一、高斯曲率估计与常数平均曲率超曲面的稳定性（论文文献综述）
高东[1]（2020）在《超曲面和极小拉格朗日曲面的几何》文中认为本文主要研究复射影空间中超曲面几何以及两个双曲平面的乘积空间H2×H2中极小拉格朗日曲面的几何性质,特别是与变分稳定性相关联的几何性质。黎曼流形中的常平均曲率超曲面是保体积变分下面积泛函的临界点。面积泛函的第二变分非负的常平均曲率超曲面称为稳定的常平均曲率超曲面。我们证明复射影空间中Takagi分类的四类齐性超曲面B型、C型、D型和E型,作为常平均曲率超曲面都是不稳定的。黎曼流形中的加权极小超曲面是加权面积泛函的临界点,这是极小超曲面的推广。加权面积的第二变分非负的加权极小超曲面称为稳定的。对加权黎曼流形中的稳定的加权极小超曲面,我们得到了直径估计。实空间形式中的超曲面上的Minkowski积分公式有许多重要应用。在复空间形式中,我们利用距离函数的梯度向量场,得到Minkowski型积分公式,把V.Martino和G.Tralli[1]的一阶和二阶Minkowski积分公式推广到了高阶,并得到了一些积分不等式。最后我们讨论H2×H2中拉格朗日曲面的几何性质,给出了在一定条件下,极小拉格朗日曲面的分类。
李国明[2]（1995）在《高斯曲率估计及常数平均曲率超曲面的稳定性》文中指出利用活动标架法与Ｌａｐｌａｃｉａｎ特征值方法研究了具有常数平均曲率超曲面的稳定性问题。给出了三维拟常曲率流形中具有常数平均曲率超曲面的共形度量的高斯曲率之上界估计。证明了三维拟常曲率流形中具有常数平均曲率超曲而上的一个单连通有界区域为稳定的充分条件
朱静勇[3]（2017）在《关于几何偏微分方程的若干研究》文中认为本文的主要内容有两个部分,分三章.第一部分包括第二章和第三章,分别研究了二阶椭圆方程中做先验估计的两种方法——下解方法和P-函数方法.第二章以四元数Monge-Ampere方程的Dirichlet问题为例,利用下解方法我们推导出解在一般区域上的先验估计,并以此得到一个存在性定理.从而,我们可以回答S.Alesker在文献[4]中提出的第四个问题.第三章主要考虑三维Minkowski空间中常平均曲率方程的Dirichlet问题.基于解的临界点的唯一性,我们利用P-函数方法改进文献[14]中的梯度估计,从而,获得解的高度估计.最后,在本文的第二部分（即第四章）,我们集中讨论双曲空间中的浸入超曲面和球的区域上共形度量之间的关系,并将文献[17]中的整体对应关系推广至二维。作为应用,我们得到一个Liouville型定理和一个新的更强的Bernstein型定理.
彭家贵,童占业[4]（1995）在《极小曲面中的若干问题》文中认为本文综述了Ｅ￣ｎ和Ｓ￣ｎ中极小曲面的若干经典结果和最新发展，指出了一些尚未解决的问题。在第４节中，对Ｅ￣３中极小曲面的Ｆｕｊｉｍｏｔｏ定理给出了一个更直接的证明。
吕玉砂[5]（2019）在《空间形式中几类曲率流的研究》文中提出本文主要讨论空间形式中闭超曲面的高阶齐次收缩曲率流和非齐次收缩曲率流,以及欧氏空间中完备非紧超曲面的高阶齐次曲率流.本文共分七章.第一章是引言部分,重点介绍曲率流的研究背景、研究现状及本文的主要结果.第二章主要介绍各章需要的预备知识,包括超曲面的基本公式,逆凹曲率函数的性质,以及抛物方程的正则性结果.在第三章里,我们给出了空间形式中闭超曲面的收缩曲率流的短时存在性,及重要几何量的发展方程.第四章主要研究空间形式中拼挤超曲面的高阶齐次收缩曲率流（简记为Fβ-流）,即发展速度是单调、对称、一阶齐次曲率函数F的β（β>1）次幂.首先,运用极大值原理,我们证明了拼挤估计在Fβ-流下是保持的,在此基础上得到运动超曲面在有限时间内收缩到一点.其次,经过适当的伸缩变换,根据拼挤估计得到了规范化之后的主曲率的一致上下界估计,从而证明了发展超曲面光滑地指数收敛到单位球面.在第五章里,我们考虑了空间形式中闭超曲面的非齐次收缩曲率流（简记为Φ（F）-流）,即发展速度是单调、对称、逆凹、一阶齐次曲率函数F的非齐次函数Φ（F）.首先,利用张量极值原理及逆凹函数的性质证明了超曲面的凸性在Φ（F）-流下是保持的.其次通过采用高斯映照的参数化方法,得到了主曲率的高阶导数估计,从而证明了演化超曲面在有限时间内收缩到一点.第六章着重研究欧氏空间中完备非紧超曲面的高阶齐次曲率流（简记为Fβ-流）,即发展速度是单调、对称、逆凹、一阶齐次曲率函数F的β（β≥1）次幂.首先,利用逆凹曲率函数的性质,我们得到了梯度函数的先验估计,主曲率及第二基本形式高阶导数的内部估计.其次,基于局部估计,我们证明了完备光滑严格凸解存在,且是某个函数的图像.最后,对于特殊的逆凹曲率函数,通过构造上解的方法得到了完备非紧光滑严格凸解长时间存在,且是某个函数的图像.在第七章中,我们总结了本文的主要内容,并提出了后续将进一步研究的问题.
