一、解綫代数方程组的迭代法及其迭代过程的收斂条件（论文文献综述）
齐亚强[1]（2019）在《高性能界面两相流数值模拟方法的构建及性能分析》文中指出界面两相流在航空航天、石油化工、能源动力等工业领域中广泛存在,快速、精确地捕捉相界面对于研究两相流的内在机理以及工程实际应用都具有重要意义。由于界面附近物性参数变化剧烈、界面运动复杂多变等原因,数值模拟耗时往往较长,因此,构建一种精确高效的界面两相流模拟方法一直是国内外学者长久以来关注的一个问题。近年来,本人所在团队成员提出了一种复合界面捕捉方法—VOSET,该方法既可以保证质量守恒,又可以精确计算表面张力和光顺界面附近物性参数,获得光顺的高分辨率相界面,但仍面临计算效率较低这一问题。因此,本文将针对现有的VOSET方法,通过在网格系统、速度压力耦合算法和代数方程组求解方法三个层面对其进行改进,最终开发一种更高效的界面两相流模拟方法。（1）在网格系统层面,由于交错网格系统内包含有速度和压力等多套网格,导致计算过程异常复杂,为了解决这一问题,本文构建了基于同位网格系统的VOSET+SIMPLE方法,并通过三个经典算例验证了同位网格VOSET+SIMPLE方法的可行性和精确性。（2）在速度压力耦合算法层面,本文采用高效的IDEAL算法代替传统的SIMPLE算法,并通过三个算例验证了同位网格VOSET+IDEAL方法的高效性。（3）在代数方程组求解方法层面,首先,本文研究了G-S、ADI、SIP、Bi-CGSTAB和BCT-Bi-CGSTAB五种不同代数方程组求解方法对非稳态两相流模拟方法求解性能的影响规律,并最终确认BCT-BiCGSTAB方法在同位网格VOSET+IDEAL方法中具有最佳的求解性能。然后,为了进一步减少VOSET+IDEAL+BCT-Bi-CGSTAB方法在求解复杂问题时的计算耗时,本文引入了可快速降低低频误差消减速度的多重网格方法,并以高效的BCT-Bi-CGSTAB方法作为光顺算子,构建了更加高效的VOSET+IDEAL+多重网格（BCT-Bi-CGSTAB）非稳态两相流模拟方法,通过算例对比,发现该方法相比VOSET+IDEAL+BCT-Bi-CGSTAB方法在求解效率方面进一步得到大幅提升。通过以上研究,本文构建了一种用于精确高效模拟界面两相流的同位VOSET+IDEAL+多重网格（BCT-Bi-CGSTAB）方法,并开发了相应的软件,这一研究成果将为揭示界面两相流的内在原理、完善两相流流动的理论体系、特别是为指导实际工程应用提供强有力的数值支撑。
汪雪川[2]（2017）在《非线性系统的反馈Picard迭代-配点方法及应用》文中认为非线性动力学系统广泛存在于许多自然科学及工程应用领域中,由于其中包含了非线性项,其分析求解面临着许多困难。而实际问题一方面受到多种非线性因素的影响,另一方面又对问题求解的实时性和精确性有一定的要求。这使得相关的高性能计算方法成为工程应用和科学研究中迫切需求的工具。为了分析非线性动力学系统的稳态和瞬态响应,现有的研究往往会用到两大类方法——渐近法和加权残余法。然而,在实际应用中,这两种方法分别存在符号计算量过大和数值计算不稳定的隐患。本文在这两种方法的基础上,针对航天工程中的结构振动和轨道运动问题,提出了含间隙非线性结构振动的快速仿真计算方法,及航天器周期性相对运动轨道的快速精确搜索算法。此外,提出了反馈Picard迭代-配点方法,避免了渐近方法和加权残余法中分别存在的重大缺陷:（i）符号计算量过大;（ii）求解非线性方程组导致的数值不稳定问题。具体研究内容包括:1)为含间隙非线性结构振动提供了一种快速仿真计算方法。利用微分变换法计算简单、通用性强的特点,本文将其应用于包含复杂积分非线性项的系统求解中,并针对非线性项中存在的间隙不连续性采用了Henon方法来辅助定位分段函数的切换点。这使得我们能够精确地得到含间隙非线性系统的复杂动力学响应及关于系统参数的分岔曲线,而一般的Runge-Kutta方法则无法得到符合实际情况的仿真结果。2)提出了航天器周期性相对运动轨道的快速精确搜索算法。将时间域的配点方法应用到航天器相对运动动力学模型的求解中,通过将原始系统转化为非线性代数方程组,能够快速地得到系统中存在的周期解。这一方法能够有效替代常用的打靶法,极大地提高了周期性相对运动轨道的搜索效率和精度。此外,在这一算法的基础上提出的控制策略能够有效实现低燃耗的周期性相对运动轨道保持。3)揭示了渐近方法中的三种方法——Picard方法、Adomian解耦法和变分迭代法——之间存在的内在联系。通过揭示这三种方法的内在联系,本文证明了Picard迭代方法和Adomian解耦法是变分迭代法的特殊形式,而变分迭代法本质上是拉格朗日乘子的一般化使用。在这一结论的基础上,进一步改进了变分迭代法,得到了一种全新的局部变分迭代法。后者能够有效预测非线性系统的长期响应,同时降低了求解过程中符号计算的困难。4)针对强非线性系统提出了一种新的反馈Picard迭代-配点方法。该方法能够完全避免变分迭代法中繁琐的符号运算,同时又免除了时间域配点方法中非线性代数方程组的求解。这种新方法能够直接应用于一般的非线性动力学系统模型,通过迭代计算得到系统的真实动力学响应。相比于文献中现有的计算方法如有限差分法、配点法,或者其他的迭代方法,这种新的反馈Picard迭代-配点方法具有更高的计算效率及计算精度。仿真计算结果说明这一方法在相同的计算时间内,有效计算步长可达有限差分法的上千倍,计算精度比有限差分法要高出多个数量级。5)为摄动环境中航天器轨道递推和轨道转移提供了一种高性能计算方法。利用反馈Picard迭代-配点方法计算量小、精度高、收敛速度快、计算稳定性强等特点,将其应用于轨道递推及轨道转移的计算求解中。（i）该方法在轨道递推计算中能够达到机器精度。相比于工程中常用的精确积分方法如Runge-Kutta 12（10）,反馈Picard迭代-配点法的计算效率提高了几十倍,同时能达到更高的计算精度。（ii）反馈Picard迭代-配点法同时也能够快速精确的求解摄动力作用下的轨道转移问题。相比于同类型问题中的其他解决方案如打靶法,本文提出的方法能够以远低于打靶法的计算量满足任务的需求。
文春[3]（2012）在《鞍点问题和马尔科夫链问题的高性能算法研究》文中研究说明科学与工程的很多重要领域如通讯网络和输送现象的模拟、经济管理和市场预测、高阶微分方程求解、流体力学、计算电磁学、油藏模拟和最优化问题等都离不开线性代数系统的求解.随着科学技术的迅猛发展,人们对线性代数系统的求解在计算速度和计算精度方面的要求变得越来越高.因此,线性代数系统的求解方法研究一直都是科学与工程计算的核心之一,具有十分重要的理论意义和实际应用价值.本文针对鞍点问题和马尔科夫链问题产生的线性代数系统,深入研究了直接法,矩阵分裂迭代法, Krylov子空间方法和预处理技术等在求解相应线性代数系统中的应用,并构造出了一些新的有效算法.全文共六章,分为四个部分:研究了鞍点问题迭代求解预处理技术.首先提出了修正的对称超松弛类（MSSOR-like）迭代法求解经典鞍点问题,讨论了该迭代法的收敛性,给出了最优参数的选取范围,数值实验验证了其有效性.其次,针对具有2×2块结构的奇异对称鞍点问题,通过改变系数矩阵中（2,2）块矩阵的值,构造了修正的SSOR（MSSOR）预处理子,研究了MSSOR预处理矩阵的谱性质及其收敛性,数值实验说明了MSSOR预处理子能有效加快迭代法的收敛速度.最后,针对对称广义鞍点问题产生的不定线性代数系统,借用交替迭代法的思想,结合现有的块对角预处理子和约束预处理子,建立了乘积预处理子,分析了该预处理矩阵的特征值分布情况,对应特征向量的具体形式和最小多项式的最大次数,数值实验显示该乘积预处理子在减少所需计算时间和迭代步数方面有着明显的效果.研究了矩阵分裂迭代法在求解马尔科夫链问题中的应用.由于马尔科夫链问题产生的线性代数系统通常是奇异的,以致适用于求解非奇异线性代数系统的很多计算方法不能直接应用于该问题的求解.为了克服这一难点,本文首先给出一个定理说明存在一个非负数使得马尔科夫链问题产生的线性方程组经过修正之后具有正定性.然后基于矩阵分裂迭代法的思想,构造了对称与反对称矩阵分裂（SSS）迭代法和三角与反对称矩阵分裂（TSS）迭代法.这类迭代法包含两个子系统,本文从理论上详细讨论了SSS和TSS迭代法的收敛性及其最优参数选取情况.