一、常微分方程边值问题的一种数值解法（论文文献综述）
黄佳玥[1]（2019）在《常微分方程边值问题的一种数值解法》文中提出常微分方程边值问题在空间科学与工程技术中有着重要的应用。如工程学、天文学、力学、经济学等领域中的大量数学模型,常用常微分边值问题来描述。除了少数特殊类型外,常微分方程边值问题的精确解很难用解析形式来表示,这样寻求用近似方法求得其数值解显得尤为重要。目前常用的数值解法有试射法,有限差分法和有限元等方法。有限差分法和有限元方法需要将微分方程离散化成大型的方程组,当微分方程为非线性方程时,就需要面临很大的困难。本文针对某类可转化为含单未知参数初值问题的常微分方程边值问题,根据边值条件,设置初值方法所需的条件为未知参数作为微分方程的初始条件,转化为含单未知参数的常微分方程初值问题。然后利用某种初值问题的数值解法在一定步长条件下进行运算,由此可以得到节点处函数值的近似值的参数表达式,递推得到另一个边界点的参数表达式。然后利用原来边值问题的定解条件,建立前面设置参数所满足的一元非线性方程,接着通过相应的迭代法解出参数的近似值,即满足边界条件的解的初始条件的近似值。最后直接利用上述迭代结果作为初始条件,再次利用初值解法给出边值问题的数值解。由于本方法建立的一元非线性方程所涉及的函数比较复杂,为了能够有效地求解该方程,必须采用高阶收敛的迭代法并且要尽量避免函数导数的计算。为此本文设计一个改进的斯蒂芬森方法,每次迭代仅需计算三次函数值,且无需计算导函数就能达到四阶的收敛效果,进而大大地减小了计算量。为本文通过转化某类常微分方程边值问题为单未知参数的微分方程初值问题,建立一元非线性方程求解问题提供了有效的支撑。该迭代法丰富了非线性方程求根的方法,在理论上和应用上都具有较高的价值和意义。本文通过结合初值问题的数值解法和一元非线性方程的迭代法,提出求解带有某类边界条件的非线性常微分方程的一种新的数值方法,给出该方法的计算格式和收敛性证明,并通过数值算例进行对比分析。
易洲,张丽丽,李华[2]（2015）在《基于常微分方程边值问题的Chebyshev谱方法》文中研究说明常微分方程边值问题的数值解法有多种,其中较常用的是化边值问题为初值问题解法以及边值问题差分解法.常微分方程边值问题数值解的Chebyshev谱方法是近年来出现的一种新解法.作为应用例子,分别采用Chebyshev谱方法、化边值问题为初值问题解法、以及边值问题差分解法对一类二阶常微分方程边值问题进行数值求解,并对数值解的精确性及计算时间定量地比较,从而说明Chebyshev解法是精度很高的一种快捷解法.
徐宇锋[3]（2014）在《广义分数阶微积分中若干问题的研究》文中认为摘要：研究了几类分数阶常微分方程边值问题的存在性.介绍了广义分数阶微积分的基本理论,研究了广义分数阶谐振子的动力学,研究了广义分数阶对流-扩散方程的数值解和扩散特征,以及广义分数阶变分问题.全文由7部分组成.第1章介绍了分数阶微积分的起源和历史,以及近代分数阶微积分理论的创新与发展.主要从分数阶常微分方程的边值问题,分数阶微分方程的数值计算,广义分数阶导数及其分数阶变分问题等四个方面对现代分数阶微积分理论的发展进行了综述.最后介绍了全文的主要工作.第2章介绍了Banach空间和拓扑度理论基础,Riemann-Liouville分数阶积分,Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数的定义和基本性质.第3章研究了分数阶常微分方程边值问题.利用拓扑度理论中的经典不动点定理研究了Banach空间中带有非正则型边界条件、积分型边界条件和反周期边界条件的分数阶边值问题,获得了上述边值问题普通解和正解存在的充分条件.第4章介绍了第一类广义分数阶算子：K-算子,A-算子和B-算子.研究了这类广义分数阶算子的基本性质以及在扩散波动方程和谐振子方程中的应用.研究了带有指数型核函数的B-算子定义的广义分数阶扩散波动方程的数值解.通过选取指数型核函数,分数次幂核函数和弱奇异型核函数等不同类型的核函数,定义了不同的广义分数阶谐振子方程和广义van der Pol振子.利用有限差分法求解了上述广义谐振子方程,发现广义谐振子具有十分复杂的动力学行为,且不同的动力学性质依赖于核函数的选择.经典van der Pol振子的混沌行为依赖于合适的外力驱动,且极限环在没有外力作用时不会与自身交叉.但是在广义vander Pol振子中,即使没有外力作用,当核函数为弱奇异型时,仍然可以观察到混沌现象以及极限环自身的交叉.第5章介绍了第二类广义分数阶微积分理论,研究了这类分数阶算子的基本性质和在偏微分方程中的应用.广义分数阶积分和微分算子依赖于尺度函数和权重函数,许多已有的分数阶积分和导数可视为广义分数阶算子的特殊情形.首先研究了带有广义分数阶导数的时间分数阶Burgers方程的数值格式和数值解.发现尺度函数和权重函数对Burgers方程的解的扩散特征有显着的影响.考虑了四种不同的尺度函数和两类不同的权重函数,比较了不同的尺度函数和权重函数对扩散速度的具体作用.其次,研究了带有广义分数阶导数的时间分数阶对流一扩散方程的数值解.通过选取一些典型的尺度函数和权重函数,研究了对流-扩散方程解的扩散特征对方程参数,尺度函数,权重函数以及源项函数的依赖性.最后,推导了常系数广义时间分数阶对流-扩散方程的解析解.广义分数阶算子和带权重的Caputo型分数阶算子之间可以建立等价关系.利用分离变量法,可以方便地求得时间分数阶线性偏微分方程的解析解.从解析解可以看出尺度函数和权重函数的位置以及对扩散过程的影响.当权重函数为周期函数时,方程的解在长时间演化中将呈现周期性行为.第6章研究了分数阶变分问题.运用变分学基本原理研究了分数阶泛函极小值问题,分数阶等周问题,分数阶最优控制问题等经典变分问题.研究了固定边界条件的分数阶泛函极值问题和不确定右端边界条件的分数阶泛函极值问题,分别建立了这两类变分问题对应的Euler-Lagrange方程和横截条件.推广了分数阶变分原理,利用第一类广义分数阶导数定义了广义分数阶变分问题.分别研究了固定边界和边界不确定的广义分数阶变分问题,得到了极值的必要条件即广义分数阶Euler-Lagrange方程和一般意义下的横截条件.在一般的平面凸区域上建立了广义分数阶偏导数,定义了二维广义分数阶泛函极值问题和二维广义分数阶等周问题,利用多项式逼近方法求解了上述广义分数阶变分问题的近似解.第7章回顾了全文内容,并展望了分数阶微积分领域未来的若干工作.
