一、带有积分条件的泛函微分方程的稳定性分析（论文文献综述）
王晚生[1]（2008）在《非线性中立型泛函微分方程数值分析》文中认为中立型泛函微分方程（NFDEs）常出现于生物学、物理学、控制理论及工程技术等诸多领域，由于其重要性，近四十年来，人们对这类方程的适定性及其数值方法的收敛性和稳定性进行了大量研究；但另一方面，由于其困难性，迄今国内外文献中对于其理论解和数值解的稳定性研究仍局限于线性问题和一些特殊的非线性问题．本文主要目的是试图将这项研究进一步发展到更为一般的中立型非线性问题．所获主要结果如下：（1）提出了Banach空间中非线性NFDEs试验问题类Lλ*（α，β，γ，L，τ1，τ2）和Dλ*（α，β，γ，（?），τ1，τ2），获得了其理论解的一系列稳定性、收缩性、渐近稳定性及指数渐近稳定性结果．这些结果是本文数值稳定性分析的基础．应当指出，2005年，李寿佛建立了Banach空间中非线性刚性Volterra泛函微分方程（VFDEs）稳定性的一般理论（参见[146]），本文的上述结果将该理论进一步发展到非线性NFDEs．在国内外其他文献中，迄今主要研究了有限维空间中的中立型延迟微分方程（NDDEs）理论解的稳定性，尚未见到关于Banach空间中一般的非线性NFDEs理论解的研究工作．而且其中大量工作是针对线性中立型问题的，例如可参见[32-65]，仅有Bellen，Guglielmi和Zennaro[93]，张诚坚[95]，Vermiglio和Torelli[97]以及王晚生和李寿佛[105，109]等人研究了一些特殊的非线性NDDEs的理论解的稳定性．（2）研究了Banach空间中非线性NDDEs数值方法的稳定性和收敛性，给出了求解一类多延迟中立型微分方程的线性θ-方法的稳定性和渐近稳定的充分条件，获得了求解非线性变延迟中立型微分方程的一类变系数线性多步方法及若干类型的显式和对角隐式Runge-Kutta法的一系列数值稳定性结果，对于前者，同时获得了收敛性结果．此前国内外文献中未见到有关Banach空间中非线性变延迟NDDEs数值方法的稳定性和收敛性研究工作，只有少量文献研究了有限维空间中一些特殊的非线性NDDEs的数值稳定性，例如可参见[83,93,95-109]．（3）利用一个单边Lipschtiz条件和一些经典Lipschtiz条件，对有限维欧氏空间中求解非线性变延迟中立型微分方程的单支方法和波形松弛方法的误差进行了估计．考虑了中立项的三种不同逼近方式，证明了带线性插值的单支方法是p阶E（或EB）-收敛的当且仅当该方法A-稳定且经典相容阶为p（这里p=1，2），同时给出了波形松弛方法的收敛性结果，部分解决了Bartoszewski和Kwapisz于2004年提到的单边Lipschitz条件不能应用于NFDEs的问题，为今后开展这方面的研究打开了突破口．数值试验结果验证了所获理论结果的正确性．（4）获得了求解一类非线性中立型延迟积分微分方程（NDIDEs）的G（c，p）-代数稳定的单支方法和（k，l）-代数稳定的Runge-Kutta法的稳定和渐近稳定的一系列准则．同时利用单边Lipschitz条件，获得了G-稳定单支方法和代数稳定Runge-Kutta方法求解此类型的非线性NDIDEs的收敛性结果．数值试验验证了上述理论结果的正确性．据我们所知，迄今仅有少数作者研究了线性NDIDEs的数值稳定性（参见[63-65]）．2006年，余越昕和李寿佛[98]，余越昕、文立平和李寿佛[103]研究了Runge-Kutta法用于求解另两种类型非线性NDIDEs的稳定性．需要指出的是，非线性延迟积分微分方程（DIDEs）是本文研究的非线性NDIDEs的特殊情形，将本文所获数值稳定性结果应用于DIDEs，相应的结果比已有的结果更为一般和深刻（参见本文第五章第3和第4节）．（5）获得了Hilbert空间中非线性中立型分片延迟微分方程和非线性中立型变延迟微分方程本身散逸的充分条件．对中立型分片延迟微分方程，证明了一个DJ-不可约的代数稳定的Runge-Kutta方法是（弱）E（λ）-散逸的，只要下列二条件中至少有一个成立：1．A-1存在，且|1-bTA-1e|<1；对一般的中立型有界变延迟微分方程，利用一些新的技巧，获得了DJ-不可约的代数稳定的Runge-Kutta方法的有限维散逸性和无限维散逸性结果．在常微分方程（ODEs）和VFDEs系统本身的散逸性和数值方法的散逸性研究中，已经获得了大量重要研究成果，例如可参见[125-144]．2007年，程珍和黄乘明[145]给出了Hale型中立型延迟微分方程散逸的充分条件，并讨论了一类线性多步方法的散逸性．一般形式的非线性NDDEs本身及数值方法的散逸性研究在国内外文献中尚未见到．值得指出的是，即使对于非中立型的延迟微分方程，本文所获数值散逸性结果也比已有的同类结果更为一般和深刻（参见本文第六章第3节）．
赵学艳[2]（2014）在《非线性与时滞随机系统的稳定性、镇定及其控制研究》文中指出在任何实际系统及其外部环境中都存在着随机因素,影响系统的动态行为.实际上,随机模型有时更能准确反映自然与社会工程系统的动态特性.含有非线性、时滞、变系数、Markov跳变、脉冲、分布参数、奇异性、模糊性等复杂因素的随机系统的控制理论是当前的研究热点.本文以非线性、时滞随机系统为研究对象,探讨系统的稳定性、镇定与控制问题.以体现随机系统特色、减小稳定性判据的保守性为追求目标,在非线性与时滞随机系统稳定性分析方法、状态反馈镇定、噪声镇定等方面探索新的方法与途径.主要探索非线性随机系统稳定性的矩方程法、时滞随机系统稳定性分析的Lyapunov函数法加系统方程法,建立具有随机系统特色的Lyapunov稳定性定理、Razumikhin微分不等式比较原理、时滞随机系统的算子型稳定性定理、随机噪声镇定新方法等,并将随机镇定理论用于当前的热门研究领域:忆阻电路的镇定,为非线性与时滞随机系统的稳定性分析、镇定控制这一经典问题带来一些新的视野和理论方法,进一步完善和发展随机系统理论,为工程和社会实践提供理论参考.本论文的主要工作分为以下几个方面:1.介绍了非线性与时滞随机系统的研究背景与意义,以及随机系统稳定性,镇定以及控制等问题的国内外研究现状.并给出了一些常用记号,相关引理,定义以及定理.此外给出了本博士论文数值仿真的基础以及基于泛函微分方程的Lyapunov函数法的方法探索与思考.此部分的引理1.8及其推论、数值仿真算法以及关于Lyapunov函数法的方法探索本身均为本文的相关研究结果.2.分别研究了非线性连续随机时滞系统和离散随机时滞系统的矩稳定性.基于Kronecker代数和一种H-表示技巧,得到了非线性随机时滞系统的二阶矩方程.通过比较原理和已建立的矩方程,得到了非线性随机时滞系统的比较系统.基于比较系统的稳定性性质,建立了原系统的矩稳定定理.最后,用仿真实例说明所得结果的有效性.3.基于Lyapunov函数法研究了It?o随机泛函微分方程的新型稳定性判据.首先,提出了冻结算子以及随机导数的拟负定性概念.基于冻结算子以及广义微分算子,建立基于Lyapunov函数法的It?o随机泛函微分方程的新型稳定性判据,得到的判据在Lyapunov函数的随机导数的负定性方面条件宽松,且结果具有一般性.本章的结论在模型上可以退化到确定型泛函微分方程,在方法上可以推广到多Lyapunov函数法.4.研究了泛函微分不等式.