一、具有单位元素1之非结合环的交换性（论文文献综述）
刘献军[1]（2021）在《盖尔范德与赋范环理论的创立》文中研究说明本文以二十世纪开创结构数学为背景,围绕赋范环理论这个中心,对盖尔范德等主要数学家的生平及相关工作进行了总结,系统梳理了赋范环概念及理论产生的历史过程与发展脉络,总结了理论创立后下一步的发展及对数学特别是抽象调和分析的影响。以期能为二十世纪数学史志添砖加瓦、能对相关研究工作提供参考。在具体内容上,主要由以下四部分组成:第一部分介绍了盖尔范德的生平及科学工作,是论文的重点内容。包括他的生平履历、成长环境、数学着述、讨论班,以及三次数学家大会报告、颁奖词、生日贺辞等。特别是作者挖掘了一些新素材、新史料,从数学社会学的角度,剖析了前苏联社会背景及讨论班的风格特点,揭示了盖尔范德对指标定理等数学理论的贡献、阐述了盖尔范德的“数学统一性”哲学理念等等,对于全面了解盖尔范德提供了丰富参考。第二部分介绍了十九二十世纪之交,傅里叶分析、集合论、勒贝格测度与积分、一般拓扑学、抽象代数结构、泛函分析等与赋范环理论相关分支的发展情况。特别是交代了世纪之交结构数学背景,为整体了解赋范环理论诞生前夜的数学概貌做了充分铺垫。第三部分是论文的核心内容,全面厘清了赋范环理论的发展脉络,回答了该理论的起源和发展的历史问题。作者详细梳理了赋范环理论的创立过程,包括前人的研究基础、理论创立过程以及进一步的发展。“巴拿赫空间”的抽象理论建立后,成为了泛函分析及更一般空间研究的出发点。由于巴拿赫空间是完备的赋范线性空间,因此它具有用范数定义的拓扑结构,同时还具有线性空间的代数结构。由于源头是函数变换,一开始数学家还是围绕分析结构展开研究,而对于代数结构方面没有充分发掘,采用的推证手法也都是分析的。后来数学家们逐步注意到乘法不等式及环结构的潜在价值。二十世纪三十年代末,盖尔范德及其学派创立了“赋范环”一词,提出了极大理想等基本概念及系列定理,创造出震动数学界的“赋范环”理论。该理论不仅用代数手法简洁有力地全新诠释了诸如陶伯型定理、维纳定理等分析领域一大批着名的老问题,而且还开创了一系列新领域,是分析结构与代数结构的完美统一。“赋范环”这个概念的由来也是数学家们对数学对象由浅入深的认识过程,最终在美国数学家的改造之下演变为“巴拿赫代数”这个名称。第四部分介绍了赋范环理论创立之后的影响,包括盖尔范德运用赋范环理论开创一般谱论、C*-代数等一系列新领域。特别地,盖尔范德运用赋范环理论建立了抽象调和分析理论,作者从“群视角”梳理调和分析的发展,印证了群结构在数学统一性中的巨大作用。最后给出了非交换调和分析、经典调和分析的情况简介。
马翔宇[2]（2021）在《关于伪强BI-代数与Prequantale的研究》文中研究指明在模糊逻辑的研究中,引入了许多与模糊蕴涵相关的代数结构,如剩余格、基本蕴涵代数、非结合剩余格、量子B-代数等.同时,Quantale理论一直是数学、逻辑学以及计算机科学的研究热点之一.作为Quantale的拓展,对Prequantale（非结合Quantale）结构的研究可以更加深刻地刻画与量子逻辑相关的代数结构.由于基本蕴涵代数是一种非常广泛的代数结构,诸如模糊蕴涵中的（EP）、（PEP）等性质并未在基本蕴涵代数中体现,为了刻画模糊蕴涵的这些特殊性质,本文以基本蕴涵代数为基础,引入伪强BI-代数、剩余伪强BI-代数等新概念,并对其滤子及商结构进行研究.同时,对Prequantale上的滤子、理想、同余及弱同余之间的关系进行探索.本文研究内容和得到的主要结论如下:（1）以基本蕴涵代数为基础,通过添加（PEP）、剩余等条件,引入了强BI-代数、伪强BI-代数、剩余伪强BI-代数等新概念.其中,伪强BI-代数是量子B-代数、伪BCK/BCI代数等相关结构的推广形式.同时,本文构建了伪强BI-代数的滤子理论及其商结构.在此基础上,定义了剩余伪强BI-代数的同余和滤子,建立了相应的商代数结构,证明了非结合剩余格的滤子是剩余伪强BI-代数滤子的特殊情况,进而说明了剩余格、非结合剩余格等相关代数结构的滤子可以统一在剩余伪强BI-代数滤子理论的一般框架之下.（2）在Prequantale（非结合Quantale）已有研究工作的基础上,给出了Prequantale上滤子的定义,深入分析了 Prequantale的滤子、理想与同余之间的关联关系.首次系统地揭示了 Prequantale、半一致模与伪强BI-代数三者之间的内在联系.研究了对合Prequantale的性质,给出了对合Prequantale的同余与同态之间的一一对应关系.之后,引入对合伪强BI-代数、对合完备剩余伪强BI-代数等新概念,并研究了它们与对合Prequantale之间的密切联系,证明了对合Prequantale与对合完备剩余伪强BI-代数可互相导出,从而揭示了伪强BI-代数与Prequantale的内在联系.