在实际计算中,如果利用直接法精确求解SSS和TSS迭代法中的两个子系统,则每个子系统的计算量与求解原系统相当,以致这里的两步迭代失去了意义.为了加快两个子系统的求解速度,本文发展了非精确的SSS和TSS迭代法,记为ISSS和ITSS迭代法.数值实验说明了这些方法的有效性.研究了求解马尔科夫链问题的向量外推加速多级聚合算法.首先介绍了多级聚合算法和向量外推方法的相关原理,说明多级聚合算法的核心部分在于如何有效地构造限制和延伸算子.然后指出该算法在求解马尔科夫链问题时存在的主要缺陷,即各层之间相互转化所需要的限制和延伸算子依赖于最新近似解,使得每步迭代中都需要重新计算限制和延伸算子,从而耗费大量的计算时间,令人无法接受.因此,本文结合向量外推方法计算量小,所需输入量少等优点,构造了新的向量外推加速多级聚合算法,数值实验说明了该新算法在减少计算时间和迭代步数方面所取得的进步.研究了求解非奇异线性方程组的两个共轭方向方法, Bi-CR和Bi-CG方法,发现它们具有短项循环公式和双共轭性等特点.故试图将Bi-CR和Bi-CG方法推广到求解马尔科夫链问题产生的奇异线性代数系统,使之成为获得平稳状态概率分布向量的有效计算工具.数值实验说明了Bi-CR和Bi-CG方法求解马尔科夫链问题的有效性和稳定性.
韩光辉[4]（2019）在《Landweber迭代算法的加权与松驰策略及应用研究》文中认为迭代重建算法是重要的图像重建算法。迭代重建算法主要分为块迭代和同时迭代,同时迭代算法可以表示为加权Landweber迭代形式,松弛策略和加权方法对迭代收敛速度和重建图像的质量是重要的.本文研究Landweber格式迭代算法的加权与松弛策略。主要研究结果和创新点如下:1.根据推导的简洁的Landweber迭代形式,提出了基于迭代矩阵谱半径极小的松弛策略和当仅知道迭代矩阵最大特征值时的加速收敛松弛策略,以及基于重建图像维数较大的改进松弛策略。2.经典Richardson迭代算法假设线性方程组的系数矩阵是对称正定的。本文研究了系数矩阵特征值都是正的Richardson迭代算法,研究其收敛性,给出松弛策略。3.通过分析Landweber格式迭代矩阵的谱半径与系数矩阵的条件数之间的关系,提出了一种Landweber格式加权矩阵的方法来降低系数矩阵的条件数,改善线性方程组的适定性并给出相应的松弛策略。提出的算法分别应用于CT（Computerized Tomography）图像重建与电磁层析成像（EMT）。在CT图像重建实验中,选取平行束扫描仿真模型,分别采用完全投影数据和有限角投影数据进行图像重建。实验结果证实,提出的松弛策略和加权Landweber迭代算法对重建图像的质量有一定改善,尤其对有限角重建图像质量。在EMT图像重建实验中,分别采用仿真实验和真实数据进行图像重建,实验结果表明提出的加权Landweber迭代算法在改善重建图像质量方面是有效的。
刘小靖[5]（2014）在《非线性问题统一求解的小波方法及其在大变形柔韧结构定量研究中的应用》文中研究说明非线性科学是20世纪开启并发展起来的最为重大的研究课题之一,现已成为众多基础研究与工程应用研究中的共性科学问题。虽然目前在诸多领域已定量揭示出大量非线性系统所具有的新现象和独有特征。但现有的众多非线性定量分析方法大部分只能直接用于研究弱非线性问题。而对于强非线性问题,这些方法均需根据单一问题的特性辅以特别的技巧才能适用,因而缺乏普适性。虽然结合数值追踪技术后具有一定普适性,但其累计误差会导致解失真,尤其是对于初值敏感的非线性系统这一问题将尤为突出。因此,针对非线性问题尤其是强非线性问题的定量分析技术已成为当前非线性科学研究中的棘手问题。本博士学位论文针对这一问题,在本研究小组原有求解非线性问题的基本小波算法之上,将强弱非线性问题的求解统一起来,形成一套可统一求解一般强弱非线性问题的普适方法。并通过理论推导和数值分析研究了这一方法的求解精度和收敛速度等特性,给出了应用力学和物理领域中若干强弱非线性问题的高精度定量结果。首先,本文从理论上严格推导分析了逼近定义在有限区域上任意平方可积函数及其导数和积分的广义正交Coiflet小波格式的误差,并辅以一系列数值算例验证了上述误差分析的准确性。在此基础上,进一步分析了本文所介绍的小波普适方法在离散非线性边值问题的过程中所产生的误差,并详细讨论了这一小波解法的封闭性特征。随后,我们运用可求解一般形式的一维和多维非线性边值问题的小波统一方法分别研究了一维和二维Bratu方程。通过与问题的精确解比较发现,无论是对于弱非线性情形还是强非线性情形,当前小波封闭解法在分辨率水平取6时,所得近似解的最大相对误差均小于10-8,而求解一维和二维Bratu问题的收敛速度分别约为4阶和2.5阶,明显优于多种现有数值方法,并且当前小波封闭算法还可以有效的处理具有多解支的强非线性问题。继而,我们基于同一求解程序给出了无法获得精确解的经典二维Bratu方程的高精度近似解。进一步,我们构造了一系列一维非线性边值问题来研究当前小波统一算法在分别求解高低阶微分方程以及拟线性和完全非线性问题时的精度和收敛速度。通过与问题的精确解比较发现,针对一阶和二阶微分方程,当前小波算法在分辨率水平取6时所得近似解的最大相对误差可达10-8,收敛速度为5阶。而同一分辨率水平下求解三阶和四阶微分方程时的最大相对误差约为10-4,收敛速度约为3阶。针对二阶完全非线性问题,无论是对于弱非线性情形还是强非线性情形,在分辨率水平为6时,当前小波近似解的最大相对误差均可达10-7,收敛速度约为6阶。此外,我们还运用当前小波统一方法定量研究了悬臂梁和简支梁的大挠度弯曲问题。通过与这些问题的精确解比较发现,在取15个计算节点的情形下,当挠度逐渐增大到梁长度的一半时,悬臂梁和简支梁弯曲问题的小波近似解的最大相对误差分别约为10-6和10-4。而同一条件下,有限元单元法所得近似解的最大相对误差只能达到10-2这一量级。对于非线性初边值问题,通过运用上述求解边值问题的小波算法在空间上进行离散,继而采用龙格库塔法求解所得常微分方程组,我们给出了求解一般形式的非线性初边值问题的统一求解格式。通过求解Burgers问题并与其精确解比较发现,在划分16个空间网格和雷诺数为200的情形下,当前小波算法所得近似解的最大相对误差可达10-9,空间收敛速度约为5阶,明显优于其他现有多种数值方法,并且当前的小波解法对于雷诺数高达107的Burgers问题依然适用。进一步,我们运用此小波统一求解格式定量研究了简支梁的非线性振动。通过求解一具有精确解且振幅为梁长度一半的强非线性强迫振动问题,我们发现在取15个空间节点时,当前小波近似解的最大相对误差约为万分之一。继而,我们运用同一求解程序直接仿真了梁的非线性自由振动,给出了振幅不大于梁长度一半时,其特征频率与振幅的关系。结果表明特征频率随着振幅的增大而增高,并且存在一个约为梁长度四分之一的临界振幅,在振幅分别小于和大于该临界值时,频率的增高速率随着振幅的增大分别增大和减小。最后,我们结合正交各向异性壳模型和经典蠕虫链模型,给出了管状聚合物长度和模态依赖的等效持续长度封闭形式的表达式,该理论预测值与大量实验数据高度一致。同时,基于此长度和模态依赖的持续长度,建立了研究管状聚合物统计力学性质的微结构化蠕虫链模型。进一步,通过具体研究微管这一典型管状聚合物的力学性质,并运用前述小波封闭算法定量研究由微管构成的细胞有丝分裂纺锤体。我们发现相对于经典聚合物微管能够更好的维持纺锤体的形态,以及捕获和定位细胞器。
