一、“海伦公式”的历史（论文文献综述）
保红[1]（2020）在《HPM在高中解三角形教学中的行动研究》文中认为数学史是人类文明史的重要组成部分,是人类文明史的瑰宝,蕴含着无尽的教学资源和思想资料。HPM是将数学史与数学教学有机结合,在新课程改革的背景下,HPM已经成为一个重要的研究方向,伴随研究的逐步深入,HPM在实际教学中的应用也逐渐从理论走向了实践。新课标中提到:要体现数学文化价值。数学教材中也渐渐开始添加数学史的内容,但在实际教学中如何将数学史料有效融入数学课堂教学?如何设计推广性强的HPM案例?研究开发的HPM案例的数学课堂教学对学生的学习产生了什么效果?研究开发的HPM案例的数学课堂教学对教师专业发展有什么影响?等等。针对这些问题,本文将借鉴已有研究,选择HPM的教学视角,以高中解三角形主要的四个课时为例,将HPM在高中解三角形教学中的行动进行研究,开发推广性强的HPM案例,并在真实的教学情境中实施并研究HPM案例。最后,结合HPM的设计方法,建立HPM案例教学实践模型,并在实施和研究过程中不断修正与完善HPM案例,再进一步检验建立的实践模型。通过问卷调查、MOOC（慕课）、HPM微课、访谈、教学实录,教学水平测试等多种方式对学生以及教师进行调查,收集研究数据,经过SPSS对数据进量化与质性分析,了解教师在高中解三角形教学中应用HPM案例教学的现状,师生对HPM案例教学的态度和认同度,以及在HPM案例教学中会遇到的问题等等,为HPM案例教学提出一些切实的建议。总结问题,探索解决问题的对策,设计出与教学内容有关的HPM教学案例,最后通过实施前后的教师访谈来定性分析教师对教学法的认知变化和对教师专业发展的影响,将传统的课堂教学方法转换为现代教学方法和改进一些传统的教学方法,让HPM可以尽快进入数学课堂,充分发挥其教育价值。
刘超[2]（2008）在《海伦公式证明之史海钩沉》文中指出海伦公式即三角形面积公式:S△=s（s-a）（s-b）（s-c）,其中s=21（a+b+c）,a,b,c是三角形三个边的长,这个公式远在古希腊阿基米德就知道,后由希腊人海伦（Heron）（生于公元前125年）在他的著作《测量术》（metrica）一书的"度量表"章中首先证明了这一公式,还举了求边为13,14,15之三角形面积一例.在与世隔绝的中国南宋时期（约公元1247年）,数学家秦九韶在他的《数书九章》中独创地讨论到它,名为"三斜求积术",大斜,中斜,小斜分别表示三角形三边,求面积.把他的结论用现代算式表示是
刘超[3]（2011）在《基于HPM的数学教育研究》文中进行了进一步梳理HPM（History and Pedagogy of Mathematics）意指数学史与数学教育之间的联系,它作为一个学术领域的出现始于1972年。HPM研究的目标是通过数学历史的运用,提高数学教育的水平。HPM关注的内容
刘超,孙风军,陆书环[4]（2010）在《基于“数学史—探究”的问题解决教学及案例分析》文中研究表明基于"数学史—探究"的问题解决教学是通过融入与具体知识点相关的数学名题及其求解,侧重对历史上所用各种数学思想方法进行分析比较,使学生了解不同文化背景中的数学思考方式,旨在培养学生数学洞察力,启发数学思想方法,提升数学思维能力,并在社会历史文化与数学思维的双重醺陶下,获得数学认知活动的文化意义,在数学教育中实践多元文化关怀.
