一、关于四元数体上自共轭矩阵的行列式和迹的几个定理（论文文献综述）
陈香萍[1]（2009）在《四元数体上矩阵数值特征的研究》文中研究说明四元数（Quaternion）是由威廉·卢云·哈密顿（William Rowan Hamilton, 1805-1865）1843年在爱尔兰发现的数学概念。明确地说,四元数是继复数后又一新的数系,四元数体上代数是复数域代数的扩展。然而由于四元数乘法的不可交换性,造成了它与复数域上的代数理论既有一定的联系,又有很大的差别,形成了相对独立的内容体系,四元数代数问题涉及抽象的理论研究与具体的实践应用两个方面。一个半世纪以来,数学家和物理学家们对四元数的研究一直没有停止过。尤其近30年来,四元数体上代数问题已经引起了数学和物理研究工作者的广泛兴趣,四元数体上的许多问题已经被研究,比如四元数体上的多项式、行列式、特征值的定位与估计、四元数代数方程等。不仅仅由于四元数乘积的非交换特性这一现象引起了人们对四元数代数问题的广泛兴趣,同时还因为四元数本身在众多的应用问题中也存在广泛的联系,例如:四元数在量子力学,刚体力学方面的应用,在计算机图形图像处理和识别方面的应用,在空间定位方面的应用等等,也促使人们对四元数代数问题加以研究。本学位论文较为系统地分析了四元数体上一些重要的代数特征,主要研究内容包括以下几点:⑴.对四元数矩阵的对角化进行研究,借助于实数域与复数域上的矩阵同时对角化的一些结论及方法,同时根据四元数本身的特性加以改进,获得了四元数体上正规矩阵与自共轭矩阵矩阵同时对角化的充要条件。最后本章又研究了几类比较特殊的矩阵同时对角化的问题。⑵.在四元数体上正规矩阵概念以及相似分解的基础上,给出了四元数正规矩阵的一些性质和判定准则。同时,还利用弱直积的性质得到了四元数正规矩阵酉相似于准对角矩阵的充分条件。最后讨论了四元数体上正规矩阵特征值不等式的几个定理,给出了正规矩阵右特征值实部上下界的一个估计以及右特征值范数上下界的一个估计。⑶.借助于四元数体上斜自共轭矩阵的概念,给出了斜自共轭四元数矩阵的一些性质与判定准则,得到了斜自共轭四元数矩阵的实表示、酉相似分解以及特征值的几个定理。⑷.借助实数域与复数域上的有关迹的几个不等式的性质,同时根据四元数本身的特性加以改进得到了四元数体上矩阵迹的几个不等式。
陈邦考[2]（1995）在《关于四元数体上自共轭矩阵的行列式和迹的几个定理》文中研究表明本文采用分析和代数的方法得到了四元数体上自共轭矩阵的行列式和迹的几个定理，推广和改进了文［３］，文［５］相类定理的结果。
庄瓦金[3]（2007）在《谢邦杰教授对体上矩阵理论研究的贡献及其在中国的进展》文中进行了进一步梳理注意到体上矩阵研究的价值与困难,综述了谢邦杰教授1978-1982年关于体上矩阵相似标准形、弱标准形刻画定理,可中心矩阵的特征值基础、行列式方案,以及自共轭四元数矩阵的行列式理论等研究成果;进而阐述了1980年以来中国学者在这些成果基础上对体上矩阵的秩、相似标准形理论、四元数矩阵行列式、自共轭四元数矩阵,以及体上矩阵方程与广义逆矩阵等研究的进一步推进。
张树青,杨国庆,吕蕴霞[4]（1997）在《关于四元数自共轭矩阵乘积迹和特征值的几个定理》文中进行了进一步梳理给出四元数自共轭矩阵乘积迹的几个定理及特征值之界的几个新估计，在四元数体上改进和推广了文［１－１２］的相应结果
郝稚传[5]（1985）在《四元数自共轭矩阵与行列式的几个定理》文中进行了进一步梳理 本文继续使用文献[1],[2],[3],[4],[5]的符号和术语。对四元数体Q上的自共轭矩阵与行列式进行讨论得到几个重要定理。为此,先作几点说明。 2.设A为四元数体Q上的一个n阶矩阵,若A=(即,A=aij,aij∈Q。恒有aij=aji)。则说A是四元数体Q上的一个自共轭矩阵。自共轭四元矩阵A的行列式记为‖A‖。