袁望桃[3]（2021）在《两类非结合广群及其结构》文中提出半群的研究取得了许多有意义的成果,包括对基本性质及结构（比如分解定理等）的研究,以及半群代数在计算机科学、统计、拓扑、概率及组合等领域的应用。半群是满足结合律的广群（数学上,广群有不同含义。本文的广群又称为群胚,是非空集合上具有一个二元运算的代数系统）,而非结合广群是半环、环、非结合代数（李代数,交错代数等）等复杂代数的基本成分。查阅文献可知,在非结合代数、非结合模糊逻辑、决策等理论方面,以及在图像处理、网络等应用方面,非结合性具有重要意义,且取得了一系列的成果。本文从两个非结合运算律（Tarski Associative律,Type-2 Cyclic Associative律）出发,提出了两类非结合广群,分别称之为TA广群（Tarski Associative 广群）和 T2CA 广群（Type-2 Cyclic Associative 广群）;借鉴半群和正则半群的研究思路和方法,深入研究了某些性质（比如可消性,直积性等）,给出了若干代数结构的分解定理与等价刻画;将两类非结合广群与NET广群（Neutrosophic Extended Triplet广群）结合,提出了TA-NET广群,T2CA-NET广群的新概念,从局部单位元和局部逆元的角度研究了它们的基本性质和结构,探究了这两类广群之间的关系。本文取得的主要研究成果有:（1）给出了 TA广群的一些基本性质,分析了它与其他代数系统之间的关系;首次引入了 TA-NET广群与WC-TA-NET广群（弱可换TA-NET广群）的新概念,证明了如下结论:TA-NET广群与WC-TA-NET广群等价,TA-NET广群每一个元素的局部单位元是唯一的;最后,给出了 TA-NET广群的分解定理:TA-NET广群可分解为极大子群的无交并。（2）从另一种CA（Cyclic Associative）律的形式出发,提出了 T2CA广群（Type-2 Cyclic Associative广群）的新概念,给出了 T2CA广群的一系列性质;提出了 T2CA-NET广群的概念,证明了 T2CA-NET广群与可换正则半群等价;作为T2CA-NET广群的推广,引入了 T2CA-（1,1）-NET 广群、T2CA-（1,r）-NET 广群、T2CA-（r,r）-NET 广群、T2CA-（r,1）-NET广群,证明了它们均与可换正则半群等价;引入了 QNET广群（Quasi Neutrosophic Extended Triplet广群）的新概念,给出了广群成为T2CA-QNET广群、T2CA-NET广群和CA-NET广群的充分必要条件。（3）引入了正则CA广群和逆CA广群的概念,首次证明了正则CA广群和逆CA广群均与CA-NET广群等价;正则CA广群的H类是一个群;最后,借助于正则CA广群,研究了本文提出的两类非结合广群（TA广群,T2CA广群）的关系:a.可换半群既是TA广群也是T2CA广群。b.TA广群与T2CA广群互不包含。c.左可换TA广群是T2CA广群,左可换T2CA广群是TA广群。
赵汝菊[4]（2020）在《对合环及代数上的几种广义逆》文中指出广义逆理论不仅在矩阵论、算子理论、微分方程、数值分析和马尔可夫链等方面有着重要的应用,而且在统计学、密码学、控制论和编码理论等领域有广泛的应用.基于广义逆理论在上述各领域的应用,本论文对对合环和代数上的几类广义逆进行系统地研究,全文分为以下六章:第一章介绍所讨论问题的研究背景以及本博士学位论文的主要研究内容.第二章陈述本文所需要的预备知识.第三章我们首先讨论环中元素a成为强左（b,c）-可逆元,元素b成为右ca-正则元和元素a成为（b,c）-可逆元三者之间的关系;进而用环中右（左）c-正则元的性质来给出环中一个元素成为群可逆元（或MP-可逆元,或EP元）的充要条件,并且给出拟正则环和直接有限环中右（左）c-正则元的性质;最后给出环中强左（b,c）-可逆元为（b,c）-可逆元的条件,并且证明若环中任意不能被左极小幂等元e左零化的元素都为（e,e）-可逆元,则该环为左极小Abel环.第四章我们通过研究一些特定方程在给定集合中的解,给出对合环中一个既是群可逆元又是MP-可逆元的元素成为EP元（或偏等距元,或正规EP元,或强EP元）的条件,并且去掉或者减弱一些关于EP元已有结果的条件结论仍成立.第五章我们首先研究对合环中MP-可逆元的存在性,此思想源于C*-代数中MP-可逆元的存在性证明.特别地,对合环中元素a为MP-可逆元当且仅当其为特殊（a*,a*）-正则元.进而,我们给出C*-代数中加权EP元和加权偏等距元的等价刻画.例如:C*-代数中正则元a为（e,f）-加权偏等距元当且仅当元素aa*f,e为幂等元,当且仅当元素a*f,ea为幂等元,其中元素e,f为C*-代数中的正定可逆元.最后,我们把C*-代数中加权偏等距元的结果应用于偶阶复数张量上.第六章我们把对合环MP-逆的反序律和C*-代数加权MP-逆的反序律的一些结论推广到偶阶复数张量上.具体地,2K阶偶阶复数张量A和B若满足MP-逆的反序律当且仅当元素B（?）*K A（?）为张量A*KB的{1,3,4}-逆;若满足加权MP-逆的反序律当且仅当元素BNM（?）*KAPN（?）为张量A*KB的（P,M）-加权{1,3,4}-逆,其中K为任意正整数且M,P,N都是厄米特正定张量.