张翠姝[5]（2009）在《高中数学选修课程“数学史选讲”的教学实践研究》文中认为“数学史选讲”是教育部2003年5月颁布的普通高中《数学课程标准》中规定的选修内容。作为首次进入高中课堂的“数学史选讲”,“讲什么,怎么讲”一直是摆在中学数学教师面前的一个重要课题。本文试图从课程目标、课程内容、课程实施、课程评价等角度解读新课程中关于选修课程“数学史选讲”的课程要求,在经过一个学期17个课时的教学实践的基础上,选取其中的三个案例,希望能通过对案例的分析,反思实践中遇到的问题,进一步改进和完善“数学史选讲”的教学现状并提供有益的建议。
朱田晟骜[6]（2020）在《高中数学教学中渗透中华传统文化的实践研究 ——以慈利县第一中学为例》文中提出高中数学课程是我国传统文化的重要载体,数学教育是传承中华传统文化的重要载体和平台。在教学中渗透中华传统文化是学校育人目标的要求,是实现立德树人的根本任务的要求。本文以张家界市慈利县第一中学为样本,就如何在高中数学教学中渗透中华传统文化进行实践探究。本研究的主要方法,一是采用文献研究法,通过查阅与本研究有关的理论成果、实践成果和文献资料,并对已有的研究资料进行分析;二是采用问卷调查法,通过设计调查问卷,就高中数学教师、高中学生对数学传统文化的认识、意义、实施的态度和做法,收集数据进行分析;三是采用案例分析法,对本文中提出的在高中数学教学中渗透优秀传统文化实施策略进行案例分析。本研究通过分析整理国内在高中数学教学中渗透传统文化研究成果,探究高中数学教学中渗透优秀传统文化的教育意义,以慈利县第一中学为研究对象,总结对中华优秀传统文化融入高中数学教学的行动研究,整理挖掘高中数学必修教材中蕴含的传统文化素材,从以下几个方面探讨了在高中数学教学中渗透优秀传统文化的几种实施策略,一是数学课堂教学中渗透优秀数学传统文化,通过案例呈现了在知识引入阶段中渗透传统文化、在知识的巩固阶段渗透传统文化、在知识的运用阶段渗透传统文化、在数学实验中渗透传统文化等。二是在考试试题中引入优秀传统文化因素,慈利县第一中学在以下方面进行了积极探索,首先是研究古代典籍如《九章算术》、《数书九章》等与高中数学知识的结合点,整理筛选合适的素材,在继承的基础上,编拟数学文化试题让学生练习,去弘扬数学传统文化。其次是研究数学传统文化在当今社会中的创新性发展,让学生感受到中国传统文化对人类社会进步的贡献。第三是分类研究高考数学中的传统文化试题,编写了一本校本资料《高中数学中的传统文化试题研究》。三是开设《民族数学文化与高中数学》选修课程。研究发现:（1）高中数学教学与传统文化、立徳树人密不可分,通过弘扬中华优秀传统数学文化,可以让学生从数学的视角欣赏和理解优秀传统文化的博大精深,从而强化学生的爱国主义精神和民族自豪感。在高中数学教学中渗透传统文化是时代的需要,也是可行的。（2）本研究以中华民族传统文化涵养了高中数学教师。教师是民族传统文化教育的责任主体,是传承者和弘扬者,对民族优秀传统文化的价值认同和自觉践行,直接影响着高中学生。通过国培研修中做专题讲座、参与编写校本教材和校本课程的实施,教师教学教研能力有了很大提高。（3）通过整理高中数学教材中蕴含的传统文化内容素材,进一步丰富高中数学校本教学内容,同时提高了学生解决高考数学中的传统文化问题的能力。（4）开设数学传统文化校本选修课程,是在高中数学教育中渗透中华传统文化的有效方式,彰显了学校数学教育特色,学校落实了立德树人根本任务。这项样本实践探索,对于推进在高中数学教学中渗透传统文化的相关理论和实践实施策略研究,有着重要意义与参考价值。
