一、概率方法在不等式证明中的应用（论文文献综述）
胡欢[1]（2021）在《多维数据上近似聚集和最近邻查询的高效算法》文中研究指明随着计算机技术广泛应用于各行各业,许多应用程序已经能够收集到大量的数据。如何高效地处理大数据具有重大挑战。一个常用的应对手段是采用近似方法。这样做的动机是近似计算结果在许多应用场景中是可以接受的。本文关注多维数据上的两类重要查询——聚集查询和最近邻查询。简单来说,聚集查询就是返回一个或多个聚集值（比如均值AVG、总和SUM等等）的SQL查询。聚集查询处理作为联机分析处理的一个基本组成部分,被广泛运用于决策支持系统。最近邻查询就是要找到距离一个任意给定的查询点最近的数据点。它是众多应用的基础,比如图像检索、产品推荐、模式识别等等。当数据基数很大时,为了减少需要处理的数据量,通常运用随机抽样来高效地处理聚集查询;而当数据维数很大时,为了消除“维数灾难”,通常使用对称局部敏感哈希（简称LSH）或非对称局部敏感哈希（简称ALSH）方法来高效地执行最近邻查询。本文研究了四个与基于随机抽样的近似聚集查询处理和基于LSH或ALSH的近似最近邻查询处理相关的问题。本文的研究内容和贡献总结如下。首先,本文在样本方差等于数据总体方差的假设下研究了基于在线随机抽样的有误差保证的近似聚集查询处理问题。事实上,绝大部分相关的研究工作都需要样本方差等于数据总体方差这个假设。为了解决这个问题,本文首次深入研究了按位抽样范式以用于近似计算AVG聚集和SUM聚集。相较于传统的按数据项抽样范式,按位抽样范式在比特位这个比数据项更细的粒度上进行抽样,因此更加灵活。本文提出了一个称为DVBM的基于按位均匀抽样的近似聚集方法作为这个问题的解决方案。DVBM方法的优化目标是在保证聚集结果满足一个给定的误差界的同时最小化抽样量。在理论上,本文证明了DVBM方法所需的抽样量比按数据项均匀抽样方法所需的抽样量更少。进一步,大量实验结果表明DVBM中的基于按位均匀抽样的近似聚集算法比通常的基于按数据项均匀抽样的近似聚集算法效率高数倍,并且得到的近似聚集结果也更加准确。但是它们在数据倾斜度较高时都很难保证给定的误差界,因为此时样本方差严重偏离数据总体方差,导致上述假设不成立。其次,本文研究了基于在线随机抽样的有强误差保证的近似聚集查询处理问题。为了解决这个问题,本文提出了一个称为DVFM的基于按位均匀抽样的近似聚集方法。为了提供强误差保证,DVFM方法不依赖于样本方差等于数据总体方差这个假设。不过,相较于DVBM方法,DVFM方法会导致一个更大的抽样量。DVFM方法包含两个基于按位均匀抽样的近似聚集算法——一次估计算法和多次估计算法。通过大量实验,本文验证了它们的效率。具体来说,与现有多个同样能够为近似聚集结果提供强误差保证的算法相比,一次估计算法和多次估计算法通常能够取得高得多的效率。此外,实验结果还表明它们确实能够绝对保证给定的误差界。这两个算法需要先验地设置不同的参数,而这些参数值会直接影响到它们的效率。在实践中可以更容易地设置多次估计算法的参数以取得高效率。第三,本文研究了在一个关于lp距离的加权距离函数集合上的近似最近邻查询处理问题,其中集合是预先给定的,是输入参数且它的取值范围是(0,2]。这个问题出现在许多应用场景中,比如个性化产品推荐。本质上,它是要为一个给定的集合中的每个加权lp距离函数支持近似最近邻查询。在这个问题中,本文假设与一个加权lp距离函数关联的权向量的每个元素都是正数。为了解决这个问题,本文提出了首个基于LSH的方法——WLSH。WLSH是现有的唯一适用于任意∈(0,2]的情况且能提供近似比保证的方法。WLSH基于本文为加权距离函数提出的两种LSH函数族——加权LSH函数族和导出加权LSH函数族。WLSH的优化目标是在确保处理查询的效率足够高且查询结果的近似比可以得到保证的同时最小化所需哈希表总数。此外,本文还为WLSH提出了两个优化技术以平衡WLSH的查询效率、查询精度和空间开销。本文在生成数据和真实数据上进行了大量实验,验证了WLSH在查询效率、查询精度和存储空间开销三方面的性能。最后,本文研究了在广义加权曼哈顿距离上的近似最近邻查询处理问题。这个问题不仅出现在个性化产品推荐中,而且还出现在KNN分类器的训练中。简单来说,广义加权曼哈顿距离的距离函数是这样一个加权l1距离函数:与其关联的权向量的元素被当作变量而非常数,它们的值可以是任意实数且随着每个查询一同给定。容易知道,广义加权曼哈顿距离不满足三角不等式,因此不是一个度量。本文首先证明了当数据点和查询点位于整个空间Rd时不存在解决这个问题的LSH方案和ALSH方案。然后,本文证明了当数据点和查询点都位于一个有界空间时仍然不存在解决这个问题的LSH方案。从而,本文在有界空间上提出了两个适合于广义加权曼哈顿距离的ALSH函数族并基于它们提出了两个ALSH方案——(dwl1,l2)-ALSH和(dwl1,θ)-ALSH。这是现有唯二的能在亚线性时间内解决这个问题的方法。本质上,这两个ALSH方案将这个问题归约到它的一个判定版本:在广义加权曼哈顿距离上的R1,R2-NN查询处理问题。通过变化参数R1和R2可以得到一个足够好的近似最近邻。本文用大量实验论证了这两个ALSH方案的性能。
沈中宇[2]（2021）在《面向教师教育的数学知识研究 ——以S市高中数学教研员为例》文中进行了进一步梳理百年大计,教育为本。教育大计,教师为本。教师培养的关键是教师教育,要改善教师教育的效果,教师教育者的作用无疑是至关重要的,因此,数学教师教育者在数学教师教育中发挥着重要的作用。近年来,数学教育研究者开始关注数学教师教育者的研究,其中,“面向教师教育的数学知识”（Mathematical Knowledge for Teaching Teachers,简称MKTT）理论为研究一般数学教师教育者所需要的数学知识提供了借鉴。但已有的研究中对于“面向教师教育的数学知识”仍然缺乏清晰准确的刻画,同时,相关研究主要集中在理论构建,相关的实证研究较少。基于以上原因,本文以面向教师教育的数学知识为研究主题,选取高中数学教研员作为研究对象,主要探讨以下三个研究问题:（1）构成面向教师教育的数学知识的要素有哪些?（2）高中数学教研员具备哪些面向教师教育的数学知识?（3）在数学教研活动中,高中数学教研员反映出哪些面向教师教育的数学知识?针对本研究的三个研究问题,将研究设计分为三个阶段,分别为文献分析与框架确立、问卷调查与深度访谈以及现场观察与案例分析。文献分析与框架确立阶段采用了专家论证法。首先通过文献分析梳理已有的数学教师教育者专业知识框架,接着通过对相关的成分和子类别的反复比较,构建初始的面向教师教育的数学知识框架,最后通过三轮专家论证得到最终的面向教师教育的数学知识框架。问卷调查与深度访谈阶段采用了问卷调查法和深度访谈法。其中选取了高中数学中重要的数学主题编制了调查问卷和访谈提纲,通过编码分析高中数学教研员的问卷回答和访谈实录,从而了解高中数学教研员具备的面向教师教育的数学知识。现场观察与案例分析采用了案例研究法。其中观察了不同的高中数学教研员的多次教研活动,在观察过程中对教研活动进行录音并在观测后对高中数学教研员进行访谈,对录音和访谈材料进行编码和统计,从而剖析高中数学教研员在教研活动中反映的面向教师教育的数学知识。本研究的基本结论是:1.构成面向教师教育的数学知识的要素包括4个成分与12个子类别。构成成分为学科内容知识、教学内容知识、高观点下的数学知识和数学哲学知识。学科内容知识包含的子类别为一般内容知识、专门内容知识和关联内容知识,教学内容知识包含的子类别为内容与学生知识、内容与教学知识和内容与课程知识,高观点下的数学知识包含的子类别为学科高等知识、学科结构知识和学科应用知识,数学哲学知识包含的子类别为本体论知识、认识论知识和方法论知识。2.高中数学教研员具备的面向教师教育的数学知识情况如下。（1）高中数学教研员在学科内容知识、教学内容知识、高观点下的数学知识和数学哲学知识4个成分中并不存在明显的短板;（2）高中数学教研员对不同知识成分的掌握存在一定差异,其中,在学科内容知识和教学内容知识2个方面掌握较好,而在高观点下的数学知识和数学哲学知识2个方面还有所欠缺;（3）高中数学教研员在各个知识成分中有以下具体理解:在学科内容知识方面,对于基本的概念、定理和公式的合理性以及不同概念、定理和公式之间的联系较为熟悉;在教学内容知识方面,对于学生有关特定数学内容学习的困难,不同数学内容的教授方式和相关数学内容在教科书中的编排理解较深;在高观点下的数学知识方面,能够对中学数学知识作出一定程度的推广、涉猎不同学科中数学知识的应用;在数学哲学知识方面,能够大致解释数学定义的基本作用和标准、数学研究的动力、数学证明的作用和价值以及数学的基本思想方法。（4）高中数学教研员在各个知识成分中有以下欠缺之处:在学科内容知识方面,对于定义的多元性、解释的多样性和联系的普遍性方面还有进步的空间;在教学内容知识方面,对于学生数学学习困难的细致理解、不同数学内容的深入教授和教学内容编排意图的全面考虑还有提升的余地;在高观点下的数学知识方面,从高观点理解中学数学知识、分析不同知识的联系和在不同学科中应用数学知识方面还有较多需要完善的地方;在数学哲学知识方面,还不能形成系统的理解。3.在数学教研活动中,高中数学教研员反映出的面向教师教育的数学知识情况如下。（1）高中数学教研员反映的面向教师教育的数学知识大部分属于教学内容知识和学科内容知识,小部分属于数学哲学知识和高观点下的数学知识。（2）高中数学教研员在数学教研活动中的主要知识来源为一般内容知识、内容与教学知识、学科高等知识和方法论知识。（3）高中数学教研员在数学教研活动中反映的面向教师教育的数学知识主要有:在学科内容知识方面有数学中的基本概念、定理、公式和性质及其由来、表征、证明及解释;不同数学概念、定理、公式之间的联系。在教学内容知识方面有学生对特定数学内容理解存在的困难;不同数学内容的引入、辨析、应用和小结的教学方法;特定数学内容在课程标准中的要求和在教科书中的编排。在高观点下的数学知识方面有中学数学课程中的数学概念在高等数学中的推广;高观点下不同数学概念之间的联系;数学知识在现代科学和实际生活中的应用。在数学哲学知识方面有对数学定义的认识;对数学认识过程的理解;推理论证在数学中的作用;数学研究的思想方法。本研究对于教师教育者专业标准的制订、数学教师教育者专业培训的设计和数学教师专业发展项目的规划有一定启示,后续可以在数学教师教育者的专业知识、数学教师教育者的专业发展和数学教师教育者的工作实践等方面进一步开展研究。
