及Sobolev型不等式等,得到上述两类方程的爆破时间的上、下界估计.
周森[5]（2016）在《几类抛物型方程（组）性质的研究》文中研究说明本文研究抛物型方程（组）的几种性质,包括解的局部存在性和唯一性,解的整体存在性,解的有限时刻爆破,解的生存跨度以及解的有限时刻熄灭等.第一章研究具有非齐次非局部边界条件的抛物型方程组解的整体存在和有限时刻爆破性质.这里Ω是RN（N≥1）中具有光滑边界的有界区域,参数p,q,r>0. f（x,y）,g（x,y）是定义在（?）Ω×Ω上的非负函数.初值函数（uo（x）,v0（x））∈C2+α（Ω）,其中α∈（0,1）,u0（x）,vo（x）≥0,（?）0,并且满足相容性条件.我们运用压缩映射和上下解的方法证明了如下结果：（i）假设p,q≤1,r≤1.对任意非负初值（u0,v0）,解（u,v）是整体存在的.（ii）假设p,q>1.如果r>1且ho|Ω|>Kmin{p,q}那么对于适当大的初值（u0,vo）,解（u,v）在有限时刻爆破.（iii）假设p>1>q或q>1>p.如果pq<1,r≤1,并且对任意x∈aΩ,有（?）Ωf（x,y）dy≤1,fΩg（x,y）dy≤1,那么对适当小的初值函数（u0,v0）,解（u,v）是整体存在的.（iv）假设p>1>q或者q>1>p.如果pq>1,r≥1,并且对任意x∈aΩ,有（?）Ω（x,y）dy≥1,（?）Ωg（x,y）dy≥1,那么对适当大的初值（u0,v0）,解（u,v）在有限时刻爆破.第二章研究具有非线性非局部边界条件的反应扩散方程解的存在性和定性性质.其中参数p,q,l>0,Ω是RN（N≥1）中具有光滑边界的有界区域,v是边界（?）Ω上的单位外法向量.c（x,t）是定义在Ω×[0,∞)上的正连续有界函数.k（x,y,t）是定义在（?）Ω×Ω×[0,∞)上的正连续有界函数.初值u0（x）∈C1（Ω）,并且u0（x）≥0,≠0满足相容性条件：当x∈（?）Ω时,有（?）=（?）Ωk（x,y,0）uOl（y）dy.我们运用上下解的方法证明了如下结果：（i）假设p+q≤1,1≤1.对任意非负初值u0,解是整体存在的.（ii）假设p+q<1,1>1.对适当小的初值u0,解是整体存在的.（iii）假设p+q>1,1>0.对任意正的初值u0,解在有限时刻爆破.（iv）假设min（p,q）>1,l>0.对适当大的初值u0,解在有限时刻爆破.第三章研究非线性抛物型方程组解的生存跨度,其中常数p,q>0,Ω是RN（N≥1）中具有光滑边界aQ的有界区域.入是正参数,函数φ（x）和φ（x）是Ω上的非负连续函数.我们借助于常微分方程的技巧和Kaplan的方法证明了如下结果：假设p,q>0.如果初值φ,φ∈C（Ω）满足如下条件：那么（i）如果qMφ>pMφ,有（ii）如果qMφ<pMφ,有第四章考虑反应扩散方程的解的熄灭性质：其中0<m<1,p,q>0.Ω是RN（N≥1）中的有界光滑区域,初值u0（x）∈ L∞（Ω）（?）W01,1+m（Ω）且u0（x）≥0,≠0.我们运用Lp范数分析法和常微分方程的技巧以及上下解的方法证明了下列结果：（i）假设p+q<m.对任何非负初值u0,最大解U（x,t）不会在有限时刻熄灭.（ii）假设p+q=m,aμm,q>A1.对任意非负初值u0,最大解U（x,t）不会在有限时刻熄灭,其中aμm,q在后面文中定义.（iii）假设p+q>m.（a）当N>2时,如果初值u0适当小,解在有限时刻熄灭.此外还有,若（N-2）/（N+2）<m<1,若0<m<（N-2）/N,其中C1,C2是常数,在后文中定义.（b）当N=1,2时,如果初值u0适当小,解在有限时刻熄灭.此外还有,（?）其中C3是常数,在后文中定义.