毛小燕,特木尔朝鲁[5]（2020）在《低阶CA-广群及其分类》文中认为群是描述基于结合律的对称性的基本代数结构.为了表达更一般的对称性（或变异对称性）,群的概念被以各种方式推广.循环结合广群（CA-广群）是以非结合环、左弱Novikov代数和CAAG-广群为背景,基于循环结合律的代数结构,对于探讨低阶CA-广群及其分类进而深入研究CA-广群具有重要意义.本文介绍了CA-广群、中智扩展三元组群（NET-群）等基本概念及其基本性质,并借助Matlab软件设计计算程序得到了全部3阶和4阶不同构的CA-广群,也给出其完全分类.
王淑红[6]（2019）在《非交换环论的早期实践基础与理论构建》文中指出非交换环论是环论的重要组成部分之一。它起源于四元数、外代数、群代数、矩阵等一些具体的案例,其后数学家们对这些案例进行整合和思想升华,进行分类和结构研究,构建出了非交换环论,对现代数学的发展产生了举足轻重的影响。通过文献考证与概念分析,对早期非交换环论的实践基础与理论构建进行历史分析,探索早期非交换环论进入一个个新境地的里程碑和决定因素。
姚华[7]（2019）在《EP元与三类双参数广义逆及其相关问题研究》文中提出广义逆最早产生于算子理论.在解线性方程组时,如何处理系数矩阵为奇异矩阵,以及不是方阵的情况,促使人们考虑矩阵的广义逆.广义逆也由此在代数领域产生并获得丰富的发展.它的应用现已扩展到数理统计、现代控制理论、最优化理论、图论、网络系统、数学规划和经济学等领域.在广义逆的发展过程中,Moore-Penrose逆起了重要的作用.一方面,它的定义简洁优美,具有很强的实用价值;另一方面,由它衍生出了多种其它类型的广义逆.比如只满足Moore-Penrose逆部分条件的,有重要的{1,3}-逆:当元素的Moore-Penrose逆和群逆相等时,我们又得到EP元.除了上述传统的广义逆,近年来又出现了一些新型的有意义的广义逆.比如把Moore-Penrose逆、Drazin逆、Chipman’s权逆和Bott-Duffin逆都概括为其特殊情形的（b,c）-逆、介于Bott-Duffin逆和（n,c）-逆之间的Bott-Duffin（e,f）-逆,以及作为弱霍普夫代数内作用基础的（e,f）-逆等.这三类广义逆的一个共同特点是,它们都定义在两个提前选定的元素基础上,为方便,我们统称它们为双参数广义逆.本文在有单位元的结合环的背景下,研究EP元与三类双参数广义逆以及和它们相关的一些问题.全文分为三章,其中第一章为绪论.第二章研究EP元及与其相关的广义逆,分为三节.{1,3}-逆满足EP元的一部分条件,放在这一章的第一节讨论.我们首先给出了元素{1,3}-逆元集合的两个表达式.然后讨论元素是{1,3}-可逆元的充要条件以及{1,3}-可逆元的性质.其中包括我们把左*-可消元的概念推广成左*-n可消元,并证明元素u是{1,3}-可逆元当且仅当u*u是正则的,且u是左*-2可消的.接下来,通过一个方程的有解性刻画了 {1,3}-可逆元.也通过有特定性质的幂等元的存在性来刻画{1,3}-可逆元.我们还证明环R中的{1,3}-可逆元u如果属于R的子环ZE（R）,那么在ZE（R）中必存在u的{1,3}-逆元.此章第二节研究EP元.首先给出EP元的多个等价刻画.对于既是群可逆又是Moore-Penrose可逆的元素a,定义了集合χa.然后找到一些方程,使得环中元素是EP元等价于这些方程在χa中有解.接着利用方程的相容性来刻画EP元.利用对EP元的讨论,并结合一些方程的解,对正规元和正规EP元进行了刻画.证明一个元素是EP元和这个元素是*-强正则元是等价的,于是元素都是EP元的环就是*-强正则环.最后讨论了*-强正则环与Abel环,*-exchange环等的关系.此章第三节研究GEP元和强EP元.首先减弱EP元的条件,把它推广成为GEP元的概念.给出了元素是GEP元的几个等价条件.然后证明一个GEP元,如果还是Moore-Penrose可逆的,或者群可逆的,那么它就成为EP元.接下来又研究了同时也是偏等距的EP元（称为强EP元）的性质.找到了方程,使得它在χa中有解等价于a是偏等距.也找到了方程,使得它在χa中有解等价于a是强EP元.第三章研究三类双参数广义逆,分为三节.第一节讨论（b,c）-逆,首先从环论角度刻画（6,c）-逆,得到元素是（n,c）-可逆元的一些充要条件.然后找到几个方程,使环中元素的（n,c）-可逆性与相应方程的有解性等价.最后,我们引进了强（b,c）-逆的概念并研究了它的性质.特别地,讨论了强（6,c）-逆与EP元之间的关系.此章第二节研究Bott-Duffin（e,f）-逆.主要地,我们通过Bott-Duffin（e,f）-逆给出一个环是Abel环、直接有限环、左极小Abel环和强左极小Abel环的充要条件.在此节的最后,我们证明了Bott-Duffin（e,f）-逆在卷积代数中跟余代数的余根C0有关的一个定理.该定理表明卷积代数HomF（C,A）中的元素φ是Bott-Duffin（e,f）-逆元当且仅当φ0在HomF（C0,A）中是Bott-Duffin（e0,f0）-逆元.此章第三节研究（e,f）-逆.我们给出了元素存在（e,f）-逆的一些充要条件,讨论了当环中存在元素有（e,f）-逆时,幂等元e和f需要满足的条件.还利用（e,f）-逆刻画了 Abel环、左极小Abel环和强左极小Abel环.
