一、构造法证组合恒等式（论文文献综述）
丁德麟[1]（1985）在《构造法证组合恒等式》文中提出 组合恒等式的证明是教学中的一个难点。有关书刊上一般都介绍了利用组合数公式、组合数性质、数学归纳法、二项式定理等很多证法。本文将探讨一种新的证明方法,即构造法证明组合恒等式。一、构造法证明思想的缘起让我们先看两个简单的组合问题例1、从n个不同元素中取出m个元素并成一组,有多少不同的方法? 解法一、设取法有N种。由组合数定义,得N=cnm 解法二、先从n个不同元素中选定n-m个,然后再将其余的m个元素取出,则N=cnn-m 解法三、设这n个不同元素为α1、α2、…αm。从中取出m个元素有如下两类办法:即取出的m个元素中含有α1或不含α2两类。若含有α1,则应从其余的n-1个元素中再取出m-1个元素,有cn-1m-1种方法;若不含α1,则应从其余的n-1个元素中取出m个元素,有cn-1m种方法。由加法原理,得N=cn-1m-1+cn-1m。
薛展充[2]（2007）在《竞赛数学中的组合恒等式》文中研究表明本文论述了竞赛数学与组合数学，特别是组合恒等式之间的关系，综述了竞赛数学中证明组合恒等式的几种常用方法与技巧，对组合恒等式在竞赛数学中的应用进行分类讨论和综述，并就竞赛数学中有关组合恒等式的问题的发展进行前景预测和推广，提出了一些个人见解。
左加林[3]（1992）在《组合恒等式证明的方法与技巧》文中研究表明本文从模式建构的角度着眼,系统阐述了组合恒等式的证明方法,并深刻揭示了各种方法之间的内在有机联系。
刘建军[4]（2003）在《组合学史若干问题研究》文中研究说明组合学是现代数学学科中发展较快的一个分支，它虽然在20世纪60年代才独立成为数学的一个分支，但其发展历史却是悠久的。本文分六个部分论述了它的历史发展。 一、从三个方面论述了组合学思想的东方起源。出现于中国的3阶幻方是组合设计的最早特例，在印度、阿拉伯等国家对幻方也有较早的研究。组合学中最基本的排列、组合形式的事例在东方历史上大量出现。那些古老的富有益智性的数学游戏为组合学早期的发展提供了大量的研究素材。古代东方世界在这些方面的研究事例远远多于当时的西方世界，这充分说明了组合思想根源于东方世界的沃土中。 二、考察了中世纪数学家对组合学相关内容的研究，主要体现在排列、组合公式的探求，确立算术三角形和构作幻方三个专题。对这些专题的研究，东西方各有贡献。 三、用现代组合符号解释了中国朱世杰的《四元玉鉴》中垛积招差部分和帕斯卡的《论算术三角形》内容，指出这两部著作是东、西方对组合恒等式研究的较早的系统论著。同时从二项式公式、反演公式及分拆公式三个角度论述了近现代对组合恒等式的寻求和证明。 四、以专题的形式讨论了经典计数问题中一些最基本内容的产生历史及其发展过程。（1）早期对一些计数函数的研究是引入组合学研究方法的重要内容，如Fibonacci数、Catalan数和Stirling数等经典计数函数；（2）对东西方历史上对幂和问题的研究作了较详细的考察，指出了形数法和垛积术在求幂和公式中的作用，特别地给出了费马、帕斯卡和福尔哈勃计算幂和的方法；（3）对整数分拆的历史发展过程作了较详细的论述，包括从莱布尼兹到欧拉、以及欧拉之后研究整数分拆的进展等；（4）讨论了在组合学中引入容斥原理和递推方法的“错位排问题”的发展；（5）分析了组合计数理论中重要的定理——波利亚计数定理产生的历史，讨论了波利亚得出这一定理的方法。 五、阐述了组合设计理论中几个重要内容的产生和发展。（1）详述了18世纪中期提出的区组设计问题以及这些问题出现的多种形式及解决方法；（2）对组合设计中正交拉丁方的历史予以阐述，分析了拉丁方问题的研究中欧拉猜想和麦克奈希猜想的作用；（3）简述了有限射影几何及有限域在组合设计中的意义及其对组合设计理论发展的推动作用。 六、对现代组合学中较抽象化的内容——组合集论予以讨论，主要论述了拉姆齐理论及相异代表系发展历史的主要脉络。
