一、关于常微分方程解的存在唯一性簡介(續)（论文文献综述）
徐宇锋[1]（2014）在《广义分数阶微积分中若干问题的研究》文中研究指明摘要：研究了几类分数阶常微分方程边值问题的存在性.介绍了广义分数阶微积分的基本理论,研究了广义分数阶谐振子的动力学,研究了广义分数阶对流-扩散方程的数值解和扩散特征,以及广义分数阶变分问题.全文由7部分组成.第1章介绍了分数阶微积分的起源和历史,以及近代分数阶微积分理论的创新与发展.主要从分数阶常微分方程的边值问题,分数阶微分方程的数值计算,广义分数阶导数及其分数阶变分问题等四个方面对现代分数阶微积分理论的发展进行了综述.最后介绍了全文的主要工作.第2章介绍了Banach空间和拓扑度理论基础,Riemann-Liouville分数阶积分,Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数的定义和基本性质.第3章研究了分数阶常微分方程边值问题.利用拓扑度理论中的经典不动点定理研究了Banach空间中带有非正则型边界条件、积分型边界条件和反周期边界条件的分数阶边值问题,获得了上述边值问题普通解和正解存在的充分条件.第4章介绍了第一类广义分数阶算子：K-算子,A-算子和B-算子.研究了这类广义分数阶算子的基本性质以及在扩散波动方程和谐振子方程中的应用.研究了带有指数型核函数的B-算子定义的广义分数阶扩散波动方程的数值解.通过选取指数型核函数,分数次幂核函数和弱奇异型核函数等不同类型的核函数,定义了不同的广义分数阶谐振子方程和广义van der Pol振子.利用有限差分法求解了上述广义谐振子方程,发现广义谐振子具有十分复杂的动力学行为,且不同的动力学性质依赖于核函数的选择.经典van der Pol振子的混沌行为依赖于合适的外力驱动,且极限环在没有外力作用时不会与自身交叉.但是在广义vander Pol振子中,即使没有外力作用,当核函数为弱奇异型时,仍然可以观察到混沌现象以及极限环自身的交叉.第5章介绍了第二类广义分数阶微积分理论,研究了这类分数阶算子的基本性质和在偏微分方程中的应用.广义分数阶积分和微分算子依赖于尺度函数和权重函数,许多已有的分数阶积分和导数可视为广义分数阶算子的特殊情形.首先研究了带有广义分数阶导数的时间分数阶Burgers方程的数值格式和数值解.发现尺度函数和权重函数对Burgers方程的解的扩散特征有显著的影响.考虑了四种不同的尺度函数和两类不同的权重函数,比较了不同的尺度函数和权重函数对扩散速度的具体作用.其次,研究了带有广义分数阶导数的时间分数阶对流一扩散方程的数值解.通过选取一些典型的尺度函数和权重函数,研究了对流-扩散方程解的扩散特征对方程参数,尺度函数,权重函数以及源项函数的依赖性.最后,推导了常系数广义时间分数阶对流-扩散方程的解析解.广义分数阶算子和带权重的Caputo型分数阶算子之间可以建立等价关系.利用分离变量法,可以方便地求得时间分数阶线性偏微分方程的解析解.从解析解可以看出尺度函数和权重函数的位置以及对扩散过程的影响.当权重函数为周期函数时,方程的解在长时间演化中将呈现周期性行为.第6章研究了分数阶变分问题.运用变分学基本原理研究了分数阶泛函极小值问题,分数阶等周问题,分数阶最优控制问题等经典变分问题.研究了固定边界条件的分数阶泛函极值问题和不确定右端边界条件的分数阶泛函极值问题,分别建立了这两类变分问题对应的Euler-Lagrange方程和横截条件.推广了分数阶变分原理,利用第一类广义分数阶导数定义了广义分数阶变分问题.分别研究了固定边界和边界不确定的广义分数阶变分问题,得到了极值的必要条件即广义分数阶Euler-Lagrange方程和一般意义下的横截条件.在一般的平面凸区域上建立了广义分数阶偏导数,定义了二维广义分数阶泛函极值问题和二维广义分数阶等周问题,利用多项式逼近方法求解了上述广义分数阶变分问题的近似解.第7章回顾了全文内容,并展望了分数阶微积分领域未来的若干工作.
刘如一[2]（2020）在《最优配对交易策略和线性正倒向随机微分方程解的适定性研究》文中研究指明本篇论文主要研究了两类随机控制问题:一个是几何布朗运动驱动的最优股票配对交易策略,另一个是马尔科夫链驱动的最优库存—价格模型。另外,我们还研究了线性正倒向随机微分方程组（FBSDEs）和一类常微分方程组（ODEs）解的适定性问题,针对适定性难以确定的情形,我们引入非退化矩阵进行变换,利用变换后方程组解适定所需满足的条件,反推出变换矩阵应符合的形式,进而得到原始方程组解的适定性。配对交易又称做成对交易,最初是由华尔街著名投行Morgan Stanley中的Tartaglia量化交易组在上个世纪八十年代提出的股票交易策略。配对交易策略的主要思想是构建一个由两种风险资产组成的投资组合,并以一个固定预设比例卖空其中一种风险资产并同时买入另一种风险资产。配对交易策略在投资组合价值本质偏离其均值时进行建仓,并期望投资组合价值在一段时间后回复至其均值附近。当回复过程发生后,反向操作两种风险资产,从而平仓盈利。对比其他传统交易策略,配对交易策略能够在股票市场整体下行时依然盈利,这使得配对交易策略成为丰富投资组合以及防范市场风险的重要交易策略。研究实际问题时,很多系统在随机干扰下表现出长期在某几种状态之中转换的特性,针对此特性,在数学上,我们将其刻画为马尔科夫链驱动的随机控制问题。不同于传统的扩散模型,马尔科夫链主要具有以下两个方面的优势。首先,从模型的角度来看,由马尔科夫链驱动可以更好的体现模型具有长期趋势但随机波动并不频繁的特征;另一方面,马尔科夫链驱动的模型在处理衍生品定价和投资组合优化等问题中,已取得许多进展和应用。马尔科夫链驱动模型使得目标过程几乎处处可微,根据动态规划原理,其对应于一阶Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程,相比于传统扩散模型,更有利于得到解析解。而且,马尔科夫链与传统扩散模型并不是矛盾对立的,可以通过改变马尔科夫链驱动模型的跳跃速率和幅度来近似得到几何布朗运动模型。本篇论文在前人研究基础之上,进一步深入研究,并将研究所得理论结果应用解决部分实际问题。