李彬[6]（2019）在《输送网络模型解的大时间行为》文中认为输送网络,如血管、叶脉以及神经通路等,是生命系统的重要组成部分。为了能更好地理解输送网络的形成及其演化过程,科学家们利用偏微分方程建立了多种数学模型,而这些模型的数学理论研究已成为当前偏微分方程研究中的一个热点课题。本文主要研究两类偏微分方程生物输送网络模型解的存在性、爆破准则、一致有界性以及大时间行为等。研究内容与主要结果如下:1.研究了三维流体输送网络模型的Cauchy问题。具体而言,首先得到了强解的局部存在性和爆破准则;其次,在小初值情况下建立了强解的全局存在性以及一致有界性。2.研究了流体输送网络模型的初边值问题。具体而言,首先在二维和三维情况下利用椭圆估计和时空导数交换法建立了经典小解的一致有界性;其次,在一维情况下利用弱大解的一致有界性证明了解在有限或无限时间熄灭;最后,在二维和三维情况下利用经典小解的一致有界性证明了解具有相同的性质。3.探讨了扩散系数和活化参数对流体输送网络模型经典小解性质的影响。具体而言,首先建立了简化系统的初边值问题经典小解的全局存在性以及时间衰减估计;其次得到了当扩散系数D2趋于无穷时原始初边值问题的解收敛于简化初边值问题的解的速率。4.研究了一类离子输送网络模型的初边值问题解的性质。具体而言,在小初值情况下,利用先验衰减假设和连续性方法得到了解的全局存在性、一致有界性以及时间衰减估计。
王娇娇[7]（2019）在《一类高阶方程解的整体存在和爆破》文中进行了进一步梳理本文研究了一类高阶方程的解的性质,包括弱解的存在唯一性,解的爆破,熄灭及非熄灭性质.本文的内容共有五章.在第一章中,我们简要介绍了本文研究的所有问题及结论.在第二章中,我们研究了等温快速相分离过程中出现的具有惯性项的粘性Cahn-Hilliard方程的初边值问题,由Galerkin方法和紧性定理,得到了广义解的整体存在性.为了得到解的爆破性,我们建立了一个新的泛函并考虑Bernoulli型方程的解.在一些估计的基础上,利用二阶常微分不等式的一个引理,得到了初边值问题解的爆破性.在第三章中,我们研究了三元油-水-表面活性剂体系相变动力学中出现的含惯性项的粘性Cahn-Hilliard型方程在一维空间中的初边值问题,得到由该问题生成的动力系统在相空间H3（Ω）× L2（Ω）中存在一个整体吸引子.在第四章中,我们在有界区域内考虑一类具对数的p-双调和非线性抛物方程的初边值问题,得到了相对完善的三个结论:当2<p<q<p（1+4/n）及u0∈W+时,我们得到了弱解的整体存在性;当2<p<q<p（1+4/n）及u0∈W-时,我们得到了弱解在有限时间内爆破;当max{1,2n/n+4}<p≤2时,我们分别得到了弱解的爆破,熄灭及非熄灭结果.在第五章中,我们考虑了六阶退化对流Cahn-Hilliard方程的Cauchy问题,并研究解的存在性.为了证明古典解的存在性,主要困难是由方程在x1方向退化和非线性项△x’2A（u）造成的.我们所用的方法是长短波法和频率分解法.为了估计低频部分,我们使用Green函数法;而对于高频部分,我们使用能量估计和Poincare-like不等式.使用标准的连续性方法,我们首先建立局部解的存在性,然后基于解的一致估计得到整体解的存在性.
