一、关于曲面无穷小等距的两个定理（论文文献综述）
代欣欣[1]（2020）在《两类近切触度量流形上的Ricci和＊-Ricci算子》文中进行了进一步梳理Ricci张量是黎曼流形上最基本的几何量之一,它的一些性质和行为深刻地反映了黎曼流形的曲率、局部结构和拓扑.本文通过Ricci循环平行这个概念,给出了一类近切触度量流形的局部分类定理,推广了前人的一些经典结果.1959年,*-Ricci张量首次在近Hermitian流形上被提出,它在近复几何中一些重要问题的解决上起到了重要作用.作为近Hermitian流形上*-Ricci张量的对偶,近切触度量流形上的*-Ricci张量于2002年被T.Hamada提出,很快受到了很多学者的高度关注.一些学者用*-Ricci张量替换Ricci张量,提出了*-Ricci孤立子,迅速成为近切触几何的研究热点.本文研究了两类近切触度量流形上*-Ricci孤立子的存在性和局部分类问题.第一章,给出了本文的背景知识和结构安排.第二章,介绍了一些与近复流形、近切触度量流形相关的预备知识.主要介绍了近余辛流形和近Kenmotsu流形的一些基本概念、几何性质.第三章,研究了一类特殊的三维近Kenmotsu-流形M,它满足▽ξh=δh+2aφh,其中2h是φ沿Reeb流的李导数且a是沿切触分布不变的光滑函数.本文证明了:M的Ricci张量是循环平行的当且仅当它局部等距于双曲空间H3（-1）或非幺模李群.第四章,证明了如果2n+1维（κ,μ）’-近Kenmotsu流形M上存在*-Ricci孤立子,那么或者M局部等距于乘积空间Hn+1（-4）×Rn或者孤立子的势向量场是严格极小切触变换.第五章,证明了（κ,μ）-近余辛流形上*-Ricci孤立子的非存在性.
张美霞[2]（2018）在《清末民国时期中学解析几何学教科书研究》文中研究表明解析几何学较为系统传入中国已有150多年的历史,国内外学者对解析几何学传入中国的历史及其相关着作的研究较为丰富,但是对清末民国时期解析几何学教科书发展历史的系统研究极为少见,尤其是中学解析几何学教科书的发展历史。有几个问题是我们必须思考的:第一,中国解析几何学教学始于何时?中学为何要开设解析几何学?什么原因促使其出现?第二,数学教育制度下,解析几何学教科书的内容与课程内容是否一致?第三,在将近60年的时间里,解析几何学教科书发展有什么特点?解析几何学教科书的发展受到哪些因素的影响?清末民国时期中学解析几何学教学的意义以及对现今教科书的建设有什么启示?这也是本文选取解析几何学教科书作为研究对象的目的与意义所在。本文坚持以解析几何学教科书原始文献与二手文献为基础的研究原则,采取系统论述与重点分析的研究思路,以文献研究法、比较研究法、个案分析法为主要研究方法,以清末民国时期解析几何学教科书整体发展情况作为研究主线,重点论述中学解析几何学教科书的发展历史。根据社会与教育制度的变革,以及解析几何学教学、教科书建设、教科书内容等特点,将解析几何学教科书的发展划分为肇始（1893-1901）、初步发展期（1902-1921）、转型期（1922-1936）和成熟期（1937-1949）四个阶段。从解析几何课程设置、出版情况、审定情况、作者群的知识背景、教科书内容与课程内容比较等方面分析不同时期解析几何学教科书的特征,主要围绕下面几个方面展开研究。第一,明末清初时期,圆锥曲线随着天文历法知识从西方传入中国。鸦片战争后,西方教科书纷纷传入,第一本从美国传入的解析几何学教科书《代形合参》就是其中的代表,历史意义深远,自此解析几何学在中国成为一门独立学科。中国学校正式开始开设解析几何学课程,如京师大学堂、登州文会馆与四川中西学堂等。1902-1921年间解析几何学教科书主要以翻译美国、英国与转译日本为主。解析几何学课程以大学开设为主,中学主要在高中实科一类中开设。解析几何学教科书的编写者以留学回国者与大学教师为主。该时期解析几何学教科书具有以下特点:翻译版本与“坐标法”的“多样化”、章节结构差异较大、编排形式及数学符号完全西化以及高中几何教科书中出现“圆锥曲线”的内容。第二,1922年至1936年是解析几何学教科书建设之转型期。随着1922年“壬戌学制”的颁布,中学正式开设解析几何学课程,随之出现大量自编解析几何学教科书、《斯盖二氏解析几何学》与《斯盖尼三氏新解析几何学》的汉译本,教科书审定制度由国定制演变为审定制,教科书编写者队伍仍以留学归国者与大学教师为主,中学教师人数较少。此外,这一时期“课程纲要”与“课程标准”首次对中学解析几何学教科书内容作出具体规定,自编教科书并非完全遵照课程内容编写,稍具“自由性”;汉译教科书大多译自与中国“课程标准”相近的美国解析几何学教科书。“直角坐标”、“圆锥曲线”在高中代数、初等几何等教科书中出现;教科书章节结构基本定型;坐标法以“直角坐标”为主,极少使用“斜坐标”等是该时期的几个重要特点。1937-1949年中学解析几何学教科书建设已趋于成熟,中学仍开设解析几何学课程,自编教科书数量有所减少,汉译本仍以《斯盖二氏解析几何学》与《斯盖尼三氏新解析几何学》为主,教科书编写群体中中学教师人数增加。此外,章节结构已成型;自编教科书内容相较课程内容有删减;基本统一使用“直角坐标”;“圆锥曲线”与“直线与圆”等着作出现;解析几何学题解的相继出版是该时期解析几何学教科书的几个显着特点。第三,对清末民国典型中学解析几何学教科书进行个案研究,从教科书的作者、编写理念、内容、名词术语等方面进行分析。对“圆锥曲线”的内容编排、概念表述、作图法等方面对其进行分析,发现其内容整体安排呈现“总-分-总”、“总-分”、“分-总”三种形式。定义方式有统一定义、几何定义与代数定义,抛物线因其自身特点均为统一定义,椭圆与双曲线采用代数定义与统一定义两种定义方式,其中有的教科书以两种形式定义,也有的只使用其中一种。值得注意的是,有些解析几何学教科书中以几何定义给出”圆锥曲线”统一定义,没有使用坐标法,编排极为不妥。另外,三种曲线的排序主要有两种,一是抛物线—椭圆—双曲线,二是椭圆—双曲线—抛物线。三种曲线大多采用器械与坐标定点法的作图方法。第四,清末民国时期的解析几何学教科书具有极强的时代性,整体呈现教科书的“多样化”、使用周期长、“滞后性”、自编本以平面解析几何为主等特点。解析几何学教科书的发展与政治、经济、文化以及教育制度的变革是分不开的,美国数学教育制度与解析几何学教科书对中国的解析几何教学影响巨大,解析几何学学科自身的特点也决定了解析几何学课程是否开设、内容的难易与分配比例。此外,设置解析几何学课程不仅可以传播解析几何学知识;培养学生“数形结合”、“函数”的思想;可以使初等数学与高等数学很好的衔接。清末民国时期中学解析几何学教科书的演变,为今天的教科书编写提供了经验,如:改变从“定义出发”的知识呈现方式与建立科学的教科书评价机制。本文首次从数学教育史的角度对清末民国时期中学解析几何学教科书的整体发展进行系统研究,有必要论述1893-1921年解析几何学教科书的发展历史;首次系统论述其出版与审定情况、编写群体,尤其是课程内容与教科书内容的关系,体现编写者对教科书内容选择的影响;首次多方面揭示不同历史时期解析几何学教科书的发展特点。
金佳培[3]（2018）在《基于插值的曲线逼近方法及应用研究》文中研究指明曲线/曲面逼近问题在计算机图形学、计算机辅助设计等方面有着较广泛的应用,而大多数的逼近问题最终都可以归结为一组非线性方程的求根问题。本文研究了基于插值的曲线逼近方法及应用,主要内容包括如下三点:（1）研究了G1约束下基于三次内点插值方法的等距曲线逼近方法。插值法无需给定曲线具有的相关控制多边形信息,可以适用于非多项式曲线的等距曲线逼近问题。当给定的等距曲线给出了插值三点三切向的三次Bézier曲线求解公式,可转化为一元三次方程的求解;同时讨论了插值曲线的存在性。它具有理论上最优的6次逼近阶,可望获取更好的逼近效果。多段插值Bézier曲线自动具有G1连续性,也可进一步合并成C2连续的三次B样条曲线。该方法具有良好的局部性,在误差不满足的部分,可事先估算对应参数区间的划分段数,其余的逼近曲线段可以不用重新计算。数值实例也说明了该方法具有更好的逼近效果。（2）研究了基于插值的三角函数逼近新方法。三角函数逼近方法也有很多,如最小二乘、最佳平方逼近、FFT（快速Fourier变换）等。本文提出了一种逼近三角函数的新方法,可以应用于包括Wilker-CusaHuygens不等式在内的多种逼近问题。与Mortic的误差估算方法相比,本文的方法可以重构Mortic方法的结果,同时还提供了一种新的改进。数值实例结果表明,本文方法具有更好的逼近效果和更高的计算效率。（3）研究了结合插值和重新参数化技术的非线性方程裁剪求根方法。对于非多项式的方程,求解包围多项式过程的计算复杂度不亚于相应的求根计算。因此,现有基于包围盒技术的方法难以推广到非多项式方程的求根计算中。本文研究了结合插值和重新参数化技术的非线性方程裁剪求根方法,可以应用于非多项式方程的求根。首先求解出插值四点的三次多项式;然后寻找重新参数化函数,使得复合的插值多项式也插值对应的导数,从而提升对应的逼近阶和收敛阶。与已有的三次裁剪方法相比,该方法能达到9次或更高的收敛阶。在区间内单根且有理三次裁剪方法需要计算包围多项式的某些情形下,该方法可以直接包住对应的实根。实例表明,在某些Newton方法失效的情形下,该方法仍可以收敛到相应的实根。
