一、含幺主理想整环上的线性方程组与一类矩阵方程（论文文献综述）
王洋[1]（2020）在《格中困难问题的归约及格上密码算法的分析与设计》文中研究说明随着量子计算理论和量子计算机技术的迅速发展,传统公钥密码算法受到巨大挑战.可以抵抗量子计算机攻击的困难问题以及相关抗量子密码体制的分析与设计成为当前密码学和数学中的热点研究领域.在2019年初,NIST公布了第2轮26个抗量子密码算法标准征集的候选算法,其中有12个密码算法是基于格中困难问题所设计的.格密码的发展大体分为两条主线:一是从格中经典数学问题的研究发展到近30多年来高维格困难问题的求解算法及其计算复杂性理论研究;二是从使用格困难问题的求解算法分析非格公钥密码体制的安全性发展到基于格中困难问题设计抗量子密码体制.目前,格密码体制的设计主要基于下面三类困难问题:LWE（Learning with Errors）问题、SIS（Short Integer Solution）问题和NTRU（Number Theory Research Unit）问题.在本文中,我们主要考虑以下三类问题:1.环LWE问题与模LWE问题的困难性研究及归约;2.任意分圆域上基于NTRU的可证明安全的加密体制的设计;3.一般分圆域中的基于NTR.U的陷门构造及其应用.环LWE问题v.s.模LWE问题:为了更好地平衡安全性和实现效率,环LWE问题和模LWE问题分别被系统地研究.与经典欧式格上的LWE问题相比,环（模）LWE的worst-case的困难性归约更紧,并且基于模LWE问题和环LWE问题设计的密码体制在实现效率和存储空间上也有一定的优势.不过对应地,环（模）LWE问题的困难性假设比经典LWE问题要强一些.与理想格相比,模格的代数结构更无序,因此人们普遍认为模LWE问题应该要比类似参数的环LWE问题困难.目前唯一已知的详细讨论模LWE问题到环LWE问题的归约的结果是Albrecht等人在2017年亚密会上给出的.Albrecht等人采用模-维数转换的技巧,直接将Normal Form的模LWE问题的实例转换为环LWE问题的实例.然后,Albrecht等人在powers-of-2这一类特殊的分圆域中,使用系数嵌入分析了求解和判定版本问题对应的归约结果.值得注意的是,在模LWE对应的情况下,模-维数转换方法的输入和输出的统计距离难以控制.所以,Albrecht等人给出的判定版本的模LWE问题到环LWE问题的归约损失是指数大小的,并不能直接证明大模数的判定版本的环LWE问题比小模数的模LWE问题困难.同时,Albrecht等人也仅仅针对powers-of-2这一类特殊的分圆多项式环,采用系数嵌入分析了求解版本的Normal Form的模LWE问题与求解版本的环LWE问题之间的归约关系.模LWE问题到Normal Form的模LWE问题的归约并没有详细讨论.同时,Albrecht等人使用的归约方法对于求解版本的LWE问题的归约在一般的代数数域中（甚至一般的分圆域中）是否适用也仍需进一步讨论.在应用中,绝大多数密码体制所依赖的LWE问题都是判定版本的（如NIST 候选算法 KCL、CRYSTALS-KYBER、CRYSTALS-DILITHIUM、AKCN等）,这就使得详细研究一般数域中的（判定版本的）模LWE问题和环LWE问题之间的区别与联系变得具有很大的理论意义和实用价值.在本文中,我们通过引入适当的中间问题,利用分圆域中存在的性质非常好的基（powerful基和decoding基）并综合使用模-维数转换技巧以及对偶攻击的思想,将任意分圆域K上的秩为d,计算模数为q的判定版本的模LWE问题归约到了计算模数为qd的判定版本的环LWE问题.具体来讲,我们的归约路线为:判定版本的模LWE问题→Normal Form的判定版本的模LWE问题→Normal Form的求解版本的模LWE问题→求解版本的环LWE问题→判定版本的环LWE问题.与直接将判定版本的模LWE问题归约到判定版本的环LWE问题相比,我们的归约的归约损失很小,对应的LWE问题的误差所服从的高斯分布的参数只增大了一些[K:Q]=n的小多项式倍.我们的归约结果的一个重要的推论是,我们可以将计算模数q≈O（n5.75）,误差参数α≈O（n-4.25）的判定版本的模LWE问题归约到对应的误差参数Γ≈O（n-0.5）的判定版本的环LWE问题.结合已有的结论,我们就可以将渐进参数γ≈O（n5）的worst-case的模格中的基本困难问题（如SIVPγ）严格地归约到对应的判定版本的环LWE问题.同时,我们的分析结果表明,模-维数转换的方法在任意分圆域中均可以有效使用.我们也利用类似的思路给出了环LWE问题的自归约,这可以用来证明一大类非素数模数q对应的判定版本的环LWE问题的困难性.同时,我们也给出了任意分圆域中的判定版本的模LWE问题到一类模SIVPγ问题的反归约,从而建立了 worst-case的模格中的基本困难问题和一类average-case的模SIVPγ问题的联系.值得注意的是,对于一般的数域K,只要能找到其分式理想Rˇ的性质足够好的一组基,则我们的归约方法就可以推广到数域K中.可证明安全的NTRUEncrypt:基于NTRU的加密体制（NTRUEncrypt）最早是由 Hoffstein、Pipher 和 Silverman 在 1996 年提出的.早期的 NTRUEncrypt 入选了 IEEE的标准-IEEE P1363,是已知的运行速度最快的基于格的密码体制之一.由于其高效的运行效率、适中的密钥密文尺寸以及可以抵抗量子计算机攻击的特性,人们普遍地将NTRUEncrypt视为后量子时代公钥加密算法RSA和ECC的替代品之一.对早期的NTRUEncrypt的研究而引申出来的NTRU问题在密码学中也有着广泛的应用.