李玉环[8]（2006）在《关于非线性抛物方程（组）解的性质的研究》文中进行了进一步梳理非线性抛物方程（组）涉及的大量问题来自于物理、化学、生物和经济等领域的数学模型,具有强烈的实际背景;另一方面,在非线性抛物方程（组）的研究中,对数学也提出了许多挑战性的问题。因此,关于非线性抛物方程（组）解的整体存在与爆破等问题的研究已成为非线性偏微分方程理论研究中的一个重要方向。本文主要研究几类非线性抛物方程（组）初值或初边值问题解的定性性质:解的整体存在和有限时刻爆破,整体解的渐近行为,爆破解的生命区间等。本文主要内容安排如下。第一章考虑一类退化抛物方程ut = up u + uq的柯西问题。通过构造一类退化抛物方程的自模解,利用上下解方法和凸方法,得到了该问题的一个第二临界指数。具体地,设q > p + 1 + N2,a = q?p2?2,则当a∈（0,a）,u0∈Φa时,问题的解在有限时刻爆破;当a∈（a,N）,u0 =λφ,φ∈Φa时,问题的解整体存在。第二章是第一章所讨论方程的继续。进一步研究退化抛物方程ut =up u + uq初始函数在无穷远处具有某种衰减的柯西问题,利用凸方法、常微分方程和构造特殊函数方法,研究了解的生命区间估计和大时间渐近行为。第三章我们考虑一类具有齐次Dirichlet边界条件的退化抛物方程组ut =ul + up1vq1,vt = vm + up2vq2初边值问题,证明了该方程组解的整体存在及在有限时间发生爆破与初始值、区域Ω的大小和p2q2 - （l - p1）（m - q2）的符号有关。第四章我们考虑带有非局部源项的半线性抛物方程ut ? ?u = uq 0t up（s）ds的初边值问题问题。在运用有关局部可解性和比较原理的基础上,通过构造一个特殊的整体上解,证明了初值充分小时,解是整体存在的。同时,我们还考
钟光胜[9]（2016）在《几类非线性抛物方程（组）解的性质研究》文中研究指明非线性抛物方程作为偏微分方程中的一类重要方程,在物理学、化学和生物学等学科都有其体现,在渗流理论、相变理论、图象处理等领域也都有其具体的数学模型.因此,对非线性抛物方程解的性质研究可解释诸多的自然现象,而且也能丰富偏微分方程的理论.本文主要研究几类非线性退化抛物方程（组）解的性质,讨论了具有不同源项的抛物方程（组）在不同边界值条件下解的局部存在性、解的整体存在性、解在有限时刻爆破及解的渐近行为.全文分为八章:第一章概述本文所研究的背景及其相关工作,并简要介绍了本文的主要内容.第二章研究了一类源项为局部型与范数型乘积的退化抛物方程在齐次Dirichlet边界条件下的解的性质.运用正则化方法证明了非负弱解的局部存在性,根据比较原理得到了解在有限时刻爆破的充分条件,并建立了爆破解的精确爆破速率估计.第三章研究了一类具范数型源项的非线性退化抛物方程组在齐次Dirichlet边界条件下解的整体存在性和有限时刻爆破的问题.利用上下解方法和比较原理,建立了解整体存在和有限时刻爆破的准则.第四章应用与上章类似的方法和技巧,研究了一类n元退化抛物方程组解的问题,它可看作是关于单个方程讨论的推广,并得到了临界爆破指标.第五章研究了一类具有非局部化源和非局部非线性边界条件的非散度型退化抛物方程解的爆破问题.讨论了方程的扩散系数、边界条件中的权函数及非线性指标对方程解性质的影响,给出了解整体存在和在有限时刻爆破的条件.对特殊情形,建立了爆破解的爆破速率估计.第六章将上一章的结果推广到方程组的情形.类似单个方程的研究,通过构造上下解,证明了非负解整体存在和不存在的结果,并给出了特殊情形下爆破速率的估计.第七章,研究了一类带范数型源和非局部边界条件的退化抛物方程组解爆破和整体存在的条件.证明了边界条件上的加权函数对解爆破与否起到了关键的作用,同时给出了爆破速率估计.在本文的最后一章,研究了一类具pL-范数反应项的退化抛物方程组在正边值条件下解的爆破问题.确定了非负解的爆破准则和整体存在性.结果表明,在确定解的爆破中,正的边界值起到了关键作用.