全文主要分为以下六个部分,主要内容和具体结构如下:论文第一章,主要就本论文所涉及问题的研究背景展开深入介绍,并详细阐述之后每一章节的主要学术贡献。论文第二章,主要研究了可止损的最优股票配对交易策略,及其在金融市场中的应用。不同于均值—回复模型驱动的配对交易策略,我们假设股票价格服从几何布朗运动,将两支股票价格之比作为确定何时买卖配对组合的依据,建立阈值形式的可投资区域。针对股票交易中可能出现的收购、破产等不确定因素,为有效控制风险,我们预设一个止损线,凡触及此限制的所有交易将立即平仓止损。为解决此问题,我们首先利用动态规划原理,推导值函数满足的HJB方程和变分不等式,借助平滑延展方法得到解析解。在固定的止损水平下,给出阈值形式的最优配对交易策略,分析配对策略对模型参数的依赖性,最终展示两个应用股票历史价格和本章结果进行投资的金融实例。论文第三章,受实际生产中商品库存与价格之间的供求关系启发,针对商品需求受价格长期影响且变化缓慢的特点,我们将商品需求建模为马尔科夫链驱动的连续监测库存模型,研究最优库存—价格匹配策略。库存—价格匹配策略旨在根据库存水平调整商品价格以最大化收益函数,不同于传统扩散模型的研究方法,我们引入一个有限状态转移的马尔科夫链进行研究,通过动态规划原理,得到HJB方程。为解决该问题,首先建立阈值形式的最优定价策略,得到最优商品价格与库存的关系。进而,针对马尔科夫链不同状态对应的最优价格阈值,应用平滑延展方法,依次解决不同子区间上一系列代数方程,从而得到最优库存—价格匹配策略对应的解析解。最后,分析阈值关于模型参数的依赖性,将得到的理论结果应用于物流—仓储问题中。论文第四章,主要研究了线性完全耦合正倒向随机微分方程（FBSDEs）解的适定性问题,针对线性FBSDEs,给出易于应用的适定性判别方法。首先将经典单调条件推广至线性FBSDEs,在统一框架法的启发下,我们证明了单调条件实际可被看做是统一框架法的一种特殊情况,通过不满足单调条件的例子,应用统一框架法得到其适定性。随后,针对既不满足单调条件又不满足统一框架法的情形,我们引入线性变换方法,借助变换矩阵的非退化性以及变换后FBSDEs的适定性,给出变换矩阵应符合的判别条件,从而反推出原FBSDEs解存在唯一,最后将得到的理论结果应用于实例中。论文第五章,受统一框架法中正则解耦域的启发,推广正则解耦域方法,解决一类常微分方程（ODEs）两点边值问题的适定性。首先,针对系数为常数的ODEs,给出其解耦域正则性条件,得到易于应用的适定性判别方法,并且证明了经典单调条件可被视为推广正则解耦域方法的特殊情况。对于函数系数的ODEs,借助函数的有界性,推广解耦域正则应满足的上下界方程,进而得到解耦域正则性条件。然后,对于不能应用正则解耦域方法的情形,引入非退化矩阵,将原始ODEs进行变换,推出变换后ODEs解存在唯一需满足的条件,据此给出选择变换矩阵的依据,并将得到的理论结果应用于实例中。论文第六章,总结本论文第二至五章得到的相关结果并给出研究展望。
杨银杏[3]（2021）在《滞后型泛函微分方程解关于初值的可微性和滞后型测度泛函微分方程解的有界性》文中进行了进一步梳理本文借助滞后型泛函微分方程在一定条件下与广义常微分方程的等价关系,结合Kurzweil积分和广义常微分方程的解关于初值的可微性,获得滞后型泛函微分方程（?）的解关于初值的可微性.其次借助广义常微分方程解的有界性,获得滞后型测度泛函微分方程Dy=f（yt,t）Dg,t∈[t0,+∞)和受到扰动后的滞后型测度泛函微分方程Dy=f（yt,t）Dg+p（t）Du,t ∈[t0,+∞)解的有界性.
毕英杰[4]（2020）在《几类具有约束流形的微分方程周期解的存在性》文中研究表明众所周知,人们广泛建立各种各样的微分方程来理解和描述在各类科学技术领域中所遇到的实际问题.周期解又是微分方程中最具实际意义和研究价值的一类解,故对其的相关研究一直都是科学家们关注的热点.在对各类实际应用中的问题进行抽象建模时,系统往往会受到一些约束的限制,比如各类守恒定律,实际需要以及隐含约束条件等.额外的约束条件会给方程带来奇异性,此时给出相应的周期解的存在性是非常困难的.本文主要研究几类带有约束条件的微分方程的周期解的存在性,具体研究内容及创新结果如下:在第一章中,我们介绍了微分方程的历史背景和流形上微分方程周期解的研究进展.总结了文章研究的预备知识和基本方法,并陈述本文的主要工作和全文安排.第二章中我们研究了一类微分代数方程的周期解的存在性,利用连续性方法和拓扑度理论建立了相应的周期解存在性定理.对于解的先验估计问题,我们利用了由M.Krasnosel’skii建立的引导函数的思想,给出判定周期解不在边界上的充分性条件.相对于存在性定理,我们设定的条件更加具体并且容易验证.同时我们补充了易于求解存在性定理中拓扑度的推论.我们的周期解存在性定理及推论均不依赖于微分代数方程指数的概念,即对于高指数的微分代数方程仍然是有效的.最后我们对几组微分方程在不同约束面上的周期解存在性情况进行了数值模拟,佐证了我们的存在性结果.在第二章研究基础之上,我们在第三章中考虑了带有扰动的微分代数方程.首先我们建立了扰动微分代数方程的高阶平均原理,只要计算相应映射的拓扑度,就可以判定系统的周期解的存在性.并且给出了容易验证的推论,即只要系统的向量场在边界上满足一定的条件就可以得到周期解的存在性.接下来我们把扰动微分代数方程周期解的高阶平均原理推广为多尺度情形,丰富了我们的结果,扩展了理论的应用范围.特别地,本章的存在性定理和推论都不依赖于微分代数方程的指数.最后对在约束面上不同的扰动参数下的系统的周期解进行了数值模拟.在第四章,我们研究了带有约束条件的牛顿方程周期解的存在性问题,利用连续性方法和拓扑度理论,给出了周期解的存在性定理.当不考虑约束条件时,我们的结果同J.Mawhin经典的二阶微分方程周期解的存在性定理是一致的.与一阶情形不同的是,本章的存在性定理不仅需要对系统的周期解进行先验估计,同时也需要其导数的先验估计.我们将J.Mawhin建立的界定函数方法以及Bernstein-Nagumo引理推广到我们的方程中,并给出相应的先验估计.在本章的数值实验中,我们考虑在约束面上运动的质点,并给出了相应的周期解的数值模拟.最后,我们对全文进行了总结和展望,明确下一步研究工作的目标和方向.
