一、关于双曲等距变换的表示（论文文献综述）
李娜,刘白羽,张林桐[1]（2021）在《微分几何的教学设计与实践——以《可展曲面》为例》文中提出微分几何是数学类高年级本科生的一门专业课,课程内容充分体现了"数"与"形"的结合.通过微分几何的学习对培养学生的逻辑思维能力和直觉思维能力起到非常重要的作用.结合多年的教学实践,本文以可展曲面为例介绍微分几何课程的教学设计与实践体会.
范哲南[2]（2021）在《基于深度学习的大坝变形预测研究》文中认为随着GNSS等新技术的发展,大坝变形监测已经实现全天候实时动态化,传统的大坝变形预测方法不能很好地对海量的监测数据进行处理。深度学习是在神经网络的基础上对网络层数加深的优化算法,目前已经在风电、空气质量、灾害预警等领域广泛应用。相对于传统的机器学习算法,深度学习强调从海量数据中进行学习,能够解决大坝变形数据中存在的高维、冗杂以及高噪等传统机器学习算法难以处理的问题。因此,非常有必要开展基于深度学习的大坝变形预测研究。针对传统信号提取方法在大坝变形数据特征提取时易出现端点效应和模态混叠的情况,本文首先提出变分模态分解（VMD）方法进行大坝变形特征提取,将大坝变形序列的分解方式转化为变分问题,通过计算受约束变分问题,获取全局最优解。结果证明VMD的方法对大坝变形序列的局部特征进行保留,对高频的噪声进行去除,能够较好地进行大坝特征提取。其次,本文根据深度学习的发展进程,分析早期递归神经网络雏形的非线性自回归神经网络（NARX）、深度学习起始的深度信念网络（DBN）,以及当下时间序列预测的长短时记忆网络（LSTM）,结合变分模态分解分别构建了基于VMD-NARX、VMD-DBN、VMDLSTM的大坝变形预测模型。然后,对构建的基于深度学习的大坝变形预测模型进行实际应用。VMD-NARX、VMDDBN、VMD-LSTM三种模型的评价指标来看,平均绝对误差（MAE）分别为1.28mm,1.15mm,0.95mm;均方根误差（RMSE）分别为1.62 mm,1.49 mm,1.22 mm,同时对其他传统大坝变形预测模型进行应用比较,比较结果表明,深度学习模型均表现优良,各项误差指标较小,表现出稳定性好、预测精度高的特点,从而为大坝的安全监测提供了参考依据。
胡浩[3]（2021）在《基于压缩感知的SPM图像重建算法研究》文中进行了进一步梳理微弱目标成像探测作为图像处理和计算机视觉的重点内容一直都受到研究学者们的广泛关注,在军事和安防等领域都具有广泛而重要的应用前景。硅基光电倍增管（silicon photomultiplier,简称SPM）是一种近年来被广泛应用的探测元件,具有探测精度高、体积小等优势,非常适合针对微弱信号的精确探测和系统集成。然而由于SPM的制作工艺复杂,往往成像单元数少,分辨率低,所以本文将其与基于压缩感知的图像重建技术结合起来,完成对微弱信号的高分辨率成像。压缩感知图像重建的过程是先由投影矩阵获得图像的低维测量值,然后将稀疏性作为先验条件,利用贪婪迭代等方式对原信息进行恢复。压缩感知理论的突出贡献是采样时可以突破Nyquist采样定理的限制,直接得到压缩后的数据,并对其精确恢复。根据其思想,可将压缩感知分为三个部分:图像稀疏表示,非相关投影,图像重建。本文根据前人的理论成果,对小波稀疏算法和投影矩阵进行了改进优化,使其更适用于高分辨率的成像系统,主要工作有:1)通过仿真实验证明对于同一类别的图像在小波域的表示具有一定相似的属性,对其小波域表示进行KSVD字典训练生成的字典具有极高相似性,因此结合灰色关联度理论提出了一种WT＿GR＿KSVD的图像稀疏表示方法,对分到同一类别的图像使用迭代优化的字典进行稀疏表示,提高了图像重构的精度,并使重构时间大为降低。2)基于对角矩阵和字典学习提出了两种约束矩阵的设计方案,对离散小波基进行进一步优化,使图像表示更加集中,同时提升了算法对于广大图像的适用性,并使其更有利于硬件实现。3)构造感知矩阵的Gram矩阵,用一个连续可导的阈值函数同时收缩其最大值相关系数和平均相关系数,再由优化的Gram矩阵用梯度下降法反解投影矩阵。该算法能够降低感知矩阵的条件数,使其更好地满足约束等距（RIP）特性,同时提升图像的重建精度。最后,本文将对算法的改进应用到了SPM高分辨率重建系统当中,初步完成了室外场景的单像素成像工作,为针对极远极暗目标的光子级探测的进一步研制打下了基础。