李慧玲[10]（2006）在《几类抛物型方程解的定性研究》文中指出当前非线性偏微分方程研究领域中的一个重要的研究方向，就是运用偏微分方程来研究物理、化学、生物和经济等领域中的非线性现象。本文考虑三方面的问题：其一，考察一类快速扩散方程弱解的正则性，主要是解的全局Holder连续性与全局Holder模估计；其二，考虑一个交错扩散捕食模型（强耦合的抛物型方程组）解的整体存在性；其三，讨论几类非线性抛物型方程解的爆破性质，包括解整体存在的条件（即解的临界爆破指数）、爆破速率估计以及爆破点集的刻画等内容。 第一章叙述与本文相关的研究工作的背景与发展概况，并概述本文的主要工作。 第二章考察一类快速扩散方程弱解的正则性，这个方程的特点是其系数仅要求为可测。通过引入广义De Giorgi类，并重新定义弱解（弱上下解），建立了广义De Giorgi上下类与弱上下解之间的关系，再利用测度论方法，证明了该方程的弱解在整个区域上是一致Holder连续的，并得到了弱解的全局Holder模估计。 第三章研究一个交错扩散捕食模型（强耦合的抛物型方程组）解的适定性，运用有限差分方法与熵不等式技巧，证明了在高维空间上该模型有一个整体存在的弱解，同时还说明了这个解是非负的。 第四章探讨一个定义在半空间上且带有两个非线性反应项和两个非线性边界条件的抛物型方程组，通过引入一组合适的不等式，并借助于精细的scaling（尺度变换）分析和迭代，我们导出了爆破解的爆破速率估计和爆破点集，特别是对一维空间的情况，我们得到了有关于爆破速率估计和爆破点集刻画的完整结果。 第五章考虑一个拟线性抛物型方程正解的爆破性质，通过构造精细的上下解，我们首先确立了解的临界爆破指数；然后应用比较原理给出了爆破解的爆破点集；最后，借助于细致的尺度变换分析估计了一个特殊情形下爆破解的爆破速率。 运用与第五章类似的方法，第六章对一个互助模型确立了临界爆破指数以及某些条件下解的爆破速率的下界估计。 第七章研究一类局部源与非局部源共存的抛物型方程组，主要考察局部源和非局部源对解的爆破性质的影响，借助于寻求解的两个分量之间的精确关系、利用研究方程式的基本方法和部分已知结果，我们得到了解的爆破模式。进而，对局部源与非局部源各自的影响
二、一类半线性抛物方程初值问题解的爆破性质（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一类半线性抛物方程初值问题解的爆破性质（论文提纲范文）
（1）带非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 历史背景及研究现状 |
| §1.1.1 Green函数 |
| §1.1.2 半线性拟抛物方程 |
| §1.1.3 广义BBM方程 |
| §1.1.4 磁流体方程(MHD方程) |
| §1.2 本文结构及主要结论 |
| §1.3 记号约定和预备引理 |
| 第二章 半线性拟抛物方程整体解的存在性和大时间行为 |
| §2.1 问题和主要结果 |
| §2.2 Green函数的逐点估计 |
| §2.3 经典解的存在性 |
| §2.4 非线性问题解的逐点估计 |
| §2.5 方程初值与Fujita指标的关系 |
| 第三章 广义BBM方程Cauchy问题大扰动解大时间行为 |
| §3.1 问题和主要结果 |
| §3.2 解的整体存在性 |
| §3.2.1 解的局部存在性 |
| §3.2.2 Green函数的逐点估计及L~p衰减估计 |
| §3.2.3 解的L~p有界性估计和整体存在性 |
| §3.3 解在H~s空间中的衰减估计 |
| §3.3.1 低频部分的H~s衰减估计 |
| §3.3.2 高频部分H~s衰减估计 |
| §3.4 大扰动解的逐点估计 |
| §3.4.1 初值部分的估计 |
| §3.4.2 非线性部分的估计 |
| 第四章 带退化扩散项的广义BBM方程Cauchy问题解的大时间行为 |
| §4.1 问题和主要结果 |
| §4.2 经典解的局部存在性 |
| §4.3 经典解的整体存在性及衰减估计 |
| §4.3.1 解的有界性估计 |
| §4.3.2 解的H~s衰减估计 |
| §4.3.3 解的L~∞衰减估计 |
| 第五章 带退化扩散项的MHD方程组Cauchy问题解的大时间行为 |
| §5.1 问题和主要结果 |
| §5.2 经典解的局部存在性 |
| §5.3 经典解的整体存在性和衰减估计 |
| §5.3.1 解的有界估计 |
| §5.3.2 解的H~s衰减估计 |
| §5.3.3 解的L~∞衰减估计 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位论文期间发表或录用的学术论文目录 |
（2）几类非线性抛物方程和Keller-Segel趋化模型解的定性分析（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 1 绪论 |