基于我们建立的比较原理,将常用的常微分不等式推广到相应的泛函微分不等式.我们考虑了任意时滞,包括无穷时滞的情况.作为结果,我们将经典的Halanay不等式推广到带有任意时滞的非线性的情形和时变线性的情形.作为应用,我们研究了带有分布时滞的It?o随机变时滞系统的稳定性,基于所得泛函微分不等式,得到了一个稳定性判据.最后用仿真实例说明了我们结果的有效性.5.建立了随机泛函微分方程的一个新型稳定性定理.这个定理的特点是:它不是确定型泛函微分方程基本稳定性定理的直接复制版本.基于这个新型稳定性定理,用最简单的Lyapunov函数以及反复运用方程的方法可以方便地处理时滞项,从而得出方程的稳定性判据.作为应用,根据这个定理,建立了一个基于Lyapunov函数法的实用稳定性定理,同时研究了扩散项带有分布时滞的随机泛函微分系统的渐近稳定性,从而得到了所研究的随机泛函微分系统用代数矩阵方程刻画的稳定性判据.最后用仿真实例说明我们方法和结果的有效性.6.建立了算子型稳定性定理.基于所得到关于广义微分不等式的研究结果,研究了一般形式的时滞随机系统的渐近稳定性.首先提出了构造泛函算子重新改写系统模型的方法.分别针对基于Lyapunov泛函法和Lyapunov函数法的泛函微分算子,建立了两个渐近稳定性定理,它们都具有适用于中立型系统的一般形式,且便于应用.作为应用,研究了带有分布时滞,特别是扩散项带有分布时滞,的时变线性随机系统的镇定问题,研究了控制律的设计方法,同时给出了相应的稳定性判据.最后用仿真实例说明所得结果的有效性.7.明确提出了Razumikhin型泛函微分不等式的概念.基于Razumikhin型泛函微分不等式,建立了Razumikhin型泛函微分不等式的比较原理,从而通过建立的比较原理研究了Razumikhin型泛函微分不等式的定量性质.作为一个直接应用,分别建立了确定系统和随机系统的一些新型Razumikhin型稳定性定理.最后用实例说明了我们方法的用法和有效性.8.研究了随机系统的分时状态反馈控制.首先,提出了系统状态提取矩阵以及分时状态反馈的概念.其次,建立了由线性部分占优的随机系统的稳定性判据.再次,研究了时滞随机系统的分时状态反馈控制,同时设计了分时状态反馈控制定律,建立了闭环系统相应的稳定性判据.最后,面向部分状态信息丢失或者由网络传输带来的传送延迟情形,研究了容错控制.最后用例子说明了该方法的用法和有效性,也表明了分时反馈控制的优点.9.建立了随机系统关于几乎必然稳定性的一类新型稳定性定理,模型包括连续参数系统和不连续参数系统,这类定理实际上属于La Salle型定理.对于连续系统和不连续系统,基于这些稳定性定理我们进一步研究了利用噪声的随机镇定和随机消稳问题.在此部分,过去文献中常用的局部Lipschitz条件被减弱为广义局部Lipschitz条件,其系数可以时变.文献中的线性增长条件或者单边线性增长条件也被减弱为广义单边线性增长条件,其特点是局部、变系数、非线性,在时间维上真正允许系数的时变性,在空间维上真正允许系数的非线性性.作为新型稳定性定理的应用,1.我们提出了一个寻找噪声强度?g（t;x）的简单、直接的设计方法,使设计的噪声?g（t;x）d?B（t）可以镇定一个不稳定的系统或者消除一个稳定系统的稳定性,不管是确定型的还是随机型的系统.这样的设计方法适用于真正的时变和非线性系统;2.针对基于忆阻的电路这一背景,研究不连续系统的随机镇定与消稳.我们阐述了广义It?o公式、具有不连续漂移项的随机系统的Filippov解的非零性与整体存在性;对具有不连续动力学特性的确定性系统,具有不连续漂移项的随机系统,应用与连续型系统同样的方法设计镇定噪声强度,研究了基于忆阻的电路的随机镇定方法,该方法设计的控制器具有全局性,对系统参数与切换没有限制条件.最后,给出几个仿真实例说明了提出的理论与设计方法的有效性.本文的特点是:瞄准了本方向的研究难点:由系统的随机性、非线性、时滞性、时变性带来的困难,以减少判据保守性为目标,力图通过细心的观察、方法的整合与突破,对过去难以拓展的模型、难以放宽的假设与难以深入的问题开展新一轮探索,攻坚克难,力图对一些经典的难点问题取得一些具有意义的进展.作者认为,本文提出的方法、取得的结果都是初步的,但通过文中的探索,我们得到了一个启示,那就是:如果我们不问青红皂白,一味躲避困难,可能错过美好风景.因此,作者将在今后继续推进本文研究,力争新的成果.为此,我们将在文末的“展望”部分提炼进一步的研究课题,作为今后努力的方向.
黄浩[3]（2018）在《几类脉冲随机泛函微分系统的可控性与稳定性》文中指出本文主要研究Hilbert空间框架下四类时滞依赖于状态的无穷维随机中立型泛函微分系统温和解的存在性和可控性;另外,还讨论了一类具Markov调制的脉冲随机泛函微分系统的p阶矩指数稳定性.本文所做的主要工作包括以下几个方面:第一章概述了有限维随机微分方程和无穷维随机微分系统的研究现状和意义.第二章简要介绍了与本论文相关的预备知识,主要包括随机微分方程理论、Q-Wiener过程与无穷维随机积分、泊松点过程和泊松随机测度、积分微分（发展）方程与预解算子理论、二阶抽象微分方程理论、几个常用的不动点定理与不等式.第三章研究了一类时滞依赖于状态的一阶脉冲中立型随机积分微分方程解的存在性和可控性.在预解算子非紧的前提下,利用不动点定理、解析预解算子理论、分数阶算子理论和α模理论,在合适的条件下获得了温和解的存在性和系统可控性.最后,以带有退化记忆的随机热传导方程为例,说明结果的有效性.第四章考虑了一类时滞依赖于状态的一阶脉冲中立型随机积分微分发展方程解的存在性和可控性.利用Banach不动点定理、Sadovskii不动点定理和解析预解算子理论,在合适的条件下获得了温和解的存在性和系统可控性,所得结果推广了已有文献中的相关结论.第五章讨论了一类时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机积分微分发展方程解的存在性和可控性.首先,我们借助二阶发展方程基础理论,在不同的假设条件下,分别利用Sadovskii不动点定理与Krasnoselskii-Schaefer不动点定理,建立了温和解的存在性;然后,在合适的条件下,利用Banach不动点定理获得了所论方程的可控性,并且将所得的结果应用到时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机波动方程上,获得了相关结论.第六章研究了一类带有泊松跳的时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机微分方程的渐近可控性.利用有界线性算子强连续余弦族理论、Sadovskii不动点定理和随机分析技巧,在合适的条件下,得到了所论方程的渐近可控性,并且将所得结果应用到带有泊松跳的时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机波动方程上,获得了相关结论.第七章中,我们利用Lyapunov泛函方法、Razumikhin技巧和随机分析技巧,针对一类具Markov调制的一阶脉冲随机泛函微分系统,获得了其解p阶矩指数稳定性的判别条件.该结果表明,对于有些不稳定的具Markov调制的随机泛函微分方程,在脉冲的影响下反而会变得稳定.最后,我们用两个数据仿真实例说明了这一点.
