一、非奇H矩阵的几个充分条件（论文文献综述）
蒋春华[1]（2020）在《多系统GNSS并行精密数据处理关键技术研究》文中研究表明GNSS精密数据处理是高精度GNSS大地测量及工程应用的关键。经历多年的研究,GNSS精密数据处理理论与算法已基本成熟,正朝着更高精度、更多样化应用的方向快速发展。然而,随着GNSS系统的发展与成熟,全球国家或区域参考站数量剧增,实时数据服务及产业兴起,GNSS精密数据处理面临新的机遇与挑战。首先,大规模参考站和定位终端的数据处理规模庞大、计算耗时严重,靠提升硬件性能难以满足当前数据处理高效性和计算资源有效利用的迫切需求。其次,随着GNSS系统日益完善和现代化以及未来低轨导航卫星星座的发展,更多导航卫星投入全球应用服务,精密数据处理中与卫星有关的参数解算,其运算量大大增加、计算负担急剧增大。最后,实时或准实时GNSS数据处理与服务需求日益旺盛,对GNSS数据处理的低时延和高并发的要求越来越迫切。计算机硬件及并行数据处理技术的发展,为多系统GNSS大规模、高精度、高效率数据处理带来了新的解决方案。基于此,本文围绕多系统GNSS并行精密数据处理关键技术展开研究,将MPI、OpenMP以及Pthread并行技术与GNSS精密定轨与钟差确定、大规模精密位置解算及GNSS大气参数提取与建模等算法进行深度融合,并基于计算机集群平台予以设计和实现。本文主要研究成果和创新点如下:1)针对卫星轨道理论中的奇点问题,对拉格朗日/高斯无奇点卫星运动方程进行深入的分析和研究,从拉格朗日和高斯运动原始方程及其物理意义出发,考虑圆轨道、圆赤道轨道和赤道轨道三种奇点情况,推导了一种全新的拉格朗日/高斯无奇点卫星运动方程,并探讨了方程的连续性。该方程完全消除了零因子,从根本上解决了卫星运动方程的奇点问题。2)针对多GNSS精密定轨与钟差确定的高时效的计算要求,本文基于MPI/OpenMP并行编程技术,提出了多系统GNSS精密定轨与钟差确定并行计算方法。针对GNSS精密定轨和钟差解算中核心处理过程耗时严重的问题,开展了并行处理策略与方法研究。分析了不同线程数和不同进程数对计算效率的影响,以及不同测站数不同数量GNSS系统下并行算法的适用性。实验结果表明:采用多进程和多线程技术均能提升GNSS精密定轨和钟差估计的效率,采用混合并行方法效率提升最大。且线程数越多、进程数越多,加速比也越大。并行方法对多测站和多系统的定轨和钟差估计效率提升更具优势。四系统精密定轨计算效率提高约30%,四系统钟差估计效率提高约59%,且两者精度损失均可忽略不计。在此基础上,针对GNSS超快速轨道中的预报轨道随外推时间增加精度损失较快的问题,本文提出了一种多时段混合并行超快速轨道高效确定新方法。分析了当前GNSS超快速产品预报轨道精度不稳定的原因,提出了并行解算思路来提高轨道更新频率,推导了 MPI分时段法方程叠加与OpenMP并行消参计算公式,设计了其处理流程。最终实现了多系统GNSS超快速轨道的并行确定方法。通过实测数据验证了该方法的有效性,能够将轨道更新频率从6小时提高到1小时。超快速轨道精度对比结果表明,新方法预报轨道结果比传统结果提高约30%。与国际同类轨道相比,新方法预报轨道具有较高的精度和稳定性,GPS、GLONASS、Galileo 和 BDS 轨道 1D RMS 分别为 3.21cm、5.08cm、5.56cm 以及 11.83cm,与国际同类产品最好精度水平一致。3)针对大规模双差网解测站坐标解算效率低问题,本文提出了一种融合MPI技术与等价性理论的测站坐标并行计算新方法。首先推导了协因数阵、等价消参以及等价并行化的基本原理与算法。其次设计了等价并行算法的核心处理流程,最后对该新方法的精度和效率进行分析。结果表明,该算法在应用中能够有效消去待估参数且精度损失可以忽略不计（约10-9米）。基于此,利用实测数据开展了100个IGS站并行处理实验,结果表明,新算法效率提升高达56%,且并行结果精度与串行处理相当。效率提升性能分析表明:该算法比传统串行算法以及高斯约旦并行算法具有更高计算效率,且随着计算规模增大其优势更明显。最后,基于集群开展的并行算例证明:新算法在集群环境同样适用,且所用节点越多计算效率越高,最高提高约19倍。4)针对大规模测站坐标解算计算量庞大、实时处理难度大、并发性强等问题,本文采用多种并行计算思路,设计并实现了 GNSS大规模事后及实时并行处理方法。一方面,对GNSS事后大规模位置解算采用MPI/OpenMP混合并行法。对该方法的基本原理进行详细推导与分析,并对多进程多线程处理过程进行设计与实现。通过270个测站坐标解算实验,验证了该算法高效性,效率提升高达53.6%。另一方面,对GNSS实时大规模位置解算采用Pthread多线程并行方法。首先分析了并发多数据流和实时处理特点,在此基础上,对Pthread多线程并行实时处理流程和实验方案进行了设计。最终在MPI与Perl编程技术辅助下,基于实时数据流,实现了 1500个参考站的实时位置多线程并行解算。5)针对基于高时空分辨率多源气象资料的对流层建模,计算量巨大、效率低等问题,设计了一种对流层参数并行解算方法,建立了一种顾及天周期信号的1°×1°中国对流层格网模型。早期基于多源气象资料的对流层模型,受数据时空分辨率限制,其建模仅考虑年和半周年周期项。本文基于最新资料ERA5提取的1小时时间分辨率对流层参数,提出一种顾及天周期变化信息的高时空分辨率对流层模型。并在此基础上,基于MPI并行编程技术在集群平台,对该模型进行了构建。选用IGS对流层产品和ERA5提取格网信息对该模型精度进行了评估。结果表明,该模型在中国西北部地区比东南部地区精度高,与GPT2w模型以及其它低时间分辨率模型相比,新模型具有更高精度。