一、N维欧氏空间曲线的曲率公式（论文文献综述）
张静[1]（2019）在《欧氏空间和闵可夫斯基空间中的密切曲线》文中指出在欧氏空间中,位置向量总位于其第一副法向量场的正交补中的光滑曲线称为密切曲线;在四维闵可夫斯基空间E14中,位置向量总位于其第一副法向量场的正交补中的光滑曲线称为第二类密切曲线.本文主要刻画了欧氏空间中的密切曲线和四维闵可夫斯基空间E14中的第二类密切曲线的几何性质和分类.在第三章,首先我们给出了四维欧氏空间E4中满足某些条件的光滑曲线是密切曲线的若干充要条件;然后重点研究了第一曲率K1（S）为非零常数的密切曲线,给出了第一曲率为非零常数的空间曲线为密切曲线的若干充要条件,进而确定了这类密切曲线的方程;最后,我们也对n维欧氏空间En中的密切曲线给出了类似刻画.在第四章,我们主要研究了四维闵可夫斯基空间E14中的第二类密切曲线.首先给出了E14中的空间曲线为第二类密切曲线的充要条件,然后给出了四维闵可夫斯基空间E14中第一曲率k1（s）为非零常数的第二类密切曲线的分类.
黄杰[2]（2020）在《三维空间形式中的特殊曲线与曲面》文中认为本文主要研究了三维空间形式中的特殊曲线和特殊曲面的一些微分几何性质.2002年,日本学者Izumiya和Takeuchi从曲面上的曲线这一视角出发,研究了三维欧氏空间中贝特朗曲线和直纹面之间的关系[77].借助他们的想法,我们讨论了三维非平坦空间形式中贝特朗曲线和测地曲面之间的联系.对于欧氏空间中的奇异曲线,运用提升维数的思想,可以构造奇异曲线的活动标架,从而可以研究曲线在奇异点处的几何性质.本文应用上述方法,研究了三维黎曼空间形式中奇异贝特朗曲线和奇异曼海姆曲线的几何性质.最后,我们考虑三维欧氏空间中沿着奇异曲线生成的两类非可展直纹面,这两类直纹面分别为主法直纹面和副法直纹面.从奇点理论的视角出发,我们讨论了曲线上的奇点与曲面上的奇点之间的关系,并给出曲面的奇点分类.从几何不变量的视角出发,我们用非可展曲面上的结构函数来刻画特殊非可展直纹面.本文结构安排如下:第一章,主要介绍了奇点理论的背景和本文研究对象的发展现状,并简要阐述了全文的研究内容和结构安排.第二章,主要介绍了半欧氏空间中的一些非平坦子空间和子流形的概念.第三章,主要研究了三维非平坦空间形式中贝特朗曲线的几何性质,并根据曲线与曲面之间的位置关系,讨论了贝特朗曲线和测地曲面之间的关系.第四章,主要研究了三维黎曼空间形式中奇异贝特朗曲线和奇异曼海姆曲线的几何性质,并给出了具体例子.第五章,主要研究了三维欧氏空间中由奇异曲线生成的非可展直纹面上的奇点分类,并给出具体例子.
张乐[3]（2020）在《Crofton公式在全息纠缠熵和全息复杂性中的应用》文中研究指明本文旨在利用闵氏Ad S3时空的Crofton公式理解全息复杂性,丰富全息字典,并为复杂性有界提供了合理解释。本文分别介绍了纠缠熵和复杂性在量子力学和量子场论中的定义和性质。Ryu-Takayanagi关系建立了边界上纠缠熵与特定余维2极值曲面面积的联系,从而提供了纠缠熵的全息定义。在态/曲面对偶建立起Ad S时空中余维2的超曲面Σ与CFT中量子态|ψΣ对应关系的基础上,本文说明了路径积分复杂性作为更一般的场论复杂性是自然合理的。其中,量子态|ψΣ的复杂性特指以Σ为边界条件的最优面的路径积分复杂性。对于一组特定半平面,本文比较了CV猜想与路径积分复杂性的结果,在允许门的多项式的误差下两者保持一致,在这个意义下,CV猜想提供了合理的全息复杂性定义。将Crofton公式应用于欧氏Ad S2时空能使bulk中一般曲线获得纠缠熵诠释,利用这一结论可以进一步从bulk视角解释纠缠熵的基本性质。借鉴纠缠熵的研究思路,在闵氏Ad S3时空上,我们探究了的另一量子信息概念———复杂性。CV猜想已经建立了复杂性与bulk中余维1类空曲面的等量关系。针对一般闵氏时空中仅类空测地线有全息意义这一特点,本文首次给出闵氏Ad S3时空上Crofton公式的精确形式并进行严格证明,结果表明bulk中余维1的任意类空凸闭曲面面积是该曲面的类空测地线通量,其中,运动学空间的测度由纠缠熵的二次微分给出。特别地,我们将修正因子κ表示为U（1）空间和Ad S3空间体积之比。最后,复杂性与纠缠熵的联系允许我们利用张量网络的手段研究复杂性的性质,本文论证了复杂性的下界由低能标下希尔伯特空间的尺度决定。