李婧[8]（2017）在《基于访问结构的数据加密与共享协议的研究》文中进行了进一步梳理随着开放式网络环境的发展,用户信息泄露的风险不断增加。其安全威胁主要来源于未经授权的用户对隐私数据的非法访问。因此,在数据加密系统中完善对用户访问权限的控制是解决用户隐私泄露问题的关键。本文主要围绕基于访问结构的数据加密与共享协议展开研究:针对密钥管理问题提出秘密共享方案;针对数据本身的保密性提出不同访问结构下的加密方案,其中主要研究方案的构造思想、数学平台及相应的难题假设。通过分析已有的经典攻击算法和量子攻击算法,将交换代数结构下的加密体制推广到了非交换代数领域中得到一些抵抗量子攻击算法的加密方案。本文主要取得如下研究成果:（1）针对密钥管理构造了一种无可信第三方的秘密共享方案,该方案无需借助可信第三方来完成秘密分发,同时支持任意分发者的多秘密分享。方案实现了门限结构和敌手结构,在实际应用中可以规定某些参与者集合为非授权子集,提供了访问秘密的灵活性。进一步,参与者在生成秘密重构份额的同时构造了秘密验证份额,利用拉格朗日插值算法的加法同态性使得方案具有预验证功能。即参与者在重构秘密前能够验证彼此份额的真实性。最后,基于抗碰撞哈希函数实现了方案的动态性,即方案允许参与者动态地加入和退出而不影响安全性。（2）针对局域网数据保密需求,基于非交换代数结构设计了一个新的对称加密框架——星拓扑加密,该体制涉及到一个中心服务器和多个用户,用户可以独立地与中心服务器进行交互。方案中每个用户只需持有一个解密密钥,该方案实现了高效的多对一对称加密模式。方案具有匿名性、可验证性以及不可否认性,其安全性依赖于非交换群分解难题。该方案可以应用于商务对话、医疗服务等系统。（3）针对Cramer-Shoup公钥加密体制的非交换模拟,Vasco M等人在TCC’05年会上提出一个公开问题,即如何基于非交换代数结构设计选择密文攻击模型下可证明安全的加密方案。本文首先定义了作用可换集族的概念,并结合Cramer-Shoup密码体制提出新加密框架,同时给出该框架在标准模型自适应选择密文攻击下的安全性证明方法。进一步,对非交换代数结构中的判定型难题假设进行研究,定义了判定型非交换群分解问题及共辗搜索问题。此外,利用该框架构造了基于切比雪夫多项式的混沌加密方案,即方案达到了自适应选择密文攻击模型下不可区分性,从而回答了 Liao X等人提出的问题。（4）针对多对多的加密模式,本文围绕属性基加密体制展开分析,以提高属性基加密方案的效率为目标,提出一个高效的外包属性基加密方案。该方案利用一种盲化技术对加密算法中的秘密随机数进行盲化。加密用户持有外包密钥（即加密转换密钥）将加密过程中高复杂度的模指数运算外包给云服务器,解密算法利用了 Green外包解密技术来实现。方案的优势在于同时将加、解密算法的模指数运算降低到常数级。此外,方案利用哈希函数实现了可验证性,即解密用户能够检验云服务器行为的诚实性以及消息的真实性。（5）针对密文的可操作性,本文重点研究了全同态加密体制。通过噪声管理机制对已有全同态方案进行分类,讨论了基于噪声的构造技术和无噪声构造技术。进一步提出一个新的无噪声全同态加密框架,同时给出安全性分析。最后深入研究了几类典型的无噪全同态加密方案并得出结论:多数无噪声全同态方案均受到线性攻击。
朱辉辉[9]（2016）在《环上元素的Moore-Penrose逆及Drazin逆》文中提出Moore-Penrose逆与Drazin逆是两类非常重要的广义逆,在复矩阵、Banach代数、C*-代数等领域已经取得了相对完善的成果.在这两类广义逆的研究过程中,出现了很多新型的广义逆.如2010年新引入的核逆、对偶核逆,2011年引入的Mary逆.本文主要在半群、环上研究元素的Moore-Penrose逆、Drazin逆、核逆、对偶核逆及Mary逆.第二章首先在*半群S中定义了左*-正则和右*正则的概念,证明了一个元素是左*-正则的当且仅当它是右*-正则的当且仅当它是Moore-Penrose可逆的,即a ∈ S是Moore-Penrose可逆的当且仅当存在x ∈ S使得a = aa*ax当且仅当存在y ∈ S使得a=yaa a 而且a（?）=（ax）*=（ya）*.然后,在*-环中用某些元素的单边逆给出了三个元素积的Moore-Penrose逆存在性的刻画.进一步地,考虑了元素乘积的{1,3}-逆和{1,4}-逆存在性刻画.作为应用,给出了环上的（2,2,0）矩阵的Moore-Peurose逆的存在准则和表达式.最后,在一类*-正则环中,给出了环上2 × 2矩阵的Moore-Penrose逆的表达式,改进了 Hartwig和Patricio发表在Oper.Matrices上的结果.第三章中首先研究在某些元素的*可消条件下,给出了投影元的差与积的Moore-Penrose逆存在的充分必要条件及公式.