一、关于分数布朗运动一个命题证明的简化（论文文献综述）
裴幸智[1]（2021）在《在一般高斯过程驱动下的Vasicek模型和Ornstein-Uhlenbeck过程的最小二乘估计》文中指出本文研究在连续时间观测值[0,T]上由一般高斯过程驱动的Vasicek模型和Ornstein-Uhlenbeck（简称为:O-U）过程的参数估计问题。本文工作分为两部分:第一部分研究Vasicek模型的漂移系数k和均值μ的估计,包括最小二乘估计和矩估计,我们给出了两种估计量的强相合性和渐近正态性;第二部分研究带周期均值的O-U过程的p+1维参数向量θ,得出其最小二乘估计量的强相合性和渐近正态性。
冯梦凯[2]（2021）在《自驱动粒子系统中若干非平衡统计问题的理论研究》文中研究说明自驱动粒子或者活性粒子是一类具有将化学能、光能等自身或者外界能量转化为自身运动的能力的粒子,近些年在物理学、化学、工程科学,生命科学等各研究领域中都获得了广泛的关注。自驱动粒子所构成系统的一个重要特征是体系永远处于非平衡的状态,往往表现出非常新颖的动力学行为,不仅体现在单个粒子多样的运动模式,更有丰富的集体自组织行为,这与对应的处于平衡态的粒子系统有很大不同。目前领域内的相关研究主要集中在实验和计算机模拟等方面,而理论研究工作相对较少,难度和挑战较大。本文主要从非平衡统计理论出发讨论两类自驱动粒子群体动力学的重要问题:（1）模耦合理论研究自驱动粒子的玻璃化转变动力学我们从非平衡态统计物理的基本理论出发,得到了一个适用于自驱动粒子系统的模耦合理论框架。理论推导显示,玻璃化转变行为依赖于两个同粒子活性密切相关的重要参数:平均的瞬时扩散系数D和一个有效的结构因子S2（k）。模耦合方程的数值计算结果表明,玻璃化转变临界密度ρc随着自驱动粒子活性v0的增大而增大;在固定有效温度Teff的条件下,ρc随着自驱动粒子持续时间τp的增大而减小,这些结论同之前的模拟结果定性一致。我们还将这个模耦合理论框架推广到活性粒子和非活性粒子组成的二元混合系统。结果表明,玻璃化转变临界体积分数ηC随着活性粒子组分xA非线性的增长;且而当两种类型粒子大小不同时,出现了非单调的混合效应。我们还研究了惯性对自驱动粒子玻璃化转变的影响。首先我们建立了在非平衡稳态下基于欠阻尼布朗粒子的模耦合理论框架。结果显示自驱动粒子的质量确实会显着影响系统的玻璃化转变行为,这和平衡态下布朗粒子的行为有着本质的不同。（2）活性粒子构成的热库的统计性质我们使用平均场理论得到了活性粒子热库的密度涨落方程,在此基础上建立了描述示踪粒子等效运动的广义Langevin方程。由此进一步推导出了示踪粒子的等效扩散系数Deff、等效迁移率μeff所满足的自洽方程。结果发现等效扩散Deff随着自驱动粒子的活性Db的增大而非线性的增长,等效迁移率μeff也随着Db的增大而小幅增大,由此进一步给出了示踪粒子的等效温度Teff,这些理论预言的结果同我们的模拟都符合的较好。这一结果帮助我们更好地理解了自驱动粒子热库的统计性质。
李峥[3]（2020）在《分数维随机波动率的期权定价和离散随机控制问题研究》文中进行了进一步梳理分数维布朗运动是一类连续的高斯过程,它既不是Markov过程也不是半鞅,当Hurst指数大于1/2时具有长时记忆性且增量具有正相关性,当Hurst指数小于H<1/2时增量具有负相关性.也正是由于这些性质分数维布朗运动比标准布朗运动能够更好的解释自然现象,所以围绕分数维布朗运动相关的随机分析理论被广泛研究,并且该理论被应用到了许多领域,例如气候学,水文学,金融数学等.本文主要研究由分数维布朗运动描述的随机波动率下的期权定价问题及分数维噪声驱动的离散随机控制系统的最优控制问题.上个世纪七十年代着名的欧式期权定价的Black-Scholes公式被提出后,对于金融市场的研究有了一个质的飞跃.尽管Black-Scholes公式被广泛应用,其得出的定价结果却与实际有一定的偏差,即现实市场存在波动率微笑现象,因此恒定为常数的波动率并不能解释现有的价格波动.随后许多学者开始投入到对随机波动率模型的研究中,其中比较经典被广泛应用的有Heston模型,Hull-White模型和Stein-Stein模型等.然而大量市场数据表明,与标准正态分布曲线相比真实的收益率分布曲线是倾斜的呈尖峰状并且具有长期的记忆性以及增量具有相关性.为了更加贴切的描述实际金融市场的价格规律,在波动率方程中分数维布朗运动替代了标准布朗运动.结合上述实际情况,在本文中,我们考虑两种分数维随机波动率模型下的欧式看涨期权定价问题.为了更好的刻画实际的市场价格走势,波动率方程是由分数维布朗运动和标准布朗运动同时驱动的.而引入分数维布朗运动同时也增加了问题求解的难度,需要考虑关于分数维布朗运动的Ito公式以及Malliavin计算.本文第一个模型中考虑一般情形的Hull-White模型,波动率方程非均值回复过程,此时波动率呈指数型增长,为了增加产品的灵活性规避由于波动率过大而对投资者造成的风险我们对波动率加入了障碍.在我们又考虑了另一随机波动率模型种,假设波动率满足分数维Ornstein-Uhlenbeck过程,由于波动率过程满足均值回复性,使得价格波动更加稳定同时也有效减少了投资者的风险.在这两个模型中我们运用期权复制策略结合分数维布朗运动的Ito公式和Malliavin计算得到了欧式看涨期权价格满足的偏微分方程,通过引入格林函数并运用待定系数法得到了欧式看涨期权价格的闭型解.最后对于得出的两个结果我们分别做了相关的数值模拟来进一步说明结果的合理性.下面我们简单介绍上述两种分数维随机波动率下的期权定价的主要结果.在第三章中我们考虑分数维Hull-White随机波动率模型其中St为风险资产价格过程,vt为瞬时波动率.模型中μ是风险资产定价过程的漂移率并且α是波动率过程的漂移率,γ1和γ2为波动率的波动率.Bts和Btv为（Ω,F,P）上的相关系数为ρ的两个标准布朗运动.BtH是Hurst参数H>1/2的（Ω,F,P）上的分数维布朗运动并且独立于BtS和Btv.由于波动率具有显性解且该解呈指数型增长,因此我们考虑波动率上障碍和下障碍分别为B和A运用Malliavin计算以及Ito公式通过复制投资组合的方法得到欧式看涨期权价格满足的偏微分方程为其中τ=T-t,T为欧式看涨期权的到期日.通过引入格林函数并且运用待定系数法对偏微分方程进行求解,得到定价公式的闭型解为在第四章中我们考虑分数维Ornstein-Uhlenbeck过程描述的随机波动率,假设波动率方程是一个均值回复过程并且不呈指数型增长.该模型如下其中St为标的资产的价格,是严格正的,vt为随机的瞬时波动率,rt为随机的瞬时利率,μ为标的资产的预期收益,β为波动率的均值回复速度,α为波动率的长期均值,γ1和γ2为波动率的波动率.我们运用复制投资组合方法得到欧式看涨期权价格满足的偏微分方程为这里τ=T-t,k=β+λ,θ=βα/β+λ并且运用待定系数法对偏微分方程进行求解,得到定价公式的闭型解为其中A（τ,k）,B（τ,k）和 C（τ,k）如下这里庞特里亚金最大值原理作为解决最优控制问题的必要条件,由庞特里亚金及其团队于上世纪五十年代提出.对于实际的应用中,往往得到的是一些离散数据,因此离散最优控制问题比连续情形更具有实际意义.然而连续情形的方法并不能直接应用到离散情形中,最初一些学者考虑加入“凸性”条件来得到离散最优控制系统的最大值原理.随着随机问题的出现,随机最优控制问题被广泛研究.值得一提的是Peng[98]研究了随机系统情形的最大值原理,该结果中控制域可以非凸且扩散项中包含控制变量.然而相对于标准布朗运动更加一般情形的分数维布朗运动因其具有长时记忆性和自相似性因此能够更好的解释实际的现象和规律.近些年有许多学者在白噪声驱动的离散随机控制系统上给出了一些结果.综上我们考虑由分数维噪声驱动的离散随机控制系统的最大值原理问题.令{BtkH}k=0,1,2,…,N-1为一个d维分数维布朗运动序列,其中1/2<H<1,满足下列条件:（ⅰ）{BtkH}k=0,1,2,…,N是Fk-1可测的.（ⅱ）BtkH的增量是平稳的但不是相互独立的.（ⅲ）对任意的BtkH=（BtkH,1,BtkH,2,…,BtkH,d）T,BtkH,1,BtkH,2,…,BtkH,d是相互独立的实值高斯随机变量.（ⅳ）E[BtkH]=0,E[BtiH,lBtjH,l]=1/2（ti2H+tj2H-|ti-tj|2H）,其中 l=1,2,…,d.我们用（?）gtk=Btk+1H-BtkH来代表分数维噪声D代表一个有界域,则容许控制空间为Uad={Uk}k=0N-1（?）{Utk∈Uk∈Rn:Ω→Dvtk是Fk-1可测的,E[vtTvtk]<+∞,k=0,1,…N-1.本文中离散随机控制系统为其性能指标为最优控制问题为在Uad范围内最小化性能指标J（v）.也就是找到一个最优的u*∈Uad 使得令u*（·）为最优控制且（x*（·）,u*（·））为最优对.我们通过经典变分法以及Malliavin计算得出了一个最优控制满足的必要条件:其中DH（·）和D（·）分别为分数维布朗运动和标准布朗运动的Malliavin导数,φtk满足如下方程
邢建红[4]（2020）在《基于分数阶微分方程的期权定价研究》文中研究指明期权定价是金融投资的核心问题,也是现代金融理论研究的重要内容。由于分数阶导数可以描述一些复杂系统中的异常扩散以及传输动力学,因此,分数阶期权定价模型在期权定价问题中获得了广泛的应用。目前对期权定价的分析大多为整数阶偏微分方程,以及波动率考虑为常数值。本文引入分数阶微分算子,并考虑了无限跳跃Levy过程、隐含波动率等因素,分别建立了期权定价模型,并给出了高精度的数值算法。本文主要工作如下。（1）欧式看涨时间分数阶期权定价模型及其数值解研究。讨论了期权定价服从无限跳跃CGMY过程,且将股票的价格波动视为分形传递系统,推导出了一种时间分数阶期权定价模型（TFCGMY）。分别采用Caputo分数微分的L1逼近和修正的GL逼近对时间、空间分数阶算子离散,用中心差商对一阶空间导数进行离散,得到了 TFCGMY模型的数值离散格式。将TFCGMY模型和上述数值技术用于欧式看涨期权的定价分析,并分别分析了该格式的稳定性和收敛性。通过与B-S模型以及CGMY模型比较,分析该期权定价模型,表明时间分数阶的引入可以更好的捕捉到期权的股票价格的跳跃特征。（2）欧式双障碍缓增时间分数阶期权定价模型及其数值解研究。用时间分数阶微分和空间分数阶微分刻画欧式双障碍期权定价,获得了一种新的期权定价空间缓增-时间分数阶模型（T-TFCGMY）,以期提高捕捉期权定价的厚尾特征以及跳跃的准确性。分别采用Caputo分数导数的L1逼近和具有二阶近似的缓增加权移位广义差分对时间、空间分数阶算子离散,用中心差商对一阶空间导数进行离散,得到了 T-TFCGMY模型的数值离散格式。将T-TFCGMY模型和上述数值技术用于欧式双障碍期权的定价分析,并分别分析了该格式的稳定性和收敛性。数值算例结果表明时间和空间分数阶导数的引入可以更好的捕捉到实值及虚值期权股票价格的跳跃和厚尾性。（3）随机波动率下的期权定价模型及其数值解研究。将无限活动Levy过程驱动的Heston模型应用于期权定价,建立了一种欧式看涨期权随机波动率定价模型（SVOP模型）。分别采用五点差分格式和向后差商对空间二维导数和时间导数进行离散,得到随机波动率期权定价模型的离散格式,并应用于欧式看涨期权的定价问题中。数值算例结果显示符合基础资产动态中观察到的期权定价跳跃波动现象,能更深层次的捕获资产收益率中的跳跃特征以及收益率差异中的波动性聚类效应,说明该方法对捕捉期权定价中的波动特征是有效的。