邱廷柱[4]（2019）在《一维非线性边值问题有限元p型超收敛算法研究》文中研究说明有限元法是求解微分方程比较有效的数值计算方法,其具有数值稳定性好、通用性强、适用性广等特点。有限元求解精度依赖于网格和单元阶次,通常情况下有限元计算网格越密,单元次数越高,有限元解的精度就越高,为了获得较高精度的有限元解答,传统有限元求解就需要加密单元网格或者提高单元阶次,这相应地导致了有限元求解计算量的快速增加,由此产生的计算代价是十分巨大的。为了解决有限元求解精度与计算代价之间的矛盾,有限元超收敛计算成了有限元研究领域的重点和热点。理论和数值结果表明,有限元单元端部结点解相对于单元内部解具有更高的精度和收敛阶,即有限元解答中的单元端部结点解具有超收敛特性。对于一维非线性问题,有限元结点解答的超收敛特性也是存在的,本文将基于有限元解答中结点解的超收敛特性,建立一维非线性有限元p型超收敛算法。全文的主要工作如下:一、对一维非线性有限元提出了p型超收敛求解策略。非线性有限元求解统一采用Newton法进行迭代求解,推导了相应的Newton迭代格式。将线性问题p型超收敛计算的思想推广应用于求解非线性问题,将单元端部的有限元解答作为单元的边界条件,利用已求得的有限元解,借助泰勒展开技术对原非线性问题进行线性化,在单个单元上建立单元解近似满足的线性常微分方程边值问题（BVP）,对该局部线性边值问题采用单个高次元进行有限元求解以获得该单元上的超收敛解,对每个单元实施上述过程可获得全域的超收敛解。二、将该策略成功应用于求解四类模型问题。具体包括二阶非线性常微分方程边值问题、四阶非线性常微分方程边值问题、一阶非线性常微分方程组问题、非线性混合阶常微分方程组边值问题,推导了各模型问题的具体格式并成功进行了算法实现（Fortran程序和Maple程序）。三、对四类模型问题进行了大量的数值试验,总结了算法的收敛规律。求解了大量经典问题,对每个问题的有限元解和超收敛解答的收敛阶进行了分析,总结了超收敛解的收敛规律。数值结果表明,本文的超收敛求解方法简单高效,是一个颇具潜力的方法。另外,本文还对非线性边界条件进行了试探性的研究,提出了一套简单高效的非线性边界条件处理办法。最后,对本文工作进行了总结和展望。
许美珍[5]（2011）在《常微分算子理论的发展》文中进行了进一步梳理常微分算子理论是以量子力学为应用背景,综合常微分方程、泛函分析、算子代数及空间理论等理论、方法发展起来的一门系统的、内容广泛的数学分支.它是解决数学物理方程以及大量科学技术应用问题的重要数学工具.常微分算子理论所研究的主要内容包括：自共轭域、谱分析、亏指数及逆谱问题等.本文在查阅了大量的原始文献和有关研究文献的基础上,利用文献分析研究与文献比较研究的方法,从以下几个方面较系统地研究了常微分算子理论的发展历程.一、通过对Sturm和Liouville的工作及其它关于记载这些成果的史料进行分析与研究,从以下几个方面探寻了常微分算子理论的源流：（1）Sturm和Liouville成果的研究背景；（2）分析Sturm和Liouville的工作；（3） Sturm-Liouville理论的意义；（4） Sturm和Liouville工作的后续发展.二、通过对20世纪早期的一些关于二阶奇异边值问题的文献进行系统分析与考察,从以下几个方面论述了Weyl（1910）, Dixon （1912） Stone （1932）和Titchmarsh （1940-1950）的工作对常微分算子理论发展的贡献.我们发现Weyl和Titchmarsh的成果基本上源于经典的实分析和复分析,而Stone的研究工作是Hilbert函数空间抽象理论中自共轭算子与线性常微分方程理论结合的产物.1.1910年,Weyl不仅开创了奇异S-L微分方程的研究,而且首次考虑了微分方程的分析特征.特别是一些新概念和新成果的提出,使S-L理论在20世纪的发展步入了一个新的发展阶段,也为后来的von Neumann和Stone在微分算子理论方面的研究以及为Titchmarsh应用复变换技巧提供了思想渊源.2.1912年,Dixon第一次将系数函数p,q,w的连续性条件由Lebesgue可积条件来代替,此Lebesgue可积性条件也是现代微分算子研究中对系数要求最低的条件.3.1932年,Stone首次在Hilbert函数空问上讨论具有Lebesgue可积系数的二阶微分算子的一般理论.4. Titchmarsh应用单个复变量函数的展开理论研究了正则情形和奇异情形的S-L边值问题.三、通过分析与研究关于常微分算子自伴域描述的已有成果,系统地总结了常型和奇异常微分算子自伴域描述的发展脉络.1.高阶常型微分算子自伴域的描述问题于20世纪50年代彻底解决,1954年Coddington利用矩阵理论和共轭边条件的有关结论,给出了以边条件形式表示的自伴域,这是一个直接的描述结果；同年,Naimark给出了拟微分算子自伴域的描述；1962年,Everitt用微分方程的线性独立解来描述算子的自伴域,在系数足够光滑的条件下,这三个结论是等价的.2.通过分析奇异微分算子自伴域描述的一些重要成果,比如,Weyl-Titchmarsh自伴域,Everitt自伴域,曹之江-自伴域和孙炯-自伴域,论述了曹之江-自伴域的重要性,它是一种直接而完全的自伴域描述,使得奇异微分算子自伴域描述的问题彻底解决.四、通过分析和考察大量的关于谱分析方面的文章,主要以离散谱和本质谱的判别为核心梳理了实自伴微分算子,加权的奇异微分算子及J-自伴微分算子离散谱的判别工作和几类特定微分算子本质谱的判别结果.五、通过挖掘和考察大量的关于亏指数方面的第一手文献,系统地论述了奇异实对称微分算子和复对称微分算子在二阶和高阶情形下极限点型和圆型的判别工作