任瑞芳[5]（2008）在《常微分方程理论的形成》文中研究说明常微分方程理论从创立至今已有300多年的历史了,作为一门理论意义和实际应用并重的学科,现已与其他学科不断交叉融合形成一些新的分支和增长点。本文在前人研究的基础上,利用历史分析、比较研究的方法,兼顾思想内容和具体方法,对常微分方程理论的形成进行研究,主要成果为:（1）考察了微分方程理论产生的社会、生产和科学背景,分析了17世纪力学、物理学、几何学和声学等自然科学与数学的紧密结合对微分方程学科萌芽的刺激作用。（2）深入探究了常微分方程在微积分创立过程中的原始形态和研究状况。牛顿是第一位开始求解微分方程的数学家,莱布尼茨则首次提出数学名词“微分方程”。本文重点考察了牛顿首创的级数法和他最先提出并应用于三体问题求解的参数变易思想,剖析了莱布尼茨解决与曲线有关的问题过程中微分三角形与微分方程的巧妙联合。指出:正是这些工作使微分方程从微积分研究中初露端倪,预示它即将作为一门新的分析分支登上数学舞台。（3）集中论述了17、18世纪数学史上兴起的五大公开挑战问题在常微分方程理论起源中的重要作用,分别指出:等时问题的提出使“积分”第一次被赋予数学意义而开始使用于微分方程求解;悬链线问题标志着探寻微分方程求解技术的发端;双曲线积分的成功表示从形式到实质上推进了求解技术的提高;最速降线问题是微分方程思想成功运用的最好范例;正交轨线问题增强了微分方程研究的理论色彩。（4）系统分析了常微分方程从微积分中分离的过程,对求解一阶特殊类型微分方程各种特殊解法的形成进行溯源,指出:从伯努利时代起,微分方程开始被作为独立的对象进行研究,微分方程学科逐步从微积分中分离出来,并为理论的形成作出铺垫。（5）对常微分方程理论的最终形成进行了深入研究,探讨了18世纪常微分方程研究模式发生的转变及其与常微分方程理论形成的关系,明确提出了常微分方程理论形成的标志。本文认为:刺激微分方程理论形成的关键表现在四个方面:欧拉在1728年着手处理的降阶问题、克莱洛在1734年深入研究的奇解问题、拉格朗日发现的伴随方程以及1743年对常系数线性微分方程求解的突破;1740年后,微分方程的研究转向寻求满足一整类方程通解的方法;18世纪末,研究重点又从求通解转向考虑“定解问题”。本文对证明存在性定理的三种方法形成的历程作了详细论述,提出了存在性定理的诞生是常微分方程理论形成的标志。（6）对常微分方程存在性定理形成后的理论扩展作了研究;分5个时期考察了鸦片战争到建国十年来我国微分方程理论的传播和发展情况,对每一时期主要的传播途径作了详细考察。
张良泉[6]（2013）在《噪声摄动以及正倒向随机微分方程最优控制问题》文中提出本文涉及两个主题：第一部分考虑高维常微分方程小噪声扰动问题以及一类耦合正倒向随机微分方程大偏差问题。第二部分研究正倒向随机微分方程随机控制相关问题。在第一章,我们考虑如下常微分方程：其中b：Rd→Rd。我们有一般的局部存在性理论如果b仅仅满足连续性条件（皮亚诺定理）。这种情形下唯一性可能丢失。然而,摄动随机微分方程,其中W是一个d-维标准布朗运动,存在唯一的强解,如果我们假设b满足连续有界。此外,当ε→0+,摄动随机微分方程的解,在某种意义下,收敛到常微分方程的解。对于一维情形,已有大量文献对这一现象进行了深入的研究。本章的目的在于分析一些高维情形（其技术稍微区别一维情形）。当b含有一个孤立点及在零点处不满足李普希兹条件时,常微分方程可能有无穷多解。我们的主要结果将表明常微分方程的哪些解可以是随机微分方程的极限解（当ε→0+）。对于一维情形,类似问题已被大量探讨,然而其技术不能推广到高维。本章主要的技术创新在于考虑高维情形。第二章中,我们考虑一类如下带参数ε>0,耦合的正倒向随机微分方程,我们研究,当ε→0+,时,（Xε，t，x,Yε，t,x）的分布收敛,同时建立Freidlin-Wentzell大偏差原理。需要指出的是,本章结果将推广前人的工作,也就是,b和σ能依赖于变量Y。第三章中,我们研究一类线性正倒向随机控制系统次优控制问题,其中漂移项和扩散项可以要求依赖控制变量以及控制域非凸。我们建立对于次优控制新的庞特里亚金随机最大值原理的必要及充分条件。本章主要贡献基于我们能考虑控制域非凸以及扩散项含控制。第四章,我们研究以下拟线性随机偏微分方程：其中我们得到以上随机H-J-B方程解的存在及唯一性,同时给出最优控制验证表示。第五章中,我们研究漂移项,扩散项以及倒向随机微分方程生成元含控制的正倒向随机微分方程。在不考虑值函数导数,粘性解的框架下,我们得到一个新的验证定理。必须指出这一定理比经典验证定理有更广泛的应用。此外,运用该定理我们可以找到正倒向随机系统最优反馈控制。常微分方程其中b：Rd→Rd。我们有一般的局部存在性理论如果b仅仅满足连续性条件（皮亚诺定理）。这种情形下唯一性可能丢失。然而,摄动随机微分方程,其中W是一个d-维标准布朗运动,存在唯一的强解,如果我们假设b满足连续有界。此外,当ε→0+,摄动随机微分方程的解,在某种意义下,收敛到常微分方程的解。对于一维情形,已有大量文献对这一现象进行了深入的研究。本章的目的在于分析一些高维情形（其技术稍微区别一维情形）。当b含有一个孤立点及在零点处不满足李普希兹条件时,常微分方程可能有无穷多解。我们的主要结果将表明常微分方程的哪些解可以是随机微分方程的极限解（当ε→0+）。对于一维情形,类似问题已被大量探讨,但其技术不能推广到高维。本章主要的技术创新在于考虑高维情形。本章中,我们研究如下类型带参数ε>0耦合正倒向随机微分方程我们研究以上方程解的渐进性质以及建立相关过程的大偏差原理。本章我们研究一类由线性正倒向随机微分方程驱动的次优控制问题,其中扩散及漂移项可以含控制变量,控制区域非凸。在Huang, Li,Wang的工作中（参见Automatica46（2010）397-404]）,漂移项含控制变量的次优控制问题被作者们提出。本章可视为对这一问题的直接回答。次优控制的必要以及充分条件在Yong [SIAM J. Control Optim.48（2010）4119-4156]最优变差原理的框架下建立并通过处理正倒向随机微分方程最优控制在无界控制区域中的方法,见Wu[Automatica49（2013）1473-1480]得到。我们给出一些处理次优问题而得的估计,此外,讨论两个有趣的例子。本章中,我们研究如下一类拟线性随机系数随机偏微分方程：其中这是一类由动态规划原理推出的由随机系数正倒向最优递归控制系统导出的推广的H-J-B方程。我们得到一个这类随机H-J-B方程索伯列夫弱解存在唯一性定理。本章中,我们研究由正倒向随机微分方程,其中扩散项、漂移项、倒向随机微分方程生成元依赖于控制变量的控制系统。一个新的验证定理,在粘性解不含任何值函数的导数的框架下建立。有必要指出,比起传统的验证定理,我们的验证定理有着广泛的运用。作为一个相关的问题,我们讨论正倒向随机最优反馈控制问题。