| 1.1 问题的研究背景 |
| 1.1.1 非线性抛物方程解的局部化、临界指数与熄灭现象 |
| 1.1.2 Keller-Segel 趋化模型解的全局有界性与有限时间爆破 |
| 1.2 本文内容介绍 |
| 2 一类双重退化抛物方程解的局部化与爆破 |
| 2.1 研究背景与主要结果 |
| 2.2 一些引理 |
| 2.3 局部化和局部化半径估计 |
| 2.3.1 局部化 |
| 2.3.2 严格局部化半径估计 |
| 2.4 全局爆破 |
| 2.5 单点爆破 |
| 2.6 完全爆破和完全爆破时间的稳定性 |
| 2.6.1 完全爆破 |
| 2.6.2 完全爆破时间的稳定性 |
| 3 具有非齐次密度的退化抛物方程的临界指数与爆破性质 |
| 3.1 一类具有局部化源的多方过滤方程的 Fujita 临界指数与爆破 |
| 3.1.1 问题的提出 |
| 3.1.2 Fujita 临界指数与爆破集 |
| 3.1.3 爆破速率 |
| 3.2 一类双重退化抛物方程的第二临界指数和生命跨度 |
| 3.2.1 问题的提出 |
| 3.2.2 爆破条件 |
| 3.2.3 整体存在与大时间渐近行为 |
| 3.2.4 生命跨度 |
| 4 非线性抛物方程解的熄灭与衰减估计 |
| 4.1 一类多方过滤方程解的熄灭与衰减估计 |
| 4.1.1 问题的提出 |
| 4.1.2 一些引理 |
| 4.1.3 线性吸收情形 r=1 |
| 4.2 一类具有非局部源的拟线性抛物方程组的熄灭 |
| 4.2.1 问题的提出 |
| 4.2.2 主要结果的证明 |
| 5 拟线性抛物-椭圆趋化模型解的全局有界性和爆破 |
| 5.1 研究背景与主要结果 |
| 5.2 一些引理 |
| 5.3 全局有界性 |
| 5.4 有限时间爆破 |
| 6 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| A. 作者在攻读博士学位期间完成的论文目录 |
| B. 作者在攻读博士学位期间参加科研项目情况 |
| C. 作者在攻读博士学位期间获奖情况 |
（3）求解若干非线性抛物方程的B方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 模型问题简介 |
| 1.2.1 具有爆破解的四阶非线性抛物方程 |
| 1.2.2 具有爆破解的二阶对流反应扩散方程 |
| 1.2.3 具有猝灭解的二阶非线性抛物方程 |
| 1.3 B方法介绍 |
| 第2章 求解一类具有爆破解的四阶抛物方程的B方法 |
| 2.1 模型问题及其B方法数值格式 |
| 2.2 截断误差分析 |
| 2.3 数值解的存在唯一性 |
| 2.3.1 数值解的存在性 |
| 2.3.2 数值解的唯一性 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 算例1 |
| 2.4.2 算例2 |
| 2.4.3 算例3 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 求解一类具有爆破解的对流反应扩散方程的B方法 |
| 3.1 模型问题及其B方法数值格式 |
| 3.2 截断误差分析 |
| 3.3 数值解的存在性 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 算例1 |
| 3.4.2 算例2 |
| 3.4.3 算例3 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 求解一类具有猝灭解的二阶非线性方程的B方法 |
| 4.1 模型问题及猝灭解定义 |
| 4.2 B方法的数值格式 |
| 4.3 截断误差分析 |
| 4.4 数值解的存在性 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.5.1 算例1 |
| 4.5.2 算例2 |
| 4.6 本章小节 |
| 第5章 总结 |
| 参考文献 |
| 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（4）关于非线性发展方程一些问题的研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 概述 |
| 1.1 绪论 |
| 1.2 带有非局部源的半线性拟抛物方程 |
| 1.3 具有对数源项的半线性阻尼波动方程 |
| 1.4 粘弹性波动方程 |
| 1.5 结构安排 |
| 第二章 一类具有非局部源的半线性拟抛物方程初边值问题的整体弱解存在性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 主要定理 |