张伟[4]（2020）在《若干分数阶微分方程（系统）边值问题解的存在性与多重性》文中研究表明非线性常微分方程边值问题是微分方程定性理论中一个重要分支,具有广泛的应用背景.近年来,随着分数阶微积分理论的发展,分数阶微分方程在许多领域被广泛的应用,如:物理力学领域、反常扩散研究领域、自动控制领域、生物医学领域等.从而对分数阶微分方程边值问题的研究受到人们的重视,得到了许多深刻的结果.本文在已有工作的基础上,利用推广的集值映射型Leggett-Williams定理、改进的k-集压缩算子抽象连续性定理、Avery-Henderson不动点定理和经典的临界点理论、拓扑度理论等理论方法研究了几类分数阶微分方程（系统）边值问题解的存在性与多重性.作为应用,本文还讨论了星图上分数阶微分系统边值问题解的存在性与Ulam型稳定性.所得新的结果推广和丰富了相关领域的研究成果,改进后的定理为研究相关问题提供了新的方法.全文分为七章.第一章介绍了所研究问题的研究背景和研究现状,本文的主要工作以及文中所需用到的基本概念和相关引理与定理.第二章研究了分数阶拟线性微分包含系统共振边值问题正解的存在性.将O’Regan和Zima证明的线性算子集值映射型Leggett-Williams定理推广到拟线性算子情形,得到拟线性算子集值映射型Leggett-Williams定理,并运用该定理给出了一类带p-Laplacian算子的分数阶微分包含系统共振边值问题正解的存在性结果.本章的结果丰富了相关领域的理论成果,并为讨论带拟线性算子的微分包含系统共振边值问题正解的存在性提供了研究方法.第三章研究了两类分数阶隐式微分方程耦合系统边值问题解的存在性.我们改进了 k-集压缩算子抽象连续性定理,为运用该定理讨论微分方程共振边值问题简化了验证过程.利用改进的k-集压缩算子抽象连续性定理给出了带扰动项的分数阶耦合系统周期与反周期边值问题解的存在性条件.此外,还运用Mawhin连续性定理证明了分数阶隐式微分方程耦合系统周期边值问题解的存在性.注意到,运用连续性定理处理分数阶隐式微分方程边值问题的研究工作尚不多见.本章的研究工作推广、改进和修正了相关文献的结果.第四章研究了无穷区间上Hadamard型分数阶微分方程积分边值问题解的存在性与多重性.为证明问题解的多重性结果,本章建立了一个新的不动点定理,即,改进的Avery-Henderson不动点定理,给出存在三个不动点结论（原定理是两个不动点存在性）,运用该定理和其他不动点定理以及单调迭代方法讨论了无穷区间上Hadamard型分数阶微分方程积分与多点边值问题正解的存在性和多重性.此外,我们还研究了无穷区间上Hadamard型分数阶微分方程积分共振边值问题,得到了解存在性结果,并证明了方程非线性项依赖于低阶导数情形的算子紧性判定准则（见引理4.7）.本章改进的Avery-Henderson不动点定理为研究微分方程边值问题的多解性提供了判定准则.与已有文献相比,本章所研究的问题更一般,定理所给条件更弱.第五章研究带瞬时脉冲与非瞬时脉冲的分数阶微分方程Dirichlet问题解的存在性与多重性.运用极小作用原理和山路定理等临界点定理分别建立了脉冲问题以及含参脉冲问题解的存在性与多重性结果.以往的工作只是研究带一种脉冲形式的分数阶微分方程边值问题,所以本章研究的问题更宽泛,所得结果丰富了分数阶脉冲微分方程边值问题相关研究工作.第六章研究星图上分数阶微分系统边值问题解的存在性、唯一性以及Ulam型稳定性.本章研究的问题是微分方程边值问题在星图上的应用.通过运用Schaefer不动点定理和Banach压缩映射定理建立了星图上系统微分方程边值问题解的存在性与唯一性,同时证明了相关Ulam型稳定性.与已有文献相比我们研究的问题模型更具一般性,在较弱的条件下得到了解的存在性结果且还讨论了Ulam型稳定性.注意到,目前关于Ulam型稳定型在星图上微分方程边值问题以及高维（n>2）分数阶微分系统边值问题的研究中尚未涉及.因此,本章我们的工作推广、改进和丰富了相关结果.第七章总结了本文的主要结果,并对后续工作进行了展望.
徐宇锋[5]（2014）在《广义分数阶微积分中若干问题的研究》文中提出摘要：研究了几类分数阶常微分方程边值问题的存在性.介绍了广义分数阶微积分的基本理论,研究了广义分数阶谐振子的动力学,研究了广义分数阶对流-扩散方程的数值解和扩散特征,以及广义分数阶变分问题.全文由7部分组成.第1章介绍了分数阶微积分的起源和历史,以及近代分数阶微积分理论的创新与发展.主要从分数阶常微分方程的边值问题,分数阶微分方程的数值计算,广义分数阶导数及其分数阶变分问题等四个方面对现代分数阶微积分理论的发展进行了综述.最后介绍了全文的主要工作.第2章介绍了Banach空间和拓扑度理论基础,Riemann-Liouville分数阶积分,Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数的定义和基本性质.第3章研究了分数阶常微分方程边值问题.利用拓扑度理论中的经典不动点定理研究了Banach空间中带有非正则型边界条件、积分型边界条件和反周期边界条件的分数阶边值问题,获得了上述边值问题普通解和正解存在的充分条件.第4章介绍了第一类广义分数阶算子：K-算子,A-算子和B-算子.研究了这类广义分数阶算子的基本性质以及在扩散波动方程和谐振子方程中的应用.研究了带有指数型核函数的B-算子定义的广义分数阶扩散波动方程的数值解.通过选取指数型核函数,分数次幂核函数和弱奇异型核函数等不同类型的核函数,定义了不同的广义分数阶谐振子方程和广义van der Pol振子.利用有限差分法求解了上述广义谐振子方程,发现广义谐振子具有十分复杂的动力学行为,且不同的动力学性质依赖于核函数的选择.经典van der Pol振子的混沌行为依赖于合适的外力驱动,且极限环在没有外力作用时不会与自身交叉.但是在广义vander Pol振子中,即使没有外力作用,当核函数为弱奇异型时,仍然可以观察到混沌现象以及极限环自身的交叉.第5章介绍了第二类广义分数阶微积分理论,研究了这类分数阶算子的基本性质和在偏微分方程中的应用.广义分数阶积分和微分算子依赖于尺度函数和权重函数,许多已有的分数阶积分和导数可视为广义分数阶算子的特殊情形.首先研究了带有广义分数阶导数的时间分数阶Burgers方程的数值格式和数值解.发现尺度函数和权重函数对Burgers方程的解的扩散特征有显着的影响.考虑了四种不同的尺度函数和两类不同的权重函数,比较了不同的尺度函数和权重函数对扩散速度的具体作用.其次,研究了带有广义分数阶导数的时间分数阶对流一扩散方程的数值解.通过选取一些典型的尺度函数和权重函数,研究了对流-扩散方程解的扩散特征对方程参数,尺度函数,权重函数以及源项函数的依赖性.最后,推导了常系数广义时间分数阶对流-扩散方程的解析解.广义分数阶算子和带权重的Caputo型分数阶算子之间可以建立等价关系.利用分离变量法,可以方便地求得时间分数阶线性偏微分方程的解析解.从解析解可以看出尺度函数和权重函数的位置以及对扩散过程的影响.当权重函数为周期函数时,方程的解在长时间演化中将呈现周期性行为.第6章研究了分数阶变分问题.运用变分学基本原理研究了分数阶泛函极小值问题,分数阶等周问题,分数阶最优控制问题等经典变分问题.研究了固定边界条件的分数阶泛函极值问题和不确定右端边界条件的分数阶泛函极值问题,分别建立了这两类变分问题对应的Euler-Lagrange方程和横截条件.推广了分数阶变分原理,利用第一类广义分数阶导数定义了广义分数阶变分问题.分别研究了固定边界和边界不确定的广义分数阶变分问题,得到了极值的必要条件即广义分数阶Euler-Lagrange方程和一般意义下的横截条件.在一般的平面凸区域上建立了广义分数阶偏导数,定义了二维广义分数阶泛函极值问题和二维广义分数阶等周问题,利用多项式逼近方法求解了上述广义分数阶变分问题的近似解.第7章回顾了全文内容,并展望了分数阶微积分领域未来的若干工作.