唐利民[6]（2011）在《非线性最小二乘的不适定性及算法研究》文中指出非线性模型广泛存在于测量平差、变形监测及路面模量反算领域中。诸如导线测量中以待定点坐标为未知参数的角度观测方程和边长观测方程,它们都是待定点坐标的非线性函数；GPS伪距测量中,卫星至测站的几何距离的观测方程是测站点待定坐标的非线性函数；路基沉降变形分析与预测模型中,沉降量是关于时间的非线性函数；路面模量反算的模型也是非线性函数等等。一般地,这些模型的求解均基于非线性最小二乘原理。针对工程应用上的特点,研究非线性最小二乘问题的性质和解算方法,具有重要的理论意义和实践价值。求解非线性最小二乘问题可能会存在不适定现象。不合适的原始问题的函数模型或者解算方法的选择不当都有可能导致非线性最小二乘问题的求解失败,特别是数值迭代算法中涉及到迭代矩阵的求逆运算,而迭代矩阵的病态或奇异则会导致算法失败。有必要根据不适定理论,研究非线性最小二乘的不适定现象,为解决非线性最小二乘在工程实际问题应用中的局限性提供理论和方法支持。本文针对不适定非线性最小二乘问题的现状和存在的问题进行了研究,主要贡献有以下几点：1.论文分析了求解非线性最小二乘问题的经典数值迭代法,提出了求解非线性最小二乘问题的数值迭代法的统一模型,在此基础上对非线性最小二乘问题可能产生的两种不适定性进行了分析,给出了两种不适定性的定义。并明确指出统一模型中迭代矩阵的求逆运算是产生第一种不适定现象的重要原因。2.由于迭代矩阵求逆会导致非线性最小二乘问题产生第一种不适定性,研究迭代矩阵的病态判据就显得尤其重要。论文分析了非线性最小二乘数值迭代算法中迭代矩阵的特性,结合一般病态矩阵判据理论,给出了迭代矩阵的病态判据,并研究了一种新的替代矩阵,此替代矩阵可以有效的降低迭代矩阵的条件数,为后续研究相关算法提供了理论基础。3.由于Landweber迭代无需矩阵求逆,避免了一般非线性最小二乘问题解算方法中由于矩阵求逆而产生的不适定现象,论文基于Landweber迭代理论,建立了不适定非线性最小二乘的Landweber迭代算法,此算法无需迭代矩阵求逆即可有效收敛。4.论文结合同伦延拓和正则化方法,构造了一个稳定泛函,建立了非线性最小二乘问题正则同伦解算方法,对其迭代过程进行了详细的推导。在该泛函中,正则参数可同时起到同伦参数的作用。由于正则同伦参数的存在,可以根据迭代矩阵病态特点选取不同的正则同伦参数值来避免和改善迭代矩阵在迭代过程中的病态性或奇异性。5.基于Tikhonov正则化原理,通过添加稳定泛函项,结合修正高斯-牛顿法,论文还建立起Tikhonov正则化修正高斯-牛顿法,此方法可以有效改善迭代矩阵在迭代过程中的病态程度。6.通过对迭代矩阵添加一个正则化因子α来改善矩阵在迭代过程中的病态程度,论文建立了不适定非线性最小二乘问题的正则化牛顿迭代算法,给出了算法迭代步骤。基于路基沉降泊松预测模型的计算实例表明,此算法在改善迭代矩阵病态性或奇异性的同时,也较普通牛顿迭代法具有更好的拟合曲线。7.介绍了正则参数选择策略的研究进展,并对七种正则化因子选择方法作了简单的介绍。论文根据不适定非线性最小二乘问题的特点,提出了直接搜索法和区间划分法这两种确定正则化因子的方法,此方法非常便于计算机实现。8.结合计算机语言,开发出了相应的求解不适定非线性最小二乘问题算法的INLS工具箱,利用此工具箱,可以很方便的解算不适定的非线性最小二乘问题。由于不适定现象会导致非线性最小二乘问题解算失败,为了避免其产生不适定现象,有必要认真研究非线性最小二乘的不适定理论和方法。论文首先研究了非线性最小二乘的不适定现象,然后分析了迭代矩阵的病态判据,最后研究了适合不适定非线性最小二乘问题的多种解算算法。结合非线性平差实例及道路工程中非线性最小二乘问题的应用,论文对给出的算法与已有的算法进行了比较,并进行了数值分析和实例解算,从而验证了算法的有效性,使得算法能够很好地应用于工程计算。
寇继生[7]（2007）在《JFNK方法的若干改进及其在二维河道水流数值模拟中的应用》文中认为计算速度慢是目前困扰二维河流数值模拟的主要问题之一。在现有的离散方法基础上,寻求离散后非线性方程组的高效的求解方法是提高计算速度的有效途径。JFNK（Jacobian-Free Newton-Krylov）方法是近年来计算数学领域发展起来的、专门针对大型稀疏非线性方程组的联立求解算法。JFNK是非精确Newton法与Krylov子空间方法的结合体,具有两个显著的优点:一是运用Krylov子空间迭代法可以对Newton方程进行非精确求解,节省计算量,提高了计算速度;二是Krylov子空间方法的迭代过程只用到了Jacobian矩阵与向量的乘积,而它们的乘积可以用有限差分予以近似代替,因此可以不用形成和存储Jacobian矩阵,能够大大节省存储容量,提高计算效率。由于这些优点,JFNK非常适合于二维河道水流控制方程离散后的非线性方程组的求解。对于任何问题,JFNK的成功应用均依赖于适当的强制因子选取方法和预条件技术,本文在已有结果的基础上,对这些问题进行了研究,并将其应用于二维河道水流数值模拟,主要内容如下:1.全面阐述了JFNK的计算模式,分析了二维河道水流控制方程全隐式离散所得非线性方程组的Jacobian矩阵的性质,论证了非精确Newton法求解二维水流离散方程式的收敛性问题;2.在系统评述现有的各种强制因子选取方法的优缺点的基础上,提出了一种新的强制因子选取方法。新方法兼顾了收敛速度和线性方程组的求解计算量;尤其适用于非线性预条件的JFNK方法。证明了采用新方法选取强制因子时非精确Newton法至少是超线性收敛的。3.根据二维河道水流离散方程组Jacobian矩阵的病态性质,提出了一种改进的Newton方法,在一定程度上解决了Jacobian矩阵数值奇异或病态问题,而且可以保持Newton法的快速收敛性。还给出了改进Newton法的一种简化格式,并在此基础上得到了一种改进的SSOR-Newton法,这是Jacobian矩阵病态的解决方法与预条件技术结合的基础。4.根据二维河道水流离散方程组Jacobian矩阵的性质,分析了线性SSOR预条件子中松弛因子的选取的必要性和现有的选取方法的优缺点。在这些分析基础上,结合Newton迭代的信息和本文提出的改进Newton法的简化格式,提出了松弛因子选取的新方法,由此得到了一种近似最优的线性SSOR预条件技术。这种预条件的优点是不需要任何显式的矩阵。5.从河道水流计算中节省存储量的要求出发,提出了一种有效的非线性预条件子的构造方法,并在改进的Newton法基础上,具体构造了一种非线性预条件——非线性SSOR-Newton预条件,其优点是不需要任何显式的矩阵。6.应用本文提出的强制因子选取方法和两种预条件技术,得到了一类全隐式求解二维非恒定流控制方程组的、完全不需要任何矩阵的的JFNK方法,以扩宽河段为例对所提出的方法进行检验,结果表明这些方法能够准确求解河道水流运动方程离散后的非线性方程组,而且计算速度快、稳定性好、存储量小。计算结果表明:JFNK采用新的强制因子选取方法时计算速度快、稳定性好,尤其适合于非线性预条件技术的应用;近似最优的线性SSOR预条件和非线性SSOR-Newton预条件均能够大大提高JFNK的计算速度、稳定性,二者所需存储容量均很小,前者比目前的LU-SGS预条件子更有效,而后者比前者可以选取更大的时间步长,有利于长时间的河流模拟。
马艳影[8]（2018）在《几类多维积分方程/奇异积分的数值算法》文中提出工程科学中的许多问题,例如地质学中地球体内部精细三维图的制作问题、弹性力学问题和电磁场的散射问题等,通常是由多个变量控制的,其数学模型常归结为多维奇异积分或多维积分方程。随着这些数学模型在越来越多的科学问题中出现,高效地计算多维奇异积分与多维积分方程成为了很多科研工作者的研究热点。由于奇异性和维数效应的影响,使得多维奇异积分和多维积分方程数值算法的研究更加困难。本文以提高计算精度和收敛速度为目的,对几类多维奇异积分与多维积分方程的数值算法进行了研究,主要研究内容如下:1.研究多维弱奇异积分的多参数误差渐近展开式,设计了一种基于外推与分裂外推技术的加速收敛算法。首先,利用Duffy变换,降低了多维点型弱奇异积分的奇异性。然后,运用迭代技术,构造多维弱奇异积分的求积公式,并推导出与之对应的多参数误差渐近展开式,使其不再局限于单参数形式。最后,根据所得的多参数误差渐近展开式,提出加速收敛算法,消除误差展开式中的低阶项,提高计算精度。同时,该算法具有高度并行性,有效避免了维数效应。数值实验验证了加速收敛算法的有效性。2.研究多维面型超奇异积分的多参数误差渐近展开式及分裂外推算法。考虑到超奇异积分在正常意义下不存在,首先探讨多维面型超奇异积分的Hadamard有限部分积分的存在条件。其次,借助迭代思想,构造多维面型超奇异积分的求积公式和多参数误差渐近展开式。最后,基于所得的误差渐近展开式,提出分裂外推算法,有利于并行计算,提高计算精度。另外,所提求积公式有效避免被积函数偏导数的计算。数值实验结果表明,分裂外推算法有效地加快了收敛速度。3.