刘宇辉[4]（2016）在《高斯的内蕴微分几何理论研究》文中进行了进一步梳理微分几何是应用分析理论研究空间几何性质的一门数学学科,它与多个数学分支有密切关系,和这些学利之间相互渗透成为推动这些数学分支发展的一项重要工具。因此,对微分几何的历史发展和思想变迁进行全面考察是十分必要的。本文以“为什么数学”为目标,对数学家成功建立数学概念、探索数学发现、获取数学成果的原因进行分析,研究欧拉的微分几何思想、高斯的内蕴几何思想根源,以及他们对后来的数学发展的深远影响。这一研究会成为微分几何史的组成部分,也可以使我们更好地理解大地测量学作为曲面论的重要来源之一在古典微分几何的孕育、建立和发展过程中所起的作用。取得的主要成就有：1.梳理了微分几何的早期历史发展,从曲线论、变分法、曲面论几个方面阐述了欧拉对微分几何的贡献、思想根源及影响。欧拉的研究充满了创新性,他引入的弧长参数、曲纹坐标、球面映射、线元素都是内蕴几何的重要元素,是适用于弯曲空间的方法和技巧。这些成果和思想丰富了微分几何理论,为后来的微分几何发展提供了重要的方法和思想源泉。2.剖析了高斯大地测量学中的思想和方法。高斯在汉诺威地图绘制中使用的方法具有重大实用价值和理论价值,蕴含着曲面理论的基本思想和方法,主要体现在：曲面的参数表示、弧长元素的使用、测地线的研究、局部坐标系的建立。这些方法解释了大地测量实践促成高斯创建曲面理论的原因。3.详细阐述了高斯1822年保角映射的论文和1827年一般曲面论的论文。这两篇论文是内蕴几何学创立的重要文献,内容包括保角映射的一般理论、高斯绝妙定理、测地三角形内角和定理、角度比较定理和面积比较定理等,使用的内蕴几何方法有曲纹坐标、球面映射、测地坐标系等。高斯认识到曲面上的几何是局部几何,所利用的数学工具必须有利于局部性质的挖掘。他也注意到几何学的中心问题是不变量的研究,在这一观念的指引下建立了以高斯曲率为中心的内蕴几何学。4.讨论了高斯之后一般曲面论的补充和完善。通过对明金、伏雷内等数学家着作的分析,介绍了曲面理论在19世纪的继续发展,内容有伏雷内-塞克雷公式、测地曲率、曲面论基本方程、曲面的存在性定理、曲面的可贴合性等。曲纹坐标、第一基本形式、标架等内蕴几何工具得到了普遍使用,内蕴几何思想得到了广泛传播和深刻领悟。
陈默[5]（2016）在《基于编码器/播放器架构的新型数控系统及其插补器的研究》文中认为数控系统是机床的自动化控制和人机交互等重要任务的承担者,随着功能需求的不断增加和硬件技术的不断发展而变得日趋庞大和复杂,需要在加工过程中在线执行的任务数量和计算量也在不断增加。数控系统功能的丰富需求与数控系统实时性（即能否在规定的时间内及时完成加工过程中的在线任务）之间的矛盾越来越突出。数控系统中的插补器作为将轨迹的几何描述转化为电机位置指令的桥梁,是刀具与工件之间相对运动的指挥棒,对加工精度、加工表面质量乃至机床寿命有着至关重要的影响。使用参数曲线来表示加工运动轨迹,能够比传统的连续小直线段的表示方式消耗更少的存储空间、提供更丰富的几何特征信息、对机床引起更小的运动冲击、获得更高的表面质量。基于上述背景,本文针对现有数控系统及其插补器中存在的问题,提出相应的解决方案。本文的创新点如下:（1）针对数控系统日渐复杂的功能需求与数控系统实时性之间的矛盾,提出一种基于编码器/播放器体系架构的数控系统,不但能够减轻数控系统在加工过程中的实时计算负担,还有利于采用分布式数控系统、以一台服务器连接多个轻量级客户端的形式实现多台设备的同步协作。（2）针对参数曲线插补中的核心步骤——曲线参数计算中因曲线参数计算误差所导致的速度波动问题,提出了可用于现有参数曲线插补器的修正泰勒展开法,通过与现有曲线参数计算方法的比较,表明修正泰勒展开法在占用较少的存储空间的情况下能以与二阶泰勒展开法相当的计算时间来获得较精确的参数值,且能避免加工过程因计算所得的曲线参数不落在其定义域内所导致的加工异常中止的问题。（3）针对现有插补器难以实现以精确速度对不同类型的曲线进行统一插补的问题,在基于编码器/播放器体系架构的数控系统中,以修正泰勒展开法为基础,提出了一种先离线将参数曲线转化为一系列逼近点并将相邻逼近点之间的坐标增量编码为运动比特流、再在加工过程中实时对运动比特流进行解码以生成电机指令位置的方法,形成一种利用编码器/播放器实现参数曲线插补的插补器。该插补器避免了因在加工过程中执行不稳定的曲线参数计算任务所导致的速度波动,支持包含一阶导矢为零矢量的奇异点的参数曲线的插补,允许加工过程中随时调节指令速度,统一了所有连续参数曲线的插补方法,简化了实时插补器的程序结构。（4）针对速度规划中现有的速度极值曲线生成方法在微小拐角附近的速度极值计算不精确的问题,提出了一种新的速度极值曲线计算方法——单位弧长增量扫描法,避免了沿参数曲线运动的过程中一些不必要的加减速过程,缩短了运动时间,提高了加工效率。（5）针对现有插补器缺乏对多轴联动电火花加工中的并联参数曲线进行弧长同步插补的方法的问题,将对单条曲线单向插补的编码器/播放器推广为具有对多条“并联”关系的不同类型的参数曲线进行正反双向插补功能的编码器/播放器,并搭建了以“工控机+运动控制卡”为硬件载体的六轴联动电火花成形加工机床数控系统,以航空、航天发动机中的关键部件——闭式整体叶盘的加工实验验证了编码器/播放器的可行性。
孟礼成[6]（2014）在《含孔电致伸缩介质力电耦合问题研究》文中指出电致伸缩介质因其具有低老化、迟滞小、响应快等优点,广泛应用于微位移传感器、驱动器,能量采集器等智能器件。由于器件在制造过程中难免会有缺陷,例如微裂纹,孔洞、夹杂等,因此电致伸缩介质的失效行为历来多受学者关注。本文应用理论和数值的方法,系统地研究了电致伸缩介质的机-电耦合理论,以及含缺陷电致伸缩介质的机电耦合问题。论文主要工作如下:（1）本文第一章主要介绍了电致伸缩效应,以及电致伸缩介质力电耦合行为的研究现状,并指出了其中有待进一步研究之处。（2）基于诸多电介质力电弹性理论,以及各向同性电致伸缩介质力电弹性理论,本文第二章详细讨论了各向异性电致伸缩介质的力电弹性理论。首先基于电磁场方程组的Minkowski四维张量表述与Lorentz变换,给出了电磁场作用在电介质上的体积力、力偶矩,以及能量。随后将所得结果退化到三维非相对论的情形,仿照传统纯弹性连续介质力学的构建方法,研究了各向异性电致伸缩介质在有限变形下的平衡方程、几何方程、能量方程,以及本构方程,且对本构方程的客观性作了验证,并讨论了介质不同对称性对本构方程的影响。（3）在此基础之上,本文第三章回顾了含单个椭圆孔无限大各向同性电致伸缩介质的广义平面应力问题。对此经典问题的回顾主要是为了:（a）对比本文所提出的本构方程与传统本构方程所得到的结果;（b）讨论广义平面应力问题的两种不同定义;（c）讨论在引入电磁场体积力后实验测量中不同零应力状态的定义,以及相应电致伸缩系数的计算;（d）讨论电场直接作用在电致伸缩介质上和电场作用在环境介质上这两种边界条件对应力集中的影响;（e）讨论应力应变引起的极化,并与传统解耦做法中电场本身引起的极化作对比,估算解耦做法所产生的误差。（4）随后,本文又研究了含单个椭圆孔无限大各向异性电致伸缩介质的广义平面应力问题。其所采用的方法依然是解耦的做法和复变函数法。与各向同性不同的是,即使是在解耦的情形下,Cauchy应力张量与Minkowski应力张量都是非对称的。