很多基于NTRU的密码体制都具有设计简单、参数尺寸小、运行速度快等优点.基于NTRU问题设计的一些加密和密钥交换算法,如NTRU,NTRU Prime等,也入选了 NIST的候选算法进入了第2轮评估.但是,经典的NTRUEncrypt及其变种加密体制的安全性是启发式的.这一点与基于LWE的加密体制很不同.第一次将NTRUEncrypt的安全性与worst-case 的格中基本困难问题联系起来的工作是 Stehl e和 Steinfeld 在 2011 年欧密会中给出的.他们在powers-of-2这一类特殊的分圆多项式环中采用系数嵌入首次将NTRUEncrypt的IND-CPA安全性与相应的判定版本的（多项式）环LWE问题联系起来,进而综合已有的结论,证明了在适当参数选择下,NTRUEncrypt的IND-CPA安全性可以由这一类特殊的分圆域中worst-case的理想格中基本困难问题所保证.Stehle和Steinfeld提出的一个公开问题就是能否将他们的构造方法推广到一般的多项式环中.随后,喻洋等人分别将可证明安全的NTRUEncrypt推广到了 prime和prime-powers这些特殊的分圆多项式环上.考虑到现有攻击算法的攻击效率,目前设计格密码体制所用到的格的维数一般不小于512维.无论是prime还是prime-powers的分圆域,达到这个维数要求的分圆域均有比较多的子域.考虑到子域攻击,这些特殊的分圆域上对应的基本格中困难问题的计算复杂度可能比更一般的分圆域要低.相应地,在这些特殊的分圆域上设计的密码体制的安全性可能有隐患.在本文中,我们严格证明了在任意的分圆域中,在适当参数选择下,服从适当离散高斯分布的NTRUEncrypt的私钥f,g生成的公钥h=g·f-1与环Rq×上的均匀分布统计不可区分.进而利用分圆域的性质比较好的基（powerful基和decoding基）并引入基-系数嵌入,采用canonical嵌入在任意的分圆域上设计了可证明IND-CPA安全的NTRUEncrypt.我们的加密体制的IND-CPA安全性依赖于对应分圆域上的判定版本的环LWE问题.结合已知的结论,可以证明我们的NTRUEncrypt的IND-CPA安全性可以由对应分圆域中worst-case的理想格中的基本困难问题（如SIVPγ）所保证.同时,在任意取定的分圆域中,与现在已有的可证明安全的NTRUEncrypt相比,我们的NTRUEncrypt的计算模数q和最后安全性所依赖的基本格中困难问题的渐进参数γ对明文空间的依赖更小.这就使得在相似的（甚至比前人更弱的）安全性假设条件下,我们的NTRUEncrypt的参数选择更灵活,密码体制的实现效率更高.同时,我们的加密体制的解密错误率也比前人的低的多.我们还给出了任意分圆域中dual环LWE问题到primal环LWE问题的归约损失非常小的归约.基于NTRU的陷门构造:早期的应用比较广泛的基于格的陷门函数的构造是Gentry等人给出的.Gentry等人使用改进的最近平面算法给出了利用随机格的一组短基来进行有效的离散高斯取样的方法.结合已有的生成随机格以及相应格中短基的方法,Gentry等人在经典欧式格中构造了一类抗碰撞的陷门原像取样函数并给出了一系列应用（如设计了格中具有worst-case困难性保证的可证明安全的签名和基于身份的加密体制）.经典欧式格中的这些设计可以采用系数嵌入较为平凡地推广到理想格中.但是相应的,这样的推广没有有效地利用多项式环的代数结构,一般会造成构造的密码原语具有参数尺寸太大、实现效率不高等缺点.本质上讲,Gentry等人改进了已有的利用随机格的陷门短基的方法,并给出了新密码学原语的构造以及相关应用.基于NTRU的签名体制（如NTRUSign）的私钥即为NTRU格的一组短基.在多项式环中结合Gentry等人提出的方法与NTRUSign的设计思路应该可以将Gentry等人的设计思路有效地推广到理想格中.最早注意到这一点的是Stehle和Steinfeld.他们首次在powers-of-2这一类特殊的分圆多项式环中采用系数嵌入基于NTRU问题给出了抗碰撞的原像取样函数的构造,并基于此函数采用Hash-and-Sign的方法在随机预示模型下给出了第一个具有worst-case困难性保证的基于NTRU的签名体制.这也是第一个基于NTRU问题的可证明安全的签名体制.但是,类似于可证明安全的NTRUEncrypt的情况,将密码体制的设计限制在powers-of-2这一类特殊的分圆多项式环中会使得相关体制的设计更加受限.同时,这种环上设计的密码体制可能有潜在的安全隐患.能否在一般的多项式环设计可证明安全的基于NTRU的签名体制也是Stehle和Steinfeld在文章中提出的一个公开问题.在本文中,我们采用canonical嵌入讨论了在一般的分圆域上设计安全的抗碰撞的原像取样函数的方法.在一大类分圆域中,对于适当的参数选择,我们给出了 Dedekind Zeta函数在2处取值的上界估计,由此进一步严格证明了改进的传统NTRUSign的密钥生成算法（也是我们构造的抗碰撞的原像取样算法的密钥生成算法）是概率多项式时间的.我们也改进了我们早期结果中的部分结论,并证明了任意分圆域中的一类非齐次的环ISIS问题的困难性.随后我们采用现有的构造方法,利用分圆域的性质非常好的基（powerful基和decoding基）进行离散高斯取样,在一大类分圆域中设计了（claw-free）抗碰撞的原像取样函数,并对在一般的分圆域中的构造进行了讨论.基于我们设计的抗碰撞的原像取样函数,综合使用Hash-and-Sign构造方法和拒绝采样技术,我们还在一般的分圆域中讨论了基于NTRU问题的具有worst-case困难性保证的签名体制、基于身份的加密体制以及基于身份的签名体制等密码原语的构造.