同时也证明了,并行计算对高时空分辨率对流层建模和精度提升的积极意义。此外,分析了 ERA5提取的对流层在中国区域的精度及其时空分布特征,为中国高精度对流层建模及水汽等参数计算提供了参考。6)针对全球电离层模型构建效率提升问题,提出了一种GNSS电离层模型并行构建方法。全球GNSS地面参考站的增加及GNSS各系统的发展为GNSS电离层模型构建增加了巨大计算量,降低了数据处理效率。为此,本文实现了一种GNSS电离层的并行解算与建模方法。首先分析发现电离层模型构建耗时最大的处理过程分别是电离层TEC提取和模型解算。基于此,采用并行计算方法对整个处理过程进行优化,并进一步分析了采用不同并行策略以及混合并行方法的计算效率和模型精度。实验结果表明,并行计算能显着提高GNSS电离层建模效率,与串行方案、多进程方案和多线程方案相比,混合并行计算策略效率提升最为明显,从而为GNSS电离层建模提供一种新策略,有利于提升电离层产品的性能和时效性。
李真好[2]（2020）在《非奇异H-矩阵的一些判定方法》文中研究表明非奇异H-矩阵是矩阵理论中极其重要的一类特殊矩阵,它在计算数学、数学物理、经济学、生物学、控制系统的稳定性、迭代法的收敛性等诸多领域中都有着广泛的应用.但在实际中,判定一个矩阵（特别是高阶矩阵）是否为非奇异H-矩阵是十分困难的问题.因此,研究非奇异H-矩阵的判定方法,并给出简捷实用的判定条件,构造高效快速迭代判定算法,具有十分重要的理论价值和实际应用价值.本文主要研究了非奇异H-矩阵的直接判定方法、递进判定方法和迭代判定算法.全文共分为四章,各章内容如下:第一章,介绍了非奇异H-矩阵的研究背景及意义,本文的主要工作,以及相关的符号、定义和引理.第二章,研究了非奇异H-矩阵的直接判定方法.根据非奇异H-矩阵的定义和性质,选取适当的系数,构造新的正对角矩阵元素,综合使用不等式放缩技巧,得到了非奇异H-矩阵的几个新判定条件,改进了近期的结果,并用数值实例验证了判定条件的有效性.第三章,研究了非奇异H-矩阵的递进判定方法.利用α-链对角占优矩阵的性质,选取递进系数,构造新的正对角矩阵元素,综合使用不等式放缩技巧,得到了非奇异H-矩阵的几个新递进判定条件,改进了近期的结果,并用数值实例验证了判定条件的有效性.第四章,研究了非奇异H-矩阵的迭代判定算法.分别给出了一种无参数的迭代判定算法和一种无参数交叉迭代判定算法.对于无参数交叉迭代判定算法,任意给出一个不可约矩阵或不是非奇异H-矩阵,总能通过有限次迭代判定出结果,并通过Matlab软件编写算法程序,用数值实例说明了比已有的结果迭代次数少,判定范围广,改进了近期的结果.
张丽萍[3]（2020）在《高阶广义系统分析与协同最优控制问题研究》文中认为在机械系统的振动分析、流体力学等工程应用中,大部分物理系统更适合用二阶以及高阶广义系统来建模。由于传统的线性化处理方法会带来许多弊端,本文直接在原始系统参数的框架下,探讨二阶以及高阶广义系统控制的若干基础问题。本文也结合广义系统理论、图论、矩阵代数理论等研究了广义多智能体系统一致性控制问题,旨在拓展广义多智能体系统控制的新领域,并设计更具实际意义的控制器。本文的主要工作概述如下:研究了非齐次高阶广义系统在非零初始状态和非零初始输入条件下的完全解。基于多项式矩阵在无穷远处的Smith-Mac Millan形式,非齐次高阶广义系统的状态响应可以被完全地分解为慢状态响应和快状态响应,在此基础上,分析了高阶广义系统的可达性和能控性,并给出相应的代数判据。研究了二阶广义系统的最优控制问题。基于构造的二次性能指标,导出一个由系统的原始系数矩阵直接表示的二阶广义Riccati方程,同时给出二阶广义系统最优控制器存在的充分条件。利用矩阵变换以及奇异值分解理论,将非线性二阶矩阵方程转化为线性矩阵方程,从而计算得到最优解的具体表达式。相应的结果被推广到高阶广义系统情形。研究了二阶以及高阶广义系统的正实性问题。在不进行任何线性化的情况下,给出二阶广义系统严格正实和扩展严格正实的充分必要条件并构造满足正实约束方程的解,该解可由上述二阶广义Riccati方程的解来表示。利用多项式矩阵分解技术,导出高阶广义系统扩展严格正实的充分必要条件。研究了同构广义多智能体系统在不同拓扑下的最优一致性问题。在非负拓扑图下,设计状态反馈一致协议,并导出协议可解广义多智能体系统局部和全局最优一致性问题的充分条件。在符号拓扑下,确定了广义多智能体系统达到可容许二分一致的充分必要条件及二分一致协议的最优设计方法。研究了异构广义系统在有向拓扑图上的协同最优输出调节问题。首先,提出一个分布式观测器为了估计外部系统的信息,其次,设计分布式状态反馈控制和基于降阶观测器的动态输出反馈控制器,分别给出在这两种控制协议下最优输出调节问题可解的充分条件及最优控制增益的设计方法。
徐川川[4]（2019）在《时滞系统的滞后输出反馈控制及其在航天器控制中的应用》文中提出时滞现象广泛存在于各类系统中,如机械传动系统、化工过程系统、工业冶金系统、航空航天系统和网络化控制系统等。一方面,时滞的存在可能会导致系统性能变差甚至不稳定,另一方面,巧妙地利用时滞又可以获得某些意想不到的性能,因此时滞问题近年来得到了广泛的关注和研究。Smith预估控制器作为一种经典的时滞补偿方法,能够有效地补偿系统输入时滞,但是其无法应用于原系统非时滞部分不稳定的情形。预估反馈控制器则有效地解决了这一问题,其利用系统当前时刻的状态和过去一段时间的输入来预测系统未来的状态,进而通过反馈补偿系统时滞。然而在许多系统中,状态信息不完全可测或难以测量,这就限制了预估反馈控制器的应用。为了解决这一问题,本文提出了含有多输入时滞的线性定常连续系统的滞后输出反馈（DOF）控制。