同时还涉及到电场复参量和应力场复参量对通解形式的影响。此外,边界条件的形式也变得复杂。（5）因一直以来鲜有讨论各向同性电致伸缩介质力电耦合问题的耦合解,更无讨论各向异性电致伸缩介质力电耦合问题的耦合解,因此本文最后在第五章研究这一问题的耦合解。首先从虚功原理的角度出发,提出了具有一般性的各向异性电致伸缩介质力电耦合问题的有限单元法,利用ABAQUS用户子程序UEL构建了三维六面体八节点与二十节点电致伸缩单元。随后研究了含有单个或两个椭圆孔三维有限大各向同性电致伸缩介质（PMNT和KNTN）在纯电场作用下的力电耦合问题。通过对比解耦的有限元解与解耦的理论解,在一定程度上说明了有限元程序的可靠性。而通过对比解耦的有限元解与耦合有限元解说明了传统解耦的做法会引起较大的误差。这种误差的大小取决于所加的电载荷和电致伸缩介质的性能。从而说明电致伸缩介质力电耦合问题一般需要研究耦合解。本文的主要创新点有:（1）基于各向异性电致伸缩介质的机电耦合理论,系统地推导了在考虑电场产生的体积力偶和体积力的情形下的平衡方程、几何方程,以及本构方程,并分别给出了在不同各向异性下电致伸缩系数矩阵与弹性系数矩阵的形式;（2）基于精确的边界条件,首次给出了含有椭圆孔各向异性电致伸缩介质在机电载荷作用下二维问题的理论解;（3）首次提出了电致伸缩介质在力电载荷作用下三维问题耦合有限单元法的基本理论,并基于ABAQUS的二次开发平台,利用ABAQUS用户自定义子程序UEL与UVARM,首次编写了一个完整的电致伸缩单元,实现了力电耦合问题的耦合解。
张燕枝[7]（2014）在《四元数热传导方程的精细算法》文中指出随着近代控制理论的发展,四元数的研究逐渐深入,且已经成为研究数学物理问题的重要工具；钟氏精细时程积分法是基于齐次线性自治动力系统提出的,经过近20年的发展,已成为学术热点.本文将四元数和精细算法这两大热点相结合,研究四元数热传导方程的精细算法.本文的主要工作有以下几个方面：（1）针对四元数热传导方程的精细算法,建立基2-复数化（6个）,基4-实数化（6个）共十二个模型,包括对常系数四元数热传导方程（4个）,带有激励项的四元数热传导方程（4个）,一般变系数线性四元数热传导方程（4个）的研究,其中对于基2-复数化模型,只做理论分析,对基4-实数化模型,给出了详细的精细算法模型推导,并给出6个算例进行验证,通过与龙格-库塔（Runge-Kutta）法比较,结果令人满意.（2）本文在第三章中对四元数热传导方程精细算法进行了详细的误差分析,一方面来自于差分格式的截断误差；另一方面来自于指数矩阵eAt在级数求和计算中的截断误差.同时也对因计算机字长限制造成的舍入误差进行了简单的分析.（3）本文对每个基4-实数化模型进行了稳定性的分析,得到如下结论：对于边界条件为零的常系数四元数热传导方程,精细算法无条件渐近稳定；边界条件为非零的常系数四元数热传导方程和带有激励项的四元数热传导方程的精细算法也无条件稳定；一般变系数线性四元数热传导方程,当a（x）0时,无论四元数热传导方程边界条件是否为零时,精细算法都稳定.如果a（x）0,可取节点个数为奇数,也能保证精细算法的稳定性.
罗鑫[8]（2013）在《稳态热传导问题的间接边界积分方程的高精度算法》文中研究表明积分方程在科学和工程技术问题中有着广泛应用。本文针对稳态热传导问题,利用间接边界元方法系统地研究了其边界积分方程的数值解。对各向异性热传导问题,采用机械求积法讨论了光滑域和凹角域情形,对各向同性热传导问题,利用校正求积法研究了三维轴对称域情形。在以下几方面展开研究工作，取得创新成果。1.研究了光滑域上带Dirichlet边界条件的达西方程数值解法。通过单层位势理论,利用达西方程的基本解,把达西方程转化为带对数奇性核的第一类弱奇异边界积分方程,然后借助Lyness与Sidi的弱奇异求积公式,结合中矩形公式,构造了求解含弱奇性核的第一类边界积分方程的机械求积法,直接估计离散方程本征值的上下界,得到离散矩阵的条件数为O（h1）,从而表明机械求积法解第一类积分方程具有优秀的数值稳定性。基于Anselone的聚紧收敛理论证明了数值解的存在性和收敛性。此外,证明了近似解的误差有奇次幂的单参数渐近展开,得到机械求积法的收敛阶为O（h3）,通过使用h3Richardson外推法,数值精度提高到O（h5）。利用导出的渐近后验误差估计构建了自适应算法。2.研究了多角域上带Dirichlet边界条件的达西方程数值解法。对于凹角域情形,解在凹点的奇异性将严重地影响近似解的精度,如何提高它的精度,成为数学家们长期关注的热点。Garlerkin有限元的精度一般是O（h1+r）（r <1）,而配置法的精度更低。为消除对数奇异和角点奇异,使用了一个三角正弦变换,然后利用机械求积法得到边界积分方程的离散近似方程,并推出了关于误差的含奇数阶的多参数渐近展开式,其表明数值解的精度是O（h3）,继而借助分裂外推法消去误差展式中的低阶项得到误差的高阶项,因此提高了机械求积法的收敛阶。3.研究了稳态完全各向异性热传导方程的数值算法。利用机械求积法,我们分别讨论了光滑域和多角域的情形,借助聚紧理论证明了机械求积法的收敛性。数值算例验证了适度增加边界节点数目，可进一步提高数值解的精度和稳定性。4.研究了校正求积法解三维轴对称稳态各向同性热传导问题。利用间接边界元,把三维各向同性热传导问题,也即轴对称Laplace问题,转化为一维边界积分方程,然后运用周期变换消除了解在角点处的奇性,进一步提高了校正求积法的精度,该求积方法简单易于实施。数值试验表明该算法的收敛阶为O（h3）。
林彬彬[9]（2012）在《基于向量场的机器学习》文中研究指明在许多机器学习问题中,我们往往要面对非常高维的数据。有一个很强的直觉是这些数据可能有一个低维的内在表示。很多研究者考虑了数据是从一个嵌入在高维欧氏空间中的低维子流形上采样得到的情况。因此,学习一个低维子流形结构,或者具体地说是数据流形的内在几何和拓扑结构,成为了一个重要的问题。大多数目前的工作是用图上的拉普拉斯算子来约束流形上预测函数的一阶光滑性。但是,除了一阶光滑性,在半监督学习和无监督学习问题中,我们应该要求函数具有两阶光滑性。我们指出函数的两阶光滑性度量了函数在流形上的线性性,而且一个流形上的线性函数的梯度场必然是一个平行向量场。为了解决表示、离散化和求解流形上的向量场等关键问题,这篇论文在向量场学习方面进行了系统的研究,包括理论分析,离散化和优化。本文的主要创新点包括：1.为了分开不同的连通分支,本论文提出了一个线性流形学习方法。我们对目标函数和约束条件进行了理论分析,我们的理论分析指出流形的仿射包和连通分支对于线性流形学习是至关重要的。在某种意义下,每个位于同一个仿射包的连通分支都会被最优投影投到一起。为了恢复流形结构,我们首先从局部等距和全局等距的讨论中得到平行向量场和等距映射之间的内在关系。我们发现寻找等距映射等价于寻找流形上的平行向量场。我们的理论分析表明,如果流形确实是跟欧氏空间中的一个连通子集等距的话,那么我们的方法可以准确地恢复出流形结构。2.为了在半监督学习中利用流形的结构,本论文对于半监督回归和多任务学习问题提出了基于向量场正则化的方法。最新的一些理论工作指出为了在半监督回归问题中达到更快的收敛速度,我们应该要求函数具有两阶光滑性。为了达到这个目标,我们指出函数的两阶光滑度量了函数在流形上的线性性,而且一个流形上的线性函数的梯度场必然是一个平行向量场。因此,我们提出寻找一个函数使得经验误差最小化,并且同时要求它的梯度场尽量的平行。我们在流形上给出一个连续的目标函数并且讨论如何通过离散的点去离散化这个目标函数。最终的离散优化问题变成了一个稀疏线性系统,它可以快速有效的求解。在多任务学习中,我们提出了一个新的多任务向量场学习方法,它会同时去学习预测函数和向量场。多任务向量场学习具有一下主要性质：（1）我们所求得的向量场是跟预测函数的梯度场接近的。（2）在每个任务里,向量场要求为尽量平行,这样我们期望它会张成一个低维子空间。（3）所有任务的向量场共享一个低维的子流形。我们将我们的想法化为一个正则化的框架,并且提出了一个凸松弛的方法去解决原始的非凸问题。3.为了学习流形上的测地距离函数,本论文从向量场的角度提出了一个新的方法。计算测地距离最简单的方法就是直接去计算两点之间的最短路径距离。但是,众所周知,计算逐对最短路径距离是非常耗时的,而且它不能处理非凸流形的情况。在本章中,我们在固定一个点p的时候研究测地距离函数d（p,x）。只要我们对于一个固定点p可以计算距离函数,那么我们可以通过变化p来求得距离函数d（·,·）。我们给出两个定理来精确地刻画这样的距离函数。我们的理论分析说明,如果一个函数rp（x）在点p的邻域处用指数坐标表示下是欧氏距离函数,而且函数rp（x）的梯度场几乎处处都是单位长度的话,那么rp（x）肯定是一个唯一的测地距离函数d（p,x）。基于我们的理论分析,一个新的基于向量场的方法被提出来进行测地距离函数的学习。具体地,我们提出去学习的函数在一个固定点的邻域内是一个欧氏距离函数,同时要求它的梯度场处处都是单位向量。