张晶晶[6]（2018）在《基于改进粒子群算法求解常微分方程定解问题》文中研究表明在自然科学、工程技术以及经济管理等领域中的很多数学模型,其表现形式通常为常微分方程的定解问题,如何有效地进行求解是非常关键的。由于理论方法的局限性,很多方程无法求出解析解,所以从实际应用上来讲,人们需要的往往并不是解在数学理论上的存在唯一性或者具体地求出其解析式,而是在我们关心的某个定义范围内求出对应于精确解的近似值。然而,大部分传统的数值方法普遍存在计算复杂,解的精度低等缺点,近些年,随着计算机的发展,智能算法被广泛使用,为求解常微分方程提供了新的方法。粒子群算法是一种群智能算法,本文通过对粒子群算法的研究与分析,提出了一种改进的粒子群算法,并利用改进的粒子群算法对常微分方程定解问题进行求解。本文结合“教与学”优化算法,提出一种新的改进粒子群优化算法。利用函数优化问题来验证改进算法的有效性,数值实验结果表明,改进的粒子群优化算法相比于标准的粒子群优化算法具有求解精度高的优势。在此基础上,采用傅里叶级数构造微分方程的近似解,将微分方程转化为约束优化问题,利用粒子群算法与改进的粒子群算法分别计算此优化问题,最终得到方程的近似解。利用上述思路,通过具体实例进行数值实验,对结果做出相应的误差分析,结果证明,改进后的粒子群算法可以搜索到更精确的解,验证了改进后的粒子群算法求解常微分方程定解问题的可行性。因此,本文不仅拓宽了粒子群算法的应用范围,为常微分方程定解问题求近似解提供了新的思路,还提高了常微分方程定解问题的求解精度。
李秾[7]（2017）在《基于非协调变形理论的冷轧带钢屈曲与振动问题研究》文中研究表明冷轧带钢是钢铁工业的重要产品之一,广泛应用于汽车、家电与电力等行业。板形是衡量冷轧带钢产品质量的一个重要方面,板形缺陷达到一定程度的带钢会明显起浪,对后工序生产造成不利影响。冷轧板形缺陷的力学实质为带钢面内残余应力,起浪的力学实质为后屈曲挠度,面内残余应力（张应力分布与其积分中值的差）与后屈曲挠度的关系是板形研究的一个重要问题;另一方面,对冷轧带钢面内残余应力的检测是实现板形控制的前提,基于气流激振-涡流测幅原理的SI-FLAT非接触式板形仪已得到广泛应用,其中冷轧带钢面内残余应力与流固耦合振动振幅的关系,即SI-FLAT检测原理数学模型,是板形研究的另一个重要问题。针对上述两个问题,本文提出基于非协调变形理论研究冷轧带钢的屈曲与振动问题的思路,试图从数学和力学的角度对这一工程问题进行梳理、归纳与分析,研究方法以理论解析为主,实验验证与对比为辅,重点在于冷轧带钢后屈曲与流固耦合受迫振动问题求解方法的设计以及一些通用性、创新性思路的总结,主要研究工作及取得的成果如下:（1）将冷轧带钢的残余应力归结为非协调变形,并基于非协调变形理论统一研究了冷轧带钢的屈曲与振动问题,建立了带有惯性项的非协调大挠度Foppl-von Karman方程组,分离时间变量与轧制方向坐标变量后,将两个问题归结为同一四阶常微分方程本征值问题,并对该本征值问题进行求解得到正交函数族,为进一步的分析奠定数学基础。（2）对于冷轧带钢屈曲问题,由于前屈曲问题仅是后屈曲问题的线性化特例,故仅针对冷轧带钢后屈曲问题的求解设计出三种半解析半数值解法:完整解法、简化解法和边界层解法。完整解法的挠度由正交的模态函数族线性组合构成,严格满足边界条件,通过Ritz法确定线性组合的待定系数而实现求解;简化解法是对各物理量的数量级分析后给出挠度函数的形式,不一定满足边界条件,通过Ritz法确定波长而实现求解;边界层解法在简化解法的基础上对挠度函数进行边界层修正,近似满足边界条件,通过Ritz法确定波长与边界层位置而实现求解。对于每种解法,屈曲释放后的残余应力各分量也可以得到求解。最后利用实测数据验证了后两种解法的准确性并与其他文献结果进行了对比。考虑到冷轧带钢的各向异性以及厚度变化,建立了物理上更符合实际的正交各向异性变厚度薄板屈曲与振动边值问题,并提出相应的屈曲问题简化解法,实现了对各向异性变厚度带钢屈曲问题的求解。（3）对于冷轧带钢在SI-FLAT板形仪所施加激振力作用下的受迫振动问题,着重研究其流固耦合受迫振动特性,并用以分析SI-FLAT板形仪的检测原理。联立带有惯性项及流体压强载荷的非协调Foppl-von Karman方程组以及不可压缩流体方程组,建立流固耦合振动问题基本控制方程组,由实际工程背景分别给出结构、流体的边界条件以及它们之间的连接条件,形成完整的边值问题,分离时间变量后利用正交的模态函数族求解,形成SI-FLAT板形仪检测原理流固耦合振动模型,利用实测数据间接验证了模型的准确性,并对几个对振幅有显着影响的参数进行了分析,最后结合流固耦合振动模型与热应力分析,计算了由Siemens公司提出但未予以解释的SI-FLAT板形仪基础目标曲线。考虑到各向异性与厚度变化,提出非接触式板形-板廓测量仪的构想,并建立起相应的检测原理数学模型。
邓云丹[8]（2019）在《解微分方程的一种随机Galerkin谱方法》文中研究指明谱方法是一种求解常微分方程与偏微分方程的常见数值方法,它具有精度高、实现过程简单等特点。含随机变量的随机常微分方程初值问题及随机偏微分方程初边值问题广泛用于描述不确定性问题。本文将为随机常微分方程初值问题及随机偏微分方程初边值问题设计一种随机Galerkin谱方法,并试图通过该方法来数值求解不确定性问题。通过求解具体例子:一阶随机常微分方程初值问题、二阶随机非线性Burgers方程初边值问题、一维椭圆型方程边值问题、二维椭圆型方程边值问题来详细介绍连续性随机变量服从Gaussian分布、Gamma分布、Beta分布、均匀分布时分别基于Hermite多项式、Laguerre多项式、Jacobi多项式、Legendre多项式和离散型随机变量服从Poisson分布、二项分布、负二项分布、超几何分布时分别基于Charlier多项式、Krawtchouk多项式、Meixner多项式以及Hahn多项式的Galerkin谱方法的实现过程:先假定方程中的随机变量能够用基于基函数Φi（x）的展开式来逼近,然后将该随机变量的逼近展开式代入方程之中,再利用随机Galerkin谱方法得到关于未知函数的常微分方程或偏微分方程的初值问题、边值问题以及初边值问题,最终通过求解该不含随机变量的方程问题得到原随机微分方程解的近似信息。基于基函数Φi（x）的随机Galerkin谱方法具有精度高、实现过程简单等优点,本文的算法实现过程及数值例子显示了该谱方法的这些优点。本文所提出的数值方法具有一般性,可以用来处理更一般的随机常微分方程或随机偏微分方程问题。