与其他时滞补偿方法相比,DOF控制最大的特点就是仅利用了系统当前和滞后的输入输出信息,更便于实现。针对DOF控制中分布时滞项数值实现导致的不稳定问题,本文提出了一种基于低通滤波（LPF）的DOF控制。此外,本文还系统地提出了离散系统、时变系统的DOF控制。最后,利用所提理论方法设计了航天器交会系统和三轴磁力矩姿态控制系统的DOF控制,完成了相应的航天器控制任务。本文主要研究工作如下:第1章陈述了本课题的背景意义,并对与课题紧密相关的时滞系统、输出反馈、航天器交会对接、磁力矩姿态控制系统的研究现状进行了综述,概括了本文的主要研究工作。第2章提出了含有多输入时滞的定常连续系统的DOF控制和基于LPF的DOF控制。通过引入一状态变换,先将多输入时滞系统转化为一等价的非时滞系统。由当前和滞后的输入输出信息经系统运动方程构造出等价系统的状态,并用于构成反馈,从而得到了多输入时滞系统的DOF控制。针对DOF控制中分布时滞项数值实现不稳定的问题,本章提出了一种基于LPF的DOF控制。并证明了:总存在一个足够高的数值积分精度,使得基于LPF的DOF控制系统在数值实现后保持稳定。通过构造一增广系统,将LPF的设计问题转化为了状态反馈镇定问题。最后,通过对数值算例的仿真验证了所提方法的有效性。第3章分别提出了含有单输入时滞和多输入时滞的定常离散系统的DOF控制。对于单输入时滞系统,仅由当前和滞后的某些离散点上的输入输出信息经系统运动方程构造出系统未来时刻的状态,并用于形成反馈,从而得到其DOF控制。对于多输入时滞系统,先通过模型降阶方法将其转化为等价的非时滞系统,进而将单输入时滞系统的结论推广到多输入时滞系统。离散DOF控制因不含分布时滞项,有效避免了数值实现问题。此外,本章还提出了状态观测误差重构型的DOF控制,相比基于传统观测器的状态反馈控制,状态观测误差重构型的DOF控制弱化了对观测器自身稳定性的要求,同时对状态的观测（预估）是无差拍的,因而控制系统具有更好的动态性能。对于单输入时滞系统,本章还提出了第二种状态观测误差重构型的DOF控制,在输入输出时滞较大时,可以明显减少控制器计算量。仿真证实本章所提理论方法确实有效。第4章分别提出了具有输入时变矩阵的单输入时滞系统、含有多输入时滞的一般时变连续系统和含有多输入时滞的时变离散系统的DOF控制。对于一般时变连续系统,本章重新给出了其能观性Gram矩阵的定义,并对其非奇异性进行了讨论。针对时变连续系统DOF控制中分布时滞项的数值实现问题,本章提出了一种基于时变LPF的DOF控制,并通过设计含参的时变LPF参数Af（t）和Bf（t）,将LPF的设计问题转换为了一般时变系统的状态反馈镇定问题。针对时变系统难以通过极点配置实现镇定的问题,本章采用了参量微分黎卡提方程（DRE）法和Lyapunov方程法设计反馈增益。采用该方法设计反馈增益,还可以有效地控制输入幅值,避免饱和的出现。此外,本章还利用时变离散系统运动方程,由当前和过去的输入输出信息构造了时变离散系统的DOF控制,有效避免了数值实现问题。第5章是第2章～第4章理论方法在航天器交会和三轴磁力矩姿态控制系统中的应用。首先,本章对航天器交会和三轴磁力矩姿态控制系统进行了运动学和动力学建模,然后根据DOF控制设计需要对其进行了合理的线性化。分别利用第2章～第4章的理论方法设计了交会系统连续DOF控制、离散DOF控制和三轴磁力矩姿态控制系统的DOF控制。仿真结果表明:设计的DOF控制能够较好地完成交会任务和姿态控制任务,同时有效解决了航天器间相对速度难以精确测量的问题,并有效补偿了执行机构和传感器所含有的时滞,避免了执行机构饱和的出现。而且设计的DOF控制对系统结构、参数不确定性、输入时滞不确定性和控制器实现过程中的舍入误差具有较好的鲁棒性。本章内容是本文所提理论方法在航天器控制中的初步尝试,为航天器姿轨控制中某些问题的解决提供了借鉴和参考。
陈茜[5]（2019）在《非奇异H-矩阵的数值判定方法》文中认为H-矩阵是活跃在矩阵理论、计算数学、神经网络和控制论等领域的一类特殊矩阵.它在理论应用上占据着重要地位,然而实际应用中如何判别H-矩阵过于困难.因此,研究非奇异H-矩阵简捷实用的判定方法,构造出高效稳定的迭代判定算法,具有十分重要的理论和实际应用价值.本文主要研究了非奇异H-矩阵的直接判别条件、递进判别条件、迭代判定算法和交叉迭代判定算法,主要内容如下:（1）介绍了非奇异H-矩阵判定问题的研究背景、现状,给出了本文相关符号、定义,及本文主要工作.（2）研究了非奇异H-矩阵的直接判别方法.根据非奇异H-矩阵的定义和性质,构造新的正对角矩阵变换因子,再利用不等式放缩技巧,得到了一组直接判定新条件,最后用数值例子说明对已有结果的改进.（3）研究了非奇异H-矩阵的递进判别条件.通过构造新的正对角矩阵变换因子,利用迭代构造方法得到一类新的递进参数,给出了一类非奇异H-矩阵递进判别新条件,改进了近期的一些结果,并用数值例子验证了新条件的优越性.（4）研究了非奇异H-矩阵的迭代判定算法.主要通过对正对角矩阵因子和参数进行递进选取,分别给出了两组有无参数的迭代判定新算法.通过软件Matlab编程实验新算法,用数值仿真结果验证了新迭代算法更高效,判定范围更广,改进了近期的结果.（5）研究了非奇异H-矩阵的交叉迭代判定算法.为实现交叉迭代的思想,从算法某一确定步骤开始,将算法进程划分为两个子块,当符合奇偶校验时,选择其中一个子块进行.为避免矩阵是可约矩阵而导致迭代过程不停止,引入参数,最终给出了一个非奇异H-矩阵含参数交叉迭代判定新算法.对于任意给定的H-矩阵,总能通过有限步迭代判断出结果.最后用数值例子验证了新算法的高效性.