王昌[10]（2012）在《点集拓扑学的创立》文中指出点集拓扑学是研究和拓扑相关的空间结构以及定义在其上的映射的性质的一门数学学科,它不仅和数学中的许多分支有着紧密的联系,而且应用也十分广泛。因此,对点集拓扑学的历史进行研究,具有十分重要的理论价值和现实意义。本文在查阅大量原始文献以及相关的研究文献的基础之上,以“为什么数学”为切入点和主要目的,通过历史分析和文献考证的方法对点集拓扑学的创立过程进行了较为详细的研究。论文的特色之一就是结合了集合论、分析学以及公理化方法等背景。主要取得的成果如下：1.讨论了康托尔集合论思想的成因以及他在集合论方面的早期工作,对其在集合论方面的两部重要着作《一般集合论基础》和《对建立超穷数理论的贡献》进行了较为系统的研究,进而给出了点集拓扑学中的一些重要概念及定理的最初表述形式。2.对弗雷歇在引入度量空间的理论之前,和点集拓扑学理论发展相关的一些分析学中的具体问题做了深入细致的研究,即考察了点集拓扑学诞生过程中的分析学渊源。内容主要包括魏尔斯特拉斯在“分析的算术化运动”中的主要工作、黎曼提出流形概念的过程以及这一思想对点集拓扑学所产生的影响、沃尔泰拉,阿斯科利,阿尔泽拉,波莱尔等一些数学家对康托尔集合论的早期扩展。3.深入细致的研究了弗雷歇对点集拓扑学所作的重要贡献,对其度量空间的一般理论进行了详细考察。包括弗雷歇早先被忽视了的与其博士论文密切相关的六篇文章,同时对他的博十论文进行了较为深入的研究,对其度量空间一般理论的提出过程进行了分析。指出其博士论文不仅仅是对他早期相关工作的系统总结,而且还包含了许多突破性的工作。此外,对弗雷歇所从事的工作的思想进行了分析,认为他之所以能取得如此大的成功,是因为顺应了20世纪数学发展的主要趋势,即追求“统一性”和“一般性”4.提炼出了点集拓扑学诞生时期一些数学家的相关工作,通过探讨希尔伯特在积分方程以及《几何基础》中的有关工作、里斯所引入的建立在导集基础之上的拓扑空间、外尔关于黎曼面的研究以及杨夫妇在《点集理论》中的贡献,深入研究了点集拓扑学诞生的深刻背景,分析了这些先驱者们对豪斯道夫从事点集拓扑学研究所产生的影响。同时,对数学史上的一些问题进行了澄清。5.深入细致的分析了豪斯道夫的工作对点集拓扑学理论所做的变革与发展。紧密围绕豪斯道夫1914年的着作《集合论基础》,指出他是如何发展希尔伯特和外尔关于用公理化方法从事平面几何和黎曼面的研究,进而通过邻域的语言公理化的描述拓扑空间的概念。同时指明豪斯道夫是如何建立起一套系统完美的理论的,进一步说明了他的工作究竟在怎样的程度上为点集拓扑学的发展提供了强有力的动力。6.系统考察了点集拓扑学形成时期相关数学家的工作。通过比较相关数学家对于拓扑空间的定义,进一步反映了在点集拓扑学诞生初期,数学家们对拓扑空间的接受程度以及当时他们是如何处理拓扑空间概念的,同时对历史上的相关问题进行了澄清。此外,较为系统的探讨了对一些拓扑不变量的研究情况,并对当时所讨论的一些热点问题,如拓扑空间的可度量化问题也给予了介绍。进一步明确了点集拓扑学中的一些基本概念,思想的演变过程。
二、关于曲面无穷小等距的两个定理（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、关于曲面无穷小等距的两个定理（论文提纲范文）
（1）两类近切触度量流形上的Ricci和＊-Ricci算子（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 背景简介 |
| 第二章 预备知识 |
| 第三章 三维近Kenmotsu流形上循环平行的Ricci张量1 |
| 3.1 主要结果及引理 |
| 3.2 例子 |
| 第四章 (κ,μ)'-近Kenmotsu流形上的*-Ricci孤立子 |
| 4.1 引理 |
| 4.2 主要定理及证明 |
| 4.3 例子 |
| 第五章 (κ,μ)-近余辛流形上*-Ricci孤立子的非存在性定理 |
| 5.1 引理 |
| 5.2 主要定理及证明 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文目录 |
（2）清末民国时期中学解析几何学教科书研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究目的与意义 |
| 1.2 研究时间范围和相关概念界定 |
| 1.2.1 时间范围 |
| 1.2.2 “高级中学用解析几何学教科书” |
| 1.3 文献综述 |
| 1.3.1 国内研究现状 |
| 1.3.2 国外研究现状 |
| 1.3.3 研究现状评述 |
| 1.4 研究思路与方法 |
| 1.4.1 研究思路 |
| 1.4.2 研究方法 |
| 1.5 创新之处 |
| 第2章 解析几何学教科书建设之肇始(1893-1901) |
| 2.1 解析几何学发展简介 |
| 2.2 早期传入的解析几何学知识 |
| 2.3 《代形合参》——中国第一本解析几何学教科书 |
| 2.3.1 原着作者与译者简介 |
| 2.3.2 《代形合参》的版次以及前人关于其底本的论断 |
| 2.3.3 《代形合参》与《代微积拾级》非同一底本 |
| 2.3.4 解析几何学在中国成为独立学科 |
| 2.3.5 《代形合参》的内容分析 |
| 2.3.6 《代形合参》的编排特色 |
| 2.4 教科书的编写与审定 |
| 2.5 学校的解析几何学教学 |
| 第3章 解析几何学教科书建设之初步发展期(1902-1921) |
| 3.1 数学教育制度对解析几何学课程的规定 |
| 3.1.1 清末新式教育中解析几何学的课程设置(1902-1911) |
| 3.1.2 新教育宗旨中解析几何学的课程设置(1912-1921) |
| 3.2 汉译解析几何学教科书开始兴起 |
| 3.2.1 翻译英美与转译日本教科书 |
| 3.2.2 教科书翻译群体简介 |
| 3.3 教科书审定制度的确立 |
| 3.3.1 1902 -1911年教科书的审定 |
| 3.3.2 1912 -1921年教科书的审定 |
| 3.4 个案分析——以《温特渥斯解析几何学》为例 |
| 3.4.1 原作者与译者简介 |
| 3.4.2 编写理念与编排形式 |
| 3.4.3 主要内容 |
| 3.4.4 知识呈现方式 |
| 3.4.5 名词术语 |
| 3.5 解析几何学教科书特点分析(1902-1921) |
| 3.5.1 翻译版本的“多样化” |
| 3.5.2 教科书章节结构差异较大 |
| 3.5.3 编排形式及数学符号完全西化 |
| 3.5.4 坐标法使用的“多样化” |
| 3.5.5 高中几何教科书中渗透“圆锥曲线”内容 |
| 第4章 解析几何学教科书建设之转型期(1922-1936) |
| 4.1 “壬戌学制”下解析几何学的课程设置 |
| 4.1.1 “课程纲要”对解析几何学课程的规定(1923年) |
| 4.1.2 “暂行课程标准”对解析几何学课程的规定(1929年) |
| 4.1.3 “课程标准”对解析几何学课程的规定(1932与1936年) |
| 4.2 “壬戌学制”下解析几何学教科书内容的规定 |
| 4.2.1 “课程纲要”对解析几何学教科书内容的规定(1923年) |
| 4.2.2 “暂行课程标准”对解析几何学教科书内容的规定(1929年) |
| 4.2.3 “课程标准”对解析几何学教科书内容的规定(1932与1936年) |
| 4.3 解析几何学教科书的出版与审定情况 |