伍俊良[6]（2008）在《实四元数体上代数特征值分布与估计及奇异值分解研究》文中研究指明代数与数值代数是计算数学研究的两个重要方面,四元数体上代数是复数域代数的扩展。然而,由于四元数乘法的不可交换性,造成了它与复数域上的代数理论既有一定的联系,又有很大的差异,形成相对独立的内容体系,四元数代数问题涉及抽象的理论研究与具体的实践应用两个方面。近年来,四元数代数问题已经引起了数学和物理研究工作者的广泛兴趣,四元数体上代数的许多问题已经被研究,比如四元数体上的多项式,行列式,特征值和四元数代数方程组等。由于四元数乘法的不可交换性,造成了对四元数代数问题研究的困难。然而四元数代数理论变得日益重要。许多应用科学领域,比如物理学,图形图像识别,飞船姿态定位,3-D动画等等,人们开始使用四元数代数理论解决许多实际的问题。因此这使得人们需要对四元数代数理论作深入的研究。理论上,四元数体上许多代数问题需要人们研究和解决,比如四元数矩阵特征值的分布与估计问题,四元数多项式问题,四元数矩阵奇异值分解问题,四元数代数方程组的解的问题,四元数矩阵标准形和正定性问题等等,均需要深入的研究。本博士学位论文较为系统地分析了四元数体上一些重要的代数特征,论文通过在四元数体上建立四元数范数和广义球邻域概念,对四元数矩阵特征值的广义球邻域分布与定位、特征值球邻域的连通性和非连通性、特征值的最小球邻域包含问题,特征值的矩、实部与虚部的上下界估计进行了研究,获得了相应问题的一些定理。进而考虑到四元数乘法的不可交换性,对四元数矩阵的左特征值和右特征值的分布与估计进行了研究,得到一些有意义的结果。借助于自共轭四元数矩阵的性质,研究自共轭四元数矩阵和、差及张量积的特征值关系问题,获得了一些不等式定理。论文在推广了的Gerschgorin定理的基础上,解决了Cassini卵形定理在四元数体上的形式问题。论文研究了四元数体上两类特殊乘积即Kronecker乘积和Hadamard乘积的奇异值分解问题,获得一些奇异值分解定理和迹范数不等式。此外,论文将各种文献中研究的正定矩阵归结为四种类型,即Ⅰ型正定、Ⅱ型正定、Ⅲ型正定和Ⅳ型正定,并将相应类型正定矩阵的集合记为, SⅠ（M）, SⅡ（M）, SⅢ（M） and SⅣ（M） ,分别就复数域和四元数体上的四元数正定矩阵集合的关系进行了研究,获得四类正定矩阵的一些判定定理。最后,为了阐明四元数代数问题研究的广泛性,论文还研究了四元数体上的其它一些代数问题,如四元数正规矩阵的对角化问题,新型的Gerschgorin定理问题、新型的Ostrowski定理和新型的Brauer定理等,它们是对复数域上相关定理在四元数体上的推广与拓展。
武传东[7]（2009）在《四元数体上代数的若干矩阵问题研究》文中进行了进一步梳理四元数是继复数后又一新的数系,四元数体上代数是复数域上代数的扩展。然而,由于四元数乘法的不可交换性,造成了它与复数域上的代数理论既有一定的联系,又有很大的差别,形成相对独立的内容体系。近年来,四元数代数问题已经引起了数学和物理研究工作者的广泛兴趣。四元数体上代数问题的许多问题已经被研究,比如四元数体上的多项式、行列式、特征值和四元数代数方程组等。然而,四元数体上许多代数问题还需要人们进行进一步的研究,比如四元数矩阵特征值的估计与对角化、四元数矩阵的广义特征值分布与估计、四元数右线性方程组解的扰动性估计问题、四元数矩阵的次亚正定性问题、四元数矩阵方程的可解性问题等等。本文较为系统地分析了四元数体上一些重要的代数特征,主要内容和创新点包括:1.在四元数体上根据特征值的基本概念,将复数域上着名的Gerschgorin圆盘定理推广到四元数体上。由于四元数乘法的不可交换性,得到两种形式的四元数矩阵特征值分布定理,研究了四元数体上严格对角占优矩阵特征值的一些性质。同时给出了四元数矩阵广义特征值的定义,讨论了四元数矩阵左右广义特征值的性质,得到四元数正则矩阵束的广义特征值为实数的结论。获得了估计四元数矩阵广义特征值的Gerschgorin型定理,利用广义瑞利商这一有效的工具,获得了四元数矩阵广义特征值的上下界估计定理。2.对四元数矩阵的对角化进行研究,获得了四元数矩阵可对角化的充要条件,并指出了四元数矩阵的对角化与实（复）数域上矩阵对角化的区别,说明了四元数体上的矩阵性质与实（复）数域上矩阵性质的差异。3.