罗淼[4]（2016）在《Bonnesen型对称混合等似不等式与Lp混合质心体》文中进行了进一步梳理等周问题是几何与凸几何分析中的最经典最重要的问题.等周不等式是几何与分析中最重要的不等式之一.等周不等式与分析的Sobolev不等式等价.Bonnesen型不等式是等周不等式的推广和加强.平面Bonnesen型不等式最近已经被推广到2维常曲率平面上.高维Bonnesen型不等式的研究一直是积分几何与几何不等式的困难问题,最近已有进展.本文,将研究欧氏平面R2中等周不等式以及Bonnesen型不等式的另一推广,即关于平面两凸域的Minkowski不等式以及Bonnesen型（Minkowski）对称混合等似不等式.将估计欧氏平面R2中一个凸域包含另一凸域的位似域的平移包含测度,估计凸域K0与K1的对称混合等似亏格?2（K0,K1）=A201-A0A1（其中A0,A1分别是R2中凸域K0,K1的面积,A01是K0与K1的混合面积）.获得了R2中一个凸域包含另一凸域的位似域的充分条件,还得到了一些Bonnesen型对称混合等似不等式和逆Bonnesen型对称混合等似不等式,位似Bol-Fujiwara定理.我们还将研究n维欧氏空间Rn中由凸体K1,...,Kn所构造的Lp混合质心体,得到了关于Lp混合质心体的一些几何不等式.本文得到的这些结果是最新的.第3章主要研究平移包含测度.利用积分几何中的运动公式,即Poincar′e平移运动公式和Blaschke平移运动基本公式,研究欧氏平面R2中一凸域包含另一凸域的位似域的包含测度.得到了位似包含测度定理和平移包含测度定理.第4章主要研究欧氏平面R2中两凸域的对称混合等似亏格?2（K0,K1）=A201-A0A1的上、下界.首先,定义一凸域关于另一凸域的内半径和外半径,利用平移包含测度定理,得到一些Bonnesen型对称混合等似不等式.特殊情况是:当其中一个域为圆盘时,这些不等式就是欧氏平面R2中周知的Bonnesen型等周不等式.我们还定义了一卵形域关于另一卵形域的曲率内半径和曲率外半径,利用平移包含测度定理,得到了一些逆Bonnesen型对称混合等似不等式.当其中一个域为圆盘时,这些不等式就是欧氏平面R2中的逆Bonnesen型等周不等式.本文中所获得到的对称混合等似不等式是欧氏平面R2中关于两凸域混合面积的Minkowski不等式的加强.我们还得到了位似Bol-Fujiwara定理.第5章主要研究Lp混合质心体.对n维欧氏空间Rn中以原点为内点的n个凸体K1,...,Kn,我们定义了Lp混合质心体Γp（K1,...,Kn）,并得到关于Lp混合质心体Γp（K1,...,Kn）的一些重要不等式.
王涛[5]（2015）在《流形及其相关领域历史的若干研究》文中研究指明流形概念起源于德国数学家黎曼1854年关于几何基础的演讲,其中他将流形理论分为几何与拓扑两个部分.其后数学家分别沿几何、拓扑等方向对流形展开研究,得到了不少结果.然而流形的严格定义一直没有得到,制约着这门学科的进一步发展.直到1913年外尔《黎曼面的概念》出版,才首次给出了二维流形的公理化定义,从此流形理论进入新的发展时期.到20世纪中叶,流形成为微分几何、微分拓扑、大范围分析、微分动力系统与叶状结构等学科的基础.这些学科属于结构数学范畴,在近现代数学的发展过程中处于主流的位置.可以说流形是20世纪数学有代表性的概念和理论,它已成为现代数学最重要的思想之一,在数学乃至理论物理中占有越来越重要的地位.本文在掌握原始文献的基础上,辅以相关的历史研究文献,以时间为轴线,以重要数学家的工作为节点,梳理并总结了流形的历史渊源与理论框架;探索了以黎曼、克莱因与庞加莱等为代表的早期数学家对流形的不同认识,考察了以外尔、维布伦与惠特尼等为代表的后期数学家对流形的贡献.本文的主要内容如下:1.梳理并总结了流形从19世纪50年代到20世纪30年代发展的整体框架.2.从几何学、分析学和物理学三个方面,以流形概念在这些学科中的出现或隐现为标志,详细考察了流形的起源.对黎曼的n重延伸流形进行了细致的分析,指出了它有两大特征:局部欧氏与可微,并对n重延伸流形的曲率概念进行了解读,论述了黎曼报告的影响.3.首次考察了克莱因的学术背景,探索了克利福德与普里姆对克莱因认识流形的影响.以克莱因对流形的认识为中心,介绍了《埃尔朗根纲领》与《关于黎曼代数函数及其积分的理论》的主要内容.由于研究目标不同,克莱因在流形的认识和处理上与黎曼有差别.4.细致地考察了庞加莱的《位置分析》及其补篇中的流形概念,介绍了庞加莱定义流形的两种方式,分析了它们的实质与关系,解读了流形的几何表示与不连续群表示.对丹麦数学家希嘉德的生平与工作进行了粗略论述.此外,还对庞加莱之后的拓扑学的发展以及拓扑学家进行了一定程度的介绍.5.在掌握原始文献的基础上,介绍了《黎曼面的概念》的主要内容、特色与影响.分析了外尔引入流形的目的、动机、方法,总结了外尔引入流形的路线,探讨了克莱因、希尔伯特等人对外尔的影响.深入分析了外尔1913年对流形与黎曼面概念的贡献,并简要讨论了其中反映的数学哲学思想.6.对美国数学家维布伦与惠特尼进行了详细的传记研究,解读了维布伦给出了现代微分流形定义与惠特尼证明嵌入定理的工作,从流形定义的公理化角度对他们的贡献进行了深入的历史分析.7.对流形中译名的问世进行了研究,高度评价了江泽涵对拓扑学名词的审定工作.