| 4.3.1 自编教科书的兴起 |
| 4.3.2 汉译教科书以《斯盖尼三氏新解析几何学》为主 |
| 4.3.3 教科书的审定制度 |
| 4.4 解析几何学教科书编译者简介 |
| 4.4.1 以留学回国者及大学教师为主 |
| 4.4.2 中学教师人数较少 |
| 4.5 解析几何学教科书典型个案分析 |
| 4.5.1 自编教科书个案——以《复兴高级中学解析几何学》为例 |
| 4.5.2 汉译教科书个案——以《斯盖尼三氏新解析几何学》为例 |
| 4.6 解析几何学教科书特点分析(1922-1936) |
| 4.6.1 教科书章节结构基本定型 |
| 4.6.2 自编本内容在遵照“课程标准”的基础上有增删 |
| 4.6.3 大多使用“直角坐标”,极少数以“斜坐标”为主 |
| 4.6.4 高中代数、几何教科书中出现“直角坐标”、“圆锥曲线”内容 |
| 第5章 解析几何学教科书建设之成熟期(1937-1949) |
| 5.1 教育制度与解析几何学课程设置 |
| 5.1.1 “修正与六年制课程标准”中解析几何学的课程设置(1941年) |
| 5.1.2 “修订课程标准”中解析几何学的课程设置(1948年) |
| 5.2 教育制度对解析几何学教科书内容的规定 |
| 5.2.1 “修正与六年制课程标准”对解析几何学教科书内容的规定(1941年) |
| 5.2.2 “修订课程标准”对解析几何学教科书内容的规定(1948年) |
| 5.3 解析几何学教科书的出版与审定情况 |
| 5.3.1 自编教科书数量略有减少 |
| 5.3.2 汉译《斯盖二氏解析几何学》数量增加 |
| 5.3.3 教科书的审定制度 |
| 5.4 解析几何学教科书编译者简介 |
| 5.4.1 以大学教师为主 |
| 5.4.2 中学教师人数增加 |
| 5.5 解析几何学教科书典型个案分析 |
| 5.5.1 自编教科书个案——以《新中国教科书高级中学解析几何学》为例 |
| 5.5.2 汉译教科书个案——以《斯盖二氏解析几何学》为例 |
| 5.6 解析几何学教科书特点分析(1937-1949) |
| 5.6.1 教科书章节结构成型 |
| 5.6.2 自编教科书内容相较课程标准有删减 |
| 5.6.3 基本统一使用“直角坐标” |
| 5.6.4 “圆锥曲线”、“直线与圆”等着作出现 |
| 5.6.5 解析几何学题解大量出现 |
| 第6章 解析几何学教科书中“圆锥曲线”内容的演变 |
| 6.1 研究对象 |
| 6.2 解析几何学教科书中“圆锥曲线”内容编排的比较 |
| 6.2.1 “圆锥曲线”内容在教科书中的整体编排 |
| 6.2.2 “圆锥曲线”中知识点的编排 |
| 6.3 解析几何教科书中“圆锥曲线”概念表述之演变 |
| 6.3.1 “圆锥曲线”概念定义方式之演变 |
| 6.3.2 “抛物线”概念定义方式之演变 |
| 6.3.3 “椭圆”概念表述方式之演变 |
| 6.3.4 “双曲线”概念表述方式之演变 |
| 6.3.5 “圆锥曲线”及其概念编排形式之比较 |
| 6.4 解析几何学教科书中“圆锥曲线”作图法之比较 |
| 6.5 解析几何学教科书中“圆锥曲线”特点分析 |
| 6.5.1 关于“圆锥曲线”的定义问题 |
| 6.5.2 抛物线、椭圆与双曲线的排序问题 |
| 6.5.3 “圆锥曲线”统一定义的给出方式与出现的时间问题 |
| 6.5.4 “极坐标”与“圆锥曲线”的编排顺序问题 |
| 第7章 结论 |
| 7.1 解析几何学教科书的整体特点 |
| 7.1.1 解析几何学教科书多样化 |
| 7.1.2 解析几何学教科书的“滞后性” |
| 7.1.3 自编解析几何学教科书以平面解析几何为主 |
| 7.1.4 解析几何学教辅的出现对教科书的补充 |
| 7.1.5 解析几何学教科书内容选择与编排的特点 |
| 7.2 影响解析几何学教科书演变的主要因素 |
| 7.2.1 外部因素 |
| 7.2.2 内部因素 |
| 7.3 清末民国解析几何学教科书发展的意义与启示 |
| 7.3.1 清末民国解析几何学教科书的意义 |
| 7.3.2 清末民国解析几何学教科书的启示与借鉴 |
| 7.4 进一步研究的问题 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表的学术论文 |
（3）基于插值的曲线逼近方法及应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 逼近的产生和发展 |
| 1.2 逼近的方法及应用 |
| 1.2.1 有理多项式逼近 |
| 1.2.2 多项式降阶逼近方法 |
| 1.2.3 构造性逼近方法 |
| 1.2.4 逼近方法的应用 |
| 1.3 本章主要工作及其篇章结构安排 |
| 第2章 G~1约束下基于三次内点插值方法的等距曲线逼近 |
| 2.1 曲线逼近问题的研究现状 |
| 2.2 G~1约束下基于三次内点插值的曲线逼近方法描述 |
| 2.2.1 三次Bézier曲线的插值问题 |
| 2.2.2 内点参数u*的启发式发式设置方法 |
| 2.2.3 Hausdorff距离的近似计算及误差的逼近阶分析 |
| 2.2.4 生成C~2-连续逼近B样条曲线 |
| 2.3 数值实例 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 基于插值的三角函数逼近新方法 |
| 3.1 三角函数逼近的研究现状概述 |
| 3.2 基于插值的三角函数逼近新方法的描述 |
| 3.2.1 主要成果 |
| 3.2.2 定理3.1证明 |
| 3.2.3 定理3.2证明 |
| 3.3 数值实例 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 结合插值和重新参数化技术的非线性方程裁剪求根方法 |
| 4.1 非线性方程裁剪求根方法的基础理论 |
| 4.2 非线性方程求根问题的研究现状 |
| 4.3 结合插值和重新参数化的非线性方程裁剪求根方法描述 |
| 4.3.1 求解三次插值多项式 |
| 4.3.2 求解对应的重新参数化函数φ_1(t)和φ_2(t) |
| 4.3.3 求解包围小区域 |
| 4.4 数值实例 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 总结与展望 |
| 5.1 本文工作总结 |
| 5.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 详细摘要 |
（4）高斯的内蕴微分几何理论研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 选题背景及意义 |
| 1.2 文献综述 |
| 1.2.1 第一类：关于微分几何史的研究专着 |
| 1.2.2 第二类：关于微分几何史的专题论文 |
| 1.2.3 第三类：通史类的文献 |
| 1.2.4 第四类：微分几何的教材中数学家对微分几何史的简略介绍 |
| 1.2.5 第五类：高斯传记 |
| 1.3 本文的努力目标 |
| 1.4 本文的结构安排 |
| 第二章 欧拉对微分几何的贡献 |
| 2.1 欧拉对曲线论的研究 |
| 2.2 欧拉对变分法的研究 |
| 2.2.1 测地线 |
| 2.2.2 极小曲面 |
| 2.3 欧拉对曲面论的研究 |
| 2.3.1 《曲面上曲率的研究》 |
| 2.3.2 《论表面可以展平的立体》 |
| 2.4 欧拉的微分几何的影响 |
| 2.4.1 欧拉对拉格朗日的影响 |
| 2.4.2 欧拉对蒙日的影响 |
| 2.4.3 欧拉对梅尼埃的影响 |
| 2.4.4 欧拉对柯西的影响 |
| 2.5 小结 |
| 第三章 高斯的大地测量学 |
| 3.1 高斯生平 |
| 3.2 高斯的大地测量简述 |
| 3.3 汉诺威大地测量中的投影方法 |
| 3.3.1 由平面直角坐标计算纬度和经度 |
| 3.3.2 由大地坐标计算平面直角坐标 |
| 3.3.3 由大地坐标计算子午线收敛角 |
| 3.3.4 大地线描写形与弦线的夹角 |
| 3.4 小结 |