李阳[3]（2021）在《高维统计学习中平衡估计和自适应投影推断的研究》文中研究表明由于科学技术的高度发达,高维统计学习在分子生物学、健康科学、经济学、金融和人工智能的各种科学、工程和人文学科领域变得越来越频繁和重要。这里的高维指的是未知参数的维度远大于样本量,统计学习是指用统计方法揭示数据背后隐藏的信息。高维统计习中的三个核心问题是变量选择,估计和推断。近些年来,由于研究人员和应用者的不懈努力,高维统计学习方法层出不穷且逐渐成熟。然而,在高维情形下,下述两个问题依旧迫切需要被解决。一方面,现有文献通常认为观测到的数据是干净的,即不受测量误差的影响。事实上,测量误差普遍存在于高维数据中,如传感器网络数据,高通量测序数据和基因表达数据等。错误地使用干净数据下的处理方法往往会得出错误的结论。另一方面,尽管当前的纠偏方法极大地推动了高维统计推断的发展,但通过纠偏估计量进行的统计推断通常需要较大的样本量以保证渐近正态性,并且只可以处理相对少量高于可识别水平的非零信号。因此,纠偏方法在某些实际应用中可能表现不佳。本文将基于上述两个问题展开。针对测量误差模型中的变量选择和估计问题,本文提出了一种平衡估计量,这里的平衡指的是预测,变量选择和计算效率之间的折衷。该方法结合了最优半正定投影和组合L1和凹惩罚的思想,并且可以通过路径跟踪坐标优化算法有效地求解。理论上,我们建立了与干净数据下Lasso方法等价的oracle预测和估计误差界,以及错误符号率的渐近消失的界（渐近消失的结果表明该方法有效地控制了过拟合问题）。由于该方法是非凸优化问题,本文也从理论上确保了其可计算解的优良性质。具体来说,稀疏的可计算解在温和条件下享有和全局最优解相同的渐近理论结果。此外,大量的仿真模拟表明,变量选择的改善将反过来提高在测量误差下的预测和估计性能。为了减轻纠偏方法中的约束（关于样本量和高于可识别水平的非零信号个数的约束）并提高推断效率,我们基于自适应投影估计量开发了一种新的推断方法。该投影估计量是由自适应正交向量构造而来,这里的自适应正交向量与可识别系数对应的协变量向量正交,并且同时与其余不可识别系数对应的协变量向量“松弛”（弱）正交（这里的弱正交是通过Lasso投影实现的）。因此,该方法完全地消除了可识别信号的影响,并将不可识别信号的影响控制在可忽略的水平,从而对样本量和高于可识别水平非零系数的数量产生了更弱的约束。我们还提供了该方法的一种稳定版本,并将其推广到一般的广义线性模型当中。理论上,我们严格地证明了该自适应投影估计量的渐近正态性。同时,在更弱的约束下,我们证明了所提方法和传统纠偏方法的渐近等价性（如置信区间长度）。此外,大量的模拟进一步佐证了所提方法的优越性能。最后,我们利用前述方法分析了糖尿病数据和股票数据。糖尿病数据的分析结果表明,体重指数与糖尿病进展的正相关性最强。股票数据的分析结果表明,GAPTQ、GCO、HAR和OMS这四家公司在各自的领域都具有很强的影响力。
刘田田[4]（2020）在《关于核函数机器和生存分析的两个经典统计推断问题的研究》文中进行了进一步梳理核函数机器和生存分析是统计学中两个重要的研究课题.我们的研究关注响应变量缺失下的核函数机器的估计问题和两总体生存曲线差异的检验问题.关于响应变量缺失下的核函数机器,已有基于转化为指数分布族的方法,但是仍存在假设性强,最优化和收敛性不明确等缺陷.本文提出两种新的核函数机器,均可用于非参数回归和分类.第一种核函数机器称为基于完整数据加权的核函数机器,它既可以处理响应变量缺失也可以处理协变量缺失,不过它的有效性受到关于缺失机制假设的限制.我们提出的第二种核函数机器称为双重稳健核函数机器,它能够克服前面的假设限制,当缺失机制或响应变量给定协变量的条件分布二者之一估计正确时就可以获得经验风险无偏性,达到双重稳健的效果.我们建立了所提出的两种核函数机器的理论性质,包括最优不等式,一致相合性以及学习速率.模拟研究表明所提出的核函数方法较现有的方法在预测新响应值以及估计响应变量的总体均值有优势.我们还特地制作了R软件包KM4ICD,方便使用和推广.关于生存分析中比较两个生存函数的经典检验问题,已有一些基于特定假设或者分布间距离的有效方法,但是仍存在假设疏于验证或检验功效不高等缺点.本文提出一个直观的刻画两生存曲线间面积的检验统计量,特别适用于检验两总体生存曲线存在交叉的情况.我们推导了它在原假设下的渐近分布.并且建立了基于重抽样检验的方法和理论.本文的方法较其他现有方法具有适用性广的优点,它既可以适用于数据中存在“结”的情况,也适用于两总体删失机制不同的情况.模拟研究和实例分析发现新方法在比例风险假设成立时与经典检验方法相当,而在比例风险假设不成立时,新方法检验功效优越.
梁昊[5]（2020）在《Wasserstein空间上沿密度曲线的导数及其在平均场随机控制问题中的应用》文中认为随机控制是现代控制理论中非常重要的一个组成部分。在我们所研究的随机控制问题中,我们的目标是随时通过观察到的信息,来选择合适的控制,使得随机动力系统中的某个指标的泛函达到一个最优的情形。例如,在股票市场中,通过随时更新自己的投资组合使得在某个时刻的财富值达到最大,这就可以看作是一个随机控制问题。解决随机控制问题有两个着名的经典方法,分别是随机最大值原理（SMP）和动态规划原理（DPP）。前者得到了最优控制满足的必要条件,而后者主要采用由局部到整体的思想,通过与偏微分方程建立联系来找到最优控制。本文主要采用的是最大值原理的方法。然而,在大部分的关于随机控制的工作中,我们都假设所有的信息可以被知道,也就是说控制系统中的所有布朗运动的信息都能被观测。很容易想到这种假设未必是合理的,有很多时候我们并不能了解所有信息,而只能知道一部分。所以,部分观测的随机控制系统也慢慢地走入了研究者的视野。数学中的平均场方法在研究经济学、金融学、物理学和量子化学等领域时的应用越来越广泛。近年来,很多学者将精力投入了平均场问题的研究。所谓的平均场随机微分方程和平均场倒向随机微分方程,即指方程的系数不仅依赖于方程的解的轨道,还依赖于解的分布。平均场SDE和BSDE理论的飞速发展,为我们研究平均场随机控制问题提供了强有力的理论工具。在本篇论文中,我们主要研究了一类带部分观测的平均场情形的随机控制问题。由于我们后续研究的随机控制问题的需要,我们首先研究了一类定义在某个概率空间中的Girsanov密度集合上的函数的可微性,利用Frechet导数来给出了函数关于密度的导数的定义,并进一步与定义在P2（Rd）上的函数的导数建立了联系。在得到了可微性结果之后,我们利用它来研究了一类一般的带部分观测的平均场随机控制问题。控制系统是一类新型的依赖于解的条件分布的平均场随机微分方程,我们首先证明了它的适定性,得到了其弱解的存在性和依分布唯一性。进而利用对偶原理,得到了在控制域不要求是凸的,并且控制系统的系数关于控制项没有任何光滑性条件的情况下的最大值原理。下面我们将进一步详细介绍本论文的内容与结构。在第一章引言中,我们介绍了本文主要研究的问题,以及问题的研究背景与动机。在第二章中,我们研究如此定义的关于密度的函数FQ:LQ→R,其定义为FQ（L）:=f（（LQ）ξ）,L∈LQ,其中f:P（Rd）→R是任意给定的一个函数,ξ为一给定的随机变量,LQ表示概率测度Q下的Girsanov密度的集合。我们给出了函数FQ可微的定义,并证明了我们可以使用一个Borel可测函数g:Rd→R来刻画其导数,且这个函数依赖于（Q,L,ξ）仅通过分布（LQ）ξ。接下来,我们研究了关于密度的导数与关于一个联合分布的函数在适当的概率测度空间上的偏导数的关系。本章的主要创新点:首次研究了关于密度的函数的可微性的刻画和导数的性质,并得到了其与关于联合分布的函数的偏导数之间的联系。在第三章中,我们进一步研究了关于密度的导数,并得到了关于密度的导数和定义在P2（Rd）上的函数的导数的关系。本章的内容是对第二章中内容的推广与延续,我们证明了若f:P2（Rd）→R满足可微性假设的话,那么我们讨论的关于密度的导数和f关于概率测度的导数存在联系,即后者可以看作是前者的导数。我们分别讨论了一维和高维情形,且在讨论过程中,我们先证明了上述结论在光滑维纳泛函的情形下成立,然后利用了逼近的性质,得到了想要的结果。在本章的最后,我们将得到的结论和基于随机变量的密度函数的平均场理论（参见[10]）建立了联系。本章的主要创新点:推广了关于密度的导数的结果,并建立了其与关于概率测度的导数的联系。在证明过程中应用了 Malliavin分析和Girsanov变换等理论工具,为解决类似问题提供了新的思路。上述两章来自于论文:R.Buckdahn,J.Li,H.Liang.Derivative over Wasserstein spaces along curves of densities.已投稿。在第四章中,我们介绍了一类带部分观测的平均场随机控制问题。控制系统为一平均场随机微分方程组,分别为状态过程和观测过程,且系数非线性依赖于观测过程的轨道和状态过程关于观测过程生成信息流的条件期望的分布。我们首先证明了如此形式的带“闭环”的平均场随机微分方程组的弱解的存在性和依分布唯一性,进而考虑其控制问题。在第三章所得求导数结论的帮助下,证明了其一、二阶变分方程,并利用对偶原理刻画了最优控制所满足的必要条件。由于我们这里并不需要控制域是凸的,而且控制系统的系数并不需要关于控制项满足良好的光滑性,所以我们这里得到的是Peng的随机最大值原理。在导出最大值原理的过程中,我们所用到的变分方程和伴随方程涉及到了新型的平均场随机微分方程和倒向随机微分方程。本章的主要创新点:将Buckdahn,Li和Ma[20]的工作推广到了系数非线性依赖于条件分布且控制域非凸的情形,证明了最优控制需要满足的必要条件,并在过程中得到了一些新型的平均场随机微分方程和倒向随机微分方程的解的适定性质。本章来自于论文:J.Li,H.Liang.A general mean-field stochastic maximum principle with partial observations.Preprint.下面是本文的章节目录和主要内容。一、第一章引言;二、第二章关于密度的导数;三、第三章关于密度的导数与P2（R）上的导数的关系;四、第四章带部分观测的平均场随机控制问题。第二章:我们研究关于密度的函数FQ:LQ→R,定义为FQ（L）:=f（（LQ）ξ）,L∈LQ,其中f:P（Rd）→R是任意给定的一个函数,ξ为一给定的随机变量,LQ表示概率测度Q下的Girsanov密度的集合。我们给出了函数FQ可微的定义,并证明了我们可以使用一个Borel可测函数g:Rd→R来刻画其导数,且这个函数依赖于（Q,L,ξ）仅通过分布（LQ）ξ。接下来,我们研究了关于密度的导数与关于一个联合分布的函数在适当的概率测度空间上的偏导数的关系。定义空间LQ:={L∈L1（Ω,F,Q）|L>0,EQ[L]=1}。我们令ξ∈L0（Ω,F,Q;Rd）是任意给定的。对L∈￡Q,（LQ）ξ ∈P（Rd）定义为#12其中bB（Rd）:={φ:Rd→Rd|φ是有界Borel函数}。我们现在任意固定函数f:P（Rd）→R,并定义FQ（L）:=f（（LQ）ξ）,L∈LQ.