刘建新[6]（2018）在《从高斯到黎曼的内蕴微分几何学发展》文中研究表明从高斯到黎曼的内蕴微分几何学发展,是微分几何学从古典向现代的过渡,是微分几何学的历史上一个极为重要的转变。本文在原始文献和相关研究文献的基础上,以“为什么数学”为指导,通过“接受史”的研究视角,对这段历史进行研究。与前人研究这段历史的视角有所不同,本论文在关注这段历史的核心人物高斯、黎曼的同时,系统考察高斯内蕴几何思想的接受过程,研究高斯提出的内蕴几何思想是怎样被接受、继承和发展的。同时,在这段历史中对包括第一基本形式、第二基本形式、总曲率、测地曲率在内的微分几何核心概念追根溯源,研究它们是怎样产生和怎样成为微分几何核心概念的。取得的主要研究成果如下:1.梳理了高斯之前的微分几何学史。论述了微分几何学的起源问题和早期微分几何学家们的主要微分几何工作,简要整理了曲线理论的早期历史。论述欧拉、蒙日、梅斯尼埃、拉格朗日在曲面曲率、可展曲面、极小曲面等问题上的工作。特别地,研究了欧拉在可展曲面问题研究中使用的曲纹参数和线元的工具,两个工具后来都成为高斯提出内蕴微分几何思想的理论基础。2.研究了高斯内蕴几何学思想起源和逐步成熟的过程。通过对高斯全集中关于总曲率、绝妙定理的笔记、手稿、论文的研究,还原高斯建立绝妙定理和获得内蕴微分几何思想的过程,构建该过程的逻辑线索。系统解读高斯1825年手稿和1828年《关于曲面的一般研究》,总结高斯与前人相比的十数个创新点所在。通过1825年手稿和1828年论文在技术细节和整体思路两方面的对比,显示高斯内蕴几何思想逐步深化的过程。3.研究了高斯与黎曼之间内蕴微分几何学的接受与发展过程。系统解读明金在曲面展开问题和测地曲率两方面的五篇原始文献,总结明金的内蕴微分几何贡献,发现明金内蕴微分几何工作中若干未被前人总结出来的具体命题。梳理内蕴微分几何学在法国的传播过程,以及法国的刘维尔和博内在内蕴微分几何相关主题上的工作。考察曲面理论基本方程和基本定理的历史,以及俄国的彼德森对该主题的贡献。4.阐述黎曼关于几何学基础的就职演讲及其影响。从空间哲学、非欧几何学、微分几何学三方面考察黎曼演讲所要解决的几何学基础的问题的历史背景,系统解读黎曼演讲,并分析黎曼演讲在以上三方面的历史贡献。简要梳理黎曼就职演讲发表后引起的反响以及导致的微分几何工作。总结黎曼与高斯的内蕴微分几何思想的传承关系和本质不同所在。
任玉雪[7]（2020）在《网格生成中的若干数学问题》文中提出网格生成在数值计算领域占有非常重要的地位,在该领域中,有一些尚未解决的问题本质上是数学问题.例如,当考虑三维四面体网格的生成问题时,人们发现存在很多不可被三角分解的多面体,即在不添加新顶点（斯坦纳点）的前提下不能被四面体剖分的多面体.事实上,网格生成方法中的推进波前法（AFT）的收敛性问题,本质上就是这个问题.自1911年以来,不可被三角分解的多面体不断地被发现,且大部分都是非凸拟柱体,那么,什么样的非凸拟柱体是不可被三角分解的?如何判断一个非凸拟柱体是否可被三角分解?本文的第一个工作是给出非凸拟柱体不可被三角分解的一个判定方法.对于非凸拟柱体,首先说明它的侧边构成了嵌入在环柄上的扭结或2-链,当这个扭结或链平凡时,该拟柱体可被三角分解,然后说明拟柱体的可分解性等价于扭结或链的可分解性,即该扭结或链是否可被分解为两个扭结或链的和,最后证明拟柱体可被三角分解等价于拟柱体侧边构成的扭结或链可分解为一列平凡扭结的和.在上述过程中,需要验证一条封闭曲线或2-链是否平凡,事实上,这个问题可以转化为拓扑学中一个非常重要的问题—判断拓扑空间的两个嵌入是否同痕,这是本文介绍的第二个工作,所用的工具是1978年吴文俊先生在他的着作[1]中介绍的同痕不变量,即Haefliger-Wu不变量.Haefliger-Wu不变量是原拓扑空间去心积的上同调.给定一个嵌入在欧几里得空间的单纯复形,它的去心积具有分片线性结构,即CW复形,利用高斯映射将去心积中的每个胞腔映射为单位球面上的一个区域,则去心积在高斯映射下的像为单位球面同调群中的一个元素,而单纯复形的嵌入映射与高斯映射的复合映射构成了单位球面上同调群中的一个元素,我们称之为该嵌入映射的特征类.通过使用Mayer-Vietoris序列和K¨unneth定理,我们证明了闭曲面去心积的同调群的秩数与其亏格数的关系,并且给出了去心积同调群生成元的构造方案,从而提出了闭曲面嵌入的同痕不变量的计算方法.本文的前两个工作讨论非结构化四面体网格生成中的收敛性问题,而本文的第三个工作讨论网格自适应性的内容,即曲面上二维各向异性网格的生成问题.给定二维曲面及其各向异性的度量张量,生成曲面上与度量张量相关的各向异性网格.通过将目标曲面拟共形映射到一个标准区域,将目标曲面的各向异性网格生成问题转化为标准区域的各向同性网格生成问题,而后者的解决方案及相关理论发展成熟.得到各项同性的网格之后,用拟共形映射将它映射回目标曲面,则映射的像构成了曲面各向异性网格.不同于传统的各项异性网格生成工作,本文提出的算法具有较为完备的理论支撑,且可以处理各向异性性质较为复杂的网格生成问题.