王慧[4]（2020）在《建筑几何中的网格与光滑曲面构造》文中认为建筑几何（Architectural Geometry）源于建筑中待解决的自由曲面造型问题,目前已逐渐成为一门新兴的交叉研究领域且备受关注.从设计分析、数字建模到加工建造,几何都是关键因素.随着现代科技的发展,几何计算为自由曲面建模带来变革,挑战工程和设计上的规模和建造技术.反之,材料和技术的进步也对几何模型探索提供了更大和更灵活的空间.这些源自实际建筑的需求为工业几何、图形图像和几何处理带来了新的问题和研究目标.建筑几何涉及计算几何、计算机辅助几何设计（CAGD）、计算机辅助设计（CAD）、计算机辅助制造（CAM）等学科领域,其核心理论来源于微分几何.微分几何着眼于几何的局部性质分析,如一般三维曲线和曲面的局部曲率行为.常见的特殊曲线和曲面有测地线、曲率线、渐近线、可展曲面、常平均曲率曲面、旋转面等,它们因其微分特性而在建筑几何中具有很重要的研究价值.研究建筑几何的主要手段是离散微分几何（DDG）.它是经典微分几何的离散化,依赖于光滑理论但具有更直观和更简单的表示.它的研究对象是多边形、多面体面、非多面体网格等.离散曲线曲面的表示不需要全局的精确代数表示,往往局部格点、边线或面片的性质就决定了全局的几何意义,而且其微分表示也只依赖局部的特征.这极大丰富了曲线曲面的造型可能性,为直观交互的几何建模提供了条件,也方便设计者灵活探索自由曲面以满足实际建筑要求.建筑几何的研究不仅对理论研究发展提供了新的方向,而且对实际建筑设计也具有重要应用价值.本文对建筑几何中的网格与光滑曲面构造理论与应用进行研究.基于建筑上的应用,本文首先建立插值特殊边界线的光滑曲面模型,这为具有一定边界约束的防水曲面的建造提供理论依据.其次,对应经典微分几何中的曲线和曲面,研究特殊的离散参数网面,主要研究内容包括离散常平均曲率曲面、离散测地平行坐标系参数网、离散测地线参数网、离散曲率线参数网、离散渐近线参数网等,研究这些离散参数曲面不仅极大丰富了离散微分几何理论,同时还表现出在实际建筑中的理论支持作用.最后,利用几何结构上的良好性质,应用这些结论到建筑几何,帮助实现面向建造为意识的几何设计.本文主要工作如下:（1）插值渐近四边形的光滑曲面重构.首先,本文给出构造渐近四边形的判定条件.在给定角点数据（角点坐标、单位切向量、曲率值）,设计Bezier渐近四边形、有理Bezier渐近四边形和B-spline渐近四边形.其次,依据插值的兼容性,本文构造以这些封闭曲线为边界线的张量积Bezier曲面、有理Bezier曲面和B-spline曲面.随后利用能量函数对自由参数进行优化,保证了曲面的光滑性与能量极小性.几何理论上,如上模型的建立推广了曲面插值特殊边界线（测地线或曲率线）的研究;实际应用上,为满足特殊边界线的防水表面的建造提供了依据.（2）构造球面格点星四边网.该网格满足在每个格点星处格点及其相邻边四个点共球,构成了关于主法曲率线对称的网格,兼容离散常平均曲率曲面和极小曲面.当所有球半径相同且网格是正交网时,该网格是主法曲率线网的对角线网,即离散常平均曲率曲面.特别地,当所有球半径无限大时,成为离散极小曲面.建筑应用上,可以使用边界为圆弧状或平直状的可展钢薄片构造网壳结构.这些薄片沿着这个（虚拟的）曲面的主法向量构成网壳的支撑梁柱结构且彼此正交于无挠节点.实际构造的弯曲支撑结构模型和直支撑结构模型具有良好的微分几何特性,使得在交互设计上存在丰富空间,在节点、板材和框架上存在大量重复性元素,在加工模具和组合集装方面节省大量成本.（3）建立离散测地平行坐标系参数网.测地平行坐标系是曲面上的正交网,满足其中一族参数线是测地线.该特殊曲面参数化的离散形式展现出非常明确的应用价值,特别在建筑上的曲面设计和制造方面.离散测地平行坐标系参数网很自然地分解为以测地线为边界的曲面条,控制测地条带宽度,有助于使用来源于平直板材的条带进行曲面包层、设计测地网壳结构或木筋壳结构.同时,还可以构造近似可展曲面,生成由可拉伸或压缩的材料（如毛毡、皮革或木板等）制造的形状.最重要的,等宽度测地条带面帮助建立一类内蕴对称的曲面.此时,曲面不再只是可展曲面,而是能等距变形到旋转曲面的双弯曲曲面,为自由的建筑表面设计提供了空间.可以通过适当的曲面片或板面组合成防水的表皮并用双弯曲的面板覆层.这些用于建造的面板可以是类似金属板的灵活材料,其生产制造只用一些模具即可.该工作解决了来自平板材料构成自由曲面的问题,理论上能极大地减少建造成本.（4）设计特殊离散参数网面.研究离散四边网格局部格点星条件,推广构造离散测地线参数网、离散曲率线参数网、离散渐近线参数网.使用Guided Projection算法快速高效地实现不同离散网格的交互设计,为自由曲面、可展曲面、旋转曲面、极小曲面、Weingarten曲面等及其相应的等距变形曲面的造型提供可视化保证.
陈岳[5]（2020）在《PU（3，1）上的离散性问题》文中进行了进一步梳理在本文中,我们给出了 3维复双曲等距群PU（3,1）中包含一个生成元为Heisenberg螺旋运动的子群的Shimizu引理的推广,得到了关于这类子群的离散性的必要条件.同时对PU（3,1）下的Heisenberg螺旋运动的旋转矩阵为单参数的情形,讨论了等距球半径和等距球球心到Heisenberg螺旋运动的轴上的距离的关系,从而给出了相应Shimizu引理的几何解释.