张先波[5]（2019）在《中学数学思想的培养研究 ——基于深度教学的视角》文中指出从原始的结绳记事,到对于数与形的重视;从楔形文字、象形文字的表达,到初等数学符号的出现;从面向生活实践的零散数学规律,到系统性的数学学科体系。数学这门古老的学科,在迈过其漫长的发展历史之后,在学校教学的过程中继续生根发芽。作为学校教育中的一门基础性学科,数学不仅致力于传递古今中外的数学知识和定律,更重要的是在与学校生活中其他学科的交融过程中,使学生通过知识的学习,领会数学思想,感悟数学之美。曾有学者指出,数学是关于美的学科,数学是关于艺术的学科,数学是不断反思发展的学科。数学之美,体现在其数字的变幻之美,体现在数学公式的平衡之美,体现在数学发现的探索之美,同时也蕴含在学生学习数学过程中所体会到的获得之美。数学同时还是关于思想的学科,历代数学家根据自己对相关数学领域的研究,不断充实数学思想库,在传承与创新的过程中实现数学学科的不断发展。关于数学是一门艺术还是一门科学性学科的争论至今仍然存在,数学是一门艺术体现在数学通过艺术化的语言、简练的公式表达,使得数学思想得以发展,数学学科也称为学科发展史上的一朵奇葩。数学是一门科学,数学的语言及表达要求精确而凝练地指出相应的意图,要求数学学习者和研究者对于相应数学思想的深刻化理解,并在此基础上做到运用时的精准化。数学同时是一门生活化的学科,原始的数学便发端于人们对于生活问题的解决过程。如古埃及数学文明的发展,便是由于尼罗河三角洲的河道淤积以及洪水泛滥等问题,迫使数学家开始研究淤积的面积,并提供相应的预测。数学的发展往往受到社会经济发展的影响,数学发展的每一个重要阶段必然伴随着社会发展的需要,并且也在顺应社会的需求。这一点在近现代数学发展史中得到了印证,尤其是在现代社会中数学与信息技术的融合,以及基础数学研究的日益专门化和数学教育的大众化等趋势,均是数学与社会经济发展相适应的表现。无论是古典时期阿基米德的几何《原本》,还是现代数学家所取得的重要成就和关键突破,均为数学的发展画上了浓墨重彩的一笔。当前数学的发展,除了需要数学家和相关研究者持续不断的努力,同时需要学校教育培养出对数学感兴趣、能够领悟数学之美的人才。学校教育的产生,在人类历史上无疑是具有划时代意义的事件,它使得人类文明的传承有了相对规范化和制度化的途径。学校教育的产生以及与之相伴随的学科教育的发展,使得人类发展史上的重要成果能够分门别类的进行传递和发展。正如学者所言,我们的数学教育并非是使每个孩子的都成为数学家,而是要在他们心中埋下数学的种子,使他们感悟和理解数学之美。学科教学的过程,不应当只是知识的传递过程,更重要的是学科教学应该成为思想领悟的过程,成为数学知识向数学思想跨越的过程。数学知识的学习是数学思想领悟与获得的基础,是数学深度学习达成的必要前提。基于深度教学的视角探讨中学数学思想的培养过程意味着,从知识观、学习观和教学观等方面进行中学主要数学思想进行培养。从深度教学的视角而言,知识的结构分为符号表征、逻辑结构和意义系统三个层次。数学知识教学过程中,应当是超越知识的符号性教学和表层化教学,进而深入到知识的内部结构之中,使学生在领悟数学学科知识的结构的基础之上,获得数学思想的熏陶。从数学知识到数学思想,不仅是数学教学的飞跃式发展,同时也是教学走向深度的必然要求。当前对于学生关键能力和核心素养培养的重视,最终需要回归到各个学科教学的过程中来,通过学科教学逐步渗透相应的学科思想,培养学生优秀的学科思维,进而促使学科能力和学科素养的提升。尤其是对于中学数学教学而言,中学处于义务教育阶段是学生相应学科思想学习的黄金时期,这一阶段的数学思想学习尤其需要引起教师和学生的重视,课堂教学应当以学科思想,即重要的数学思想为线索,将数学知识串点成线成面。学生的数学学习过程,经由学科思想的浸润,通常能够加深对于数学学科的认识,加深对数学知识的理解以及促进其对于学科结构的把握。因而,数学思想的教学之于数学教学过程而言至关重要,从数学知识到数学思想的跨越是当前课堂教学应当关注的重点。同时,如何在中学教学过程中培养学生的数学思想以及数学思维品质,也是一线教师及研究者应关注的的问题之一。
黄娟娟[6]（2011）在《探究概率在证明组合恒等式中的应用》文中研究指明本文研究用概率方法,针对待证明的恒等式,构造适当概率模型,再运用概率论的有关性质、公式、结论和数学特征等,计算出所构设模型中相关事件的概率,进而推导出欲证结论,使组合恒等式的证明更加简便极容易掌握。