教育部[5]（2020）在《教育部关于印发普通高中课程方案和语文等学科课程标准（2017年版2020年修订）的通知》文中进行了进一步梳理教材[2020]3号各省、自治区、直辖市教育厅（教委）,新疆生产建设兵团教育局:为深入贯彻党的十九届四中全会精神和全国教育大会精神,落实立德树人根本任务,完善中小学课程体系,我部组织对普通高中课程方案和语文等学科课程标准（2017年版）进行了修订。普通高中课程方案以及思想政治、语文、
孔垂柳[6]（2020）在《次线性算子和凸算子下最优估计问题的研究》文中研究指明在经典的概率论框架下,正交投影定理告诉我们被估计变量的条件期望就是关于它最小均方估计问题的最优解。正是基于正交投影定理,Kalman[47],Kalman和Bucy[46]首次完整地给出了线性高斯系统下的滤波方程,从而奠定了现代滤波理论的基础。此外,Bensoussan[8],Liptser和Shiryeav[51]等进一步完整地介绍和推广了 Kalman-Bucy滤波的理论结果。因此,正是基于如此完整的滤波理论体系,在不同领域中一系列部分观测（或部分信息）下随机最优控制问题才能得以解决。进一步地,如果我们将期望算子替换为次线性算子或者凸算子,那么此时我们应该如何得到次线性算子（或凸算子）下的最小二乘估计问题的最优解,并且该最优解是否仍然与条件一致风险测度和条件g-期望保持一致?这是个很有意义的问题。最近,Sun和Ji[74]研究了次线性算子下有界随机变量的最小均方估计问题。但是,这个结果限定在有界空间,在应用中有一定的局限性。因此,我们将这个结果推广到了可积空间,从而探讨随机领域中的问题。本文主要研究了次线性算子和凸算子下最小均方估计问题、次线性算子下状态方程带模糊的Kalman-Bucy滤波问题和观测方程带模糊的Kalman-Bucy滤波问题、凸算子下系统带模糊的Kalman-Bucy滤波问题。本文分为六章,其中第一章为研究背景和预备知识,第二章到第六章的研究内容概括如下。论文的第二章:本章主要研究了次线性算子下非有界随机变量的最小均方估计问题。在温和的假设条件下,我们得到了非有界随机变量的最小均方估计元的存在性和唯一性定理和最小均方估计元的一些基本的性质。并且给出三个例子说明最小均方估计元不同于条件一致风险测度和条件g-期望。本章的创新点在于删除了 Sun和Ji[74]中有界性的假设,提出一种新的证明思路解决次线性算子下可积随机变量的最小均方估计问题,并且得到可积随机变量的最小均方估计元的存在性和唯一性定理,同时也给出了最小均方估计元的一些性质。论文的第三章:本章主要研究了一个模型不确定性下广义的Kalman-Bucy滤波模型和相应的稳健估计问题,其中模糊参数θ主要影响到状态方程。我们发现这个稳健估计问题可以等价地看作是一个次线性算子下的估计问题。由Girsanov变换和最小最大值定理,我们证明这个稳健估计问题可以被重新构造成一个在新的概率测度下的Kalman-Bucy滤波问题。在本章中我们得到了最优估计元的滤波方程。此外,在特殊的条件下,我们证明了该最优估计元可以被分为两部分,其中一部分是经典情况下的滤波方程,另外一部分包含了最优的模糊参数θ*。这个结果有助于解释模糊参数是如何影响最优估计元的演变。本章的创新点在于将漂移项模糊引入经典的Kalman-Bucy模型中,那么相应的估计问题（?）就变为一个稳健估计问题（?）。根据证明的定理3.1,我们找到最优的模糊参数θast,这有助于我们将问题（?）中的两个非线性元素sup inf退化为一个非线性元素inf,并最终得到最优估计元x满足的滤波方程。论文的第四章:本章主要考虑了一个模型不确定性下的广义的Kalman-Bucy滤波模型和与之对应的稳健估计问题。在本章中,模型不确定参数θ主要影响到观测方程。我们之所以这么构建模型主要是基于Ji,Li和Miao[37]所考虑的一个动态合约问题,在他x所考虑的模型中,一个项目的可以被观测到的累计产出方程中含有不确定参数a和η。对模型更直观的解释为:不同的观测者对信号过程的衡量标准是不同的。这样就会导致模型不确定性。因此,我们考虑这个广义的Kalman-Bucy滤波模型是有意义的。我们同样是将该稳健估计问题等价的看作是在一个次线性算子下的估计问题,转而求解这样一个次线性算子下的最小均方估计问题并得到最优估计元的刻画方程。同样地,在特殊条件下,该最优估计元可以被分解为两部分,其中一部分是经典情况下的滤波方程,另外一部分包含了最优的模糊参数θ*。这个结果有助于解释模糊参数是如何影响最优估计元的演变。论文的第五章:在第五章,我们研究了凸算子下有界随机变量的最小均方估计元的存在性和唯一性的问题。本章的创新点在于考虑到次线性算子应用的局限性,我们将次线性算子下的最小均方估计元的理论推广到凸算子下。由于凸算子缺少正齐次性,因此这就导致凸算子的表达式相较于次线性算子会多出一个惩罚项。本章的内容区别于Sun和Ji[74]的主要地方在于如何处理这个惩罚项。最终我们得到凸算子下有界随机变量的最小均方估计元的存在性和唯一性定理以及最小均方估计元的性质。论文的第六章:本章的一个创新点在于将倒向随机微分方程的相关理论和Kalman-Bucy滤波理论相结合,将经典的滤波问题推广为一个关于信号过程的稳健估计问题,该问题也可以看作是在一个凸算子下的最小均方估计问题,我们最终得到了信号过程的最小均方估计元满足的微分方程（即滤波方程）。此外,在上一章中,我们研究了凸算子下有界随机变量的最小均方估计元的存在性和唯一性的问题。在本章中,另一个创新点在于我们将相应的存在性和唯一性结果推广到可积空间中,即得到了凸算子下可积随机变量的条件期望的定义。由于凸算子缺少正齐次性,因此这就导致凸算子的表示相较于次线性算子会多出一个惩罚项。本章的内容区别于第一章的主要地方在于如何处理这个惩罚项。论文的第七章:在本章中,我们在随机控制的角度下重新构建了第三章中的稳健估计问题,使之变成一个零和的正倒向随机微分博弈问题。其中代价泛函定义为:J（a,b-,θ）=E[Y（a,b;θ）（0）]=Y（a,b;θ）（0）,（1）状态变量（ζ（.）,Y（.））满足:其中K（t）是一致有界的,确定性的函数,（a（t）,b（t）;θ（t））是控制变量。令AZ（1）={（a,b）|a（t）和b（t）是Zt-可测的过程并且属于LZt2（0,T;Rn）和LZt2（0,T;Rn×m）},A（2）={θ|θ（t）是Ft-可测的过程使得|θ（t）|θ（t）| ≤ μ}.定义0.1.如果（a,b;θ）∈AZ（1）× AF（2）,那么我们称控制变量（a,b;θ）是允许的。定义哈密顿函数H（t,ζ,Y,Z1,Z2,a,b,θ,l,n2,λ）H（t,ζ,Y,Z1,Z2,a,b,θ,l,n2,λ）=l（t）（a（t）+b（t）G（t）∈（t））+λ（t）（-θ（t）Z1（t）（3）-K（t）（x（t）-ζ（t））2）+b（t）n2（t）,和伴随方程:应用凸变分的技术,我们得到如下最大值原理:定理0.1.令假设4成立。假设（a（.）,b（.）;θ（.））是问题（1）的一个鞍点,并且（ζ（.）,Y（.）,Z1（·）,Z2（·））是相应的状态轨迹。那么,我们有E[Ha（t,ζ,Y,Z1,Z2,a,b,θ,l,n2,λ）|Zt]=0,E[Hb（t,ζ,Y,Z1,Z2,a,b,θ,l,n2,λ）|Zt]=0,（6）E[Hθ（t,ζ,Y,Z1,Z2,a,b,θ,l,n2,λ）|Ft]=0其中（l（.）,n1（·）,n2（.））和λ（.）是伴随方程（4）-（5）的解。
杨晓雷[7]（2020）在《几类分数阶偏微分方程的适定性和解的渐近性》文中研究表明本博士学位论文主要研究了几类分数阶发展型偏微分方程的适定性和解的渐近行为.在第一章中,我们首先简要阐述了分数阶微积分概念的由来,历史上几个有影响力的关于分数阶微积分的定义以及这些定义的简单推导过程,并给出了当前基础数学中使用最为广泛的分数阶微积分的Riemann-Liouville定义;随后,我们指出了分数阶微积分在当前科学研究中所涉及到的一些领域;接着,基于文章中分数阶算子在带Gauss白噪声的随机偏微分方程中的应用,我们对随机现象和白噪声进行了概述;最后,我们回顾了偏微分方程研究所需要的一些预备知识,包括一些经典的假设,常用的数学符号,函数空间,半群的定义及性质和范数估计等,并集中列出了后文中所涉及的一些随机方面的概念和不等式.在第二章中,我们研究了一类用分数阶算子表示的确定性非局部粒子扩散系统.首先,我们仔细分析了已有文献的相关研究结果,对分数阶算子定义中包含的核函数的内在性质作了进一步的挖掘,弥补了文献的理论分析中的某些漏洞;然后,我们根据方程的特点和解的相应结构和性质,寻找与之对应的经典方程及核函数作为其渐近方程和渐近核函数,利用经典方程的核函数所具有的性质,通过适当的配项和细致的分频分析技巧,将所研究的分数阶方程的核函数与渐近核函数作对比,用频谱分析的方法仔细刻画它们之间的细微差别;最后,我们根据经典数学分析和实分析中的相关收敛理论和分析工具,得到了含有分数阶微分算子的确定性非局部粒子扩散系统解的渐近行为.在第三章中,我们研究了二维环面T2上的带白噪声随机扩散的Log-Euler方程的适定性.首先,我们借助于已有的经典方法,将随机Log-Euler方程转化为带随机系数的偏微分方程;然后,我们确定了相应的函数空间,构造了该函数空间上对应于温和解形式的映射,通过一系列基本不等式得到了某假设条件下映射的压缩性,从而利用压缩映射原理得到了满足该假设条件的随机Log-Euler方程的路径局部解的存在唯一性;最后,通过解在局部区间上的范数递减性质,得到二维环面T2上的Log-Euler方程的Cauchy问题解的大概率全局存在唯一性.同时,我们的方法还可以用来讨论β-广义SQG方程和二维带对数奇异速度的Loglog-Euler方程概率意义下解的全局存在唯一性.在第四章中,我们考虑了初值为白噪声,带混合边界条件的热方程的初边值问题.首先,我们利用Green函数的特点和级数的收敛性技巧修正了文献中一些极限公式并简化了相关的证明;其次,我们讨论了具有更一般边界条件的热方程初边值问题解的平均热量在几乎确定意义下的爆破和快速冷却行为.本章得到的极限公式和主要估计将为我们进一步研究时间分数阶方程甚至时空分数阶方程奠定基础.在第五章中,我们研究了一类有界域上It?o型随机反应扩散方程的抽象Cauchy问题.首先,我们利用分数幂算子和算子半群等工具分析了非线性项和随机系数对抽象随机反应扩散方程Cauchy问题适定性的影响;然后,对全局Lipschitz的非线性项和随机系数,给出了由时间离散半隐式迭代格式得到的逼近解逼近原抽象Cauchy问题的真实解的Lp-收敛性,修正和完善了已有文献中p阶矩一致收敛性的证明方法.