本文在谱半径概念的基础上,讨论了谱半径的估计。4.借助于四元数向量和四元数矩阵的范数理论解决了四元数矩阵求逆、线性方程组的误差估计问题。5.对于次对角线方向上的情形,即四元数体上次亚正定矩阵,本文也作了一些研究,得到一些重要结果。6.矩阵的Kronecker积是一种重要的矩阵乘积,由于四元数乘法的不可交换性,因此,四元数矩阵的Kronecker积性质有所不同于实（复）数矩阵的Kronecker积性质。利用四元数矩阵的Kronecker积这一有效的工具,研究了Lyapunov四元数矩阵方程与Stein四元数矩阵方程的可解性问题。
陈邦考[8]（1995）在《关于四元数体上矩阵迹的几个定理》文中认为本文给出四元数体上矩阵迹的几个定理，有的可作为文［１］相应定理的推广结果。
陈邦考[9]（1995）在《关于四元数矩阵的几个不等式》文中提出本文采用分析和代数的方法给出了四元数体上自共轭矩阵的几个不等式，推广和改进了类似文章相应定理的结果。
杨忠鹏[10]（2006）在《弱Hadamard积的行列式下界估计的Oppeheim不等式》文中进行了进一步梳理指出按通常的复数域或实数域上的方式来定义实四元数体上的矩阵的Hadamard积,在这样的乘积下正定自共轭四元数矩阵是不封闭的。给出了半正定自共轭四元数矩阵与半正定自共轭实矩阵的弱Hadamard积的行列式的下界估计。
二、关于四元数体上自共轭矩阵的行列式和迹的几个定理（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、关于四元数体上自共轭矩阵的行列式和迹的几个定理（论文提纲范文）
（1）四元数体上矩阵数值特征的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 四元数的研究现状 |
| 1.2 四元数的研究意义 |
| 1.3 本学位论文的主要研究目的和内容 |
| 1.3.1 本学位论文的主要研究目的 |
| 1.3.2 本学位论文的主要研究内容 |
| 1.4 本章小结 |
| 2 四元数及四元数矩阵概述 |
| 2.1 四元数的定义与性质 |
| 2.2 四元数矩阵的定义与性质 |
| 3 四元数体上矩阵的同时对角化问题研究 |
| 3.1 引言与符号约定 |
| 3.2 一些定义和引理 |
| 3.3 正规矩阵与自共轭矩阵的同时对角化问题 |
| 3.4 几类特殊的同时对角化问题 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 四元数体上正规矩阵的几个定理 |
| 4.1 一些定义和引理 |
| 4.2 主要结果 |
| 4.3 本章小结 |
| 5 四元数体上斜自共轭矩阵的几个定理 |
| 5.1 定义与引理 |
| 5.2 主要结果 |
| 5.3 本章小结 |
| 6 关于四元数矩阵迹的几个不等式 |
| 6.1 引言与符号约定 |
| 6.2 一些定义和引理 |
| 6.3 主要结果 |
| 6.4 本章小结 |
| 7 结论与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
（3）谢邦杰教授对体上矩阵理论研究的贡献及其在中国的进展（论文提纲范文）
| 1 体上矩阵研究的价值及其困难 |
| 1.1 价值 |
| 1.2 困难 |
| 2 谢邦杰教授对体上矩阵理论研究的贡献 |
| 2.1 相似标准形 |
| 2.2 特征值基础 |
| 2.3 行列式方案 |
| 2.4 自共轭四元数矩阵 |
| 3 80年代以来中国学者对体上矩阵的若干研究 |
| 3.1 若干基础论题 |
| 3.1.1 相抵不变量——秩及其相关结果 |
| 3.1.2 相似标准形论题 |
| 3.1.3 四元数行列式方案 |
| 3.1.4 四元数矩阵的特征值论题 |
| 3.1.5 自共轭四元数矩阵 |
| 3.2 矩阵方程与广义逆 |
| 3.2.1 矩阵方程 |
| 3.2.2 广义逆 |
| 3.3 偏序理论 |