李雨[9]（2019）在《几类微分方程高阶数值积分法的理论分析》文中进行了进一步梳理微分方程被广泛应用于表述自然界与工程技术中的诸多现象。由于大多数微分方程的解析解很难精确给出,因此对微分方程数值解法的研究就显得尤为重要。数值积分法是利用方程的常数变易公式或等价的积分形式而建立的一类数值方法。例如,一阶半线性常微分方程的指数积分法,二阶振荡微分方程的扩展RungeKutta-Nystr?m方法以及非线性分数阶常微分方程的乘积积分法等。数值积分法往往具有精度高、稳定性好和保结构等性质。本文针对几类微分方程构造了高阶的数值积分法,并给出了这些方法的收敛性、稳定性以及保结构性质的理论分析。本文主要工作包括以下几个方面:分析了延迟微分方程的显式指数一般线性方法的收敛性和稳定性。在某些假设下,证明了延迟微分方程的显式指数一般线性方法保持了常微分方程的指数一般线性方法的内级阶和收敛阶。针对线性试验方程,研究了指数一般线性方法的线性稳定性,给出了线性稳定的充分条件。对于非线性延迟微分方程,证明了在某些条件下指数一般线性方法的GRN-稳定性。构造了二阶振荡常微分方程的多导数扩展Runge-Kutta-Nystr?m方法。该方法利用了二阶振荡常微分方程的常数变易公式,充分考虑了由方程的线性项所带来的结构特征,数值格式中不但包含右端函数项还包含右端函数的导数项。增加的导数项使得该方法具有更高的内级阶,也更易于构造高阶方法。研究了该方法的收敛性、保能量性质、稳定性和相性质。构造了非线性Riesz空间分数阶波动方程的高阶保能量数值方法。利用加权平移的Lubich差分算子构造了Riesz空间分数阶导数的一种四阶估计方法。应用这种估计方法对方程进行了半离散,讨论了半离散系统的稳定性和收敛性,证明了半离散系统能够精确地保持半离散能量。利用扩展Runge-Kutta-Nystr?m方法构造了全离散格式,并说明了全离散格式的高阶收敛性和保能量性质。提出了非线性分数阶常微分方程的平移Legendre乘积积分法。该方法是利用与非线性分数阶常微分方程等价的第二类弱奇异Volterra积分方程和局部傅里叶展开构造的。证明了该方法对于光滑问题在理论上能够达到任意阶,并说明了该方法在稳定性方面的优势。
王一鸣[10]（2014）在《基于LS-SVM的常微分方程求解》文中研究表明微分方程作为连接抽象数学理论和自然科学应用的主要桥梁，它的发展推动了如线性代数、李群理论、控制理论等一系列学科的研究。微分方程理论融合了多种理论的分析思路和不同实际应用的方法，其中微分方程的求解问题以及解的性质研究一直是其研究者的一项重要的基本工作。然而实际生产和科学研究中遇到的大多数常微分方程由于其复杂性，基本得不到解析解，所以常用数值方法求其近似解。近年，针对大多数传统数值方法计算复杂、解的形式离散的缺陷，研究人员尝试寻找更简便的方法。通过神经网络算法、最小均方法和支持向量机等智能算法求解常微分方程的方法成为新的方向。本文主要研究基于最小二乘支持向量机（LS-SVM）的常微分方程的近似解求解方法。首先通过离散计算域，将常微分方程转换为带有约束条件的目标优化问题，然后利用径向基（RBF）核函数可导的性质，用带有导数形式的LS-SVM模型将此优化问题转化为LS-SVM回归问题，最终转化为较易求解的方程组求解问题。利用上述思路分别对非刚性线性常微分方程初值问题、边值问题和一阶非线性常微分方程初值问题进行了求解。通过该方法得到的闭式近似解具有精度高、连续可微、结构简单且形式固定的特点，为之后定性分析解的性质创造条件。最后研究了参数选取方式和大范围求解问题，说明该方法所得近似解精度同参数选取的关系，以及解决该方法在求解大范围常微分方程时计算量大的问题。
二、常微分方程边值问题的一种数值解法（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、常微分方程边值问题的一种数值解法（论文提纲范文）
（1）常微分方程边值问题的一种数值解法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题来源和研究的目的及意义 |
| 1.1.1 课题来源 |
| 1.1.2 课题研究目的及意义 |
| 1.2 国内外研究发展现状 |
| 1.2.1 非线性常微分方程初值问题的研究现状 |
| 1.2.2 常微分方程边值问题的研究现状 |
| 1.3 主要研究内容 |
| 第2章 边值问题数值解法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 边值问题具体过程及基本定理 |
| 2.3 本章小结 |
| 第3章 改进的斯蒂芬森方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 斯蒂芬森方法的改进 |
| 3.3 数值算例 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 一种数值方法解常微分方程边值问题 |
| 4.1 基本算法 |
| 4.2 数值算例 |
| 4.3 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（2）基于常微分方程边值问题的Chebyshev谱方法（论文提纲范文）
| 1 引言 |
| 2 常微分方程边值问题数值解法 |
| 2.1 Chebyshev谱方法 |
| 2.2 化边值问题为初值问题解法 |
| 2.3 边值问题的差分解法 |
| 3 常微分方程数值解结果及讨论 |
| 附录: |
| 1.Chebyshev微分矩阵的Matlab程序 |
| 2.Chebyshev谱方法的Matlab程序 |
| 3. 自编四阶龙格库塔公式的Matlab程序 |
| 4. 化边值问题为初值问题解法的Matlab程序 |
| 5.差分解法的Matlab程序 |
| 6.符号解法的Matlab程序 |
（3）广义分数阶微积分中若干问题的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 1 绪论 |
| 1.1 分数阶微积分的起源 |
| 1.2 现代分数阶微积分的发展与应用 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 完备赋范空间与拓扑度理论 |