邓联望[7]（2019）在《一类无穷维微分方程二分解的定性研究》文中研究表明在合适的无穷维Banach空间上,一些泛函微分方程或偏微分方程能被写成具有某类算子的抽象常微分方程,从而研究这些无穷维微分方程解的存在性及相关性质可以转化为研究其对应的抽象常微分方程解的性质.本学位论文研究了一类无穷维Banach空间上含扇形二分算子的抽象常微分方程,运用算子半群理论,动力系统理论和定性分析,在给定的二分初始条件下,得到了这类抽象常微分方程二分解的存在唯一性,正则性,对二分初始值的连续依赖性,范数估计式以及平衡点附近不变流形的存在性与光滑性等理论结果,并将这些理论结果应用到一类无限圆柱域上的拟线性椭圆型偏微分方程.具体内容包括以下三个部分:第一部分,研究了Banach空间Z上稠定的双曲双扇形算子S.首先,给出了双曲双扇形算子S的一个较为容易验证的充分判据.然后,根据此判据中所呈现的S的谱在复平面的分布情况,通过得到S在无穷远处的谱分解结果与Banach空间Z的直和分解结果,Z=X⊕Y,给出了双曲双扇形算子S是扇形二分算子的充分条件,使得S|X与-S|Y分别是X与Y上的稠定的扇形算子.这推广了Bart等学者[9]关于证明某类算子是指数二分算子的结果,同时也完善了Winklmeier和Wyss[94]关于双曲双扇形算子的谱分解结果.接着,将扇形算子的分数幂算子与中间空间的定义推广至扇形二分算子,构造了扇形二分算子S的分数幂算子以及两个存在于扇形二分算子S的定义域D（S）与Z之间的中间空间,分别是分数幂空间Zα与插值空间DS（θ,∞）,α,θ∈（0,1）.并且,分别得到了Zα与DS（θ,∞）的直和分解关系,也得到了连续嵌入关系D（S）→DS（θ,∞）→Zα→Z（0<α<θ<1）及其插值估计式.本文中,Zα将被应用于研究抽象常微分方程的非线性项,DS（θ,∞）将被应用于研究二分解的正则性.（参见本文第三章）第二部分,在给定的二分初始条件下,研究了一类无穷维Banach空间上含扇形二分算子的抽象常微分方程,具体可细分为一类线性非齐次方程与三类含不同非线性项假设条件的半线性方程.首先,研究了一类线性非齐次方程,得到了解的存在唯一性以及讨论了解的正则性.然后,研究了一类半线性方程,得到了二分解的存在唯一性,正则性,对二分初始值的连续依赖性以及在Zα范数下的估计式.接着,研究了一类含局部Ck,γ光滑非线性项的非自治微分方程,得到了平衡点附近局部不变的稳定积分流形的存在性以及Ck,γ光滑性质.Ck,γ局部不稳定积分流形可以直接通过逆转时间变量,由已知的Ck,γ局部稳定积分流形结果得到.最后,研究了一类含全局Ck,γ光滑非线性项的自治方程,得到了平衡点附近全局不变的稳定流形的存在性以及Ck,γ光滑性质.Ck,γ全局不稳定流形可以直接通过逆转时间变量,由已知的Ck,γ全局稳定流形结果得到.（参见本文第四章和第五章）第三部分,使用上述扇形二分算子的扰动结果研究了一类无限圆柱域上的拟线性椭圆型偏微分方程,在给定的边值条件下,得到了这类椭圆型方程的解的存在性与渐近行为.相比于ElBialy[27]使用强连续双半群生成元研究这类椭圆型方程的工作,在非线性项具有相同Lipschitz性质的假设下,本文得到了椭圆型方程解的更高正则性.然后,考虑了含非稠定的双曲双扇形算子S的抽象常微分方程,证明了上述理论结果在（?）上能够被应用.（参见本文第六章）
霍冠泽[8]（2020）在《求解若干非线性拋物方程的B方法研究》文中研究说明B方法是近年发展起来的数值求解非线性抛物型偏微分方程中爆破解（b1ow-up so-1ution）的一种高效算法.2015 年,B 方法由 Beck 等[13]提出,旨在求解具有爆破现象的二阶非线性抛物方程,因而以爆破（blow-up）的英文首字母命名.注意到在临近爆破时间时,非线性抛物方程的解具有较大的变化率和数值,其相对于空间导数项对解的扰动是占优的,因而B方法在设计时借助常微分方程理论中常用的变易常数方法,在抽象空间先精确求解对爆破现象起重要作用的非线性常微分方程,再利用变易常数方法将对解的爆破行为影响较小的空间导数部分引入数值格式设计.B方法在设计的过程中充分考虑了解的几何性质,是对传统时间离散格式的改进,可以认为是一种特殊的保持解的几何结构的数值方法.本文主要应用B方法数值求解具有爆破解的四阶非线性抛物方程、二阶对流反应扩散方程和具有猝灭解的二阶非线性抛物方程这三类问题,针对每个具体问题构造相应的数值求解格式,分析数值解的存在唯一性和局部截断误差,并进行数值实验验证所得结论.本文结构如下:第一章,首先对非线性抛物方程的背景和研究近况做简要介绍,概述B方法的提出和发展过程;其次对本文研究的三个数学模型的物理背景及研究现状进行概述;最后,介绍B方法数值格式的构造方法.第二章,首先使用B方法求解具有爆破解的四阶非线性抛物方程,推导相应B方法的多种数值格式,并以其中VCFE格式为例分别给出了 B方法数值解的局部截断误差和相应传统方法（向前Euler法）数值解的局部截断误差,进而通过比较证明了 B方法的局部截断误差小于传统方法的局部截断误差.用B方法的VCBE格式离散四阶非线性抛物方程,得到一族四阶椭圆方程,我们应用上下解理论证明了此方程解的存在唯一性,进而得到VCBE格式数值解的存在唯一性.最后,通过数值算例验证了求解这一问题的B方法数值解的误差在相同条件下小于相应传统方法数值解的误差.第三章,我们运用B方法求解具有爆破解的二阶对流反应扩散方程,推导相应的B方法的多种数值计算格式,以VCFE格式为例,证明了 B方法的局部截断误差小于相应传统方法的局部截断误差.用B方法的VCBE格式离散对流反应扩散方程,得到一族椭圆方程,应用上下解理论证明了此方程解的存在性,进而得到VCBE格式数值解的存在性.并通过数值算例验证了在时间步长相同的情况下,B方法数值解的误差比相应传统方法的数值解误差更小.第四章,将B方法推广到具有猝灭解的二阶非线性抛物方程.首先,我们仍然先精确求解方程的非线性部分,再利用变易常数法的思想,引入方程的线性部分（空间导数部分）,进而推导出B方法的多种数值格式.其次,以VCFE格式为例,证明B方法的局部截断误差小于相应传统方法的局部截断误差,并用B方法的VCBE格式离散二阶非线性抛物方程,得到一族椭圆方程,应用上下解理论证明了此方程解的存在性,进而得到VCBE格式解的存在性.最后,通过数值实验使用B方法对猝灭时间在数值上进行估计,验证B方法对于具有猝灭解的方程数值求解的适用性.第五章,我们对本文工作进行了总结.
