一、A NEW POLYNOMIAL INVOLUTIVE SYSTEM AND A CLASSICAL COMPLETELY INTEGRABLE SYSTEM（论文文献综述）
李军[1]（2021）在《物理信息神经网络与可积方程的局域波》文中指出本文首先描述了物理信息神经网络（PINN）模型,针对经典PINN算法在求解微分方程等具体问题中的不足提出了几个改进PINN算法并对其进行了简要分析.然后重点将PINN算法以及几个改进的PINN算法应用到非线性局域波的系统研究中,其中局域波包括孤子、呼吸子和怪波.本文主要包含三个方面的工作:1.阐述了深度前馈神经网络的统一表示,对基本激活函数及其最新的研究进展进行了较系统的分析和讨论,简要论述了反向传播算法并给出了几个常见权重初始化策略严格的数学推导过程;2.介绍了物理信息神经网络所需的（一阶和二阶）优化算法和自动微分技术,并将其应用到重要的非线性可积系统局域波的求解;3.针对经典的PINN算法提出了几个改进策略,并对这些改进部分进行了分析与讨论,同时将这些改进的PINN算法运用于可积方程局域波的研究.第一章,为本文的绪论部分,介绍了可积系统、局域波、深度学习的背景和发展现状以及物理信息神经网络及其在数学物理方程等重要的科学与工程问题中的应用,并阐明本文的主要工作.第二章,介绍了深度前馈神经网络,对基本的激活函数及其最新的研究进展进行了较系统的分析和讨论,在简要论述了误差回传的反向传播算法后给出了几个常用权重初始化策略（如Xavier初始化和He初始化）严格的数学推导过程.本章最后部分对一些常用的梯度下降算法及其最近的研究进展进行了简要的分析与讨论.第三章,介绍了以神经网络的通用近似定理和自动微分技术为核心的PINN算法的通用框架.给出了PINN算法求解一般偏微分方程（PDEs）的详细过程和流程图,简要讨论了神经网络求解PDEs时所采用的优化算法.通过简单动力系统求解示例说明,与标准神经网络方法相比,PINN算法只需少量的训练数据就可以达到很好的数据拟合效果,同时模型具有更好的预测和泛化能力.最后,将PINN算法成功应用到二阶Burgers方程的局域波求解.第四章,提出了一种带正弦周期函数的PINN算法,相对于经典的神经网络结构,这样改进的PINN算法能够学习到解信号中的高频信息.然后将改进后的PINN算法运用于求解三阶Kd V方程的多孤子解、m Kd V方程的孤子解与呼吸子解、Kd VBurgers方程的扭结解以及Sharma-Tasso-Olver（STO）方程的孤子聚变与裂变等问题中,结合多种图像信息生动刻画了这些局域波解的复杂动力学特征.第五章,提出了一种带Res Net模块的PINN网络结构,跳层连接的残差结构能够有效地缓解经典多层前馈神经网络中常常出现的梯度消失和网络退化等问题.同时在这个改进的PINN算法中选用了一个新的损失函数,并将这一改进的PINN算法用于强非线性sine-Gordon方程的反扭结解研究中.此外,还讨论了不同的随机环境、噪声、初边值数据点数、内部配置采样点数、神经网络层数以及每个隐藏层的神经元数目等对模型结果的影响.第六章,提出了一种带自适应激活函数的PINN算法,通过给每个神经元赋予自由学习的能力,极大地提升了算法的效率和模型的性能.非线性不连续函数拟合示例从实验仿真及频谱分析上揭示,与固定激活函数的神经网络方法相比,自适应算法能够更快地学习到复杂信号的高频部分.然后,应用这一改进的自适应PINN算法成功地研究了导数非线性Schr¨odinger方程的局域波解,包括一阶有理孤子解、一阶真有理孤子解、二阶真有理孤子解以及二阶怪波解,特别是揭示出高阶怪波解的复杂动力学行为.第七章,对全文进行总结与展望.
王笑非[2]（2021）在《几类非线性微分方程的解析解及其演化特征的研究》文中认为
彭黎[3]（2021）在《量子多体系统的热力学和量子动力学的研究》文中进行了进一步梳理随着现代材料科学的迅速发展,低维量子多体系统和量子动力学已经成为当前量子物理研究的前沿领域。在低维量子多体系统的研究中,寻找精确可解的强关联量子多体模型的严格解是极有意义的,其丰富的数学结构和物理内涵在揭示强关联物理系统的临界行为等方面扮演着不可替代的角色。本文以Lieb-Liniger模型和Yang-Gaudin模型为基础,系统研究了玻色体系的热力学性质,相图,量子临界性,从严格解的角度得到Gruneisen参数在玻色和费米模型中热力学和量子临界区的标度特征。此外,通过中心自旋模型研究量子电池能量和功率的动力学演化,给出电池功率与中心自旋数的关系。本文的主要研究工作如下:1.一维玻色气体的热力学和量子临界性通过Bethe ansatz方法严格求解Lieb-Liniger模型的基态,并分别讨论体系在弱相互作用和强相互作用极限下的基态性质;紧接着从BA的解出发,利用Yang Yang热力学方法,解析地给出了体系的热力学量（压强,粒子数密度,压缩率,比热）以及体系的相图,以此为基础分析了体系的热力学行为、量子统计和量子临界性。2.一维相互作用量子气体中的Griineisen参数利用Bethe ansatz解,我们解析研究了一维Lieb-Liniger模型和Yang-Gaudin模型的体积、磁性和相互作用Gruneisen参数（GPs）。这些不同的GPs精确地量化了量子气体的特征能量尺度对体积、磁场和相互作用强度的依赖,揭示了外场变化所产生的热效应;我们严格推导GPs在各个相区中的解析表达式,进一步讨论这些GPs在不同外场驱动下量子临界点附近的普适标度行为;分析发现一维吸引费米气体中的配对和未配对费米子的特征可以被磁性和相互作用的GPs捕获,从而可以促进量子相变的实验观测。3.多中心自旋模型中的量子电池研究由多中心自旋和库自旋组成的量子电池系统的能量传递过程。在这里,“量子电池”是指中心自旋,“充电器”指的是库自旋。首先,我们解析推导了单中心自旋电池的能量和功率随时间的演化;进一步考虑多中心自旋电池,我们发现电池的最大功率Pmax与中心自旋数NB之间存在一个标度关系Pmax ∝NBα,其标度指数α依赖于库自旋数目N。当N → 1时,α存在下边界1/2;当N》NB时,α存在上边界3/2。在热力学极限下,通过Holstein-Primakoff变换,我们解析上严格证明Pmax=0.72BA（?）NB3/2,从而证实了标度指数的上边界α=3/2。