王文涛[6]（1997）在《常数平均曲率子流形的曲率估计及其应用》文中研究表明本文利用活动标架法及Ｌａｐｌａｃｉａｎ特征值方法研究了空间形中具有常数平均曲率的子流形，给出了高斯曲率与数量曲率的一种估计方法，证明了空间形中具有常数平均曲率的子流形上一个单连通有界区域为稳定的两个充分条件．
王文涛[7]（1995）在《高斯曲率估计与常数平均曲率超曲面的稳定性》文中指出本文利用活动标架法及Ｌａｐｌａｃｉａｎ特征值方法研究了常数平均曲率超曲面的稳定性．给出了三维拟常曲率流形中具有常数平均曲率超曲面的共形度量的高斯曲率之上界估计．证明了三维拟常曲率流形中具有常数平均曲率超曲面上一个单连通有界区域为稳定的充分条件．
刘子健[8]（2020）在《流形中超曲面的第一稳定特征值》文中研究表明加权黎曼流形作为黎曼流形的推广,在研究特征值问题中具有重要意义.本文主要研究浸入到加权黎曼流形中超曲面上加权稳定算子的第一非零特征值,通过运用最小最大原理及散度定理,得到了加权稳定算子的第一非零特征值的一个上界估计,与此同时,相应的超曲面的稳定性也得到了讨论.具体包括:首先,介绍了加权黎曼流形中超曲面上加权稳定算子并给出相应第一特征值的定义;其次,研究了加权黎曼流形中加权平均曲率为常数的闭超曲面,在截面曲率Sec≥c的拼挤情况下,得到了加权稳定算子第一非零特征值的上界估计,并利用该上界讨论了超曲面的稳定性;最后,研究了加权黎曼流形中的闭超曲面,在Bakry-Emery-Ricci张量Ricf拼挤情况下,得到了加权稳定算子第一非零特征值的上界估计,并讨论了这类超曲面的一些性质.
李国明[9]（1994）在《三维拟常曲率流形中常数平均曲率超曲面的稳定性》文中认为利用活动标架法及Ｌａｐｌａｃｉａｎ的特征值方法研究了三维拟常曲率流形中的具有常数平均曲率的超曲面的稳定性，给出了三维拟常曲率流形中具有常数平均曲率的超曲面的共形度量的高斯曲率之上界估计。证明了三维拟常曲率流形中具有常数平均曲率的超曲面上的一个单连通区域为稳定的充分条件。
熊昌伟[10]（2015）在《空间形式中毛细管超曲面的稳定性》文中研究说明此论文研究空间形式中毛细管超曲面的稳定性,以及闭超曲面的一些整体性质。论文的主要部分研究空间形式中毛细管超曲面的稳定性。给定带边黎曼流形（M,g）,M中的紧致带边超曲面M称为是毛细管超曲面,如果M有常平均曲率且M与（?）M相交成常数夹角。毛细管超曲面M称为是稳定的,如果它是能量泛函的在任意容许保体积变分下的二阶极小点。在第3章中我们固定M为欧氏单位球体。通过分析欧氏单位球体上一类重要的共形变换作用在毛细管超曲面上的性质,我们证明了欧氏球体中有某种对称性的毛细管超曲面的不稳定性。在第4章中我们考虑M为欧氏空间中由多张超平面围成区域的情形。当这些超平面的法向量线性无关时,通过构造试验函数,我们证明了区域M中稳定紧致浸入毛细管超曲面在适当条件下必为标准球面的一部分。在第5章中,我们考虑带密度流形框架下毛细管超曲面的稳定性,把一些着名的稳定性结果推广到带密度流形上。论文还研究了闭超曲面的几个整体性质。在第6章中,考虑一类warped乘积流形M中的闭嵌入超曲面M,通过观察到M上椭圆点的存在性,我们去掉了Brendle-Eichmair[1]关于M的高阶平均曲率的Alexandrov型定理中的凸性条件。在第7章中,考虑双曲空间Hn+1和球面空间Sn+1中的闭凸超曲面M,通过对M做单位法向演化得到一族超曲面,然后分析这族超曲面在等周不等式的约束下的极限性态,我们得到了新的Alexandrov-Fenchel型不等式。
二、高斯曲率估计与常数平均曲率超曲面的稳定性（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、高斯曲率估计与常数平均曲率超曲面的稳定性（论文提纲范文）
（1）超曲面和极小拉格朗日曲面的几何（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号对照表 |
| 第1章 引言 |
| 1.1 选题背景与意义 |
| 1.2 国内外研究动态 |
| 1.3 主要结果 |
| 1.4 结构安排与内容方法 |
| 第2章 稳定的常平均曲率超曲面 |
| 2.1 变分公式 |
| 2.1.1 一阶变分公式 |
| 2.1.2 二阶变分公式 |
| 2.2 加权面积的变分公式 |
| 2.3 到边界的距离估计 |
| 2.4 紧黎曼流形上拉普拉斯算子特征值估计 |
| 2.5 非紧的黎曼流形上拉普拉斯算子特征值估计 |
| 第3章 复空间形式中的超曲面 |
| 3.1 复空间形式 |