| 第四章 内蕴微分几何理论的创立 |
| 4.1 高斯1822年关于保角映射的论文 |
| 4.1.1 任意两个曲面建立保角映射的充要条件 |
| 4.1.2 五个例子 |
| 4.2 高斯1827年《关于曲面的一般研究》 |
| 4.2.1 高斯曲率 |
| 4.2.2 测地坐标系和高斯博内定理 |
| 4.2.3 勒让德定理的推广 |
| 4.3 小结 |
| 第五章 曲面理论的完善 |
| 5.1 明金的贡献 |
| 5.1.1 测地曲率 |
| 5.1.2 曲面变形问题 |
| 5.2 伏雷内-塞克雷公式(Frenet-Serret Formulas) |
| 5.3 高斯-柯达齐方程(Gauss-Codazzi Equations) |
| 5.4 小结 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 附图：本文的基本框架 |
| 攻读博士学位期间发表的学术论文和参加的学术活动 |
| 致谢 |
（5）基于编码器/播放器架构的新型数控系统及其插补器的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 数控系统的发展 |
| 1.1.2 数控系统的插补器 |
| 1.1.3 本文的研究思路 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 数控系统功能模块安排的研究现状 |
| 1.2.2 曲线插补技术的研究现状 |
| 1.2.3 参数曲线插补的速度波动问题 |
| 1.2.4 参数曲线的速度极值曲线生成方法的研究现状 |
| 1.2.5 多轴联动电火花加工及其运动轨迹插补器的研究现状 |
| 1.3 课题来源及研究安排 |
| 1.3.1 课题的来源 |
| 1.3.2 论文的研究内容与安排 |
| 第二章 基于编码器/播放器架构的数控系统 |
| 2.1 新架构数控系统的设计思路 |
| 2.2 新架构数控系统的组成部分及本文后续章节研究部分 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 参数曲线插补中曲线参数计算的研究 |
| 3.1 参数曲线与B样条曲线的定义 |
| 3.1.1 参数曲线的定义 |
| 3.1.2 NURBS曲线与B样条曲线的定义 |
| 3.2 修正泰勒展开法 |
| 3.2.1 基于Heun方法的预估-校正法 |
| 3.2.2 使用节点-弧长组合的参数校准法 |
| 3.2.3 极端情况下的线性插值计算 |
| 3.2.4 修正泰勒展开法流程总结 |
| 3.3 曲线参数计算方法的仿真与实验比较 |
| 3.3.1 曲线参数计算仿真 |
| 3.3.2 实验比较结果 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 面向编码器/播放器架构的数控系统插补器 |
| 4.1 参数曲线插补存在的问题与对策 |
| 4.1.1 参数曲线插补存在的问题 |
| 4.1.2 参数曲线插补问题的解决思路 |
| 4.1.3 本文解决参数曲线插补问题的方案概述 |
| 4.2 参数曲线的编码器 |
| 4.2.1 编码器的任务 |
| 4.2.2 基于单位弧长增量插补法的恒定微小步长插补 |
| 4.2.3 单位弧长增量插补法插补结果的差分转化 |
| 4.2.4 坐标增量的运动比特流编码 |
| 4.2.5 编码器的工作流程 |
| 4.3 参数曲线的播放器 |
| 4.3.1 播放器的任务 |
| 4.3.2 运动比特流的解码 |
| 4.3.3 坐标增量的累加 |
| 4.3.4 播放器的工作流程 |
| 4.4 仿真与实验 |
| 4.4.1 仿真比较结果 |
| 4.4.2 实验比较结果 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 参数曲线的速度极值曲线的生成方法 |
| 5.1 速度极值曲线的作用及其生成方法中的问题 |
| 5.2 基于弓高误差限制的速度极值 |
| 5.2.1 弓高误差的计算思路 |
| 5.2.2 使用单位弧长增量扫描法计算弓高误差 |
| 5.3 基于轴加速度限制的速度极值 |
| 5.4 速度极值曲线生成算法小结 |
| 5.5 仿真结果 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 基于编码器/播放器的六轴联动电火花成形加工数控系统 |
| 6.1 具有串并联曲线插补功能的编码器 |
| 6.1.1 串并联曲线插补的应用背景 |
| 6.1.2 广义单位弧长增量插补法的思想 |
| 6.1.3 基于广义单位弧长增量插补法的编码器工作流程 |
| 6.2 具有正反双向播放功能的播放器 |
| 6.3 六轴联动电火花成形加工数控系统编码器和播放器的实现 |
| 6.3.1 基于编码器的指令运动轨迹编码 |
| 6.3.2 基于播放器的电火花加工运动 |
| 6.4 闭式整体叶盘加工实验验证 |
| 6.5 本章小结 |
| 第七章 结论与展望 |
| 7.1 本文的工作总结 |
| 7.2 本文的创新点 |
| 7.3 研究展望 |
| 参考文献 |
| 附录1 与曲线参数计算相关的部分定理的证明 |
| 附录2 与弓高误差相关的部分定理及其证明 |
| 附录3 闭式整体叶盘加工示例曲线 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的科研成果 |
（6）含孔电致伸缩介质力电耦合问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 电致伸缩效应 |
| 1.2 电致伸缩材料及其应用 |
| 1.3 电致伸缩介质力电耦合问题研究进展 |
| 1.3.1 电致伸缩介质力电弹性理论研究 |
| 1.3.2 电致伸缩介质二维力电弹性问题的研究 |
| 1.3.3 电致伸缩介质三维力电弹性问题的研究 |
| 1.4 本文研究内容 |
| 第二章 各向异性连续电致伸缩介质力电弹性理论 |
| 2.0 引言 |
| 2.1 连续电致伸缩介质的运动与变形 |
| 2.1.1 连续电致伸缩介质的运动 |
| 2.1.2 质点速度、加速度的拉格朗日描述与欧拉描述 |
| 2.1.3 连续电致伸缩介质的变形 |
| 2.1.4 变形梯度张量、应变张量、变形率张量等在不同惯性系之间的转换关系 |
| 2.1.5 连续电致伸缩介质的无穷小变形 |
| 2.2 连续电致伸缩介质在低频电磁场作用下的电动力学 |
| 2.2.1 固有惯性坐标系 |
| 2.2.2 固有惯性坐标系下定义在质点邻域上的Maxwell方程组的积分与微分形式 |
| 2.2.3 固有惯性坐标系下定义在质点邻域上的Maxwell方程组的势函数表示 |
| 2.2.4 固有惯性坐标系下定义在质点邻域上的Maxwell方程组的张量场表示 |
| 2.2.5 固有惯性坐标系下定义在质点邻域上的Minkowski能量动量张量 |
| 2.2.6 固有惯性坐标系下定义在质点邻域上的四维Minkowski力矢量以及四维力偶矩张量 |
| 2.2.7 固定惯性坐标系下定义在质点邻域上的Maxwell方程组 |
| 2.2.8 定义在质点邻域上的各电磁学量在不同惯性系下的转换关系 |
| 2.2.9 固定惯性坐标系下电磁场与连续电致伸缩介质的能量转换关系 |
| 2.2.10 低速运动下的非相对论近似—定义在整个连续电致伸缩介质上的电动力学 |
| 2.2.11 电磁场边界条件与力边界条件 |
| 2.3 连续电致伸缩介质的守恒定律与平衡方程 |
| 2.3.1 连续电致伸缩介质的动量方程与动量矩方程 |
| 2.3.2 局部能量守恒定律与热力学第一定律 |
| 2.4 连续电致伸缩介质在力电载荷作用下的本构方程 |
| 2.4.1 应力本构方程的客观性原理 |
| 2.4.2 各向异性连续电致伸缩介质的本构方程 |
| 2.4.3 本构方程的多项式表述 |
| 2.4.4 连续电致伸缩介质在无穷小变形下的本构方程 |
| 2.5 本章总结 |
| 第三章 含椭圆孔各向同性电致伸缩介质广义平面应力问题 |
| 3.0 引言 |