周永春[9]（2016）在《一类随机微分方程爆破解及Gauss过程KL展开的研究》文中研究表明在自然界和社会活动中,随机现象无处不在,为了更精确地模拟出随机现象的发展变化,通常建立随机微分方程这样的随机模型。而随机微分方程的解的爆破现象也普遍存在于现实中。由于Wiener过程、Gauss过程不但在理论上反映了随机本质,而且实际上也能对随机情况更精准的把握,因此研究随机过程中的Gauss过程很有意义。本文主要工作为分段连续型微分方程和分段连续型随机微分方程的解的爆破行为及非线性非趋势Gauss过程的Karhunen-Lo`eve（KL）展开,论文共分成三方面来研究。首先,考虑分段连续型微分方程（EPCA）的解的爆破行为,在不同的条件下比较延迟部分和非延迟部分的作用大小,并用数值算例说明相对应的情况;分析分段连续型微分方程和对应常微分方程（ODE）解的爆破特性,显示二者爆破行为的差异,如果相对应的ODE的解能在一段时间里产生爆破,则EPCA的解也能在一段时间里产生爆破,但是EPCA的爆破行为可以与对应的ODE不同,并用数值算例模拟出猜想;证明了EPCA的解产生爆破行为的充分条件;其次,在第一个研究内容的基础上,考虑了随机因素的影响,研究分段连续型随机微分方程（SDEPCA）的解的均方爆破行为,证明了含有线性扩散项的这种分段连续型随机微分方程的解不会爆破,得到了含有非线性扩散项的这种分段连续型随机微分方程的解爆破的充分条件,给出一些不同参数情况下的数值算例来验证结论的正确性;最后,为了探索分段连续型随机微分方程解的在概率意义下爆破行为做准备,研究随机影响Brown运动的概率估计,考虑一类非线性非趋势Brown运动和一类广义Brown桥的KL展开,从理论上证明了两者的KL展开形式完全一致,还通过具体计算验证了结论是正确的,并把结果应用于大偏差和小偏差的估计及Laplace变换。
赵学艳[10]（2014）在《非线性与时滞随机系统的稳定性、镇定及其控制研究》文中认为在任何实际系统及其外部环境中都存在着随机因素,影响系统的动态行为.实际上,随机模型有时更能准确反映自然与社会工程系统的动态特性.含有非线性、时滞、变系数、Markov跳变、脉冲、分布参数、奇异性、模糊性等复杂因素的随机系统的控制理论是当前的研究热点.本文以非线性、时滞随机系统为研究对象,探讨系统的稳定性、镇定与控制问题.以体现随机系统特色、减小稳定性判据的保守性为追求目标,在非线性与时滞随机系统稳定性分析方法、状态反馈镇定、噪声镇定等方面探索新的方法与途径.主要探索非线性随机系统稳定性的矩方程法、时滞随机系统稳定性分析的Lyapunov函数法加系统方程法,建立具有随机系统特色的Lyapunov稳定性定理、Razumikhin微分不等式比较原理、时滞随机系统的算子型稳定性定理、随机噪声镇定新方法等,并将随机镇定理论用于当前的热门研究领域:忆阻电路的镇定,为非线性与时滞随机系统的稳定性分析、镇定控制这一经典问题带来一些新的视野和理论方法,进一步完善和发展随机系统理论,为工程和社会实践提供理论参考.本论文的主要工作分为以下几个方面:1.介绍了非线性与时滞随机系统的研究背景与意义,以及随机系统稳定性,镇定以及控制等问题的国内外研究现状.并给出了一些常用记号,相关引理,定义以及定理.此外给出了本博士论文数值仿真的基础以及基于泛函微分方程的Lyapunov函数法的方法探索与思考.此部分的引理1.8及其推论、数值仿真算法以及关于Lyapunov函数法的方法探索本身均为本文的相关研究结果.2.分别研究了非线性连续随机时滞系统和离散随机时滞系统的矩稳定性.基于Kronecker代数和一种H-表示技巧,得到了非线性随机时滞系统的二阶矩方程.通过比较原理和已建立的矩方程,得到了非线性随机时滞系统的比较系统.基于比较系统的稳定性性质,建立了原系统的矩稳定定理.最后,用仿真实例说明所得结果的有效性.3.基于Lyapunov函数法研究了It?o随机泛函微分方程的新型稳定性判据.首先,提出了冻结算子以及随机导数的拟负定性概念.基于冻结算子以及广义微分算子,建立基于Lyapunov函数法的It?o随机泛函微分方程的新型稳定性判据,得到的判据在Lyapunov函数的随机导数的负定性方面条件宽松,且结果具有一般性.本章的结论在模型上可以退化到确定型泛函微分方程,在方法上可以推广到多Lyapunov函数法.4.研究了泛函微分不等式.基于我们建立的比较原理,将常用的常微分不等式推广到相应的泛函微分不等式.我们考虑了任意时滞,包括无穷时滞的情况.作为结果,我们将经典的Halanay不等式推广到带有任意时滞的非线性的情形和时变线性的情形.作为应用,我们研究了带有分布时滞的It?o随机变时滞系统的稳定性,基于所得泛函微分不等式,得到了一个稳定性判据.最后用仿真实例说明了我们结果的有效性.5.建立了随机泛函微分方程的一个新型稳定性定理.这个定理的特点是:它不是确定型泛函微分方程基本稳定性定理的直接复制版本.基于这个新型稳定性定理,用最简单的Lyapunov函数以及反复运用方程的方法可以方便地处理时滞项,从而得出方程的稳定性判据.作为应用,根据这个定理,建立了一个基于Lyapunov函数法的实用稳定性定理,同时研究了扩散项带有分布时滞的随机泛函微分系统的渐近稳定性,从而得到了所研究的随机泛函微分系统用代数矩阵方程刻画的稳定性判据.最后用仿真实例说明我们方法和结果的有效性.6.建立了算子型稳定性定理.基于所得到关于广义微分不等式的研究结果,研究了一般形式的时滞随机系统的渐近稳定性.首先提出了构造泛函算子重新改写系统模型的方法.分别针对基于Lyapunov泛函法和Lyapunov函数法的泛函微分算子,建立了两个渐近稳定性定理,它们都具有适用于中立型系统的一般形式,且便于应用.作为应用,研究了带有分布时滞,特别是扩散项带有分布时滞,的时变线性随机系统的镇定问题,研究了控制律的设计方法,同时给出了相应的稳定性判据.最后用仿真实例说明所得结果的有效性.7.明确提出了Razumikhin型泛函微分不等式的概念.基于Razumikhin型泛函微分不等式,建立了Razumikhin型泛函微分不等式的比较原理,从而通过建立的比较原理研究了Razumikhin型泛函微分不等式的定量性质.作为一个直接应用,分别建立了确定系统和随机系统的一些新型Razumikhin型稳定性定理.最后用实例说明了我们方法的用法和有效性.8.研究了随机系统的分时状态反馈控制.首先,提出了系统状态提取矩阵以及分时状态反馈的概念.其次,建立了由线性部分占优的随机系统的稳定性判据.再次,研究了时滞随机系统的分时状态反馈控制,同时设计了分时状态反馈控制定律,建立了闭环系统相应的稳定性判据.最后,面向部分状态信息丢失或者由网络传输带来的传送延迟情形,研究了容错控制.最后用例子说明了该方法的用法和有效性,也表明了分时反馈控制的优点.9.建立了随机系统关于几乎必然稳定性的一类新型稳定性定理,模型包括连续参数系统和不连续参数系统,这类定理实际上属于La Salle型定理.对于连续系统和不连续系统,基于这些稳定性定理我们进一步研究了利用噪声的随机镇定和随机消稳问题.在此部分,过去文献中常用的局部Lipschitz条件被减弱为广义局部Lipschitz条件,其系数可以时变.文献中的线性增长条件或者单边线性增长条件也被减弱为广义单边线性增长条件,其特点是局部、变系数、非线性,在时间维上真正允许系数的时变性,在空间维上真正允许系数的非线性性.作为新型稳定性定理的应用,1.我们提出了一个寻找噪声强度?g（t;x）的简单、直接的设计方法,使设计的噪声?g（t;x）d?B（t）可以镇定一个不稳定的系统或者消除一个稳定系统的稳定性,不管是确定型的还是随机型的系统.这样的设计方法适用于真正的时变和非线性系统;2.针对基于忆阻的电路这一背景,研究不连续系统的随机镇定与消稳.我们阐述了广义It?o公式、具有不连续漂移项的随机系统的Filippov解的非零性与整体存在性;对具有不连续动力学特性的确定性系统,具有不连续漂移项的随机系统,应用与连续型系统同样的方法设计镇定噪声强度,研究了基于忆阻的电路的随机镇定方法,该方法设计的控制器具有全局性,对系统参数与切换没有限制条件.最后,给出几个仿真实例说明了提出的理论与设计方法的有效性.本文的特点是:瞄准了本方向的研究难点:由系统的随机性、非线性、时滞性、时变性带来的困难,以减少判据保守性为目标,力图通过细心的观察、方法的整合与突破,对过去难以拓展的模型、难以放宽的假设与难以深入的问题开展新一轮探索,攻坚克难,力图对一些经典的难点问题取得一些具有意义的进展.作者认为,本文提出的方法、取得的结果都是初步的,但通过文中的探索,我们得到了一个启示,那就是:如果我们不问青红皂白,一味躲避困难,可能错过美好风景.因此,作者将在今后继续推进本文研究,力争新的成果.为此,我们将在文末的“展望”部分提炼进一步的研究课题,作为今后努力的方向.