宋可颖[6]（2020）在《微生物降解问题的动力学建模及其动力学性质分析》文中研究表明本学位论文主要研究了微生物降解问题的动力学建模,并通过分析模型的动力学性质（如平衡态的稳定性、系统的持久性、Hopf分支与周期解（周期振荡）的存在性）来研究营养物质、微生物、絮凝剂/降解酶之间的相互作用关系,进而为微生物降解问题提供可行的理论参考依据.使用到的关于非线性常微分动力学系统、时滞/随机微分方程研究中的主要理论与方法有Lyapunov稳定性理论、Lyapunov-LaSalle不变性原理、持久性理论、Hopf分支理论、中心流形定理与规范型方法、重合度理论、强大数定律及Ito公式等.本学位论文的主要创新点概括为:1.基于生态环境治理中有害微生物的降解等实际问题,提出了一类新的微生物和其代谢产物均具有降解有害微生物特性的非线性常微分方程动力学模型,并给出了其平衡态全局稳定的充分条件与吸引域的估计.2.对一类描述微囊藻毒素生物降解问题的非线性常微分方程动力学模型平衡态的全局动力学给出了新的充分条件,并发现该动力学模型其参数变化可引起Hopf分支.同时,进一步将相关的工作拓展到更为一般的含有时滞的非线性微分方程动力学模型.3.通常,微生物的增长与降解过程一般与时间的变化密切相关.在创新点2中研究工作的基础上,针对一类更加一般的描述微囊藻毒素生物降解的非自治非线性时滞微分方程动力学模型,给出了其解的全局渐近性、周期解（周期振荡）的存在性与吸引性的充分条件.4.考虑到微生物增长与降解过程中环境噪音的影响,进一步构建了一类描述微囊藻毒素生物降解的非线性随机微分方程动力学模型,并获得了该动力学模型的持久性、周期解（周期振荡）的存在性等结论.本学位论文具体研究的内容如下:第三章中,考虑到某些微生物的代谢产物具有降解污水中有害微生物的重要特性,提出了一类描述微生物和其代谢产物均具有降解有害微生物特性的非线性常微分方程动力学模型.通过构造适当的Lyapunov函数,并利用常微分方程运动稳定性理论中经典的Lyapunov第二方法、Lyapunov-LaSalle不变性原理等,证明了该模型平衡态的全局渐近稳定性.同时,研究了无有害微生物边界平衡态的吸引域估计,并分析了微生物降解过程的控制策略.第四章中,通过构造适当的Lyapunov函数,对一类描述微囊藻毒素生物降解问题的非线性常微分方程动力学模型平衡态的全局稳定性进行了研究,给出了新的充分条件.进而研究发现该动力学模型具有更为复杂的动力学行为:系统参数的变化亦可产生Hopf分支.同时,完整地讨论了该动力学模型的持久性,并给出了其解的下极限的精确解析表达式.第五章中,基于第四章中微囊藻毒素生物降解问题的非线性常微分方程动力学模型,并考虑到微生物增长与生物量转化过程中存在的时间滞后等实际因素,构建了一类更加一般的系数依赖时滞的非线性时滞微分方程动力学模型.通过构造适当的Lyapunov泛函,超越函数零点分部的分析,利用时滞微分方程理论中的规范型方法和中心流形定理,深入地研究了该动力学模型边界平衡态的全局稳定性、正平衡态的局部稳定性、Hopf分支周期解（周期振荡）的存在性（包括稳定性与方向）以及动力学模型的持久性.第六章中,考虑微生物的增长与降解过程一般与时间的变化密切相关,将第五章中研究工作进一步拓展到一类更加一般的描述微囊藻毒素生物降解的非自治非线性时滞微分方程动力学模型.通过对动力学模型解的渐近性态的精细分析,并结合构造适当的Lyapunov函数,研究了动力学模型所刻画的微囊藻毒素降解菌持续生存（持久性）与灭绝.同时,通过构造适当的函数空间以及相应的映射算子,利用着名的重合度理论研究了动力学模型为周期系统时周期解（周期振荡）的存在性以及全局吸引性.第七章中,考虑到微生物的增长与降解过程中环境噪音的影响,将第三章中的主要研究工作进一步拓展到一类描述微囊藻毒素生物降解的随机微分方程动力学模型.利用随机微分方程稳定性等有关理论研究了该随机动力学模型全局正解的存在性、持久性、平衡态（无随机扰动情形下）附近解的渐近行为,以及周期解（周期振荡）的存在性等.
代迪迪[7]（2020）在《带有泊松跳的随机泛函微分方程在一般衰减率下的稳定性》文中研究表明随机系统的稳定性研究,不仅是对学者们的学术性挑战,更是对科技发展的大力推动.自从随机微分方程理论建立以来,随机系统就备受学者们的关注,并取得了大量的成果.目前,随机微分方程已经在数学、物理、力学、经济学、生物学等诸多领域发挥了重要作用.现实中,由于许多系统可能存在滞后现象,或者发生随机故障、突发扰动等,所以传统的随机微分方程已经不适合继续描述这类系统.综合考虑这些情况,近年来,学者们引入了一类带泊松跳的随机泛函微分方程.但是,此类方程的稳定性研究目前大多集中在指数稳定性等方面,然而实际上并不是所有系统的方程解都是呈指数收敛的.因此,在实际需求的推动下,有学者在经典稳定性定义的基础上,提出了一般衰减率的矩稳定性和轨道几乎必然稳定性的概念,它在理论上为人们研究系统提供了一个全新视角.因此,本文从一般衰减率角度出发,研究带泊松跳的随机泛函微分方程的p阶矩稳定性和几乎必然稳定性问题.本文的主要结果如下:1.给出了带泊松跳的随机泛函微分方程在一般衰减率下的p阶矩稳定性和几乎必然稳定性的定义,并利用Lyapunov函数法、Dini导数、It（?）公式及一些不等式,分别给出了该方程在一般衰减率下的p阶矩稳定、几乎必然稳定的充分性判据.2.基于1中所得出的充分性判据,进一步从一般衰减率角度,讨论了带有泊松跳的时变时滞随机微分方程的两类稳定性问题,得到了该方程的这两类稳定性的充分性判据.3.通过数值算例验证所得判据的有效性和实用性.在文章的最后,对全文工作进行了总结,并对以后该方向的研究进行了展望.