勾高顺[6]（2020）在《Heisenberg群上的共形模与模空间》文中认为非紧类型的秩为1对称空间包括:实双曲空间、复双曲空间、四元数双曲空间以及凯莱双曲平面.Heisenberg流形可以表示到秩为1对称空间.我们可以将一点紧化的Heisenberg群等同于双曲空间的边界.本文涉及Heisenberg流形上的多个问题,我们将主要研究Heisenberg群上的共形模和点模空间.总结如下:1.我们将研究复空间中Heisenberg群的共形模.令L为Heisenberg群中线性切触拟共形映射.Koranyi球面环形区域ε=εB,A,0<B<A被定义为中心在原点半径为A,B的Koranyi球面环形区域在L下的像.如果令K≥1是L的最大伸缩商,我们将证明ε的共形模为:2.我们考虑Koranyi球面环形区域到Koranyi椭球面环形区域在平均伸缩商意义下的极值拟共形映射,发现线性切触拟共形映射L并不是此种极值拟共形映射.3.我们将研究四元数Heisenberg群上的有序互异m点对的模空间.由于一点紧化的四元数Heisenberg群等同于四元数双曲空间的边界,我们可以直接在边界上研究有序互异m点对的模空间,然后将结果推到四元数Heisenberg群上.令F1（n,m）为n维四元数双曲空间边界（?）上的有序互异m个点的PSp（n,1）-构型空间,也就是（?）上的有序互异m点对关于PSp（n,1）在对角作用下的商空间.我们将应用Moore行列式结合Cantan角不变量和交比不变量来描述F1（n,m）的模空间.我们证明了F1（n,m）的模空间是代数簇的子集,并且当m>n+1时,该代数簇和模空间有相同的实维数:
况立群[7]（2018）在《持久同调与共形映射下三维点云的特征表示研究》文中研究说明三维点云的特征分析是计算机视觉相关领域的研究热点,也是三维点云数据处理的核心技术。现有的三维点云特征分析大多针对结构相对简单的刚性物体,而现实生活中的三维点云变幻多姿,影响其特征描述能力的因素纷繁复杂。因此,研究一些适用性广、鲁棒性强的特征表示方法,满足实际应用中不同层次的需求,是三维点云特征表示的重点和难点。本文从持久同调和共形映射两个角度分别研究复杂三维变换下的点云特征表示方法,主要内容包括:首先,研究了散乱三维点云拓扑关系的构建方法,为后续的几何与拓扑特征分析提供了结构化的三维数据。分析了点云拓扑构建过程中顶点与边权的定义方式以及嵌套层级的确定等关键问题,提出了一种基于最小生成树的多尺度表示方法,为三维点云建立了嵌套复形的拓扑结构。相对于依赖阈值的单尺度方法,通过该多尺度方法建立的拓扑结构所蕴含的信息更为丰富,性能更为稳定,实用性也更强。其次,研究了持久同调下点云的拓扑特征表示方法。在第零维贝蒂数的基础上引入了连通分支聚合成本,提出了一个新颖的集成的持久性特征（IPF）以及由此凝练出的单变量特征SIP,在理论上对贝蒂数进行了拓展,更为完整地表征了嵌套复形的空间演化过程,可以用于度量复杂点云的拓扑结构变化。实验结果表明,所提出的拓扑特征SIP比基于图论的特征具有更好的统计性能,可能成为阿尔茨海默病的潜在成像生物标志物。再次,研究了双曲黎奇流下的共形映射方法,提出了双曲几何空间中共形结构度量的一个通用框架与算法,使得任意亏格的三维点云都可以一致性的共形映射到双曲庞加莱模型中,通过计算基本域在泰希米勒空间中的坐标,构建了双曲共形特征描述子。实验结果表明,所提出的特征描述子不仅对奇点选择不敏感,而且有效的提高了人脸表情识别的性能。最后,研究了持久同调与共形映射相结合的特征分析方法,提出了一种基于持久同调和共形映射的混合几何拓扑特征描述子,并设计了基于两级特征选择的分类学习算法。在阿尔茨海默病的结构与功能磁共振成像中对所提出的特征描述子进行了分类学习,结果表明,相对于持久同调和共形映射下各自的特征,所提出的混合几何拓扑特征具有更好的分类性能。
任雪静[8]（2016）在《复双曲空间上等距子群的离散性》文中提出复双曲几何与黎曼几何、接触几何、李群理论、调和分析以及代数几何等有着紧密的联系,是复分析领域的一个重要研究对象.复双曲几何理论的研究开始于十九世纪末.尽管它与实双曲几何理论几乎一起产生,但由于复双曲空间上丰富的结构,使得它比实双曲几何理论的发展缓慢的多.直到Chen和Greenberg首先研究了秩为1的对称空间,以及Mostow构造了作用在复双曲空间上的非算术格后,越来越多的学者开始对复双曲几何理论进行研究.Epstein, Toledo, Goldman, Schwartz, Parker, Falbel和Zocca, Deraux等做了大量的工作.他们推动了该领域的发展,并且激发了更多年轻学者的研究兴趣.本文的主要目的是讨论复双曲平面上等距子群离散的必要条件,二元生成子群离散的充分条件和复双曲平面中等距元素的C-分解性.在第一章中,我们首先对复双曲几何的发展历史和研究现状做了简单的综述.然后介绍了本文的主要内容和创新点.最后给出了在全文中经常用到的一些记号说明.第二章,我们回顾了复双曲几何的基础知识.我们首先介绍了二维复双曲空间常用的两个模型及Cygan度量,其中Cygan球的凸性在第三章离散准则的证明中起了重要的作用.然后,我们介绍了复双曲平面的四种不同的全测地子空间：点,测地线,复线与R-平面.最后,我们给出了拓扑群与离散群的定义,并且对复双曲等距变换进行了详细的分类.复双曲空间上等距子群离散性问题一直以来深受广大学者重视.在第三章中,我们主要研究了PU（2,1）（即复双曲平面的全纯等距群）中包含螺旋抛物元素的子群离散的必要条件,也就是Shimizu引理的推广.首先我们回顾了螺旋抛物元素的基本性质.然后利用Margulis区域的几何知识构造边界函数Bg（r）.接下来,运用连分式相关理论给出了边界函数Bg（r）的一致上界,从而得到在子群Γ∞作用下精确不变的区域.最后根据Margulis区域的性质和Cygan球的凸性证明了本章的离散准则.复双曲空间上等距子群离散性问题与三角群联系密切.三角群是由三个对合元素生成的群.复双曲空间上的等距变换中有三种对合元素,一种是关于复线的2阶复反射,简称复对称；一种是关于复双曲空间中点的2阶复反射；另一种是关于R-平面的2阶反射,简称拉格朗日反射.在第四章中,我们研究了PU（2,1）中一个抛物元素和一个椭圆元素分别可以分解成两个复对称乘积的条件,即等距元素的C-强可逆性.接着我们引入C-分解性,我们称一对等距元素（A,B）具有C-分解的性质,也就是A=I1I2,B=I2I3,其中I1,I2,I3都是复对称.最后,我们分别给出了一对抛物元素和一对椭圆元素可以C-分解的条件.此外,我们也得到了一个斜驶元素和一个抛物元素具有C-分解性的条件,第五章中,我们主要研究了PU（2,1）中二元生成子群离散的充分条件,其中我们要求这两个生成子可以C-分解.并且我们把这个结果推广到多元生成子群.利用两个生成子的C-分解性,我们把研究二元生成子群的离散性问题转化为判断相对应的三角群的离散性.然后我们介绍了等分面（bisector）的相关概念,定义了NSD/TB群,再结合Klein组合定理,由此得到本章的离散判别准则.最后我们举例说明了此离散判别准则的可行性.