白思远[4]（2021）在《量子系统的周期性驱动控制方案》文中研究说明自19世纪以来,伴随着量子力学给人们带来的对于微观领域的全新认识,如何利用量子特性实现新的技术革命成为科技发展的主要方向。最近的研究表明,利用量子系统新奇的非经典特性,如量子纠缠,量子压缩,量子关联等,可以实现超越经典物理所允许极限的新一代量子技术。然而这些新技术的发展离不开对于新奇量子态的制备,保护和控制。因此如何发展出一种对量子系统行之有效的操纵与控制手段,成为当今量子科技领域的关键科学问题之一。为实现这一目的,许多量子控制方案被提出,比如库工程,反馈控制等。而这些控制方案均有其局限性。比如库工程对量子系统的调控依赖于对库本身参数的调控,而这一点在实验上是很难做到的。由于近些年周期驱动在凝聚态,拓扑物理,量子光学,量子化学等诸多领域的广泛应用,我们希望能够通过周期驱动的手段实现对量子系统行之有效的调控与保护,进而为未来新兴量子科技的发展提供基础。基于此,我们在本文中分别研究了周期驱动调控的耗散量子电池,周期驱动调控的Ramsey干涉仪以及周期驱动对封闭量子系统热化-局域化及混沌-可积转变的调控。在本文的第一部分我们首先研究了耗散量子电池再激活的周期驱动方案。作为一种接近原子大小的能量储存和转换装置,量子电池有望突破现有经典电池的能量存储能力,并可以利用量子资源提高充电效率。然而,量子系统中普遍存在的退相干现象会导致其循环充-存储-放电过程的破坏。该现象被称为量子电池老化。在本文中,我们提出了一种克服量子电池老化的机制。我们的研究表明,当系统和环境的准能谱中有两个Floquet束缚态形成时,量子电池的退相干受到抑制,但一般而言,其动力学仍和理想充放电循环不符。通过对该系统中Floquet束缚态的微扰分析,我们发现,只有当两个Floquet束缚态的准能量近简并,或者当量子电池-充电器耦合较强时,耗散环境中的量子电池-充电器才可以实现近乎理想的充放电演化循环。基于对Floquet束缚态机制的分析,我们给出了完备的对非马尔科夫耗散噪声下量子电池充放电方案的分析。并且指出了即使有耗散噪声的存在,量子电池仍能良好的工作的参数区间,并给出其机制上的解释。我们的结果为利用Floquet工程实现现实条件下的量子电池提供了理论基础。在本文第二部分我们研究了周期驱动方案对封闭量子系统热化与否的调控。由于近年来冷原子领域实验技术的迅猛发展,实验上对封闭量子系统的模拟得以被实现。因此,封闭量子系统的热化问题由于其在理论和实验两方面的重大意义而被广为关注。另一方面,由于周期驱动在各个领域的广泛应用,周期驱动的非平衡封闭量子系统能否热化,以及其长时稳态是什么态等问题也引起了大家的关注。为了回答这些问题,本文研究了周期驱动的双模玻色-哈伯德模型中的热化问题。利用Floquet定理,我们详细地分析了该模型在周期驱动场中的频闪量子动力学,并求解了其在热力学极限下的半经典动力学。结果表明,该系统在长时间极限下的热化与否与其对应的半经典系统的混沌-可积之间有密切关系。当驱动频率较低时,系统发生热化时,无论初态是什么态,局域可观测量的长时平均值都最终弛豫到T=∞的热系综预言的值。此时其对应的Floquet本征态满足本征态热化假说。同时其Floquet准能谱的统计服从Wigner-Dyson统计,并且半经典动力学出现混沌。相反,高频驱动下,量子系统可积性得到恢复,不会发生热化。与此对应的Floquet准能谱统计服从Poisson分布,半经典动力学表现大量周期轨。我们的结果显示,即是在驱动强度很强时,所有这些复杂的动力学行为都可以通过对驱动频率的调节来控制。这超出了之前研究指出的驱动强度对系统可积-混沌的影响。这一结果既为对周期驱动系统的热化问题的研究提供了启发,也为在实验中实现对量子系统热力学性质更加灵活的操控提供了可能。在最后一部分,我们研究了如何利用周期驱动方案实现在耗散环境下的高精度计量。在现代科学的各个领域,高精度的测量无一不有着重要的意义。作为一种新兴的量子技术,量子计量是利用量子态的非经典特性实现超越经典极限的计量精度的技术。这一技术的实现依赖于对纠缠态等脆弱的量子态的有效操控。然而,在实际情况中,量子态总是由于其和环境不可避免的相互作用而发生退相干,进而导致量子优势的丧失。因此,如何在计量过程中保护量子态不受噪声的影响对于实现高精度计量有着重要的意义。过去的研究发现,通过库工程的手段,使量子系统和其环境的总能谱中形成束缚态,就可以使得该量子系统的相干性在长时下得到部分的保持,从而实现更高精度的计量。然而事实上,当实验材料一旦制备,量子系统所感受到的环境的参数将变得难以调节。为解决这一现实难题,我们提出利用周期驱动的手段保护计量过程中的量子相干性。通过对周期驱动Ramsey过程的研究,我们发现对于GHZ初态,对原子频率计量的量子Fisher信息随时间演化的动力学随驱动参数的变化,会出现两种截然不同的行为。量子Fisher信息随时间在长时下要么近似为0,要么以幂次型随时间增长。依赖于Floquet定理提供的准能谱和准定态图像,我们发现当调节周期驱动的参数,使得驱动系统的准能谱中形成Floquet束缚态时,量子系统的相干性会在长时极限下被部分的保留,此时量子Fisher信息随时间是第二种行为。当准能谱中没有束缚态形成时,量子相干性在长时下被破坏殆尽,其量子Fisher信息在长时下趋于0。从而我们知道,通过控制准能谱中Floquet束缚态的形成,可以得到理论上更优的计量精度。该工作为实现耗散环境下的量子计量方案提供了新的思路。综上,本文基于Floquet定理,对三种问题:量子电池系统的老化问题,双模玻色-哈伯德模型的热化问题,Ramsey干涉仪中退相干的抑制问题都提出了Floquet控制方案。并且针对每个系统中的具体问题,给出了控制方法与机制分析。该研究为用周期驱动的手段实现新型量子技术铺平了道路。