彭翕成[7]（2020）在《基于点几何的几何定理机器证明与自动发现》文中提出智能解答是人工智能中的重要研究领域。随着教育信息化的深入发展,要求教育资源智能化,而不是简单的“电子化”。教育软件缺少智能性或智能化程度不高,导致难以满足教学需求。研发高智能的教育软件已成为解决问题的关键,智能解答是其中的核心技术。本文研究的几何自动推理属于智能解答的分支。通过文献梳理和调研,我们发现几何自动推理领域研究成果丰富,但已有推理算法对产生的证明是否足够简短易于理解掌握,其几何意义是否足够丰富易于揭示几何关系、发现新的定理,关注还不够。因此有必要探索新的推理算法,主要围绕两个目标努力,一是提高机器解答的可读性,实现“明证”（即一目了然的证明）;二是更多地发现新的几何定理。本文具体研究内容和主要贡献如下:一、提出了点几何恒等式算法。在学习吴方法的基础上,用点几何运算方式简明地表示几何关系,并转化为向量多项式,通过待定系数法解方程,探寻能关联命题条件和结论关系的恒等式。生成的代数恒等式,有明显的几何意义,在数形之间架构了一座新的桥梁。此方法原理简单,计算简便,给出的证明易于理解,读者需要的基础知识少,基本实现“明证”的目标。多数证明甚至比原题更简短,且清楚展现了条件和结论之间的关系,因此既能由一题扩展到多题,还能从低维扩展到高维。二、提出了基于点几何恒等式的混合推理算法。为了更好地利用不同解答方法的优势,结合代数计算和搜索思想,提出两种挖掘隐藏关系的算法,大大扩展了恒等式方法的解题范围。对长期讨论的某些有序几何问题,给出简短的恒等式证明,指出命题成立的充要条件,并将命题多角度扩展;而以往的解决方案需要引入较多的新概念,复杂运算,还达不到这样的效果。开发了点几何解答系统,针对可构图几何问题,能生成有详细步骤的可读证明,其中的遍历搜索功能与延伸作图功能相结合,可批量发现并证明几何定理,所发现的结论为恒等式算法提供补充。三、提出了向量方程消元算法。基于复数形式的欧拉公式,将几何关系转化成向量方程组,然后利用线性方程组的基础性质消去向量,从而抽取出含有边长和角度关系的系数矩阵,计算行列式并化简,调用消元法消去不感兴趣的变量,得到一些几何意义鲜明的关系式。这是将代数方法和不变量相结合的新思路。应用此方法研究一些经典几何图形,不但能重现经典结论,还能发现图形中蕴藏但前人疏漏的结论。此方法擅长发现和证明多项式形式的边角关系,这是以往研究所欠缺的。特别是对单个三角形的研究,能自动生成或强制生成大量三角恒等式。四、建立了一个几何题库。为检验算法的有效性,我们整理研究了 1000余例有代表性的几何问题。这些典型案例经本文算法处理之后,发现了许多新的结论,使得题目的内涵变得丰富,题目质量大大增强。有助于学生实行变式练习,加强巩固重点难点。为方便一线师生使用,我们基于题库出版了系列文章和著作,其中的题目,大部分来自人工收集,少部分由计算机自动生成,解答则几乎由机器完成,人只在其中增加少量连词和分析,使得读起来更加顺畅。而这些主要由计算机自动生成的命题和解答,审稿人和读者都没察觉是机器所为,充分说明能被教育领域理解和接受。同时也表明本文给出的机器解答,从某种程度上可认为通过了图灵测试。本文研究了基于点几何的自动推理方法,并指出它在数学教育上的种种应用,为基础数学教育内容的改进提供了一种新的途径。此外,本文研究也引人思考,人类的解答未必最佳,计算机可能给出让人惊讶的解答。计算机给出解答甚至比题干还短,这看似“有悖”常识,但又引起思考,如何知识表示才能尽量简洁而又方便推理。知识的创新表示,要尽量符合信息时代的要求,同时也可能造成原有知识体系的重新定位。
纪妍琳[8]（2020）在《HPM视角下的类比推理教学》文中研究表明类比推理是培养学生逻辑推理素养过程中不可忽视的内容。然而,类比推理教学的成功案例并不多见,恰当的类比推理教学模式也有待建立。研究者对有关类比推理的数学史料进行梳理,并以HPM视角下的"立体几何中的类比推理"高三复习课的若干教学片段进行再现与分析,促进学生对数学活动本质的认识,提高学生学习数学的自信心。
谭远泊,范杨[9]（2021）在《趣谈海伦-秦九韶公式及其应用》文中研究指明每位同学都应该学过三角形面积=底×高÷2,但如果不知道一个三角形高线的长度而只知道三条边的长度,又该如何来求解三角形的面积呢?其实,这是一个很古老的数学问题,历史上无论是在西方还是在中国,都有杰出的数学家对这个问题进行过深入的研究,并得出了重要的结论.今天就让我们一起来重温这段重要的数学历史吧.