马宗立[8]（2020）在《带有时间依赖系数热传导方程与积分方程反问题研究以及变分迭代法应用》文中认为本文从逆时热传导问题入手,探索不适定问题的正则化方法与数值解法。重点研究的是二维区域上带有时间独立系数的非齐次逆时热传导问题的正则化方法、第一类积分方程的正则化方法,并给出正则解的数值实验方法。对于一般区域上带有仅时间依赖系数的逆时问题,我们采用对数凸方法得到解的条件稳定性。对于二维圆域上带有仅时间依赖系数的逆时问题,通过变换,得到了解的形式表示,分别给出了两种正则化方法,每一种方法都给出了修正解的稳定性及收敛性,得到了相应的误差估计。由于逆时问题的严重不适定性,正则解稳定效果不仅要依赖于误差水平,还会受到舍入误差及截断误差的影响,这给数值计算带来困难。为了寻求反问题的计算方法,本文研究变分迭代法,给出收敛性结论,并用其求解零阶项带有仅时间依赖未知系数热传导方程的第一类边值问题及第二类边值问题,在小范围内均得到了较好的收敛结果。而对较大范围的收敛问题,我们引入逐步变分迭代法,并将之与变分迭代法做了比较,利用逐步变分迭代法,在求解具有非线性源项的热传导参数识别问题,即使在较大范围上都得到了较好的收敛结果。此外,本文还尝试将变分迭代法与逐步变分迭代法用在求解非线性逆时热传导问题中,并用数值算例分析比较了各自的逼近效果。文章最后,我们构建了逆时问题的正则化方程,利用变分迭代法对正则化方程进行了求解,从而得到了正则解的数值逼近。变分迭代法的收敛性保证了该方法的可行性,数值算例检验了方法的有效性,计算效率体现了方法的优越性。我们将第一类Fredholm及Volterra积分方程分别转化为相应的第二类积分方程进行修正,并得到了修正解的稳定性。对第一类Fredholm积分方程,利用变分迭代法,通过最优拉格朗日乘子的选取,我们建立了修正方程的迭代格式,并在允许的正则化参数选取范围下,对具有扰动观测数据的方程进行了数值检验,得到了令人满意的逼近效果。对第一类Volterra积分方程,我们建立了修正解的迭代序列,利用数值算例检验方法的有效性,且比较了不同拉格朗日乘子下修正解的逼近效果。本文中,针对逆时问题的正则化方法数值检验较困难的问题,我们研究了变分迭代法,并将之用于拟逆正则化方法进行数值检验,得到了较好的检验效果。同时,我们还将之用于对第一类积分方程的正则化问题进行了检验,同样得到了较满意的效果,从而验证了变分迭代法在研究一些正则化问题上是行之有效的。
王亚萌[9]（2020）在《几类泛函微分方程解的收敛性》文中认为近年来,对于泛函微分方程的研究引起了学者们的广泛关注.目前对于泛函微分方程的研究多为解的存在性、极值解的存在性和稳定性的结果,而对于解的收敛性研究相对较少,因此,研究泛函微分方程解的收敛性问题是非常有意义的.本文应用比较原理、拟线性化方法和微分不等式,研究了几类泛函微分方程.主要内容包括以下三部分:第一部分讨论了具有非线性边值条件的泛函积分微分方程.通过定义泛函积分微分方程的非线性边值条件的耦合上下解,并利用拟线性化方法,得到具有非线性边值条件的泛函积分微分方程解的平方收敛的结果,并举例说明定理的有效性.第二部分研究了集值泛函微分方程的初值问题.首先给出了集值意义下的Hukuhara导数和偏导的定义,结合集值泛函微分方程的上下解和耦合上下解,获得对应集值泛函微分方程的比较定理,并利用拟线性化方法,得到平方收敛结果.第三部分研究了非线性边值条件下脉冲集值泛函积分微分方程.首先定义脉冲集值泛函积分微分方程的不同类型的耦合上下解,给出比较定理,利用单调迭代方法,得到单调迭代序列和一致收敛的结果.
柳琳娜[10]（2019）在《滞后随机系统的稳定性、数值计算与仿真》文中研究表明滞后随机系统既在确定性模型的基础上增加随机因素,又考虑了非确定性模型的滞后因素,故滞后随机系统往往能更加真实地模拟实际问题。因此,被广泛应用于经济金融、神经网络、人口统计、工程技术等科学领域。稳定性是这些领域研究的重要课题,因为一切系统能够正常运行的前提是稳定性。然而,对大部分滞后随机系统,由于其非线性和耦合性,很难求出其解析解,所以通过离散化的数值方法来研究系统的稳定性是一种有效的途径,它是窥探系统内部结构和性态的一种手段。本文主要研究三部分内容:第一部分是非线性滞后随机泛函微分方程及其数值解的稳定性研究;第二部分是几类特殊滞后随机模型及其数值解的稳定性研究;第三部分是中立型随机微分方程与其数值解稳定性的等价性研究。全文由如下七章组成。第一章介绍了滞后随机系统的研究背景及其数值方法的稳定性研究现状,并给出本文的工作概要及贡献。第二章研究了在非线性即广义多项式增长条件下随机泛函微分方程及其向后Euler-Maruyama方法的几乎必然指数稳定性。应用实用非负半鞅有界引理,证明了当步长不大于单边可解性要求的步长时,向后Euler-Maruyama方法能保持原系统的几乎必然指数稳定性。第三章研究了滞后随机Hopfield神经网络系统及其Euler-Maruyama方法、向后Euler-Maruyama方法及其两类θ方法的均方指数稳定性。在简单、合理条件下,证明了在依赖于步长的条件下,Euler-Maruyama方法能够保持原系统的均方指数稳定性;对于任意的步长,向后Euler-Maruyama方法能够保持原系统的均方指数稳定性。同样地,对于两类θ方法,即随机线性θ方法和分步θ方法,当θ∈[0,21)时,存在一个依赖于θ的常数?*>0使得?∈（0,?*）时,随机线性θ方法和分步θ方法是均方指数稳定的,当θ∈[21,1]时,对于任意的步长,随机线性θ方法和分步θ方法是均方指数稳定的。第四章研究了滞后随机积分微分方程及其分步θ方法的均方指数稳定性。在线性增长以及单边条件下,利用Lagrange插值技术,证明了隐式算法–分步θ方法能保持原系统的均方指数稳定性。第五章研究了由L′evy噪声驱动的中立型比例滞后随机微分方程的p阶矩指数稳定性。与以往比例微分方程模型相比,本章考虑了中立项、L′evy噪声的驱动以及非线性因素,因此具有更广泛的实际应用。第六章研究了具有离散时间状态反馈的随机控制系统的均方指数稳定性与数值仿真。在一个简单的假设条件下,得到了所讨论闭环系统的稳定性判据。对于数值仿真,在相同的稳定性判据下,证明了Euler-Maruyama方法和向后Euler-Maruyama方法是均方指数稳定的,即证明了存在着一个步长上界?*>0,当0<?<?*时,Euler-Maruyama方法能够保持原系统的均方指数稳定性。对于任意的步长,向后Euler-Maruyama方法能够保持原系统的均方指数稳定性。第七章研究了中立型随机微分方程与其数值解稳定性的等价性。在全局Lipschitz、压缩映射以及初值函数连续性条件下,对于充分小的步长,中立型随机微分方程是均方指数稳定的当且仅当Euler-Maruyama方法是均方指数稳定的。这个结论具有十分重要的现实意义,即在如上假设条件下,中立型随机微分方程的运行轨线的渐近性质可以由其Euler-Maruyama数值解的轨线描述。
二、带有积分条件的泛函微分方程的稳定性分析（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、带有积分条件的泛函微分方程的稳定性分析（论文提纲范文）
（1）非线性中立型泛函微分方程数值分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 中立型泛函微分方程的应用背景 |
| 1.2 中立型泛函微分方程数值分析研究现状 |
| 1.2.1 中立型泛函微分方程数值方法稳定性分析 |
| 1.2.2 中立型泛函微分方程数值方法收敛性分析 |
| 1.2.3 中立型泛函微分方程数值方法散逸性分析 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 Banach空间中立型泛函微分方程试验问题类及其性质 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 解的存在唯一性及其光滑性 |
| 2.3 试验问题类L_(λ~*)(α,β,γ,L,τ_1,τ_2)及其稳定性 |
| 2.3.1 试验问题类L_(λ~*)(α,β,γ,L,τ_1,τ_2) |
| 2.3.2 试验问题类的稳定性 |
| 2.3.3 试验问题类的渐近稳定性 |
| 2.3.4 试验问题类的指数渐近稳定性 |
| 2.4 应用于中立型延迟微分方程及中立型延迟积分微分方程 |
| 2.4.1 应用于中立型延迟微分方程 |
| 2.4.2 应用于中立型延迟积分微分方程 |
| 2.5 试验问题类D_(λ~*)(α,β,γ,(?),τ_1,τ_2)及其稳定性 |
| 2.5.1 应用及与已有结果的比较 |
| 第三章 Banach空间中立型延迟微分方程数值方法的稳定性及收敛性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 Θ-方法的非线性稳定性 |
| 3.2.1 试验问题类 |
| 3.2.2 论解的稳定性 |
| 3.2.3 Θ-方法稳定性分析 |
| 3.3 一类多步方法的非线性稳定性 |