高雯[2]（2019）在《多项式整点处的整除性和PID上的不定方程组》文中研究指明整系数多项式在多项式中有着重要的地位,是代数数论和代数几何的一个主要研究问题.其中的不定线性方程组是一类重要的代数方程组,在许多科学技术问题中都有着广泛的应用.本文主要讨论多元整系数多项式在整点处的整除性以及不定拟线性方程组的解的存在性问题.本文主要分为四个章节:第一章简要介绍本文的研究背景及主要工作.第二章介绍与本文相关的数论及代数的基本知识.第三章研究多元整系数多项式在整点处的整除性.主要讨论三种特殊类型的二元整系数多项式,通过带余除法及可逆变换,得到多项式在整点处整除的条件.对于在整数环上无法讨论的情形,则尝试在高斯整环上进行讨论,从而得到结论.第四章在主理想整环PID上讨论不定拟线性方程组的解的存在性.利用主理想整环的性质,通过矩阵的初等变换,得到不定线性方程组（4.1）的解的存在性.在方程组（4.1）中加入平方项并在已有的基础上,利用相似的方法研究这个不定拟线性方程组的解的存在性.
宋真真[3]（2016）在《体上矩阵广义逆中若干问题的研究》文中认为本文先从整体上分析了体上矩阵理论目前发展的景况,阐述了体上矩阵研究的困难性,然后对体上矩阵广义逆的几个方面的问题加以具体研究.文章运用体上矩阵论中一些常见的矩阵分解,更好地理解矩阵广义逆的本质,同时总结分析了Moore-Penrose逆、Drazin逆、群逆等几种广义逆,另外还主要介绍了体上分块矩阵的Drazin逆和群逆以及四元数矩阵广义逆的计算方法.最后文章对所做的成果做了总结,并对将来体上矩阵广义逆理论的发展前景作了展望.本文主要把实数域和复数域上部分关于矩阵广义逆的结论推广到四元数体上,得到了具有一定的理论意义与应用价值的体上矩阵广义逆的结论,全文共分为五章：第一章主要介绍了体、四元数、四元数体上矩阵的研究背景,研究现状和发展趋势,全面阐述了其基本知识和基本性质,还总结整理了我国数学工作者在这方面的研究情况及所作贡献,最后说明了本文所做的工作.第二章通过列举体上矩阵论中一些常见的矩阵分解,更好地理解矩阵广义逆的本质,同时总结分析了Moore-Penrose逆、Drazin逆、群逆等几种广义逆.第三章主要介绍了体上分块矩阵的Drazin逆和群逆,首先应用矩阵的指标以及群逆的性质给出体上上三角矩阵的Drazin逆表达式的新的证明,进而得出体上两个矩阵和的Drazin逆公式的一些新的结果.然后利用分块矩阵的方法,研究了体上两个矩阵乘积的群逆的存在性及表示形式,给出了体上两个矩阵乘积群逆存在的充分必要条件和表示形式,并且在一定条件下,得出了体上分块矩阵的群逆存在性及表示形式.第四章介绍了四元数矩阵广义逆的计算方法,将复数域上矩阵的广义逆的计算方法推广到四元数体上,得到了在四元数体上计算矩阵广义逆的两种计算方法,分别是利用行左初等变换计算四元数矩阵的{1}-逆和{1,2}-逆,利用四元数矩阵的满秩分解求广义逆矩阵,并且给出了计算的实例.最后还利用多项式矩阵的初等列变换方法得出了对称r-循环矩阵的求逆算法.第五章简单地阐释了文章所得结论和一些展望.
张汉宇[4]（2014）在《环上某些反三角块阵的群逆》文中认为对于复数域和体上矩阵广义逆的研究在文献中已有一些结果,但这些结果在更一般的环上的相应研究是非常具有价值的问题.本文在右Ore整区及一般结合环上研究矩阵的群逆.设R是有单位元1的结合环.如果是一个无零因子环且任两个元素都有右公倍元,则称为右Ore整区. Rn×n为R上所有n阶方阵的集合.对于矩阵A∈Rn×n,如果存在矩阵X∈Rn×n满足: AXA=A, XAX=X, AX=XA,则称X为A的群逆,记作X=A.容易证明,如果A存在,则A唯一.本文首先介绍了广义逆矩阵概况和群逆国内外研究现状,并简介右Ore整区及一般环上矩阵的相关概念,然后阐述了本文的主要工作.它包括一般环上两类2×2反三角块阵群逆的存在性及其表示,并给出例子;右Ore整区上三类2×2反三角块阵群逆的存在性及其表示,同时给出例子.这些结果推广了近期文献的相关工作.