| 3.1.1 复射影空间 |
| 3.1.2 复射影空间到欧式空间的等距嵌入 |
| 3.1.3 复双曲空间 |
| 3.2 复射影空间中的M_(p,q)~C超曲面 |
| 3.2.1 球面上拉普斯算子的特征值 |
| 3.2.2 M_(p,q)~C的第一特征值 |
| 3.3 复射影空间中的B类超曲面 |
| 3.4 复射影空间中的C类超曲面 |
| 3.5 复射影空间中的D类超曲面 |
| 3.6 复射影空间中的E类超曲面 |
| 第4章 复空间形式中的Minkowski积分公式 |
| 4.1 实空间形式中的Minkowski积分公式 |
| 4.2 牛顿变换 |
| 4.3 距离函数的梯度向量场 |
| 4.4 主定理的证明 |
| 第5章 H~2×H~2中的极小拉格朗日曲面 |
| 5.1 H~2×H~2中的拉格朗日曲面 |
| 5.2 H~2×H~2中的极小拉格朗日曲面 |
| 第6章 结论 |
| 6.1 本论文的主要工作 |
| 6.2 可进一步开展的工作 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 |
（3）关于几何偏微分方程的若干研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 前言 |
| 1.1 复流形上的完全非线性方程 |
| 1.2 一般黎曼流形上的完全非线性方程 |
| 1.3 本文的主要结果 |
| 第2章 四元数Monge-Ampere方程的Dirichlet问题 |
| 2.1 引言和主要结果 |
| 2.2 线性代数 |
| 2.3 C~1估计和部分C~2估计 |
| 2.4 二阶双法向导数估计 |
| 2.5 下解的构造 |
| 第3章 Lorentz-Minkowski空间中类空常平均曲率图 |
| 3.1 引言及主要结果 |
| 3.2 记号及局部比较技巧 |
| 3.3 鞍点的存在性 |
| 3.4 临界点的唯一性 |
| 3.5 C~0和C~1估计 |
| 第4章 双曲空间中的超曲面和球的区域上共形度量 |
| 4.1 引言及主要结果 |
| 4.2 局部理论 |
| 4.3 整体理论 |
| 4.4 应用——嵌入定理以及Bernstein型定理 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（5）空间形式中几类曲率流的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 引言 |
| 1.1 问题背景和主要结果 |
| 1.1.1 高阶齐次收缩曲率流 |
| 1.1.2 非齐次收缩曲率流 |
| 1.1.3 完备非紧超曲面的曲率流 |
| 1.2 结构安排与内容方法 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 超曲面的基本公式 |
| 2.2 逆凹曲率函数 |
| 2.3 抛物方程的正则性结果 |
| 3 短时存在性与发展方程 |
| 3.1 短时存在性 |
| 3.2 发展方程 |
| 4 空间形式中拼挤超曲面的Fβ-流 |
| 4.1 收缩到一点 |
| 4.1.1 保拼挤估计 |
| 4.1.2 有限时间内收缩到一点 |
| 4.2 指数收敛到单位球 |
| 5 空间形式中的Φ(F)-流 |
| 5.1 保凸性 |
| 5.2 有限时间内收缩到一点 |
| 6 欧氏空间中完备非紧超曲面的F~β-流 |
| 6.1 基本引理 |
| 6.2 内部估计 |
| 6.3 完备非紧解的存在性 |
| 7 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻博期间完成的科研成果目录 |
| 致谢 |
（8）流形中超曲面的第一稳定特征值（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 前言 |
| 第1节 预备知识 |
| 1.1 加权黎曼流形的基本概念 |
| 1.2 超曲面的基本方程 |
| 第2节 常加权平均曲率超曲面的第一稳定特征值 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 定理及推论 |
| 2.3 主要结果的证明 |
| 第3节 ∞- Bakry - Emery条件下的第一稳定特征值 |
| 3.1 引言及主要定理 |
| 3.2 定理的证明 |