赵启明[8]（2020）在《沿空间曲线的单参数可展曲面的微分几何》文中指出本文研究了欧氏空间中曲线的单参数可展曲面的一些微分几何性质,并且利用Lagrange奇点理论和Legendre奇点理论对三维欧氏空间中沿正则曲线和Frenet型标架曲线的单参数可展曲面的奇点进行了分类.欧氏空间中特殊曲线的子流形的奇点分类与研究一直是奇点理论的经典问题.2016年,S.Honda和M.Takahashi在标架曲线的基础上,定义了欧氏空间中的Frenet型标架曲线[29].这类曲线的特殊性在于它可以含有奇点,并且在曲线奇点处存在具有几何意义的单位切向量.在本文中,我们受S.Izumiya研究正则曲线的从切可展曲面[38]的方法启发,定义了三维欧氏空间中以空间曲线为导线的单参数可展曲面族,这类曲面的法向量落在它的导线的法平面内,是三维欧氏空间中重要的子流形.在本文中我们具体研究了由三维欧氏空间中正则曲线和Frenet型标架曲线作为导线的两类单参数可展曲面的一些几何性质,揭示了单参数可展曲面的奇点和曲线的几何不变量之间的关系,并利用奇点理论,对单参数可展曲面的奇点进行了分类.本文共分为四章.第一章是引言部分,主要介绍了奇点理论从诞生伊始的历史发展概况和与本课题相关的研究背景,研究现状,并简要阐述了全文的研究目的,方法,内容和结构.第二章主要介绍了奇点理论中的一些基本概念与本文用到的主要结果.第三章主要研究了三维欧氏空间中沿正则曲线的单参数可展曲面的局部微分几何,给出了沿正则曲线的单参数可展曲面的奇点分类,并给出了具体的例子.第四章主要研究了三维欧氏空间中沿Frenet型标架曲线的单参数可展曲面的局部微分几何,给出了沿Frenet型标架曲线的单参数可展曲面的奇点分类,并给出了具体的例子.
赵俊莉,辛士庆,刘永进,王醒策,武仲科,周明全,贺英[9]（2015）在《网格模型上的离散测地线》文中认为测地线是微分几何中的重要概念,用于描述曲面上两点之间的最短曲线,相当于平面上两点之间的直线段,它在计算机图形学、图像处理、计算几何、计算机视觉等学科中有着广泛的应用.自20世纪80年代以来,关于离散测地线已有广泛研究,众多学者提出了许多切实可行的算法.本文将在介绍光滑曲面上的测地线和离散网格上测地线概念的基础上,对网格模型上的离散最短测地线和最直测地线的定义、性质及相关算法进行归纳总结,重点讨论网格模型上离散最短测地线的相关算法,包括完整网格和有缺陷网格上最短测地线的精确算法和逼近算法,对各类算法进行深入研究,详细论述每个算法的基本思想与实现方法,从多个角度分析每个算法的优缺点,并对他们各自的时间复杂度、空间复杂度及适用范围等进行对比,最后对离散测地线的相关研究进行展望,有利于后续对测地线算法的深入研究.
肖琳[10]（2014）在《三维欧氏空间中的仿射乘积曲面》文中认为曲面的研究一直是微分几何的一个重要领域,乘积曲面是三维欧氏空间与三维Minkowski空间中一类特殊的曲面,研究非常广泛.在三维Minkowski空间中,由于度量的不定性可以得到三类向量：类空向量、类时向量和类光向量,因此三维Minkowski空间中的乘积曲面按其所沿的方向分为六类.而在三维欧氏空间中,乘积曲面只有一类.高斯曲率与平均曲率满足一个函数关系的曲面称为Veingarten型曲面,由于曲面的性质是由其高斯曲率和平均曲率决定的,因此研究Weingarten型曲面有着很重要的意义.进而,对于Weingarten型乘积曲面研究也是很有价值的.2007年,刘会立教授和于延华分别给出了在三维欧氏空间和三维Minkowski空间中乘积极小曲面的分类.2008年,孟慧慧将三维欧氏空间中Weingarten乘积曲面的研究思想推广到三维Minkowski空间中,讨论了几类乘积曲面的存在性及表达式,但是这些研究基本上都是在正交变换下进行的.本文主要研究了基于正定度量的仿射变换下的乘积曲面.首先,找到了仿射乘积曲面的一般参数表示,引进参数a,a是常数.这样定义的曲面由于a的不同,使得乘积曲面的研究范围更广.接着在欧氏空间中,根据微分几何的基本知识,得到了仿射乘积曲面的第一、第二基本形式以及高斯曲率和平均曲率.最后,令高斯曲率和平均曲率分别为零,从而找到了乘积曲面的具体表达式,并对该仿射乘积曲面进行了分类.