| 2.2 分数阶积分与分数阶导数的基本性质 |
| 2.3 本章小结 |
| 3 分数阶常微分方程边值问题的存在性 |
| 3.1 带有非正则边界条件的分数阶边值问题 |
| 3.2 带有积分边界条件的分数阶边值问题 |
| 3.3 带有反周期边界条件的分数阶边值问题 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 第一类广义分数阶算子的基本理论及应用 |
| 4.1 定义与基本性质 |
| 4.2 广义分数阶扩散-波动方程的数值解 |
| 4.3 广义分数阶振子的动力学分析 |
| 4.3.1 广义分数阶谐振子的动力学 |
| 4.3.2 广义分数阶van der Pol振子的动力学 |
| 4.4 本章小结 |
| 5 第二类广义分数阶算子的基本理论及应用 |
| 5.1 定义与基本性质 |
| 5.2 广义分数阶对流-扩散方程的数值解 |
| 5.3 广义分数阶Burgers方程的扩散特征 |
| 5.4 齐次广义扩散方程与广义对流-扩散方程的解析解 |
| 5.5 本章小结 |
| 6 广义分数阶变分问题 |
| 6.1 变分学基本原理 |
| 6.2 分数阶古典变分问题 |
| 6.2.1 确定边界的分数阶极值问题 |
| 6.2.2 不确定边界的分数阶极值问题 |
| 6.3 广义分数阶变分问题 |
| 6.3.1 确定边界的广义分数阶泛函极值问题 |
| 6.3.2 不确定边界的广义分数阶泛函极值问题 |
| 6.4 二维平面凸区域上的广义分数阶变分问题 |
| 6.4.1 二维平面凸区域上的广义分数阶积分和广义分数阶导数 |
| 6.4.2 广义分部积分公式 |
| 6.4.3 广义分数阶泛函极值问题 |
| 6.5 本章小结 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 工作总结 |
| 7.2 分数阶微积分领域的若干问题 |
| 参考文献 |
| 附录1 分数阶积分和导数的Laplace变换 |
| 附录2 分数阶常微分方程初值问题 |
| 附录3 凸区域上的广义分数阶Gauss公式和Stokes公式 |
| 攻读学位期间主要的研究成果 |
| 攻读学位期间参与的科研项目与学术经历 |
| 致谢 |
（4）一维非线性边值问题有限元p型超收敛算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题背景 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 非线性边值问题数值求解研究现状 |
| 1.2.2 有限元超收敛研究现状 |
| 1.2.3 p型超收敛算法 |
| 1.3 本文的研究目的和内容 |
| 1.3.1 研究目的 |
| 1.3.2 研究内容 |
| 第2章 二阶非线性常微分方程边值问题 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 模型问题 |
| 2.3 有限元求解 |
| 2.3.1 网格划分 |
| 2.3.2 有限元插值 |
| 2.3.3 有限元方程建立 |
| 2.4 超收敛求解 |
| 2.5 误差估计 |
| 2.6 数值算例 |
| 2.7 本章总结 |
| 第3章 四阶非线性常微分方程边值问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 模型问题 |
| 3.3 有限元求解 |
| 3.3.1 网格划分 |
| 3.3.2 形函数选取 |
| 3.3.3 有限元方程建立 |
| 3.4 超收敛求解 |
| 3.5 误差分析 |
| 3.6 Euler梁几何非线性问题 |
| 3.6.1 几何方程 |
| 3.6.2 物理方程 |
| 3.6.3 平衡方程 |
| 3.6.4 控制微分方程 |
| 3.7 数值算例 |
| 3.8 小结 |
| 第4章 一阶非线性常微分方程组问题 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 模型问题 |
| 4.3 有限元计算 |
| 4.3.1 单元划分 |
| 4.3.2 有限元插值 |
| 4.3.3 有限元方程建立 |
| 4.3.4 边界条件处理 |
| 4.3.5 有限元解误差 |
| 4.4 超收敛计算 |
| 4.5 超收敛解误差 |
| 4.6 Timoshenko梁几何非线性问题 |
| 4.6.1 几何方程 |
| 4.6.2 物理方程 |
| 4.6.3 平衡方程 |
| 4.6.4 控制微分方程 |
| 4.7 数值算例 |
| 4.8 小结 |
| 第5章 非线性混合阶常微分方程组边值问题 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 模型问题 |
| 5.3 有限元求解 |
| 5.3.1 单元划分 |
| 5.3.2 形函数选取 |
| 5.3.3 有限元方程建立 |
| 5.4 超收敛求解 |
| 5.5 误差估计 |
| 5.6 数值算例 |
| 5.7 小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 本文工作总结 |
| 6.2 工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 |
（5）常微分算子理论的发展（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题目的和意义 |
| 1.2 本课题研究现状 |
| 1.3 研究方法及创新点 |
| 1.4 研究内容 |
| 第2章 常微分算子理论的起源(1836-1910) |
| 2.1 边值问题 |
| 2.2 Sturm的简介及其主要工作 |
| 2.2.1 Sturm的简介 |
| 2.2.2 Sturm的工作 |
| 2.3 Liouville的简介及其主要工作 |
| 2.3.1 Liouville的简介 |
| 2.3.2 Liouville的工作 |