刘超[10]（2011）在《刍议新课标数学实验教材中的古算题及其教育价值》文中研究说明数学史对数学教育的意义已愈来愈得到重视.我国新颁布的《数学课程标准》,无论是在义务教育阶段还是在普通高中阶段,都有与数学史相关的论述.当前数学课程改革需要数学史,数学史是数学教育最好的启发式之一.浩瀚的数学史海洋里具
二、“海伦公式”的历史（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、“海伦公式”的历史（论文提纲范文）
（1）HPM在高中解三角形教学中的行动研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 概念界定 |
| 1.3 研究问题和意义 |
| 1.4 研究思路与方法 |
| 第2章 文献综述 |
| 2.1 HPM教学研究综述 |
| 2.2 高中解三角形HPM教学案例研究综述 |
| 第3章 高中解三角形HPM教学案例开发 |
| 3.1 HPM教学案例开发相关理论 |
| 3.2 解三角形HPM案例分析框架研究 |
| 3.3 解三角形的历史和文化背景 |
| 3.4 解三角形HPM案例系列 |
| 第4章 高中解三角形HPM案例教学的实施结果分析 |
| 4.1 HPM案例教学实施的目的和实施前的设想 |
| 4.2 HPM案例课堂教学实施研究 |
| 4.3 HPM案例课堂教学实验结果研究 |
| 第5章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 附录1 :高中解三角形HPM案例教学实施效果问卷调查表 |
| 附录2 :解三角形HPM案例教学效果和认同度学生访谈 |
| 附录3 :解三角形HPM案例教学实施前教师访谈 |
| 附录4 :解三角形HPM案例教学实施后教师访谈 |
| 附录5 :解三角形测试试卷 |
| 致谢 |
（2）海伦公式证明之史海钩沉（论文提纲范文）
| 1 海伦的证明 |
| 2 梅文鼎的证明 |
| 3 李善兰的证明 |
| 4 《八线备旨》中海伦公式的证明 |
| 5 用余弦定理证明 |
| 6 结语 |
（3）基于HPM的数学教育研究（论文提纲范文）
| 一、HPM视域下的一题多解、一题多证及其教育价值 |
| 二、基于HPM的探究教学研究 |
| 1. 问题的提出 |
| 2. 探究过程 |
| 1. 对称性。 |
| 2.关于a, b, c的对称式有哪些? |
| 3. S (a, b, c) 的确定 |
| 1.利用海伦公式推导勾股定理 (自行验证) 。 |
| 2.利用海伦公式公式验证: |
| 3.海化公式的推广: |
| 三、基于HPM的初等数学与高等数学的衔接 |
（5）高中数学选修课程“数学史选讲”的教学实践研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 课题提出的背景及教学实践研究的目的和意义 |
| 1.1 选修课程“数学史选讲”在高中数学课程中的地位和作用 |
| 1.2 新课程背景下数学选修课程“数学史选讲”的现状 |
| 1.3 教学实践研究的目的和意义 |
| 第二章 高中数学选修课程“数学史选讲”的教学实践 |
| 2.1 大学数学史选修课与高中阶段的数学史选修课的区别 |
| 2.2 选修课程“数学史选讲”的教学设计 |
| 2.3 选修课程“数学史选讲”教学案例选编 |
| 2.4 选修课程“数学史选讲”的学习评价 |
| 第三章 教学实践后的研究与反思 |
| 3.1 选修课程“数学史选讲”调查问卷分析 |
| 3.2 选修课程“数学史选讲”结业考试试题设计意图与来自于试卷的分析 |
| 3.3 本实践研究的思考与建议 |
| 参考文献 |
| 附录1——“勾股定理”教学过程 |
| 附录2——“海伦（秦九韶）公式”第一课时教学过程 |
| 附录3——“海伦（秦九韶）公式”第二课时教学过程 |
| 附录4——学案（一）海伦生平介绍 |
| 附录5——学案（二）海伦公式的经典证明 |
| 附录6——学案（三）秦九韶与《数书九章》 |
| 附录7——“几何原本与公理化体系”教学过程 |
| 附录8——阅读材料（一）公理化体系的诞生 |
| 附录9——阅读材料(二)《几何原本》简介 |
| 附录10——阅读材料(三)牛顿力学体系的公理化展开方式 |
| 附录11——阅读材料(四)《独立宣言》的公理化展开方式 |
| 附录12——调查问卷 |
| 附录13——选修课《数学与数学家的故事》结业考试试卷 |
| 致谢 |
（6）高中数学教学中渗透中华传统文化的实践研究 ——以慈利县第一中学为例（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究的内容 |
| 1.3 研究的意义 |
| 1.4 研究方法 |
| 2 文献综述 |
| 2.1 相关概念界定 |
| 2.2 国内研究现状 |
| 2.3 中华传统文化在高中数学中的价值 |
| 3 慈利县第一中学中华传统文化融入高中数学的行动研究 |
| 3.1 中华传统文化融入高中数学教学的调查分析 |
| 3.2 中华传统文化融入高中数学的行动研究 |