| 2.3 基本引理 |
| 2.5 临界初始条件下定理的证明 |
| d下定理的证明'>2.6 初始条件J(u_0)>d下定理的证明 |
| 2.6.1 比较原理 |
| 2.6.2 定理2.13、定理2.14的证明 |
| 第三章 一类具有对数源项的半线性阻尼波动方程初边值问题的整体弱解存在性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 主要定理 |
| 3.3 不变集合和解的真空隔离 |
| 3.4 主要定理的证明 |
| 第四章 一类非线性粘弹性波动方程和半线性拟抛物方程解的爆破时间的上、下界 |
| 4.1 一类非线性粘弹性波动方程解的爆破时间的下界 |
| 4.1.1 引言和主要结论 |
| 4.1.2 基本引理 |
| 4.1.3 定理4.4的证明 |
| 4.2 一类半线性拟抛物方程解的爆破时间的上、下界 |
| 4.2.1 引言和主要结论 |
| 4.2.2 基本引理 |
| 4.2.3 定理4.6、定理4.7、定理4.8的证明 |
| 第五章 问题与展望 |
| 参考文献 |
| 攻博期间发表和撰写的学术论文 |
| 致谢 |
（5）几类抛物型方程（组）性质的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 前言 |
| 0.1 具有非局部边界条件的抛物型方程研究近况 |
| 0.2 抛物型方程(组)生存跨度的研究近况 |
| 0.3 抛物型方程熄灭性质的研究近况 |
| 第1章 具有非齐次非局部边界条件的抛物型方程组的整体存在和爆破性质 |
| 1.1 比较原理和解的局部存在性 |
| 1.2 p,q≤1时解的整体存在性存在性 |
| 1时解的有限时刻爆破'>1.3 p,q>1时解的有限时刻爆破 |
| 1>q或q>1>p时解的整体存在或者有限时刻爆破'>1.4 p>1>q或q>1>p时解的整体存在或者有限时刻爆破 |
| 第2章 一类具有非线性非局部边界条件的反应扩散方程解的爆破性质 |
| 2.1 比较原理和解的局部存在性 |
| 2.2 解的整体存在性和有限时刻爆破 |
| 第3章 一类半线性抛物型方程组的生存跨度 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 主要结果的证明 |
| 第4章 一类具非线性源快扩散方程解的熄灭行为 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 解的有限时刻熄灭和非熄灭 |
| 4.3 结果的讨论及数值模拟 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间所发表及已完成的论文 |
| 致谢 |
（6）输送网络模型解的大时间行为（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究工作的背景与意义 |
| 1.2 本文的主要贡献与创新 |
| 1.3 本论文的结构安排 |
| 1.4 符号与注释 |
| 第二章 流体输送网络模型的Cauchy问题解的爆破准则和全局存在性 |
| 2.1 引言与主要结果 |
| 2.2 强解的局部存在性和唯一性 |
| 2.3 强解的爆破准则 |
| 2.4 全局存在性和一致有界性 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 流体输送网络模型的初边值问题解的有限或无限时间熄灭性 |
| 3.1 引言和主要结果 |
| 3.2 一些有用的估计和不等式 |
| 3.3 解的一致有界性 |
| 3.3.1 情形:γ ≥1 |
| 3.3.2 情形:γ∈(1/2,1) |
| 3.4 解的有限或无限时间熄灭性(n=1) |
| 3.5 解的有限或无限时间熄灭性(n=2,3) |
| 3.5.1 情形:γ ≥1 |
| 3.5.2 情形:γ∈(1/2,1) |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 流体输送网络模型经典小解对系统参数的依赖性 |
| 4.1 引言与主要结果 |
| 4.2 局部存在性与唯一性 |
| 4.3 定理4.1 的证明 |
| 4.4 定理4.2 的证明 |
| 4.5 定理4.3 的证明 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 离子输送网络模型解的全局存在性和大时间行为 |
| 5.1 引言与主要结果 |
| 5.2 半线性抛物方程解的存在性 |
| 5.3 渐近问题解的全局存在性 |
| 5.3.1 先验衰减假设法 |
| 5.3.2 先验估计 |
| 5.3.3 封闭先验假设以及解的全局存在性 |