| 3.3.1 试验问题类 |
| 3.3.2 一类多步方法 |
| 3.3.3 一类多步方法稳定性分析 |
| 3.3.4 例子和数值试验 |
| 3.4 显式和对角隐式Runge-Kutta法的非线性稳定性 |
| 3.4.1 显式和对角隐式Runge-Kutta法 |
| 3.4.2 关于L_(λ~*)(α,β,γ,L)的稳定性 |
| 3.4.3 关于L_(λ~*,δ)(α,β,γ,L)的稳定性 |
| 3.4.4 例子和数值试验 |
| 3.5 一类多步方法的收敛性 |
| 3.5.1 试验问题类 |
| 3.5.2 系数依赖于步长的多步方法 |
| 3.5.3 收敛性分析Ⅰ |
| 3.5.4 收敛性分析Ⅱ |
| 3.5.5 数值试验 |
| 第四章 中立型延迟微分方程数值方法的收敛性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 中立型延迟微分方程单支方法的收敛性 |
| 4.2.1 单支方法 |
| 4.2.2 收敛性分析Ⅰ |
| 4.2.3 收敛性分析Ⅱ |
| 4.2.4 数值试验 |
| 4.3 中立型延迟微分方程波形松弛方法的收敛性 |
| 4.3.1 导论 |
| 4.3.2 解的存在唯一性 |
| 4.3.3 连续时间波形松弛方法的收敛性 |
| 4.3.4 扰动波形松弛迭代的收敛性 |
| 4.3.5 离散时间波形松弛过程的收敛性 |
| 4.3.6 数值试验 |
| 第五章 中立型延迟积分微分方程数值方法的稳定性和收敛性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 中立型延迟积分微分方程理论解的稳定性 |
| 5.3 单支方法的非线性稳定性 |
| 5.3.1 单支方法及数值求积公式 |
| 5.3.2 稳定性分析 |
| 5.3.3 解非线性方程组迭代法的收敛性 |
| 5.3.4 数值试验 |
| 5.4 Runge-Kutta法的非线性稳定性 |
| 5.4.1 Runge-Kutta法及数值求积公式 |
| 5.4.2 稳定性分析 |
| 5.4.3 解非线性方程组迭代法的收敛性 |
| 5.4.4 应用举例 |
| 5.4.5 数值试验 |
| 5.5 单支方法的收敛性 |
| 5.5.1 收敛性分析Ⅰ |
| 5.5.2 收敛性分析Ⅱ |
| 5.5.3 数值试验 |
| 5.6 Runge-Kutta法的收敛性 |
| 5.6.1 主要结果及其证明 |
| 5.6.2 数值试验 |
| 第六章 中立型延迟微分方程数值方法的散逸性 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 中立型分片延迟微分方程Runge-Kutta法的散逸性 |
| 6.2.1 中立型分片延迟微分方程 |
| 6.2.2 系统的散逸性 |
| 6.2.3 Runge-Kutta法的散逸性 |
| 6.3 中立型有界变延迟微分方程Runge-Kutta法的散逸性 |
| 6.3.1 系统的散逸性 |
| 6.3.2 Runge-Kutta方法 |
| 6.3.3 有限维散逸性 |
| 6.3.4 无限维散逸性 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录A(个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果) |
（2）非线性与时滞随机系统的稳定性、镇定及其控制研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 时滞随机系统研究背景和意义 |
| 1.2 国内外研究现状与发展动态分析 |
| 1.3 相关定义、基本引理、数值仿真基础与研究方法探讨 |
| 1.4 本文主要工作与结构 |
| 第二章 基于(?) -表示技巧的非线性时滞随机系统的矩稳定性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 准备知识 |
| 2.3 非线性连续时滞随机系统的稳定性 |
| 2.4 非线性离散时滞随机系统的稳定性 |
| 2.5 数值仿真 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 基于Lyapunov函数法的随机泛函微分方程的新型稳定性判据 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 准备知识 |
| 3.3 主要结果 |
| 3.4 应用与推广 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 时变泛函微分不等式的比较原理以及对带有分布时滞的It(?)随机系统稳定性的应用 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 准备知识 |
| 4.3 泛函微分不等式比较定理 |
| 4.4 带有分布时滞的It(?)随机泛函微分系统的稳定性 |
| 4.5 数值仿真 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 随机泛函微分方程的新型稳定性定理及其对带有分布时滞的随机泛函微分系统稳定性的应用 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 准备知识 |
| 5.3 随机泛函微分方程的渐近稳定性定理 |
| 5.4 带有分布时滞的随机泛函微分系统的稳定性判据 |
| 5.5 数值仿真 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 时滞随机系统的算子型稳定性定理及其应用 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 准备知识 |
| 6.3 稳定性定理 |
| 6.4 带有分布时滞的线性随机系统的镇定 |
| 6.5 数值仿真 |
| 6.6 本章小结 |
| 第七章 Razumikhin型泛函微分不等式的比较原理及其应用 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 准备知识 |
| 7.3 Razumikhin型泛函微分不等式的比较定理 |
| 7.4 确定型泛函微分方程的Razumikhin型稳定性定理 |
| 7.5 随机泛函微分方程的Razumikhin型稳定性定理 |
| 7.6 数值仿真 |
| 7.7 本章小结 |
| 第八章 随机系统的分时状态反馈控制 |
| 8.1 引言 |
| 8.2 准备知识 |
| 8.3 时变时滞随机系统的稳定性定理 |
| 8.4 时变时滞随机系统的分时反馈控制 |
| 8.5 分时容错控制 |
| 8.6 数值仿真 |
| 8.7 本章小结 |
| 第九章 随机系统的几乎必然新型稳定性定理及其对随机镇定和忆阻系统的应用 |
| 9.1 引言 |
| 9.2 准备知识 |
| 9.3 基本计算公式与随机镇定的一般原理 |
| 9.4 基本引理 |
| 9.5 随机系统的新型稳定性定理 |
| 9.6 确定与随机系统的噪声镇定与消稳 |
| 9.7 基于忆阻的非线性电路的噪声镇定 |
| 9.8 本章小结 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
| 附件 |
（3）几类脉冲随机泛函微分系统的可控性与稳定性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 引言 |
| §1.1 研究背景和意义 |
| §1.1.1 有限维随机微分方程 |
| §1.1.2 无穷维随机微分系统 |
| §1.2 本文主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| §2.1 主要记号 |
| §2.2 随机微分方程基础知识 |
| §2.3 无穷维随机分析简介 |
| §2.4 抽象积分微分方程 |
| §2.5 抽象二阶微分方程 |
| §2.6 常用不动点定理 |
| §2.7 常用不等式 |
| 第三章 时滞依赖于状态的一阶脉冲中立型随机积分微分方程解的存在性和可控性 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 预备知识 |
| §3.3 温和解的存在性 |
| §3.4 可控性 |
| §3.5 应用举例 |
| 第四章 时滞依赖于状态的一阶脉冲中立型随机积分微分发展方程解的存在性和可控性 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 预备知识 |
| §4.3 温和解的存在性 |
| §4.4 可控性 |
| §4.5 应用举例 |