王节艳[9]（2013）在《Picard模群与球面CR几何》文中指出作为模群PSL（2,Z）在复双曲空间中的高维推广，Picard模群PU（2,1;Od）是一类最简单的复双曲算术格，其中Od是虚二次数域Q（i√d）中的代数整环，d是无平方因子的正整数。因为关于Picard模群的研究成果为发展复双曲离散群的一般性理论提供了十分重要的例子，所以Picard模群是复双几何理论的重要研究内容。本论文的第一个工作是研究了Picard模群PU（2,1;Od）（d=2,3,7,11）的生成子。利用推广的连分式算法，我们找到了PU（2,1;O3）的一个新的有限生成子系。对于其他的Picard模群PU（2,1;Od）（d=2,7,11），我们通过首先找到固定无穷远点的稳定子群的一组生成子系，然后将其与Zhao的结果进行比较，从而获得PU（2,1;Od）（d=2,7,11）的一组新的生成子系。另外，对于高维的Picard模群，我们也通过利用使用连分式算法找到了PU（3,1;O3）一套生成子系。根据Serre的定义，当一个有限生成群既不能分裂成非平凡的含有合并的乘积，又不具有到Z的满同态时，则称该群具有性质（FA）.考虑一个群是否具有性质（FA）是半单李群的一个重要问题。本论文的第二个工作是研究了复双曲算术格Gauss-Picard模群PU（2,1;O1）和Eisenstein-Picard模群PU（2,1;O3）的姊妹群的性质（FA）. Eisenstein-Picard模群及其姊妹群是仅有的两个具有极小体积的带尖点的复双曲轨形的基本群，它们都是算术群。2007年，Stover证明了Eisenstein-Picard模群PU（2,1;O3）具有性质（FA），并问其他Picard模群PU（2,1;Od）是否也具有性质（FA）？我们证明了PU（2,1;O1）具有性质（FA）和Eisenstein-Picard模群PU（2,1; O3）的姊妹群具有性质（FA），这是对Stover提出的问题的部分肯定回答。该结果表明，作为仅有的两个具有极小体积的带尖点复双曲轨形的基本群，Eisenstein-Picard模群和Eisenstein-Picard模群的姊妹群都具有性质（FA）.几何中一个很重要的问题就是研究空间拓扑性质和其在某种好的几何结构下的几何性质之间的联系。三维流形上的一个球面CR结构指的是一套S3中的坐标卡，其中的坐标变换是PU（2,1）中的元素在开集上的限制。众所周知，所有可以配置接触结构的三维流形很自然地可以配置CR结构。这个事实使得我们预想球面CR结构应该是研究三维流形的一个基本问题，因此，一个自然的问题就是哪些三维流形具有球面CR结构。本论文的最后一个工作是研究了三维双曲流形八字结的补M=S3K的球面CR结构,其中K是八字结。通过粘合四面体的方法， Falbel构造了八字结的补的基本群π1（M）到PU（2,1）的三个互不共轭的表示ρi（i=1,2,3）。他详细研究了第一个表示ρ1，证明了该表示的离散性以及对应的球面CR结构的存在性，有意思的是该表示下的像群ρ1（π1（M））作用在复双曲空间上的极限集是整个边界S3.在本文中，我们主要研究了第二个表示ρ2，证明了该表示是离散的并且ρ2（π1（M））是Picard模群PU（2,1; O7）的无限次子群，证明了在该表示下存在一个分歧球面CR结构。我们还比较了这三个表示之间的异同：最大的相同之处是它们的像群ρi（π1（M））都是算术的，ρ1（π1（M））是Eisenstein-Picard模群PU（2,1; O3）的无限次子群，而ρ3（π1（M））和ρ2（π1（M））是共轭的，所以也可以看成是Picard模群PU（2,1;O7）的无限次子群；最大的不同之处则是ρ1（π1（M））含有一个无限次的曲面子群ρ1（F2）（F2是单洞环面的基本群，这是因为八字结的补是圆环上的单洞环面丛），而该曲面群在第二和第三个表示下的像群则是有限次（三次）的子群，该结果表明，八字结的补的基本群到PU（2,1）的三个表示中的第二个和第三个表示几乎是由其曲面子群决定的。
王桦[10]（2012）在《双曲空间上等距群的离散性及其流形的体积估计》文中提出Klein群与双曲几何在低维拓扑,黎曼几何,动力系统等数学领域中有着重要的作用.其中Klein群理论的发展源于十九世纪末,到二十世纪六十年代,随着拟共形理论的成熟, Klein群理论在L. V. Ahlfors等数学家的贡献下已经成为复分析中一个活跃的分支.而后,1980年前后, Klein群和双曲几何经W. P. Thurston的研究有了革命性的发展,这一发展使得双曲几何和Klein群理论在拓扑学中的作用越来越重要.尽管复双曲几何与实双曲几何同时出现,但是复双曲几何理论并没有像实双曲几何理论那样,得到快速的发展.直到二十世纪六十年代, S. Chen, L. Greenberg研究了对称空间和G. D. Mostow做了关于复双曲空间的非算术格的构造的工作后,许多数学家开始进行复双曲几何的研究,如, R. Schwartz, W. M. Goldman,J. R. Parker等.本文主要研究双曲空间上的等距群的离散性与双曲流形的体积估计.我们的主要工作是利用U（1, n; C）群中元素在复双曲空间HnC边界上的不动点的个数决定元素分类的定义与矩阵的秩,讨论了U（1, n; C）群中在复双曲空间HnC边界上有公共不动点的两个元素的交换子的情形;利用将群SL（2,C）嵌入到群U（1,1; H）,得到了SL（2,C）群离散的必要条件;利用离散群、群有界和开集的关系,通过构造一个集合的方式得到了群PU（1,n;C）中的三条离散准则;对复双曲流形的Margulis常数做了分析,得到一类复双曲流形的体积下界,最后讨论了实双曲n维流形中一致双曲流形的体积下界.全文共分为如下七章.第一章是本文的概述.叙述了双曲几何中离散群理论发展的历史过程,背景以及研究现状,并介绍了本文研究的四个问题和相关结果;介绍了本文工作的主要困难和方法;并给出了文中所用到的一些常用符号第二章介绍全文研究的环境–复双曲空间.简述了复双曲空间的基本知识、复双曲空间的几个模型,给出了复双曲等距元素与复双曲空间的边界的基本定义.在第三章中,我们利用元素在边界上不动点的个数决定元素分类的方法,讨论了U（1, n; C）群中在复双曲空间的边界上有一个公共不动点的两元素的交换子的类型.本文第四章讨论U（1,1; H）等距群离散的必要条件.我们采用将群SL（2, C）嵌入到群U（1,1; H）中来讨论群离散的必要条件,我们利用所涉及到的等距变换的相应参数建立了一个新形式的J rgensen不等式,同时,利用这种形式的不等式,我们构造了短测地线周围的一些管状邻域,并得到了有关这些管状邻域的一些性质.在第五章中,我们讨论了复双曲等距群PU（1,n;C）中的离散准则.我们通过建立PU（1,n;C）中一个跟子群G有关的集合,根据这个集合元素的有限性或离散性,给出了PU（1,n;C）中子群G离散的充分必要条件.本文的第六章分析了复双曲等距群PU（1,2;C）中的一类双曲流形的Mar-gulis常数,而后应用这个常数估计了双曲流形体积.本文第七章利用Martin, C. Cao关于负曲率流形上J rgensen不等式的推广,讨论了实双曲空间中的双曲流形的体积下界.