二、关于常微分方程解的存在唯一性簡介(續)（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、关于常微分方程解的存在唯一性簡介(續)（论文提纲范文）
（1）广义分数阶微积分中若干问题的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 1 绪论 |
| 1.1 分数阶微积分的起源 |
| 1.2 现代分数阶微积分的发展与应用 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 完备赋范空间与拓扑度理论 |
| 2.2 分数阶积分与分数阶导数的基本性质 |
| 2.3 本章小结 |
| 3 分数阶常微分方程边值问题的存在性 |
| 3.1 带有非正则边界条件的分数阶边值问题 |
| 3.2 带有积分边界条件的分数阶边值问题 |
| 3.3 带有反周期边界条件的分数阶边值问题 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 第一类广义分数阶算子的基本理论及应用 |
| 4.1 定义与基本性质 |
| 4.2 广义分数阶扩散-波动方程的数值解 |
| 4.3 广义分数阶振子的动力学分析 |
| 4.3.1 广义分数阶谐振子的动力学 |
| 4.3.2 广义分数阶van der Pol振子的动力学 |
| 4.4 本章小结 |
| 5 第二类广义分数阶算子的基本理论及应用 |
| 5.1 定义与基本性质 |
| 5.2 广义分数阶对流-扩散方程的数值解 |
| 5.3 广义分数阶Burgers方程的扩散特征 |
| 5.4 齐次广义扩散方程与广义对流-扩散方程的解析解 |
| 5.5 本章小结 |
| 6 广义分数阶变分问题 |
| 6.1 变分学基本原理 |
| 6.2 分数阶古典变分问题 |
| 6.2.1 确定边界的分数阶极值问题 |
| 6.2.2 不确定边界的分数阶极值问题 |
| 6.3 广义分数阶变分问题 |
| 6.3.1 确定边界的广义分数阶泛函极值问题 |
| 6.3.2 不确定边界的广义分数阶泛函极值问题 |
| 6.4 二维平面凸区域上的广义分数阶变分问题 |
| 6.4.1 二维平面凸区域上的广义分数阶积分和广义分数阶导数 |
| 6.4.2 广义分部积分公式 |
| 6.4.3 广义分数阶泛函极值问题 |
| 6.5 本章小结 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 工作总结 |
| 7.2 分数阶微积分领域的若干问题 |
| 参考文献 |
| 附录1 分数阶积分和导数的Laplace变换 |
| 附录2 分数阶常微分方程初值问题 |
| 附录3 凸区域上的广义分数阶Gauss公式和Stokes公式 |
| 攻读学位期间主要的研究成果 |
| 攻读学位期间参与的科研项目与学术经历 |
| 致谢 |
（2）最优配对交易策略和线性正倒向随机微分方程解的适定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 几何布朗运动模型下的可止损最优股票配对交易策略 |
| 1.2 马尔科夫链驱动的最优库存—价格模型 |
| 1.3 线性完全耦合正倒向随机微分方程解的适定性研究 |
| 1.4 一类常微分方程两点边值问题解的适定性研究 |
| 第二章 几何布朗运动模型下的可止损最优股票配对交易策略 |
| 2.1 问题描述 |
| 2.2 值函数有界性 |
| 2.3 HJB方程与平滑延展方法 |
| 2.4 验证定理 |
| 2.5 在股票交易问题中的实证研究 |
| 2.5.1 交易阈值(k_1,k_2,k_3),M_(min)关于参数的依赖性分析 |
| 2.5.2 股票实证测试与收益分析 |
| 2.6 小结 |
| 第三章 马尔科夫链驱动的最优库存-价格模型 |
| 3.1 问题描述 |
| 3.2 HJB方程与最优价格 |
| 3.3.1 HJB方程在区间(0,k_1)上的解 |
| 3.3.2 HJB方程在区间(k_1,k_2)上的解 |
| 3.3.3 HJB方程在区间(k_2,∞)上的解 |
| k_2'>3.4 情形Ⅱ:k_1>k_2 |
| 3.4.1 HJB方程在区间(0,k_2)上的解 |
| 3.4.2 HJB方程在区间(k_2,k_1)上的解 |
| 3.4.3 HJB方程在区间(k_1,∞)上的解 |
| 3.5 在物流-仓储问题中的应用 |
| 3.6 小结 |
| 第四章 线性完全耦合正倒向随机微分方程解的适定性研究 |
| 4.1 问题描述 |
| 4.2 统一框架法与单调条件的关系 |
| 4.3 FBSDEs的线性变换法 |
| 4.3.1 变换后FBSDEs解的适定性 |
| 4.3.2 FBSDEs应用线性变换法的实例 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 一类常微分方程两点边值问题的适定性研究 |
| 5.1 问题描述 |
| 5.2 解耦域的正则性 |
| 5.2.1 常系数情形 |
| 5.2.2 函数系数情形 |
| 5.3 ODEs的线性变换法 |
| 5.3.1 变换后ODEs解的适定性 |
| 5.3.2 ODEs应用线性变换法的实例 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的工作 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（3）滞后型泛函微分方程解关于初值的可微性和滞后型测度泛函微分方程解的有界性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及现状 |
| 1.2 本文的主要内容及结构 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 广义常微分方程的基本概念 |
| 2.2 滞后型测度泛函微分方程相关引理 |
| 第3章 滞后型泛函微分方程的解关于初值的可微性 |
| 第4章 滞后型测度泛函微分分方程解的有界性 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果 |
| 个人简历 |
| 在学期间发表的学术论文及研究成果 |
（4）几类具有约束流形的微分方程周期解的存在性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及进展 |
| 1.2 本文研究的基本方法 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.4 本文主要工作及内容安排 |
| 第二章 微分代数方程的周期解存在性 |
| 2.1 研究背景及现状 |
| 2.2 研究内容和意义 |
| 2.3 存在性定理 |
| 2.4 先验估计和拓扑度的计算 |
| 2.5 数值模拟 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 具有约束流形的扰动系统周期解的存在性 |
| 3.1 研究背景和研究现状 |
| 3.2 研究内容及意义 |
| 3.3 周期解的存在性 |
| 3.3.1 扰动情形 |
| 3.3.2 多尺度的扰动情形 |