（6）实四元数体上代数特征值分布与估计及奇异值分解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 四元数体上代数问题的提出及研究意义 |
| 1.1.1 四元数体上代数问题的提出 |
| 1.1.2 四元数体上代数问题研究的重要意义 |
| 1.2 国内外对于四元数体上代数的研究现状 |
| 1.2.1 国内外对于四元数体上代数的理论研究现状与内容体系 |
| 1.2.2 国内外对于四元数体上代数的应用研究现状与主要内容 |
| 1.3 本论文研究的目的和研究内容 |
| 1.3.1 本论文研究的目的 |
| 1.3.2 本论文研究的主要内容 |
| 1.3.3 本论文的研究方法、技术路线与可行性分析 |
| 1.4 本章小结 |
| 2 四元数体上矩阵特征值的分布与估计方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 四元数体上矩阵特征值的分布定理 |
| 2.3 四元数矩阵特征值的一些估计定理 |
| 2.4 本章小结 |
| 3 四元数矩阵特征值定位、球邻域分隔及最小包含问题研究 |
| 3.1 基本概念 |
| 3.2 几个基本结论 |
| 3.3 体上矩阵特征值分隔定理与最小包含定理 |
| 3.4 体上中心封闭矩阵特征值分隔定理与最小包含定理 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 四元数体上矩阵特征值不等式及Brauer 与Cassini 分布 |
| 4.1 引言与符号约定 |
| 4.2 一些定义和引理 |
| 4.3 四元数体上自共轭矩阵和与差的特征值不等式 |
| 4.4 四元数矩阵特征值的Brauer 与Cassini 型分布定理 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 四元数体上矩阵奇异值分解与迹范数关系问题研究 |
| 5.1 引言与符号 |
| 5.2 四元数体上矩阵左弱Kronecker 积的一些奇异值分解定理 |
| 5.3 四元数矩阵范数、迹与奇异值不等式 |
| 5.4 本章小结 |
| 6 四元数体上四类广义正定矩阵研究 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 复数域上矩阵正定性问题研究 |
| 6.3 四元数体上广义正定矩阵研究 |
| 6.4 本章小结 |
| 7 四元数体上其他代数问题的研究 |
| 7.1 四元数矩阵稳定性概念及其判定 |
| 7.2 四元数体上一些代数特征值分布问题的扩展 |
| 7.3 四元数体上盖尔斯果林定理在数值代数中的应用 |
| 7.4 本章小结 |
| 8 结论综述 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| A. 作者在攻读学位期间发表的论文目录 |
| B. 作者在攻读学位期间取得的科研成果目录 |
（7）四元数体上代数的若干矩阵问题研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 1 绪论 |
| 1.1 四元数体上代数问题的提出及研究意义 |
| 1.1.1 四元数体上代数问题的提出 |
| 1.1.2 四元数体上代数问题研究的重要意义 |
| 1.2 国内外对于四元数体上代数的研究现状及难点 |
| 1.2.1 国内外对于四元数体上代数的理论研究现状 |
| 1.2.2 国内外对于四元数体上代数问题的应用研究现状 |
| 1.2.3 四元数体上矩阵代数研究的难点 |
| 1.3 本论文研究的目的和研究内容 |
| 1.3.1 本论文研究的目的 |
| 1.3.2 本论文研究的主要内容 |
| 1.4 本章小结 |
| 2 四元数基本知识 |
| 2.1 四元数的定义及其运算性质 |
| 2.2 四元数的模及其复数表示 |
| 2.2.1 四元数的模 |
| 2.2.2 四元数的逆元 |