赵旭波[5]（2014）在《卷积网络编码及其相关构造》文中指出网络编码开启了一种新的编码方式,其主要思想是允许网络中的节点实行某种编码操作,因此,一个节点可以传递其入边上更早接收到消息的函数到它的出边上。相比于传统的存储-转发的路由协议,网络编码已被证明在提高网络的吞吐量、改善网络负载均衡、提高无线网络的传输速率、增强网络的鲁棒性及其普适性、提高网络的安全和稳定性能等方面都有较佳的表现。大部分关于网络编码的工作是集中在无圈网络上,而在实际应用中,由于双方或多方互相通信的需要,真正实用的网络是包含圈的。由于含圈网络的边或者顶点集不能自然地诱导出一个偏序关系,这使得它与无圈网络在本质上是不同的。而利用卷积网络编码可以有效地处理含圈网络上的消息序列的传递。本论文以含圈网络为研究对象,主要研究了含圈网络上卷积网络编码的特性及其相关构造,我们的结果及构造方法对于无圈网络也是适用的。本论文的主要贡献包括以下几个方面。1.证明了一般通信网络上卷积网络编码的赋权的线图与Mason信号流图（MSFG）实际上可建立一一对应的关系。2.以Mason定理为桥梁,证明了两个新的等价条件来判别含圈网络上的卷积网络编码其全局编码核（GEKs）是否可以由给定的局部编码核（LEKs）所唯一确定,且利用Mason公式给出了一个计算GEKs的新方法。基于新的等价条件,我们只需关心原始网络中圈上的LEKs,而不是分配在网络中的所有LEKs。因此,如果我们知道整个网络的拓扑信息（包含网络中所有圈的连接模式）,那么基于图论技巧导出的等价条件会更简便有效。3.提出了一个含圈网络上基本卷积网络编码（BCNC）的有效构造算法。此算法明确地给出了含圈网络上构造BCNC所需要LEKs集合的最大的基数。此外,当网络中需要加入一些非源节点和相应的边/信道,根据我们提出的BCNC算法,只需在局部范围内修正原网络已经分配过的LEKs即可,而不需对新的扩展网络的所有LEKs值进行重新分配。4.提出了一个在含圈网络上直接构造时延不变卷积网络编码（DI-F-CNC）的方法,并给出相应的理论证明。5.通过在DI-F-CNC算法主循环程序中引入“线性独立性检测向量”,得到改进的快速时延不变卷积网络编码的构造算法。复杂性分析结果表明,直接构造算法所需的符号域大小以及时间复杂性与文[119]中的间接构造方法相同。并且,直接构造算法有良好的扩展性,例如,当网络中引入新的信宿节点时,在直接构造方法中对应于主循环次数相应地增加,而不需要对原来已确定好的LEKs值进行重新再分配。
鲁晓彬[6]（2012）在《几类多变量数字签名方案研究》文中研究表明多变量数字签名方案的安全性是基于有限域上非线性方程组的求解问题，该问题已被证明是NPC问题，目前尚不存在求解该问题的多项式时间量子计算算法。本文对几类多变量数字签名方案进行了研究，主要取得了以下研究成果：1. Little Dragon Two方案的安全性分析与改进。对Little Dragon Two方案的中心映射进行了分析，利用中心映射的输入变量与输出变量结合部泄漏的私钥信息，结合中心映射的差分性质，给出了求解Little Dragon Two方案等效私钥的多项式时间攻击算法，计算复杂性为O （log2（q） n6）（其中n为输入变量的数目， q为有限域的阶）；同时，针对LittleDragon Two方案存在的缺陷，利用外部扰动方法改进了中心映射，克服了原方案中心映射的结构缺陷，使得方案能够有效抵抗高阶线性化方程攻击、秩攻击、XL&Gr bner基攻击、差分攻击等现有典型攻击方法。2.基于两类方案混合的多变量数字签名方案研究。提出了基于两类方案混合的中心映射设计方法，克服了原有方案的内部结构缺陷，提高了多变量数字签名方案的安全性；同时，利用该方法，基于MI和TPM两类多变量公钥密码方案，提出了M-T多变量数字签名方案，在q=28, n=11, u=1, r=2等参数条件下，该方案能够有效抵抗高阶线性化方程攻击、秩攻击、XL&Gr bner基攻击、差分攻击等现有典型攻击方法，安全强度达到O(280)，签名长度176bit，私钥存储规模约为2KB，相比Rainbow和Sflash等多变量数字签名方案具有一定优势。3.多变量数字签名方案的模型研究。对多变量数字签名方案模型的设计方法进行了研究，首先分析了一类基于秘密仿射变换的多变量数字签名模型的安全性，利用消息值v与验证中间值w求出仿射变换T N1，进而由P2得到P1=T ο F ο S，使得该模型的安全性退化为签名私钥T和S、验证公钥为P1=T ο F οS的多变量数字签名方案的安全性；其次，通过增加秘密非线性变换L替换仿射变换T,实现了验证公钥与签名私钥之间直接关联性的分割，提出了基于秘密非线性变换的多变量数字签名模型，增强了多变量数字签名方案的安全性。
武传东[7]（2009）在《四元数体上代数的若干矩阵问题研究》文中提出四元数是继复数后又一新的数系,四元数体上代数是复数域上代数的扩展。然而,由于四元数乘法的不可交换性,造成了它与复数域上的代数理论既有一定的联系,又有很大的差别,形成相对独立的内容体系。近年来,四元数代数问题已经引起了数学和物理研究工作者的广泛兴趣。四元数体上代数问题的许多问题已经被研究,比如四元数体上的多项式、行列式、特征值和四元数代数方程组等。然而,四元数体上许多代数问题还需要人们进行进一步的研究,比如四元数矩阵特征值的估计与对角化、四元数矩阵的广义特征值分布与估计、四元数右线性方程组解的扰动性估计问题、四元数矩阵的次亚正定性问题、四元数矩阵方程的可解性问题等等。本文较为系统地分析了四元数体上一些重要的代数特征,主要内容和创新点包括:1.在四元数体上根据特征值的基本概念,将复数域上着名的Gerschgorin圆盘定理推广到四元数体上。由于四元数乘法的不可交换性,得到两种形式的四元数矩阵特征值分布定理,研究了四元数体上严格对角占优矩阵特征值的一些性质。同时给出了四元数矩阵广义特征值的定义,讨论了四元数矩阵左右广义特征值的性质,得到四元数正则矩阵束的广义特征值为实数的结论。获得了估计四元数矩阵广义特征值的Gerschgorin型定理,利用广义瑞利商这一有效的工具,获得了四元数矩阵广义特征值的上下界估计定理。2.对四元数矩阵的对角化进行研究,获得了四元数矩阵可对角化的充要条件,并指出了四元数矩阵的对角化与实（复）数域上矩阵对角化的区别,说明了四元数体上的矩阵性质与实（复）数域上矩阵性质的差异。3.本文在谱半径概念的基础上,讨论了谱半径的估计。4.借助于四元数向量和四元数矩阵的范数理论解决了四元数矩阵求逆、线性方程组的误差估计问题。5.对于次对角线方向上的情形,即四元数体上次亚正定矩阵,本文也作了一些研究,得到一些重要结果。6.矩阵的Kronecker积是一种重要的矩阵乘积,由于四元数乘法的不可交换性,因此,四元数矩阵的Kronecker积性质有所不同于实（复）数矩阵的Kronecker积性质。利用四元数矩阵的Kronecker积这一有效的工具,研究了Lyapunov四元数矩阵方程与Stein四元数矩阵方程的可解性问题。