| 3.3 推论及证明 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果 |
（10）空间形式中毛细管超曲面的稳定性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号对照表 |
| 第1章 引言 |
| 1.1 问题背景和主要结果 |
| 1.1.1 具有球面边界的毛细管超曲面的稳定性 |
| 1.1.2 具有平面边界的毛细管超曲面的稳定性 |
| 1.1.3 带密度流形中毛细管超曲面的稳定性 |
| 1.1.4 Warped乘积流形中的Alexandrov型定理 |
| 1.1.5 空间形式中闭凸超曲面的Alexandrov-Fenchel型不等式 |
| 1.2 结构安排与内容方法 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 毛细管超曲面的定义及第一第二变分公式 |
| 2.2 带密度流形上的基本公式 |
| 2.3 带密度流形上毛细管超曲面的第一第二变分公式 |
| 2.4 欧氏空间中旋转常平均曲率超曲面 |
| 2.5 欧氏空间中单位球体上的共形变换 |
| 2.6 空间形式的模型及其中的基本公式 |
| 2.7 Warped乘积流形中闭超曲面的相关性质 |
| 2.7.1 闭超曲面上椭圆点的存在性 |
| 2.7.2 p_k函数的性质 |
| 2.7.3 Minkowski型公式和Minkowski型不等式 |
| 2.7.4 Heintze-Karcher型不等式 |
| 2.8 空间形式中闭凸超曲面的相关性质 |
| 2.8.1 k阶平均曲率 |
| 2.8.2 Gauss-Bonnet曲率L_k |
| 2.8.3 单位法向流和Steiner公式 |
| 第3章 具有球面边界的毛细管超曲面的稳定性 |
| 3.1 稳定毛细管超曲面的例子 |
| 3.2 毛细管超曲面的不稳定性 |
| 3.3 其他应用和问题 |
| 3.3.1 不稳定性的另一判则 |
| 3.3.2 具有自由边界的极小子流形的质量中心 |
| 3.3.3 R~(n+1)中的稳定浸入常平均曲率闭超曲面 |
| 3.3.4 一个未解决问题 |
| 第4章 具有平面边界的毛细管超曲面的稳定性 |
| 4.1 超曲面与区域的棱不相交情形 |
| 4.2 超曲面有自由边界情形 |
| 4.3 区域边界为两平行超平面情形 |
| 第5章 带密度流形上的毛细管超曲面的稳定性 |
| 5.1 空间形式中测地球体中f -极小带自由边界超曲面的稳定性 |
| 5.1.1 欧氏情形 |
| 5.1.2 双曲和球面情形 |
| 5.2 毛细管超曲面的不稳定性 |
| 5.2.1 定理 1.8 的证明 |
| 5.2.2 定理 1.9 的证明 |
| 5.3 三维带密度流形中强稳定毛细管曲面上的拓扑限制 |
| 第6章 Warped乘积流形中超曲面的Alexandrov型定理 |
| 第7章 空间形式中闭凸超曲面的Alexandrov-Fenchel型不等式 |
| 7.1 欧氏情形 |
| 7.2 双曲情形I |
| 7.3 双曲情形II |
| 7.4 球面情形 |
| 第8章 结论 |
| 8.1 本论文的主要工作 |
| 8.2 可进一步开展的研究工作 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 |
四、高斯曲率估计与常数平均曲率超曲面的稳定性（论文参考文献）
- [1]超曲面和极小拉格朗日曲面的几何[D]. 高东. 清华大学, 2020(01)
- [2]高斯曲率估计及常数平均曲率超曲面的稳定性[J]. 李国明. 沈阳工业大学学报, 1995(01)
- [3]关于几何偏微分方程的若干研究[D]. 朱静勇. 中国科学技术大学, 2017(09)
- [4]极小曲面中的若干问题[J]. 彭家贵,童占业. 数学进展, 1995(01)
- [5]空间形式中几类曲率流的研究[D]. 吕玉砂. 武汉大学, 2019(06)
- [6]常数平均曲率子流形的曲率估计及其应用[J]. 王文涛. 工科数学, 1997(04)
- [7]高斯曲率估计与常数平均曲率超曲面的稳定性[J]. 王文涛. 工科数学, 1995(04)
- [8]流形中超曲面的第一稳定特征值[D]. 刘子健. 西北师范大学, 2020(01)
- [9]三维拟常曲率流形中常数平均曲率超曲面的稳定性[J]. 李国明. 沈阳工业大学学报, 1994(04)
- [10]空间形式中毛细管超曲面的稳定性[D]. 熊昌伟. 清华大学, 2015(08)