张永丽[5]（2020）在《基于符号计算的若干求精确解方法的研究》文中提出非线性偏微分方程精确解的研究一直以来是人们所高度重视和广泛关注的研究热点,它对于解释地球大气,河流和海洋环境中的一些非线性现象提供了现代自然科学的理论基础和重要理论依据.因此,研究非线性偏微分方程的精确解具有重要的实际价值和意义.本文以计算机符号计算软件为工具,研究了孤子理论中若干重要的非线性偏微分方程求解方法,如:李对称分析法、有理函数变换法及其扩展、线性叠加原理、Hirota双线性方法和正二次函数法,并得到了方程的大量新的精确解.本文主要内容如下.第一章介绍了本文的研究背景、研究意义、研究内容及拟采用的方法.第二章利用李对称分析法,得到了Mikhalёv-Pavlov方程的经典李点对称和相似约化,通过求解约化方程（包括:变系数偏微分方程和常系数偏微分方程）得到了该方程的精确解.最后利用对称和Ibragimov’s定理得到了该方程的守恒律.第三章主要介绍了基于有理函数变换法及其扩展方法和正二次函数法,并借助符号计算软件Maple,获得了若干具有Hirota双线性形式和广义Hirota双线性形式的非线性方程的精确解.首先基于有理函数变换法选取不同的常微分关系,得到了一个非线性偏微分方程丰富的行波解.另外应用扩展的有理函数变换法得到了D5算子上的广义（3+1）维浅水波方程和一个（3+1）维非线性偏微分方程的complexiton解.其次利用正二次函数法得到了D3算子上的一个（3+1）维非线性发展方程的lump解和怪波解及D5算子上的一个（3+1）维非线性发展方程的lump解和周期解.第四章主要研究了利用Hirota线性叠加原理得到了（2+1）维Sawada-Kotera方程、（2+1）维bidirectional Sawada-Kotera方程和（3+1）维potential-Yu-Toda-SasaFukuyama方程的complexiton解.首先,利用线性叠加原理得到这三个方程在实数域上的共振多波解.然后基于共振多波解的线性叠加性,将共振多波解推广到复数域,再根据两个复值共振多波解构成的一组基,构造了三个方程的complexiton解.此外,利用线性叠加原理得到（2+1）维Sawada-Kotera方程和（2+1）维bidirectional Sawada-Kotera方程的正complexiton解.最后分析了正complexiton和共振多波解的动力学特点.最后,在三年的研究生学习中,我们对孤子理论中有趣的热点方法进行了研究和总结,并对未来的研究工作进行了展望.
刘子重[6]（2020）在《自由费米子和自由仲费米子自旋链的研究》文中认为本文从统计物理和凝聚态物理的相变理论和临界现象出发,研究了两种一维模型的物理性质。这些模型是横场中的量子伊辛模型和更一般的量子Z（N）模型。这样的量子自旋链是量子磁性的现实模型。自旋1/2（双态）伊辛模型的精确解和物理性质都是由自由费米子这一强大的概念来描述的,这在许多教科书中都有详细的论述。这个模型的一个非常有趣的N态一般化模型已经被发现,它与自由仲费米子有关。自由仲费米子是自由费米子的自然推广。本课题是第一个对自由仲费米子模型进行详细求解和研究的课题。就像自由仲费米子模型的一个特例量子伊辛模型一样,本文研究的结果将与统计和凝聚态物理的诸多主题相关。这个研究项目的核心是由R.J.Baxter于1989年发现的N态Z（N）量子自旋链。该模型具有开边界条件。该模型的能量本征谱最近被P.Fendley用自由仲费米子来描述。然而,没有计算R.J.Baxter自由仲费米子Z（N）量子自旋链的物理性质。此外,该模型没有精确解的形式,如同熟悉的量子伊辛链的解。仲费米子的概念在物理文献和数学文献中都有超过60年的历史,但是直到2014年才有关于自由仲费米子的物理实现。因此,从纯学术的角度来看,这个研究主题可能非常重要。而且更实际的原因是,最近人们开始从凝聚态物理的拓扑相和边缘模的角度,对仲费米子系统展开了研究。与目前物理上研究的大多数模型不同,自由仲费米子模型在状态N大于2的临界点处并不是共形不变的。然而,由于模型的手征性,该模型呈现出一种各向异性尺度。更重要的是,该模型是非厄米的,在真实基态上具有复数能量本征谱。因此,自由仲费米子模型将具有一些意想不到的性质。这类模型描述的是不保守的物理系统的动力学。厄米系统的一些常见性质,如体积热力学量对边界条件的不敏感性,在非厄米系统中可能失效。在一般情况下,非厄米系统是一个有前途的新的和相对未探索的物理研究方向。本研究首先是提供一个精确的解,其次是计算自由仲费米子的Baxter Z（N）模型的物理性质。这包括计算有限和无限尺寸系统的能谱行为。用这种方法可以得到关键的性质,如描述比热和相关长度行为的临界指数。本课题还讨论了该模型的本征态,从本征态可以得到其他物理量,如N=2时的关联函数。以及当N>2时,通过应用Hellmann-Feynman定理得到一般N值相应的某些基态期望值。在第一章综述了仲费米子的研究现状、意义和起源。在第二章,阐述了从经典相变到量子相变的基本概念和差异,以及临界现象的描述。在第三章中,我们介绍了自由费米子的概念和一个具体的XYh模型,其中包括一个特殊情况下的量子伊辛模型,并展示了如何将这样一个相互作用的系统转化为一个由自由费米子描述的系统。我们还回顾了量子伊辛链是更一般的Z（N）自由仲费米子模型的一个特例,我们使用自由费米化方法获得了量子伊辛链的一些物理性质。第四章给出了自由仲费米子Z（N）链能谱的精确解。然后用这个解对模型的各种物理量和临界指数求出精确的结果。精确的结果包括一个非常紧凑的结果,即用超几何函数表示的单位格点基态能量。在第五章中,我们概述了研究开边界条件下量子伊辛链自旋关联的形式。这些关联包括最近邻自旋关联、端点自旋关联和表面磁化。发现了端点自旋关联的一个新的精确结果。我们还分析了自由仲费米子Z（N）链模型开边界条件对应的内部某些最近邻物理量的期望值和“端点关联”的数值结果。获得了一些精确结果并观察到一些有趣的新行为。第六章是本文的结语,对全文进行了简要的总结,并对今后的研究方向进行了展望。