二、关于双曲等距变换的表示（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、关于双曲等距变换的表示（论文提纲范文）
（1）微分几何的教学设计与实践——以《可展曲面》为例（论文提纲范文）
| 1 引 言 |
| 2 可展曲面的教学设计 |
| 2.1 内容引入——温故知新 |
| 2.2 内容展开——形而上学 |
| 2.3 内容推进——数形结合 |
| 2.4 拓展应用——学以致用 |
| 3 结 论 |
（2）基于深度学习的大坝变形预测研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 变形预测研究现状 |
| 1.2.2 深度学习研究现状 |
| 1.3 主要研究内容 |
| 1.4 论文章节安排 |
| 第二章 大坝变形数据处理及回归预测基础理论 |
| 2.1 大坝变形监测方法和数据处理技术 |
| 2.2 变分模态分解 |
| 2.3 大坝变形数据回归预测 |
| 2.3.1 非线性自回归神经网络 |
| 2.3.2 深度信念网络 |
| 2.3.3 长短期记忆网络 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 大坝变形预测模型构建 |
| 3.1 大坝变形信号变分模态分解处理 |
| 3.2 基于VMD-NARX神经网络大坝变形预测模型构建 |
| 3.3 基于VMD-DBN的大坝变形预测模型构建 |
| 3.4 基于VMD-LSTM的大坝变形预测模型构建 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 大坝变形预测应用研究 |
| 4.1 工程概况及观测数据 |
| 4.2 预测结果精度评定方法与性能指标 |
| 4.3 模型应用与分析 |
| 4.3.1 基于VMD-NARX神经网络的大坝变形预测结果与分析 |
| 4.3.2 基于VMD-DBN的大坝变形预测结果与分析 |
| 4.3.3 基于VMD-LSTM的大坝变形预测结果与分析 |
| 4.4 综合评价 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间的研究成果 |
（3）基于压缩感知的SPM图像重建算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 压缩感知理论的研究现状 |
| 1.2.2 压缩感知在图像重建技术中的应用 |
| 1.3 主要研究内容和结构安排 |
| 第二章 SPM和压缩感知图像重建的技术基础 |
| 2.1 SPM-硅光电倍增管介绍 |
| 2.1.1 SPM的工作过程 |
| 2.1.2 重要性能参数 |
| 2.2 压缩感知理论基础 |
| 2.2.1 稀疏表示 |
| 2.2.2 不相关投影 |
| 2.2.3 重建算法 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 基于灰色关联度和KSVD的小波稀疏优化算法 |
| 3.1 图像稀疏表示和小波变换 |
| 3.2 基于小波变换的KSVD算法 |
| 3.3 灰色关联度理论 |
| 3.4 仿真实验及分析 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 基于约束矩阵的小波稀疏优化算法 |
| 4.1 小波基的优化 |
| 4.1.1 基于对角矩阵的小波基约束 |
| 4.1.2 基于字典学习的小波基约束 |
| 4.2 仿真实验及分析 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 基于阈值的投影矩阵优化算法 |
| 5.1 编码采样投影矩阵构造基本原则 |
| 5.2 投影矩阵优化算法 |
| 5.2.1 Gram矩阵相关系数 |
| 5.2.2 阈值函数 |
| 5.2.3 更新投影矩阵 |
| 5.3 仿真实验及分析 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 压缩感知理论的初步工程应用 |
| 6.1 SPM高分辨率图像重建系统搭建 |
| 6.2 系统仍存在的不足及改进方案 |
| 第七章 全文总结与未来展望 |
| 7.1 全文总结 |
| 7.2 未来工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士期间的研究成果 |
（4）建筑几何中的网格与光滑曲面构造（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 微分几何简介 |
| 1.1.1 特殊曲线 |
| 1.1.2 特殊曲面 |
| 1.2 离散微分几何简介 |
| 1.3 建筑几何简介 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 2 插值渐近四边形的曲面构造 |
| 2.1 研究背景 |
| 2.2 渐近四边形的判定条件 |
| 2.2.1 渐近线 |
| 2.2.2 相交渐近线 |
| 2.2.3 渐近四边形 |
| 2.3 插值Bezier渐近四边形的Bezier曲面 |
| 2.3.1 5次Bezier渐近四边形 |
| 2.3.2 Bezier渐近四边形插值条件 |
| 2.3.3 双11次Bezier插值曲面 |
| 2.4 插值有理Bezier渐近四边形的有理Bezier曲面 |