| 第五章 时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机积分微分发展方程解的存在性和可控性 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 预备知识 |
| §5.3 温和解的存在性 |
| §5.4 可控性 |
| §5.5 应用举例 |
| 第六章 带有泊松跳的时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机微分方程的渐近可控性 |
| §6.1 引言 |
| §6.2 预备知识 |
| §6.3 渐近可控性 |
| §6.4 应用举例 |
| 第七章 具Markov调制的一阶脉冲随机泛函微分系统的p阶矩指数稳定性 |
| §7.1 引言 |
| §7.2 预备知识 |
| §7.3 p阶矩指数稳定性 |
| §7.4 数值仿真举例 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
（4）若干分数阶微分方程（系统）边值问题解的存在性与多重性（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 变量注释表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 分数阶微积分的背景和研究意义 |
| 1.2 分数阶微分方程边值问题的研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 1.4 预备知识 |
| 2 分数阶微分包含系统共振边值问题正解的存在性 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 集值映射型Leggett-Williams定理的推广 |
| 2.3 带p-Laplacian算子的分数阶微分包含系统共振边值问题正解的存在性 |
| 3 分数阶隐式微分耦合系统边值问题解的存在性 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 改进的k-集压缩算子抽象连续性定理 |
| 3.3 带扰动项的分数阶隐式微分耦合系统周期与反周期边值问题解的存在性 |
| 3.4 分数阶隐式微分耦合系统周期边值问题解的存在性 |
| 4 无穷区间上Hadamard型分数阶微分方程积分边值问题解的存在性与多重性 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 改进的Avery-Henderson不动点定理 |
| 4.3 无穷区间上Hadamard型分数阶微分方程积分共振边值问题解的存在性 |
| 4.4 无穷区间上Hadamard型分数阶微分方程积分与多点边值问题正解的存在性与多重性 |
| 5 带瞬时脉冲与非瞬时脉冲的分数阶微分方程边值问题解的存在性与多重性 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 带瞬时脉冲与非瞬时脉冲的分数阶微分方程Dirichlet问题解的存在性与多重性 |
| 5.3 带瞬时脉冲与非瞬时脉冲的含参分数阶微分方程Dirichlet问题解的多重性 |
| 6 星图上分数阶微分系统边值问题解的存在性与Ulam型稳定性 |
| 6.1 预备知识 |
| 6.2 星图上分数阶微分系统边值问题解的存在性与唯一性 |
| 6.3 星图上分数阶微分系统边值问题Ulam型稳定性分析 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 全文总结 |
| 7.2 未来展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（5）广义分数阶微积分中若干问题的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 1 绪论 |
| 1.1 分数阶微积分的起源 |
| 1.2 现代分数阶微积分的发展与应用 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 完备赋范空间与拓扑度理论 |
| 2.2 分数阶积分与分数阶导数的基本性质 |
| 2.3 本章小结 |
| 3 分数阶常微分方程边值问题的存在性 |
| 3.1 带有非正则边界条件的分数阶边值问题 |
| 3.2 带有积分边界条件的分数阶边值问题 |
| 3.3 带有反周期边界条件的分数阶边值问题 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 第一类广义分数阶算子的基本理论及应用 |
| 4.1 定义与基本性质 |
| 4.2 广义分数阶扩散-波动方程的数值解 |
| 4.3 广义分数阶振子的动力学分析 |
| 4.3.1 广义分数阶谐振子的动力学 |
| 4.3.2 广义分数阶van der Pol振子的动力学 |
| 4.4 本章小结 |
| 5 第二类广义分数阶算子的基本理论及应用 |
| 5.1 定义与基本性质 |
| 5.2 广义分数阶对流-扩散方程的数值解 |
| 5.3 广义分数阶Burgers方程的扩散特征 |
| 5.4 齐次广义扩散方程与广义对流-扩散方程的解析解 |
| 5.5 本章小结 |
| 6 广义分数阶变分问题 |
| 6.1 变分学基本原理 |
| 6.2 分数阶古典变分问题 |
| 6.2.1 确定边界的分数阶极值问题 |
| 6.2.2 不确定边界的分数阶极值问题 |
| 6.3 广义分数阶变分问题 |
| 6.3.1 确定边界的广义分数阶泛函极值问题 |
| 6.3.2 不确定边界的广义分数阶泛函极值问题 |
| 6.4 二维平面凸区域上的广义分数阶变分问题 |
| 6.4.1 二维平面凸区域上的广义分数阶积分和广义分数阶导数 |
| 6.4.2 广义分部积分公式 |
| 6.4.3 广义分数阶泛函极值问题 |
| 6.5 本章小结 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 工作总结 |
| 7.2 分数阶微积分领域的若干问题 |
| 参考文献 |
| 附录1 分数阶积分和导数的Laplace变换 |
| 附录2 分数阶常微分方程初值问题 |
| 附录3 凸区域上的广义分数阶Gauss公式和Stokes公式 |
| 攻读学位期间主要的研究成果 |
| 攻读学位期间参与的科研项目与学术经历 |
| 致谢 |
（6）微生物降解问题的动力学建模及其动力学性质分析（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 课题背景及意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 微生物絮凝剂 |
| 1.2.2 微囊藻毒素 |
| 1.2.3 微生物降解动力学模型 |
| 1.3 本文的主要研究工作 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 时滞微分方程的基本理论 |
| 2.2 时滞微分方程稳定性研究的主要方法 |
| 2.3 持久性 |
| 2.4 指数多项式零点分布 |
| 2.5 Hopf分支 |
| 2.5.1 局部Hopf分支 |
| 2.5.2 时滞微分方程的中心流形和规范型理论 |
| 2.6 随机微分方程的相关理论 |
| 2.6.1 随机过程 |
| 2.6.2 随机微分方程 |
| 2.6.3 周期马尔可夫过程的存在性 |
| 3 类具有营养竞争和代谢产物生成的微生物降解的常微分方程动力学模型 |
| 3.1 模型的建立 |
| 3.2 解的全局存在性、非负性和有界性 |
| 3.3 平衡点的稳定性 |
| 3.3.1 平衡点存在的条件 |
| 3.3.2 边界平衡点的全局稳定性 |
| 3.3.3 正平衡点的不稳定性 |
| 3.4 边界平衡点的吸引域估计 |
| 3.5 数值模拟与结论 |
| 4 一类微囊藻毒素生物降解的常微分方程模型的全局动力学分析 |
| 4.1 模型的提出 |
| 4.2 正平衡点的稳定性 |
| 4.3 模型的持久性 |
| 4.4 Hopf分支 |
| 4.5 数值模拟与结论 |
| 5 一类微囊藻毒素生物降解的时滞微分方程动力学模型的分支分析 |
| 5.1 模型的提出 |
| 5.2 边界平衡点的稳定性分析 |
| 5.3 正平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性 |
| 5.4 分支周期解的稳定性和方向 |
| 5.5 模型的持久性 |
| 5.6 数值模拟与结论 |
| 6 微囊藻毒素生物降解的非自治时滞微分方程动力学模型 |
| 6.1 一类微囊藻毒素生物降解的非自治时滞微分方程模型的持久性和灭绝性 |
| 6.1.1 模型的提出 |
| 6.1.2 模型的持久性和灭绝性 |
| 6.1.3 模型的全局吸引性 |
| 6.1.4 数值模拟与结论 |