| 3.4 数值模拟 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 具有约束流形的牛顿方程的周期解存在性 |
| 4.1 研究背景和现状 |
| 4.2 研究内容和意义 |
| 4.3 周期解的存在性定理 |
| 4.4 先验估计 |
| 4.5 数值模拟 |
| 4.6 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（5）常微分方程理论的形成（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 引言 |
| 1.选题目的 |
| 2.研究综述 |
| 3.文章编排 |
| 第1章 微分方程理论产生的总体背景 |
| 1.1 生产背景 |
| 1.2 科学背景 |
| 1.3 学科背景 |
| 第2章 微积分创立中的常微分方程 |
| 2.1 牛顿与莱布尼茨之前的微分方程 |
| 2.2 牛顿的微积分与微分方程 |
| 2.3 莱布尼茨的微积分与微分方程 |
| 第3章 与常微分方程理论起源相关的5大问题 |
| 3.1 等时问题 |
| 3.2 悬链线问题 |
| 3.3 双曲线的积分问题 |
| 3.4 最速降线问题 |
| 3.5 正交轨线问题 |
| 第4章 常微分方程与微积分的分离 |
| 4.1 伯努利时代的前驱性贡献(1690-1740) |
| 4.2 欧拉时代在求解微分方程方面的贡献(1730-1740) |
| 第5章 常微分方程理论的形成 |
| 5.1 欧拉时代的理论奠基(1740-1790) |
| 5.2 拉格朗日时代的理论拓展(1780-1820) |
| 5.3 研究模式的转化及原因探析—从求通解到考虑“定解问题” |
| 5.4 存在性定理的诞生 |
| 第6章 常微分方程理论的扩展概况及其在中国的传播与发展 |
| 6.1 常微分方程理论的扩展概况 |
| 6.2 常微分方程理论在中国的传播与发展(1840-1959年) |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（6）噪声摄动以及正倒向随机微分方程最优控制问题（论文提纲范文）
| 绪论 |
| 0.1 摘要 |
| 0.2 前沿 |
| 0.2.1 常微分方程噪声摄动问题 |
| 0.2.2 正倒向随机微分方程及其相关问题 |
| 0.3 本文中的主要结果 |
| Introduction |
| 0.4 Abstract |
| 0.5 Introduction |
| 0.5.1 Random Perturbation of Ordinary Differential Equation |
| 0.5.2 Forward-Backward Stochastic Differential Equations and Related Problems |
| 0.6 Main Results in this Thesis |
| 第一章 高维非李普希兹常微分方程噪声摄动 |
| 摘要 |
| 1.1. 引言 |
| 1.2 预备结果 |
| 1.3 常微分方程 |
| 1.4 新随机微分方程从Κ出去时间函数收敛 |
| 1.4.1 二阶H-J-B方程 |
| 1.5 主要结果 |
| 1.6 例子 |
| 第二章 耦合正倒向随机微分方程渐进性质 |
| 摘要 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 正倒向随机微分方程解的正则性 |
| 2.4 主要结果 |
| 2.4.1 分布收敛 |
| 2.4.2 大偏差原理 |
| 第三章 正倒向随机微分方程次优控制最大值原理 |
| 摘要 |
| 3.1 前言 |
| 3.2 记号以及预备知识 |
| 3.2.1 最优控制问题及基本假设 |
| 3.3 主要结果 |
| 3.3.1 次优必要条件 |
| 3.3.2 次优充分条件 |
| 3.4 例子 |
| 3.5 结论说明 |
| 3.6 定理3.1的证明 |
| 第四章 由正倒向受控系统引出的随机H-J-B方程 |
| 摘要 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.2.1 有限维情形 |
| 4.2.2 无穷维情形 |
| 4.3 最优控制构造和随机H-J-B方程 |
| 4.3.1 最优控制系统 |
| 4.3.2 验证定理方法 |
| 4.4 主要结果 |
| 4.5 结论说明 |
| 第五章 正倒向受控系统随机验证定理 |
| 摘要 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 上微分,下微分,粘性解 |
| 5.3 正倒向受控系统下的随机验证定理 |
| 5.4 最优反馈控制 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| Curriculum Vitae |
| 附件 |
（7）一类无穷维微分方程二分解的定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 算子半群与抽象柯西问题 |
| 1.1.2 无穷维动力系统 |
| 1.1.3 本文研究内容的提出 |
| 1.2 本文工作框架及创新 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 函数空间 |
| 2.2 闭算子与Bochner积分 |
| 2.3 无穷远处的谱分解 |
| 2.4 扇形算子与解析半群 |
| 2.5 柯西问题 |
| 第三章 扇形二分与中间空间 |
| 3.1 扇形二分 |
| 3.2 中间空间 |
| 3.2.1 分数幂空间Z_α |
| 3.2.2 插值空间D_S(θ, ∞) |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 二分解 |
| 4.1 线性非齐次情形 |
| 4.2 半线性情形 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 平衡点附近的不变流形 |
| 5.1 局部稳定与不稳定积分流形 |
| 5.2 全局稳定与不稳定流形 |
| 5.3 本章小结 |
| 第六章 应用 |
| 6.1 无限圆柱域上的拟线性椭圆型偏微分方程 |
| 6.1.1 f关于变量x局部γ-H?lder连续 |
| 6.1.2 f关于变量x全局γ-H?lder连续 |
| 6.2 非稠定的双曲双扇形算子 |
| 6.3 本章小结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
| 攻读学位期间参与的项目 |
（8）求解若干非线性拋物方程的B方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 模型问题简介 |
| 1.2.1 具有爆破解的四阶非线性抛物方程 |
| 1.2.2 具有爆破解的二阶对流反应扩散方程 |
| 1.2.3 具有猝灭解的二阶非线性抛物方程 |
| 1.3 B方法介绍 |
| 第2章 求解一类具有爆破解的四阶抛物方程的B方法 |
| 2.1 模型问题及其B方法数值格式 |
| 2.2 截断误差分析 |
| 2.3 数值解的存在唯一性 |
| 2.3.1 数值解的存在性 |
| 2.3.2 数值解的唯一性 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 算例1 |
| 2.4.2 算例2 |
| 2.4.3 算例3 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 求解一类具有爆破解的对流反应扩散方程的B方法 |
| 3.1 模型问题及其B方法数值格式 |
| 3.2 截断误差分析 |
| 3.3 数值解的存在性 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 算例1 |