（0.0.1）在Frechet导数的意义下,我们如下定义（0.0.1）式给出的函数的可微性。定义2.2.1.给定L∈LQ,我们称由（0.0.1）定义的F:LQ→R是在L处可微的,若存在某个（dFQ）（L）∈L（L01（Ω,F,Q）,R）使得FQ（L’）-FQ（L）=（DFQ）（L）（L’-L）+o（|L’-L|L1（Q））,（0.0.2）对任意的 L’∈LQ且|L’-L|L1（Q）→0。我们可以证明上面的定义是明确的。引理2.2.2.对任意给定的L∈LQ,我们假设函数F:LQ→ R在上面定义的意义下是在L处可微的。那么满足（0.0.2）的连续线性泛函（DFQ）（L）∈ L（L01（Ω,F,Q）,R）是唯一的。关于密度的导数具有如下性质。对L∈LQ我们令QL:=LQ。显然QL是（Ω,F）上的概率测度,且LQL={L’∈L1（Ω,F,QL;R+）:EQL[L’]=EQ[L’L)=1}。引理2.2.3.令L∈LQ,则函数FQ:￡Q → R在L处可微当且仅当函数FQL:￡QL→R在L0=1处可微。而且,若FQ:LQ→ R在L处可微（则等价地,FQL:LQL→R在L0=1处可微）,则有如下关系成立DFQL（1）=DFQ（L）-EQL[DFQ（L）],QL-a.s.（～Q-a.s.）,DFQ（L）=DFQL（1）-EQ[DFQ（1）],Q-a.s.结合上面的引理,和我们接下来给出的定理,我们可以给出关于密度的导数的一个明确的定义,进而将其刻画为一个Borel函数,且这个函数仅通过分布（QL）ξ依赖于（Q,L,ξ）。定理2.2.1.假设FQL:LQ→R是在Lo=1处可微的。那么存在一个有界Borel函数g:Rd→R使得DFQL（1）=g（ξ）,Q-a.s.。而且,g依赖于（Q,L,ξ）仅通过分布（QL）ξ。由上面的定理,我们可以给出如下定义:（?）1F（（QL）ξ,x）:=g（x）,x ∈Rd.我们观察到这个函数是（QL）ξ（dx）-a.s.定义明确的,并且（?）1F（QL）ξ,ξ)=g（ξ）=DFQL（1）,QL-a.s.。在下一小节我们考虑关于密度的导数与偏导数的关系,本章所用预备知识主要参见[16]。对L∈ 定义如下函数GQ,ξ（L）=G（Q（L,ξ））=f（（LQ）ξ）=FQ（L）,则我们有如下偏可微的定义。定义2.3.1.映射G:P2,0（R × Rd）→称为是关于QL|ξ在Q（L,ξ）,处（偏）可微的,如果GQ,ξ:L2（Ω,F,Q）→R在L处是Frechet可微的。引理2.3.1.给定函数f:M（Rd）→使得对所有概率测度Q,如下定义的函数G:P2,0（R×Rd）→RG（Q（L,ξ）:=f（（LQ）ξ）,（L,ξ）∈L2（Q,F,Q）× L0（Ω,F,Q;Rd）,是关于（QL）L’|ξ在（QL）（1,ξ）处偏可微的,且由（0.0.1）给出的FQL:LQL→R在L0=1处是可微的。那么,（?）1F（QL）ξ,x）=（（?）μG）1（QL）ξ,x)-EQL[（（?）μG）1（QL）ξ,ξ)],x∈Rd,（QL）ξ（dx）-a.s.第三章:我们进一步研究了关于密度的导数,并得到了关于密度的导数和定义在P2（Rd）上的函数的导数的关系。我们证明了若f:P2（Rd）→ R满足可微性假设的话,那么我们讨论的关于密度的导数和f关于概率测度的导数存在联系,即后者可以看作是前者的导数。在讨论过程中,我们先证明了上述结论在光滑维纳泛函的情形下成立,然后利用了逼近的性质,得到了一般情形的结论。之后我们将结论由一维情形推广到了多维情形,并建立了与基于概率密度函数的平均场方法之间的联系。对d≥1,我们令f:P2（Rd）→R是连续可微函数,∧（?）Rm是一个连通子集,且映射∧（?）λ→Lλ∈LQ∩LQ2（,F,Q）是连续L2（Q）-可微的。定义Qλ=LλQ,其显然仍为概率测度。我们想要讨论映射∧（?）λ→f（Qξλ）在集合Λ上的可微性,和其偏导（?）λf（Qξλ）的形式。定理3.1.1.当假设1成立时,记Qλ:=LλQ,λ ∈ Λ,则函数Λ（?）λ→f（Qξλ）是可微的,且（?）λf（Qξλ）=EQ[（∫0ξ（?）μf（Qξλ,y）dy）（?）λLλ]=EQλ[（∫0ξ（?）μf（Qξλ,y）dy）（?）λ[lnLλ]].定理3.1.2.当假设1成立时,函数FQ（L）:=f（（LQ）ξ）,L∈LQ ∩L2（Q,F,Q）是连续L2（Q）-可微的,DFQ（L）=∫0ξ（?）μf（（LQ）ξ,y）dy-EQ[∫0ξ（?）μf（（LQ）ξ,y）dy],Q-a.s.,L ∈LQ∩L2（（Ω,F,Q）,而且,函数 L’ → FQL（L’）=f（（L’QL）ξ）（=f（（L’LQ）ξ））,L’∈LQL∩L2（Ω,F,QL）在L’=1处的导数有如下形式DFQL（1）=∫0ξ（?）μf（（QL）ξ,y）dy-EQL[∫0ξ（?）μf（（QL）ξ,y）dy],QL-a.s.,（?）1F（QL）ξ,x）=∫0x（?）μf（（QL）ξ,y）dy-EQL[∫0ξ（?）μf（（QL）ξ,y）dy],（QL）ξ（dx）-a.s.此外,（?）1F（QL）ξ,·):R→R连续可微,且有（?）x（（?）1F）（（QL）ξ,x）=（?）μf（（QL）ξ,x）,x∈R.我们先证明定理3.1.1的一个特殊情形。为简便起见,我们固定T=1,并给出特殊情形的假设:假设 3.令 n ≥ 1,0=t0<t1<…<tn=1,△i:=（ti-1,ti],B（△i）:=Bti-Bti-1.ⅰ）ξ是光滑维纳泛函:ξ=φ（B（△1）,..,B（Δn））,φ∈Cb∞（Rn）;ⅱ)γλ是光滑维纳阶梯过程:#12其中φi:∧ × Ri-1 → R是有界Borel函数,使得:iia)φiλ:Ri-1→R是C∞函数且在A ×Ri-1,1 ≤i ≤n,上各阶导数有界;iib)∧（?）λ→γλ ∈LF2（（0,1）× Q,dsdQ）是连续 L2（dsdQ）-可微的。对t∈[0,1]和λ ∈A,我们介绍所谓的Dolean-Dade指数:εtλ=exp {∫0t γsλdBs-1/2∫0t|γsλ|2dss},注意到εtλ∈LQ∩L∞,-（Q）,其中L∞,-（Q）:=n1<p<+∞Lp（Q）。此外,我们记:Qλ:=εtλQ,相应地,（Qtλ）ξ=（εtλQ）ξ∈P2（R）。命题3.1.1.在假设2和假设3成立时,定理3.1.1所声明的结论成立,换句话说,A（?）λ→f（（Qtλ）ξ）是可微的,且（?）λf（（Qtλ）ξ）=EQ[（∫0ξ（?）μf（Qtλ）ξ,y）dy)（?）λ[εtλ]].命题3.1.1的证明是基于Girsanov变换和Malliavin分析方法的。具体符号参见正文。应用下面的命题,我们即可将所需求导的变量由分布密度中转移至同一个概率测度下的随机变量中。命题3.1.2.对任意给定的f:P2（R）→ R,我们有f（（εtλ’Q）ξ）-f（（εtλQ）ξ）=f（（εt,λ,λ’Qtλ）ξ）-f（（Qtλ）ξ）=f（（Qtλ）ξ（Ttλ,λ’（Bλ））-f（（Qtλ）ξ（Bλ））,λ’∈∧.（0.0.3）为了完成特殊情形的结论,也就是命题3.1.1的证明,我们还需要下面的Malliavin分析的结果。引理3.1.2.当假设3成立时,映射s→ξ（Tsλ’,λ（Bλ））在[0,1]上连续,且在任一s∈（ti-1,ti）,1 ≤ i ≤ n,处可微:（?）s[ξ（Tsλ’,λ（Bλ））]=（Dsξ）（Tsλ,λ’（Bλ））·（γsλ’-γsλ）（Tsλ,λ’（Bλ））.本章的主要结论—定理3.1.1的证明还需要下面的逼近结果。命题3.1.3.令∧（?）λ→Lλ∈LQ∩L2（Q,F,Q）为一连续L2（Q）-可微映射。那么存在一列有界光滑维纳阶梯过程γλ,n,n ≥ 1,#12其中0=t0n<t1n…<tNnn=T,△in=（ti-1n,tin],使得i）φin:∧ ×Ri-1→R是有界Borel函数,ii）φiλ,m:Ri-1→R是C∞函数,各阶导数均在Λ× Ri-1 ≤ i ≤ n,上有界,iii)∧（?）λ → γλ,n ∈ LF2（（0,T）× Ω,dsdQ）在 Λ 上连续 L2（dsdQ）-可微,使得,对于εtλ.n:=exp {∫0tγsλ,ndBs-1/2∫|γsλ,n|2ds},t∈[0,T],λ∈A,如下两条成立a)（εTλ,n,（?）λεTλ,n）（?）（Lλ,（?）λLλ）:对任意的λ∈∧,b)对任意的 λ,λ’∈Λ 且[λ,λ’]（?）∧,λ（s）:=sλ’+（1-s）λ,s ∈[0,1],#12在多维情形的讨论中,我们得到了下面的结果。定理3.2.1.令L ∈LQ,且存在两个常数C,c>0,使得c ≤ L≤ C。并假设对任意的ξ∈L4（Ω,F,Q;Rd）和满足假设 1 的f:P2（Rd）→R,有函数FQξ（L’）=f（（L’ξ）Q）,L’∈LQ∩-L2（Ω,F,Q）是连续 L2（Q）-可微的,且 DFQξ（·）是L2（Q）-Lipschitz 的,（?）1F（（QL）,·）连续可微,且（?）x（（?）1F）（·,·）（?）μf（·）:（?）μf（·,·）:P2（Rd）×Rd→R有界且模连续。那么,（?）x（（?）1F）（QL）ξ,x)=（?）μf（QL）ξ,x),x∈Rd.我们在本章的最后考虑了f（（LQ）ξ）=Φ（fξLQ）形式的函数,其中fξLQ是随机变量ξ在概率LQ下的密度函数,Φ是一个定义在密度函数空间上的可微函数。在这种情形下我们得到了和上面的定理相同的结论。第四章:我们介绍了一类带部分观测的平均场随机控制问题。我们首先证明了这类平均场随机微分方程组的弱解的存在性和依分布唯一性。在考虑控制问题时,我们借助第三章所得求导数结论的帮助,导出并证明了其一、二阶变分方程,并利用对偶原理求得最优控制所满足的必要条件。这里我们得到的是Peng的随机最大值原理,其中控制域并不要求是凸的,且不需要控制系统的系数关于控制项的光滑性。在本章中,我们考虑的状态-观测系统如下（?）（0.0.4）其中（B1,B2）是（F,P）-布朗运动。在这样的系统中,X是状态过程,而Y是观测过程,它们均定义在概率空间（Ω,F,P）上。令UtX|Y:=EP[Xt | FtY],t∈[0,T],为“滤波”状态过程,μtX|Y是其在概率测度P下的分布,即μtX|Y:=PUtX|Y。我们想考虑上述系统在适当假设下的适定性。由Girsanov定理,我们可以将（0.0.4）转化成如下形式（?）（0.0.5）此方程可以看作是参照概率测度Q下的随机微分方程,其中（B1,Y）是（F,Q）-布朗运动。命题4.1.1.在假设（H1）之下,方程（0.0.5）存在唯一强解。SDE（0.0.5）的强解的存在性即可说明（0.0.4）的弱解的存在性,也就是说,假设在Q-布朗运动（B1,Y）驱动的方程（0.0.5）的强解为（X,L）,那么（Ω,F,P,（B1,B2）,（X,Y）是（0.0.4）的弱解,其中P=LTQ,且Bt2=Yt-∫0th（s,Y.