岳焱[8]（2020）在《欧式期权定价的分解方法与应用》文中提出随着金融市场及金融衍生品的复杂性与不确定性程度的提高,以期权为代表的金融衍生品定价问题不断引起学术界和实务界的关注。自2015年2月15日中国第一支股票期权上证50ETF上市后,中国证券市场开启了期权的新时代,具有中国特质的期权定价决策研究成为了国内外众多学者关注的热点领域。期权市场作为金融市场不可或缺的一部分,为加强金融产品风险管理提供了策略方法,从而提高了各种资源配置的效率,优化了金融市场的投资组合。在期权交易中价格一直是研究讨论的热点问题,建立有效的期权定价模型可以为金融市场交易提供依据,对其价格稳定和健康发展具有重要意义。因此,研究期权定价模型和方法具有重要的理论意义和应用价值。本文主要研究几类欧式期权的定价方法与应用,以偏微分方程为基本方法对欧式期权的定价问题进行分析,从BS模型的基本假设扩展入手,研究欧式期权定价的分解方法与应用。本文总共分为八章。第一章介绍了研究背景与意义,分析了期权运用的最新研究进展,并介绍了论文的主要研究内容及方法和主要贡献及创新点。第二章是文献综述部分,对期权定价方法和期权应用进行综述。分别对扩散过程中时齐模型与非时齐模型,跳跃-扩散过程中0)?过程模型对非高斯特征的刻画,以及奇异期权中的障碍期权在定价模型等方面的文献研究情况进行综述,并梳理出以前文献在期权定价研究上的逻辑关系以及存在的局限性。第三章通过引入时变条件和杠杆效应等因素,来构建条件0)?过程下的风险中性模型。首先建立0)?过程的基本框架。由0)?测度的特征3项即跳跃率?d（x）,漂移率η和扩散率?,得到0)?过程的确定特征函数形式。然后分析代表无穷跳跃0)?过程的调和稳态过程（TS）,重点分析了经典调和稳态（CTS）与速降调和稳态（RDTS）。最后以ARMA-GARCH模型为基础,将加入时变的波动率和漂移率,以及杠杆效应三个变量来构建条件0)?过程。第四章基于空气质量指数AQI,讨论了0)?过程的期权定价模型的应用问题。首先得到具有0)?过程的O-U平均恢复模型的随机微分方程,简化不确定项?（t）（35）L的随机扰动,得到AQI的时间序列模型。其次由单步阶梯期权价格推出多步二叉树模型计算期权定价公式,再引入AQI指数分别获得不同时期和不同执行价格的看涨期权和看跌期权的二叉树定价模型。然后进行AQI O-U模型的参数估计。第五章构建了基于双曲绝对风险厌恶效用的CEV期权定价模型和时变CEV期权定价模型。前者假设投资者服从双曲绝对风险厌恶效用函数,在CEV模型下求解完全可对冲随机资金流时的最优动态资产配置问题。后者假设股票价格变动遵循修正的分数布朗运动,与标准布朗运动相比,修正的分数布朗运动具有持久性,即“长程相关性”。第六章以下降敲出看涨期权和下降敲出看跌期权的数学模型为例,针对随机波动率和漂移项r（7）t（8）St dt,引入?-超几何随机波动率模型。利用?-超几何模型的可分析性,得到了一个二重积分数值计算的显示定价公式。第七章基于微分动力学原理,推导了金融衍生品和期权价格趋势模型。由于金融衍生品在外部冲击的作用下,其价格被近似拟周期为β的变化。代入初始条件,即可确定金融衍生品价格的波动周期与振幅。通过变换一阶具有适当变量的非线性非齐次方程,将其转换为Abel第I类方程,得出该方程的一般解。第八章对欧式期权法在现实中应用的一些总结,提出了偏微分方程方法在期权定价研究中的应用。并结合实际分析了期权定价理论在我国金融市场的应用前景。本文得出的主要结论:（1）通过对上证综指（SZZZ）、深证成指（SZCZ）、沪深300（H&S300）及标普500指数（S&P）等市场的指数的数值验证可以发现,金融市场存在普遍的厚尾、尖峰和左偏的现象。在偏度和峰度的数值结果方面,调和稳态的结果与理论值更为接近。同时杠杆系数γ的系数为正,且t值结果显着。本文所建立的局部鞅条件0)?过程模型加入时变条件和杠杆效应,可以动态的刻画非对称的无穷纯跳跃过程,在期权定价的理论和方法更能反映出金融市场的未来趋势,具有更好的拟合性和普遍性。（2）基于双曲绝对风险厌恶效用的CEV期权定价模型将繁杂的三维非线性偏微分方程转化为可求解的抛物型偏微分方程,,将非自融资组合的最优配置问题转换为自融资组合的最优配置问题,使问题简化,从而得到一个更具有普遍性的风险中性CEV模型。时变CEV期权定价模型从金融市场的“长程相关性”特征入手,建立更符合市场实际情况的欧式定价方程。（3）针对随机波动率和漂移项r（7）t（8）St dt,以下降敲出看涨期权和下降敲出看跌期权的数学模型为例,得到?-超几何随机波动率模型。此模型避免了一般性损失,其所研究出的一阶近似简单有效且计算快速,适合于实际应用。（4）基于微分动力学原理,推导了金融衍生品和期权价格趋势模型。在a22-4a1 a3（29）0,a22-4a1 a3（28）0和a22-4a1 a3（27）0三种情形下,使用低中高频数据,分析期权价格趋势的一般方程。SSE 50ETF数值模拟的结果验证了期权价格趋势的结果,并发现期权模型在数值测试中具有更明显的脉动趋势。本文的主要贡献在于:（1）建立的部等价鞅测度下0)?过程期权定价模型。通过引入了两个时变变量即时变波动率和时变漂移率,同时又引入杠杆效应变量,由此得到的模型可以动态的刻画非对称的无穷纯跳跃过程。由于金融市场存在跳跃和非高斯特征,因此本模型在期权定价的理论和方法更能反映出金融市场的现实情况和未来趋势。（2）建立基于假设投资者为双曲绝对风险厌恶型（HARA）的CEV模型。这一模型的贡献在于解决完全可对冲随机资金流时的最优动态资产配置问题。而且由于常相对风险规避（CRRA）效用函数、常数绝对风险厌恶（CARA）效用函数、二次效用函数都是HARA的特例。因此,本模型所使用的方法更具有一般性。（3）引入随机波动率和非零漂移因素,建立?-超几何随机波动率模型,本模型以欧式香草看跌期权和下降敲出看跌期权为例,避免了处理障碍期权时产生的一般性损失。同时由于随机波动率模型一般没有显式解,本模型沿用Rúben等（2018）的PDE正则摄动法对?-超几何模型的近似进行级数展开推导,为渐近近似计算的研究,提供了一些的思路和参考。（4）本文所建立的金融衍生品和期权的价格变化趋势模型,将期权的运动规律分解为价格趋势变化及其波动,可以更好用一般的波动特性解释了期权价格的变化过程以及影响因素。
杨兴林[9]（2020）在《基于非单调定价核的金融衍生品定价问题研究》文中指出定价核刻画了投资者在不同状态下对于回报的偏好,是资产定价理论的核心,对于其单调性和形态的准确认识,有助于我们更好地进行金融资产的定价。定价核又称为随机贴现因子或边际替代率,它提供了资产价格和基本经济原理之间的联系,在经济学和金融学之间发挥着重要的纽带作用。在标准金融经济模型中认为定价核与代表性投资者的边际效用成比例,且在完全市场、风险厌恶、正确信念假设成立下定价核应该呈现出单调递减的特征,即定价核或代表性投资者的边际效用随着总财富的增加而减少。然而,自2000年初以来,许多实证研究指出定价核与总财富之间的关系并不是完全单调递减,还存在递增的部分,学者们将这种定价核非单调现象称为定价核之谜（Pricing kernel puzzle）。因此如何解释和刻画定价核这种非单调的特征,对于我们认识和建模金融资产价格变化具有重要的理论和实际意义。此外,在我国金融衍生品市场快速发展的当下,对定价核之谜是否在我国金融市场中存在给出有着坚实依据的回答,无疑也具有重要的研究意义。最后定价核之谜如果存在,如何均衡解释、刻画这种现象并应用到金融衍生品市场定价中,也是非常有价值的研究工作。本文研究思路是首先通过我国市场交易数据提取有关定价核信息,并构建正式的定价核单调性检验方法检验我国是否存在非单调定价核的典型事实特征（Stylized facts）。然后根据检验结果提供的经验证据支持,从方差风险视角构建均衡解释非单调定价核存在的现象。最后本文应用这种参数构建的非单调定价核和考虑标的资产收益率的动力学特征,构建新的金融衍生品的定价模型并实证探索和对比这些模型的应用效果。各部分的主要内容和研究发现如下:（1）基于中国市场证据的非单调定价核研究。本部分首先在扩展的Black-Scholes模型下解析求解了在资产收益率在风险中性测度下的概率密度。然后鉴于极端经济环境资产价格跳跃风险,本部分采用Jump-GARCH模型建模资产收益率的动力学过程,并采用核估计方法提取出了资产收益率在物理测度下的概率密度分布。最后基于资产定价理论分析了我国市场定价核的形态以及构建统计检验检验了我国定价核的单调性。通过提取2015-2017年50ETF期权合约在风险中性测度下的月度概率密度分布,发现资产收益率的风险中性概率分布具有明显的时变特征。采用具有时变跳跃强度GARCH波动率模型对2005年2月24日至2017年12月29日区间的对数资产资收益率建模并采用正态核估计方法估计出了月度资产收益率在物理测度下的概率密度分布函数,同样发现资产收益率在物理测度下的概率密度分布具有明显的时变特征,相较于风险中性概率分布,物理测度下的概率分布具有明显的尖峰特征。基于资产定价理论,本部分展示了定价核对应的形状,并发现定价核呈现明显的非单调特征,其形状近似呈现为“U”形。进一步通过构建正式的单调性检验方法,对定价核的单调性进行了分段检验,同样发现定价核具有显着的非单调特征。（2）基于方差风险视角的非单调定价核均衡解释。本部分首先分别在物理测度和在风险中性测度下对50ETF收益率和中国波动率指数（i VX）进行建模,然后采用标准的极大似然函数估计方法估计出在物理测度下和风险中性测度下的条件方差,进而计算方差风险溢价。通过对样本区间为2006年10月9日到2017年12月29日的50ETF收益率和样本区间为2015年2月9日至2017年12月29日的i VX指数实证研究,本文发现我国明显存在负的方差风险溢价。然后在Epstein-Zin-Weil递归效用函数下考虑方差风险并假设消费对数增长率是对数价格变化和方差变化的仿射形式。通过对模型的求解和分析,本部分发现在均衡模型考虑负方差风险后能够解释市场中定价核的非单调性,以及能够充分刻画市场中存在“U”形定价核的典型事实特征。随着代理人的风险厌恶水平的上升,对数定价核整体上移,定价核曲线的凸度（Convexity of curve）也会增大。固定跨期替代弹性系数,随着风险厌恶的增加,代理人也会更加偏好越早解决不确定性。在固定风险厌恶系数而改变跨期替代弹性时,本部分研究发现在跨期替代弹性系数小于1时,定价核呈现出“U”形特征,并且随着跨期替代弹性系数的减小,定价核下移,曲线的凸度变小。而当跨期替代弹性大于1时,对数定价核曲线呈现倒“U”形,表明市场中存在正的方差风险溢价,与经验证据不符（方差风险溢价为负）。本部分的研究成果不仅能够帮助投资者和监管者认识市场中存在的非单调定价核现象,也为金融衍生品的定价考虑方差风险提供了经济均衡的理论基础。（3）基于条件偏度与非单调定价核的i VX指数的预测。i VX指数作为中国市场上首个度量市场投资者情绪的指标,对其准确建模和预测具有重要的监管和投资意义。考虑资产收益率的非正态性,本部分采用IG-GARCH模型对其标的资产收益率的典型事实特征进行刻画,并采用考虑了方差风险溢价的非单调定价核对资产收益率的动力学过程进行风险中性化,进而在风险中性测度下实现对i VX指数的建模。通过对样本区间为2005年2月23日至2018年2月14日的上证50ETF收益率和样本区间为2015年2月9日到2018年2月14日的上证50ETF波动率指数的实证研究,本部分发现能够刻画标的资产收益率的条件负偏度的IG-GARCH模型相较于基准模型,不仅能够更好拟合样本内的资产收益率和i VX指数,而且能够提供更高的样本外预测精度。