张杨[8]（2008）在《矩阵空间之间的保持问题》文中认为刻画矩阵集之间保持不变量的映射结构问题被称为保持问题.近几十年来,保持问题已成为国际矩阵论研究中一个十分活跃的领域.这一方面是因为它具有重要的理论价值;另一方面是因为许多问题在量子力学、微分几何、微分方程、系统控制和数理统计等领域有着广泛的实际应用背景;再者,通过对保持问题的研究可以得到关于矩阵的不变量、函数、集合和关系等重要理论成果.从映射的角度来说,保持问题可分为:线性保持问题、加法保持问题和更一般的保持问题.从保持的不变量的角度来说,保持问题可分为:保持子集、保持关系、保持函数和保持变换.本文针对矩阵空间之间的几个保持问题进行了系统的研究,概括起来有以下几个方面:（1）利用交错矩阵空间Kn（F）上保持秩2和秩4矩阵的结论,刻画了不同维的交错矩阵空间之间保持伴随矩阵的线性映射φ: Kn（F）→K<sub>m（F）的形式,证明其可以归结到同维的情形.（2）利用上三角矩阵空间Tn（F）上保持秩1矩阵的的结论,刻画了Tn（F）上保持秩可加的线性映射的形式.同时,作为应用,还刻画了Tn（F）上保持秩可减的线性映射的形式,以及Tn（F）上使得“rank（A + B） = |rankA - rankB| （?）rankφ（A + B） = |rankφ（A） - rankφ（B）|”成立的线性映射φ的形式.（3）就域F的特征不为2和为2两种情况,分别刻画了从Sn（F）到Mm（F）及从Sn（F）到Sm（F）保持群逆的线性映射的形式.（4）利用上三角矩阵空间Tn（F）上保持秩1矩阵的结论,刻画了Tn（F）上保持秩交换的加法满射的形式.（5）刻画了特征不为2的体K上矩阵空间Mn（K）上保持某种非平凡乘性矩阵函数的加法满射的形式.同时,作为应用,分别刻画了特征不为2的体K上矩阵空间Mn（K）上的保持Dieudonné行列式和保持可逆矩阵的加法满射,以及保持秩可加的加法双射,同时也刻画了四元数体Q上矩阵空间Mn（Q）上保持行列式detq的加法满射.
胡静[9]（2008）在《保对称阵Moore-Penrose逆的线性算子》文中提出因为广义逆矩阵在许多领域中有着广泛的应用，如微分和积分方程、统计学、控制论、最优化等，所以自上个世纪中期以来，矩阵广义逆就成为一个非常重要的研究领域．至今仍然是一个非常活跃的研究分支．另一个矩阵论中活跃的领域是线性保持问题，它足刻画矩阵集之间保不变量的线性算子的．Moore-Penrose逆作为一种重要的广义逆，本文正是将特征2的域上对称矩阵Moore-Peterose逆作为不变量进行研究的．设F是特征为2的域，n≥2是任意的正整数．记Mn（F）和Sn（F）分别为域F上n×n全矩阵空间和n×n对称矩阵空间．相关文献已经表明：关于特征2的域上对称矩阵Moore-Penrose逆（简记M-P逆）的线性保持问题仍然是一个公开问题．本文即以此为出发点进行研究．做保持问题的一个常用的技巧是把新的问题归结到一个已知不变量的保持问题上，例如幂等、秩1保持等等，由于矩阵M-P逆的特殊性及复杂性，在域F的特征为2的条件下，将其类似于其他广义逆保持问题一样归结到幂等保持比较困难．所以本文采取寻找一些特殊矩阵的方法直接进行研究．第2章中，首先刻画了Sn（F）到Mn（F）的保矩阵M-P逆的线性算子形式，再通过限制映射的像到Sn（F）中，得到Sn（F）到Sn（F）的保矩阵M-P逆的线性算子形式；运用扩展技术，改进并推广了Mn（F）到Mn（F）的保矩阵M-P逆的线性算子形式．
狄鹏[10]（2008）在《Gr（?）bner基生成算法的并行》文中研究说明Gr?bner基（Gr?bner Bases）理论是计算机代数的一个基石,因为不仅可以知道Gr?bner基存在性,而且更为关键的是提出了计算Gr?bner基的可行性算法,所以无论是在理论上还是在计算上Gr?bner基都起着巨大的作用,近年来Gr?bner基理论的应用已经愈来愈广泛。实际上,对于与多项式相关的或者是能够将问题转化为与多项式相关的问题,Gr?bner基的理论和技巧就能发挥重要做用,于是Gr?bner基做为一种强有力的辅助工具而被广泛应用于密码学及其相关领域。然而基本的计算Gr?bner基的生成算法的计算效率是很低的,因此在一定程度上影响了Gr?bner基的实用价值。由此我们提出在现有生成算法的基础之上以并行化的方式提高其中间计算效率。本文从介绍Gr?bner基入手,首先简要介绍了求解Gr?bner基的基本理论、基本生成算法及其作用域;进而从现有的求解Gr?bner基的主流生成算法出发,先对求解算法进行分析,再介绍算法的并行相关问题及影响算法效率的关键――中间项的约化,这也是我们所主要关注的地方,我们在此过程中采用C+MPI来进行并行处理。文中首先采用结构化高斯消元法对可能产生大型稀疏矩阵予以简化,而后采用并行高斯全选主元消去法对中间项进行约化,以达到提高算法实现效率的目的;最后将Gr?bner基方法应用于零知识证明方式的身份认证,提出以采用并行的基于Gr?bner基的零知识证明与部分盲签名相结合的方式进行安全电子支付的模型,并对其交易过程和安全性进行了分析。
二、含幺主理想整环上的线性方程组与一类矩阵方程（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、含幺主理想整环上的线性方程组与一类矩阵方程（论文提纲范文）
（1）格中困难问题的归约及格上密码算法的分析与设计（论文提纲范文）
| 摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 LWE问题背景简介 |
| 1.2 NTRU问题背景简介 |
| 1.3 我们的主要工作以及文章的章节安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 代数数域与空间H |
| 2.2 分圆域 |
| 2.3 格,理想格与模格 |
| 2.4 高斯分布与“任意”距离 |
| 2.5 SIS问题与LWE问题 |
| 第三章 判定版本的模LWE到环LWE的归约 |
| 3.1 矩阵在R~d上的作用 |
| 3.2 标准形式的模LWE问题的困难性 |
| 3.3 Nor-D-MLWE到Nor-S-MLWE的归约 |
| 3.4 Nor-S-MLWE到S-RLWE的归约 |
| 3.5 S-RLWE到D-RLWE的归约 |
| 3.5.1 解决方案1: 利用已知的结果 |