∧s,Xs,μsX|Y）ds,t∈[0,T].我们还有下面的唯一性结果。定理4.1.1.当假设（H1）成立时,令（Ωi:Fi,Fi,Pi,（B1,i,B2,i）,（Xi,Yi））,i=1,2,为方程（0.0.4）的两个弱解。那么,有P（（B1,1,B2,1）,（X1,Y1））1=P（（B1,1,2,B2,2）（X2,Y2））·接下来我们考虑如下参照概率测度Q下的随机控制系统（?）（0.0.6）其中Pu=LTuQ,μtu=μtXu|Y=PEu[Xtu|FtY]u,其中Eu[·]:=EPu[·]。代价泛函定义为J（u）:=EQ[Φ（XTu,μTu）+∫0Tf（t,Xtu,μtu,ut）dt],u ∈uad.我们的目标是最小化代价泛函。在我们的讨论中控制域U不要求是凸的。在适当的假设下,我们借助上一章的结果,给出了如下的一阶变分方程:#12我们有如下适定性结果。命题 4.2.1.当假设（H2）成立时,（0.0.7）有唯一解（Y1,ε,K1,ε）∈SF2（[0,T],Q）×SF2（[0,T],Q）。而且,Y1,ε,K1,ε,V1,ε∈SFp（[0,T],Q）,对任意的 p>1。下面的估计验证了变分方程的正确性。命题4.2.2.对任意k≥ 1,存在Ck∈R+,使得（ⅰ）（?）（ⅱ）（?）（ⅲ）（?）（ⅳ）（?）推论4.2.1.对任意k≥1,存在Ck∈R+,使得（ⅰ）（?）（ⅱ）（?）（ⅲ）（?）（ⅳ）（?）下面这个非常有用且很有技巧性的估计为我们的讨论作出了巨大的贡献。命题 4.2.3.对任意的θ）=（θ1,θ2）∈LF2（[0,T],Q;R2）满足EQ（∫0T（θt1|2+|LTθt2|2）dt]<+∞,且（θt1,Ltθt2）∈ L2（Ft,Q;R2）对任意的t∈[0,T],存在 ρ:[0,T]× R+→R+使得|EQ[θt1Yt1,ε+θt2Ktt1,ε]|≤ ρt（ε）（?）ε∈（0,1],t∈[0,T],其中ρt（ε）→0（ε（?）0）,t∈[0,T],且满足ρt（ε）≤CEQ[|θt1|2+|Ltθt2|2],ε∈（0,1],t ∈[0,T].二阶变分方程有如下形式,此时我们为计算不过于繁琐,假设σ=σ（γ,v）,h=h（x,v）。且对于二阶变分方程有如下的适定性结果和估计。引理4.2.1.在假设（H2）成立时,方程（0.0.8）有唯一解（y2,ε,K2,ε）∈SF2（[0,T],Q）×SF2（[0,T],Q）。而且,Y2,ε,K2,ε∈SF∞,-（[0,T],Q）,且对任意的p>2,其SFp（[0,T],Q）-界不依赖于ε>0。引理4.2.2.对任意的p>1,存在常数Cp∈R+,使得对t∈[0,T],ε>0,有（EQ[|（Utε-（U+Vt1,ε+Vt2,ε））-θt（Xtε（Xt+Yt1,ε+Yt2,ε）,Ltε-（Lt+Kt1,ε+Kt2,ε））|p]）1/p≤<Cpε3/2.命题4.2.4.对任意的p≥2,存在Cp ∈ R+,使得（ⅰ）（?）（ⅱ）（?）（ⅲ）（?）其中 ρp（ε）→ 0,ε（?）0。此外,（ⅳ）（?）我们强调,上述结果对于一般情形也是成立的,系数对于其他变量的依赖性仅仅增加了计算了复杂度,而不会增加难度。现在我们考虑对偶性,得到了一阶伴随方程:（?）（0.0.9）一阶伴随方程有如下适定性结果:命题 4.2.6.当假设（H2）成立时,BSDE（0.0.9）有唯一强解（p1,（q1,q1））,（p2,（q2,q2）））。进一步地,对任意p≥2,（（p1,（q1,q1））,（p2,（q2,q2）））∈（SFp（[0,T],Q）×（LFp（[0,T],Q））2）×（SF2p（[0,T],Q）×（LF2p（[0,T],Q））2）。定义Hamilton泛函H（t,x,l,γ,v,q2）:=σ（t,x,γ,v）q1+h（t,x,γ,v）lq2-f（t,x,γ,v）,（0.0.10）（t,x,l,γ,φ,q1,q2）∈[0,T]×R×R+×P2（R）× U×R×R,并简记下列记号δH（t）=δσ（t）qt1+δh（t）Ltqt2-δf（t）,Hxx（t）=σxx（t）qt1+hxx（t）Ltqt2-fxx（t）,Hxl（t）=hx（t）qt2,Hμ（t）=σμ（t）qt1+hμ（t）Ltqt2-fμ（t）.Hzμ（t）=σzμ（t）qt1+hzμ（t）Ltqt2-fzμ（t）,其中（p1,（q1,q1））,（p2,（q2,q）））是一阶伴随方程的解;并给出二阶伴随方程则我们可以得到我们的随机最大值原理。定理4.2.1.假设（H2）成立。令控制u∈Uad是最优的,且（X,L）句为相应的控制系统（0.0.6）的解。那么,对任意的v∈U,有:dtdQ-a.e.（t,ω）∈[0,T]× Q,EQ[H（t,Xt,Lt,μt,v,qt1,qt2）-H（t,Xt,Lt,μt,.ut,qt1,qt2）+1/2Pt1|σ（t,Xt,μt,v）-σ（t,Xt,μt,ut）|2|FtY]≤0,其中（p1,（q1,q1）,（p2,（q2,q2）））和（P1,（Q1,1,Q1,2））,（P2,（Q2,1,Q2,2）））分别是一、二阶伴随方程（0.0.9）和（0.0.11）的解。
张家睿[6]（2020）在《针对大规模高维数据的分拆再结合型统计推断方法》文中研究说明随着生产生活和学术研究中数据的规模和维度越来越大,如何在尽可能减少计算量的前提下进行精确的统计推断,已经成为了一个值得关注的重要研究方向。应用除偏方估计对高维数据进行统计推断也是一个重要的研究课题,但是由于除偏方法跟传统正则化方法相比,要在除偏项上耗费更多的计算量,所以当数据的样本量和维度都显着增长的时候,直接对数据应用除偏估计来进行统计推断会耗费很多的时间和计算量。为了解决这个问题,我们在本文里采用分拆再结合的方法来减少除偏过程中所需要的计算量,进而提高除偏方法的计算速度,与此同时我们还保证了置信区间的精度使之和不进行分拆再结合方法的精度保持一致。综上所述,本文主要研究了在分拆再结合方法下的高维数据统计推断问题。首先,本文探讨了在高维随机设计下的除偏估计的渐近性质及置信区间,在此基础上给出了分拆再结合方法下的高维除偏估计量并给出了置信区间。为了在提高计算速度的同时保证估计的精度,我们给出的高维除偏估计量采用了新的形式,即用整体数据来计算初始估计量,对除偏项再使用分拆再结合方法,这种方法也说明了对于初始估计量和除偏项在样本量方面需要的条件是不一样的。在上述工作的基础上,我们又提出了一个精进版本的置信区间版本,它在计算速度保持一致的基础上要更加地精确,同时也确保了我们可以对更大规模的数据进行更多次数地分拆。在随机模拟中,我们比较了两种不同规模的数据在不同的分拆次数下置信区间平均覆盖率和置信区间长度以及计算速度上面的差异,结果证实了我们的结论,并且我们的精进版本具有良好的表现。在实际数据分析中,我们也比较了置信区间的精确度和计算速度,在证实了结论的同时还体现了分拆方法在统计推断中具有的稳健性。除此之外我们还提出了利用软阈值均值bagging估计量进行变量选择的方法并推导了其理论上的误差界,给我们的方法提供了更多的扩展应用的空间。其次,我们还建立了分拆再结合方法下的同时置信区间。我们分别用不同的办法建立了高维数据分拆再结合方法下的对有限元素集合的同时置信区间和对元素数量发散集合的同时置信区间。对于有限元素集合,我们基于分拆再结合理论的两个版本得出同时置信区间。对于元素数量发散的集合,我们采用了bootstrap程序辅助的方法得到。在详细介绍了 bootstrap辅助程序的同时,我们也提供了 bootstrap辅助程序的不同算法。在随机模拟中,我们同样也比较了两种不同规模的数据在不同的分拆次数下同时置信区间的平均覆盖率和置信区间长度。结果都证实了我们的同时置信区间的有效性和在计算速度上的优势。在实际数据分析中,我们也比较了置信区间的稳定性和计算速度,得到了和数据分析一样的结论。随机模拟和实际数据分析的结果都给我们理论的可行性提供了保障。
张自武[7]（2020）在《次线性期望下的中心极限定理与二人零和随机微分博弈的研究》文中进行了进一步梳理近几十年来,世界范围内金融市场频繁动荡,金融市场能够获得巨大利润的同时也面临着日益严重的风险,人们逐渐清晰的认识到金融风险管理的重要性。事实表明,以前度量和管理金融风险的方法已经不能胜任。如何有效的度量、预防与化解金融风险,成为广受大家关注的问题。大量研究发现,这些金融风险许多都是非线性的,然而度量和管理非线性金融风险的理论却还在摸索和探讨中,所以对该领域的研究是很有意义和价值的。1973年法国数学家Bismut[2]在研究随机最优控制时,首次引入了线性的倒向随机微分方程,1990年Pardox和Peng在[39]中引入了一般的非线性倒向随机微分方程。1998年Delbaen[13],1999年Artzner等人[1]提出一致风险度量理论。1997年Peng以倒向随机微分方程为基础,引入了一类非线性期望:g-期望。研究显示,g-期望可以构造一致风险度量（[52]）。但是g-期望还只是一种拟线性数学期望,不能完全涵盖非线性的情况,譬如对于波动率不确定性来说,g-期望就无能为力,然而在很多领域,波动率不确定性却很普遍。为了研究金融市场中波动率的不确定性,2006年Peng在[42]中引入了次线性期望理论,提出了G-正态分布、最大分布等,建立了次线性期望下的大数定律和中心极限定理。Peng借助偏微分方程的技巧,在随机变量满足（2+α）-阶矩的条件下,证明了次线性期望下的中心极限定理,他的工作被认为是次线性期望下中心极限定理领域的一个里程碑,并推动了这个领域的发展。之后许多工作推广和延伸了 Peng的次线性期望下的中心极限定理,如Zhang[62]研究次线性期望下负相关的中心极限定理、Song[56]结合Stein方程研究次线性期望下Peng中心极限定理的收敛速度等,这些工作都是结合偏微分方程的知识完成的,着名数学家Krylov[35]在研究次线性下Peng中心极限定理收敛速度时,虽然没有直接使用偏微分方程,但是使用的还是偏微分思想,而且依然要求（2+α）-阶矩的条件。自Peng创立次线性期望下中心极限定理的十几年来,有些问题一直没有解决。Peng曾提出一个公开问题:能否用概率的方法证明次线性期望下的中心极限定理?能否将（2+α）-阶矩用一个更弱的条件代替,当次线性期望退化成线性期望时,这个弱的条件变成经典的Lindeberg条件?1989年Fleming和Souganidis在[21]中首次研究了二人零和随机微分博弈,证明了特定条件下博弈问题的下值函数和上值函数满足动态规划原理,并且下值函数和上值函数是相应的Bellman-Isaacs方程的唯一粘性解。倒向随机微分方程创立之后就在随机控制理论方面得到了发展（Peng[40]）,之后由Hamadene,Lepeltier[25]以及Hamade ne,Lepeltier和Peng[29]应用到随机微分博弈上。