同样重要地是,实证结果也显示我国市场存在显着为负的方差风险溢价和具有非单调定价核的特征。（4）基于非单调定价核与仿射Jump-GARCH模型的VIX期货定价。随着2008年金融危机的发生以来,投资者对于波动风险的对冲的需求更加旺盛,进而使得芝加哥期权交易所（CBOE）发布的VIX期货合约成为交易最为活跃的衍生产品之一。本部分基于具有时变跳跃强度的仿射GARCH模型和前文均衡求解出的非单调定价核构建出闭式的VIX期货定价模型。为检验具有时变跳跃强度模型是否显着优于Heston-Nandi GARCH（1,1）模型以及非单调定价核是否在美国市场显着存在,本部分针对样本区间为1995年1月5日到2016年12月30日的S&P 500对数收益率和对样本区间为2007年1月3日至2016年12月21日的VIX期货价格进行了联合估计。研究发现,对于标的资产而言,含有跳跃成分的GARCH模型更能够刻画标的资产的非正态性（Non-normality）特征,具有更大的对数似然函数值。对于VIX期货定价而言,Jump-GARCH模型的定价表现显着优于GARCH模型。此外,对资产收益率与VIX期货的联合估计的结果表明Jump-GARCH模型和HN-GARCH模型均证实显着存在负的方差风险溢价和非单调的定价核。（5）基于非单调定价核和双指数跳模型的期权定价研究。本部分构建了一系列考虑跳跃随机风险、方差风险,且能够闭式求解期权价格的定价模型。鉴于资产价格具有上涨跳与下跌跳的典型事实特征,本文进一步拓展跳跃尺寸分布,假设跳跃尺寸服从具有时变跳跃强度的对称或非对称的双指数分布。另外在无套利定价约束下,本文采用了具有双指数跳跃风险的非单调定价核对其标的资产动力学过程风险中性化。通过对我国首支指数基金期权——50ETF的实证研究发现,在物理测度下,标的资产收益率的时变跳跃强度和方差显着存在,以及非对称双指数跳模型能够充分地刻画标的资产收益率的典型事实特征。在风险中性测度下,直接采用期权价格信息校准模型参数发现正态随机冲击和跳跃随机冲击的市场风险价格能够被显着估计。与此同时,通过对期权价格估计能够显着识别在各模型下负的方差风险溢价和非单调的定价核。此外,样本内、外的期权定价表现均表明,具有非对称双指数跳且考虑了非单调定价核的模型是一个相对不错的期权定价模型选择。与现有研究文献相比,本文主要具有以下三点创新点:（1）本文通过提取隐含在50ETF期权价格及其标的资产收益率的信息,检验了我国市场定价核的单调性。在作者所掌握的文献内,还没有见到通过应用正式的检验统计量和使用50ETF期权数据对我国定价核的单调性进行研究。通过期权数据提取定价核,有助于我们直观地了解我国定价核的特征。本文的研究发现为定价核的非单调性特征提供了来自中国市场的经验证据。（2）定价核的非单调性特征与经典资产定价理论的假设不符。考虑到定价核非单调的典型事实特征,本文在仿射均衡框架中引入方差风险均衡解释了非单调定价核的现象。在仿射均衡下,宏观增长率（比如消费增长率）被假定为服从仿射过程。对定价核异象的均衡解释有助于加深我们从理论上对定价核的认识,为在资产定价模型中考虑非单调定价核提供了经济理论基础。（3）本文采用非单调定价核并在考虑标的资产不同的动力学特征后构建出了一系列新的金融衍生品定价模型:鉴于50ETF收益率具有负偏度的典型事实特征,本文在非单调定价核下采用能够刻画条件偏度的逆高斯GARCH模型建模并预测了中国波动率指数i VX;考虑跳跃风险,本文采用具有时变跳跃强度的Jump-GARCH模型并基于非单调定价核闭式求解出了波动率指数期货（VIX futures）的定价公式;考虑到标的资产价格受好消息和坏消息的冲击影响,在前文的研究基础上本文进一步扩展Jump-GARCH模型,假设跳跃尺寸服从非对称双指数分布,并在非单调定价核下解析求解出了欧式期权定价公式。该部分的研究结果不仅丰富了有关资本市场统计特征的研究,也为投资者和监管者提供了更为准确的金融衍生品定价方法,对于投资策略的构建和金融市场的监管意义重大。
纪晓君[10]（2019）在《非线性期望下的随即场理论及相关问题研究》文中研究表明1933年,Kolmogorov[55]创立了以概率测度P为核心的概率论公理体系（Ω,F,P）,成为研究随机事件的一个重要数学框架.然而,在大多数现实情形中,概率P都是未知的.在1921年,着名经济学家Knight[54]就已指出在经济学中,概率统计模型本身带有不可预知的不确定性,并且是不可消除的.这种概率不确定性也被称为Knightian不确定性.如何分析带有Knightian不确定性的模型和经济问题成为困扰数学家和经济学家的一个难题.在概率论框架（Ω,P）下,概率测度P和线性数学期望EP一一对应.因此,我们无法用现有的线性期望来解决概率不确定的问题,而需要考虑可以描述一族概率的非线性期望.1953年,Choquet[6]通过讨论非可加测度提出了着名的容度理论,并定义了一个非线性期望——Choquet期望,成为研究概率不确定问题的重要工具,在经济金融领域被广泛应用.例如,Schmeidler[87]提出了 Choquet期望效用理论;Chateauneuf等[3],Chen和Kulperger[5]等人利用Choquet期望研究了金融和保险中产品的定价问题.但是Choquet期望的一个弊端是无法定义动态相容的条件期望.2004年,Peng[72,73,74,75]从期望的角度出发,创立了具有动态相容性的非线性期望理论（Ω,H,E）,这里Ω表示样本空间,H表示随机变量空间,E表示非线性期望.在非线性期望空间（Ω,H.E）中,Peng定义了 G-正态分布,最大分布,随机变量的独立以及同分布等概念,获得了大数定律和中心极限定理等一系列结果.非线性期望空间（Ω,H,E）成为可以和概率空间（Ω,F,P）相媲美的理论体系,相比于线性期望,非线性期望理论的一个优势是考虑到了 Knightian不确定性,可以解决更多模型不确定情形下的实际问题.非线性期望的一个典型例子是由非线性偏微分方程（G-热方程）引入的G-期望EG,其可以被表示为一族概率测度{Pθ}θ∈（?）对应的线性期望的上确界,即（?）从而能够被应用于研究概率不确定情形下的各种问题.例如,Epstein和Ji[20,21]基于非线性期望得到了波动率不确定情形下的资产定价公式与效用模型.Eberlein等[22]利用G-期望下定义的动态相容的条件期望将两价（买入价和卖出价）经济理论推广到连续时间情形.Hu和Ji[37,38]得到了波动率不确定情形下随机最优控制问题的最大值原理和动态规划原理.进一步地,为了研究非线性期望下的随机过程,Peng[75,76,78]通过G-热方程引入了 G-布朗运动,并建立了相应的G-Ito随机积分理论.之后,众多学者基于G-布朗运动进行了广泛研究.Gao[28],Lin[63],Lin[64]以及Luo和Wang[67]等人研究了 G-布朗运动驱动的随机微分方程（G-SDE）.Hu等[39,40]研究了 G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程（G-BSDE）解的性质.通过G-SDE和G-BSDE,我们还可以构造其他丰富的随机过程,如G-OU过程,几何G-布朗运动等.另外,Hu和Peng[45]通过非线性期望下的Levy-Khintchine表示引入了 G-Levy过程和G-Poisson过程.以上定义的随机过程都是非线性期望框架下概率不确定的时间随机场,可以被应用于刻画波动率不确定情形下金融市场中的各种模型.除了经济学中具有模型不确定性之外,在现实世界的各个领域其实都蕴含着不确定性.例如,在生物物理中,人们经常通过假设随机扰动是一个高斯白噪声或者经验性的颜色噪声来进行分子动力学模拟,但真实的问题并不总是能被这些简化模型所描述.在这类问题中引入模型不确定的白噪声理论或许会提供新的解决方法.因此,我们想将Peng建立的非线性期望理论推广至物理等领域,建立非线性噪声理论,用于研究模型不确定的各种实际问题.为了引入非线性白噪声或者更一般的非线性时空白噪声,我们首先需要在非线性期望空间中建立随机场理论体系,包括空间随机场以及时间—空间随机场.而时间随机场则对应于我们己引入的随机过程.在非线性期望框架下,时间和空间是两个完全不同的参数,我们无法用已有的随机过程,如G-布朗运动等,去描述空间随机场.这主要是由于非线性期望下的独立性是有方向的,即随机变量X独立于Y并不能推出Y独立于X.而随机场的空间增量是没有方向的,所以无法定义空间增量的独立性.由于G-布朗运动和G-Levy过程均是独立增量过程,所以它们只适用于刻画时间随机场,而不能用来刻画空间随机场.基于此,Peng[80]引入了非线性G-高斯过程,即有限维分布为G-正态分布的随机过程,用于研究空间参数为R的随机场.值得注意的是,不同于经典概率论,G-布朗运动不再是一个G-高斯过程.对于定义在Rd或者更一般指标集上的随机场,在非线性G-高斯过程的基础上,本文建立了非线性期望下的G-高斯随机场和G-白噪声理论体系,可以用于刻画模型不确定情形下的空间随机场.对于时间一空间随机场,本文将时间参数和空间参数分开处理,引入了时空G-白噪声的概念,其在时间上是一个G-布朗运动,在空间上是一个G-白噪声.进一步地,论文将关于G-布朗运动的G-Ito随机积分推广到空间G-白噪声和时空G-白噪声上,建立了相应的随机积分理论.在此基础上,本文证明了时空G-白噪声驱动的随机热方程弱解的存在唯一性以及解的估计.值得注意的是,如果非线性期望退化为线性期望,那么相应的G-高斯随机场和G-白噪声就退化为经典的高斯随机场和白噪声.除了讨论空间随机场之外,本文还对非线性期望框架下的典型的时间随机场——G-布朗运动进行了深入研究.不同于经典情形,在G-期望下,G-布朗运动的二次变差过程不再是t,而是增量服从最大分布的一个平稳独立增量过程.基于此,Xu和Zhang[98,99],Lin[62]和Song[92]等人在非退化假设条件下得到了 1-维对称G-鞅的Levy鞅刻画定理.在不假设非退化条件下,本文证明了一般次线性期望空间中多维对称鞅的鞅刻画定理.在鞅刻画的基础上,本文进而得到了 G-布朗运动和非线性G-布朗运动的反射原理,可以被应用于模型不确定时障碍期权的定价研究.本文共分为五章,主要内容和结构如下:论文的第一章首先回顾了非线性期望理论的基本知识,给出了 正态分布,G-期望以及G-布朗运动的定义和相关性质,为之后几章的内容打下基础.论文的第二章建立了次线性期望框架下的G-高斯随机场和G-白噪声理论.我们首先通过推广Kolmogorov存在性定理,在次线性期望空间中引入了 G-高斯随机场.G-高斯随机场是一个定义在任意指标集上的随机场,其有限维分布即为G-正态分布,可以有效地定量研究模型不确定情形下的随机场.进一步地,通过构造一族特殊的满足相容性的次线性生成函数,我们建立了空间G-白噪声理论,并定义了 L2（Rd）中函数关于空间白噪声的随机积分.此随机积分的集合也是一个G-高斯随机场.不同于经典情形,由于次线性期望下的独立性是有方向的,G-白噪声的空间增量不再具有独立性.之后,我们引入了时空G-白噪声的概念,其在时间上是一个G-布朗运动,在空间上是一个空间G-白噪声.类似于G-Ito随机积分,我们同样得到了关于时空白噪声的随机积分及相关性质.本章最后以空间G-白噪声为例,介绍了容度理论,并给出了 白噪声的轨道刻画.