| 3.5.2 解决方案2: 利用环LWE问题的自归约 |
| 3.6 D-MLWE到模SIVP问题的逆归约 |
| 第四章 任意分圆域上的可证明安全的NTRU加密体制 |
| 4.1 q-Ary格的一些新结果 |
| 4.2 可证明安全的NTRUEncrypt的构造 |
| 第五章 分圆域上的抗碰撞的原像取样函数及其应用 |
| 5.1 密钥生成算法 |
| 5.1.1 关于Dedekind Zeta函数及相关结论的一些引理 |
| 5.1.2 NTRU格 |
| 5.1.3 密钥生成算法 |
| 5.2 分圆域中的抗碰撞的原像取样函数 |
| 5.2.1 CRPSF的基本定义 |
| 5.2.2 分圆域上的抗碰撞的原像取样函数的具体构造 |
| 5.2.3 Claw-free的抗碰撞的原像取样函数 |
| 5.3 CRPSF的应用 |
| 5.3.1 可证明安全的NTRUSign |
| 5.3.2 基于NTRU的可证明安全的IBE |
| 5.3.3 基于NTRU的可证明安全的IBS |
| 附录A 定理4.3的证明 |
| 附录B 分圆域中L(2)和ζK(2)的讨论 |
| 附录C 拒绝采样算法 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简介 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（2）多项式整点处的整除性和PID上的不定方程组（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 主要内容 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 主理想整环 |
| 2.2 整除理论 |
| 2.3 多项式 |
| 第三章 多元整系数多项式在整点处的整除性 |
| 3.1 g(x,y)=x+ky~t, k,t∈Z |
| 3.2 g(x,y)=x~2-ky~2,k∈Z,k≠0 |
| 3.3 g(x,y)=px+qy, p,q∈Z,(p,q)=1 |
| 第四章 主理想整环上不定线性方程组 |
| 4.1 方程组A_1X=B_1的解的存在性 |
| 4.2 方程组AX=B的解的存在性 |
| 4.2.1 α"_(1(r+1))=0时的情形 |
| 4.2.2 α"_(1(r+1))≠0时的情形 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（3）体上矩阵广义逆中若干问题的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 符号介绍 |
| 1.2 体及体上矩阵的研究意义 |
| 1.3 体及体上矩阵的基本定义 |
| 1.4 我国学者对体上矩阵的若干研究及进展 |
| 1.5 论文工作及内容安排 |
| 第二章 矩阵广义逆 |
| 2.1 矩阵分解 |
| 2.2 Moore-Penrose逆 |
| 2.3 Drazin逆 |
| 2.4 群逆 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 体上分块矩阵的广义逆 |
| 3.1 体上分块矩阵的Drazin逆 |
| 3.2 体上分块矩阵的群逆 |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 四元数矩阵广义逆的计算方法 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 利用行(左)初等变换计算四元数矩阵{1}-逆和{2}-逆 |
| 4.3 利用四元数矩阵的满秩分解求广义逆矩阵A~+ |
| 4.4 对称r-循环矩阵的求逆算法 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 发表论文和参加科研情况说明 |
| 致谢 |
（4）环上某些反三角块阵的群逆（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 符号说明 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 广义逆矩阵概况 |
| 1.2 矩阵群逆的研究现状 |
| 1.3 右Ore整区及一般环上矩阵简介 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 第2章 一般环上两类2 × 2反三角块阵的群逆 |
| 2.1 引理 |
| 2.2 主要结果 |
| 2.3 例子 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 右Ore整区上三类2 × 2反三角块阵的群逆 |
| 3.1 一些引理 |
| 3.2 主要结果 |
| 3.3 例子 |
| 3.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
（5）卷积网络编码及其相关构造（论文提纲范文）
| 作者简介 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 网络编码的研究背景及发展现状 |
| 1.1.1 历史溯源 |
| 1.1.2 网络编码示例 |
| 1.1.3 研究现状与意义 |
| 1.2 网络编码的优势及应用 |
| 1.3 内容安排 |
| 第二章 网络编码的基础知识 |
| 2.1 图论相关概念和术语 |
| 2.2 网络编码 |
| 2.2.1 网络编码及线性网络编码定义 |
| 2.2.2 几种最优的线性网络编码 |
| 2.2.3 F-卷积网络编码及F-卷积多播的定义 |
| 2.2.4 基于域的线性网络编码和卷积网络编码的统一刻画 |
| 2.3 本章小节 |
| 第三章 有圈网络上F-卷积网络编码的GEKs被LEKs确定的等价条件 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.1.1 网络编码局部描述与全局描述在无圈和有圈网络上的区别 |
| 3.1.2 F-CNC的代数描述 |
| 3.1.3 线图以及Mason信号流图 |
| 3.2 含圈网络上F-CNC中GEKs被LEKs确定的等价条件 |
| 3.2.1 预备引理 |
| 3.2.2 含圈网络上F-CNC中GEKs被LEKs确定的等价条件 |
| 3.2.3 例子 |
| 3.2.4 利用Mason定理求GEK |
| 3.2.5 应用 |
| 3.3 本章小节 |
| 3.4 需要进一步考虑的问题 |