2008年Buckdahn和Li在[5]中借助倒向随机微分方程研究了二人零和随机微分博弈。2011年Buckdahn和Li在[6]中继续研究二人零和随机微分博弈,讨论的代价函数是一个双反射的倒向随机微分方程的解。2015年Yu在[61]中研究了二人零和线性二次随机微分博弈等。受以上工作的启发,本文做了如下的研究:针对Peng提出的次线性期望下中心极限定理的公开问题,本文做了以下工作:（1）用概率的方法证明了次线性期望下Peng中心极限定理;（2）减弱了Peng中心极限定理的部分条件,将（2+α）-阶矩用更弱的条件代替,当次线性期望退化成线性期望时,该条件变成经典的Lindeberg条件;（3）通过本文的方法得到的次线性期望下中心极限定理的结果是G-正态分布的线性刻画,而这个结果Peng是分两步得到的。同时本文研究了状态方程是反射随机微分方程,代价函数由广义BSDE的解给出的二人零和随机微分博弈问题。证明了下值函数满足动态规划原理,同时证明了下值函数和上值函数是相应的Isaacs方程的粘性解,这里的Issacs方程为具有非线性Neumann边界条件的全非线性抛物型偏微分方程。以下是本文的结构和主要内容:（Ⅰ）第一章简要介绍本文中所要研究问题的背景以及需要用到的倒向随机微分方程和次线性期望空间的基本概念。（Ⅱ）第二章介绍了次线性期望下中心极限定理的研究背景和现状,包括目前次线性期望下的中心极限定理研究的主要成果和证明定理常用的方法,以及本文证明定理时所用到的一些准备知识,并在此基础上用新的方法证明了次线性下的Peng中心极限定理。设（Ω,F,P）是一个概率空间,我们在这个概率空间上构造两组函数列Hm,n,Lm,n和Fm,n,Km,n,并且证明了这些函数列具有很好的性质。Peng建立了次线性期望空间理论,结合偏微分方程证明了次线性期望下的中心极限定理,许多学者在扩展和延伸该定理时,都是结合偏微分方程来完成的。本文借助构造的函数列,用了一种新的方法来证明次线性下的Peng中心极限定理。定理0.2.1设（Ω,H,E）为一给定的次线性期望空间,{Xi}i=1n为定义在这个空间上的独立的随机变量序列。假设对任意的1≤i≤n,随机变量Xi满足:（1）E[Xi]=ε[Xi]=0,具有有限方差（?）。（2）Xi满足条件（2.2.3）。则对任意的函数φ∈C[-∞,+∞],（?）其中{Bt}是在概率测度P下的布朗运动。和目前已有的证明方法不同,我们没有借助偏微分方程,而是利用构造的辅助函数,用概率方法证明了次线性下的Peng中心极限定理。新的证明方法使得定理取消了随机变量同分布的假设,减弱了（2+α）-阶矩的假设条件,同时因为没有使用偏微分方程,这也使得在Peng的证明中σ>0的假设不再是必须的。此外,新的证明方法也为从概率角度推广该定理做了铺垫。（Ⅲ）第三章主要研究了 一类特殊的二人零和随机微分博弈问题。对给定的容许控制过程u（·）∈u和v（·）∈V,以初始时刻为t,初始值为ζ∈L2（Ft;G）的状态过程是如下的反射随机微分方程:（?）相应的代价函数（?）其中（Yst,ζ;u,v,Zst,ζ;u,v）是下面的GBSDE的解（?）这里（Xst,ζ;u,u,Kst,ζ;u,v）是反射随机微分方程（3.3.1）的唯一解。定义0.3.1随机微分博弈下值函数的定义为:相应的上值函数为（?）关于下值函数W（t,x）有下面的定理,上值函数也有类似的性质。定理 0.3.2（确定性）对任给的（t,x）∈[0,T]×G,有W（t,x）=E[W（t,x）],a.s.。定理0.3.3（关于x的连续性）存在一个常数C＞0,使得对任给的T ∈[0,T]和x,x’∈G,（?）以及（?）定理0.3.4（动态规划原理）假设（H1）-（H4）成立,则由（3.3.12）式定义的下值函数W（t,x）服从如下的动态规划原理:对任给的0≤t≤t+δ,x∈G,（?）定理0.3.5假设（H1）-（H4）成立,则由（3.3.12）定义的下值函数W（t,x）关于t连续。本文还证明了我们研究的随机微分博弈问题的下值函数和上值函数是相应的带非线性Neumann边界条件的Isaacs方程的粘性解。定理0.3.6假设（H1）-（H4）成立,则由（3.3.12）式定义的函数W（t,x）是偏微分方程（3.4.1）的粘性解。类似的,上值函数U（t,x）是偏微分方程（3.4.2）的粘性解。
王洋[8]（2020）在《格中困难问题的归约及格上密码算法的分析与设计》文中研究表明随着量子计算理论和量子计算机技术的迅速发展,传统公钥密码算法受到巨大挑战.可以抵抗量子计算机攻击的困难问题以及相关抗量子密码体制的分析与设计成为当前密码学和数学中的热点研究领域.在2019年初,NIST公布了第2轮26个抗量子密码算法标准征集的候选算法,其中有12个密码算法是基于格中困难问题所设计的.格密码的发展大体分为两条主线:一是从格中经典数学问题的研究发展到近30多年来高维格困难问题的求解算法及其计算复杂性理论研究;二是从使用格困难问题的求解算法分析非格公钥密码体制的安全性发展到基于格中困难问题设计抗量子密码体制.目前,格密码体制的设计主要基于下面三类困难问题:LWE（Learning with Errors）问题、SIS（Short Integer Solution）问题和NTRU（Number Theory Research Unit）问题.在本文中,我们主要考虑以下三类问题:1.环LWE问题与模LWE问题的困难性研究及归约;2.任意分圆域上基于NTRU的可证明安全的加密体制的设计;3.一般分圆域中的基于NTR.U的陷门构造及其应用.环LWE问题v.s.模LWE问题:为了更好地平衡安全性和实现效率,环LWE问题和模LWE问题分别被系统地研究.与经典欧式格上的LWE问题相比,环（模）LWE的worst-case的困难性归约更紧,并且基于模LWE问题和环LWE问题设计的密码体制在实现效率和存储空间上也有一定的优势.不过对应地,环（模）LWE问题的困难性假设比经典LWE问题要强一些.与理想格相比,模格的代数结构更无序,因此人们普遍认为模LWE问题应该要比类似参数的环LWE问题困难.目前唯一已知的详细讨论模LWE问题到环LWE问题的归约的结果是Albrecht等人在2017年亚密会上给出的.Albrecht等人采用模-维数转换的技巧,直接将Normal Form的模LWE问题的实例转换为环LWE问题的实例.然后,Albrecht等人在powers-of-2这一类特殊的分圆域中,使用系数嵌入分析了求解和判定版本问题对应的归约结果.值得注意的是,在模LWE对应的情况下,模-维数转换方法的输入和输出的统计距离难以控制.所以,Albrecht等人给出的判定版本的模LWE问题到环LWE问题的归约损失是指数大小的,并不能直接证明大模数的判定版本的环LWE问题比小模数的模LWE问题困难.同时,Albrecht等人也仅仅针对powers-of-2这一类特殊的分圆多项式环,采用系数嵌入分析了求解版本的Normal Form的模LWE问题与求解版本的环LWE问题之间的归约关系.模LWE问题到Normal Form的模LWE问题的归约并没有详细讨论.同时,Albrecht等人使用的归约方法对于求解版本的LWE问题的归约在一般的代数数域中（甚至一般的分圆域中）是否适用也仍需进一步讨论.在应用中,绝大多数密码体制所依赖的LWE问题都是判定版本的（如NIST 候选算法 KCL、CRYSTALS-KYBER、CRYSTALS-DILITHIUM、AKCN等）,这就使得详细研究一般数域中的（判定版本的）模LWE问题和环LWE问题之间的区别与联系变得具有很大的理论意义和实用价值.在本文中,我们通过引入适当的中间问题,利用分圆域中存在的性质非常好的基（powerful基和decoding基）并综合使用模-维数转换技巧以及对偶攻击的思想,将任意分圆域K上的秩为d,计算模数为q的判定版本的模LWE问题归约到了计算模数为qd的判定版本的环LWE问题.具体来讲,我们的归约路线为:判定版本的模LWE问题→Normal Form的判定版本的模LWE问题→Normal Form的求解版本的模LWE问题→求解版本的环LWE问题→判定版本的环LWE问题.与直接将判定版本的模LWE问题归约到判定版本的环LWE问题相比,我们的归约的归约损失很小,对应的LWE问题的误差所服从的高斯分布的参数只增大了一些[K:Q]=n的小多项式倍.我们的归约结果的一个重要的推论是,我们可以将计算模数q≈O（n5.75）,误差参数α≈O（n-4.25）的判定版本的模LWE问题归约到对应的误差参数Γ≈O（n-0.5）的判定版本的环LWE问题.结合已有的结论,我们就可以将渐进参数γ≈O（n5）的worst-case的模格中的基本困难问题（如SIVPγ）严格地归约到对应的判定版本的环LWE问题.同时,我们的分析结果表明,模-维数转换的方法在任意分圆域中均可以有效使用.我们也利用类似的思路给出了环LWE问题的自归约,这可以用来证明一大类非素数模数q对应的判定版本的环LWE问题的困难性.同时,我们也给出了任意分圆域中的判定版本的模LWE问题到一类模SIVPγ问题的反归约,从而建立了 worst-case的模格中的基本困难问题和一类average-case的模SIVPγ问题的联系.值得注意的是,对于一般的数域K,只要能找到其分式理想Rˇ的性质足够好的一组基,则我们的归约方法就可以推广到数域K中.可证明安全的NTRUEncrypt:基于NTRU的加密体制（NTRUEncrypt）最早是由 Hoffstein、Pipher 和 Silverman 在 1996 年提出的.早期的 NTRUEncrypt 入选了 IEEE的标准-IEEE P1363,是已知的运行速度最快的基于格的密码体制之一.由于其高效的运行效率、适中的密钥密文尺寸以及可以抵抗量子计算机攻击的特性,人们普遍地将NTRUEncrypt视为后量子时代公钥加密算法RSA和ECC的替代品之一.对早期的NTRUEncrypt的研究而引申出来的NTRU问题在密码学中也有着广泛的应用.很多基于NTRU的密码体制都具有设计简单、参数尺寸小、运行速度快等优点.基于NTRU问题设计的一些加密和密钥交换算法,如NTRU,NTRU Prime等,也入选了 NIST的候选算法进入了第2轮评估.但是,经典的NTRUEncrypt及其变种加密体制的安全性是启发式的.这一点与基于LWE的加密体制很不同.第一次将NTRUEncrypt的安全性与worst-case 的格中基本困难问题联系起来的工作是 Stehl e和 Steinfeld 在 2011 年欧密会中给出的.