朱孔伟[6]（2018）在《切换LPV系统的镇定与H∞控制及其用于航空发动机控制设计的研究》文中提出切换系统是一类重要和特殊的混杂系统,而切换线性变参数（LPV）系统可以看作是切换系统和LPV系统的综合。可以说切换LPV系统是为解决工程实践的问题而产生的,具有广泛的应用背景和重要理论意义,因此受到广大学者的重视。针对切换LPV系统的研究产生了许多有重要意义的研究成果,其中研究的主要问题是该类系统的稳定性问题。与通常不含变参数的切换系统一样,切换LPV系统也存在系统的连续动态和离散动态的相互作用,另外还有调度参数对系统的影响。因此,切换LPV系统的复杂性使得研究该类系统比研究一般的切换线性系统面临更多的困难。通常需要同时设计系统控制器和切换信号,此外还要处理调度参数。从工程实现的角度出发,调度参数可能会受到扰动或测量噪声的影响,设计者可能得不到调度参数的准确测量值。在理论上设计好控制器后,设计者还需要考虑系统信号的传输问题,因而考虑切换LPV系统的事件触发控制具有重要地位。考虑到切换LPV系统在理论与实践中的重要意义和切换LPV系统研究中存在的大量困难,有许多问题值得研究。本文针对切换LPV系统,研究镇定和H∞控制问题。包括研究在H∞意义下的跟踪控制问题、滤波问题,以及研究建立在滤波器基础之上的故障检测与控制问题,还有研究事件触发机制下的系统镇定问题等。本文主要工作包括以下几个方面:（一）在第三章和第四章,我们研究切换LPV系统的H∞跟踪控制问题及带有执行器饱和的扰动容许控制和L2增益分析问题。针对切换LPV系统受参数影响的特点,利用参数依赖的多李雅普诺夫函数方法,设计了调度参数依赖的切换律及控制器,给出了问题可解的充分条件并化成LMI以实现控制目标。所设计的切换律充分体现参数对系统的影响。（二）第五章研究切换LPV系统的H∞滤波问题。通过设计H∞滤波器,依赖于滤波器状态的控制器和同时依赖于滤波器状态和调度参数的切换律,我们提供切换LPV系统的H∞滤波问题的一个解决方案。基于参数依赖的多李雅普诺夫函数方法,我们给出了H∞滤波问题可解的一个充分条件。即使每一个子系统的H∞滤波问题不可解,在所设计的切换律和控制器的作用下,切换LPV系统的H∞滤波问题仍然可解。（三）第六章研究当调度参数测量值不准确时,对滤波器与控制器同时设计的故障检测问题。由于噪声及测量误差等的影响,可能得不到调度参数准确的测量值,我们设计依赖于不准确的调度参数测量值的故障检测滤波器和控制器,并给出H∞故障检测问题可解的充分条件。尽管系统调度参数的测量值不准确并且系统状态不可测,故障检测问题仍然是可解的。我们应用模型依赖的平均驻留时间切换方法,使各个子系统可以有自己的平均驻留时间,从而增加了设计的灵活性并降低了保守性。（四）第七章研究切换LPV系统的事件触发控制问题。在保证系统性能的基础上,我们按照事件触发机制把系统调度参数和状态的采样值都输送到控制器中,放宽了控制器的调度参数时时在线获得的假设条件。根据系统控制器是否预先设计的情况,我们设计了两种事件触发机制:（i）.触发机制同时依赖于系统状态和调度参数。（ii）.触发机制分别依赖于系统状态和调度参数。所设计的触发机制可在保证系统性能的基础上降低事件触发次数,并不需要预先给出调度参数的触发条件。得到触发时间间隔的正下界,从而避免过频触发的现象。应用平均驻留时间切换方法,我们得到闭环切换LPV系统关于测量误差输入状态指数稳定的结果。上述各种控制方案都在航空发动机切换LPV模型上得到验证。第八章是全文的总结和展望。
甄虹婷[7]（2017）在《非奇异H-矩阵的若干判定法》文中进行了进一步梳理非奇异H-矩阵是计算数学、数学物理、控制论和矩阵理论中较为活跃的研究领域,它在经济学、生物学、动力系统理论及智能科学等许多学科中都有着广泛的应用.但是判定一个矩阵是否为H-矩阵是较为困难的问题,因此,研究H-矩阵的简捷实用的判定条件,构造高效快速的判别算法,具有十分重要的理论价值和实际应用价值.本文主要研究了非奇异H-矩阵的直接判定法,递进判定法和交叉迭代判定算法,改进了近期的一些结果,主要内容如下:首先,介绍了非奇异H-矩阵判定问题的研究背景和现状,给出了有关的符号和定义,以及本文所做的主要工作.其次,研究了非奇异H-矩阵的直接判定法.根据非奇异H-矩阵的定义和性质,通过添加新的系数来构造正对角矩阵变换因子,利用不等式放缩技巧,得到了一种新的判定条件,改进了近期的一些结果,并用数值例子验证了这个方法的优越性.再次,研究了非奇异H-矩阵的递进判定.递进判定法主要通过对正对角矩阵因子进行递进选取,给出了几个新的递进判定法.数值实例验证了新的递进判定法的判定范围更加广泛,改进了近期的结果.最后,研究了非奇异H-矩阵的算法判定,给出了非奇异H-矩阵的一种新的无参数交叉迭代判定算法.对于一个给定的不可约矩阵A,总能通过有限步迭代来判断这个矩阵是否为非奇异H-矩阵.并用数值实例验证了新算法的有效性和优越性,新算法比旧算法迭代次数更少、应用范围更广,并且对于所给矩阵为非H-矩阵的情况,同样能够更快地进行判断,改进了近期的结果.