李晓亮[7]（2020）在《复杂势场量子弹球中疤痕态量子化条件的研究》文中指出半经典理论作为常用的经典量子对应的研究手段,一个重要的研究方向是经典周期轨道与量子疤痕态之间的对应。量子疤痕作为波函数在经典不稳定周期轨道周围的一种反常凝聚现象,因在量子混沌和量子输运的研究中发挥着重要的作用,尤其是近年来量子疤痕可以通过扫描电势显微镜在实验上进行观测而被广泛地关注。然而,由于获得高纯度样品的难度较大,探讨杂质对样品性质的影响也成为目前比较热门的研究课题。本论文研究了具有复杂光滑势场的二维量子弹球系统,考察了疤痕态的半经典量子化条件,以期有助于理解具有杂质势的二维电子系统的电子态密度分布和输运行为。第一章介绍了本论文相关的背景知识并对论文中的基本概念,包括经典量子对应、量子疤痕、软墙量子弹球系统、无序系统等进行了阐释。第二章中,我们首先介绍了衡量经典系统混沌特性的一个特征量李雅普诺夫指数（Lyapunov）以及分析经典混沌的常用工具庞加莱截面（Poincarésection）。接着介绍了一种经典混沌的量子表现方法——能谱统计。除此之外,分别介绍了可积系统和不可积系统如何通过半经典量子化来研究经典周期轨道与量子疤痕态之间的对应。第三章主要考察了典型的软墙系统——二维谐振子在对称性破坏下出现的李萨如疤痕态的量子化条件。我们首先对该系统的弹跳球轨道对应的疤痕态进行了半经典公式验证,之后研究了由于x,y方向不同频率比而导致的多种李萨如疤痕态出现的量子化条件,并得到了很好的对应。第四章中,我们是在第三章模型的基础上加入了一个高斯势场,探究了具有复杂势场的量子弹球中疤痕态的量子化条件。系统复杂的势场分布导致了其复杂的经典动力学。我们计算了该系统的庞加莱截面,并以此对系统中的稳定周期轨道进行了分类,然后通过半经典公式将这些稳定周期轨道与其分别对应的量子疤痕态联系了起来,并给出了可能的量子化条件。第五章主要研究了一个无序系统——掺杂石墨烯,掺杂是指在紧束缚模型的基础上添加随机分布的高斯势来模拟真实的杂质分布。我们对系统的能谱统计、参与比及长度谱性质进行了分析,同时也发现在这样一个经典动力学比较杂乱的系统中,也会出现主导性的波函数,这些波函数一般对应于由于杂质分布导致的短周期轨道。第六章对本论文的主要内容进行了总结,并对之后将开展的工作做了简单的介绍。
申亚丽[8]（2019）在《非线性局域波及其动力学分析》文中指出随着非线性科学的不断发展,大量新的非线性系统在各个学科不断涌现,利用计算机大容量、高速度的特点,借助精确的符号计算,建立适合于所考虑问题的构造性研究算法,在计算机上实现若干非线性问题研究成果的机械化输出和非线性现象的可视化模拟,仍然是数学机械化发展的主要方向.本文以若干非线性系统为研究对象,借助符号计算系统Maple,展开非线性局域波求解方法及其动力学性质的研究.主要工作包括如下四部分:第一部分,结合Hirota双线性方法对原Backlund变换方法进行修正,给出了构造广义双线性Backlund变换以及利用广义双线性Backlund变换构造非线性局域波的算法,利用该算法研究了三个高维的重要数学物理模型.给出了它们的双线性形式,研究广义双线性Backlund变换与非线性局域波的关系,构造了它们的广义双线性Backlund变换,获得了它们的若干非线性局域波解.第二部分,从Lax方程和零曲率方程出发,编制了 Lax对的自动验证软件包Laxpairtest.基于验证正确的Lax对,构造了一个新近提出的重要的非局部非线性可积系统AB-NLS的n阶Darboux变换,进而通过Darboux变换获得了该系统的1-孤子和2-孤子解.给出了解的三维演化图,分析了其动力学行为.最后,根据Jacobi椭圆函数构建了 AB-NLS系统的周期解.第三部分,将一个新的辅助二次函数的解和双线性变换有机结合,构造获得了高维非线性系统,即4+1维Fokas方程新的lump解;分析了解在不同参数条件下呈现的亮lump波和暗lump波;结合极值理论讨论了 lump波的动力学性质,获得了不同情形下lump波的振幅极值和极值点.进而,提出一种新的符号计算方法,利用该方法研究获得了两个高维非线性系统的带有控制中心的高阶怪波解,分析了解的渐近行为.该方法可直接有效地为高阶怪波的构造提供新的思路.第四部分,综合多种经典方法并结合一些新方法,首次研究获得了带源KdV方程众多非线性局域波解;利用经典Lie群对称法,并借助符号计算系统Maple首次得到了该方程的对称群,基于群不变理论,获得该方程的群不变解;最后,利用Painleve截断展开方法综合研究了该方程的Painleve性质,获得了其Laurent展开形式的解.在得到的三个分支中,通过截断展开式,获得KdV-SCS方程的Backlund变换。
王惠娟[9]（2019）在《三种群竞争模型的Poincaré分岔》文中认为本文主要考虑如下三维Lotka-Volterra系统（?）在其负载单形上极限环个数问题,其中的参数ri,ai,bi,ci,1 ≤ i ≤ 3都是正实数.在本文中我们介绍了已有的一些三维系统的Poincaré分岔计算公式,即给出了相应Abelian积分的表达形式,然后对其中的的结果作出了改进,得到了一个新的Poincaré分岔计算公式,将问题转化为相应Abelian积分零点个数问题.最后将新得到的Poincaré分岔计算公式应用于上面系统,可得存在三维Lotka-Volterra竞争系统,使其在相应负载单形上的极限环个数至少有两个.
符维成[10]（2019）在《一维晶格系统热化性质的研究》文中指出19世纪下半叶L.E.Boltzmann提出的遍历性假设是统计物理学的基础。基于该假设得到的一个重要的结果是相空间中的代表点在单个轨迹上的时间平均和相空间中的系综平均具有等价性,这个结果意味着不同自由度之间的能量是均分的。1955年,E.Fermi等人做了第一个数值模拟实验旨在通过观察微观可逆动力学系统的热化速率来验证这一假设,然而,结果却出乎意料:远离平衡态的系统并没进入预期的热化状态,而是表现出了后来称为FPUT回归的现象。半个多世纪过去了,虽然已经清楚足够大的扰动能够实现能量均分,但是原始意义上的能量均分定理,也就是无穷小的非线性扰动能导致宏观系统的能量均分这一假设仍然没有确定的结论。本文应用波湍流理论并借助大规模数值模拟实验研究了一维非线性晶格系统在热力学极限下的热化问题。提出以非线性可积模型为模板定义衡量不可积性的扰动强度,以此取代通常所用的哈密顿量非线性项的强度作为度量非线性晶格模型热化能力的指标的理论框架。在此框架下,借助波湍流理论及数值实验发现热力学极限下在近可积区域不可积系统的热化时间与微扰强度的平方成反比,具体实例包括非线性微扰的Toda模型、广义FPUT模型、双原子Toda链,以及一维双原子气体模型等。因此,本论文发现并证明了一维晶格系统能量均分问题跨越不同模型在热力学极限下的普适规律,此规律（幂律依赖）表明一维非线性晶格在热力学极限下无穷小的扰动能实现能量均分,因为在给定的微扰强度下总存在一个有限的均分时间。