基于积分中值定理逼近多维积分的数值求积公式,提出一种新的Nystr（?）m法解多维Fredholm积分方程。将多维Fredholm积分方程转化为代数方程组。根据Nystr（?）m法思想,得到多维Fredholm积分方程在任意点的近似解,该方法结构简单易实现。在聚紧理论框架下证明了该方法的收敛性。特别地,深入研究了在参数αij=1/2时所提Nystr（?）m法的误差渐近展开式。同时,结合分裂外推与周期变换技术,提高收敛速度。数值实验验证了所提方法的正确性与有效性。4.研究多维Urysohn积分方程的两种Sinc Nystr（?）m法。首先,基于单指数变换、双指数变换以及Sinc近似,构造多维积分的两种Sinc求积公式,并给出对应的误差估计式。随后利用两种Sinc求积公式,将多维Urysohn积分方程降低为非线性代数方程组。其次,将Netwon迭代过程与Nystr（?）m法相结合,得到多维Urysohn积分方程的近似解。最后,通过理论分析,证明了两种Sinc Nystr（?）m法的收敛性,其表明两种方法均具有指数收敛性质。相对于现有数值方法的多项式收敛阶结果,所提方法的收敛速度更快。数值实验验证了所提两种方法的有效性。5.基于二重模糊积分的Gauss求积公式和配置法的思想,提出了一种迭代算法解二维模糊Hammerstein积分方程。将二维模糊Hammerstein积分方程转化为非线性模糊系统,并设计了一种迭代法计算非线性模糊系统的数值解。进一步地,探讨了该算法的收敛性。该算法程序实现简单,降低了计算的复杂度,并具有较高的精度。数值实验验证了该算法优于现有的迭代算法。
马娅妮[9]（2020）在《一类改进的预条件GMRES算法的研究及应用》文中进行了进一步梳理大型稀疏线性系统的求解,是科学问题和工程计算中许多数值模拟的核心,通常也是计算中最耗时的部分。所以如何高效的求解大规模系数矩阵就是主要问题,本文主要讨论在Krylov子空间类方法和TDMA（Tri-diagonalmatrixalgorithm）算法在对流扩散问题中的求解和应用。主要工作如下:1:介绍了GMRES（Generalizedminimalresidualalgorithm）算法的基本原理,利用GMRES本身来构造了一种预处理因子,再对GMRES进行正交化处理,最后将预处理因子与正交化的GMRES进行结合,构成新的改进算法。改进之后的算法减少了原正交化GMRES算法迭代的次数,同时减少了运算所需的时间和储存空间。经过数值算例,改进之后的算法相对于原算法需要更少的运算量。并且将改进之后的算法应用在流体力学的求解过程中,用平行突扩管为例,对改进之后的算法进行验证,证明该算法在实际应用中的有效性和可行性,并且与改进之前的算法进行对比,体现改进之后算法的优越性。2:本文用改进之后的GMRES算法和TDMA算法在对流扩散问题中的应用。首先,对二维对流扩散方程运用有限体积法进行离散,其中不同的项采用不同的离散格式;对流项二采用阶迎风格式,扩散项采用二阶中心差分格式,时间项采用隐格式,源项做线性化处理。且其满足3个重要特征,即守恒性、有界性和运输性。并且以二维受热平板为例,通过应用改进之后GMRES算法和TDMA算法求解,并且与Jacobi算法进行比较,说明了改进之后的GMRES算法和TDMA算法的优越性。最后将本文的预处理GMRES算法和TDMA算法在黄河宁夏石嘴山河段进行应用。
吴世良[10]（2009）在《大型稀疏线性系统迭代解法及应用研究》文中指出在大规模科学计算与工程技术中,许多问题的解决最终都转化为大型稀疏线性系统的求解,如流体力学,计算电磁学,最优化问题,线性弹力学等.因而,大型稀疏线性系统的求解研究就具有重要的理论意义和实际的应用价值.本文对几类大规模稀疏线性系统迭代求解进行了深入而系统的研究,主要涉及矩阵分裂迭代法的收敛性及其比较理论和鞍点问题迭代求解预处理技术.研究预处理AOR（SOR）及Gauss-Seidel迭代法.首先,分析修正预处理子结合Gauss-Seidel方法和AOR（SOR）方法对L-矩阵线性系统的收敛性,并给出比较结果,进而得到修正预处理子的最优结构.其次,探讨求解H-矩阵线性系统的预处理Gauss-Seidel迭代法的收敛性条件.最后,讨论求解由最小二乘问题形成的2×2块线性系统预处理AOR迭代法的收敛性.研究HSS迭代法及HSS预处理技术.首先,对斜Hermitian/反-Hermitian（LHSS）迭代法和Hermitian/反-Hermitian（HSS）迭代法的比较,给出一个新优先择取LHSS迭代法或HSS迭代法的判据.其次,针对非Hermitian正定线性系统,提出修正HSS迭代法（MHSS）及其非精确的迭代法（IMHSS迭代法）,分析二者收敛性条件.再次,将HSS预处理子应用于经典鞍点问题,探讨HSS预处理矩阵的谱分布,给出预处理矩阵特征值分布的一个新区域并获得其所有特征值为实数的一个新充分条件.最后,研究非零（2,2）块的广义鞍点问题HSS预处理子谱性质,弥补已有文献只针对（2,2）块是0的经典鞍点问题的缺陷,证明在适当条件下,如果广义鞍点问题的系数矩阵是非Hermitian的,那么对于一个充分小的正参数,HSS预处理矩阵所有特征值将聚集在（0,0）点和（2,0）点附近.研究鞍点问题迭代法.主要包括以下5个方面：1.基于矩阵分裂,给出求解鞍点问题的一个迭代策略,并讨论该迭代法的收敛性；2.提出修正的对称逐次超松弛迭代法（MSSOR）求解鞍点问题,讨论其收敛性条件并获得迭代参数的最优因子；3.分析广义鞍点问题含参数块三角预处理子的谱性质并获得预处理矩阵实特征值及复特征值新的分布区域；4.对混合型时谐Maxwell方程离散得到的经典鞍点问题,依据其特殊的结构,获得最优块对角和块三角预处理子,同时,提出一个新的单列非零（1,2）块的块三角预处理子并提高原块三角预处理子的应用范围；5.对混合型时谐Maxwell方程离散产生的（1,1）块不定的鞍点问题提出两类修正的免增广免Schur余预处理子,通过对预处理矩阵谱的分析,给出最优免增广免Schur余的块对角和块三角预处理子,数值实验证实了两类最优预处理子的有效性.
二、解綫代数方程组的迭代法及其迭代过程的收斂条件（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、解綫代数方程组的迭代法及其迭代过程的收斂条件（论文提纲范文）
（1）高性能界面两相流数值模拟方法的构建及性能分析（论文提纲范文）
| 学位论文数据集 |
| 摘要 |
| abstract |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究的背景和意义 |
| 1.2 国内外相关研究进展 |
| 1.2.1 界面捕捉方法研究进展 |
| 1.2.2 速度压力耦合方法研究进展 |
| 1.2.3 代数方程组求解方法研究进展 |
| 1.3 本文的主要内容 |
| 第二章 同位网格VOSET+SIMPLE方法的构建及性能分析 |
| 2.1 同位网格VOSET+SIMPLE方法 |
| 2.1.1 控制方程 |
| 2.1.2 VOSET+SIMPLE方法 |
| 2.1.3 VOSET方法的实施 |
| 2.1.4 SIMPLE算法的实施 |
| 2.2 计算条件和收敛标准 |
| 2.3 算例比较及结果分析 |
| 2.3.1 算例1:垂直液柱溃坝问题 |
| 2.3.2 算例2:单气泡上升问题 |
| 2.3.3 算例3:多气泡上升问题 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 同位网格VOSET+IDEAL方法的构建及性能分析 |
| 3.1 同位网格VOSET+IDEAL方法 |
| 3.2 算例比较及结果分析 |
| 3.2.1 算例1:垂直液柱溃坝问题 |
| 3.2.2 算例2:单气泡上升问题 |
| 3.2.3 算例3:多气泡上升问题 |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 代数方程组求解效率对同位网格VOSET+IDEAL方法求解性能的影响 |
| 4.1 代数方程组求解方法 |
| 4.1.1 G-S点迭代 |
| 4.1.2 交替方向隐式方法(ADI) |