邓秀芬[7]（2011）在《球盒模型的概率问题及其组合恒等式》文中进行了进一步梳理利用球盒模型来研究组合恒等式,目的是寻找和证明组合恒等式,用不同的方法计算此类问题,得到不同的等式,即组合恒等式,主要内容如下:球盒模型是指n个球随机放入m个盒子的数学模型。尽管看上去这仅仅是一个普通的组合或概率问题,但里面包含着许多组合工具,如发生函数、整数分拆、Stirling数等。选择这个问题讨论对象（或情况不同）,会产生许多有趣的组合结论（主要是组合恒等式）,实际上包括一个组合恒等式的组合解释。因为一个等式的新的组合解释具有很高的理论与实际应用价值,以本文就是由不同的方法,把组合数学的知识与概率知识相结合得到不同的组合恒等式作为创新点。
郭纪云[8]（2010）在《组合数学中构造法的应用》文中指出利用构造思想巧妙地构造出不同的数学模型,从而证明了加法原理和一些重要的组合恒等式,并解决了鸽巢原理的一个应用问题.
廖顺宏[9]（2000）在《组合恒等式证明的几种途径》文中研究表明
张苏杭[10]（2021）在《二项式定理在高中数学的教学与创新思维的培养》文中指出二项式定理是高中数学学习的一个重要定理,是高中学习概率统计的预备知识和课程教学的基本内容。二项式定理对学生的逻辑推理能力和数学运算能力的提高具有很大的帮助,本文主要针对人教版教科书中的二项式定理内容,结合相关文献以及国内外早期教科书的阅读研究,通过在创新性思维研究的视野下,进行二项式定理教学,旨在研究出一系列更加适合学生逻辑思维发展的课堂。第一部分主要叙述二项式定理国内外研究现状及研究背景、意义。第二部分阐述二项式定理及其发展历程,主要介绍对二项式定理做出贡献的数学家并提出二项式定理在中学数学教学中的价值。第三部分具体给出二项式定理在人教版数学教材中的内容叙述,设计出符合学情的教学设计,通过举例来介绍二项式定理在高中数学竞赛真题中的应用,并对二项式定理在高考中的考查进行研究。第四部分首先对二项式定理进行多项式推广并给出二项式推广的多项式公式证明,其次给出Abel二项式定理的证明,对Abel二项式定理公式进行不同的赋值,得到许多有趣的组合恒等式,再次通过杨辉三角形的性质联想到矩阵和行列式的一些性质,并应用这些性质来求解相关类型的数学题,培养学生在学习过程中的创新性思维。
二、构造法证组合恒等式（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、构造法证组合恒等式（论文提纲范文）
（2）竞赛数学中的组合恒等式（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一节 组合恒等式与竞赛数学的关系 |
| 1.1 竞赛数学 |
| 1.2 组合数学 |
| 1.3 组合恒等式 |
| 1.4 组合恒等式与竞赛数学的关系 |
| 第二节 竞赛数学中证明组合恒等式的基本方法 |
| 2.1 利用已有的基本组合恒等式及二项式定理 |
| 2.2 复数方法 |
| 2.3 母函数法 |
| 2.4 组合模型法 |
| 2.5 概率法 |
| 2.6 递推法 |
| 2.7 数学归纳法 |
| 2.8 微积分方法 |
| 2.9 利用组合互逆公式 |
| 2.10 WZ 方法 |
| 第三节 组合恒等式在竞赛数学中的应用 |
| 3.1 集合问题 |
| 3.2 路径问题 |
| 3.3 其它计数问题 |
| 3.4 整除问题 |
| 3.5 整式问题 |
| 3.6 不等式问题 |
| 第四节 竞赛数学中有关组合恒等式的问题的发展前景预测与编拟 |
| 4.1 竞赛数学中有关组合恒等式的问题的发展前景预测 |
| 4.2 竞赛数学中有关组合恒等式的问题的编拟 |
| 第五节 结束语 |
| 参考文献 |
| 铭谢词 |
（4）组合学史若干问题研究（论文提纲范文）
| 引言 |
| 0.1 组合学的研究对象和特点 |
| 0.2 组合学史的分期 |
| 0.3 组合学史的研究现状 |
| 0.4 本文的研究范围及意义 |
| 第一章 组合学思想的东方起源 |
| 1.1 幻方 |
| 1.2 排列组合 |
| 1.3 组合游戏 |