| 5.4 主要结论的证明 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（7）一类高阶方程解的整体存在和爆破（论文提纲范文）
| 提要 |
| 详细摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 第二章 具有惯性项的等温粘性Cahn-Hilliard方程的解的一些性质 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 整体解的存在性 |
| §2.3 解的爆破 |
| §2.4 能量衰减估计 |
| 第三章 具有惯性项的六阶Cahn-Hilliard方程的解的一些性质 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 半流及先验估计 |
| 3.2.1 先验估计 |
| 3.2.2 吸收集 |
| 3.2.3 适定性及压缩估计 |
| §3.3 整体吸引子 |
| 第四章 一类具对数的p-双调和非线性抛物方程的解的性质 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 能量泛函J和Nehari泛函I的一些性质 |
| §4.3 弱解的存在性 |
| §4.4 弱解的一些性质 |
| 第五章 六阶退化对流Cahn-Hilliard方程的Cauchy问题 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 一些引理 |
| §5.3 解的局部存在性 |
| §5.4 解的整体存在性 |
| 参考文献 |
| 作者简介及科研成果 |
| 致谢 |
（8）关于非线性抛物方程（组）解的性质的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| 英文摘要 |
| 引言 |
| 第一章 一类退化抛物方程的第二临界指数 |
| 1.1 问题背景 |
| 1.2 预备知识 |
| 1.3 爆破 |
| 1.4 整体存在 |
| 第二章 一类退化抛物方程的生命区间和大时间渐近行为 |
| 2.1 初值不衰减时的生命区间的估计 |
| 2.2 初值衰减时的生命区间的估计 |
| 2.3 大时间渐近行为 |
| 第三章有界区域上一类退化抛物方程组的整体存在性与爆破 |
| 3.1 问题的提出 |
| 3.2 一些辅助命题 |
| 3.3 整体存在 |
| 3.4 爆破结果 |
| 第四章带有梯度项和非局部项的非线性抛物方程解的梯度爆破和整体存在性 |
| 4.1 问题的提出 |
| 4.2 一些引理 |
| 4.3 定理4.1.2，4.1.3，4.1.4 的证明 |
| 创新点 |
| 参考文献 |
| 作者攻博期间发表学术论文及其他成果 |
| 致谢 |
（9）几类非线性抛物方程（组）解的性质研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及现状 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 第二章 一类源项为局部型和范数型乘积的非线性抛物方程解的爆破问题 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 解的整体存在性和有限时刻爆破 |
| 2.4 一致爆破模式 |
| 第三章 一类源项为非线性范数型的抛物方程组解的爆破分析 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 解的整体存在性 |
| 3.4 解在有限时刻爆破 |
| 第四章 一类n元非线性退化抛物型方程组解的爆破问题 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 比较原理 |
| 4.3 解的整体存在 |
| 4.4 爆破结果 |
| 第五章 具非线性非局部边界条件的非散度型退化抛物方程的定性分析 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 比较原理 |
| 5.3 整体存在和有限时刻爆破 |
| 5.4 一致爆破模式 |
| 第六章 具非局部边界条件的非散度型抛物方程组的爆破分析 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 比较原理 |
| 6.3 整体存在性 |
| 6.4 有限时刻爆破 |
| 第七章 具非局部边界条件和范数型源的非线性抛物方程组的爆破分析 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 比较原理 |
| 7.3 整体存在与有限时刻爆破 |
| 7.4 爆破速率估计 |
| 第八章 具正边值条件的非线性抛物方程组的定性分析 |
| 8.1 引言 |