| 2.4 Sturm和Liouville合作的工作及其意义 |
| 2.4.1 Sturm和Liouville合作的工作 |
| 2.4.2 Sturm和Liouville工作的意义 |
| 2.5 Sturm-Liouville理论的后续发展 |
| 第3章 常微分算子理论早期的重要工作(1910-1950) |
| 3.1 Weyl的简介及其重要成果 |
| 3.1.1 Weyl的简介 |
| 3.1.2 Weyl的重要成果 |
| 3.2 Dixon的工作 |
| 3.3 Stone的工作 |
| 3.4 Titchmarsh的工作 |
| 3.4.1 正则型问题 |
| 3.4.2 奇异型问题 |
| 3.5 The Titchmarsh-Weyl的贡献 |
| 3.5.1 正则情形 |
| 3.5.2 奇异情形 |
| 第4章 常微分算子自伴扩张理论的发展 |
| 4.1 微分算式的描述 |
| 4.2 常型对称微分算子自伴域描述的成果 |
| 4.2.1 Coddington自伴域(1954) |
| 4.2.2 Naimark自伴域(1954) |
| 4.2.3 Everitt自伴域(常型) |
| 4.3 奇型对称微分算子自伴域描述的成果 |
| 4.3.1 Weyl-Titchmarsh自伴域 |
| 4.3.2 Everitt自伴域 |
| 4.3.3 曹之江-自伴域和孙炯-自伴域 |
| 4.3.4 自伴域描述的新进展 |
| 4.4 其它类型微分算子自伴域的描述 |
| 4.4.1 直和空间上的自伴域 |
| 4.4.2 J-对称微分算子的J-自伴域 |
| 4.4.3 向量值函数空间的自伴域 |
| 4.5 微分算子乘积的自伴域 |
| 4.6 常微分算子自伴域的几何刻画 |
| 4.7 Friedrichs扩张 |
| 第5章 常微分算子谱分析的发展 |
| 5.1 谱的基本概念 |
| 5.2 定性分析的数学思想和研究方法 |
| 5.2.1 定性分析的数学思想 |
| 5.2.2 定性分析的研究方法 |
| 5.3 常微分算子离散谱的判别准则 |
| 5.3.1 实自伴微分算子离散谱的判别 |
| 5.3.2 加权的奇异实自伴微分算子离散谱的判别 |
| 5.3.3 J-自伴微分算子离散谱的判别 |
| 5.4 常微分算子本质谱的判别 |
| 5.5 常微分算子的定量分析 |
| 5.5.1 常微分算子的数值解法 |
| 5.5.2 SLEIGN2及其它软件包的的介绍 |
| 5.5.3 常微分算子数值算法进展的概述 |
| 第6章 常微分算子亏指数理论的发展 |
| 6.1 亏指数的基本概念和理论 |
| 6.2 奇异实对称微分算子亏指数判定的成果 |
| 6.2.1 二阶情形的判定工作 |
| 6.2.2 高阶情形的判定工作 |
| 6.3 复系数对称微分算子亏指数的判别成果 |
| 6.4 亏指数的取值范围 |
| 6.5 算子幂的亏指数 |
| 第7章 常微分算子逆问题的发展 |
| 7.1 早期的工作(1929-1979) |
| 7.2 近三十年来的研究工作(1980-2010) |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 附录1:常微分算子理论发展的年表 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表或待发表的学术论文 |
（6）基于改进粒子群算法求解常微分方程定解问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究的目的及意义 |
| 1.2 常微分方程定解问题求解的研究现状 |
| 1.2.1 传统算法研究现状 |
| 1.2.2 新型智能算法研究现状 |
| 1.3 粒子群优化算法的研究现状 |
| 1.4 本文主要研究内容 |
| 第2章 理论基础 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 常微分方程定解问题描述 |
| 2.3 最优化理论 |
| 2.4 粒子群算法的基本理论 |
| 2.4.1 粒子群算法的简介 |
| 2.4.2 基本粒子群算法的原理 |
| 2.4.3 标准粒子群算法的原理 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 粒子群算法的改进 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 粒子群算法的理论框架 |
| 3.2.1 粒子群算法的关键 |
| 3.2.2 粒子群算法的基本步骤 |
| 3.3 改进的粒子群算法 |
| 3.3.1 “教与学”优化算法 |
| 3.3.2 基于“教与学”优化算法的改进粒子群算法 |
| 3.3.3 实验结果比较 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 改进粒子群算法求解常微分方程 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 理论研究 |
| 4.3 求解问题的算法 |
| 4.4 数值实验与分析 |
| 4.4.1数值实验 |
| 4.4.2 结果分析 |
| 4.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（7）基于非协调变形理论的冷轧带钢屈曲与振动问题研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 2 文献综述 |
| 2.1 冷轧带钢屈曲问题的研究 |
| 2.1.1 冷轧带钢屈曲的力学特点 |
| 2.1.2 带钢屈曲问题的解法 |
| 2.1.3 薄板屈曲问题的边界层解法 |
| 2.1.4 各向异性与变厚度薄板屈曲的研究 |
| 2.2 以板形检测为目标的冷轧带钢振动问题研究 |
| 2.2.1 弹性薄板流固耦合问题的研究 |
| 2.2.2 带有残余应力弹性薄板振动问题的研究 |
| 2.2.3 各向异性与变厚度薄板振动问题的研究 |