| 4.1.3 强隐迭代方法(SIP) |
| 4.1.4 共轭梯度方法(Bi-CGSTAB) |
| 4.1.5 结合块修正技术的双共轭梯度方法(BCT-Bi-CGSTAB) |
| 4.2 算例比较及结果分析 |
| 4.2.1 算例1:垂直液柱溃坝问题 |
| 4.2.2 算例2:单气泡上升问题 |
| 4.2.3 算例3:多气泡上升问题 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 结合多重网格法的高效界面两相流模拟方法的构建及性能分析 |
| 5.1 多重网格方法的基本构架 |
| 5.1.1 光顺和光顺算子 |
| 5.1.2 限定和限定算子 |
| 5.1.3 延拓和延拓算子 |
| 5.2 VOSET+IDEAL+多重网格(BCT-Bi-CGSTAB)方法 |
| 5.3 多重网格法实施中的注意事项 |
| 5.3.1 最粗层网格数的选取 |
| 5.3.2 光顺初场的设置 |
| 5.3.3 各层网格光顺次数的选取 |
| 5.4 计算条件及收敛标准 |
| 5.5 算例比较及结果分析 |
| 5.5.1 算例1:单气泡上升问题 |
| 5.5.2 算例2:多气泡上升问题 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 结论与展望 |
| 6.1 结论 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 研究成果及发表的学术论文 |
| 作者和导师简介 |
| 附件 |
（2）非线性系统的反馈Picard迭代-配点方法及应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 非线性动力学计算方法 |
| 1.2.2 飞行器的非线性结构振动 |
| 1.2.3 近地航天器的相对运动 |
| 1.2.4 近地航天器轨道递推和转移 |
| 1.3 主要研究内容 |
| 1.3.1 论文目标 |
| 1.3.2 论文内容安排 |
| 第2章 飞行器的非线性结构振动及求解方法对比 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 非线性二元机翼模型 |
| 2.3 间隙非线性气弹系统的求解方法 |
| 2.3.1 与Henon法结合的Runge-Kutta法 |
| 2.3.2 微分变换法 |
| 2.3.3 原始系统的微分变换方程 |
| 2.4 结果与分析 |
| 2.4.1 由状态空间模型得到的仿真结果 |
| 2.4.2 由原始系统得到的微分变换法结果 |
| 2.5 本章小结 |
| 2.6 本章附录 |
| 第3章 近地航天器周期性相对运动轨道的精确搜索算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 周期轨道求解方法 |
| 3.3 时域配点法迭代初值的选取 |
| 3.3.1 Clohessy-Wiltshire方程 |
| 3.3.2 Tschauner-Hempel方程 |
| 3.4 时域配点法求解方案评估 |
| 3.4.1 闭合投影轨道 |
| 3.4.2 闭环控制策略 |
| 3.5 结果和分析 |
| 3.6 本章小结 |
| 3.7 本章附录 |
| 第4章 局部变分迭代法:变分迭代法、Adomian解耦法及Picard迭代法的统一 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 Picard方法,Adomian解耦法和变分迭代法 |
| 4.2.1 Picard方法 |
| 4.2.2 Adomian解耦法 |
| 4.2.3 变分迭代法 |
| 4.3 变分迭代法及Picard迭代法和Adomian解耦法之间的内在联系 |
| 4.4 局部变分迭代法 |
| 4.4.1 全局变分迭代法的缺陷 |
| 4.4.2 局部变分迭代法 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 基于局部变分迭代法及配点法的非线性系统求解方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 局部变分迭代法及其变型 |
| 5.2.1 算法一:消除拉格朗日乘子 |
| 5.2.2 算法二:拉格朗日乘子的多项式估计 |
| 5.2.3 算法三:一般拉格朗日乘子的指数估计 |
| 5.3 配点法 |
| 5.4 使用配点法推导算法一、二、三的弱形式 |
| 5.4.1 算法一的弱形式 |
| 5.4.2 算法二的弱形式 |
| 5.4.3 算法三的弱形式 |
| 5.5 强非线性问题求解 |
| 5.5.1 受迫Duffing方程 |
| 5.5.2 Lorenz系统 |
| 5.5.3 耦合Duffing系统 |
| 5.6 本章小结 |
| 第6章 反馈加速Picard迭代方法:轨道递推及Lambert问题 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 修正变分迭代/配点法 |
| 6.2.1 修正变分迭代方法 |
| 6.2.2 与配点法的结合使用 |
| 6.3 摄动轨道递推 |
| 6.3.1 与修正Chebyshev-Picard迭代方法的比较 |
| 6.3.2 与Runge-Kutta12(10)方法的比较 |
| 6.4 摄动Lambert问题 |
| 6.4.1 反馈加速Picard迭代方法 |
| 6.4.2 逐步生长法 |
| 6.5 本章小结 |
| 第7章 总结与展望 |
| 7.1 论文工作总结 |
| 7.2 论文创新点概括 |
| 7.3 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表的论文 |
（3）鞍点问题和马尔科夫链问题的高性能算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 主要符号对照表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究问题的背景和意义 |
| 1.1.1 鞍点问题简介 |
| 1.1.2 马尔科夫链问题简介 |
| 1.2 一般研究方法 |
| 1.2.1 直接法 |
| 1.2.2 经典迭代法 |
| 1.2.3 Krylov子空间方法 |
| 1.2.3.1 投影方法 |
| 1.2.3.2 Krylov子空间方法 |
| 1.3 预处理技术 |
| 1.4 本文主要工作与创新点 |
| 1.5 本文结构安排 |
| 第二章 鞍点问题迭代求解预处理技术 |
| 2.1 求解鞍点问题的修正SSOR类迭代法 |
| 2.1.1 引言 |
| 2.1.2 修正的SSOR类迭代法 |
| 2.1.3 收敛性分析及参数选取 |
| 2.1.4 数值实验 |
| 2.2 求解鞍点问题的SSOR预处理技术 |
| 2.2.1 引言 |
| 2.2.2 修正SSOR预处理子的建立 |
| 2.2.3 MSSOR预处理矩阵的谱分析 |
| 2.2.4 数值实验 |
| 2.3 求解鞍点问题的乘积预处理技术 |
| 2.3.1 引言 |
| 2.3.2 乘积预处理子的构造 |
| 2.3.2.1 交替迭代法 |
| 2.3.2.2 乘积预处理子 |
| 2.3.3 乘积预处理矩阵的性质 |
| 2.3.4 数值实验 |
| 2.4 本章小结与展望 |
| 第三章 分裂迭代法在求解马尔科夫链问题中的应用 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 SSS与TSS迭代法 |
| 3.2.1 SSS迭代法 |
| 3.2.2 TSS迭代法 |
| 3.3 SSS与TSS迭代法的收敛性分析及参数α的选取 |
| 3.3.1 SSS迭代法的收敛性分析及参数α的选取 |
| 3.3.2 TSS迭代法的收敛性分析及参数α的选取 |
| 3.4 非精确SSS与TSS迭代法 |
| 3.4.1 ISSS迭代法 |