论文的第三章在G-白噪声理论的基础上,研究了次线性期望空间中时空G-白噪声驱动的随机热方程解的性质.首先,我们对上一章构造的Bochner积分和关于时空白噪声的随机积分进行扩张,并在扩张空间上证明了随机Fubini定理.这保证了我们在之后证明弱解的过程中可以将Bochner积分和关于时空白噪声的随机积分交换积分顺序.之后,我们给出了时空G-白噪声驱动的线性随机热方程弱解的定义以及显示表达式,并得到了弱解的唯一性和解的估计.受时空G-白噪声随机积分空间的限制,我们考虑有界空间上满足Lipschitz条件的随机热方程弱解的性质.通过Green函数和Picard迭代的方法,我们得到了随机热方程弱解的存在唯一性定理以及估计.论文的第四章主要讨论了在不假设非退化条件的情形下,G-布朗运动的Levy鞅刻画定理和反射原理.为了研究一般次线性期望空间中的对称鞅,我们首先引入了完备的相容次线性期望空间的概念,并将G-Ito随机积分推广到相容次线性期望空间中的一类对称鞅上.之后,我们考虑其上多维对称鞅的Levy鞅刻画.由于在退化情形中,G-热方程的解不一定满足正则性,我们不能直接应用偏微分方程的方法进行证明.为克服此困难,我们首先引入一类离散的乘积空间,并构造了非退化的Gε算子和Gε--热方程.接着通过Tavlor展开和逼近的方法证明了一般的多维对称鞅是G-布朗运动的等价条件.特别地,对于G-期望空间中的对称G-鞅,我们应用lto公式更加简洁地证明了鞅刻画定理.在此基础上,我们通过Skorohord引理和Ito-Tanaka公式得到了 G-布朗运动的反射原理.对于非线性G-布朗运动,由于没有相应的鞅刻画定理.我们通过构造过程（sgn（Bt））t≤T的离散逼近和Krylov估计证明了其反射原理.论文的第五章对本论文内容进行总结,并对下一阶段研究工作进行展望.下面我们给出本文获得的主要结果.1.次线性期望下的高斯随机场及时空白噪声本章主要建立了次线性期望下G-高斯随机场和G-白噪声的理论框架,并将关于G-布朗运动的G-Ito随机积分推广到G-白噪声上.首先,我们给出G-高斯随机场的定义和存在性定理.定义 1.设（Ω,H,E）为非线性期望空间,Γ为任给的指标集.一族随机向量W=（Wγ）γ∈Γ称为（Ω,H,E）上的m-维随机场,如果对任意γ∈Γ,Wγ∈Hm.记所有有限维指标所构成的集合为JΓ,即JΓ:={γ=（γ1,...,γn.）:（?）n∈N,γ1.…,γn∈Γ,且对i≠j,1≤i,j≤n,i≠γj}.定义 2.设（Wγ）γ∈Γ为次线性期望空间（Ω,H,E）中的一个m-维随机场.如果对任意γ=（γ1,…,γn）∈JΓ,（n × m）-维随机向量Wγ=（Wγ1,…Wγn）服从G-正态分布,那么W=（Wγ）γ∈Γ就称为一个m-维G-高斯随机场.对任给的有限维指标γ=（γ1,…,γn）∈JΓ,定义单调次线性函数GWγ（Q）=1/2E[〈QWγ,Wγ〉],Q∈S（n×m）,其中,S（n × m）代表所有（n × m）×（n × m）阶对称矩阵所构成的集合.那么,（GWγ）γ∈JΓ满足以下形式的相容性:（1）兼容性:对任意（γ1,…γn,γn+1）∈JΓ和Q=（qij）i,j=1n×m∈S（n×m）,GWγ1,…,Wγn,Wγn+1（Q）=GWγ1,…，Wγn（Q）,（1）其中矩阵（?）（2）对称性:对{1,…,n}的任意一个置换π和Q＝（qij）i,j=1n×m∈S（n×m）.GWγπ（1）,…,Wγπ（n）（Q）=GWγ1,….Wγn（π-1（Q））,（?）其中映射π-1:S（n×m）→S（n×m）定义为（π-1（Q）ij=（qπ-1（1）π-1（j））,i,j=1.….（n × m）.定理 3.设对任意γ=（γ1,…,γn）∈JΓ,实值函数集合（Gγ）γ∈JΓΓ中的映射Gγ:S（n×m）→R满足次线性和单调性,并且（Gγ）γ∈JΓ还满足兼容性条件（1）和对称性条件（2）.那么,存在一个定义在次线性期望空间（Ω,H,E）上的m-维G-高斯随机场（Wγ）γ∈Γ使得对任意γ=（γ1,…,γn）∈ JΓ,W2=（Wγ1,…,Wγn）服从G-正态分布,并且对所有Q∈S（n × m）,GWγ（Q）=1/2E[<QWγ,Wγ>]=Gγ（Q）.进一步地,若存在另一个定义在次线性期望空间（Ω,H,E）上的高斯随机场（Wγ）γ∈Γ,满足对任意γ=（γ1,...,γn）∈JΓ,Wγ 为具有相同生成函数的G-正态分布随机向量,即对所有 Q ∈ S（n×m）,GWγ（Q）=1/2E[（QWγ,Wγ]=Gγ（Q）,那么,W=W.在G-高斯随机场的基础上我们给出空间G-白噪声的定义.定义 4.设（Ω,H,E）为次线性期望空间,指标集为r=B0（Rd）={A∈B（Rd）:λA<∞},其中λA表示集合,A ∈ B（Rd）的Lebesgue测度.1-维G-高斯随机场W=（WA）A∈Γ称为一个1-维G-白噪声如果满足以下条件:（1）对所有A∈Γ,E[WA2]=σ2λA,-E[-WA2]=σ2λA;（2）对任意A1,A2∈Γ,A1n A2=（?）,有E[WA1WA2]=E[-WA1WA2]=0,E[（W.41（?）A2-WA1-WA2）2]=0,其中0<σ2≤σ2为任意给定的常数.为证明G-白噪声（或者称为空间G-白噪声）的存在性,由定理3可知,我们只须定义一族合适的单调次线性函数（Gγ）γ∈JΓΓ使得由（Gγ）γ∈JΓ生成的G-高斯随机场满足定义4中的假设条件（1）和（2）.因此,对任意有限维指标γ=（A1,…,An）∈ Jr,定义映射G（·）:S（n）→R为:（?）（3）其中,1-维单调次线性函数G的定义为G（a）=1/2σ2a+-1/2σ2a-for a∈R.通过（3）式定义的这族特殊的生成函数,我们即得G-白噪声的存在性.定理5.对任给的单调次线性函数G（a）=1/2（σ2a+-σ2a-）,a∈R,令生成函数集合{Gγ（·）:γ∈JΓ}按表达式（3）定义.那么,存在定义在次线性期望空间（Ω,H,E）上的1-维空间G-白噪声（Wγ）γ∈Γ使得对任意γ=（A1,…,An）∈JΓ,随机向量Wγ=（WA1,…,WAn）服从G-正态分布并且对任意Q=（qij）i,j=1n∈S（n）,（?）另外,若存在另一个G-白噪声（Wγ）γ∈Γ,其生成函数形式为（3）且具有同一个次线性函数G,那么W兰W.对任意P≥ 1.我们记随机变量空间H在范数‖·‖p:=（E[|·|P]）1/P下的完备化空间为LGP（W）,则（Ω,LGp（W）,E）构成一个完备的次线性期望空间.以下均假设（Wγ）γ∈Γ是定义在（Ω,LG2（W）,E）上的一个1-维G-白噪声.空间G-白噪声的一个重要性质是分布具有旋转和平移不变性.命题 6.对任意p ∈Rd和O∈（?）（d）:={O∈Rd×d,OT=O-1},我们令那么,对任意A1,…,An∈B0（Rd）,有也就是说,W的任意有限维分布具有旋转和平移不变性.记空间 L2（Rd）={f:‖f‖L22=∫Rd|f（x）2dx<∞}.我们可以定义 L2（Rd）中函数关于G-白噪声的随机积分.首先,对任意简单函数f（x）=∑i=1nai1Ai（x）,n∈N,a1.…,anR,A1,…,An∈Γ,定义关于G-白噪声的随机积分如下:（?）那么,利用以下引理我们可以将随机积分扩张到空间L2（Rd）上.并且随机积分所构成的集合也是一个G-高斯随机场.引理7.若f:Rd→R是L2（Rd）中一个简单函数,那么,E[|∫Rdf（x）W（dx）|2]≤σ2‖f‖L22.定理 8.设r=B0（Rd）,W=（WA）A∈r为完备次线性期望空间（Ω,LG2（W）,E）上的1-维G-白噪声,则随机积分集合{∫Rd f（x）W（dx）:f∈L2{Rd）}是一个G-高斯随机场.接下来,我们研究定义在指标集Γ={[s,t）×A:0≤s≤t<∞,A ∈ B0（Rd）}上的时空随机场.特别地,我们有以下时空白噪声的定义:定义9.次线性期望空间（Ω,H,E）上的随机场{W（s,t）× A)}（[s,t）×A)∈Γ称为一个1-维时空G-白噪声,如果它满足以下条件：（1）对任意固定的时间区间[s,t),随机场{W（[s,t）×A)}A∈B0（Rd）的是一个1-维空间白噪声并且与（（?WA）A∈B0（Rd）具有相同的有限维分布:（2）对任意 r ≤ s ≤ f,A ∈ B0（Rdd）,W（[r.s）× A）+W（[s,f）× A)=W（[r,t）×A);（3）对任意ti≤s≤t和A,Ai∈B0（Rd）,i=1,…,n,随机变量W（[s,t）×A)独立于（W（[s1,t1）×A1）,…,W（[sn,tn）×An)),这里（WA）A∈B0（Rd）是一个1-维空间G-白噪声.对任意p ≥ 1,T>0,类似于G-布朗运动和G-期望的构造过程,我们可以构造相应的典则随机场{W（s,t）×A):0≤s<t≤T,A∈B0（Rd）},随机变量空间LGp（W[0,T]）（相应地:LGp（W））和次线性期望危使得W在E下为时空G-白噪声.下面我们定义关于时空G-白噪声W的随机积分.首先,记Mp,0（[0,T]×Rd为具有以下形式的所有简单随机场构成的集合:（?）（4）其中Xij∈LGp-（W[0,ti）,i=0,…,n-1,j=1,…,m;0=t0<t1<…<tn=T;并且{Aj}j=1m,[B0（Rd）为互不相交集合序列.那么,形式为（4）的简单随机场f∈Mp,0（[0.T]×Rd）的 Bochner 积分可以定义为（?）显然,映射IB:MP,0（[0,T]×Rd）→ LGp（W[0,T]）是线性映射.对任意给定的p ≥ 1,将MP,0（[0,T]×Rd）在范数‖·‖MP:=（E[∫0T∫Rd|·|pdsdx]1/p下的完备化空间记为MGp（[0.T]× Rd）.关于时空白噪声W的随机积分可以定义为从M2,0（[0.T]×Rd）到LG2（W[0.T]）上的线性映射:（?）那么,我们有如下引理.引理10.对任意简单随机场f∈M2,0（[0.T]×Rd）,E[∫0T∫Rdf（s,x）W（ds,dx）]=0,E[|∫0T∫Rdf（s,x）W（dx,dx）|2]≤σ2E[∫0T∫Rd|f（s,x）|,dsdx].因此,我们可以将随机积分（5）从M2,0（[0,T）× Rd）连续扩张到完备空间MG2（[0,T]xRd））上.事实上,对任意f∈MG2（[0,T]×Rd）,存在一列简单随机场fn ∈ M2,0（[0,T]×Rd）使得（?）‖fn-f‖M2＝0,则（?）2.时空G-白噪声驱动的随机热方程本章主要研究时空G-白噪声驱动的随机热方程弱解的性质.首先我们给出次线性期望下随机Fubini定理的形式.对任意T>0,记M2,0（[0,T]2×R2）是由以下形式简单随机场所构成的线性空间:（?）其中{t0,…,tn}和{sO,…,sn}是时间区间[0.T]上的任意两个分划Aj}j=1m和{BK}k=1m分别是B0（R）上互不相交集合的序列;并且对i,l=0,…,n-1 和 j.k＝1,…,n.Xijlk∈LG2（W[0,ti]）.记 MG2（[0.T]2×R2）在范数‖f‖M2=（∫0T∫R∫0T∫RE[|f（t,x,s,y）|2]dxdtdyds1/2下的完备化空间为MG2（[0.T]2×R2）.那么,我们有以下积分交换公式.定理11（随机Fubini定理）.对任意T>0,设简单随机场f（t.x.s.y）∈M2.0（[0.T]2 ×R2）,则∫0T∫R[∫0T∫Rf（t,x,s,y）W（dt,dx）]dyds=∫0T∫R[∫0T∫Rf（t,x,s,y）dyds]W（dt,dx）.