二、N维欧氏空间曲线的曲率公式（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、N维欧氏空间曲线的曲率公式（论文提纲范文）
（1）欧氏空间和闵可夫斯基空间中的密切曲线（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 综述 |
| 1.2 主要结果 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 曲线的Frenet公式 |
| 2.1.1 n维欧氏空间中曲线的Frenet公式 |
| 2.1.2 闵可夫斯基空间群中曲线的Frenet公式 |
| 2.2 密切曲线 |
| 2.2.1 E~4中的密切曲线 |
| 2.2.2 E_1~4中的密切曲线 |
| 第三章 欧氏空间中的密切曲线 |
| 3.1 E~4中的密切曲线 |
| 3.1.1 第一曲率为可微函数的密切曲线 |
| 3.1.2 第一曲率为非零常数的密切曲线 |
| 3.2 E~n中的密切曲线 |
| 第四章 闵可夫斯基空间辟中的第二类密切曲线 |
| 4.1 第一曲率为可微函数的第二类密切曲线 |
| 4.2 第一曲率为非零常数的第二类密切曲线 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（2）三维空间形式中的特殊曲线与曲面（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 1 引言 |
| 1.1 背景介绍 |
| 1.2 本文的研究内容及结构 |
| 2 预备知识 |
| 3 三维非平坦空间形式中的特殊曲线与曲面 |
| 3.1 基本概念 |
| 3.2 非类光贝特朗曲线的性质 |
| 3.3 主法测地曲面的性质 |
| 4 三维黎曼空间形式中奇异的特殊曲线 |
| 4.1 基本概念 |
| 4.2 含奇异点的贝特朗曲线的几何性质 |
| 4.3 含奇异点的曼海姆曲线的几何性质 |
| 4.4 例子 |
| 5 三维欧氏空间中奇异的非可展直纹面 |
| 5.1 基本概念 |
| 5.2 主法直纹面上的奇点类型 |
| 5.3 副法直纹面上的奇点类型 |
| 5.4 直纹面上的几何拓扑不变量 |
| 5.5 例子 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
| 在学期间公开发表(投稿中)论文及着作情况 |
（3）Crofton公式在全息纠缠熵和全息复杂性中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及研究现状 |
| 1.2 研究内容与研究方法 |
| 1.3 研究目的及研究价值 |
| 1.4 文章结构安排 |
| 第二章 全息原理 |
| 2.1 共形场论 |
| 2.2 AdS时空 |
| 2.3 GKP-W关系 |
| 第三章 纠缠熵与复杂性 |
| 3.1 纠缠熵 |
| 3.1.1 量子力学中的纠缠熵 |
| 3.1.2 其他纠缠度量 |
| 3.1.3 全息纠缠熵 |
| 3.2 复杂性 |
| 3.2.1 量子力学中的复杂性 |
| 3.2.2 态/曲面对偶 |
| 3.2.3 全息复杂性 |
| 第四章 Crofton公式在全息纠缠熵中的应用 |
| 4.1 Crofton公式 |
| 4.1.1 2维欧氏平直时空的Crofton公式 |
| 4.1.2 2维欧氏反德西特时空上的Crofton公式 |
| 4.2 运动学空间与全息纠缠熵 |
| 4.2.1 条件互信息 |
| 4.2.2 运动学空间的因果律与原空间的基本几何元素 |
| 4.2.3 纠缠熵性质在运动学空间的诠释 |
| 第五章 Crofton公式在全息复杂性中的应用 |
| 5.1 3维闵氏反德西特时空上的Crofton公式 |
| 5.2 运动学空间与全息复杂性 |
| 5.2.1 运动学空间因果律 |
| 5.2.2 CV猜想与全息复杂性性质 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 附录 A:AdS2时空与Ad S3时空 |
| 攻读硕士学位期间取得的科研成果 |
| 致谢 |
（4）Bonnesen型对称混合等似不等式与Lp混合质心体（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 引言 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 凸体与星体 |
| 2.2 混合体积与混合表面积测度 |
| 2.3 平面上Bonnesen型等周不等式与几个重要不等式 |
| 第3章 包含测度 |
| 3.1 包含测度理论 |
| 3.2 平移包含测度 |
| 第4章 平面上Bonnesen型不等式 |
| 4.1 欧氏平面上Bonneson型对称混合等似不等式 |
| 4.2 欧氏平面上逆Bonneson型对称混合等似不等式 |
| 4.3 位似Bol-Fujiwara定理 |
| 第5章 L_p混合质心体 |
| 5.1 质心体 |
| 5.2 L_p混合质心体 |