| 4 慈利县第一中学将传统文化融入数学教育的策略研究 |
| 4.1 数学课堂教学中渗透优秀数学传统文化 |
| 4.2 高考试题中引入优秀传统文化因素 |
| 4.3 开设《民族数学文化与高中数学》选修课程 |
| 5 研究结论与反思 |
| 5.1 研究结论 |
| 5.2 研究的新意之处 |
| 5.3 研究的不足 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
| 在学期间所发表的文章 |
（7）基于点几何的几何定理机器证明与自动发现（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 研究历史与现状 |
| 1.2.1 几何推理的代表性方法 |
| 1.2.2 几何推理的可读性研究 |
| 1.2.3 几何定理自动发现 |
| 1.3 主要工作和组织结构 |
| 第二章 相关理论基础 |
| 2.1 几何题的题意理解 |
| 2.2 吴方法理论与实例 |
| 2.3 教育数学与点几何 |
| 2.4 实验平台Mathematica |
| 第三章 基于点几何的恒等式算法 |
| 3.1 几何命题代数化 |
| 3.1.1 几何知识的重新表示 |
| 3.1.2 点几何基本几何关系构造 |
| 3.2 基于恒等式的命题证明算法和示例 |
| 3.2.1 点几何恒等式算法 |
| 3.2.2 点几何恒等式算法的补充:引入参数 |
| 3.2.3 点几何恒等式算法的补充:引入复数 |
| 3.2.4 点几何恒等式与向量方法的转换算法 |
| 3.2.5 恒等式的解读和一题多解 |
| 3.3 教育应用案例 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 基于点几何恒等式的混合推理算法 |
| 4.1 命题真假判定 |
| 4.2 点几何恒等式搜索算法 |
| 4.2.1 搜索条件的恒等式算法 |
| 4.2.2 教育应用案例 |
| 4.3 点几何解答系统 |
| 4.3.1 基本函数 |
| 4.3.2 扩展函数 |
| 4.3.3 教育应用案例 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 基于向量方程的消元算法 |
| 5.1 研究背景 |
| 5.2 向量方程消元算法 |
| 5.3 教育应用案例 |
| 5.3.1 经典案例再探究 |
| 5.3.2 自动发现多种情况 |
| 5.3.3 自动发现逆命题 |
| 5.3.4 强制法打磨生成结论 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 算法测试与比较 |
| 6.2 主要工作和创新 |
| 6.3 教育应用与思考 |
| 6.4 进一步研究与展望 |
| 参考文献 |
| 附录1 吴方法的实质是恒等式 |
| 附录2 访谈提纲和测试案例 |
| 攻读博士学位期间完成的科研成果 |
| 致谢 |
（8）HPM视角下的类比推理教学（论文提纲范文）
| 一、引言 |
| 二、类比推理的数学史料研究及其应用 |
| (一)类比推理的数学史料研究 |
| 1.基于类比推理的数学发现 |
| 2.类比方向的多样性 |
| 3.由类比推理得到的错误命题 |
| (二)类比推理数学史料的应用 |
| 三、教学设计与实施 |
| (一)从圆面积到球体积 |
| (二)从勾股定理到“立体几何中的勾股定理” |
| (三)从三角形面积到四面体体积 |
| 四、结语 |
（10）刍议新课标数学实验教材中的古算题及其教育价值（论文提纲范文）
| 1 中学各版本实验教材中的古算题介绍 |
| 2 古算题教育价值的开发 |
| 2.1 对学习兴趣和成就动机的激励作用 |
| 2.2 数学文化的展示作用 |
| 2.3 解题方法演变的展现作用 |
| 2.4 数学思想方法的引领作用 |
四、“海伦公式”的历史（论文参考文献）
- [1]HPM在高中解三角形教学中的行动研究[D]. 保红. 西南大学, 2020(01)
- [2]海伦公式证明之史海钩沉[J]. 刘超. 中学数学杂志, 2008(10)
- [3]基于HPM的数学教育研究[J]. 刘超. 教学与管理, 2011(15)
- [4]基于“数学史—探究”的问题解决教学及案例分析[J]. 刘超,孙风军,陆书环. 中小学数学(高中版), 2010(11)
- [5]高中数学选修课程“数学史选讲”的教学实践研究[D]. 张翠姝. 首都师范大学, 2009(10)
- [6]高中数学教学中渗透中华传统文化的实践研究 ——以慈利县第一中学为例[D]. 朱田晟骜. 西南大学, 2020(05)
- [7]基于点几何的几何定理机器证明与自动发现[D]. 彭翕成. 华中师范大学, 2020(01)
- [8]HPM视角下的类比推理教学[J]. 纪妍琳. 中小学课堂教学研究, 2020(04)
- [9]趣谈海伦-秦九韶公式及其应用[J]. 谭远泊,范杨. 中学生数学, 2021(24)
- [10]刍议新课标数学实验教材中的古算题及其教育价值[J]. 刘超. 中学教研(数学), 2011(10)