进一步地,若f（t.x,s,y）∈MG2（[0,T]2 x R2）,则在任意集合K∈B0（R）上,∫0T∫K[∫0T∫Rf（t,x,s,y）W（dt,dx）]dyds=∫0T∫R[∫0T∫Kf（t,x,s,y）dyds]W（dt,dx）.特别地,容易验证以下推论.推论 12.对任意f ∈ MG2（[0.T]2×R2）,K∈B0（R）,我们有∫0T∫K[∫0s∫Rf（t,x,s,y）W（dt,dx）]dyds=∫0T∫R[∫tT∫Kf（t,x,s,y）dyds]W（dt,dx）.给定任意时间T>0.我们考虑以Γ=[0.T]×R为指标集的时空G-白噪声{W（t,x）W（[0.t）×[x∧0.0∨x）:t∈[0.T],x×∈R}.在不引起混淆的情况下,我们仍将其记为W＝{W（t,x）:t∈[0.T].x∈R}.显然W（t,x）关于（t,x）几乎处处不可微,但是在广义函数Schwartz分布意义下,它的导数是存在的,定义W（t,x）:=（?）2W（t,x）/（?）t（?）x,t∈[0,T],x∈R,指对任给的测试函数φ∈Cc∞（R2）,∫0T∫RW（t,x）φ（t,x）dxdt=∫0T∫RW（t,x）（?）φ（t,x）/（?）t（?）x（dt,dx）.（6）其中Cc∞（R2）代表R2上具有紧支集的无穷次可微函数所构成的空间.那么我们有以下命题.命题 13.设{W（t,x）:t ∈[0,T]·×R}是时空白噪声{W（t,x）:t∈[0,T],x ∈=R}按（6）式定义的广义导数,则对任意φ ∈ Cc∞（R2）,有∫0T∫RW（t,x）φ（t,x）dxdt=∫0T∫Rφ（t,x）W（dt,dx）.根据上述命题,我们就可以给出随机热方程弱解的定义.下面考虑次线性期望空间下时空G-白噪声驱动的线性随机偏微分方程（?）]u（0,x）=u0（x）,x ∈ R,其中初始函数u0:R → R是非随机的Borel可测函数.定义 14.设初始函数 u0（x）∈S2（R）,即supx∈R|u0（x）|2<∞.时空随机场{u（t,x）:（t,x）∈[0,∞)×R]称为随机热方程（7）的一个弱解,如果其满足以下条件:（1）对任意 T ≥ 0,以及 K ∈ B0（R）,都有(u（t,x）0<t<T.x∈K ∈SG2（[0.T]× K）:（2）对任意T≥ 0,φ（t,x）∈Cc∞（R2）,(u（t,x）0＜t＜T,x∈R满足方程∫Ru（T,x）φ（T,x）dx-∫Ru0（x）φ（0,x）dx=∫0T∫Ru（t,x）（（?）φ（t,x）/（?）t+（?）2φ（t,x）/（?）x2）dxdt+∫0T∫Rφ（t,x）W（dt,dx）,其中SG2([0,T]× 表示 M2,0([0,T]× K 在范数‖·‖s2=supt∈[0,T]supx∈K（E（|·|2]）1/2下的完备化空间.容易验证,线性随机热方程（7）存在唯一的弱解.定理 15.设u0（x）∈S2（R）,则时空G-白噪声驱动的线性随机热方程（7）存在唯一的弱解,其表达式为:u（t,x）=∫Ru0（y）p（t,x-y）dy+∫0t∫Rp（t-x,x-y）W（ds,dy）,（?）t>0,x∈R,其中p（t,x）=1/（?）e-x2/4t,（?）t>0,x∈R.命题 16.设 u0（.x）∈ S2（R）,并且{u（t,x）:（t,x）E[0.∞）x R}是线性随机热方程（7）的弱解,那么,对任意0<α<1,（t,x）∈（0,∞）x R,存在一个常数C使得对任意h>0,下列不等式成立:（1）E[|u（t,x+h）-u（t,x）|2]≤Chα;（2）E[lu（t+h,x）-u（t,x）|2]≤C（?）.对任意常数T>0,K>0,我们考虑以下可乘时空G-白噪声驱动的随机热方程:（?）其中a（x）∈Cb,Lip（R）,u0（x）∈S2（[0,K}）.定义17.给定任意常数T>0,K>0.设初始函数u0（x）∈ S2（[0,K]）,a（x）∈Cb.Lip（R）.对任取的函数φ（t,x）∈ Cc∞（R2）满足（?）/（?）xφ（t,0）=（?）/（?）xφ（t,K）=0,t≤T,如果时空随机场（u（t,x））0≤t≤T,0≤x≤K∈SG2（[0,T]×[0,K]）满足方程（?）那么,{u（t,x）:（t,x）∈[0,T]×[0,K]}就称为随机热方程（8）的一个弱解.通过Green函数和Picard迭代的方法,我们得到时空（G-白噪声驱动的随机热方程（8）弱解的存在唯一性.定理 18.u0（x）∈S2（[0,K]）以及a（x）∈ Cb,Lip（R）,那么次线性期望空间中时空G-白噪声驱动的随机热方程（8）存在唯一的弱解{u（t,x）:（t,x）∈[0.T]×[0,K]}使得u ∈SG2（[0,T]×[0.K]）并且满足方程（9）.进一步地,我们有以下解的估计.命题 19.设 u0（x）∈ S2（[0,K]）,a（x）∈ Cb.Lip（R）并且{u（t,x）:（t,x）∈[0,T]×[0,K]}∈SG2（[0,T]×[0,K」）是随机热方程（8）的弱解.那么,对任意0<a<1,存在一个常数C使得对x,y ∈[0,K],t,s ∈[0.T],有（1）E[|u（t,x）-u（t,y）[2]≤C|x-y|α;（2）E[|u（t.x）-u（s,x）|2]≤C|t-s|1/2.3.G-布朗运动的Levy鞅刻画和反射原理在本章中,我们研究了相容次线性期望空间上多维对称鞅的Levy鞅刻画以及G-布朗运动和非线性G-布朗运动的反射原理.在次线性期望框架下,论文首先引入了相容次线性期望空间的定义.设Ω为给定样本空间,（Ht）t≥0和H是Ω上实值函数组成的一族线性空间且满足下列条件:（H1）对任意的0 ≤S≤t,Hs（?）Ht（?）H并且H0=R;（H2）若X ∈Ht（相应地:H）,则|X| ∈Ht（相应地:H）;（H3）对任意的φ∈Cb.Lip（Rn）,若X1,...,Xn∈Ht（相应地:H）,则φ（Xi,...,Xn）∈Ht（相应地:H）.定义 20.一族映射Et:H →Ht,t ≥0,称为（Ht）t≥0上的相容次线性期望,如果其满足下列条件:对任给的随机变量X,Y∈H,（1）单调性:若 X ≥ Y,则E[X]≥Et[Y];（2）保常性:若η∈Ht,则Et[η]=η;（3）次可加:E[X+Y]≤Et[X]+Et[Y];（4）正齐性:对任意有界非负随机变量η ∈Ht,有Et[ηX]＝ηEt[X];（5）相容性:若s ≤t,则Es[Et[X]]=Es[X].四元组（Ω,H,（Ht）t≥0,（Et）t≥0）就称为相容次线性期望空间,成称为次线性条件期望.对任给的常数p ≥ 1,Ht（相应地:H）在‖·‖p:=（E[|·|P]）1/P下的完备化记为Lp（Ωt）（相应地:Lp（Ω））.那么,（Ω,L1（Ω）,（L1（Ωt））t≥0,（Et）t≥0）也构成一个相容的次线性期望空间,称为完备的相容次线性期望空间.在完备空间上.我们有以下在次线性分析中非常重要的命题.命题 21.设（Ω,L1（Ω）.（L1（Ωt））t≥0,（Et）t≥0）为完备的相容次线性期望空间.对任给的n-维随机向量X∈（L1（Ωt））n,m-维随机向量Y∈（L1（Ω））m,以及φ∈Cb.Lip（Rn+m）,我们有Et[φ（X,Y）]=Et[φ（x,Y）]x=X.特别地，对任一有界随机变量η∈L1（Ωt）,有Et[ηZ]=η+Et[Z]+η-Et[-Z],（?）Z∈L1（Ω）.下面我们给出相容次线性期望空间中对称鞅的定义.定义 22.设（Ω,L1（Ω））t≥0,（Et）t≥0）为完备的相容次线性期望空间,一族随机向量的集合（Xt）t≥0称为d-维适应随机过程,如果对任意的2>0,Xt∈(L1（Ωt）d.定义 23.完备相容次线性期望空间（Ω,L1（Ω）.（L1（Ωt）t≥0,（Et）t≥0）中的d-维适应过程Mt=（Mt1,...,Mtd）,t≥0,称为一个鞅,如果对任意s≤t,i≤d都有Es[Mti]=Msi.进一步地,如果对t ≥ 0,i ≤ d,d-维鞅M满足E[Mti]=-E[-Mti],则M称为对称鞅.通过引入一类离散的乘积空间,我们得到了相容次线性期望空间中G-布朗运动的Levy鞅刻画定理.定理24.设（Ω.L1（Ω）,（L1（Ωt））t≥0,（Et）t≥0）为完备的相容次线性期望空间,G:S（d）→R为任意给定的单调次线性函数.假设d-维对称鞅（Mt）t≥0满足M0=0;对任意t≥0,Mt ∈（L3（Ωt））d;以及对任意固定的时间T>0,当δ↓0时,sup{E[|Mt+δ-Mt|3]:t≤T}=o（δ）,那么下列结论等价:·（1）（Mt）t≥0是一个G-布朗运动;（2）对任意t,s≥0,AS（d）,存在常数C>0使得Et[|Mt+s-Mt|2]≤Cs,并且过程1/2tr[At]-G（A）t,t≥0,是一个鞅;（3）对任意A ∈S（d）,过程1/2<AMt,Mt>-G（A）t,t≥0,为鞅.特别地,对于G-期望空间中的对称G-鞅,我们可以对上面定理中的条件进行弱化.在对称G-鞅的刻画定理中,我们将不再要求定理24中的假设条件Mt∈（L3（Ωt））d以及当δ↓0时,sup{E[|Mt+δ-Mt|3]:t≤T}=o（δ）.定理 25.设G:S（d’）→R和G:S（d）→ R是两个给定的单调次线性函数,并且（Ω,LG1（Ω）,（LG1（Ωt））t≥0,（Et）t≥0）为相应的G-期望空间.假设d-维对称鞅（Mt）t≥0满足M0＝0,以及对任意t≥0,Mt∈（LG2（Qt））d,那么以下结论等价:（1）（Mt）t≥0为G-布朗运动;（2）对任意A∈S（d）,随机过程1/2<AMt,Mt>-G（A）t,t≥0.是一个鞅;（3）对任意t,s≥0,A∈S（d）,存在常数C>0使得Et[|Mt+s-Mt|2]≤Cs,并且随机过程1/2tr[At]—G（A）t,t≥0,是一个鞅.基于鞅刻画定理,下面我们考虑G-布朗运动的反射原理.令Ω＝C0（[0,∞））,（Bt）t≥0为Ω上典则过程.对任意的t ≥ 0,定义随机变量空间为Lip（Ωt）={φ（Bt1,Bt2-Bt1,…,Btn-Btn-1）:n ∈ N.0≤t1<…<tn≤t,φ∈Cb.Lip（Rn）},并且（?）对任意给定的参数0≤σ2≤σ2满足σ2>0,令G（a）:1/2（σ2a+-σ2a-）for a ∈ R,Peng在[78]中构造了 Lip（Ω）上的次线性G-期望EG[·],使得典则过程（Bt）t≥0在EG下是一个1-维G-布朗运动.根据G-期望表示定理,我们有以下Ito-Tanaka公式|Bt-a|=|a|+∫0t sgn（Bs-a）dBs+Lt（a）,q.s.,这里Lt（a）称为G-期望EG[·]下G-布朗运动B在a点的局部时.再由以下引理以及Skorokhod引理.我们即得G-布朗运动的反射原理.引理26.设（Bt）t≥0为1-维G-布朗运动,则随机积分∫0t sgn（Bs）dBs,t≥0,仍为G-布朗运动.定理27.设（Bt）t>0为1-维G-布朗运动,,（Lt（0））t≥0为布朗运动B在G-期望EG[.]下的局部时.那么,在EG[·]下,我们有（St-Bt,St）t≥0=（|Bt|,Lt（0））t≥0其中对t≥0,St=sups≤t Bs.类似地,假设G:R → 1R是被G控制的非线性函数,Peng构造了一个Lip（Ω）上的非线性G-期望EG[·]使得典则过程（Bt）t≥0 在EG[·]下是一个独立平稳增量过程,我们称其为1-维G-布朗运动.进而,以下G-布朗运动的反射原理成立.定理28.设（Bt）t≥0为1-维G-布朗运动,（Lt（0））t≥0为EG[·]下布朗运动B的局部时.那么,在G-期望EG下,（St-Bt,St）t≥0=（|Bt|.Lt（0））t≥0,其中St=sups≤t Bs,t≥0.