| 3.4.2 ITSS迭代法 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.5.1 串联排队网络问题及准备工作 |
| 3.5.2 SSS与ISSS迭代法的数值实验结果 |
| 3.5.3 TSS与ITSS迭代法的数值实验结果 |
| 3.6 本章小结与展望 |
| 第四章 求解马尔科夫链问题的向量外推加速多级聚合算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 多级聚合方法 |
| 4.3 向量外推加速多级聚合方法 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 例4.1.一维的均匀马尔科夫链 |
| 4.4.2 例4.2.生灭马尔科夫链 |
| 4.4.3 例4.3.具有两个弱连接的均匀马尔科夫链 |
| 4.5 本章小结与展望 |
| 第五章 双共轭方向方法在求解马尔科夫链问题中的应用 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 Bi-CR和Bi-CG方法求解马尔科夫链问题 |
| 5.3 数值实验 |
| 5.3.1 例5.1. Two-queue overflow networks |
| 5.3.2 例5.2. The M/H2/1 queue |
| 5.3.3 例5.3. The M/M/1 queue in a random environment |
| 5.3.4 例5.4. Uniform 2D lattice |
| 5.4 本章小结与展望 |
| 第六章 结论 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
（4）Landweber迭代算法的加权与松驰策略及应用研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号说明 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 几种经典迭代算法 |
| 1.2.2 松弛系数的取值方案 |
| 1.3 本文研究内容 |
| 2 Landweber迭代法的松弛策略 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 谱半径极小松弛策略和加速收敛松弛策略 |
| 2.4 近似谱半径极小松弛策略 |
| 2.5 数值模拟实验 |
| 2.5.1 验证松驰策略的有效性 |
| 2.5.2 与其它松弛策略的对比 |
| 2.5.3 近似谱半径极小松弛策略的验证 |
| 2.6 本章小结 |
| 3 Richardson迭代算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 松弛策略与加速收敛策略 |
| 3.4 实例验证 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 Landweber迭代法的加权算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 加权Landweber迭代算法 |
| 4.3.1 加权矩阵降低条件数 |
| 4.3.2 Landweber加权方法 |
| 4.3.3 其它加权方法的分析 |
| 4.4 数值模拟实验 |
| 4.4.1 完全投影数图像重建 |
| 4.4.2 有限角投影数据重建结果 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 EMT图像重建中的Landweber迭代算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.2.1 EMT中的Landweber算法原理 |
| 5.2.2 记号说明 |
| 5.3 EMT中的Landweber迭代法 |
| 5.3.1 加权Landweber迭代算法 |
| 5.3.2 Landweber预迭代算法 |
| 5.4 仿真实验和实际实验 |
| 5.4.1 仿真实验条件 |
| 5.4.2 实际实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 6 总结与展望 |
| 6.1 研究工作总结 |
| 6.2 研究工作展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历及攻读博士学位期间取得的研究成果 |
| 学位论文数据集 |
（5）非线性问题统一求解的小波方法及其在大变形柔韧结构定量研究中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 非线性微分方程解法概论 |
| 1.2.1 常用解析方法回顾 |
| 1.2.2 常用数值方法回顾 |
| 1.2.3 封闭解法的基本概念 |
| 1.2.4 小波解法研究概述 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 小波分析方法的数学基础 |
| 2.1 L~2(R)函数的广义Coiflets小波逼近 |
| 2.1.1 L~2空间的多分辨分析 |
| 2.1.2 广义正交Coiflets小波 |
| 2.1.3 误差分析及非线性算子运算法则 |
| 2.2 有限区域上L~2函数的广义Coiflets小波逼近 |
| 2.2.1 边界跳跃现象 |
| 2.2.2 边界延拓技术及边界条件处理 |
| 2.2.3 数值算例 |
| 2.2.4 多维小波 |
| 2.3 其他数学方法 |
| 2.3.1 小波数值积分法 |
| 2.3.2 连接系数计算方法 |
| 2.3.3 牛顿迭代法和龙格库塔法 |
| 2.4 小节 |
| 第三章 非线性边值问题的小波封闭解法及应用举例 |
| 3.1 一维非线性边值问题 |
| 3.1.1 统一求解格式 |
| 3.1.2 误差及封闭性分析 |
| 3.1.3 一维Bratu方程及其他算例 |
| 3.2 多维非线性边值问题 |
| 3.2.1 统一求解格式 |
| 3.2.2 二维Bratu方程 |
| 3.3 柔性梁的大挠度弯曲 |
| 3.3.1 悬臂梁的大挠度弯曲 |
| 3.3.2 支座不可移简支梁的大挠度弯曲 |
| 3.4 小结 |
| 第四章 非线性时变系统的小波解法及应用举例 |
| 4.1 非线性初边值问题的小波统一解法 |
| 4.2 Burgers问题的小波解法 |
| 4.2.1 一维Burgers方程 |
| 4.2.2 耦合的Burgers方程组 |
| 4.3 支座不可移简支梁的非线性振动 |
| 4.3.1 控制方程及小波求解格式 |
| 4.3.2 非线性自由振动 |
| 4.3.3 非线性强迫振动 |
| 4.4 小节 |
| 第五章 管状聚合物生物力学问题的建模与定量分析 |
| 5.1 理论建模及其基本特征分析 |
| 5.1.1 基本问题及反常的实验现象 |
| 5.1.2 正交各向异性壳模型 |
| 5.1.3 等效持续长度及其基本特征 |
| 5.2 有丝分裂纺锤体的建模及定量分析 |
| 5.2.1 力学模型及小波解法 |
| 5.2.2 结果及其生物学意义 |
| 5.3 管状聚合物的统计力学性质 |
| 5.3.1 微结构化蠕虫链模型 |
| 5.3.2 结果及其生物学意义 |
| 5.4 小节 |
| 第六章 结束语 |
| 参考文献 |
| 附录A 计算连接系数所需的积分值 |
| 附录B 一维Bratu方程求解程序 |
| 附录C 圆柱壳屈曲分析 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（6）非线性最小二乘的不适定性及算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 非线性最小二乘与不适定问题的研究现状和进展 |
| 1.2.1 非线性最小二乘问题求解算法研究现状和进展 |
| 1.2.2 不适定问题的研究现状和进展 |
| 1.3 有待解决的主要问题 |