山瑞平,陆全,李富忠,成丽君[8]（2017）在《基于严格α-双链对角占优矩阵的非奇H-矩阵的判定准则》文中认为研究了非奇H-矩阵的判定问题.先给出了几个判定严格α-双链对角占优矩阵的充要条件,进一步利用矩阵对角占优理论得到了判定非奇H-矩阵的一些充分条件,推广和改进了已有的相关结果,并用数值算例说明了这些判定方法的有效性.
黄政阁,徐仲,陆全,崔静静[9]（2016）在《非奇H-矩阵的一组新的判定条件》文中研究表明1引言非奇H-矩阵在计算方法、物理数学、生物学、矩阵论、控制理论等领域有着广泛的应用,如何有效地判定一个矩阵是否为非奇H-矩阵,一直是人们关注的课题.近年来国内外众多学者对非奇H-矩阵进行了深入的研究（见文[1-10]）.本文利用矩阵指标集的k-级划分给出了非奇H-矩阵一组判定条件,该判定条件推广和改进了已有的相关结果,丰富和完善了非奇H-矩阵的判定方法.
李丽霞[10]（2016）在《非奇异H-矩阵的判定和张量谱半径的估计》文中进行了进一步梳理非奇异H-矩阵是一类特殊却又极为重要的矩阵,它在许多领域都有着不容忽视的作用,例如：矩阵理论、数量经济学、概率统计、控制论、电力系统理论、神经网络以及数学物理和社会科学等.然而,如何判定一个给定的矩阵是否为非奇异H-矩阵是基本而又困难的问题.近年来,国内外许多学者已经在这方面开展了研究并给出了非奇异H-矩阵的一些有效的判别方法.本文在已有工作的基础上,利用具有非零元素链矩阵和不可约矩阵等的相关理论知识,采用寻找正对角矩阵因子的方法,并借助于不等式的放缩技巧给出了判定非奇异H-矩阵更广泛、更有效的准则,改进了已有的一些结果,并通过一些例子说明了所得结果的有效性和实用性.另一方面,张量作为矩阵的高阶推广,它仍保留着矩阵的很多性质.同时,张量在诸如盲源分离、磁共振成像、非线性优化和高阶统计学等很多领域都有着广泛的应用.因此,本文中我们也将对张量进行研究,主要考虑张量的谱半径估计,通过研究张量的特征值问题,给出了非负张量谱半径的一个新的界,证明所给出的界优于文献中的已有结果,并通过具体例子说明了所得结果的有效性和实用性.