| 第二章 中世纪的组合学知识 |
| 2.1 排列数和组合数公式的寻求 |
| 2.2 算术三角形的相关运算 |
| 2.3 中世纪幻方研究的发展 |
| 第三章 组合恒等式的早期产生及近现代推导 |
| 3.1 早期得出组合恒等式的两种主要方法 |
| 3.2 组合恒等式的近现代推导和证明 |
| 第四章 计数理论中几个经典问题的发展 |
| 4.1 早期的三种重要计数函数 |
| 4.2 幂和公式的研究历程 |
| 4.3 整数分拆问题 |
| 4.4 错位排问题研究及容斥原理的应用 |
| 4.5 Pólya计数定理 |
| 第五章 组合设计的早期发展 |
| 5.1 区组设计的提出与发展 |
| 5.2 正交拉丁方问题 |
| 5.3 有限射影平面与有限域的引入 |
| 第六章 组合集论的诞生 |
| 6.1 鸽洞原理到拉姆齐理论 |
| 6.2 相异代表系与拟阵理论的建立 |
| 结语 |
| 主要参考文献 |
| 附录 |
（5）中学数学思想的培养研究 ——基于深度教学的视角（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 导论 |
| 第一节 问题的提出 |
| 一、数学育人价值实现与当前课堂教学实施的矛盾 |
| 二、数学学科思想教学与当前教学变革的错位 |
| 三、学生深度学习达成与课堂教学效果的偏离 |
| 第二节 研究意义 |
| 第三节 国内外研究综述 |
| 一、国内研究综述 |
| (一) 关于数学课程的研究 |
| (二) 关于数学知识及其教学的研究 |
| (三) 关于学科思想方法的研究 |
| (四) 关于数学思想的研究 |
| 二、国外文献综述 |
| 第四节 研究方法 |
| 第五节 研究内容 |
| 第一章 数学思想:内涵与意义 |
| 第一节 数学思想的发展回溯 |
| 一、数学思想的发展历史及阶段 |
| 二、我国数学思想在教学中的发展 |
| 第二节 数学思想的含义 |
| 第三节 数学思想的特征分析 |
| 一、内隐性 |
| 二、连续性 |
| 三、可迁移性 |
| 第四节 数学思想的价值分析 |
| 一、数学思想的教学价值 |
| 二、数学思想的发展价值 |
| 三、数学思想的应用价值 |
| 第二章 中学主要数学思想及相关概念辨析 |
| 第一节 数学发展史上的主要数学思想 |
| 第二节 中学数学教学中的数学思想 |
| 一、数形结合思想 |
| 二、分类讨论思想 |
| 三、转化或化归思想 |
| 四、类比或递推思想 |
| 五、构造或建模思想 |
| 第三节 相关概念辨析 |
| 一、数学知识与数学思想 |
| 二、数学能力与数学思想 |
| 三、数学方法与数学思想 |
| 四、数学素养与数学思想 |
| 第三章 当前中学数学思想教学现状分析 |
| 第一节 中学数学思想教学现状调查的描述分析 |
| 一、中学数学教师思想教学的基本情况 |
| 二、中学教师数学思想教学现状 |
| 第二节 中学教师数学思想教学的影响因素分析 |
| 一、教师自身对于数学思想的认知 |
| 二、学生数学学习的阶段性与连续性 |
| 三、教材与学生发展之间的关联性 |
| 四、教学活动组织的适切性 |
| 第三节 问题与讨论 |
| 第四章 基于深度教学的中学生数学思想建立过程 |
| 第一节 中学生数学思想的形成过程 |
| 一、以观察能力为基础 |
| 二、以猜想能力为辅助 |
| 三、论证思维的建立 |
| 第二节 深度学习以培养学生的数学思想 |
| 一、深度学习之内涵 |
| 二、深度学习与数学思想的建立 |
| 三、深度学习以培养学生的数学思想 |
| 第三节 深度教学以促进数学思想的培养 |
| 一、深度教学之意涵 |
| 二、深度教学与数学思想的建立 |
| 三、深度教学以促进数学思想的培养 |
| 第五章 中学数学思想及其培养策略 |
| 第一节 学科思想的特性与数学思想的价值 |
| 一、学科思想的普遍性与特殊性 |
| 二、数学思想的学科意蕴 |
| 第二节 中学主要数学思想的形成过程 |
| 一、中学数学思想培养所必备的学习经历 |
| 二、中学数学思想培养的教学过程 |