| 1.4 本文的主要研究内容及意义 |
| 1.5 论文结构 |
| 第二章 非线性最小二乘问题的不适定性 |
| 2.1 问题的起源 |
| 2.2 非线性最小二乘数值迭代算法的统一模型 |
| 2.2.1 非线性最小二乘常用的迭代方法 |
| 2.2.2 非线性最小二乘数值迭代算法的统一模型 |
| 2.3 非线性最小二乘问题的第一种不适定性 |
| 2.4 非线性最小二乘问题的第二种不适定性 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 非线性最小二乘数值迭代矩阵的病态判据 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 非线性最小二乘迭代矩阵的病态判据 |
| 3.2.1 非线性最小二乘迭代矩阵病态的条件数法判据 |
| 3.2.2 非线性最小二乘迭代矩阵病态的特征值分析法判据 |
| 3.2.3 非线性最小二乘迭代矩阵病态的条件指标法判据 |
| 3.2.4 非线性最小二乘迭代矩阵病态的行列式法判据 |
| 3.3 降低迭代矩阵条件数的一种新方法 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 基于Landweber迭代的不适定非线性最小二乘问题算法 |
| 4.1 问题的提出 |
| 4.2 基于Landweber迭代法的不适定非线性最小二乘问题算法 |
| 4.2.1 非线性Landweber迭代法及其导出方式 |
| 4.2.2 不适定非线性最小二乘问题的Landweber迭代法 |
| 4.3 数值实验与分析 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 非线性最小二乘的正则同伦迭代解法 |
| 5.1 正则同伦理论 |
| 5.2 非线性最小二乘问题正则同伦解法 |
| 5.3 正则同伦方法解曲线的连续性条件和收敛条件 |
| 5.4 数值实验与分析 |
| 5.4.1 一般非线性最小二乘问题正则同伦法的解算 |
| 5.4.2 非线性秩亏自由网平差问题正则同伦法的解算 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 非线性最小二乘问题的Tikhonov正则化迭代算法 |
| 6.1 非线性最小二乘Tikhonov正则化修正高斯-牛顿法 |
| 6.2 数值实验与分析 |
| 6.2.1 一般非线性最小二乘的解算 |
| 6.2.2 非线性秩亏自由网平差的解算 |
| 6.5 本章小结 |
| 第七章 非线性最小二乘问题的正则化牛顿迭代法 |
| 7.1 正则化牛顿迭代法 |
| 7.1.1 普通牛顿迭代法 |
| 7.1.2 正则化牛顿迭代法 |
| 7.2 数值计算 |
| 7.2.1 一般非线性最小二乘问题的解算 |
| 7.2.2 泊松曲线参数问题的解算 |
| 7.3 本章小结 |
| 第八章 正则参数选择的新方法及INLS工具箱 |
| 8.1 正则参数选择方法研究进展 |
| 8.1.1 Morozov偏差原理 |
| 8.1.2 广义偏差原理 |
| 8.1.3 Arcangeli准则 |
| 8.1.4 广义Arcangeli准则 |
| 8.1.5 拟最优准则 |
| 8.1.6 广义交叉校验(GCV)准则 |
| 8.1.7 L曲线准则 |
| 8.2 正则参数选择的新方法 |
| 8.2.1 直接搜索法 |
| 8.2.2 区间划分法 |
| 8.3 INLS工具箱 |
| 8.4 本章小结 |
| 第九章 道路工程中不适定非线性最小二乘算法的应用 |
| 9.1 引言 |
| 9.2 路基沉降与稳定观测的目的及意义 |
| 9.3 路基沉降及稳定分析方法的不适定性分析 |
| 9.3.1 路基沉降预测模型的正则化算法 |
| 9.3.2 正则参数的存在性证明 |
| 9.3.3 路基沉降预测模型实例分析 |
| 9.4 路面结构层模量的反算 |
| 9.4.1 多层弹性体系各层弹性模量的阻尼最小二乘反算法 |
| 9.4.2 多层弹性体系各层弹性模量的两种新反算法 |
| 9.5 边坡变形监测 |
| 9.6 本章小结 |
| 第十章 总结与展望 |
| 10.1 本文的主要工作和贡献 |
| 10.2 展望与设想 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间主要的研究成果 |
（7）JFNK方法的若干改进及其在二维河道水流数值模拟中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 问题的提出及研究意义 |
| 1.2 JFNK方法及其研究现状 |
| 1.3 本文的研究内容和方法 |
| 第二章 JFNK 方法及其收敛性分析 |
| 2.1 控制方程及其离散 |
| 2.2 JFNK方法 |
| 2.3 非精确Newton法的收敛性分析 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 非精确Newton 法 |
| 3.1 强制因子序列的选取 |
| 3.2 改进的Newton法 |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 JFNK 方法的预条件技术 |
| 4.1 预条件技术的研究现状 |
| 4.2 线性SSOR预条件 |
| 4.3 非线性SSOR预条件 |
| 4.4 非线性不动点预条件 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 计算实例与结果分析 |
| 5.1 算例 |
| 5.2 强制因子的选取方法比较 |
| 5.3 近似最优线性SSOR预条件的表现分析 |
| 5.4 非线性SSOR-Newton预条件的表现分析 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 基本概念与符号 |
| 附录 |
| 致谢 |
（8）几类多维积分方程/奇异积分的数值算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究工作的背景与意义 |
| 1.2 多维奇异积分/多维积分方程的研究现状 |
| 1.3 本文的主要内容与创新点 |
| 1.4 本文的章节安排 |
| 第二章 多维弱奇异积分的多参数误差渐近展开式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 原点型多维弱奇异积分的误差渐近展开式 |
| 2.2.1 代数弱奇异积分的误差渐近展开式 |
| 2.2.2 对数弱奇异积分的误差渐近展开式 |
| 2.3 多维含参弱奇异积分的误差渐近展开式 |
| 2.4 加速收敛算法 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 多维面型超奇异积分的多参数误差渐近展开式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 多维面型超奇异积分的Hadamard有限部分积分的存在条件 |
| 3.3 多维面型超奇异积分的误差渐近展开式 |
| 3.3.1 二维面型超奇异积分的误差展开式 |
| 3.3.2 多维面型超奇异积分的误差展开式 |
| 3.4 分裂外推算法 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 解多维Fredholm积分方程的Nystr(?)m法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 Nystr(?)m法解多维Fredholm积分方程 |
| 4.3 误差分析 |
| 4.4 加速收敛法 |
| 4.4.1 分裂外推 |
| 4.4.2 周期变换 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 解多维Urysohn积分方程的SincNystr(?)m法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.2.1 单指数Sinc求积公式 |