二、A NEW POLYNOMIAL INVOLUTIVE SYSTEM AND A CLASSICAL COMPLETELY INTEGRABLE SYSTEM（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、A NEW POLYNOMIAL INVOLUTIVE SYSTEM AND A CLASSICAL COMPLETELY INTEGRABLE SYSTEM（论文提纲范文）
（1）物理信息神经网络与可积方程的局域波（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性局域波 |
| 1.2 深度学习 |
| 1.3 本文选题和主要工作 |
| 第二章 深度神经网络研究基础 |
| 2.1 问题描述 |
| 2.2 激活函数 |
| 2.3 反向传播算法 |
| 2.4 权重初始化 |
| 2.5 一阶优化算法 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 PINN框架及其在Burgers方程孤波解中的应用 |
| 3.1 二阶优化算法 |
| 3.2 自动微分 |
| 3.3 拉丁超立方抽样 |
| 3.4 PINN算法 |
| 3.5 一个简单的动力系统 |
| 3.6 Burgers方程的孤立波解 |
| 3.7 本章小结 |
| 第四章 PINN算法在三阶孤子方程局域波中的应用 |
| 4.1 正弦周期激活函数 |
| 4.2 Kd V方程的多孤子解 |
| 4.3 修正Kd V方程与呼吸子解 |
| 4.4 Kd V-Burgers方程的扭结解 |
| 4.5 STO方程的孤子聚变与裂变 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 改进PINN算法与SG方程的反扭结解 |
| 5.1 Res Net网络简析 |
| 5.2 损失函数 |
| 5.3 SG方程的反扭结解 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 自适应PINN算法及DNLS方程的局域波解 |
| 6.1 自适应激活函数 |
| 6.2 DNLS方程的一阶有理孤子解和一阶真有理孤子解 |
| 6.3 DNLS方程的二阶真有理孤子解和二阶怪波解 |
| 6.4 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 本文总结 |
| 7.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表论文, 参与科研和获得荣誉情况 |
（3）量子多体系统的热力学和量子动力学的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 量子可积模型 |
| 1.2 一维冷原子实验 |
| 1.2.1 玻色气体 |
| 1.2.2 费米气体 |
| 1.3 Gruneisen参数及实验研究 |
| 1.4 量子动力学 |
| 1.4.1 中心自旋模型 |
| 1.5 量子电池简介 |
| 1.6 本文结构 |
| 第2章 一维玻色气体模型—Lieb-Liniger模型 |
| 2.1 Bethe ansatz方程 |
| 2.2 基态性质 |
| 2.2.1 弱相互作用极限 |
| 2.2.2 强相互作用极限 |
| 2.3 Yang-Yang热力学方法 |
| 2.4 Lieb-Liniger模型中的量子统计 |
| 2.4.1 弱相互作用极限 |
| 2.4.2 高温 |
| 2.4.3 温度趋于零的情况 |
| 2.4.4 强相互作用极限和非零温 |
| 2.5 普适的热力学行为 |
| 2.5.1 粒子数密度 |
| 2.5.2 压缩率 |
| 2.5.3 比热 |
| 2.6 量子临界性 |
| 2.7 关于Lieb-Liniger玻色气体的实验发展 |
| 2.8 本章小节 |
| 第3章 Gruneisen参数的定义及在一维玻色气体中的应用 |
| 3.1 Gruneisen参数的定义 |
| 3.1.1 Gruneisen参数 |
| 3.1.2 磁Gruneisen参数 |
| 3.1.3 相互作用Gruneisen参数 |
| 3.2 热效应与Gruneisen参数的关系 |
| 3.3 三个Gruneisen参数满足恒等式 |
| 3.4 一维玻色气体中的Gruneisen参数 |
| 3.4.1 强相互作用极限 |
| 3.4.2 弱相互作用极限 |
| 3.5 本章小节 |
| 第4章 一维费米气体中的Gruneisen参数及量子制冷 |
| 4.1 Yang-Gaudin模型 |
| 4.1.1 Bethe ansatz方程 |
| 4.1.2 热力学Bethe ansatz |
| 4.2 Yang-Gaudin模型中的Gruneisen参数 |
| 4.2.1 全极化相区(F) |
| 4.2.2 全配对相区(P) |
| 4.2.3 部分极化相区(FFLO) |
| 4.3 Gruneisen参数的量子临界行为 |
| 4.3.1 P-FFLO |
| 4.3.2 FFLO-F |
| 4.4 热机与量子制冷 |
| 4.4.1 磁致冷循环 |
| 4.4.2 量子制冷 |
| 4.5 本章小节 |
| 第5章 中心自旋模型的量子动力学 |
| 5.1 中心高自旋模型 |
| 5.1.1 态递归法 |
| 5.1.2 含时波函数 |
| 5.1.3 中心自旋约化密度矩阵 |
| 5.1.4 自旋分布 |
| 5.1.5 Loschmidt回波 |
| 5.1.6 冯诺依曼熵和量子纯度 |
| 5.1.7 其他结果 |
| 5.2 本章小结 |