其次,考虑了幂等元的差与积的Drazin逆,给出了两个幂等元的差与积的Drazin逆存在的充要条件,推广了Cvetkovic-Ilic和Deng发表在J.Math.Anal.Appl.上的结果与Koliha等发表在Linear Algebra Appl.上的结果.第四章首先在半群中讨论centralizer的一些性质及其刻画,并在环中用centralizer和单边逆给出了正则元素的Moore-Penrose逆的存在准则及其表示,推广了 Patricio与Mendes Araujo 的Moore-Penrose逆的存在准则.然后考虑了 centralizer在 Drazin逆上的应用,给出了两个Drazin可逆元素之差的Drazin逆存在的充分必要条件,推广了Deng在Appl.Math.Comput上的结果.最后,在广义交换的条件下,考虑了 Drazin可逆元素之和的Drazin逆的存在性问题、Drazin可逆元素之积的Drazin逆的表达式.第五章首先在*-半群中引入了左g-MP逆和右g-MP逆的定义,给出了它们存在性的刻画,并在*-环中得到元素a既是左g-MP可逆的又是右g-MP可逆的当且仅当它既是核可逆的又是对偶核可逆的.然后,我们考虑了核逆的双交换性和反序律.其次,通过可逆元给出了正则元素的核逆和对偶核逆的存在准则及其表达式.作为应用,得到了环上的2 × 2矩阵的核逆与对偶核逆的存在准则及其表达式.第六章首先在半群中引入了单边Mary逆的概念,并给出了它们的存在准则.特别地,在环中用单边逆刻画了单边Mary逆的存在性.作为应用,得到了环上2×2矩阵的Mary逆的刻画和表达式,推广了 Mary和Patricio发表在Appl.Math.Comput.上的结果.然后,考虑了 Mary逆的反序律和三个元素积的Mary逆的存在准则.最后,我们在环中证明了 Mary逆的吸收律成立.
彭宅铭[10]（2016）在《关于环的广义交换性研究》文中研究指明本文主要研究环的广义交换性,在P.M.Chon介绍的可逆环以及G.Mason提出的自反性概念的基础上,研究可逆环和自反环的一些推广,介绍斜强M-可逆环,强?-自反环,强自反环,强M-自反环和强M-?-自反环的定义,并探讨它们的性质,将得出一些全新的结果,并给出一些经典的结论的推广.全文主要分为五章,各章具体内容安排如下:第一章,介绍所讨论问题的背景以及相应的预备知识,介绍可逆环,自反环,约化环,rigid环,可分环,半交换环等概念以及相关结论.第二章,主要研究斜强M-可逆环,作为强自反环和强M-可逆环的推广.首先,对M-可分环R,幺半群M和幺半群同态ω:M→End（R）,证明R是斜强M-可逆环当且仅当aR和（1-a）R是斜强M-可逆环.其次,考虑Abel群G与斜强G-可逆环,商环R/I与斜强M-可逆环关系,给出R/I是斜强M-可逆环但是环R不是斜强M-可逆环的例子.最后,证明如果R是有经典右商环Q的右Ore环,R是斜强M-可逆环当且仅当Q是斜强M-可逆环.第三章,作为自反环的推广,介绍多项式环和幺半群环上的强自反环.首先,给出强自反环和强M-自反环的定义及相关例子.其次,研究这两类环与其它的环之间的关系以及一些简单的扩张,并证明环R是强自反环当且仅当R[x]是强自反环当且仅当R[x;x-1]是强自反环.对于有经典右商环Q的右Ore环R,R是强自反环当且仅当Q是强自反环.最后,研究强M-自反环的性质,证明如果M是u.p.-幺半群,R是约化环,则R是强M-自反环.第四章,主要介绍α-自反环的推广,称之为强α-自反环.首先,给出强α-自反环的定义和一些相关的例子,并研究强α-自反环的性质.其次,对于环R的自同态α,证明R[x]是强α-自反环当且仅当R[x;x-1]是强α-自反环.另外,证明如果环R是Armendariz环,R是α-自反的当且仅当R是强α-自反的当且仅当R[x;x-1]是强α-自反的.最后,证明如果R是一个右Ore环,并且R[x]是α-rigid环,则R是强α-自反当且仅当它的经典右商环Q是强α-自反.第五章,作为强α-自反环的推广,将强α-自反环的性质推广到幺半群环上,并给出强M-α-自反的定义以及相关的例子.一方面,证明当环R是约化环,M是u.p.-幺半群时,如果R是强α-自反环,则R是强M-α-自反环.如果R是右Ore环,M是u.p.-幺半群,当R[M]是α-rigid环时,R是强M-α-自反的当且仅当它的经典右商环Q是强M-α-自反的.另一方面,对于上三角矩阵环的子环S3（R）和Wn（R）,如果环R是α-自反和约化的,则S3（R）和Wn（R）是强M-α-自反环.另外,对于幺半群M和N,如果环R是强M-α-自反和约化的,则R[N]是强M-α-自反环,R是强（M×N）-α-自反环.