二、非奇H矩阵的几个充分条件（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、非奇H矩阵的几个充分条件（论文提纲范文）
（1）多系统GNSS并行精密数据处理关键技术研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 缩写索引 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 并行GNSS精密数据处理的研究背景 |
| 1.2 GNSS并行数据处理技术国内外研究现状 |
| 1.2.1 GNSS大规模测站坐标解算 |
| 1.2.2 GNSS精密轨道与钟差快速确定 |
| 1.2.3 大气参数并行解算与建模 |
| 1.3 研究目标 |
| 1.4 研究内容和结构安排 |
| 第2章 GNSS精密定轨定位理论与方法 |
| 2.1 GNSS精密定轨力学模型 |
| 2.1.1 运动方程 |
| 2.1.2 变分方程 |
| 2.1.3 数值积分 |
| 2.2 GNSS精密定轨定位观测模型 |
| 2.2.1 GNSS精密定轨观测模型 |
| 2.2.2 GNSS精密定位观测模型 |
| 2.2.3 GNSS观测值线性组合 |
| 2.3 GNSS精密定轨定位主要误差改正 |
| 2.3.1 卫星有关误差改正项 |
| 2.3.2 与测站有关误差改正项 |
| 2.3.3 与信号传播有关误差改正项 |
| 2.4 GNSS精密数据处理参数估计方法 |
| 2.4.1 最小二乘法 |
| 2.4.2 序贯最小二乘 |
| 2.4.3 卡尔曼滤波 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 GNSS精密数据处理并行关键技术 |
| 3.1 并行计算简介 |
| 3.1.1 并行计算的概念 |
| 3.1.2 并行计算平台 |
| 3.1.3 加速比 |
| 3.2 GNSS并行数据处理 |
| 3.3 MPI |
| 3.3.1 MPI简介 |
| 3.3.2 MPI并行程序设计过程 |
| 3.3.3 基于MPI高斯约旦法实验与分析 |
| 3.4 OpenMP |
| 3.4.1 OpenMP简介 |
| 3.4.2 OpenMP编程模型 |
| 3.4.3 基于OpenMP并行消参实验与分析 |
| 3.5 Pthread |
| 3.6 其他并行方法 |
| 3.6.1 Perl脚本 |
| 3.6.2 并行库ScaLAPACK |
| 3.7 本章小结 |
| 第4章 GNSS并行精密定轨与钟差估计方法研究 |
| 4.1 GNSS并行精密定轨方法 |
| 4.1.1 MPI分时段并行 |
| 4.1.2 并行消参 |
| 4.1.3 轨道更新 |
| 4.1.4 并行定轨流程 |
| 4.2 并行轨道确定实验与分析 |
| 4.2.1 分析并行方法对定轨的精度的影响 |
| 4.2.2 并行定轨算法对计算效率的提升情况 |
| 4.2.3 最优并行策略用于超快速轨道确定的精度分析 |
| 4.3 多系统GNSS混合多时段并行钟差估计新方法 |
| 4.3.1 基于MPI/OpenMP混合多时段并行钟差估计基本原理 |
| 4.3.2 基于MPI/OpenMP混合多时段并行钟差设计思路 |
| 4.3.3 基于MPI/OpenMP混合多时段并行钟差估计流程与策略 |
| 4.4 精密钟差并行估计结果及分析 |
| 4.4.1 钟差并行估计方法对钟差估计精度的影响 |
| 4.4.2 并行钟差估计的效率提升情况 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 GNSS大规模测站坐标并行解算方法研究 |
| 5.1 基于等价性理论的GNSS测站坐标并行解算方法 |
| 5.2 GNSS测站坐标等价并行解算新方法的实验分析 |
| 5.2.1 基于双差网解的等价性算法的数值精度分析 |
| 5.2.2 基于MPI并行等价算法的精度和效率分析 |
| 5.2.3 等价并行算法效率的进一步分析 |
| 5.2.4 基于集群的并行等价算法的计算效率 |
| 5.3 事后大规模GNSS测站坐标并行解算新方法 |
| 5.3.1 基于MPI/OpenMP的分时段混并行测站坐标解算方法的基本原理 |
| 5.3.2 基于MPI/OpenMP的分时段混合测站坐标解算方法的设计流程 |
| 5.4 事后测站坐标并行解算方法实验与分析 |
| 5.5 实时大规模GNSS测站坐标并行解算方法 |
| 5.5.1 基于非差的大规模实时精密定位处理方法 |
| 5.5.2 大规模实时测站坐标并行解算实验与分析 |
| 5.6 本章小结 |
| 第6章 大气参数的并行解算与建模 |
| 6.1 中国区域ERA5提取对流层的精度分析 |
| 6.1.1 ERA5 ZTD精度评估数据与方法 |
| 6.1.2 ERA5 ZTD在中国区域的精度分析及其时空变化特性 |
| 6.2 基于ERA5资料的对流层并行建模 |
| 6.3 电离层的并行解算与建模 |
| 6.3.1 研究背景 |
| 6.3.2 电离层模型构建的基本原理与算法 |
| 6.3.3 电离层建模并行处理策略 |
| 6.3.4 电离层并行建模效果分析 |
| 6.4 本章小结 |
| 第7章 总结与展望 |
| 7.1 研究工作总结 |
| 7.2 下一步研究计划与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间参与的项目与完成论文成果 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（2）非奇异H-矩阵的一些判定方法（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 1.3 符号和预备知识 |
| 第2章 非奇异H-矩阵的直接判定方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 非奇异H-矩阵判定条件的改进 |
| 2.3 非奇异H-矩阵的一组新判定条件 |
| 2.4 数值实例 |
| 第3章 非奇异H-矩阵的递进判定方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 非奇异H-矩阵的一类含参数递进判定条件 |
| 3.3 非奇异H-矩阵的一组新递进判定条件 |
| 3.4 数值实例 |
| 第4章 非奇异H-矩阵的迭代判定算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 无参数迭代判定算法 |
| 4.3 无参数交叉迭代判定算法 |
| 4.4 数值实例 |
| 总结和展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间完成的论文 |
（3）高阶广义系统分析与协同最优控制问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景及意义 |
| 1.1.1 广义系统 |
| 1.1.2 高阶广义系统 |
| 1.1.3 广义多智能体系统 |
| 1.2 国内外研究现状分析 |
| 1.2.1 多项式矩阵系统的可解性及能控性 |
| 1.2.2 广义系统最优控制 |
| 1.2.3 广义系统的正实性 |
| 1.2.4 广义多智能体的最优一致性 |
| 1.3 论文的主要内容及结构安排 |
| 第2章 理论基础 |
| 2.1 广义系统理论 |
| 2.2 多项式矩阵理论 |
| 2.3 矩阵理论及图论 |
| 2.3.1 矩阵理论 |