| 5.3 第i阶L_p混合质心体 |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间完成和发表的学术论文 |
（5）流形及其相关领域历史的若干研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 引言 |
| 第一章 流形的历史渊源与理论框架 |
| 1.1 流形概念的起源 |
| 1.1.1 坐标几何——从低维到高维 |
| 1.1.2 曲线、曲面的微分几何——从平直到弯曲 |
| 1.2 流形概念的产生 |
| 1.2.1 几何学中的流形概念 |
| 1.2.2 分析学中的流形概念 |
| 1.2.3 物理学中的流形概念 |
| 1.3 流形思想的传播 |
| 1.3.1 流形的几何理论 |
| 1.3.2 闭曲面的分类 |
| 1.3.3 流形的拓扑理论 |
| 1.4 流形概念的形式化 |
| 1.4.1 流形定义的公理化 |
| 1.4.2 组合同调与对偶定理对流形的限制 |
| 1.4.3 进一步发展 |
| 第二章 黎曼1854年演讲中的流形概念 |
| 2.1 黎曼的空间观念 |
| 2.1.1 离散流形与连续流形 |
| 2.1.2 连续流形的几何与拓扑 |
| 2.2 n重延伸流形的两个特征 |
| 2.2.1 第一个特征——局部同胚于欧氏空间 (拓扑流形) |
| 2.2.2 第二个特征——由切向量定义线元 (可微流形) |
| 2.3 常曲率流形 |
| 2.3.1 黎曼的断言 |
| 2.3.2 黎曼曲率 |
| 2.3.3 常曲率流形 |
| 2.4 黎曼演讲的影响 |
| 2.4.1 贝尔特拉米——通向高维非欧几何 |
| 2.4.2 赫姆霍兹——以变换为基础的几何学 |
| 第三章 克莱因对流形的认识 |
| 3.1 学术背景对克莱因流形认识的影响 |
| 3.1.1 别样的求学经历 |
| 3.1.2 克利福德的影响 |
| 3.1.3 鲜为人知的普里姆 |
| 3.2 《埃尔朗根纲领》对流形的论述 |
| 3.2.1 纲领的本质 |
| 3.2.2 克莱因流形与空间的关系 |
| 3.2.3 流形的作用 |
| 3.3 《代数函数及其积分》的主要内容 |
| 3.3.1 黎曼的博士论文及其应用 |
| 3.3.2 《代数函数及其积分》的主要内容 |
| 第四章 《位置分析》中的流形定义 |
| 4.1 第一个流形定义 |
| 4.2 第二个流形定义 |
| 4.2.1 第二个流形定义 |
| 4.2.2 两个定义之间的关系 |
| 4.2.3 同调与贝蒂数 |
| 4.2.4 流形的定向 |
| 4.3 几何表示与不连续群表示 |
| 4.3.1 几何表示——正方体流形 |
| 4.3.2 不连续群表示 |
| 4.3.3 其他表示 |
| 4.4 补篇中的流形 |
| 4.4.1 希嘉德小传 |
| 4.4.2 补篇中的流形定义 |
| 4.4.3 早期的拓扑学 |
| 4.5 小结 |
| 第五章 《黎曼面的概念》中的流形 |
| 5.1 《黎曼面的概念》介绍 |
| 5.1.1 背景、内容介绍与影响 |
| 5.1.2 本书的特色 |
| 5.2 外尔引入流形与黎曼面的路线 |
| 5.2.1 克莱因对黎曼面的贡献 |
| 5.2.2 希尔伯特的平面定义 |
| 5.2.3 希尔伯特问题的激发 |
| 5.3 外尔的流形定义 |
| 5.3.1 从解析构形到二维流形 |
| 5.3.2 外尔的曲面定义 |
| 5.3.3 黎曼面的概念 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 微分流形概念的澄清 |
| 6.1 现代微分流形概念的引入 |
| 6.1.1 美国数学界早期卓越的领导者——维布伦 |
| 6.1.2 “正则流形”的基本思想 |
| 6.1.3 三组公理 |
| 6.1.4 《微分几何的基础》 |
| 6.2 惠特尼与嵌入定理 |
| 6.2.1 惠特尼：微分拓扑的奠基人 |
| 6.2.2 欧氏空间中的微分流形 |
| 6.2.3 微分流形 |
| 6.3 小结 |
| 第七章 流形中译名的问世 |
| 7.1 江泽涵与拓扑名词的审定 |
| 7.2 江泽涵与中国拓扑学的发展 |
| 第八章 结论 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间的科研成果 |
（6）从高斯到黎曼的内蕴微分几何学发展（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 选题背景与意义 |
| 1.2 文献综述 |
| 1.2.1 通史类着作的相关章节 |
| 1.2.2 微分几何学史的专题论文 |
| 1.2.3 数学家传记 |
| 1.3 本文的目标和方法 |
| 1.4 论文结构 |
| 第二章 高斯之前的微分几何学 |
| 2.1 微分几何学的起源 |
| 2.1.1 微分几何学的先驱者惠更斯 |
| 2.1.2 早期的微分几何工作 |
| 2.2 曲线理论的早期发展 |
| 2.3 高斯之前的曲面理论 |
| 2.3.1 欧拉对曲面理论的奠基 |
| 2.3.2 蒙日关于可展曲面的工作 |
| 2.3.3 梅斯尼埃关于曲面曲率的工作 |
| 2.3.4 拉格朗日关于极小曲面的工作 |
| 2.4 小结 |