| 2.4.1 n次有理Bezier渐近四边形 |
| 2.4.2 有理Bezier渐近四边形插值条件 |
| 2.4.3 双(5n -7)次有理Bezier插值曲面 |
| 2.5 插值B样条渐近四边形的B样条曲面 |
| 2.5.1 3次B样条渐近四边形 |
| 2.5.2 B样条渐近四边形插值条件 |
| 2.5.3 双13次B样条插值曲面 |
| 3 特殊离散网格构造 |
| 3.1 研究背景 |
| 3.1.1 基本网格 |
| 3.2 离散常平均曲率曲面 |
| 3.2.1 弯曲支撑结构 |
| 3.2.2 S-网格点星条件 |
| 3.2.3 构造方法 |
| 3.2.4 应用实例 |
| 3.3 离散测地平行坐标系 |
| 3.3.1 几何性质 |
| 3.3.2 格点星条件 |
| 3.3.3 测地条带面 |
| 3.3.4 应用实例 |
| 3.4 离散测地线参数网 |
| 3.4.1 正交测地网面 |
| 3.4.2 等角测地网面 |
| 3.4.3 应用实例 |
| 3.5 离散曲率线参数网 |
| 3.5.1 圆网 |
| 3.5.2 锥网 |
| 3.5.3 等温网 |
| 3.5.4 蒙日网 |
| 3.5.5 应用实例 |
| 3.6 离散渐近线参数网 |
| 3.6.1 A-网格点星条件 |
| 3.6.2 几何性质 |
| 3.6.3 极小曲面 |
| 3.6.4 具有常主法曲率比的曲面 |
| 3.6.5 应用实例 |
| 3.7 算法说明 |
| 3.7.1 变量列表 |
| 3.7.2 约束函数说明 |
| 3.7.3 计算时间 |
| 4 面向制造意识的几何设计 |
| 4.1 研究背景 |
| 4.2 自由曲面结构 |
| 4.3 可展曲面结构 |
| 4.3.1 离散可展条件 |
| 4.3.2 离散测地平行可展网 |
| 4.3.3 可展曲面直母线向量域 |
| 4.4 旋转曲面结构 |
| 4.4.1 等距于旋转面的曲面 |
| 4.4.2 提取旋转面 |
| 4.4.3 测量等距变换 |
| 4.4.4 旋转面模具 |
| 4.5 测地网壳结构 |
| 5 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 创新点摘要 |
| 5.3 展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 攻读博士学位期间科研项目及科研成果 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（5）PU（3，1）上的离散性问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 第二章 复双曲空间 |
| 第三章 主要结果 |
| 3.1 旋转矩阵为单参数情形时的结论 |
| 3.1.1 定理3.1的证明 |
| 3.2 定理3.1的推论:关于等距球半径的上界 |
| 3.2.1 推论3.1的证明 |
| 3.3 旋转矩阵为双参数情形时的结论 |
| 3.3.1 定理3.2的证明 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（6）Heisenberg群上的共形模与模空间（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 主要内容及创新点 |
| 1.4 本文常用的记号 |
| 第2章 秩为1对称空间及Heisenberg流形 |
| 2.1 秩为1对称空间 |
| 2.1.1 对称空间 |
| 2.1.2 秩为1对称空间的分类 |
| 2.1.3 对称双曲空间 |
| 2.2 Heisenberg流形 |
| 2.2.1 次黎曼流形以及几种结构 |
| 2.2.1.1 辛结构 |
| 2.2.1.2 切触结构 |
| 2.2.1.3 CR结构 |
| 2.2.1.4 次黎曼流形 |
| 2.2.2 Heisenberg群的量子起源 |
| 2.2.3 Heisenberg流形的定义 |
| 2.2.4 两个经典的Heisenberg流形 |
| 2.2.4.1 例一 |
| 2.2.4.2 例二 |
| 2.2.5 Heisenberg群在秩为1对称空间的表示 |
| 2.2.5.1 复Heisenberg群 |
| 2.2.5.2 四元数Heisenberg群 |
| 第3章 Heisenberg群上的共形模 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.2.1 Heisenberg群 |
| 3.2.2 切触变换与拟共形映射 |
| 3.2.3 水平梯度 |
| 3.2.4 共形模与容量 |
| 3.3 Koranyi椭球面环形区域及其共形模 |
| 3.3.1 主要结果证明 |
| 3.3.1.1 第一步(估计共形容量) |
| 3.3.1.2 第二步(共形模估计) |
| 3.4 从R到ε的拟共形映射(最大伸缩商估计) |
| 第4章 Heiseberg群上的点模空间 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.2.1 四元数 |
| 4.2.2 四元数矩阵的Moore行列式 |
| 4.2.3 四元数矩阵的秩 |
| 4.2.4 四元数双曲空间 |
| 4.3 四元数特殊Gram矩阵的刻画 |
| 4.3.1 四元数特殊Gram矩阵 |
| 4.3.2 四元数特殊Gram矩阵的刻画 |
| 4.4 模空间 |
| 4.4.1 不变量 |
| 4.4.2 模空间及证明定理4.1.1 |
| 4.4.3 纯斜驶表示族的模空间及证明定理4.1.3 |
| 4.5 (?)((?))上的点模空间 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 附录 攻读学位期间完成的学术论文目录 |
| 致谢 |
（7）持久同调与共形映射下三维点云的特征表示研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题来源 |
| 1.2 选题背景及意义 |
| 1.3 三维点云特征表示的国内外研究现状 |
| 1.3.1 几何特征的国内外研究现状 |
| 1.3.2 拓扑特征的国内外研究现状 |