二、关于分数布朗运动一个命题证明的简化（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、关于分数布朗运动一个命题证明的简化（论文提纲范文）
（1）在一般高斯过程驱动下的Vasicek模型和Ornstein-Uhlenbeck过程的最小二乘估计（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 引言 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 一般高斯过程 |
| 2.2 带周期均值的一些概念 |
| 第三章 在一般高斯过程驱动下的Vasicek模型的参数估计 |
| 3.1 主要结果 |
| 3.2 估计量的相合性 |
| 3.2.1 矩估计量的相合性 |
| 3.2.2 最小二乘估计量的相合性 |
| 3.3 估计量的渐近正态性 |
| 3.3.1 矩估计量的渐近正态性 |
| 3.3.2 最小二乘估计量的渐近正态性 |
| 第四章 在一般高斯过程驱动下的带周期均值的O-U过程的参数估计 |
| 4.1 主要结果 |
| 4.2 最小二乘估计量的相合性 |
| 4.3 最小二乘估计量的渐近正态性 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（2）自驱动粒子系统中若干非平衡统计问题的理论研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 自驱动粒子简介 |
| 1.2 自驱动粒子的理论建模 |
| 1.3 活性粒子集体行为 |
| 1.3.1 活性诱导相分离 |
| 1.3.2 活性粒子库 |
| 1.3.3 活性粒子系统的玻璃化转变 |
| 1.4 多粒子系统的理论 |
| 1.4.1 活性粒子的场论模型 |
| 1.4.2 非平衡线性响应 |
| 1.5 玻璃化转变 |
| 1.5.1 玻璃和玻璃化转变简介 |
| 1.5.2 玻璃化转变的热力学性质 |
| 1.6 本章小节 |
| 第2章 模耦合理论介绍 |
| 2.1 投影算子方法 |
| 2.2 关联函数计算 |
| 2.2.1 密度涨落 |
| 2.3 模耦合近似 |
| 2.4 中间自散射函数 |
| 2.5 非遍历因子 |
| 2.6 过阻尼布朗粒子系统 |
| 2.7 欠阻尼布朗粒子系统 |
| 2.8 多组分系统 |
| 2.9 Schematic模型 |
| 2.10 无热自驱粒子的玻璃化转变 |
| 2.11 本章小节 |
| 第3章 自驱动粒子系统玻璃化转变理论 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 单组分体系的模耦合理论 |
| 3.2.1 模型设定 |
| 3.2.2 理论推导 |
| 3.2.3 数值模拟计算结果 |
| 3.3 多组分混合系统的理论框架 |
| 3.3.1 模型设定 |
| 3.3.2 理论推导 |
| 3.3.3 数值模拟计算结果 |
| 3.4 自驱动粒子玻璃化转变的惯性效应 |
| 3.4.1 欠阻尼活性布朗粒子 |
| 3.4.2 有效Fokker-Planck方程 |
| 3.4.3 欠阻尼活性系统模耦合理论 |
| 3.4.4 活性OU粒子的情况 |
| 3.5 本章小结和讨论 |
| 第4章 活性粒子热库的平均场理论 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 模型和理论 |
| 4.2.1 平均场近似 |
| 4.2.2 广义Langevin方程 |
| 4.3 理论的应用 |
| 4.3.1 有效扩散 |
| 4.3.2 有效迁移率 |
| 4.4 本章小结和讨论 |
| 第5章 总结和展望 |
| 5.1 研究内容总结 |
| 5.2 工作展望 |
| 参考文献 |
| 附录A 数学推导 |
| A.1 推导中几个恒等分解的证明 |
| A.1.1 Dyson分解 |
| A.1.2 附录C.2节中恒等分解的证明 |
| A.2 常用积分变换 |
| A.2.1 中心对称体系Fourier变换 |
| A.2.2 Laplace变换 |
| A.2.3 Laplace变换和逆变换的数值算法 |
| 附录B 随机系统的统计物理 |
| B.1 随机系统的关联函数 |
| B.2 有效Smoluchowski方程的推导 |
| B.3 Dean方程的推导 |
| B.4 关联函数计算 |
| B.4.1 Ornstein-Uhlenbeck噪声 |
| B.4.2 ABP角度扩散 |
| B.4.3 活性布朗粒子的平均动能 |
| 附录C 模耦合理论 |
| C.1 基本性质 |
| C.2 模耦合近似 |
| C.3 不动点定理 |
| C.4 级数收敛性质 |
| C.5 不可约记忆函数 |
| C.6 数值计算 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
| 致谢 |
（3）分数维随机波动率的期权定价和离散随机控制问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 分数维随机波动率模型下的期权定价问题 |
| 1.1.2 障碍期权 |
| 1.1.3 随机最优控制问题 |
| 1.2 本文结构 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 分数维布朗运动 |
| 2.1.1 概念和性质 |
| 2.1.2 分数维布朗运动相关积分 |
| 2.1.3 Malliavin导数 |
| 2.2 金融概念和模型 |
| 2.2.1 风险中性定价 |
| 2.2.2 均值回复过程 |
| 2.2.3 几种随机波动率模型 |
| 2.3 随机最大值原理 |
| 第三章 分数维Hull-White随机波动率模型下的期权定价 |
| 3.1 分数维Hull-White随机波动率模型 |
| 3.2 欧式看涨期权价格的求解 |
| 3.3 数值模拟 |
| 第四章 分数维Ornstein-Uhlenbeck随机波动率模型下的期权定价 |
| 4.1 分数维Ornstein-Uhlenbeck随机波动率模型 |
| 4.2 欧式看涨期权价格的求解 |
| 4.3 数值模拟 |
| 4.3.1 波动率的数值修正 |
| 4.3.2 闭型解的数值模拟 |
| 第五章 分数维噪声驱动的离散随机控制系统的最大值原理 |
| 5.1 定义及假设 |
| 5.2 由分数维噪声驱动的离散随机控制系统的最大值原理 |
| 5.3 由分数维噪声和白噪声共同驱动的离散随机控制系统的最大值原理 |
| 5.4 对于线性二次方程的应用 |
| 5.4.1 线性二次方程问题 |
| 5.4.2 最优生产计划实例 |
| 第六章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（4）基于分数阶微分方程的期权定价研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 预备知识 |
| 1.2.1 期权定价背景知识 |
| 1.2.2 分数阶微积分相关知识 |
| 1.2.3 分形理论简介 |
| 第2章 欧式看涨期权TFCGMY模型的定价分析 |
| 2.1 模型的建立 |
| 2.2 数值离散格式 |
| 2.3 稳定性与收敛性 |
| 2.3.1 稳定性分析 |
| 2.3.2 收敛性分析 |
| 2.4 期权定价分析 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 欧式双障碍时间分数阶期权定价模型 |
| 3.1 模型的建立 |
| 3.2 模型的离散格式 |
| 3.3 稳定性和收敛性 |
| 3.3.1 稳定性分析 |
| 3.3.2 收敛性分析 |
| 3.4 期权定价分析 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 基于随机波动率的期权定价模型 |
| 4.1 模型的建立 |
| 4.2 模型的离散格式 |
| 4.3 期权定价分析 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间主要研究成果 |
（6）次线性算子和凸算子下最优估计问题的研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 研究背景和预备知识 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 概率论的相关知识 |
| 1.3 倒向随机微分方程理论 |
| 1.4 次线性算子下有界随机变量的最优均方估计问题 |
| 1.4.1 问题构建 |
| 1.4.2 相关结论 |
| 第二章 次线性算子下最小均方估计问题 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识和问题描述 |
| 2.2.1 预备知识 |
| 2.2.2 问题描述 |
| 2.3 存在性和唯一性结果 |
| 2.3.1 存在性结果 |
| 2.3.2 唯一性结果 |
| 2.4 次线性算子下可积随机变量的最小均方估计元的刻画 |
| 2.5 次线性算子下可积随机变量的最小均方估计元的性质 |
| 2.6 本章小结 |
| 2.7 附录 |
| 第三章 一个稳健的Kalman-Bucy滤波问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 问题的构建 |
| 3.3 主要的结果 |
| 3.4 本章小结 |
| 3.5 附录 |
| 第四章 基于观测不确定性的滤波问题 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 稳健估计问题的构建 |
| 4.3 稳健估计问题的求解 |
| 4.4 本章小结 |
| 4.5 附录 |
| 第五章 凸算子下有界随机变量的最小均方估计问题 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识和问题描述 |
| 5.2.1 预备知识 |
| 5.2.2 有界随机变量的最小均方估计问题 |
| 5.3 最小均方估计元的存在性和唯一性 |
| 5.3.1 存在性结论 |
| 5.3.2 唯一性结论 |
| 5.4 凸算子下有界随机变量的最小均方估计元的性质 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 Kalman-Bucy滤波和不确定性下的最小均方估计元 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 稳健估计问题的构建 |
| 6.3 稳健估计问题的主要结论 |
| 6.4 预备知识和问题描述 |
| 6.4.1 预备知识 |
| 6.4.2 问题描述 |
| 6.5 最小均方估计元的存在性和唯一性 |
| 6.5.1 存在性定理 |
| 6.5.2 唯一性定理 |
| 6.6 凸算子下可积随机变量最小均方估计元的性质 |
| 6.7 附录 |
| 6.8 本章小结 |
| 第七章 用最优控制方法讨论次线性算子下的最优估计问题 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 问题的构建 |
| 7.2.1 在概率论框架下构建估计问题 |
| 7.2.2 从最优控制的角度构建问题 |
| 7.3 最大值原理 |
| 7.3.1 变分方程 |
| 7.3.2 最大值原理 |
| 7.4 滤波 |
| 7.5 本章小结 |
| 第八章 本文的总结和新颖之处 |
| 8.1 本文的总结 |
| 8.2 本文的创新点 |
| 8.3 本文存在的不足以及进一步需要研究的问题 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（7）几类分数阶偏微分方程的适定性和解的渐近性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 预备知识 |
| 2 多粒子系统中非局部扩散方程的衰减估计 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 假设及预备知识 |
| 2.3 非局部多粒子系统解的衰减估计 |
| 2.4 带各向异性核的非局部单粒子方程的衰减估计 |
| 2.5 小结和展望 |
| 3 带随机扩散的Log-Euler方程的大概率全局适定性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 假设及预备知识 |
| 3.3 局部适定性 |
| 3.4 先验估计 |
| 3.5 全局解 |
| 3.6 小结和展望 |
| 4 带白噪声初值和混合边界条件的热方程的混沌与有序 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 渐近行为 |
| 4.3 平均热量的爆破和快速冷却 |
| 4.4 小结和展望 |
| 5 有界域上时间离散化随机反应扩散方程的L~p收敛性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 解的存在唯一性和关于时间的正则性 |
| 5.3 时间离散半隐式数值逼近解 |
| 5.4 逼近解的L~p(?)收敛性 |