| 2.3 非协调变形理论及分析方法 |
| 2.3.1 孤立缺陷理论与缺陷的连续统理论 |
| 2.3.2 带有缺陷的弹性薄板 |
| 2.3.3 非协调F(?)ppl-von K(?)rm(?)n方程组 |
| 2.4 课题背景与研究内容 |
| 2.4.1 课题背景 |
| 2.4.2 研究内容 |
| 3 基于非协调变形理论的带钢残余应力分析 |
| 3.1 分布位错-残余应力模型的建立 |
| 3.1.1 平面弹性复变方法研究粘接问题 |
| 3.1.2 全平面同种各向同性材料的粘接问题 |
| 3.1.3 弹性平板中一条带有分布位错直线粘接边界的残余应力 |
| 3.2 残余应力的分析与计算 |
| 3.2.1 冷轧带钢残余应力的分析 |
| 3.2.2 采用分布位错衡量冷轧带钢塑性变形的非协调程度 |
| 3.2.3 分布位错-残余应力模型的定性验证 |
| 3.3 本章小结 |
| 4 带钢横向位移控制方程的建立 |
| 4.1 带钢的物理模型与数学描述 |
| 4.2 带钢横向位移的非协调方程 |
| 4.2.1 带有非协调应变的弹性力学平面问题 |
| 4.2.2 带有非协调应变的薄板大变形应变张量 |
| 4.2.3 非协调方程的导出 |
| 4.2.4 非协调性函数的确定 |
| 4.3 带钢屈曲与振动边值问题的建立 |
| 4.3.1 各物理量关于时间变量的形式以及时间变量的分离 |
| 4.3.2 屈曲边值问题的建立 |
| 4.3.3 振动边值问题的建立 |
| 4.4 带钢屈曲与振动的四阶本征值问题 |
| 4.4.1 本征值问题的建立 |
| 4.4.2 本征值问题的求解 |
| 4.4.3 本征值与本征函数的特点 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 带钢屈曲问题的研究 |
| 5.1 屈曲问题的完整解法 |
| 5.1.1 屈曲变形的势能 |
| 5.1.2 薄膜应力势函数形式的确定 |
| 5.1.3 弯曲变形能与待定系数的关系 |
| 5.1.4 薄膜应变能与待定系数的关系 |
| 5.1.5 双波长屈曲问题示例说明完整解法 |
| 5.2 单波长屈曲问题的简化解法 |
| 5.2.1 单波长屈曲边值问题的建立 |
| 5.2.2 一个周期上带材势能表达式的建立 |
| 5.2.3 物理量的无量纲化及无量纲化挠度函数形式的确定 |
| 5.2.4 Ritz法确定待定系数 |
| 5.3 屈曲问题的边界层解法 |
| 5.3.1 合成展开法求解冷轧带钢屈曲问题 |
| 5.3.2 边界层问题全解的构成及挠度的外场解 |
| 5.3.3 边部屈曲区域挠度的内层解 |
| 5.3.4 中部屈曲区域挠度的内层解 |
| 5.4 解法的分析与比较 |
| 5.4.1 解法的验证 |
| 5.4.2 与其它解法计算结果的对比 |
| 5.4.3 对工程问题的分析 |
| 5.5 考虑到各向异性与厚度变化的带钢屈曲问题拓展研究 |
| 5.5.1 冷轧带钢的正交各向异性与单向变厚度特点 |
| 5.5.2 控制方程与能量泛函 |
| 5.5.3 边值问题的建立 |
| 5.5.4 屈曲问题的简化解法 |
| 5.6 本章小结 |
| 6 以板形检测为目标的带钢振动问题研究 |
| 6.1 板形仪的薄板流固耦合振动模型 |
| 6.1.1 物理模型的建立 |
| 6.1.2 流固耦合振动边值问题的建立 |
| 6.1.3 流固耦合振动边值问题的求解 |
| 6.2 薄板流固耦合振动模型的验证以及影响带钢振幅的因素 |
| 6.2.1 薄板流固耦合振动模型的验证 |
| 6.2.2 影响带钢振幅因素的分析 |
| 6.3 板形仪基础目标曲线的分析 |
| 6.3.1 冷轧带钢的实测温度场 |
| 6.3.2 热应力与板形仪基础目标曲线的计算 |
| 6.4 非接触式板形-板廓检测仪的构想 |
| 6.4.1 边值问题的建立与转化 |
| 6.4.2 反问题的建立与带材基准厚度的计算 |
| 6.4.3 振幅-板形模型与振幅-板廓模型的建立 |
| 6.5 本章小结 |
| 7 结论 |
| 7.1 主要结论 |
| 7.2 主要创新点 |
| 7.3 不足与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历及在学研究成果 |
| 学位论文数据集 |
（8）解微分方程的一种随机Galerkin谱方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 随机Galerkin谱方法研究现状 |
| 1.2 本论文的研究意义 |
| 第2章 相关理论预备知识 |
| 2.1 连续型随机变量 |
| 2.2 离散型随机变量 |
| 2.3 谱方法 |
| 2.4 Galerkin方法 |
| 第3章 初边值问题的随机Galerkin谱方法 |
| 3.1 含连续型随机变量的初边值问题 |
| 3.2 含离散型随机变量的初边值问题 |
| 第4章 边值问题的随机Galerkin谱方法 |
| 4.1 含连续型随机变量的边值问题 |
| 4.2 含离散型随机变量的边值问题 |
| 第5章 实例分析 |
| 5.1 求解一阶随机常微分方程初值问题 |
| 5.1.1 Z为一连续型随机变量 |
| 5.1.2 Z为一离散型随机变量 |
| 5.2 求解二阶随机非线性Burgers方程初边值问题 |
| 5.2.1 Z为一连续型随机变量 |
| 5.2.2 Z为一离散型随机变量 |
| 第6章 实例计算结果 |
| 6.1 求解一阶随机常微分方程初值问题 |
| 6.1.1 Z服从Gaussian分布时计算结果 |
| 6.1.2 Z服从Poisson分布时计算结果 |
| 6.2 求解二阶随机非线性Burgers方程初边值问题 |
| 6.2.1 Z服从Gaussian分布时计算结果 |
| 6.2.2 Z服从Poisson分布时计算结果 |
| 6.3 求解一维随机椭圆型方程边值问题 |
| 6.3.1 Z服从Gaussian分布时计算结果 |
| 6.3.2 Z服从Poisson分布时计算结果 |