| 三、中学主要数学思想的培养 |
| 第三节 中学主要数学思想的培养策略 |
| 一、分类讨论思想的培养策略 |
| 二、数形结合思想的培养策略 |
| 三、转化或化归思想的培养策略 |
| 四、递推或类比思想的培养策略 |
| 五、构造或建模思想的培养策略 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
（7）球盒模型的概率问题及其组合恒等式（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 问题的提出 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 研究的目的和研究的内容 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 组合知识 |
| 2.2 概率知识 |
| 2.3 球盒模型 |
| 3 球盒模型基本结论 |
| 4 本文研究 |
| 4.1 n 个不同的球放入m 个不同的盒子的情况 |
| 4.2 n 个不同的球放入个m 全部相同的盒子的情况 |
| 4.3 n 个全部相同的球放入m 个不同的盒子的情况 |
| 4.4 n 个全部相同的球放入m 个全部相同的盒子的情况 |
| 5 结论与展望 |
| 5.1 论文总结 |
| 5.2 问题与展望 |
| 参考文献 |
| 附：作者在攻读硕士学位期间发表的论文目录、科研情况 |
| 致谢 |
（8）组合数学中构造法的应用（论文提纲范文）
| 1 加法原理 |
| 2 组合恒等式 |
| 2.1 构造组合模型法 |
| 2.2 构造概率模型法 |
| 3 鸽巢原理 |
（9）组合恒等式证明的几种途径（论文提纲范文）
| 1 构造模型 |
| 2 倒序相加 |
| 3 待定系数法 |
| 4 活用公式 |
| 5 赋值求证 |
| 6 数学归纳法 |
（10）二项式定理在高中数学的教学与创新思维的培养（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究意义 |
| 1.3 文献综述 |
| 2 二项式定理的发展与高中教学中的地位 |
| 2.1 二项式定理及其发展历史 |
| 2.2 相关数学家简介 |
| 2.3 二项式定理在高中数学教学中的价值 |
| 3 二项式定理的教学设计 |
| 3.1 二项式定理在各版本高中教材中的陈述 |
| 3.2 二项式定理的教学设计分析 |
| 3.3 二项式定理在教学中应注意的问题 |
| 3.4 二项式定理在数学竞赛中的应用 |
| 3.5 二项式定理在高考试卷中的考查研究分析 |
| 4 二项式定理教学中创新性思维培养 |
| 4.1 二项式定理的多项式推广 |
| 4.2 二项式定理的Abel推广 |
| 4.3 杨辉三角中的矩阵与行列式 |
| 5 研究总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
四、构造法证组合恒等式（论文参考文献）
- [1]构造法证组合恒等式[J]. 丁德麟. 数学教学, 1985(01)
- [2]竞赛数学中的组合恒等式[D]. 薛展充. 华南师范大学, 2007(01)
- [3]组合恒等式证明的方法与技巧[J]. 左加林. 中学数学教学, 1992(04)
- [4]组合学史若干问题研究[D]. 刘建军. 西北大学, 2003(03)
- [5]中学数学思想的培养研究 ——基于深度教学的视角[D]. 张先波. 华中师范大学, 2019(01)
- [6]探究概率在证明组合恒等式中的应用[J]. 黄娟娟. 科技信息, 2011(04)
- [7]球盒模型的概率问题及其组合恒等式[D]. 邓秀芬. 重庆师范大学, 2011(09)
- [8]组合数学中构造法的应用[J]. 郭纪云. 长沙大学学报, 2010(05)
- [9]组合恒等式证明的几种途径[J]. 廖顺宏. 数学通讯, 2000(09)
- [10]二项式定理在高中数学的教学与创新思维的培养[D]. 张苏杭. 洛阳师范学院, 2021(08)