| 8.2 比较原理 |
| 8.3 解的整体存在性 |
| 8.4 解的爆破准则 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表和撰写的学术论文 |
（10）几类抛物型方程解的定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 前言 |
| §1.1 与奇性方程解的正则性相关的研究工作的发展概况 |
| §1.2 与生态模型解的适定性相关的研究工作的发展概况 |
| §1.3 与解的爆破相关的研究工作的发展概况 |
| §1.3.1 局部问题 |
| §1.3.2 局部化问题 |
| §1.4 本文主要工作概述 |
| 第二章 一类快速扩散方程弱解的全局H(o|¨)lder模估计 |
| §2.1 问题的提出与主要结论 |
| §2.2 预备知识 |
| §2.2.1 一些记号及辅助引理 |
| §2.2.2 广义De Giorgi类 |
| §2.2.3 对上解的一些讨论 |
| §2.3 Rescgled迭代 |
| §2.4 方程(2.1.1)弱解的内部正则性 |
| §2.4.1 局部上解的性质 |
| §2.4.2 局部下解的性质 |
| §2.4.3 定理2.1.1的证明 |
| §2.5 方程(2.1.1)弱解的边界正则性 |
| §2.5.1 预备知识 |
| §2.5.2 定理2.1.2的证明 |
| §2.5.3 定理2.1.3的证明 |
| 第三章 一个强交错扩散捕食模型弱解的整体存在性 |
| §3.1 问题的提出与主要结论 |
| §3.2 一些辅助命题 |
| §3.3 逼近问题 |
| §3.3.1 第二次逼近问题(3.3.4) |
| §3.3.2 关于T和h的一致估计 |
| §3.4 定理3.1.1的证明 |
| §3.4.1 极限T,h→0~+ |
| §3.4.2 极限η→0~+ |
| 第四章 半空间上一类半线性抛物型方程组解的爆破行为 |
| §4.1 问题的提出 |
| §4.2 主要结论 |
| §4.3 定理4.2.1的证明 |
| §4.4 定理4.2.2的证明 |
| §4.5 定理4.2.3的证明 |
| §4.6 对一维空间情形的进一步探讨 |
| 第五章 一个拟线性抛物型方程正解的爆破性质 |
| §5.1 问题的提出 |
| §5.2 主要结论 |
| §5.3 解整体存在的条件 |
| §5.4 解在有限时刻爆破的条件 |
| §5.5 爆破点集 |
| §5.6 爆破速率估计 |
| §5.6.1 定理5.2.5的证明 |
| §5.6.2 定理5.2.6的证明 |
| 第六章 一个互助模型的临界爆破指数与爆破速率的下界估计 |
| §6.1 问题的提出 |
| §6.2 主要结论 |
| §6.3 解整体存在的条件 |
| §6.4 解在有限时刻爆破的条件 |
| §6.5 p=s且q=r时爆破速率的下界估计 |
| 第七章 带有非线性局部化源的抛物型方程组解的爆破模式 |
| §7.1 问题的提出 |
| §7.2 主要结论 |
| §7.3 定理7.2.1和定理7.2.2的证明 |
| §7.3.1 定理7.2.1的证明 |
| §7.3.2 定理7.2.2的证明 |
| §7.4 定理7.2.37.2.7的证明 |
| §7.4.1 定理7.2.3和定理7.2.4的证明 |
| §7.4.2 定理7.2.5的证明 |
| §7.4.3 定理7.2.6的证明 |
| §7.4.4 定理7.2.7的证明 |
| 参考文献 |
| 附录一 博士期间完成论文列表 |
| 附录二 致谢 |
四、一类半线性抛物方程初值问题解的爆破性质（论文参考文献）
- [1]带非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性[D]. 王宇彤. 上海交通大学, 2019(06)
- [2]几类非线性抛物方程和Keller-Segel趋化模型解的定性分析[D]. 郑攀. 重庆大学, 2014(02)
- [3]求解若干非线性抛物方程的B方法研究[D]. 霍冠泽. 吉林大学, 2020(01)
- [4]关于非线性发展方程一些问题的研究[D]. 杨露. 西北大学, 2017(03)
- [5]几类抛物型方程（组）性质的研究[D]. 周森. 南京师范大学, 2016(02)
- [6]输送网络模型解的大时间行为[D]. 李彬. 电子科技大学, 2019(04)
- [7]一类高阶方程解的整体存在和爆破[D]. 王娇娇. 吉林大学, 2019(01)
- [8]关于非线性抛物方程（组）解的性质的研究[D]. 李玉环. 四川大学, 2006(03)
- [9]几类非线性抛物方程（组）解的性质研究[D]. 钟光胜. 江苏大学, 2016(08)
- [10]几类抛物型方程解的定性研究[D]. 李慧玲. 东南大学, 2006(05)