| 3.1 基本方程 |
| 3.1.1 三维情形下的基本方程与边界条件 |
| 3.1.2 向广义平面应力问题的退化 |
| 3.2 电场的复变函数解 |
| 3.2.1 电场的复变函数表示 |
| 3.2.2 电场边值问题的保角变换与Cauchy积分法求解 |
| 3.3 应力应变以及位移场的复变函数解 |
| 3.3.1 应力应变以及位移场的复变函数表示 |
| 3.3.2 应力场边值问题的Cauchy积分法求解 |
| 3.3.3 椭圆孔边界处切向应力，法向应力与环向应力 |
| 3.3.4 从椭圆孔向裂纹的退化 |
| 3.3.5 从电可穿透向电不可穿透情形的退化—模型II的解 |
| 3.3.6 向模型III和模型IV的退化 |
| 3.3.7 第二种广义平面应力状态定义下四种模型的解 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.4.1 0.9PMN-0.1PT与K_(0.95)Na_(0.05)Ta_(0.57)Nb_(0.43)O_3的材料常数 |
| 3.4.2 在椭圆孔长短半轴比a/b给定条件下各场量随外加电载荷的变化规律 |
| 3.4.4 在外加电载荷给定条件下各场量椭圆孔长短半轴比a/b的变化规律 |
| 3.4.3 对由应力应变所引起极化的估值 |
| 3.5 本章总结 |
| 第四章 含椭圆孔各向异性电致伸缩介质广义平面应力问题 |
| 4.0 引言 |
| 4.1 基本方程 |
| 4.1.1 三维情形下的基本方程 |
| 4.1.2 广义平面应力问题的基本方程 |
| 4.2 电场的复变函数法求解 |
| 4.2.1 电场的复变函数表示 |
| 4.2.2 电场边值问题的Cauchy积分法求解 |
| 4.3 应力应变以及位移场的复变函数法求解 |
| 4.3.1 应力应变场的复变函数表示 |
| 4.3.2 复参量V_1，V_2，V_5各不相等时应力场边值问题的Cauchy积分法求解 |
| 4.4 含单个电可穿透裂纹时的解 |
| 4.5 本章总结 |
| 第五章 含孔各向异性电致伸缩介质力电耦合问题的有限元分析 |
| 5.0 引言 |
| 5.1 有限单元法的基本理论 |
| 5.1.1 基本微分方程以及有限元边界条件 |
| 5.1.2 电致伸缩介质力电耦合问题的虚功原理表述 |
| 5.1.3 相应的矩阵表述 |
| 5.1.4 三维六面体八节点电致伸缩单元的有限单元法表述 |
| 5.1.5 三维六面体二十节点电致伸缩单元的有限单元法表述 |
| 5.2 各向异性电致伸缩介质力电耦合问题解耦有限单元法的基本理论 |
| 5.3 含单个椭圆孔三维各向同性电致伸缩板力电耦合问题的有限元解 |
| 5.3.1 在几何尺寸给定条件下各场量随外加电载荷的变化规律 |
| 5.3.2 Cauchy应力张量与Minkowski应力张量的反对称部分 |
| 5.3.3 在外加电载荷给定条件下各场量随板几何尺寸的变化规律 |
| 5.4 含两个椭圆孔三维各向同性电致伸缩板力电耦合问题的有限元解 |
| 5.5 本章总结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 对未来工作的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间的研究成果及发表的学术论文 |
| 附录Ⅰ 本文所用三维空间张量微积分运算公式 |
| 附录Ⅱ Galilean 变换与 Lorentz 变换 |
| 附录Ⅲ 介质对称性对本构方程的影响 |
| 附录Ⅳ 两种电致伸缩介质力电耦合系数的计算 |
| 附录 V 各向异性电致伸缩介质广义平面应力问题的双调和方程 |
| 附录Ⅵ 三维六面体电致伸缩单元 UEL 与 UVARM 编程 |
| 附录Ⅶ 索引 |
（7）四元数热传导方程的精细算法（论文提纲范文）
| 附件 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 目录 |
| 符号说明 |
| 第一章 背景 |
| 1.1 四元数的基本概念和运算法则 |
| 1.1.1 四元数的介绍 |
| 1.1.2 四元数的运算法则 |
| 1.1.3 四元数函数 |
| 1.2 四元数的研究现状 |
| 1.3 四元数微分方程的解法 |
| 1.3.0 四元数微分方程的推导 |
| 1.3.1 泰勒展开法 |
| 1.3.2 龙格-库塔(RUNGE-KUTTA)法 |
| 第二章 微分方程的精细积分法 |
| 2.1 精细算法的提出和发展 |
| 2.2 微分方程精细算法稳定性的研究 |
| 第三章 四元数热传导方程的精细解法 |
| 3.1 四元数热传导方程的一般解法 |
| 3.2 四元数热传导方程的精细解法 |
| 3.2.1 基 2-复数化模型的精细解法 |
| 3.2.2 基 4-实数化模型的精细解法 |
| 3.3 四元数热传导方程精细算法性质的研究 |
| 3.3.1 四元数热传导方程精细算法的精度与误差分析 |
| 3.3.2 四元数热传导方程精细算法的稳定性 |
| 3.4 数值算例 |
| 第四章 带有激励项和一般变系数的四元数热传导方程的精细算法研究 |
| 4.1 带有激励项的四元数热传导方程的齐次扩容精细解法研究 |
| 4.1.1 基 2-复数化模型的精细解法 |
| 4.1.2 基 4-实数化模型的精细解法 |
| 4.2 数值算例 |
| 4.3 一般变系数线性四元数热传导方程精细解法研究 |
| 4.3.1 基 2-复数化模型的精细解法 |
| 4.3.2 基 4-实数化模型的精细解法 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 A 作者按“数学系统一要求”撰写的综述报告（附见：“上海交通大学数学系硕士研究生毕业要求”的条例） |
| A.1 微观世界与微腔 |
| A.2 微观世界的空间问题 |
| A.2.1 空间学说中基本思想的发展 |
| A.2.2 微观世界的某些空间概念 |
| A.2.3 微观世界的几何问题 |
| A.3 微腔中强耦合电磁场的微分几何结构 |
| A.3.1 强耦合电磁场各种不同的表述方式 |
| A.3.2 强耦合电磁场的微分几何结构 |
| A.4 微腔效应 |
| 附录 B:作者对着名科学家的认识：沃尔夫奖获得者陈省身 |
| 附录 C 英译中 |
| 求解在非均匀介质中具有较高波数的亥姆霍兹方程的一种定制有限点方法 |
| 原文：ATAILORED FINITE POINT METHOD FOR THE HELMHOLTZ EQUATION WITH HIGH WAVE NUMBERS IN HETEROGENEOUS MEDIUM |
| 附录 D 作者在攻读硕士学位期间已发表或录用的论文 |
（8）稳态热传导问题的间接边界积分方程的高精度算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.1.1 微分方程的内问题与外问题 |
| 1.1.2 位势理论与间接边界元法 |
| 1.1.3 边界积分方程的几类求解方法 |
| 1.2 加速收敛技巧 |
| 1.2.1 三角正弦变换 |
| 1.2.2 外推法与分裂外推算法 |
| 1.3 本文主要内容,方法和创新点 |
| 1.4 本论文的章节安排 |
| 第二章 光滑域上达西方程的边界积分方程的机械求积法与外推 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 半径为e~(-1/2)的圆的情形 |
| 2.2.1 求积公式 |
| 2.2.2 机械求积法的收敛性 |
| 2.2.3 误差展开式和外推程序 |
| 2.3 一般光滑曲线情形 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 多角域上达西方程的边界积分方程的机械求积法与分裂外推 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 积分核和解的奇异性分析 |
| 3.3 机械求积法 |
| 3.3.1 机械求积法的解的存在性和收敛性 |