| 第6章 中心自旋模型中的量子电池 |
| 6.1 量子电池的背景 |
| 6.2 量子电池的实验进展 |
| 6.3 量子电池的定义 |
| 6.4 中心自旋模型中的量子电池 |
| 6.4.1 量子电池的结构 |
| 6.4.2 量子电池的能量和功率 |
| 6.4.3 保存最大能量的方法 |
| 6.5 多中心自旋模型中的量子电池 |
| 6.5.1 标度关系 |
| 6.5.2 Tavis-Cummings型量子电池 |
| 6.6 本章小结 |
| 第7章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 附录A Yang-Gaudin模型的热力学量 |
| 附录B 多中心自旋模型的数值方法和标度率的拟合 |
| 参考文献 |
| 作者简历及攻读学位期间发表的学术论文与研究成果 |
| 致谢 |
（4）量子系统的周期性驱动控制方案（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 简介 |
| 1.1.1 量子技术与量子革命 |
| 1.1.2 周期性驱动量子控制方案 |
| 1.2 本文的动机,研究内容与架构 |
| 第二章 理论基础 |
| 2.1 周期性含时量子系统的Floquet理论 |
| 2.1.1 Floquet理论基础 |
| 2.1.2 准能量本征值问题和扩展希尔伯特空间 |
| 2.2 周期性驱动开放量子系统中的Floquet束缚态 |
| 2.2.1 静态系统中的束缚态 |
| 2.2.2 周期性驱动系统中的束缚态 |
| 2.3 小结 |
| 第三章 耗散量子电池的周期性驱动控制方案 |
| 3.1 简介 |
| 3.2 理想情况下的量子电池充放电方案 |
| 3.3 耗散量子电池动力学 |
| 3.3.1 模型 |
| 3.3.2 耗散动力学 |
| 3.4 耗散量子电池老化的抑制方案 |
| 3.4.1 共振情况 |
| 3.4.2 对于非共振情况的讨论 |
| 3.5 讨论和总结 |
| 第四章 周期性驱动量子系统中的Floquet热化 |
| 4.1 简介 |
| 4.2 周期性驱动玻色-哈伯德模型及其半经典动力学 |
| 4.3 Floquet热化与量子混沌 |
| 4.3.1 Floquet热化 |
| 4.3.2 Floquet热化与量子混沌的对应关系 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 周期性驱动调控耗散量子计量方案 |
| 5.1 简介 |
| 5.2 理想Ramsey量子计量及耗散噪声效应 |
| 5.3 耗散噪声Ramsey量子计量的Floquet控制 |
| 5.3.1 模型 |
| 5.3.2 量子Fisher信息 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（5）基于符号计算的若干求精确解方法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 孤子研究背景及现状 |
| 1.2 研究的主要内容与拟采用的方法 |
| 第二章 李对称分析法及其应用 |
| 2.1 李对称分析法和守恒律的相关理论 |
| 2.2 Mikhalёv-Pavlov方程的李对称分析及精确解 |
| 第三章 有理函数变换法和正二次函数法及其应用 |
| 3.1 有理函数变换法及其扩展方法和正二次函数法的基本思想 |
| 3.2 有理函数变换法的应用 |
| 3.3 扩展的有理函数变换法的应用 |
| 3.3.1 D_5算子上的广义(3+1)维浅水波方程的complexiton解 |
| 3.3.2 一个(3+1)维非线性偏微分方程的complexiton解 |
| 3.4 正二次函数法的应用 |
| 3.4.1 D_3算子上的一个(3+1)维非线性发展方程的lump解和怪波解 |
| 3.4.2 D_5算子上的一个(3+1)维非线性发展方程的lump解和周期解 |
| 第四章 Hirota双线性方程的线性叠加原理及其应用 |
| 4.1 Hirota线性叠加原理的相关理论 |
| 4.2 Hirota线性叠加原理的应用 |
| 4.2.1 (2+1)维 Sawada-Kotera方程的共振多波解和complexiton解 |
| 4.2.2 (2+1)维 bidirectional Sawada-Kotera方程的共振多波解和complexiton解 |
| 4.2.3 (3+1)维 potential-Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程的共振多波解和complexiton解 |
| 4.2.4 正complexiton解动力学行为和共振现象 |
| 结论及展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
（6）自由费米子和自由仲费米子自旋链的研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 1 绪论 |
| 1.1 Z(N)量子自旋链问题的提出以及研究意义 |
| 1.1.1 问题的提出 |
| 1.1.2 研究的意义 |
| 1.2 自由仲费米子理论的研究现状 |
| 1.3 本文的研究目的和研究内容 |
| 1.3.1 研究目的 |
| 1.3.2 本文研究主要内容 |
| 2 量子相变和临界现象 |
| 2.1 热相变 |
| 2.2 临界现象 |
| 2.3 量子相变 |
| 2.3.1 量子和经典的对应 |
| 2.3.2 量子临界点临界指数和标度变换 |
| 2.4 本章小结 |
| 3 物理系统的自由费米子描述 |
| 3.1 自由费米子 |
| 3.2 XYh模型的自由费米子转化 |
| 3.3 量子伊辛链模型 |
| 3.3.1 量子伊辛链模型的求解 |
| 3.3.2 关联函数 |
| 3.3.3 临界点的对称性 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 自由仲费米子链的能谱和临界指数 |