| 2.2.3 四元数的复数表示 |
| 2.3 四元数体的概念 |
| 2.4 本章小结 |
| 3 四元数矩阵代数方法及其研究 |
| 3.1 四元数矩阵的基本知识 |
| 3.1.1 四元数矩阵基本运算及其性质 |
| 3.1.2 四元数矩阵的复分解式与导出阵 |
| 3.2 四元数矩阵的相似关系 |
| 3.2.1 基本概念 |
| 3.2.2 相似关系的主要结果 |
| 3.3 四元数矩阵的合同关系 |
| 3.3.1 基本概念 |
| 3.3.2 合同关系的主要结果 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 四元数矩阵的特征值估计及其对角化研究 |
| 4.1 四元数矩阵的特征值性质与估计 |
| 4.2 四元数矩阵对角化的研究 |
| 4.3 本章小结 |
| 5 四元数矩阵广义特征值的分布与估计 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 准备知识 |
| 5.3 四元数矩阵正则矩阵束广义特征值的估计 |
| 5.4 四元数矩阵亚正则矩阵束广义特征值的估计 |
| 5.5 四元数矩阵广义特征值估计的 Gerschgorin 型定理 |
| 5.6 本章小结 |
| 6 四元数矩阵谱半径的估计 |
| 6.1 基本概念 |
| 6.2 谱半径估计的主要结果与证明 |
| 6.3 本章小结 |
| 7 四元数右线性方程组Ax= b 解的扰动性估计 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 一些基本概念和引理 |
| 7.3 四元数扰动矩阵求逆的误差估计定理 |
| 7.4 四元数右线性方程组Ax= b 解的扰动性估计定理 |
| 7.5 本章小结 |
| 8 四元数体上次亚正定矩阵的性质及判定 |
| 8.1 基本定义 |
| 8.2 四元数体上次亚正定矩阵研究的主要结果 |
| 8.3 本章小结 |
| 9 四元数矩阵的直积及其应用 |
| 9.1 四元数矩阵直积的定义和性质 |
| 9.2 两类四元数矩阵方程的可解性研究 |
| 9.2.1 四元数矩阵的拉直及其与四元数矩阵直积的关系 |
| 9.2.2 四元数矩阵方程的可解性 |
| 9.3 本章小结 |
| 10 结论综述 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
（10）弱Hadamard积的行列式下界估计的Oppeheim不等式（论文提纲范文）
| 0 引言 |
| 1 关于文[1]的相应结论 |
| 2 主要结果 |
四、关于四元数体上自共轭矩阵的行列式和迹的几个定理（论文参考文献）
- [1]四元数体上矩阵数值特征的研究[D]. 陈香萍. 重庆大学, 2009(12)
- [2]关于四元数体上自共轭矩阵的行列式和迹的几个定理[J]. 陈邦考. 工科数学, 1995(04)
- [3]谢邦杰教授对体上矩阵理论研究的贡献及其在中国的进展[J]. 庄瓦金. 黑龙江大学自然科学学报, 2007(05)
- [4]关于四元数自共轭矩阵乘积迹和特征值的几个定理[J]. 张树青,杨国庆,吕蕴霞. 数学研究与评论, 1997(02)
- [5]四元数自共轭矩阵与行列式的几个定理[J]. 郝稚传. 数学研究与评论, 1985(04)
- [6]实四元数体上代数特征值分布与估计及奇异值分解研究[D]. 伍俊良. 重庆大学, 2008(06)
- [7]四元数体上代数的若干矩阵问题研究[D]. 武传东. 重庆大学, 2009(12)
- [8]关于四元数体上矩阵迹的几个定理[J]. 陈邦考. 安徽建筑工业学院学报(自然科学版), 1995(02)
- [9]关于四元数矩阵的几个不等式[J]. 陈邦考. 合肥工业大学学报(自然科学版), 1995(02)
- [10]弱Hadamard积的行列式下界估计的Oppeheim不等式[J]. 杨忠鹏. 莆田学院学报, 2006(05)