| 1.4 本文研究思路、内容和结构安排 |
| 1.4.1 研究思路 |
| 1.4.2 研究内容 |
| 1.4.3 结构安排 |
| 第二章 三维点云拓扑关系的构建 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 单纯复形及其拓扑不变量 |
| 2.2.1 单纯形 |
| 2.2.2 单纯复形 |
| 2.2.3 常见的复形构造方法 |
| 2.2.4 同调群 |
| 2.3 三维点云的多尺度拓扑表示 |
| 2.3.1 点与边权的表示 |
| 2.3.2 点云的嵌套复形 |
| 2.3.3 基于最小生成树的嵌套复形 |
| 2.4 嵌套复形在大脑三维影像中的应用 |
| 2.4.1 实验数据集 |
| 2.4.2 数据预处理 |
| 2.4.3 大脑的节点定义 |
| 2.4.4 大脑的边权计算 |
| 2.4.5 大脑的嵌套复形结构 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 持久同调下三维点云的特征分析 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 一种新颖的拓扑特征SIP |
| 3.2.1 持久同调 |
| 3.2.2 连通分支聚合成本 |
| 3.2.3 集成的持久性特征 |
| 3.2.4 仿真数据检验 |
| 3.3 大脑三维影像特征分析实验 |
| 3.3.1 实验流程 |
| 3.3.2 多尺度大脑结构的特征计算 |
| 3.3.3 组间差异统计分析 |
| 3.3.4 重测信度分析 |
| 3.4 实验讨论与分析 |
| 3.4.1 个体与群体的大脑拓扑结构 |
| 3.4.2 从多变量到单变量特征 |
| 3.4.3 MCI稳定与病变关系 |
| 3.4.4 SIP与病情发展的关系 |
| 3.4.5 后续改进工作 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 双曲共形映射下三维点云的特征分析 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 共形结构的常用计算方法 |
| 4.3 基于离散黎奇流的共形映射 |
| 4.3.1 离散曲面 |
| 4.3.2 黎曼度量 |
| 4.3.3 离散高斯曲率 |
| 4.3.4 曲面黎奇流 |
| 4.4 三维点云的双曲共形特征表示 |
| 4.4.1 双曲几何上的拓扑规范化 |
| 4.4.2 双曲黎奇流下的黎曼度量构造 |
| 4.4.3 曲面在庞加莱模型中的嵌入 |
| 4.4.4 双曲共形特征描述子 |
| 4.5 双曲共形特征在三维人脸表情识别中的应用 |
| 4.5.1 三维人脸数据库 |
| 4.5.2 人脸的双曲共形特征计算 |
| 4.5.3 实验结果 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 混合几何拓扑特征在AD分类学习中的应用研究 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 基于持久同调和共形映射的混合几何拓扑特征 |
| 5.3 基于混合几何拓扑特征的AD分类学习 |
| 5.3.1 数据预处理 |
| 5.3.2 大脑的混合几何拓扑特征描述子 |
| 5.3.3 两级特征选择算法 |
| 5.3.4 常用的分类方法 |
| 5.3.5 分类评价指标 |
| 5.4 实验结果 |
| 5.4.1 实验数据集 |
| 5.4.2 持久同调下的拓扑特征的分类实验 |
| 5.4.3 共形映射下的几何特征的分类实验 |
| 5.4.4 混合几何拓扑特征描述子的分类实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 主要创新点 |
| 6.3 工作展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士期间的研究成果 |
| 致谢 |
（8）复双曲空间上等距子群的离散性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 复双曲几何的研究背景及意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 主要内容与创新点 |
| 1.4 本文常用的记号 |
| 第2章 复双曲几何 |
| 2.1 复双曲平面H_C~2 |
| 2.1.1 单位球模型 |
| 2.1.2 Siegel域模型及其边界 |
| 2.1.3 两种模型之间的Cayley变换 |
| 2.1.4 Cygan度量 |
| 2.2 全测地子流形 |
| 2.2.1 测地线 |
| 2.2.2 复线 |
| 2.2.3 R-平面 |
| 2.3 等距变换群 |
| 2.3.1 拓扑群和离散群 |
| 2.3.2 等距变换的分类 |
| 第3章 复双曲等距子群离散的必要条件 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.2.1 Heisenberg相似群 |
| 3.2.2 螺旋抛物元素 |
| 3.3 Margulis区域 |
| 3.3.1 连分式 |
| 3.3.2 边界函数B_g(r)的一致上界 |
| 3.4 离散准则 |
| 3.4.1 等距球面 |
| 3.4.2 离散准则 |
| 第4章 复双曲等距变换的C-分解性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.2.1 3阶幂单抛物元素的不变扇形曲面 |
| 4.2.2 C-强可逆性和C-分解性 |
| 4.3 主要结果 |
| 4.3.1 抛物元素的C-强可逆性和C-分解性 |
| 4.3.2 椭圆元素的C-强可逆性和C-分解性 |
| 4.3.3 一个斜驶元素与一个抛物元素的C-分解性 |
| 第5章 复双曲等距子群离散的充分条件 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.2.1 等分面 |
| 5.2.2 等分面的叶状结构 |
| 5.3 元生成子群与三角群 |
| 5.4 离散准则 |
| 5.5 举例 |