| 2.3.2 非负图和符号图 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 高阶广义系统的状态响应及能控性 |
| 3.1 问题描述 |
| 3.2 高阶广义系统的状态响应 |
| 3.3 高阶广义系统的可达性和能控性 |
| 3.3.1 高阶广义系统的可达性 |
| 3.3.2 高阶广义系统的能控性 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 二阶以及高阶广义系统的最优控制 |
| 4.1 问题描述 |
| 4.2 二阶广义系统的最优控制器设计 |
| 4.3 高阶广义系统的最优控制器设计 |
| 4.4 数值分析 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 二阶以及高阶广义系统的正实性 |
| 5.1 问题描述 |
| 5.2 二阶广义系统的正实性 |
| 5.3 高阶广义系统的扩展严格正实性 |
| 5.4 数值算例 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 同构广义多智能体系统的最优一致性 |
| 6.1 非负拓扑下的协同最优一致控制器设计 |
| 6.1.1 领导-跟随广义多智能体系统的局部最优一致性 |
| 6.1.2 领导-跟随广义多智能体系统的全局最优一致性协议 |
| 6.2 具有敌对交互的广义多智能体系统的二分一致性 |
| 6.2.1 问题描述 |
| 6.2.2 主要结果 |
| 6.3 数值仿真 |
| 6.4 本章小结 |
| 第7章 异构广义多智能体系统的最优输出调节 |
| 7.1 问题描述 |
| 7.2 异构广义多智能体系统的协同最优控制协议设计 |
| 7.2.1 分布式最优状态反馈控制协议 |
| 7.2.2 分布式最优动态输出反馈控制协议 |
| 7.3 数值算例 |
| 7.4 本章小结 |
| 第8章 结论与展望 |
| 8.1 主要工作总结 |
| 8.2 展望 |
| 参考文献 |
| 发表论文和参加科研情况说明 |
| 致谢 |
（4）时滞系统的滞后输出反馈控制及其在航天器控制中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及意义 |
| 1.2 时滞系统研究现状 |
| 1.3 输出反馈研究现状 |
| 1.4 航天器交会研究现状 |
| 1.4.1 国外研究现状 |
| 1.4.2 国内研究现状 |
| 1.5 磁力矩姿态控制研究现状 |
| 1.6 本文的主要研究内容及章节安排 |
| 第2章 连续系统滞后输出反馈控制及其稳定实现 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 多输入时滞系统的滞后输出反馈控制 |
| 2.2.1 问题描述和预备知识 |
| 2.2.2 主要结论 |
| 2.2.3 推广 |
| 2.3 分布时滞项的实现及其导致的不稳定问题 |
| 2.3.1 数值实现方法 |
| 2.3.2 数值仿真 |
| 2.4 滞后输出反馈控制的稳定实现 |
| 2.4.1 基于低通滤波的的滞后输出反馈控制 |
| 2.4.2 低通滤波设计 |
| 2.5 数值算例 |
| 2.5.1 振荡系统的镇定 |
| 2.5.2 与已有方法的比较 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 离散系统滞后输出反馈控制 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 输入时滞系统的滞后输出反馈控制 |
| 3.2.1 单输入时滞系统的滞后输出反馈控制 |
| 3.2.2 多输入时滞系统的滞后输出反馈控制 |
| 3.2.3 数值算例 |
| 3.3 状态观测误差重构型滞后输出反馈控制 |
| 3.3.1 第一种状态观测误差重构型滞后输出反馈控制 |
| 3.3.2 第二种状态观测误差重构型滞后输出反馈控制 |
| 3.3.3 数值算例 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 时变系统滞后输出反馈控制 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 时变连续系统的滞后输出反馈控制 |
| 4.2.1 具有时变输入矩阵的连续系统的滞后输出反馈控制 |
| 4.2.2 一般时变连续系统的滞后输出反馈控制 |
| 4.2.3 低通滤波设计 |
| 4.3 时变离散系统的滞后输出反馈控制 |
| 4.4 数值算例 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 滞后输出反馈在航天器交会和三轴磁力矩姿态控制中的应用 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 相关坐标系定义 |
| 5.3 交会系统连续滞后输出反馈控制 |
| 5.3.1 航天器交会对接基本介绍 |
| 5.3.2 航天器交会系统建模 |
| 5.3.3 仿真结果 |
| 5.4 离散化交会控制系统滞后输出反馈控制 |
| 5.4.1 离散化交会控制系统建模 |
| 5.4.2 仿真结果 |
| 5.5 三轴磁力矩姿态镇定系统滞后输出反馈控制 |
| 5.5.1 三轴磁力矩姿态控制系统建模 |
| 5.5.2 仿真结果 |
| 5.6 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（5）非奇异H-矩阵的数值判定方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景与现状 |
| 1.2 符号与预备知识 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第2章 一组非奇异H-矩阵直接判定法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 主要结果 |
| 2.3 数值实例 |
| 第3章 一类非奇异H-矩阵递进判定法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 主要结果 |
| 3.3 数值实例 |
| 第4章 两类非奇异H-矩阵迭代判定新算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 无参数迭代判定新算法 |
| 4.3 含参数迭代判定新算法 |
| 4.4 数值仿真结果 |
| 第5章 两类非奇异H-矩阵交叉迭代判定新算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 无参数交叉迭代判别新算法 |
| 5.3 含参数交叉迭代判别新算法 |
| 5.4 数值实例 |
| 结束语 |
| 1.结论 |
| 2.展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间完成的论文 |
（6）切换LPV系统的镇定与H∞控制及其用于航空发动机控制设计的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 切换系统概述 |
| 1.1.1 切换系统的概念 |
| 1.1.2 切换系统研究背景 |
| 1.1.3 切换系统研究现状 |
| 1.2 LPV系统 |
| 1.2.1 LPV系统及其控制理论 |
| 1.2.2 LPV系统的研究进展 |
| 1.2.3 切换LPV系统 |
| 1.2.4 切换LPV系统的研究背景及现状 |