| 5.2.2 双指数Sinc求积公式 |
| 5.3 SincNystr(?)m法解多维Urysohn积分方程 |
| 5.3.1 单指数SincNystr(?)m法 |
| 5.3.2 双指数SincNystr(?)m法 |
| 5.4 误差分析 |
| 5.5 数值实验 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 解二维模糊Hammerstein积分方程的迭代法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 预备知识 |
| 6.3 迭代法解二维模糊Hammerstein积分方程 |
| 6.4 误差分析 |
| 6.5 数值实验 |
| 6.6 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（9）一类改进的预条件GMRES算法的研究及应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究目的与意义 |
| 1.2 迭代法预处理的研究现状 |
| 1.3 迭代法和预处理的发展 |
| 1.4 研究内容和创新点 |
| 第二章 GMRES算法的基础知识 |
| 2.1 Galerkin原理 |
| 2.2 Arnoldi过程 |
| 2.3 极小化过程 |
| 2.4 GMRES算法 |
| 第三章 基于Gram-Schmidt GMRES的多项式预处理 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 GGMRES(m)实施过程 |
| 3.3 预处理多项式的构造 |
| 3.4 多项式预处理GGMRESm算法 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 基于Householder GMRES的多项式预处理 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 HGMRES(m)实施过程 |
| 4.3 预处理多项式的构造 |
| 4.4 多项式预处理HGMRES(m)算法 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 改进之后GMRES(m)算法和TDMA算法的应用 |
| 5.1 TDMA算法的原理 |
| 5.2 TDMA在二维对流扩散问题中的应用 |
| 5.3 系数矩阵的特征 |
| 5.4 数值算例 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 结论与展望 |
| 6.1 主要工作及结论 |
| 6.2 对后续工作的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简介 |
（10）大型稀疏线性系统迭代解法及应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 预处理经典定常迭代法 |
| 1.2.2 非Hermitian正定线性系统的迭代法 |
| 1.2.3 鞍点问题的迭代法 |
| 1.3 本文主要研究内容、方法和创新点 |
| 1.4 本文结构安排 |
| 第二章 基于基本经典迭代法的相关研究 |
| 2.1 L-矩阵线性系统的修正预处理AOR迭代法 |
| 2.1.1 引言 |
| 2.1.2 助记符,概念和性质 |
| 2.1.3 预处理AOR迭代法的收敛性分析和比较理论 |
| 2.1.4 数值算例 |
| 2.2 预处理Gauss-Seidel迭代法求解H-矩阵线性系统 |
| 2.2.1 引言 |
| 2.2.2 概念和性质 |
| 2.2.3 收敛性分析 |
| 2.2.4 数值算例 |
| 2.3 求解最小二乘问题的预处理AOR迭代法 |
| 2.3.1 引言 |
| 2.3.2 预处理AOR迭代法及收敛分析 |
| 2.3.3 数值算例 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 基于HSS迭代法的研究 |
| 3.1 选择HSS迭代法及LHSS迭代法一个新准则 |
| 3.1.1 引言 |
| 3.1.2 HSS迭代法与LHSS迭代法的一个新选择判据 |
| 3.1.3 两个例子 |
| 3.2 非Hermitian正定线性系统HSS迭代法的一个推广 |
| 3.2.1 引言 |
| 3.2.2 MHSS迭代法的收敛分析 |
| 3.2.3 IMHSS迭代法 |
| 3.2.4 数值实验 |
| 3.3 鞍点问题HSS预处理矩阵谱的新上下界 |
| 3.3.1 引言 |
| 3.3.2 谱的新界 |
| 3.4 广义鞍点问题HSS预处理矩阵的谱分布 |
| 3.4.1 引言 |
| 3.4.2 广义鞍点问题的HSS方法 |
| 3.4.3 HSS预处理矩阵的谱性质 |
| 3.4.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 鞍点问题迭代法 |
| 4.1 求解鞍点问题的一个迭代法 |
| 4.1.1 引言 |
| 4.1.2 迭代法 |
| 4.1.3 数值算例 |
| 4.2 求解鞍点问题的一个修正SSOR迭代法 |
| 4.2.1 引言 |
| 4.2.2 修正的SSOR迭代法 |
| 4.2.3 参数w的选取 |
| 4.2.4 数值实验 |
| 4.3 广义鞍点问题的块预处理技术 |
| 4.3.1 引言 |
| 4.3.2 谱分析 |
| 4.3.2.1 MP~(-1)的谱分析 |
| 4.3.2.2 MP~(-1)的谱分析 |
| 4.3.3 数值实验 |
| 4.4 离散化混合型时谐Maxwell方程的块三角预处理技术 |
| 4.4.1 引言 |
| 4.4.2 新的块三角预处理子 |
| 4.4.3 新的单列非零(1,2)块的块三角预处理子 |
| 4.4.4 数值实验 |
| 4.5 离散化混合型时谐Maxwell方程的修正块预处理技术 |
| 4.5.1 引言 |
| 4.5.2 修正块预处理子 |
| 4.5.2.1 修正块对角预处理子 |
| 4.5.2.2 修正块三角预处理子 |
| 4.5.3 数值实验 |
| 4.5.3.1 预处理矩阵的谱分布 |
| 4.5.3.2 GMRES子空间方法的迭代结果 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 结论 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
四、解綫代数方程组的迭代法及其迭代过程的收斂条件（论文参考文献）
- [1]高性能界面两相流数值模拟方法的构建及性能分析[D]. 齐亚强. 北京石油化工学院, 2019
- [2]非线性系统的反馈Picard迭代-配点方法及应用[D]. 汪雪川. 西北工业大学, 2017(02)
- [3]鞍点问题和马尔科夫链问题的高性能算法研究[D]. 文春. 电子科技大学, 2012(12)
- [4]Landweber迭代算法的加权与松驰策略及应用研究[D]. 韩光辉. 北京交通大学, 2019(01)
- [5]非线性问题统一求解的小波方法及其在大变形柔韧结构定量研究中的应用[D]. 刘小靖. 兰州大学, 2014(01)
- [6]非线性最小二乘的不适定性及算法研究[D]. 唐利民. 中南大学, 2011(12)
- [7]JFNK方法的若干改进及其在二维河道水流数值模拟中的应用[D]. 寇继生. 武汉大学, 2007(03)
- [8]几类多维积分方程/奇异积分的数值算法[D]. 马艳影. 电子科技大学, 2018(09)
- [9]一类改进的预条件GMRES算法的研究及应用[D]. 马娅妮. 北方民族大学, 2020(12)
- [10]大型稀疏线性系统迭代解法及应用研究[D]. 吴世良. 电子科技大学, 2009(05)