| 3.3.2 机械求积法的解的稳定性分析 |
| 3.3.3 误差的多参数展式和分裂外推程序 |
| 3.4 数值例子 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 稳态完全各向异性热传导方程的高精度算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 机械求积法解稳态完全各向异性热传导方程 |
| 4.2.1 光滑域的情况 |
| 4.2.2 多角域情况 |
| 4.3 机械求积法的误差和稳定性分析 |
| 4.3.1 机械求积法的误差分析 |
| 4.3.2 机械求积法的稳定性分析 |
| 4.4 数值例题 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 三维轴对称稳态各向同性热传导问题的校正求积法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 单层位势与积分核的奇性分析 |
| 5.3 校正求积法与积分算子方程的离散 |
| 5.3.1 校正求积法 |
| 5.3.2 积分算子方程的离散 |
| 5.4 收敛性分析 |
| 5.5 误差展开式 |
| 5.6 数值算例 |
| 5.7 本章小结 |
| 第六章 结论 |
| 6.1 工作总结 |
| 6.2 下一步工作的展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
（9）基于向量场的机器学习（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 插图 |
| 表格 |
| 目次 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究的背景及意义 |
| 1.2 相关研究现状 |
| 1.3 本文研究内容和主要贡献 |
| 1.4 本文各章节的结构安排 |
| 1.5 本章小结 |
| 2 基于向量场的线性流形学习 |
| 2.1 研究动机 |
| 2.2 理论分析 |
| 2.3 我们的方法 |
| 2.4 实验结果 |
| 2.5 本章小节 |
| 3 基于向量场的非线性流形学习 |
| 3.1 研究动机 |
| 3.2 基于几何视角的降维 |
| 3.3 平行向量场嵌入 |
| 3.4 实验 |
| 3.5 本章小节 |
| 4 基于向量场的半监督学习 |
| 4.1 研究动机 |
| 4.2 向量场上的正则化 |
| 4.3 实现 |
| 4.4 相关工作和讨论 |
| 4.5 实验 |
| 4.6 本章小节 |
| 5 基于向量场的多任务学习 |
| 5.1 研究动机 |
| 5.2 多任务学习：一个向量场的方法 |
| 5.3 优化 |
| 5.4 实验 |
| 5.5 结论 |
| 6 基于向量场的测地距离函数学习 |
| 6.1 研究动机 |
| 6.2 理论分析 |
| 6.3 测地距离函数学习 |
| 6.4 实验 |
| 6.5 结论 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 本文小结 |
| 7.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 发表文章目录 |
| 致谢 |
（10）点集拓扑学的创立（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 引言 |
| 第一章 康托尔的集合论 |
| 1.1. 康托尔在集合论方面的早期工作 |
| 1.1.1. 康托尔集合论思想的起源 |
| 1.1.2. 康托尔对三角级数表示唯一性的处理 |
| 1.1.3. 关于无穷集的分类 |
| 1.2. 康托尔的《一般集合论基础》 |
| 1.2.1. 超穷数的引入 |
| 1.2.2. 有关良序集的研究 |
| 1.2.3. 无理数理论 |
| 1.3. 康托尔的《对建立超穷数理论的贡献》 |
| 1.3.1. 《对建立超穷数理论的贡献》的第一部分 |
| 1.3.2. 《对建立超穷数立论的贡献》的第二部分 |
| 1.4. 小结 |
| 第二章 分析中的相关问题 |
| 2.1. 分析的算术化：魏尔斯特拉斯 |
| 2.1.1. 魏尔斯特拉斯的“病态函数” |
| 2.1.2. ε-δ语言 |
| 2.2. 黎曼的贡献 |
| 2.2.1. 流形概念的起源 |
| 2.2.2. 黎曼的流形思想 |
| 2.2.3. 黎曼的工作对拓扑学的影响 |
| 2.3. 集合论的早期扩展 |
| 2.3.1. 变分法的影响 |
| 2.3.2. 函数空间的收敛问题：阿斯科利,阿尔泽拉 |
| 2.3.3. 波莱尔的相关工作 |
| 第三章 弗雷歇度量空间的一般理论 |
| 3.1. 弗雷歇抽象空间理论的开始 |
| 3.1.1. 第一篇注解 |
| 3.1.2. 第二篇注解 |
| 3.1.3. 第三篇注解 |
| 3.1.4. 第四篇注解 |
| 3.1.5. 两篇研究论文 |
| 3.2. 弗雷歇1906年的博士论文 |
| 3.2.1. 博士论文的第一部分 |
| 3.2.2. 博士论文的第二部分 |
| 3.3. 小结 |
| 第四章 豪斯道夫思想的发端 |
| 4.1. 希尔伯特的贡献 |
| 4.1.1. 希尔伯特空间的引入 |
| 4.1.2. 《几何基础》中的邻域公理 |
| 4.2. 里斯在点集拓扑学方面的工作 |
| 4.3. 外尔对黎曼而的研究 |
| 4.4. 杨夫妇的《点集理论》 |
| 4.5. 小结 |
| 第五章 豪斯道夫的变革与发展 |
| 5.1. 《集合论基础》前六章内容概述 |
| 5.2. 豪斯道夫对拓扑空间的研究 |
| 5.2.1. 邻域公理 |
| 5.2.2. α-点,β-点,γ-点 |
| 5.2.3. 拓扑空间中序列的六种极限 |
| 5.2.4. 连通性；紧性 |
| 5.3. 特殊空间中的点集理论 |
| 5.3.1. 第一和第二可数性公理 |
| 5.3.2. 集空间 |
| 5.3.3. 完备度量空间 |
| 5.4. 同胚映射 |
| 5.5. 小结 |
| 第六章 点集拓扑学理论体系的形成 |
| 6.1. 拓扑空间概念 |
| 6.1.1. 拓扑空间概念的发展演变 |
| 6.1.2. 几种拓扑空间概念的比较 |
| 6.2. 构造新空间 |
| 6.3. 对拓扑不变性的研究 |
| 6.3.1. 分离性 |
| 6.3.2. 连通性 |
| 6.3.3. 紧性 |
| 6.3.4. 维数 |
| 6.3.4.1. 曲线定义的讨论 |
| 6.3.4.2. 维数概念的讨论 |
| 6.3.4.3. 小结 |
| 6.4. 拓扑空间的度量化问题 |
| 6.5. 小结 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 附图 |
| 攻读博士学位期间发表的学术论文和参加的学术活动 |
| 致谢 |
四、关于曲面无穷小等距的两个定理（论文参考文献）
- [1]两类近切触度量流形上的Ricci和＊-Ricci算子[D]. 代欣欣. 河南师范大学, 2020(07)
- [2]清末民国时期中学解析几何学教科书研究[D]. 张美霞. 内蒙古师范大学, 2018(09)
- [3]基于插值的曲线逼近方法及应用研究[D]. 金佳培. 杭州电子科技大学, 2018(01)
- [4]高斯的内蕴微分几何理论研究[D]. 刘宇辉. 西北大学, 2016(04)
- [5]基于编码器/播放器架构的新型数控系统及其插补器的研究[D]. 陈默. 上海交通大学, 2016
- [6]含孔电致伸缩介质力电耦合问题研究[D]. 孟礼成. 南京航空航天大学, 2014(07)
- [7]四元数热传导方程的精细算法[D]. 张燕枝. 上海交通大学, 2014(06)
- [8]稳态热传导问题的间接边界积分方程的高精度算法[D]. 罗鑫. 电子科技大学, 2013(05)
- [9]基于向量场的机器学习[D]. 林彬彬. 浙江大学, 2012(12)
- [10]点集拓扑学的创立[D]. 王昌. 西北大学, 2012(01)