| 4.1 自由仲费米子模型 |
| 4.2 非厄米哈密顿量体系 |
| 4.3 Euler–Maclaurin公式 |
| 4.4 自由仲费米子链的能谱 |
| 4.4.1 λ=1时的能谱 |
| 4.4.2 λ≠1时的能谱 |
| 4.4.3 系统临界指数 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 自由仲费米子链的若干基态期望值 |
| 5.1 自由仲费米链模型N=2 的自旋关联函数 |
| 5.2 自由仲费米链模型N=2 的精确结果 |
| 5.2.1 端点自旋关联函数 |
| 5.2.2 最近邻关联 |
| 5.2.3 表面磁化强度 |
| 5.3 自由仲费米子Z(N)链任意N值的精确解 |
| 5.4 密度矩阵重整化群方法 |
| 5.4.1 重整化的主要方法 |
| 5.4.2 约化密度矩阵 |
| 5.4.3 密度矩阵重整化群方法计算过程 |
| 5.4.4 观测量的计算 |
| 5.5 任意N值的数值分析 |
| 5.6 本章小结 |
| 6 结论与展望 |
| 6.1 本文的主要结论 |
| 6.2 后续研究工作的展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| A 作者在攻读博士学位期间发表的论文目录 |
| B 作者在攻读博士学位期间参加的科研项目 |
| C 作者在攻读博士学位期间参加的学术活动 |
| D 学位论文数据集 |
| 致谢 |
（7）复杂势场量子弹球中疤痕态量子化条件的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 量子混沌 |
| 1.2 经典量子对应 |
| 1.3 软墙量子弹球系统(soft-wall) |
| 1.4 无序系统 |
| 1.4.1 石墨烯的晶格结构 |
| 1.5 论文的研究动机和研究内容 |
| 第二章 理论方法 |
| 2.1 经典混沌的研究方法(庞加莱截面) |
| 2.2 量子混沌的特征 |
| 2.2.1 能谱统计 |
| 2.3 半经典理论 |
| 2.3.1 量子系统的半经典方法(WKB近似) |
| 2.3.2 不可积系统的量子化 |
| 第三章 小扰动二维量子谐振子中疤痕态的量子化条件 |
| 3.1 模型 |
| 3.1.1 一维谐振子系统 |
| 3.1.2 二维谐振子系统 |
| 3.2 结果 |
| 3.3 总结 |
| 第四章 复杂势场量子弹球中疤痕态的量子化条件 |
| 4.1 模型 |
| 4.2 结果 |
| 4.3 总结 |
| 第五章 无序石墨烯中的能谱统计 |
| 5.1 介绍 |
| 5.2 模型 |
| 5.3 能谱统计结果 |
| 5.3.1 参与比(PR) |
| 5.3.2 薛定谔区域 |
| 5.3.3 狄拉克区域 |
| 5.4 长度谱与短轨道疤痕态 |
| 5.5 总结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 附录 A 研究生期间的其他工作 |
| A.1 三重旋转对称性石墨烯弹球中的数值模拟 |
| A.1.1 模型 |
| A.1.2 能谱统计结果 |
| A.1.3 总结 |
| 附录 B 一维谐振子与无限深势阱的量子化条件 |
| B.1一维谐振子 |
| B.2一维无限深势阱 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（8）非线性局域波及其动力学分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 非线性局域波及其动力学研究 |
| 1.2 非线性局域波的求解方法及其研究 |
| 1.3 符号计算在非线性可积系统中的应用 |
| 1.4 本文的选题和主要工作 |
| 第2章 广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.1 广义双线性Backlund变换与非线性局域波的关系及其构造算法研究 |
| 2.2 3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.2.1 3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.2.2 3+1维非线性波方程的非线性局域波 |
| 2.3 广义3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.3.1 广义3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.3.2 广义3+1维非线性波方程的非线性局域波 |
| 2.4 4+1维Fokas方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.4.1 4+1维Fokas方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.4.2 4+1维Fokas方程的非线性局域波 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 Darboux变换及非线性局域波 |
| 3.1 Lax对与可积系统关系的符号计算算法研究及其实现 |
| 3.1.1 Laxpairtest程序包 |
| 3.1.2 Laxpairtest程序包应用实例 |
| 3.2 AB-NLS方程的Darboux变换 |
| 3.2.1 AB-NLS方程 |
| 3.2.2 AB-NLS方程的Darboux变换 |
| 3.3 AB-NLS方程的非线性波 |
| 3.3.1 AB-NLS方程的1-孤子解 |
| 3.3.2 AB-NLS方程的2-孤子解 |
| 3.4 AB-NLS方程的周期解 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 高维非线性系统的lump解及其动力学分析 |
| 4.1 4+1维Fokas方程的lump解 |