| 第三章 高斯与内蕴微分几何学的创立 |
| 3.1 大地测量与高斯的保角映射研究 |
| 3.1.1 大地测量与保角映射 |
| 3.1.2 高斯1822年关于保角映射的论文 |
| 3.1.3 保角映射与高斯的高等测地学 |
| 3.2 绝妙定理的建立与内蕴微分几何思想的起源 |
| 3.2.1 高斯与总曲率 |
| 3.2.2 绝妙定理的发现与证明 |
| 3.2.3 从绝妙定理到内蕴微分几何学 |
| 3.3 《关于曲面的新研究》 |
| 3.4 《关于曲面的一般研究》 |
| 3.4.1 曲率计算、绝妙定理与内蕴几何思想 |
| 3.4.2 测地线理论 |
| 3.4.3 高斯-博内公式 |
| 3.4.4 角度与面积比较定理 |
| 3.4.5 1828 年论文与1825年手稿的比较 |
| 3.5 小结：高斯对微分几何学的贡献 |
| 第四章 曲面的内蕴微分几何学发展 |
| 4.1 明金对内蕴微分几何学的继承和发展 |
| 4.1.1 测地曲率的提出 |
| 4.1.2 测地曲率作为内蕴几何量 |
| 4.1.3 曲面展开问题 |
| 4.1.4 明金的其它微分几何工作 |
| 4.2 刘维尔与内蕴微分几何学在法国的发展 |
| 4.2.1 内蕴微分几何在法国的传播 |
| 4.2.2 刘维尔对内蕴微分几何学的贡献 |
| 4.2.3 博内的内蕴微分几何工作 |
| 4.3 曲面理论基本定理与基本方程的历史 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 黎曼与流形的内蕴微分几何学 |
| 5.1 黎曼论几何学基础之假设 |
| 5.1.1 空间问题的哲学背景与数学背景 |
| 5.1.2 黎曼就职演讲 |
| 5.1.3 黎曼演讲的贡献 |
| 5.2 黎曼就职演讲引起的反响 |
| 5.3 小结：黎曼与高斯的内蕴微分几何学之比较 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的学术论文和参加的学术活动 |
| 致谢 |
（7）网格生成中的若干数学问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号说明 |
| 第1章 绪论 |
| §1.1 拟柱体的三角分解问题 |
| §1.2 曲面的同痕等价类问题 |
| §1.3 各向异性网格的生成问题 |
| §1.4 论文结构及主要工作 |
| §1.4.1 论文结构 |
| §1.4.2 主要工作 |
| 第2章 准备知识 |
| §2.1 同伦群 |
| §2.1.1 基本群 |
| §2.1.2 路径与同伦 |
| §2.1.3 同伦不变量-映射诱导的基本群之间的同态 |
| §2.1.4 覆盖空间 |
| §2.2 同调 |
| §2.2.1 单纯复形和链复形 |
| §2.2.2 链映射和诱导同态 |
| §2.2.3 链同伦 |
| §2.2.4 同伦等价 |
| §2.2.5 同调群的计算方法 |
| §2.2.6 同调群和基本群之间的关系 |
| §2.3 上同调 |
| §2.3.1 上同调群 |
| §2.3.2 上链映射与上链同伦 |
| §2.4 扭结和链 |
| §2.4.1 R~3空间中扭结和链的平面表示 |
| §2.4.2 链的Seifert曲面 |
| §2.4.3 嵌入在环柄中的扭结和链 |
| 第3章 R~3空间中拟柱体的不加点四面体剖分设计 |
| §3.1 S_(n,m)-拟柱体 |
| §3.2 拟柱体的三角分解 |
| §3.3 拟柱体中的扭结和链问题 |
| §3.4 S_(n,m)-拟柱体的分解与三角分解 |
| §3.5 棱柱的分解和三角分解 |
| 第4章 曲面的同痕等价类 |
| §4.1 同痕与Haefliger-Wu不变量 |
| §4.2 拓扑空间的去心积 |
| §4.2.1 曲面情形 |
| §4.2.2 去心积同调群的秩 |
| §4.3 算法 |
| §4.3.1 去心积的构造算法 |
| §4.3.2 同调群H_k(?)生成元的计算 |
| §4.3.3 Haefliger-Wu不变量的计算 |
| §4.4 数值实验 |
| 第5章 基于拟共形映射的各向异性网格生成 |
| §5.1 拟共形映射 |
| §5.2 曲面离散Yamabe流 |
| §5.3 基于拟共形映射的各向异性网格生成算法 |
| §5.3.1 根据拟共形映射构造各向异性网格 |
| §5.4 数值实验 |
| §5.4.1 根据梯度信息构造度量张量 |
| §5.4.2 数值实验结果 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简介及科研成果 |
| 致谢 |
（8）沿空间曲线的单参数可展曲面的微分几何（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第1章 引言 |
| 1.1 奇点理论研究背景和现状 |
| 1.2 本文的研究内容及结构 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 芽空间和导网 |
| 2.2 横截性 |
| 2.3 映射芽的通有开折 |
| 第3章 正则曲线的单参数可展曲面的奇点 |
| 3.1 正则曲线的从切可展曲面 |