| 6.2 一类微囊藻毒素生物降解非自治时滞微分方程动力学模型的周期解的存在性和全局吸引 |
| 6.2.1 模型的提出 |
| 6.2.2 模型周期解的存在性 |
| 6.2.3 模型周期解的全局吸引性 |
| 6.2.4 数值例子与结论 |
| 7 微囊藻毒素生物降解的随机微分方程动力学模型 |
| 7.1 一类微囊藻毒素生物降解的随机微分方程动力学模型的渐近行为 |
| 7.1.1 模型的提出 |
| 7.1.2 全局正解的存在性 |
| 7.1.3 边界平衡点附近的渐近行为 |
| 7.1.4 正平衡点附近的渐近行为 |
| 7.1.5 微囊藻毒素降解菌的灭绝性 |
| 7.1.6 数值模拟与结论 |
| 7.2 一类微囊藻毒素生物降解的随机非自治微分方程动力学模型的非平凡周期解 |
| 7.2.1 微囊藻毒素降解菌的持久性和灭绝性 |
| 7.2.2 周期解的存在性 |
| 7.2.3 结论 |
| 8 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历及在学研究成果 |
| 学位论文数据集 |
（7）带有泊松跳的随机泛函微分方程在一般衰减率下的稳定性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 常用符号表 |
| 第1章 绪言 |
| 1.1 研究背景、意义和价值 |
| 1.2 国内外研究现状与发展趋势 |
| 1.3 主要研究内容及方法 |
| 1.4 小结 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 It(?)积分与It(?)公式 |
| 2.1.1 连续鞅与Brown运动 |
| 2.1.2 It(?)积分及其性质 |
| 2.1.3 It(?)公式 |
| 2.2 带泊松跳的随机微分方程的相关基本理论 |
| 2.2.1 Poisson随机测度与Poisson点过程 |
| 2.2.2 关于Poisson点过程的随机积分 |
| 2.3 几种常用不等式 |
| 2.4 小结 |
| 第3章 带有泊松跳的随机泛函微分方程在一般衰减率下的稳定性 |
| 3.1 模型描述、定义及引理 |
| 3.2 稳定性分析 |
| 3.3 小结 |
| 第4章 应用与数值算例 |
| 4.1 带有泊松跳的时变时滞随机微分方程 |
| 4.2 主要结果 |
| 4.3 数值算例 |
| 4.4 小结 |
| 第5章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（8）带有时间依赖系数热传导方程与积分方程反问题研究以及变分迭代法应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号说明 |
| 第1章 简介 |
| 1.1 反问题概述 |
| 1.2 反问题实例 |
| 1.2.1 逆时问题 |
| 1.2.2 第一类Fredholm积分方程问题 |
| 1.2.3 源项识别问题 |
| 1.3 正则化方法 |
| 1.4 论文框架结构 |
| 1.5 研究创新之处 |
| 第2章 带有时间依赖系数的逆时问题及正则化 |
| 2.1 带有时间依赖系数的逆时问题 |
| 2.2 带有时间依赖系数逆时问题的正则化 |
| 2.2.1 对数凸方法 |
| 2.2.2 二维圆盘区域逆时问题的正则化 |
| 2.2.3 拟逆方法 |
| 2.3 小结 |
| 第3章 变分迭代法 |
| 3.1 变分迭代法简介 |
| 3.2 变分迭代法应用 |
| 3.2.1 求解参数识别问题 |
| 3.2.2 求解逆时问题 |
| 3.3 逐步变分迭代法 |
| 3.3.1 逐步变分迭代法与变分迭代法的比较 |
| 3.3.2 逐步变分迭代法的应用 |
| 3.4 小结 |
| 第4章 变分迭代法在反问题中的应用 |
| 4.1 变分迭代法求解逆时问题 |
| 4.2 求解第一类Fredholm积分方程 |
| 4.3 求解第一类Volterra积分方程 |
| 4.4 小结 |
| 第5章 结论与展望 |
| 5.1 全文总结 |
| 5.2 工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（9）几类泛函微分方程解的收敛性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 主要内容 |
| 第二章 非线性边值条件的泛函积分微分方程解的收敛性 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 平方收敛 |
| 2.3 实例验证 |
| 第三章 初值条件下的集值泛函微分方程解的收敛性 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 平方收敛 |
| 第四章 非线性边值条件下脉冲集值泛函微分方程的单调迭代 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 一致收敛 |
| 第五章 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间取得的科研成果及学术活动 |
（10）滞后随机系统的稳定性、数值计算与仿真（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 研究现状及本文的主要工作 |
| 1.3 符号说明 |
| 第二章 非线性随机泛函微分方程及其隐式算法的几乎必然指数稳定性 |
| 2.1 模型、记号、假设与引理 |
| 2.2 连续模型的稳定性分析 |
| 2.3 离散格式的稳定性分析 |
| 2.4 数值仿真 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 滞后随机Hopfield神经网络系统及其数值算法的均方指数稳定性 |
| 3.1 模型与假设 |
| 3.2 连续模型的稳定性分析 |
| 3.3 Euler-Maruyama方法的均方指数稳定性 |
| 3.4 向后Euler-Maruyama方法的均方指数稳定性 |
| 3.5 分步θ方法的均方指数稳定性 |
| 3.6 随机线性θ方法的均方指数稳定性 |
| 3.7 数值仿真 |
| 3.8 本章小结 |
| 第四章 滞后随机积分微分方程及其分步θ方法的均方指数稳定性 |
| 4.1 模型与假设 |
| 4.2 连续模型的稳定性分析 |
| 4.3 分步θ方法的稳定性分析 |
| 4.4 数值例子 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 由L′evy噪声驱动的中立型比例滞后随机微分方程的p阶矩指数稳定性 |
| 5.1 模型与假设 |
| 5.2 稳定性分析 |
| 5.3 本章小结 |
| 第六章 具有离散时间状态反馈的随机控制系统的均方指数稳定性 |
| 6.1 模型、假设与引理 |
| 6.2 连续模型的稳定性分析 |
| 6.3 Euler-Maruyama方法的均方指数稳定性 |
| 6.4 向后Euler-Maruyama方法的均方指数稳定性 |
| 6.5 应用:具有离散时间状态反馈的随机系统控制问题 |
| 6.6 数值仿真 |
| 6.7 本章小结 |
| 第七章 中立型随机微分方程及其数值解稳定性的等价性分析 |
| 7.1 模型、假设与引理 |
| 7.2 Euler-Maruyama数值格式及其逼近 |
| 7.3 稳定性等价性定理 |
| 7.4 数值例子 |
| 7.5 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
| 附件 |
四、带有积分条件的泛函微分方程的稳定性分析（论文参考文献）
- [1]非线性中立型泛函微分方程数值分析[D]. 王晚生. 湘潭大学, 2008(05)
- [2]非线性与时滞随机系统的稳定性、镇定及其控制研究[D]. 赵学艳. 华南理工大学, 2014(02)
- [3]几类脉冲随机泛函微分系统的可控性与稳定性[D]. 黄浩. 安徽大学, 2018(09)
- [4]若干分数阶微分方程（系统）边值问题解的存在性与多重性[D]. 张伟. 中国矿业大学, 2020
- [5]广义分数阶微积分中若干问题的研究[D]. 徐宇锋. 中南大学, 2014(02)
- [6]微生物降解问题的动力学建模及其动力学性质分析[D]. 宋可颖. 北京科技大学, 2020(06)
- [7]带有泊松跳的随机泛函微分方程在一般衰减率下的稳定性[D]. 代迪迪. 信阳师范学院, 2020(07)
- [8]带有时间依赖系数热传导方程与积分方程反问题研究以及变分迭代法应用[D]. 马宗立. 中国科学技术大学, 2020(01)
- [9]几类泛函微分方程解的收敛性[D]. 王亚萌. 河北大学, 2020(08)
- [10]滞后随机系统的稳定性、数值计算与仿真[D]. 柳琳娜. 华南理工大学, 2019(01)