| 4.2 4+1维Fokas方程lump解的动力学分析 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 高维非线性系统的高阶怪波及其演化 |
| 5.1 一个新的符号计算方法 |
| 5.2 3+1维非线性波方程的高阶怪波及其演化 |
| 5.3 广义3+1维非线性波方程的高阶怪波及其演化 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 KdV-SCS方程的若干非线性局域波解 |
| 6.1 KdV-SCS方程的双曲函数解 |
| 6.2 KdV-SCS方程的Jacobi椭圆函数解 |
| 6.3 KdV-SCS方程的(G'/G)-扩展法 |
| 6.3.1 (G'/G)-扩展法 |
| 6.3.2 KdV-SCS方程的(G'/G)-扩展法的应用 |
| 6.4 KdV-SCS方程的群不变解 |
| 6.5 KdV-SCS方程的Painleve性质 |
| 6.6 本章小结 |
| 第7章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的科研成果 |
（9）三种群竞争模型的Poincaré分岔（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 第二章 预备知识 |
| 第三章 三维系统的Poincar(?)分岔 |
| 第四章 三维竞争L-V系统的极限环的下界 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（10）一维晶格系统热化性质的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究目的 |
| 1.3 论文结构 |
| 第二章 热化问题的数值研究方法及波湍流理论简介 |
| 2.1 一维单原子链的本征模式及热化问题相关物理量的定义 |
| 2.1.1 一维单原子链的本征模式 |
| 2.1.2 热化问题相关物理量的定义 |
| 2.2 正则模式相互作用的选择定则 |
| 2.2.1 一般相互作用势 |
| 2.2.2 非对称简谐相互作用势 |
| 2.2.3 对称相互作用势 |
| 2.2.4 单模式激发数值实验 |
| 2.2.5 多模式激发数值实验 |
| 2.3 波湍流理论的介绍 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 一维非线性晶格的热化 |
| 3.1 一维非线性晶格热化的普适性 |
| 3.1.1 模型介绍 |
| 3.1.2 理论分析 |
| 3.1.3 数值实验结果 |
| 3.2 相互作用势的非对称性对热化及声子谱的影响 |
| 3.3 热化时间的Matthiessen's rule |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 微扰的一维Toda链的普适性热化规律 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 模型介绍 |
| 4.3 理论分析 |
| 4.3.1 微扰强度的定义 |
| 4.3.2 热化时间理论估计 |
| 4.4 数值实验结果 |
| 4.4.1 微扰的Toda链 |
| 4.4.2 广义FPUT链 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 一维双原子系统的热化 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 一维双原子Toda链的热化 |
| 5.2.1 模型及分析 |
| 5.2.2 一维双原子链的正则模式 |
| 5.2.3 低频激发的数值结果 |
| 5.2.4 高频激发数值结果 |
| 5.3 一维双原子气体系统的热化 |
| 5.3.1 模型及能量均分的定义 |
| 5.3.2 数值实验结果 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 附录A 有效声子理论 |
| A.1 引言 |
| A.2 有效声子理论的修正 |
| A.2.1 模型 |
| A.2.2 AH模型的理论分析 |
| A.2.3 AH模型的数值验证 |
| A.2.4 非谐性模型的理论分析 |
| A.2.5 非谐性模型的数值验证 |
| A.3 自洽声子理论 |
| A.3.1 玻恩自洽声子理论 |
| A.3.2 数值验证 |
| A.3.3 分段自洽声子理论 |
| A.3.4 数值验证 |
| A.4 章小结 |
| 参考文献 |
| 攻读博士研究生期间的科研成果 |
| 致谢 |
四、A NEW POLYNOMIAL INVOLUTIVE SYSTEM AND A CLASSICAL COMPLETELY INTEGRABLE SYSTEM（论文参考文献）
- [1]物理信息神经网络与可积方程的局域波[D]. 李军. 华东师范大学, 2021
- [2]几类非线性微分方程的解析解及其演化特征的研究[D]. 王笑非. 中国矿业大学, 2021
- [3]量子多体系统的热力学和量子动力学的研究[D]. 彭黎. 中国科学院大学(中国科学院精密测量科学与技术创新研究院), 2021(01)
- [4]量子系统的周期性驱动控制方案[D]. 白思远. 兰州大学, 2021(09)
- [5]基于符号计算的若干求精确解方法的研究[D]. 张永丽. 青岛大学, 2020(01)
- [6]自由费米子和自由仲费米子自旋链的研究[D]. 刘子重. 重庆大学, 2020
- [7]复杂势场量子弹球中疤痕态量子化条件的研究[D]. 李晓亮. 兰州大学, 2020(01)
- [8]非线性局域波及其动力学分析[D]. 申亚丽. 陕西师范大学, 2019(01)
- [9]三种群竞争模型的Poincaré分岔[D]. 王惠娟. 苏州大学, 2019(06)
- [10]一维晶格系统热化性质的研究[D]. 符维成. 厦门大学, 2019(08)