| 第四章 有圈网络上的BCNC构造算法 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.1.1 已有工作及研究动机 |
| 4.1.2 基本卷积网络编码(BCNC)及拟全局编码核(PEK) |
| 4.2 有圈网络上的BCNC构造算法 |
| 4.2.1 BCNC构造算法 |
| 4.2.2 算法步骤具体分析 |
| 4.2.3 BCNC构造算法实现的理论保证 |
| 4.2.4 BCNC构造算法示例 |
| 4.3 本章小节 |
| 4.4 需要进一步考虑的问题 |
| 第五章 有圈网络上时延不变卷积网络编码的构造 |
| 5.1 时延不变卷积网络编码(DI-F-CNC) |
| 5.2 DI-F-CNC的构造算法 |
| 5.2.1 DI-F-CNC的构造算法 |
| 5.2.2 DI-F-CNC算法步骤具体分析 |
| 5.2.3 DI-F-CNC构造算法理论保证 |
| 5.3 快速DI-F-CNC构造算法 |
| 5.3.1 快速DI-F-CNC构造算法 |
| 5.3.2 快速DI-F-CNC构造算法理论保证 |
| 5.4 算法的复杂性分析 |
| 5.5 本章小结 |
| 5.6 需要进一步考虑的问题 |
| 第六章 结束语 |
| 6.1 取得的主要研究结果 |
| 6.2 有待进一步研究的问题 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
（6）几类多变量数字签名方案研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 研究背景及现状 |
| 1.1.1 公钥密码与数字签名 |
| 1.1.2 多变量数字签名方案 |
| 1.2 论文结构 |
| 第二章 基础知识 |
| 2.1 相关概念 |
| 2.1.1 多变量多项式方程组 |
| 2.1.2 仿射变换 |
| 2.1.3 相关数学问题 |
| 2.2 多变量数字签名方案 |
| 2.2.1 UOV |
| 2.2.2 STS |
| 2.2.3 MI |
| 2.2.4 HFE |
| 2.3 多变量数字签名方案的攻击方法 |
| 2.3.1 通用攻击方法 |
| 2.3.2 特殊攻击方法 |
| 第三章 Little Dragon Two方案的安全性分析与改进 |
| 3.1 Little Dragon Two方案 |
| 3.2 Little Dragon Two方案的安全性分析 |
| 3.3 基于扰动的Little Dragon Two方案 |
| 3.4 基于扰动的Little Dragon Two方案分析 |
| 3.4.1 性能分析 |
| 3.4.2 安全性分析 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 基于两类方案混合的多变量数字签名方案研究 |
| 4.1 基于两类方案混合的中心映射设计方法 |
| 4.2 基于MI和TPM混合的多变量数字签名方案 |
| 4.2.1 MI方案 |
| 4.2.2 TPM方案 |
| 4.2.3 M-T多变量数字签名方案 |
| 4.3 M-T多变量数字签名方案分析 |
| 4.3.1 正确性分析 |
| 4.3.2 性能分析 |
| 4.3.3 安全分析 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 多变量数字签名方案的模型研究 |
| 5.1 基于秘密仿射变换的多变量数字签名模型分析 |
| 5.1.1 模型描述 |
| 5.1.2 安全性分析 |
| 5.1.3 模型实例分析 |
| 5.2 基于秘密非线性变换的多变量数字签名模型 |
| 5.2.1 基于哈希函数的tame变换 |
| 5.2.2 基于秘密非线性变换的签名模型 |
| 5.2.3 正确性分析 |
| 5.2.4 安全性分析 |
| 5.3 小结 |
| 第六章 结束语 |
| 参考文献 |
| 作者简历 攻读硕士学位期间完成的主要工作 |
| 致谢 |
（7）四元数体上代数的若干矩阵问题研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 1 绪论 |
| 1.1 四元数体上代数问题的提出及研究意义 |
| 1.1.1 四元数体上代数问题的提出 |
| 1.1.2 四元数体上代数问题研究的重要意义 |
| 1.2 国内外对于四元数体上代数的研究现状及难点 |
| 1.2.1 国内外对于四元数体上代数的理论研究现状 |
| 1.2.2 国内外对于四元数体上代数问题的应用研究现状 |
| 1.2.3 四元数体上矩阵代数研究的难点 |
| 1.3 本论文研究的目的和研究内容 |
| 1.3.1 本论文研究的目的 |
| 1.3.2 本论文研究的主要内容 |
| 1.4 本章小结 |
| 2 四元数基本知识 |
| 2.1 四元数的定义及其运算性质 |
| 2.2 四元数的模及其复数表示 |
| 2.2.1 四元数的模 |
| 2.2.2 四元数的逆元 |
| 2.2.3 四元数的复数表示 |
| 2.3 四元数体的概念 |
| 2.4 本章小结 |
| 3 四元数矩阵代数方法及其研究 |
| 3.1 四元数矩阵的基本知识 |
| 3.1.1 四元数矩阵基本运算及其性质 |
| 3.1.2 四元数矩阵的复分解式与导出阵 |
| 3.2 四元数矩阵的相似关系 |
| 3.2.1 基本概念 |
| 3.2.2 相似关系的主要结果 |
| 3.3 四元数矩阵的合同关系 |
| 3.3.1 基本概念 |
| 3.3.2 合同关系的主要结果 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 四元数矩阵的特征值估计及其对角化研究 |
| 4.1 四元数矩阵的特征值性质与估计 |
| 4.2 四元数矩阵对角化的研究 |
| 4.3 本章小结 |
| 5 四元数矩阵广义特征值的分布与估计 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 准备知识 |
| 5.3 四元数矩阵正则矩阵束广义特征值的估计 |
| 5.4 四元数矩阵亚正则矩阵束广义特征值的估计 |
| 5.5 四元数矩阵广义特征值估计的 Gerschgorin 型定理 |
| 5.6 本章小结 |
| 6 四元数矩阵谱半径的估计 |
| 6.1 基本概念 |
| 6.2 谱半径估计的主要结果与证明 |
| 6.3 本章小结 |