二、具有单位元素1之非结合环的交换性（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、具有单位元素1之非结合环的交换性（论文提纲范文）
（1）盖尔范德与赋范环理论的创立（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 引言 |
| 1 盖尔范德生平及科研工作 |
| 1.1 生平简介 |
| 1.1.1 少年寒窗 |
| 1.1.2 异域谋生 |
| 1.1.3 莫大逐梦 |
| 1.1.4 移居美国 |
| 1.2 社会背景 |
| 1.2.1 苏共重视教育科研 |
| 1.2.2 科教改革举措频频 |
| 1.2.3 数学普及成绩斐然 |
| 1.3 科研工作 |
| 1.3.1 成果丰硕 |
| 1.3.2 笃实求真 |
| 1.3.3 涉猎广泛 |
| 1.3.4 遗产丰富 |
| 1.3.5 圣者聚贤 |
| 1.4 数学讨论班介绍 |
| 1.4.1 时代背景 |
| 1.4.2 持之以恒 |
| 1.4.3 风格鲜明 |
| 1.4.4 成效显着 |
| 1.5 数学家大会报告、荣誉及生日贺辞 |
| 1.5.1 三次数学家大会报告 |
| 1.5.2 荣誉等身 |
| 1.5.3 生日贺辞 |
| 2 赋范环理论诞生前的数学背景 |
| 2.1 傅里叶分析 |
| 2.2 集合论 |
| 2.3 勒贝格测度与积分 |
| 2.4 一般拓扑学 |
| 2.5 群,环与理想 |
| 2.6 泛函分析 |
| 3 赋范环理论的创立 |
| 3.1 站在巨人的肩膀上 |
| 3.1.1 1929年冯·诺依曼给出希尔伯特空间公理化定义并创立“算子环” |
| 3.1.2 1932年三部经典着作问世 |
| 3.1.3 1932年维纳引入了三角不等式 |
| 3.1.4 1936年南云道夫提出“线性度量环”的定义 |
| 3.1.5 1936年吉田耕作给出“度量完备环”的定义 |
| 3.1.6 1938年马祖对赋范代数理论的贡献 |
| 3.1.7 1939年迪特金研究了一类赋范环上的理想 |
| 3.2 盖尔范德创立交换赋范环理论 |
| 3.2.1 副博士学位论文、博士学位论文 |
| 3.2.2 三篇论文概要 |
| 3.2.3 证明维纳定理 |
| 3.3 名称的变化及进一步的发展 |
| 3.3.1 1945年安布罗斯引入术语“巴拿赫代数” |
| 3.3.2 1956年奈玛克出版《赋范环》 |
| 3.3.3 1960年里卡特出版《巴拿赫代数通论》 |
| 3.3.4 巴拿赫代数的例子 |
| 3.3.5 “赋范环”与“巴拿赫代数”概念之比较 |
| 3.3.6 方兴未艾 |
| 4 赋范环理论对其它分支的影响 |
| 4.1 盖尔范德创立赋范环理论之后的相关工作 |
| 4.1.1 建立一般谱论 |
| 4.1.2 建立C*-代数的一般理论 |
| 4.2 抽象调和分析理论的建立 |
| 4.2.1 拓扑群的引入 |
| 4.2.2 哈尔测度的建立 |
| 4.2.3 盖尔范德运用赋范环理论建立局部紧致群上的调和分析 |
| 4.3 从群论视角看调和分析的发展 |
| 4.3.1 调和分析的群论思想溯源 |
| 4.3.2 抽象调和分析研究中的分类讨论 |
| 4.3.3 群视角对调和分析分类 |
| 4.3.4 非交换调和分析的发展 |
| 4.3.5 经典调和分析的繁荣 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 附录1. 盖尔范德讨论班演讲者名录 |
| 附录2 奈玛克《赋范环》(1956)目录 |
| 附录3 里卡特《巴拿赫代数通论》(1960)目录 |
| 攻读学位期间科研活动经历以及科研成果清单 |
| 致谢 |
（2）关于伪强BI-代数与Prequantale的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 源于模糊逻辑的代数结构研究现状 |
| 1.2 与量子逻辑相关的代数结构研究进展 |
| 1.3 本文研究思路以及章节安排 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 模糊蕴涵算子 |
| 2.2 序和格 |
| 2.3 三角模与半一致模 |
| 2.4 Quantale与Prequantale |
| 3 伪强BI-代数及其相关代数结构 |
| 3.1 强BI-代数和左/右剩余BI-代数 |
| 3.1.1 强BI-代数 |
| 3.1.2 左/右剩余BI-代数及剩余强BI-代数 |
| 3.2 伪强BI-代数及其滤子 |
| 3.2.1 伪强BI-代数 |
| 3.2.2 伪强BI-代数的滤子 |
| 3.2.3 伪强BI-代数的同余及其商结构 |
| 3.3 剩余伪强BI-代数及其滤子 |
| 3.3.1 剩余伪强BI-代数 |
| 3.3.2 剩余伪强BI-代数的滤子 |
| 3.3.3 剩余伪强BI-代数的同余及其商结构 |
| 4 Prequantale与对合Prequantale |
| 4.1 Prequantale的滤子、理想及同余 |
| 4.1.1 Prequantale滤子与理想 |
| 4.1.2 Prequantale的同余与弱同余 |
| 4.2 Prequantale与伪强BI-代数 |
| 4.3 对合Prequantale与对合伪强BI-代数 |
| 4.3.1 对合Prequantale |
| 4.3.2 对合Prequantale同余与同态 |
| 4.3.3 对合伪强BI-代数 |
| 5 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 攻读学位期间发表的学术论文目录 |
（3）两类非结合广群及其结构（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号说明 |
| 1 引言 |
| 1.1 半群及相关代数系统研究现状 |
| 1.2 相关非结合广群研究现状 |
| 1.3 本文的研究思路及安排 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 半群的基本概念及相关结论 |
| 2.2 几类非结合广群的基本概念及其关系 |
| 2.3 中智扩展三元组广群与中智扩展三元组群 |