| 5.5.1 复对称I_0 |
| 5.5.2 例子 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录A(攻读学位期间所发表的学术论文目录) |
（9）Picard模群与球面CR几何（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 Picard 模群的研究背景及发展现状 |
| 1.2 球面 CR 几何的研究背景与发展现状 |
| 1.3 本文的研究内容 |
| 第2章 复双曲空间 |
| 2.1 复双曲平面 H_C~2 |
| 2.1.1 单位球模型 |
| 2.1.2 Siegel 区域模型 |
| 2.1.3 两种模型之间的 Cayley 变换 |
| 2.2 等距变换 |
| 2.3 全侧地子流形及其边界 |
| 2.3.1 C-circle |
| 2.3.2 R-circle |
| 第3章 Picard 模群 |
| 3.1 前言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.2.1 固定无穷远点的稳定子群 |
| 3.2.2 连分式算法 |
| 3.2.3 Eisenstein-Picard 模群的姊妹群Γ2 |
| 3.2.4 性质（FA） |
| 3.3 欧几里得 Picard 模群的生成子 |
| 3.3.1 PU(2, 1; Z[ω3]) |
| 3.3.2 PU(2, 1; Od) |
| 3.3.2.1 O_2 |
| 3.3.2.2 O_7 |
| 3.3.2.3 O_11 |
| 3.3.3 PU(3, 1; Z[ω3]) |
| 3.4 性质（FA） |
| 3.4.1 定理 3.1.3 的证明 |
| 3.4.2 定理 3.1.5 的证明 |
| 第4章 八字结的补的球面 CR 结构 |
| 4.1 前言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.2.1 八字结的补 M |
| 4.2.2 π1(M) 到 PU(2, 1) 的表示 |
| 4.3 表示 |
| 4.3.1 第一个表示ρ_1 |
| 4.3.2 第二个表示ρ_2 |
| 4.3.3 第三个表示ρ_3 |
| 4.4 四面体 |
| 4.4.1 边 |
| 4.4.2 三角形 |
| 4.4.3 CR 四面体 |
| 4.5 分歧（branched）球面 CR 结构 |
| 4.5.1 第一个表示ρ_1 |
| 4.5.1.1 0-skeleton 和配边变换 |
| 4.5.1.2 1-skeleton |
| 4.5.1.3 2-skeleton |
| 4.5.2 第二个表示ρ_2 |
| 4.5.2.1 0-skeleton 和配边变换 |
| 4.5.2.2 1-skeleton |
| 4.5.2.3 2-skeleton |
| 4.5.2.4 四面体 |
| 4.5.2.5 边周围的结构 |
| 4.5.3 主要引理的证明 |
| 4.5.3.1 引理 4.5.2 的证明 |
| 4.5.3.2 引理 4.5.3 的证明 |
| 4.5.3.3 引理 4.5.4 的证明 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 A（攻读学位期间所发表的学术论文目录） |
（10）双曲空间上等距群的离散性及其流形的体积估计（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题的研究背景与意义 |
| 1.2 研究现状和问题 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 1.4 主要困难与方法 |
| 1.5 本文常用的记号 |
| 第2章 复双曲空间 |
| 2.1 复双曲空间中的基础知识 |
| 2.2 复双曲空间的模型 |
| 2.3 复双曲等距元素 |
| 2.4 复双曲空间的边界 |
| 第3章 复双曲等距群?(1, n; C) 的元素的交换子 |
| 3.1 背景与主要结果 |
| 3.2 准备知识 |
| 3.3 结果的证明 |
| 第4章 群?(1, 1; H) 的 J rgensen 不等式及其应用 |
| 4.1 研究背景 |
| 4.2 基本知识 |
| 4.3 定理证明 |
| 4.4 比较两个不等式 |
| 4.5 不等式的应用 |
| 第5章 复双曲等距群 PU(1,n;C) 离散的充分必要条件 |
| 5.1 背景与结果介绍 |
| 5.2 准备知识 |
| 5.3 定理的证明 |
| 第6章 复双曲流形的 Margulis 常数估计 |
| 6.1 背景与结果介绍 |
| 6.2 预备知识 |
| 6.3 主要定理的证明 |
| 第7章 n 维一致双曲流形的体积估计 |
| 7.1 背景与结果介绍 |
| 7.2 基本概念与引理 |
| 7.3 定理的证明 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 附录 攻读学位期间所发表的学术论文目录 |
| 致谢 |
四、关于双曲等距变换的表示（论文参考文献）
- [1]微分几何的教学设计与实践——以《可展曲面》为例[J]. 李娜,刘白羽,张林桐. 大学数学, 2021(04)
- [2]基于深度学习的大坝变形预测研究[D]. 范哲南. 江西理工大学, 2021(01)
- [3]基于压缩感知的SPM图像重建算法研究[D]. 胡浩. 电子科技大学, 2021(01)
- [4]建筑几何中的网格与光滑曲面构造[D]. 王慧. 大连理工大学, 2020(01)
- [5]PU（3，1）上的离散性问题[D]. 陈岳. 上海财经大学, 2020(06)
- [6]Heisenberg群上的共形模与模空间[D]. 勾高顺. 湖南大学, 2020(07)
- [7]持久同调与共形映射下三维点云的特征表示研究[D]. 况立群. 中北大学, 2018(08)
- [8]复双曲空间上等距子群的离散性[D]. 任雪静. 湖南大学, 2016(02)
- [9]Picard模群与球面CR几何[D]. 王节艳. 湖南大学, 2013(01)
- [10]双曲空间上等距群的离散性及其流形的体积估计[D]. 王桦. 湖南大学, 2012(03)