| 5.5 小结和展望 |
| 6 总结和展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 进一步研究工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 1 攻读博士学位期间完成的论文 |
| 附录 2 攻读博士学位期间参与的科研项目 |
（8）欧式期权定价的分解方法与应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 期权应用的最新研究进展 |
| 1.3 研究内容及方法 |
| 1.3.1 研究内容 |
| 1.3.2 研究方法 |
| 1.4 主要贡献及创新点 |
| 1.4.1 主要贡献 |
| 1.4.2 创新点 |
| 第二章 文献综述 |
| 2.1 扩散过程估计问题的研究现状 |
| 2.2 跳跃-扩散期权定价研究 |
| 2.3 障碍期权定价研究 |
| 第三章 L(?)vy过程期权模型 |
| 3.1 基础理论 |
| 3.1.1 Black-Scholes模型 |
| 3.1.2 L(?)vy过程 |
| 3.1.3 稳态过程 |
| 3.2 L(?)vy过程基本框架 |
| 3.3 调和稳态过程 |
| 3.4 条件L(?)vy过程及风险中性模型 |
| 3.5 本章小节 |
| 第四章 L(?)vy过程期权模型的应用 |
| 4.1 O-U均值回收模型 |
| 4.1.1 AQI期权合同的设计 |
| 4.1.2 基于空气质量指数的O-U模型设计 |
| 4.1.3 二叉树模型的期权定价 |
| 4.2 数值验证 |
| 4.2.1 AQI O-U模型的参数估计 |
| 4.2.2 空气污染期权定价结果 |
| 4.3 本章小节 |
| 第五章 CEV模型 |
| 5.1 基于双曲绝对风险厌恶效用的CEV模型 |
| 5.1.1 建立HJB方程 |
| 5.1.2 化简HJB方程 |
| 5.1.3 求解抛物型偏微分方程 |
| 5.2 修正分数布朗运动下的CEV模型 |
| 5.2.1 欧式看涨期权定价 |
| 5.2.2 期权定价的渐近公式 |
| 5.3 本章小节 |
| 第六章 α-超几何随机波动率模型 |
| 6.1 障碍期权的基本模型 |
| 6.2 α-超几何随机波动率模型 |
| 6.2.1 一般单一障碍期权的价格 |
| 6.2.2 Feynman-Kac型定理 |
| 6.3 欧式香草看跌期权 |
| 6.3.1 建立方程 |
| 6.3.2 定解模型 |
| 6.3.3 模型的求解过程 |
| 6.4 下降敲出看跌(DOP)期权 |
| 6.4.1 建立方程 |
| 6.4.2 定解模型 |
| 6.4.3 模型的求解过程 |
| 6.5 本章小结 |
| 第七章 基于微分动力学的期权定价趋势模型 |
| 7.1 金融衍生品一般定价趋势模型 |
| 7.1.1 模型建立 |
| 7.1.2 模型分析 |
| 7.2 期权定价趋势模型 |
| 7.2.1 模型建立 |
| 7.2.2 模型分析 |
| 7.3 特殊案例 |
| 7.4 本章小结 |
| 第八章 结论与展望 |
| 8.1 结论 |
| 8.2 展望 |
| 参考文献 |
| 作者在攻读博士学位期间公开发表的论文 |
| 作者在攻读博士学位期间的研究项目 |
| 致谢 |
| 附录A |
| 附录B |
（9）基于非单调定价核的金融衍生品定价问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1.绪论 |
| 1.1 研究背景与研究意义 |
| 1.2 研究目标与研究内容 |
| 1.2.1 研究目标 |
| 1.2.2 研究内容 |
| 1.3 研究思路、研究框架与研究方法 |
| 1.3.1 研究思路 |
| 1.3.2 研究框架 |
| 1.3.3 研究方法 |
| 1.4 研究创新 |
| 2.相关研究综述 |
| 2.1 关于期权定价理论的文献综述 |
| 2.1.1 期权定价早期理论的文献综述 |
| 2.1.2 有关期权定价模型拓展的文献综述 |
| 2.1.3 均衡期权定价的文献综述 |
| 2.1.4 波动率衍生品定价的文献综述 |
| 2.2 关于标的资产离散建模的文献综述 |
| 2.2.1 GARCH波动率模型的文献综述 |
| 2.2.2 标的资产服从跳跃扩散过程的文献综述 |
| 2.3 关于定价核的文献综述 |
| 2.4 文献评述 |
| 3.非单调定价核:来自中国市场的证据 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 理论与模型 |
| 3.2.1 定价核 |
| 3.2.2 提取风险中性概率密度 |
| 3.2.3 估计物理测度概率密度 |
| 3.3 实证研究 |
| 3.3.1 50ETF收益率和在物理测度下的概率密度 |
| 3.3.2 期权数据和定价核 |
| 3.4 定价核单调性的检验 |
| 3.5 本章小结 |
| 4.非单调定价核之谜——基于方差风险视角的解释 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 方差风险溢价 |
| 4.2.1 方差风险和方差风险溢价的概念介绍 |
| 4.2.2 隐含在我国市场的方差风险溢价 |
| 4.3 均衡模型 |
| 4.3.1 效用函数 |
| 4.3.2 定价核 |
| 4.3.3 风险中性过程 |
| 4.4 定价核之谜分析 |
| 4.4.1 定价核单调性的讨论 |
| 4.4.2 影响定价核的因素分析 |
| 4.4.3 金融衍生品的闭式定价公式 |
| 4.5 本章小结 |
| 5.基于条件偏度与非单调定价核的i VX指数预测 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 模型构建 |
| 5.2.1 标的资产收益率的动力学过程 |
| 5.2.2 嵌套模型 |
| 5.3 隐含波动率指数 |
| 5.3.1 非单调定价核 |
| 5.3.2 等价鞅测度 |
| 5.3.3 资产收益在风险中性测度下的动力学过程 |
| 5.3.4 iVX指数构建 |
| 5.4 实证研究 |
| 5.4.1 数据 |
| 5.4.2 资产收益率的似然函数 |
| 5.4.3 风险中性测度下的模型估计 |
| 5.4.4 样本外预测 |
| 5.5 本章小结 |
| 6.基于非单调定价核与仿射JUMP-GARCH模型的VIX期货定价 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 模型 |
| 6.2.1 资产收益率过程 |
| 6.2.2 仿射GARCH过程 |
| 6.3 风险中性化 |
| 6.3.1 定价核 |
| 6.3.2 等价鞅测度 |
| 6.3.3 风险中性测度下的动力学过程 |
| 6.4 VIX期货定价理论 |
| 6.4.1 隐含波动率指数 |
| 6.4.2 VIX期货定价公式 |
| 6.5 实证分析 |
| 6.5.1 数据 |
| 6.5.2 模型估计 |
| 6.5.3 模型定价表现分解 |
| 6.5.4 样本外预测 |
| 6.6 本章小结 |
| 7.非单调定价核和双指数跳模型的期权定价研究 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 模型理论 |
| 7.2.1 双指数跳GARCH模型 |
| 7.2.2 基准模型 |
| 7.3 基于标的资产收益率的实证分析 |
| 7.3.1 数据 |
| 7.3.2 似然函数 |
| 7.3.3 参数估计值 |
| 7.4 期权定价理论 |
| 7.4.1 测度转换 |
| 7.4.2 风险中性过程 |
| 7.4.3 期权定价公式 |
| 7.5 基于期权价格的实证分析 |
| 7.5.1 期权数据 |
| 7.5.2 参数估计 |
| 7.5.3 样本内定价表现 |
| 7.5.4 样本外期权定价表现 |
| 7.6 本章小结 |
| 8.结论与展望 |
| 8.1 主要结论 |
| 8.2 未来研究展望 |
| 8.2.1 定价核的提取和其它金融衍生品的定价 |
| 8.2.2 定价核非单调性的解释 |
| 8.2.3 资产收益率建模和衍生品定价模型的应用 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 附录3 -A.风险中性概率密度推导 |
| 附录3 -B.资产收益率似然函数和跳跃残差项的构建 |
| 附录4 -A.HESTON-NANDI模型的隐含方差期限结构项的计算 |
| 附录4 -B.命题4-1 证明 |
| 附录4 -C.风险中性化HESTON-NANDI模型 |
| 附录4 -D.风险中性条件方差剧目函数的解析求解 |
| 附录4 -E.多期总收益的剧目函数求解 |
| 附录5 -A.等价鞅约束 |
| 附录5 -B.风险中性化随机变量 |
| 附录5 -C.风险中性化后的动力学过程 |
| 附录5 -D.命题5-1 证明 |
| 附录6 -A.JUMP-GARCH模型的等价鞅约束 |
| 附录6 -B.风险中性化JUMP-GARCH模型的随机变量 |
| 附录6 -C.JUMP-GARCH模型的风险中性过程 |
| 附录6 -D.命题6-1 证明 |
| 附录7 -A.命题7-1 证明 |
| 附录7 -B.命题7-2 证明 |
| 附录7 -C.命题7-3 证明 |
| 附录7 -D.命题7-4 证明 |
| 后记 |
| 致谢 |
| 在读期间科研成果目录 |
（10）非线性期望下的随即场理论及相关问题研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 非线性期望理论预备知识 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 非线性期望理论 |
| 1.3 G-正态分布 |
| 1.4 G-布朗运动 |
| 第二章 次线性期望下的高斯随机场及时空白噪声 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 次线性期望下的G-高斯随机场 |
| 2.2.1 非线性期望空间中的随机场 |
| 2.2.2 次线性期望空间中的高斯随机场 |
| 2.3 次线性期望下的空间G-白噪声 |
| 2.3.1 空间G-白噪声存在性定理 |
| 2.3.2 关于空间G-白噪声的随机积分 |
| 2.3.3 空间G-白噪声的另一种构造方法 |
| 2.4 次线性期望下的时空G-白噪声 |
| 2.4.1 基本定义和相关性质 |
| 2.4.2 关于时空G-白噪声的随机积分 |
| 2.5 空间G-白噪声的轨道刻画 |
| 2.5.1 次线性期望的概率表示 |
| 2.5.2 空间G-白噪声的连续性 |
| 2.5.3 空间G-白噪声的轨道刻画 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 时空G-白噪声驱动的随机热方程 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 随机积分扩张 |
| 3.2.1 Bochner积分扩张 |
| 3.2.2 随机积分扩张 |
| 3.3 随机Fubini定理 |
| 3.4 时空G-白噪声驱动的随机热方程 |
| 3.4.1 线性随机热方程 |
| 3.4.2 随机热方程 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 G-布朗运动的Levy鞅刻画和反射原理 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 相容次线性期望空间 |
| 4.3 G-布朗运动的Levy鞅刻画 |
| 4.4 G-布朗运动和非线性G-布朗运动的反射原理 |
| 4.4.1 G-布朗运动的反射原理 |
| 4.4.2 非线性G-布朗运动的反射原理 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
四、关于分数布朗运动一个命题证明的简化（论文参考文献）
- [1]在一般高斯过程驱动下的Vasicek模型和Ornstein-Uhlenbeck过程的最小二乘估计[D]. 裴幸智. 江西师范大学, 2021(12)
- [2]自驱动粒子系统中若干非平衡统计问题的理论研究[D]. 冯梦凯. 中国科学技术大学, 2021(09)
- [3]分数维随机波动率的期权定价和离散随机控制问题研究[D]. 李峥. 吉林大学, 2020(03)
- [4]基于分数阶微分方程的期权定价研究[D]. 邢建红. 西安理工大学, 2020(01)
- [5]教育部关于印发普通高中课程方案和语文等学科课程标准（2017年版2020年修订）的通知[J]. 教育部. 中华人民共和国教育部公报, 2020(06)
- [6]次线性算子和凸算子下最优估计问题的研究[D]. 孔垂柳. 山东大学, 2020(11)
- [7]几类分数阶偏微分方程的适定性和解的渐近性[D]. 杨晓雷. 华中科技大学, 2020(01)
- [8]欧式期权定价的分解方法与应用[D]. 岳焱. 上海大学, 2020
- [9]基于非单调定价核的金融衍生品定价问题研究[D]. 杨兴林. 西南财经大学, 2020
- [10]非线性期望下的随即场理论及相关问题研究[D]. 纪晓君. 山东大学, 2019(02)