| 3.4.2 算例2 |
| 3.4.3 算例3 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 求解一类具有猝灭解的二阶非线性方程的B方法 |
| 4.1 模型问题及猝灭解定义 |
| 4.2 B方法的数值格式 |
| 4.3 截断误差分析 |
| 4.4 数值解的存在性 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.5.1 算例1 |
| 4.5.2 算例2 |
| 4.6 本章小节 |
| 第5章 总结 |
| 参考文献 |
| 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（9）一类随机微分方程爆破解及Gauss过程KL展开的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 微分方程及随机微分方程解的爆破行为的研究 |
| 1.2 Gauss过 程KL展开的研究 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.3.1 本文中常用的符号 |
| 1.3.2 随机微分方程及随机过程中的基本概念 |
| 1.4 本文的结构及主要研究工作 |
| 第2章 分段连续型微分方程解的爆破行为 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 分段连续型微分方程解的适定性 |
| 2.3 分段连续型微分方程全局解的存在性 |
| 2.4 分段连续型微分方程解的爆破行为 |
| 2.5 开放设想 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 分段连续型随机微分方程解的爆破行为 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 随机微分方程解的存在唯一性条件及基本引理 |
| 3.3 含有线性扩散项SDEPCA解的爆破行为 |
| 3.4 含有非线性扩散项SDEPCA的爆破解 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 一类非线性非趋势Brown运动的KL展开及应用 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 一类非线性非趋势Brown运动的KL展开 |
| 4.3 KL展开的应用 |
| 4.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（10）非线性与时滞随机系统的稳定性、镇定及其控制研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 时滞随机系统研究背景和意义 |
| 1.2 国内外研究现状与发展动态分析 |
| 1.3 相关定义、基本引理、数值仿真基础与研究方法探讨 |
| 1.4 本文主要工作与结构 |
| 第二章 基于(?) -表示技巧的非线性时滞随机系统的矩稳定性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 准备知识 |
| 2.3 非线性连续时滞随机系统的稳定性 |
| 2.4 非线性离散时滞随机系统的稳定性 |
| 2.5 数值仿真 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 基于Lyapunov函数法的随机泛函微分方程的新型稳定性判据 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 准备知识 |
| 3.3 主要结果 |
| 3.4 应用与推广 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 时变泛函微分不等式的比较原理以及对带有分布时滞的It(?)随机系统稳定性的应用 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 准备知识 |
| 4.3 泛函微分不等式比较定理 |
| 4.4 带有分布时滞的It(?)随机泛函微分系统的稳定性 |
| 4.5 数值仿真 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 随机泛函微分方程的新型稳定性定理及其对带有分布时滞的随机泛函微分系统稳定性的应用 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 准备知识 |
| 5.3 随机泛函微分方程的渐近稳定性定理 |
| 5.4 带有分布时滞的随机泛函微分系统的稳定性判据 |
| 5.5 数值仿真 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 时滞随机系统的算子型稳定性定理及其应用 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 准备知识 |
| 6.3 稳定性定理 |
| 6.4 带有分布时滞的线性随机系统的镇定 |
| 6.5 数值仿真 |
| 6.6 本章小结 |
| 第七章 Razumikhin型泛函微分不等式的比较原理及其应用 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 准备知识 |
| 7.3 Razumikhin型泛函微分不等式的比较定理 |
| 7.4 确定型泛函微分方程的Razumikhin型稳定性定理 |
| 7.5 随机泛函微分方程的Razumikhin型稳定性定理 |
| 7.6 数值仿真 |
| 7.7 本章小结 |
| 第八章 随机系统的分时状态反馈控制 |
| 8.1 引言 |
| 8.2 准备知识 |
| 8.3 时变时滞随机系统的稳定性定理 |
| 8.4 时变时滞随机系统的分时反馈控制 |
| 8.5 分时容错控制 |
| 8.6 数值仿真 |
| 8.7 本章小结 |
| 第九章 随机系统的几乎必然新型稳定性定理及其对随机镇定和忆阻系统的应用 |
| 9.1 引言 |
| 9.2 准备知识 |
| 9.3 基本计算公式与随机镇定的一般原理 |
| 9.4 基本引理 |
| 9.5 随机系统的新型稳定性定理 |
| 9.6 确定与随机系统的噪声镇定与消稳 |
| 9.7 基于忆阻的非线性电路的噪声镇定 |
| 9.8 本章小结 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
| 附件 |
四、关于常微分方程解的存在唯一性簡介(續)（论文参考文献）
- [1]广义分数阶微积分中若干问题的研究[D]. 徐宇锋. 中南大学, 2014(02)
- [2]最优配对交易策略和线性正倒向随机微分方程解的适定性研究[D]. 刘如一. 山东大学, 2020(08)
- [3]滞后型泛函微分方程解关于初值的可微性和滞后型测度泛函微分方程解的有界性[D]. 杨银杏. 西北师范大学, 2021(12)
- [4]几类具有约束流形的微分方程周期解的存在性[D]. 毕英杰. 吉林大学, 2020(08)
- [5]常微分方程理论的形成[D]. 任瑞芳. 西北大学, 2008(08)
- [6]噪声摄动以及正倒向随机微分方程最优控制问题[D]. 张良泉. 山东大学, 2013(04)
- [7]一类无穷维微分方程二分解的定性研究[D]. 邓联望. 上海交通大学, 2019(06)
- [8]求解若干非线性拋物方程的B方法研究[D]. 霍冠泽. 吉林大学, 2020(01)
- [9]一类随机微分方程爆破解及Gauss过程KL展开的研究[D]. 周永春. 哈尔滨工业大学, 2016(01)
- [10]非线性与时滞随机系统的稳定性、镇定及其控制研究[D]. 赵学艳. 华南理工大学, 2014(02)