| 3 TA广群及其分解定理 |
| 3.1 TA律与TA广群 |
| 3.2 TA广群的性质 |
| 3.3 TA-NET广群和WC-TA-NET广群 |
| 3.4 TA-NET广群的分解定理 |
| 4 T2CA广群的性质及结构 |
| 4.1 T2CA律与T2CA广群 |
| 4.2 T2CA广群的一些性质 |
| 4.3 T2CA-NET广群 |
| 4.4 QNET和T2CA-QNET广群 |
| 5 TA广群与T2CA广群之间的关系 |
| 5.1 CA广群的正则元和逆元 |
| 5.2 正则CA广群和CA-NET广群 |
| 5.3 CA广群的格林关系 |
| 5.4 几类广群之间的关系 |
| 6 总结与展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 攻读学位期间发表的学术论文目录 |
（4）对合环及代数上的几种广义逆（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 常用符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题背景和发展概况 |
| 1.2 本文结构与主要结果 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 c-正则元,(b,c)-逆和左极小Abel环 |
| 2.2 对合环上的EP元,偏等距元和特殊(c,b)-正则元 |
| 2.3 C~*-代数上的MP-逆和加权偏等距元 |
| 2.4 偶阶张量上的MP-逆和加权偏等距元 |
| 第三章 对合环上的右c-正则元和(b,c)-逆 |
| 3.1 c-正则元 |
| 3.2 (b,c)-逆和强左(b,c)-逆 |
| 3.3 (b,c)-逆和左极小Abel环 |
| 第四章 对合环上的EP元和偏等距元 |
| 4.1 EP元 |
| 4.2 偏等距元和两类特殊EP元 |
| 第五章 C~*-代数和偶阶张量上的加权偏等距元 |
| 5.1 对合环上的MP-逆 |
| 5.2 C~*-代数上的加权EP元和加权偏等距元 |
| 5.3 偶阶张量上的加权偏等距元 |
| 第六章 偶阶张量的反序律 |
| 6.1 MP-逆的反序律 |
| 6.2 加权MP-逆的反序律 |
| 参考文献 |
| 读博期间发表文章目录 |
| 致谢 |
（6）非交换环论的早期实践基础与理论构建（论文提纲范文）
| 一非交换环论的早期实践基础 |
| 二皮尔斯对非交换环论的研究 |
| 三早期非交换环论的结构理论 |
| 四结论 |
（7）EP元与三类双参数广义逆及其相关问题研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 常用符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题背景与发展概况 |
| 1.2 本文结构与主要结果 |
| 1.3 基本定义 |
| 第二章 EP元及与其相关的广义逆 |
| 2.1 {1,3}-逆 |
| 2.2 EP元 |
| 2.2.1 EP元的环论刻画 |
| 2.2.2 由方程的解刻画EP元 |
| 2.2.3 EP元与方程的相容性 |
| 2.2.4 EP元与正规元 |
| 2.2.5 EP元与*-强正则环 |
| 2.2.6 EP元与*-exchange环 |
| 2.3 GEP元和强EP元 |
| 2.3.1 GEP元 |
| 2.3.2 强EP元 |
| 第三章 三类双参数广义逆 |
| 3.1 (b,c)-逆 |
| 3.1.1 (n,c)-逆的环论刻画 |
| 3.1.2 由方程刻画(b,c)-逆 |
| 3.1.3 强(n,c)-逆 |
| 3.2 Bott-Duffin(e,f)-逆 |
| 3.3 (e,f)-逆 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 读博期间发表文章目录 |
（8）基于访问结构的数据加密与共享协议的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号对照表 |
| 缩略语表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 秘密共享的研究现状 |
| 1.2.2 权限加密体制的研究现状 |
| 1.2.3 全同态加密的研究现状 |
| 1.2.4 密码体制的安全性 |
| 1.3 本文主要研究工作和成果 |
| 1.4 章节安排 |
| 第二章 基本概念与基本工具 |
| 2.1 相关数学基础 |
| 2.2 密码学难题 |
| 2.3 密码学基础知识 |
| 2.3.1 可证明安全 |
| 2.3.2 秘密共享基础知识 |
| 2.3.3 属性基加密的基础知识 |
| 2.3.4 (全)同态加密的概念 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 支持敌手结构的无可信第三方的多秘密共享方案 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 秘密共享方案 |
| 3.2.1 方案构造 |
| 3.2.2 安全性分析 |
| 3.2.3 正确性证明 |
| 3.3 性能分析 |
| 3.3.1 动态性 |
| 3.3.2 效率分析 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 网络对话中的星拓扑加密 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 加密模型及安全需求 |
| 4.2.1 星拓扑加密模型 |
| 4.2.2 星拓扑加密的安全需求 |
| 4.3 星拓扑加密方案 |
| 4.3.1 方案构造 |
| 4.3.2 安全性分析 |
| 4.3.3 效率分析 |
| 4.3.4 方案性能说明 |
| 4.4 数学平台 |
| 4.4.1 可逆群环矩阵的构造方法 |
| 4.4.2 非交换性 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 基于作用可换集族的Cramer-Shoup加密模拟 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 Cramer-Shoup加密框架 |