| 1.3 论文主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 常用概念和引理 |
| 2.2 航空发动机的切换LPV建模与控制 |
| 2.2.1 航空发动机的切换LPV建模 |
| 2.3 航空发动机控制问题 |
| 2.4 本文使用的符号 |
| 第三章 切换LPV系统基于参数依赖切换的H_∞跟踪控制 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 问题描述及预备知识 |
| 3.2.1 系统模型 |
| 3.2.2 预备知识 |
| 3.3 主要结果 |
| 3.3.1 参数依赖的滞后切换律 |
| 3.3.2 H_∞跟踪控制设计 |
| 3.4 仿真例子 |
| 3.4.1 航空发动机的切换LPV模型 |
| 3.4.2 切换LPV模型的H_∞模型参考跟踪控制 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 执行器饱和切换LPV系统的扰动容许控制与L_2增益分析 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 问题描述及预备知识 |
| 4.2.1 系统模型 |
| 4.2.2 预备知识 |
| 4.3 主要结果 |
| 4.3.1 扰动容许控制 |
| 4.3.2 L_2增益分析 |
| 4.4 仿真例子 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 切换LPV系统基于H_∞滤波器的控制设计 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 问题描述及预备知识 |
| 5.2.1 系统模型 |
| 5.2.2 预备知识和问题描述 |
| 5.3 主要结果 |
| 5.3.1 H_∞滤波器与控制器的设计 |
| 5.3.2 迭代算法 |
| 5.3.3 化LMI方法 |
| 5.4 仿真例子 |
| 5.4.1 航空发动机的切换LPV模型 |
| 5.4.2 基于H_∞滤波器的切换LPV控制 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 具有不确定调度参数的切换LPV系统的故障检测与控制设计 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 问题描述与控制目标 |
| 6.2.1 系统模型 |
| 6.2.2 问题描述 |
| 6.3 故障检测器与鲁棒控制器的同时设计 |
| 6.3.1 故障检测条件 |
| 6.3.2 鲁棒控制条件 |
| 6.3.3 故障检测与控制策略 |
| 6.3.4 故障检测的阈值计算 |
| 6.4 仿真例子 |
| 6.5 本章小结 |
| 第七章 切换LPV系统事件触发的镇定控制 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 问题描述与预备知识 |
| 7.2.1 系统模型 |
| 7.2.2 问题描述 |
| 7.3 状态与参数同时依赖的触发条件 |
| 7.3.1 触发机制的设计 |
| 7.3.2 计算触发时间间隔正下界 |
| 7.4 事件触发机制与控制器同时设计 |
| 7.4.1 触发条件和控制器的设计 |
| 7.4.2 触发阈值和控制器矩阵的求解 |
| 7.5 仿真例子 |
| 7.6 本章小结 |
| 第八章 结论与展望 |
| 8.1 论文的主要结论 |
| 8.2 对未来研究工作的展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（7）非奇异H-矩阵的若干判定法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题背景及研究现状 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 1.3 符号和预备知识 |
| 1.3.1 符号和定义 |
| 1.3.2 基本性质和预备知识 |
| 第2章 非奇异H-矩阵的一种新的直接判定法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 主要结果 |
| 2.3 数值实例 |
| 第3章 非奇异H-矩阵的几个递进判定法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 主要结果 |
| 3.3 数值实例 |
| 第4章 非奇异H-矩阵的一种新的迭代算法判定方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 一种新的迭代判定算法 |
| 4.3 算法有效性的数值实例 |
| 4.3.1 有效性的比较 |
| 4.3.2 矩阵为非H-矩阵时的判定 |
| 总结与展望 |
| 1 结论 |
| 2 存在的问题与进一步的工作 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 作者在学期间取得的学术成果 |
（8）基于严格α-双链对角占优矩阵的非奇H-矩阵的判定准则（论文提纲范文）
| 1 引言 |
| 2 预备知识 |
| 3 主要结论 |
| 4 数值算例 |
（9）非奇H-矩阵的一组新的判定条件（论文提纲范文）
| 1 引言 |
| 2 非奇H-矩阵的一组新的充分条件 |
| 3 数值算例 |
（10）非奇异H-矩阵的判定和张量谱半径的估计（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 概述 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 本文工作 |
| 1.3 符号说明 |
| 第2章 非奇异H-矩阵的若干判别方法 |
| 2.1 非奇异H-矩阵的几种构造判别方法 |
| 2.2 例子 |
| 第3章 具有特殊条件矩阵的判别方法 |
| 3.1 具有非零元素链的矩阵是非奇异H-矩阵的判别方法 |
| 3.2 不可约矩阵是非奇异H-矩阵的判别方法 |
| 3.3 例子 |
| 第4章 非负张量谱半径的估计 |
| 4.1 非负张量谱半径的界 |
| 4.2 例子 |
| 第5章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表和撰写的论文 |
| 致谢 |
四、非奇H矩阵的几个充分条件（论文参考文献）
- [1]多系统GNSS并行精密数据处理关键技术研究[D]. 蒋春华. 山东大学, 2020(12)
- [2]非奇异H-矩阵的一些判定方法[D]. 李真好. 吉首大学, 2020(04)
- [3]高阶广义系统分析与协同最优控制问题研究[D]. 张丽萍. 天津大学, 2020(01)
- [4]时滞系统的滞后输出反馈控制及其在航天器控制中的应用[D]. 徐川川. 哈尔滨工业大学, 2019(01)
- [5]非奇异H-矩阵的数值判定方法[D]. 陈茜. 吉首大学, 2019(02)
- [6]切换LPV系统的镇定与H∞控制及其用于航空发动机控制设计的研究[D]. 朱孔伟. 东北大学, 2018(01)
- [7]非奇异H-矩阵的若干判定法[D]. 甄虹婷. 吉首大学, 2017(03)
- [8]基于严格α-双链对角占优矩阵的非奇H-矩阵的判定准则[J]. 山瑞平,陆全,李富忠,成丽君. 数学的实践与认识, 2017(09)
- [9]非奇H-矩阵的一组新的判定条件[J]. 黄政阁,徐仲,陆全,崔静静. 高等学校计算数学学报, 2016(04)
- [10]非奇异H-矩阵的判定和张量谱半径的估计[D]. 李丽霞. 吉林大学, 2016(09)