| 3.2 正则曲线的单参数可展曲面族 |
| 3.3 单参数支撑函数 |
| 3.4 单参数支撑函数的开折 |
| 3.5 通有性 |
| 3.6 例子 |
| 第4章 Frenet型标架曲线的单参数可展曲面的奇点 |
| 4.1 标架曲线 |
| 4.2 Frenet型标架曲线的单参数可展曲面族 |
| 4.3 单参数支撑函数 |
| 4.4 单参数支撑函数的开折 |
| 4.5 通有性 |
| 4.6 例子 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
| 在学期间公开发表（投稿中）论文及着作情况 |
（9）网格模型上的离散测地线（论文提纲范文）
| 1引言 |
| 2测地线的基本概念 |
| 2.1光滑曲面上测地线的定义 |
| 2.2光滑曲面上测地线的性质 |
| 2.3光滑曲面上求解测地线 |
| 2.4离散网格上测地线的定义 |
| 2.5离散网格上测地线的性质 |
| 2.6光滑曲面上的测地线与离散网格上测地线的对比 |
| 3完整网格模型上的最短测地线算法 |
| 3.1基于计算几何的精确最短测地线算法 |
| 3.1.1凸多面体网格上的精确算法 |
| 3.1.2一般多面体网格上的精确算法 |
| 3.2基于 PDE 方法的近似最短测地线算法 |
| 3.2.1Kimmel 和 Kiryati 算法 |
| 3.2.2Fast marching 算法 (FMM) |
| 3.2.3从梯度重建测地线的算法 |
| 3.2.4基于热流的算法 |
| 4有缺陷的网格模型上的最短测地线算法 |
| 4.1Azouz 的算法 |
| 4.2Campen 和 Kobbelt 的算法 |
| 4.3边界曲线压平的算法 |
| 4.4从梯度重建测地线的算法 |
| 5网格模型上的最直测地线算法 |
| 6总结 |
| 7挑战与展望 |
（10）三维欧氏空间中的仿射乘积曲面（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 微分几何的发展史 |
| 1.1.1 微分几何的发展过程 |
| 1.1.2 微分几何的主要内容 |
| 1.2 仿射几何的发展史 |
| 1.2.1 仿射几何与射影几何、欧氏几何的关系 |
| 1.2.2 仿射几何的发展过程 |
| 1.3 几何在计算机中的应用 |
| 1.4 研究背景和现状 |
| 1.5 本文的主要内容和研究目的及意义 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 n维空间 |
| 2.1.1 向量空间 |
| 2.1.2 欧氏向量空间 |
| 2.1.3 仿射空间 |
| 2.1.4 欧氏空间 |
| 2.2 三维欧氏空间中的标架 |
| 2.3 三维欧氏空间中的内积、外积、混合积 |
| 2.4 平面仿射变换 |
| 2.4.1 仿射变换 |
| 2.4.2 几种特殊的仿射变换 |
| 2.5 三维欧氏空间中的曲线的Frenet公式 |
| 2.6 三维欧氏空间中曲面的基本理论 |
| 2.6.1 曲面的第一基本形式和第二基本形式 |
| 2.6.2 曲面的高斯曲率和平均曲率 |
| 2.7 乘积曲面 |
| 2.7.1 三维Minkowski空间的乘积曲面 |
| 2.7.2 欧氏空间的乘积曲面 |
| 2.7.3 欧氏空间的仿射乘积曲面 |
| 2.8 三维欧氏空间中的Weingarten型曲面 |
| 2.9 极小曲面 |
| 2.9.1 极小曲面的定义 |
| 2.9.2 极小曲面的方程 |
| 第3章 主要结论及证明 |
| 3.1 仿射乘积曲面的第一基本形式 |
| 3.2 仿射乘积曲面的第二基本形式 |
| 3.3 仿射乘积曲面的高斯曲率与平均曲率 |
| 3.4 仿射乘积曲面的Weingarten型曲面 |
| 3.4.1 K=0的情况 |
| 3.4.2 H=0的情况 |
| 第4章 总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
四、N维欧氏空间曲线的曲率公式（论文参考文献）
- [1]欧氏空间和闵可夫斯基空间中的密切曲线[D]. 张静. 南京师范大学, 2019(02)
- [2]三维空间形式中的特殊曲线与曲面[D]. 黄杰. 东北师范大学, 2020(01)
- [3]Crofton公式在全息纠缠熵和全息复杂性中的应用[D]. 张乐. 西北大学, 2020(02)
- [4]Bonnesen型对称混合等似不等式与Lp混合质心体[D]. 罗淼. 西南大学, 2016(01)
- [5]流形及其相关领域历史的若干研究[D]. 王涛. 河北师范大学, 2015(01)
- [6]从高斯到黎曼的内蕴微分几何学发展[D]. 刘建新. 西北大学, 2018(02)
- [7]网格生成中的若干数学问题[D]. 任玉雪. 吉林大学, 2020(03)
- [8]沿空间曲线的单参数可展曲面的微分几何[D]. 赵启明. 东北师范大学, 2020(01)
- [9]网格模型上的离散测地线[J]. 赵俊莉,辛士庆,刘永进,王醒策,武仲科,周明全,贺英. 中国科学:信息科学, 2015(03)
- [10]三维欧氏空间中的仿射乘积曲面[D]. 肖琳. 东北大学, 2014(03)