| 5.2.1 作用可换集族 |
| 5.2.2 加密框架构造 |
| 5.2.3 安全证明 |
| 5.2.4 作用可换集族的实例化 |
| 5.3 基于非交换群分解问题的Cramer-Shoup模拟 |
| 5.3.1 方案构造 |
| 5.3.2 方案的安全性 |
| 5.3.3 对非交换难题假设的思考 |
| 5.4 基于切比雪夫多项式的安全模拟 |
| 5.4.1 方案构造 |
| 5.4.2 安全性证明 |
| 5.5 安全性对比 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 可验证的外包属性基加密方案 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 方案的加密模型及安全模型 |
| 6.2.1 加密模型 |
| 6.2.2 安全模型 |
| 6.3 外包属性基加密方案 |
| 6.3.1 方案构造 |
| 6.3.2 安全性分析 |
| 6.3.3 性能分析 |
| 6.4 本章小结 |
| 第七章 全同态加密体制 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 全同态的噪声管理 |
| 7.2.1 基于噪声的全同态体制 |
| 7.2.2 无噪声的全同态体制 |
| 7.3 无噪声全同态加密体制的典型构造与攻击 |
| 7.3.1 基于非交换群的构造 |
| 7.3.2 基于八元数环的构造 |
| 7.3.3 基于向量空间的构造 |
| 7.3.4 基于三角矩阵的构造 |
| 7.4 本章小结 |
| 第八章 总结与展望 |
| 8.1 本文工作总结 |
| 8.2 研究工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文目录 |
（9）环上元素的Moore-Penrose逆及Drazin逆（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 课题的研究背景和发展概况 |
| §1.2 主要研究内容及结论 |
| §1.3 基本概念 |
| §1.4 符号说明 |
| 第二章 Moore-Penrose逆的刻画与表示 |
| §2.1 左*-正则,右*-正则及Moore-Penrose逆 |
| §2.2 元素的{1,3}-逆和{1,4}-逆的刻画及其应用 |
| §2.3 环上(2,2,0)矩阵的Moore-Penrose逆的表示 |
| §2.4 *-正则环上的2×2矩阵的Moore-Penrose逆的表示 |
| §2.5 本章小结 |
| 第三章 投影元的差与积的Moore-Penrose逆与幂等元的差与积的Drazin逆 |
| §3.1 投影元的差与积的MoorePenrose逆 |
| §3.2幂等元的差与积的Drazin逆的存在性的刻画 |
| §3.3 幂等元的差与积的Drazin逆的表示 |
| §3.4 本章小结 |
| 第四章 元素的和与积的Moore-Penrose逆及Drazin逆 |
| §4.1 Centralizer及其性质 |
| §4.2 Moore-Penrose逆的存在准则 |
| §4.3 Centralizer在Drazin逆上的应用 |
| §4.4 环上元素和与积的Drazin逆的表示 |
| §4.5 本章小结 |
| 第五章 环上元素的核逆与对偶核逆 |
| §5.1 左g-MP逆与右g-MP逆 |
| §5.2 核逆的双交换性和反序律 |
| §5.3 核逆及对偶核逆的刻画与表示 |
| §5.4 核逆及对偶核逆在矩阵上的应用 |
| §5.5 本章小结 |
| 第六章 Mary逆的刻画与表示 |
| §6.1 单边Mary逆的存在准则与应用 |
| §6.2 环上矩阵的Mary逆的存在准则与表示 |
| §6.3 Mary逆的反序律 |
| §6.4 Mary逆的吸收律 |
| §6.5 本章小结 |
| 参考文献 |
| 附录一 攻读博士学位期间完成论文列表 |
| 附录二 个人简历及学术活动 |
| 附录三 致谢 |
（10）关于环的广义交换性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| §1.1 背景 |
| §1.2 基本概念和结论 |
| §1.3 幺半群环与斜幺半群环 |
| 第二章 幺半群上的斜强可逆环 |
| §2.1 斜强M 可逆环 |
| §2.2 斜强M-可逆环及相关环 |
| 第三章 强自反环及其推广 |
| §3.1 强自反环 |
| §3.2 幺半群上的强自反环 |
| 第四章 强α-自反环 |
| §4.1 强α-自反环及相关环 |
| §4.2 强α-自反环的扩张 |
| 第五章 幺半群上的强α-自反环 |
| §5.1 强M-α-自反环 |
| §5.2 强M-α-自反环的扩张 |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 附录一 硕士期间已完成论文列表 |
| 附录二 致谢 |
四、具有单位元素1之非结合环的交换性（论文参考文献）
- [1]盖尔范德与赋范环理论的创立[D]. 刘献军. 河北师范大学, 2021
- [2]关于伪强BI-代数与Prequantale的研究[D]. 马翔宇. 陕西科技大学, 2021(09)
- [3]两类非结合广群及其结构[D]. 袁望桃. 陕西科技大学, 2021(09)
- [4]对合环及代数上的几种广义逆[D]. 赵汝菊. 扬州大学, 2020(01)
- [5]低阶CA-广群及其分类[J]. 毛小燕,特木尔朝鲁. 宁波大学学报(理工版), 2020(03)
- [6]非交换环论的早期实践基础与理论构建[J]. 王淑红. 科学技术哲学研究, 2019(04)
- [7]EP元与三类双参数广义逆及其相关问题研究[D]. 姚华. 扬州大学, 2019(01)
- [8]基于访问结构的数据加密与共享协议的研究[D]. 李婧. 北京邮电大学, 2017(02)
- [9]环上元素的Moore-Penrose逆及Drazin逆[D]. 朱辉辉. 东南大学, 2016(12)
- [10]关于环的广义交换性研究[D]. 彭宅铭. 安徽工业大学, 2016(03)