| 7 四元数右线性方程组Ax= b 解的扰动性估计 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 一些基本概念和引理 |
| 7.3 四元数扰动矩阵求逆的误差估计定理 |
| 7.4 四元数右线性方程组Ax= b 解的扰动性估计定理 |
| 7.5 本章小结 |
| 8 四元数体上次亚正定矩阵的性质及判定 |
| 8.1 基本定义 |
| 8.2 四元数体上次亚正定矩阵研究的主要结果 |
| 8.3 本章小结 |
| 9 四元数矩阵的直积及其应用 |
| 9.1 四元数矩阵直积的定义和性质 |
| 9.2 两类四元数矩阵方程的可解性研究 |
| 9.2.1 四元数矩阵的拉直及其与四元数矩阵直积的关系 |
| 9.2.2 四元数矩阵方程的可解性 |
| 9.3 本章小结 |
| 10 结论综述 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
（8）矩阵空间之间的保持问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 数学符号 |
| 1.2 课题背景及意义 |
| 1.3 国内外在该方向的研究现状及分析 |
| 1.3.1 保持问题的类型 |
| 1.3.2 保持问题的研究方向 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 第2章 交错矩阵空间之间保持伴随矩阵的线性映射 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 相关引理 |
| 2.3 几个命题和主要结果 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 上三角矩阵空间上保持秩可加的线性映射 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 秩可加的一些性质 |
| 3.3 主要结果和应用 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 矩阵空间之间保持群逆的线性映射 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 立方幂等阵的一些性质 |
| 4.3 主要结果和推论 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 上三角矩阵空间上保持秩交换的加法映射 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 秩交换的一些性质 |
| 5.3 主要结果和反例 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 保持某种乘性函数的加法变换 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 乘性矩阵函数的性质 |
| 6.3 主要结果和应用 |
| 6.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间所发表的论文 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（9）保对称阵Moore-Penrose逆的线性算子（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 符号说明 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 一种特殊的广义逆矩阵-矩阵M-P逆的介绍 |
| 1.2 "线性保持问题"的研究 |
| 1.3 "矩阵广义逆保持问题"的研究 |
| 1.4 本章小结 |
| 第2章 特征2的域上保对称阵M-P逆的线性算子 |
| 2.1 S_n(F)到S_n(F)的保矩阵M-P逆的线性算子 |
| 2.2 M_n(F)上的保矩阵M-P逆的线性算子 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
（10）Gr（?）bner基生成算法的并行（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 参考符号 |
| 第一章 绪论 |
| 第二章 Gr(o|¨) bner基理论 |
| 2.1 算术代数知识 |
| 2.2 项序 |
| 2.3 除法算法 |
| 2.4 域上的Gr(o|¨) bner基 |
| 2.5 环上的Gr(o|¨) bner基 |
| 2.6 主理想环上的Gr(o|¨) bner基 |
| 第三章 Gr(o|¨) bner基的生成算法及其并行 |
| 3.1 并行计算简介 |
| 3.2 生成算法伪代码 |
| 3.3 算法并行及分析 |
| 3.4 实验实例结果检验 |
| 第四章 Gr(o|¨) bner基的并行化应用 |
| 4.1 信息安全 |
| 4.2 零知识证明 |
| 4.3 基于Gr(o|¨) bner基的零知识证明 |
| 4.4 盲签名与部分盲签名 |
| 4.5 实例 |
| 4.6 小结 |
| 第五章 结束语 |
| 5.1 小结 |
| 5.2 发展趋势 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 作者读研期间发表的论文和参与的科研项目 |
四、含幺主理想整环上的线性方程组与一类矩阵方程（论文参考文献）
- [1]格中困难问题的归约及格上密码算法的分析与设计[D]. 王洋. 山东大学, 2020(12)
- [2]多项式整点处的整除性和PID上的不定方程组[D]. 高雯. 江苏师范大学, 2019(12)
- [3]体上矩阵广义逆中若干问题的研究[D]. 宋真真. 天津工业大学, 2016(02)
- [4]环上某些反三角块阵的群逆[D]. 张汉宇. 黑龙江大学, 2014(10)
- [5]卷积网络编码及其相关构造[D]. 赵旭波. 西安电子科技大学, 2014(05)
- [6]几类多变量数字签名方案研究[D]. 鲁晓彬. 解放军信息工程大学, 2012(06)
- [7]四元数体上代数的若干矩阵问题研究[D]. 武传东. 重庆大学, 2009(12)
- [8]矩阵空间之间的保持问题[D]. 张杨. 哈尔滨工业大学, 2008(02)
- [9]保对称阵Moore-Penrose逆的线性算子[D]. 胡静. 黑龙江大学, 2008(03)
- [10]Gr（?）bner基生成算法的并行[D]. 狄鹏. 西安电子科技大学, 2008(S2)