他们在powers-of-2这一类特殊的分圆多项式环中采用系数嵌入首次将NTRUEncrypt的IND-CPA安全性与相应的判定版本的（多项式）环LWE问题联系起来,进而综合已有的结论,证明了在适当参数选择下,NTRUEncrypt的IND-CPA安全性可以由这一类特殊的分圆域中worst-case的理想格中基本困难问题所保证.Stehle和Steinfeld提出的一个公开问题就是能否将他们的构造方法推广到一般的多项式环中.随后,喻洋等人分别将可证明安全的NTRUEncrypt推广到了 prime和prime-powers这些特殊的分圆多项式环上.考虑到现有攻击算法的攻击效率,目前设计格密码体制所用到的格的维数一般不小于512维.无论是prime还是prime-powers的分圆域,达到这个维数要求的分圆域均有比较多的子域.考虑到子域攻击,这些特殊的分圆域上对应的基本格中困难问题的计算复杂度可能比更一般的分圆域要低.相应地,在这些特殊的分圆域上设计的密码体制的安全性可能有隐患.在本文中,我们严格证明了在任意的分圆域中,在适当参数选择下,服从适当离散高斯分布的NTRUEncrypt的私钥f,g生成的公钥h=g·f-1与环Rq×上的均匀分布统计不可区分.进而利用分圆域的性质比较好的基（powerful基和decoding基）并引入基-系数嵌入,采用canonical嵌入在任意的分圆域上设计了可证明IND-CPA安全的NTRUEncrypt.我们的加密体制的IND-CPA安全性依赖于对应分圆域上的判定版本的环LWE问题.结合已知的结论,可以证明我们的NTRUEncrypt的IND-CPA安全性可以由对应分圆域中worst-case的理想格中的基本困难问题（如SIVPγ）所保证.同时,在任意取定的分圆域中,与现在已有的可证明安全的NTRUEncrypt相比,我们的NTRUEncrypt的计算模数q和最后安全性所依赖的基本格中困难问题的渐进参数γ对明文空间的依赖更小.这就使得在相似的（甚至比前人更弱的）安全性假设条件下,我们的NTRUEncrypt的参数选择更灵活,密码体制的实现效率更高.同时,我们的加密体制的解密错误率也比前人的低的多.我们还给出了任意分圆域中dual环LWE问题到primal环LWE问题的归约损失非常小的归约.基于NTRU的陷门构造:早期的应用比较广泛的基于格的陷门函数的构造是Gentry等人给出的.Gentry等人使用改进的最近平面算法给出了利用随机格的一组短基来进行有效的离散高斯取样的方法.结合已有的生成随机格以及相应格中短基的方法,Gentry等人在经典欧式格中构造了一类抗碰撞的陷门原像取样函数并给出了一系列应用（如设计了格中具有worst-case困难性保证的可证明安全的签名和基于身份的加密体制）.经典欧式格中的这些设计可以采用系数嵌入较为平凡地推广到理想格中.但是相应的,这样的推广没有有效地利用多项式环的代数结构,一般会造成构造的密码原语具有参数尺寸太大、实现效率不高等缺点.本质上讲,Gentry等人改进了已有的利用随机格的陷门短基的方法,并给出了新密码学原语的构造以及相关应用.基于NTRU的签名体制（如NTRUSign）的私钥即为NTRU格的一组短基.在多项式环中结合Gentry等人提出的方法与NTRUSign的设计思路应该可以将Gentry等人的设计思路有效地推广到理想格中.最早注意到这一点的是Stehle和Steinfeld.他们首次在powers-of-2这一类特殊的分圆多项式环中采用系数嵌入基于NTRU问题给出了抗碰撞的原像取样函数的构造,并基于此函数采用Hash-and-Sign的方法在随机预示模型下给出了第一个具有worst-case困难性保证的基于NTRU的签名体制.这也是第一个基于NTRU问题的可证明安全的签名体制.但是,类似于可证明安全的NTRUEncrypt的情况,将密码体制的设计限制在powers-of-2这一类特殊的分圆多项式环中会使得相关体制的设计更加受限.同时,这种环上设计的密码体制可能有潜在的安全隐患.能否在一般的多项式环设计可证明安全的基于NTRU的签名体制也是Stehle和Steinfeld在文章中提出的一个公开问题.在本文中,我们采用canonical嵌入讨论了在一般的分圆域上设计安全的抗碰撞的原像取样函数的方法.在一大类分圆域中,对于适当的参数选择,我们给出了 Dedekind Zeta函数在2处取值的上界估计,由此进一步严格证明了改进的传统NTRUSign的密钥生成算法（也是我们构造的抗碰撞的原像取样算法的密钥生成算法）是概率多项式时间的.我们也改进了我们早期结果中的部分结论,并证明了任意分圆域中的一类非齐次的环ISIS问题的困难性.随后我们采用现有的构造方法,利用分圆域的性质非常好的基（powerful基和decoding基）进行离散高斯取样,在一大类分圆域中设计了（claw-free）抗碰撞的原像取样函数,并对在一般的分圆域中的构造进行了讨论.基于我们设计的抗碰撞的原像取样函数,综合使用Hash-and-Sign构造方法和拒绝采样技术,我们还在一般的分圆域中讨论了基于NTRU问题的具有worst-case困难性保证的签名体制、基于身份的加密体制以及基于身份的签名体制等密码原语的构造.
兰彧[9]（2020）在《高中数学资优生数学推理能力的调查研究》文中提出当数学命题中出现一个或几个已知的前,或者是出现了已知的事实,我们可以通过一定的合适的思维过程去推导出新的结论,这样能证明到新的命题的真实性,这是推理的定义。在日常的学习生活中,我们离不开推理,在数学学习中,推理更加重要,是一种基本的思维方式。高中数学课程标准中对学生的推理能力有一定的要求,在整个高中数学学习中,希望教师注重学生的推理能力的培养和发展,并贯穿到整个数学学习过程中。推理能力的培养在数学能力培养中占有举足轻重的位置。笔者查阅文献后,发现关于数学推理的理论分析和教学实践的文章并不多,尤其是实践定量分析的文章非常少,而有关数学推理评价方面的文章更是寥寥无几。基于此,本研究从实证角度对数学资优生的数学推理能力进行调查,编制了数学推理测试卷,到上海某重点高中进行了测试,回收测试卷后进行分析,划分了不同水平的高中数学资优生的数学推理能力,并给出相关教学建议,希望能促进高中资优生数学推理能力的高和发展。本研究笔者根据专业所学和实习感受,确定了围绕高中数学资优生的数学推理能力现状展开研究,首先,笔者查找了国内外很多资料文献,进行阅读后,确定了研究方法,即先采用调查问卷法,根据测试结果,再采用访谈研究法。根据编制的测试卷测试后得到的结果,笔者采用了SOLO分类理论,对参加测试的学生的数学推理能力水平进行评价,最终将数学推理能力划分为四个由低到高的水平:U、M、R、E水平。之后笔者和任课教师及两名数学资优生进行了访谈。通过数据结果、访谈内容进行归纳分析,结合整个调查分析所得结果,给出实际的教学对策与建议,上升为教学经验,进行总结。本研究主要研究了以下四个问题:（1）高中数学资优生对于数学推理有什么样的认识?（2）高中数学资优生在数学推理能力上的现状如何?（3）高中数学资优生的数学推理能力是否存在性别差异?希望通过研究,能帮助教师更好的培养高中生的数学推理能力,根据研究结果,能为高中数学教学供哪些有意义的参考建议?针对上述问题,研究结果表明:（1）高中数学资优生对数学推理有比较清晰的认识,他们能意识到推理在数学学习中的重要性,通过平时学习与反复练习,他们的推理能力在不断高,能采用合适的数学推理方法,如比较法、综合法、反证法及数学归纳法等解题。（2）高中数学资优生已经有比较成熟的数学推理能力,能够通过题目给出的条件,进行相应的观察、推理、计算,他们的数学推理水平大多数处于R水平,少部分能达到E水平。（3）高中数学资优生,男、女生的数学推理能力水平是相近的,男生的解题能力略优于女生,女生的表达能力和计算能力略优于男生,整体看来,男女生在数学推理能力上的差距是不明显的,是相近的。希望教师要意识到数学推理能力的高是一个过程性的积累,可以在课堂中为学生供一些趣味性的实践活动,吸引学生的注意力。针对资优生的学习能力和发展情况设计出一个完整、系统的培养计划,并且笔者希望这个培养计划是循序渐进的,以便能针对性地引导资优生升自己的数学推理能力。
马玲玲[10]（2020）在《基于模型约化方法的随机最优控制问题的研究》文中研究说明本篇博士论文主要研究模型约化方法求解椭圆特征值问题和随机最优控制问题.通过模型约化方法,我们旨在建立两种问题的优化模型,在保持一定数值精度的前提下,尽量减少计算成本,提高计算效率.近年来,偏微分方程特征值问题在前沿科技和工程领域越来越受到关注.在物理领域,特征值通常和振动现象有关,特别是共振现象有着密切的联系.在其它领域,如天体物理学,石油储层模拟,电子能带结构计算等方面,特征值问题也有着广泛应用.然而,特征值问题作为非线性问题,其数值求解的计算量很大.对于含有多尺度信息的特征值问题,直接利用传统的数值方法在最细的尺度上求出含有各种尺度信息的解往往是十分困难的,且计算成本非常高.而受随机偏微分方程控制的随机最优控制问题,常被用来描述实际问题中的物理过程.为了尽可能准确地评估物理模型和过程的合理性以及评估模型的输出量,人们往往采用多尺度随机最优控制问题进行.对于模型中的不确定性,我们通常需要大量的随机参数来刻画模型中的不确定性.但是这些参数可能是高维,且可能是几百维甚至上千维.与确定性最优控制问题相比,随机最优控制问题的数值求解,计算法复杂度高,且需要大量的运算和存储空间.从而,对多尺度随机模型的模拟,数值计算更是十分困难的,很容易出现“维数灾难”.为了克服计算量较大的问题,针对含有多尺度信息的特征值问题,我们在本文的第三章将利用广义多尺度有限元方法建立椭圆特征值问题的约化模型,并在理论上给出特征值和特征函数的误差估计.文中,我们利用数值算例验证了广义多尺度有限元方法的数值合理性.对于模型约化方法在随机最优控制问题中的应用,我们在文中针对两种不同的随机最优控制问题提出了两种不同的模型约化方法.针对受椭圆偏微分方程控制的随机最优控制问题,我们在本文第四章中采用广义多尺度有限元方法作为局部模型约化方法,并结合降基方法作为全局模型约化方法,提出一种局部-全局模型约化方法.对于这种模型约化方法,我们不仅将在在理论上验证了模型约化最优解的存在唯一性,并在数值上通过几个数值算例验证局部-全局模型约化方法的合理性和计算高效性.在最后一章中,为了高效求解受随机抛物方程控制的随机最优控制问题,我们将基于新颖变量分离方法提出杂交模型约化方法.在杂交模型约化方法中,我们将在离线过程中通过两种低保真优化模型提前构造好关于随机变量的随机基函数和关于时间和物理变量的确定性基函数.对于一个新的随机样本,我们可以在在线过程中快速地计算出张量积结构的最优解.该模型约化方法结合了双模型,多尺度模型和双保真模型技术,从而能大大地降低计算复杂度,提高计算效率.一些数值算例也展示了杂交模型约化方法的优势和高效性.对于特征值问题和随机最优控制问题,我们利用多种模型约化方法建立相应的优化模型,并通过数值实验验证模型约化方法的合理性和高效性.