| 6.4 求解二维随机椭圆型方程边值问题 |
| 6.4.1 Z服从Gaussian分布时计算结果 |
| 6.4.2 Z服从Poisson分布时计算结果 |
| 第7章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间完成的研究成果 |
（9）几类微分方程高阶数值积分法的理论分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究意义 |
| 1.2 指数积分法 |
| 1.3 乘积积分法 |
| 1.4 本文的主要研究内容 |
| 第2章 延迟微分方程的显式指数一般线性方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 显式指数一般线性方法的收敛性 |
| 2.2.1 数值格式 |
| 2.2.2 收敛性分析 |
| 2.2.3 数值实验 |
| 2.3 显式指数一般线性方法的稳定性 |
| 2.3.1 线性稳定性 |
| 2.3.2 非线性稳定性 |
| 2.3.3 数值实验 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 二阶振荡微分方程的多导数ERKN方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 MDERKN方法及阶条件 |
| 3.3 MDERKN方法的性质 |
| 3.4 导数值的估计方法 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 非线性Riesz空间分数阶波动方程的高阶保能量方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 能量守恒律 |
| 4.3 空间半离散 |
| 4.3.1 Riesz分数阶导数的高阶近似方法 |
| 4.3.2 半离散系统及其性质 |
| 4.4 半离散系统的时间积分法 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 分数阶常微分方程的平移Legendre乘积积分法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 SLPI法的数值格式 |
| 5.3 SLPI法的性质 |
| 5.3.1 SLPI法的收敛性 |
| 5.3.2 迭代的收敛条件 |
| 5.3.3 SLPI法的线性稳定性 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（10）基于LS-SVM的常微分方程求解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及研究意义 |
| 1.2 常微分方程 |
| 1.2.1 基本概念 |
| 1.2.2 数值解法 |
| 1.3 支持向量机 |
| 1.3.1 基本内容 |
| 1.3.2 基本原理 |
| 1.3.3 核函数 |
| 1.3.4 LS-SVM 函数估计算法 |
| 1.4 论文研究内容 |
| 第二章 线性常微分方程初值问题的求解 |
| 2.1 问题描述 |
| 2.2 一阶线性常微分方程初值问题 |
| 2.3 二阶线性常微分方程初值问题 |
| 2.4 m 阶线性常微分方程初值问题 |
| 2.5 仿真实例 |
| 2.5.1 一阶常系数线性微分方程 |
| 2.5.2 一阶变系数线性常微分方程 |
| 2.5.3 二阶线性常微分方程 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 线性常微分方程边值问题的求解 |
| 3.1 问题描述 |
| 3.2 二阶线性常微分方程边值问题 |
| 3.3 仿真实例 |
| 3.3.1 二阶线性常微分方程 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 非线性常微分方程的求解 |
| 4.1 问题描述 |
| 4.2 理论推导 |
| 4.3 仿真实例 |
| 4.3.1 一阶非线性常微分方程 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 参数选取与大区间求解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 LS-SVM 参数优化方法 |
| 5.2.1 Hold-out 验证法 |
| 5.2.2 交叉验证法 |
| 5.2.3 留一验证法 |
| 5.3 参数选取 |
| 5.4 大区间求解 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 发表论文和参加科研情况说明 |
| 致谢 |
四、常微分方程边值问题的一种数值解法（论文参考文献）
- [1]常微分方程边值问题的一种数值解法[D]. 黄佳玥. 哈尔滨理工大学, 2019(08)
- [2]基于常微分方程边值问题的Chebyshev谱方法[J]. 易洲,张丽丽,李华. 数学的实践与认识, 2015(16)
- [3]广义分数阶微积分中若干问题的研究[D]. 徐宇锋. 中南大学, 2014(02)
- [4]一维非线性边值问题有限元p型超收敛算法研究[D]. 邱廷柱. 清华大学, 2019(02)
- [5]常微分算子理论的发展[D]. 许美珍. 内蒙古师范大学, 2011(10)
- [6]基于改进粒子群算法求解常微分方程定解问题[D]. 张晶晶. 哈尔滨工业大学, 2018(02)
- [7]基于非协调变形理论的冷轧带钢屈曲与振动问题研究[D]. 李秾. 北京科技大学, 2017(07)
- [8]解微分方程的一种随机Galerkin谱方法[D]. 邓云丹. 云南财经大学, 2019(01)
- [9]几类微分方程高阶数值积分法的理论分析[D]. 李雨. 哈尔滨工业大学, 2019(01)
- [10]基于LS-SVM的常微分方程求解[D]. 王一鸣. 天津大学, 2014(05)