二、概率方法在不等式证明中的应用（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、概率方法在不等式证明中的应用（论文提纲范文）
（1）多维数据上近似聚集和最近邻查询的高效算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 基于随机抽样的近似聚集查询处理研究 |
| 1.2.2 基于对称或非对称局部敏感哈希的近似最近邻查询处理研究 |
| 1.3 主要研究内容及成果 |
| 1.3.1 主要研究内容 |
| 1.3.2 主要研究成果 |
| 1.4 研究内容之间的关系及本文章节安排 |
| 第2章 基于按位抽样的有误差界保证的近似聚集查询处理 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 问题描述 |
| 2.2.1 数据编码 |
| 2.2.2 位转置文件 |
| 2.2.3 (ε ,δ )-误差界 |
| 2.2.4 问题定义 |
| 2.3 DVBM方法 |
| 2.3.1 确定抽样量 |
| 2.3.2 算法 |
| 2.3.3 讨论 |
| 2.4 实验 |
| 2.4.1 实验设置 |
| 2.4.2 实验结果 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 基于按位抽样的有强误差界保证的近似聚集查询处理 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 问题定义 |
| 3.3 DVFM方法 |
| 3.3.1 确定抽样量 |
| 3.3.2 算法 |
| 3.3.3 讨论 |
| 3.4 实验 |
| 3.4.1 实验设置 |
| 3.4.2 实验结果 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 基于LSH的加权l_p距离函数集合上的近似最近邻查询处理 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 问题描述 |
| 4.2.1 c-NN查询和(R,C)-NN查询 |
| 4.2.2 LSH函数族 |
| 4.2.3 E2LSH和 C2LSH |
| 4.2.4 问题定义 |
| 4.3 用于加权距离函数的LSH函数族 |
| 4.3.1 加权LSH函数族 |
| 4.3.2 导出加权LSH函数族 |
| 4.4 WLSH方法 |
| 4.4.1 在S的一个可行子集上的(c,k)-WNN查询 |
| 4.4.2 在S上的(c,k)-WNN查询 |
| 4.5 实验 |
| 4.5.1 实验设置 |
| 4.5.2 实验结果 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 基于ALSH的广义加权曼哈顿距离上的近似最近邻查询处理 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.2.1 LSH方法 |
| 5.2.2 ALSH方法 |
| 5.3 负面结果 |
| 5.3.1 在R~d上不存在LSH 函数族和ALSH函数族 |
| 5.3.2 在有界空间上不存在LSH函数族 |
| 5.4 适用于d_w~(l_1)上的最近邻查询的ALSH方案 |
| 5.4.1 从d_w~(l_1)上的最近邻查询到最大内积搜索 |
| 5.4.2 (d_w~(l_1), l_2)-ALSH方案和(d_w~(l_1), θ)-ALSH方案 |
| 5.5 实验 |
| 5.5.1 实验设置 |
| 5.5.2 实验结果 |
| 5.6 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 附录 A 缩略语表 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（2）面向教师教育的数学知识研究 ——以S市高中数学教研员为例（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 教师教育者的专业发展需要关注 |
| 1.1.2 数学教师教育者的研究值得重视 |
| 1.1.3 数学教师教育者的专业知识有待探索 |
| 1.2 研究问题 |
| 1.3 研究意义 |
| 1.3.1 理论意义 |
| 1.3.2 实践意义 |
| 1.4 论文结构 |
| 第2章 文献述评 |
| 2.1 数学教师教育者的专业知识 |
| 2.1.1 数学教师教育者的专业知识框架 |
| 2.1.2 数学教师教育者的专业知识测评 |
| 2.1.3 文献小结 |
| 2.2 数学教师教育者的专业发展 |
| 2.2.1 数学教师教育者的专业发展框架 |
| 2.2.2 数学教师教育者的专业发展调查 |
| 2.2.3 文献小结 |
| 2.3 数学教师教育者的工作实践 |
| 2.3.1 数学教师教育课堂的学习任务框架 |
| 2.3.2 数学教师教育课堂的学习任务实践 |
| 2.3.3 文献小结 |
| 2.4 文献述评总结 |
| 第3章 研究方法 |
| 3.1 研究设计 |
| 3.1.1 文献分析与框架确立 |
| 3.1.2 问卷调查与深度访谈 |
| 3.1.3 现场观察与案例分析 |
| 3.2 研究对象 |
| 3.2.1 专家论证对象 |
| 3.2.2 问卷调查对象 |
| 3.2.3 深度访谈对象 |
| 3.2.4 案例研究对象 |
| 3.3 研究工具 |
| 3.3.1 论证手册 |
| 3.3.2 调查问卷 |
| 3.3.3 访谈提纲 |
| 3.3.4 观察方案 |
| 3.4 数据收集 |
| 3.4.1 专家论证 |
| 3.4.2 问卷调查 |
| 3.4.3 深度访谈 |
| 3.4.4 现场观察 |
| 3.5 数据分析 |
| 3.5.1 专家论证 |
| 3.5.2 问卷与访谈 |
| 3.5.3 现场观察 |
| 第4章 研究结果(一):面向教师教育的数学知识框架 |
| 4.1 文献分析 |
| 4.1.1 已有框架选取 |
| 4.1.2 相关成分析取 |
| 4.1.3 相关类别编码 |
| 4.2 框架构建 |
| 4.2.1 相关类别合并 |
| 4.2.2 相应成分生成 |
| 4.2.3 初步框架构建 |
| 4.3 框架论证 |
| 4.3.1 第一轮论证 |
| 4.3.2 第二轮论证 |
| 4.3.3 第三轮论证 |
| 第5章 研究结果(二):高中数学教研员具备的面向教师教育的数学知识 |
| 5.1 学科内容知识 |
| 5.1.1 一般内容知识 |
| 5.1.2 专门内容知识 |
| 5.1.3 关联内容知识 |
| 5.2 教学内容知识 |
| 5.2.1 内容与学生知识 |
| 5.2.2 内容与教学知识 |
| 5.2.3 内容与课程知识 |
| 5.3 高观点下的数学知识 |
| 5.3.1 学科高等知识 |
| 5.3.2 学科结构知识 |
| 5.3.3 学科应用知识 |
| 5.4 数学哲学知识 |
| 5.4.1 本体论知识 |
| 5.4.2 认识论知识 |
| 5.4.3 方法论知识 |
| 5.5 总体分析 |
| 5.5.1 学科内容知识 |
| 5.5.2 教学内容知识 |
| 5.5.3 高观点下的数学知识 |
| 5.5.4 数学哲学知识 |
| 第6章 研究结果(三):数学教研活动中反映的面向教师教育的数学知识 |
| 6.1 案例1 |
| 6.1.1 第一轮观察:平均值不等式 |
| 6.1.2 第二轮观察:对数的概念 |
| 6.1.3 案例1 总体分析 |
| 6.2 案例2 |
| 6.2.1 第一轮观察:幂函数的概念 |
| 6.2.2 第二轮观察:函数的基本性质 |
| 6.2.3 案例2 总体分析 |
| 6.3 案例3 |
| 6.3.1 第一轮观察:幂函数的概念 |
| 6.3.2 第二轮观察:出租车运价问题 |
| 6.3.3 案例3 总体分析 |
| 6.4 案例4 |
| 6.4.1 第一轮观察:反函数的概念 |
| 6.4.2 第二轮观察:反函数的图像 |
| 6.4.3 案例4 总体分析 |
| 6.5 跨案例分析 |
| 6.5.1 学科内容知识 |
| 6.5.2 教学内容知识 |
| 6.5.3 高观点下的数学知识 |
| 6.5.4 数学哲学知识 |
| 6.5.5 案例总体分析 |
| 第7章 研究结论及启示 |
| 7.1 研究结论 |
| 7.1.1 面向教师教育的数学知识框架 |
| 7.1.2 高中数学教研员具备的面向教师教育的数学知识 |
| 7.1.3 高中数学教研活动中反映的面向教师教育的数学知识 |
| 7.2 研究启示 |
| 7.2.1 教师教育者的专业标准制订需要关注学科性 |
| 7.2.2 数学教师教育者的专业培训需要提升针对性 |
| 7.2.3 数学教师专业发展项目规划需要增加多元性 |
| 7.3 研究局限 |
| 7.4 研究展望 |
| 7.4.1 拓展数学教师教育者的专业知识研究 |
| 7.4.2 深入数学教师教育者的专业发展研究 |
| 7.4.3 延伸数学教师教育者的工作实践研究 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 附录1 论证手册(第一轮) |
| 附录2 论证手册(第二轮) |
| 附录3 论证手册(第三轮) |
| 附录4 调查问卷(第一版) |
| 附录5 调查问卷(第二版) |
| 附录6 调查问卷(第三版) |
| 附录7 调查问卷(第四版) |
| 附录8 调查问卷(第五版) |
| 附录9 访谈提纲 |
| 附录10 观察方案 |
| 作者简历及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（3）高维统计学习中平衡估计和自适应投影推断的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 本文的研究内容 |
| 1.4 本文的创新点 |
| 第2章 测量误差模型的平衡估计 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 测量误差下的平衡估计 |
| 2.2.1 模型框架 |
| 2.2.2 相关工作 |
| 2.2.3 平衡估计 |
| 2.3 理论性质 |
| 2.4 数值模拟 |
| 2.4.1 仿真模拟1 |
| 2.4.2 仿真模拟2 |
| 2.4.3 仿真模拟3 |
| 2.5 讨论 |
| 2.6 主要定理的证明 |
| 2.6.1 定理2.2的证明 |
| 2.6.2 定理2.3的证明 |
| 2.6.3 引理及其证明 |
| 2.7 本章表格 |
| 第3章 自适应投影估计量及其增强的推断效率 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 通过自适应投影估计量的有效推断 |
| 3.2.1 模型和动机 |
| 3.2.2 自适应投影估计量 |
| 3.2.3 带有初始估计量的稳定自适应投影 |
| 3.3 理论性质 |
| 3.4 广义线性模型中的简单推广 |
| 3.4.1 稳定自适应投影估计量的一种等价形式 |
| 3.4.2 稳定自适应投影估计量在广义线性模型中的推广 |
| 3.4.3 理论性质 |
| 3.5 数值模拟 |
| 3.5.1 仿真模拟1 |
| 3.5.2 仿真模拟2 |
| 3.6 讨论 |
| 3.7 主要定理的证明 |
| 3.7.1 命题3.1的证明 |
| 3.7.2 定理3.2的证明 |
| 3.7.3 定理3.3的证明 |
| 3.7.4 引理及其证明 |
| 3.8 本章图表 |
| 第4章 真实数据分析 |
| 4.1 关于糖尿病数据集的分析 |
| 4.2 关于股票空头利率和累积收益数据集的分析 |
| 第5章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（4）关于核函数机器和生存分析的两个经典统计推断问题的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 主要符号对照表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景介绍 |
| 1.1.1 响应变量缺失下的核函数机器估计问题 |
| 1.1.2 两总体生存曲线差异的检验问题 |
| 1.2 本文的主要内容 |
| 第二章 响应变量缺失下的核函数机器估计 |
| 2.1 引言和预备知识 |
| 2.1.1 引言 |
| 2.1.2 预备知识 |
| 2.2 方法 |
| 2.2.1 基于完整数据加权的核函数机器 |
| 2.2.2 双重稳健核函数机器 |
| 2.3 理论结果 |
| 2.3.1 假设和条件 |
| 2.3.2 基于完整数据加权的核函数机器的理论结果 |
| 2.3.3 双重稳健核函数机器的理论结果 |
| 2.4 数值模拟 |
| 2.4.1 模型设置 |
| 2.4.2 模拟结果 |
| 2.5 实例分析 |
| 2.6 总结与讨论 |
| 2.7 附录 |
| 2.7.1 引理2.2.2的证明 |
| 2.7.2 定理2.2.3的证明 |
| 2.7.3 定理2.3.1的证明 |
| 2.7.4 定理2.3.2的证明 |
| 2.7.5 推论2.3.1的证明 |
| 2.7.6 定理2.3.3的证明 |
| 2.7.7 引理2.3.4的证明 |
| 2.7.8 引理2.3.5的证明 |
| 2.7.9 定理2.3.6的证明 |
| 2.7.10 推论2.3.2的证明 |
| 第三章 两总体生存曲线差异的检验 |
| 3.1 引言和预备知识 |
| 3.1.1 引言 |
| 3.1.2 预备知识 |
| 3.2 方法和理论 |
| 3.2.1 统计量及其分布 |
| 3.2.2 重抽样检验 |
| 3.3 数值模拟 |
| 3.3.1 一类误差的比较 |
| 3.3.2 功效的比较 |
| 3.4 实例分析 |
| 3.5 附录 |
| 3.5.1 引理3.5.1的证明 |
| 3.5.2 定理3.2.1–3.2.3的证明 |
| 第四章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间的研究成果及发表的论文 |
（5）Wasserstein空间上沿密度曲线的导数及其在平均场随机控制问题中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号说明 |
| 第一章 引言 |
| 1.1 Wasserstein空间上沿密度曲线的导数 |
| 1.2 部分可观测的平均场随机最优控制问题 |
| 第二章 关于密度的导数 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 关于密度导数的定义和基本性质 |
| 2.3 关于密度的导数与偏导数的关系 |
| 第三章 关于密度的导数与P_2(R~d)上的导数的关系 |
| 3.1 一维情形 |
| 3.2 多维情形 |
| 3.3 基于随机变量的密度函数的讨论 |
| 3.4 附录 |
| 第四章 带部分观测的平均场随机控制问题 |
| 4.1 状态观测系统的适定性 |
| 4.2 随机最优化问题 |
| 4.2.1 问题概述 |
| 4.2.2 变分方程 |
| 4.2.3 对偶性 |
| 4.2.4 主要计算结果 |
| 参考文献 |
| 作者简介 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（6）针对大规模高维数据的分拆再结合型统计推断方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号说明 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 高维数据的变量选择方法 |
| 1.2.2 高维线性模型的统计推断 |
| 1.2.3 大数据的分拆再结合方法 |
| 1.3 我们的研究工作 |
| 1.3.1 分拆再结合方法下高维数据的统计推断方法 |
| 1.3.2 分拆再结合方法下高维数据的同时置信区间推断方法 |
| 第2章 高维数据统计推断的分拆再结合方法 |
| 2.1 分拆再结合方法的均值bagging估计量 |
| 2.2 和相关工作的对比 |
| 第3章 分拆再结合方法下的高维数据置信区间 |
| 3.1 随机设计下高维数据低维投影估计量的置信区间 |
| 3.2 基于低维投影估计量的高维分拆再结合方法下的置信区间 |
| 3.3 分拆次数的上界及与相关工作比较 |
| 3.4 运用均值bagging估计量进行变量选择 |
| 3.5 随机模拟及其结果 |
| 3.5.1 模拟一 |
| 3.5.2 模拟二 |
| 3.6 实际数据分析 |
| 3.6.1 应用于学生表现数据 |
| 3.6.2 应用于聚合酶链反应数据 |
| 3.6.3 应用于糖尿病数据 |
| 3.7 本章相关定理的推导和证明 |
| 3.7.1 命题3.1的证明 |
| 3.7.2 定理3.2的证明 |
| 3.7.3 定理3.3的证明 |
| 第4章 高维数据分拆再结合方法下的同时置信区间 |
| 4.1 基于bootstrap辅助程序的均值bagging估计量的同时置信区间 |
| 4.1.1 基于有限元素集合的同时置信区间 |
| 4.1.2 基于大数量元素集合的同时置信区间 |
| 4.1.3 bootstrap算法的替代算法 |
| 4.2 随机模拟及其结果 |
| 4.2.1 模拟一 |
| 4.2.2 模拟二 |
| 4.3 实际数据分析 |
| 4.3.1 应用于学生表现数据 |
| 4.3.2 应用于聚合酶链式反应数据 |
| 4.3.3 应用于糖尿病数据 |
| 4.4 本章相关定理的推导和证明 |
| 4.4.1 定理4.1的证明 |
| 4.4.2 定理4.2的证明 |
| 4.4.3 引理的证明 |
| 第5章 总结与展望 |
| 5.1 本文内容总结 |
| 5.2 未来工作展望 |
| 5.2.1 高维数据测量误差模型的统计推断方法 |
| 5.2.2 分拆再结合方法在其他模型或者领域中的应用 |
| 5.2.3 关于聚合估计量的选择 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（7）次线性期望下的中心极限定理与二人零和随机微分博弈的研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 倒向随机微分方程 |
| 1.3 次线性期望空间 |
| 第二章 次线性期望下Peng中心极限定理的新证法 |
| 2.1 研究背景 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 次线性期望下Peng中心极限定理的新证法 |
| 2.3.1 相关引理 |
| 2.3.2 次线性期望下Peng中心极限定理的新证法 |
| 2.3.3 小结 |
| 第三章 二人零和随机微分博弈问题 |
| 3.1 常用的符号和空间 |
| 3.2 准备知识 |
| 3.2.1 反射随机微分方程 |
| 3.2.2 广义倒向随机微分方程 |
| 3.3 随机微分博弈和动态规划原理 |
| 3.4 Isaacs方程的粘性解 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（8）格中困难问题的归约及格上密码算法的分析与设计（论文提纲范文）
| 摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 LWE问题背景简介 |
| 1.2 NTRU问题背景简介 |
| 1.3 我们的主要工作以及文章的章节安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 代数数域与空间H |
| 2.2 分圆域 |
| 2.3 格,理想格与模格 |
| 2.4 高斯分布与“任意”距离 |
| 2.5 SIS问题与LWE问题 |
| 第三章 判定版本的模LWE到环LWE的归约 |
| 3.1 矩阵在R~d上的作用 |
| 3.2 标准形式的模LWE问题的困难性 |
| 3.3 Nor-D-MLWE到Nor-S-MLWE的归约 |
| 3.4 Nor-S-MLWE到S-RLWE的归约 |
| 3.5 S-RLWE到D-RLWE的归约 |
| 3.5.1 解决方案1: 利用已知的结果 |
| 3.5.2 解决方案2: 利用环LWE问题的自归约 |
| 3.6 D-MLWE到模SIVP问题的逆归约 |
| 第四章 任意分圆域上的可证明安全的NTRU加密体制 |
| 4.1 q-Ary格的一些新结果 |
| 4.2 可证明安全的NTRUEncrypt的构造 |
| 第五章 分圆域上的抗碰撞的原像取样函数及其应用 |
| 5.1 密钥生成算法 |
| 5.1.1 关于Dedekind Zeta函数及相关结论的一些引理 |
| 5.1.2 NTRU格 |
| 5.1.3 密钥生成算法 |
| 5.2 分圆域中的抗碰撞的原像取样函数 |
| 5.2.1 CRPSF的基本定义 |
| 5.2.2 分圆域上的抗碰撞的原像取样函数的具体构造 |
| 5.2.3 Claw-free的抗碰撞的原像取样函数 |
| 5.3 CRPSF的应用 |
| 5.3.1 可证明安全的NTRUSign |
| 5.3.2 基于NTRU的可证明安全的IBE |
| 5.3.3 基于NTRU的可证明安全的IBS |
| 附录A 定理4.3的证明 |
| 附录B 分圆域中L(2)和ζK(2)的讨论 |
| 附录C 拒绝采样算法 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简介 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（9）高中数学资优生数学推理能力的调查研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究意义与价值 |
| 1.3 研究问题 |
| 第2章 文献综述 |
| 2.1 数学资优生 |
| 2.1.1 资优生的界定 |
| 2.1.2 数学资优生的界定 |
| 2.1.3 数学资优生的特点 |
| 2.1.4 有关资优教育和资优生的相关研究 |
| 2.2 数学推理能力 |
| 2.2.1 推理和数学推理 |
| 2.2.2 数学推理能力 |
| 2.2.3 数学推理的内涵与分类 |
| 2.2.4 数学推理与教学价值 |
| 第3章 研究的方法与过程 |
| 3.1 研究对象的选取 |
| 3.2 研究方法与工具 |
| 3.2.1 研究方法 |
| 3.2.2 研究过程与步骤 |
| 3.2.3 高中资优生数学推理能力的评定方案 |
| 3.2.4 测试卷的编制说明 |
| 第4章 研究结果分析 |
| 4.1 测试卷中客观题的数据处理 |
| 4.1.1 测试卷中客观题的编码 |
| 4.1.2 对编码的分析及数学推理能力水平分析 |
| 4.2 测试卷中主观题的分析 |
| 4.3 数学推理能力性别差异分析 |
| 4.4 访谈结果分析 |
| 4.4.1 教师访谈的过程与结果分析 |
| 4.4.2 学生访谈的过程与结果分析 |
| 第5章 研究结论与教学建议 |
| 5.1 研究结论 |
| 5.1.1 测试卷的研究结果 |
| 5.1.2 数学推理能力性别差异的研究结果 |
| 5.1.3 访谈的研究结果 |
| 5.2 教学建议 |
| 第6章 结语 |
| 6.1 研究中的不足 |
| 6.2 需要进一步研究的地方 |
| 参考文献 |
| 附录1 数学推理能力测试卷 |
| 附录2 测试卷客观题参考答案 |
| 附录3 教师访谈简要提纲 |
| 致谢 |
（10）基于模型约化方法的随机最优控制问题的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 国内外研究现状以及分析 |
| 1.3 基础知识与本文记号 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 第2章 模型约化方法 |
| 2.1 广义多尺度有限元方法 |
| 2.1.1 基本介绍 |
| 2.1.2 收敛性分析 |
| 2.2 降基方法 |
| 2.2.1 基本介绍 |
| 2.2.2 随机椭圆方程的贪婪取样方法 |
| 2.3 变量分离方法 |
| 第3章 椭圆特征值问题的收敛性分析 |
| 3.1 椭圆特征值问题 |
| 3.2 收敛性分析 |
| 3.2.1 特征函数的能量误差估计 |
| 3.2.2 特征函数的L2误差估计 |
| 3.2.3 特征值的相对误差估计 |
| 3.3 数值实验 |
| 3.3.1 椭圆特征值问题Ⅰ:p(x)=0 |
| 3.3.2 椭圆特征值问题Ⅱ:p(x)≠0 |
| 3.4 章节小结 |
| 第4章 受线性椭圆方程控制的随机最优控制问题 |
| 4.1 随机最优控制问题 |
| 4.1.1 优化解的存在唯一性 |
| 4.1.2 随机最优控制问题的有限元逼近 |
| 4.2 随机最优控制问题的全局模型约化 |
| 4.2.1 随机最优控制问题的降基方法 |
| 4.2.2 降基优化系统以及离线-在线计算 |
| 4.3 随机最优控制问题的局部-全局模型约化 |
| 4.3.1 局部-全局模型约化方法 |
| 4.3.2 随机最优控制问题的贪婪取样方法 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 分布式随机最优控制问题 |
| 4.4.2 定义在随机区域上的随机最优控制问题 |
| 4.4.3 纽曼边界最优控制问题 |
| 4.5 章节小结 |
| 第5章 受抛物方程控制的随机最优控制问题 |
| 5.1 基本概念 |
| 5.1.1 受抛物方程控制的随机最优控制问题 |
| 5.1.2 拉格朗日泛函构造 |
| 5.1.3 随机最优控制问题的有限元近似 |
| 5.2 随机最优控制问题的变量分离方法 |
| 5.3 随机最优控制问题的多保真模型约化方法 |
| 5.4 随机最优控制问题的杂交模型约化方法 |
| 5.5 数值实验 |
| 5.5.1 随机抛物方程 |
| 5.5.2 分布式随机最优控制问题 |
| 5.5.3 纽曼边界随机最优控制问题 |
| 5.6 章节小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 攻读学位期间所发表的学术论文目录 |
四、概率方法在不等式证明中的应用（论文参考文献）
- [1]多维数据上近似聚集和最近邻查询的高效算法[D]. 胡欢. 哈尔滨工业大学, 2021(02)
- [2]面向教师教育的数学知识研究 ——以S市高中数学教研员为例[D]. 沈中宇. 华东师范大学, 2021(08)
- [3]高维统计学习中平衡估计和自适应投影推断的研究[D]. 李阳. 中国科学技术大学, 2021(06)
- [4]关于核函数机器和生存分析的两个经典统计推断问题的研究[D]. 刘田田. 华东师范大学, 2020(05)
- [5]Wasserstein空间上沿密度曲线的导数及其在平均场随机控制问题中的应用[D]. 梁昊. 山东大学, 2020(04)
- [6]针对大规模高维数据的分拆再结合型统计推断方法[D]. 张家睿. 中国科学技术大学, 2020(06)
- [7]次线性期望下的中心极限定理与二人零和随机微分博弈的研究[D]. 张自武. 山东大学, 2020(01)
- [8]格中困难问题的归约及格上密码算法的分析与设计[D]. 王洋. 山东大学, 2020(12)
- [9]高中数学资优生数学推理能力的调查研究[D]. 兰彧. 华东师范大学, 2020(11)
- [10]基于模型约化方法的随机最优控制问题的研究[D]. 马玲玲. 湖南大学, 2020(08)