一、常微分方程奇解的讨论（论文文献综述）
师向云,周学勇[1]（2020）在《基于Matlab的常微分方程辅助教学设计》文中指出本文主要探索利用Matlab在常微分方程（组）求解和绘图方面的优势,具体讨论Matlab在常微分方程课程教学中的应用,给出数学类本科专业常微分方程课程辅助教学设计.
赵亚琪,范进军[2]（2019）在《MATLAB在常微分方程上的应用》文中研究说明本文旨在研究MATLAB在常微分方程上的应用,探索MATLAB在判断微分方程奇解的存在性、奇点的类型、极限环的存在性和零解的稳定性四类问题中所起到的作用、实现的形式及效果.
刘姗姗,韩茂安[3]（2018）在《关于克莱罗方程的奇解与包络概念之拓展》文中进行了进一步梳理如所周知,克莱罗方程y=xy′+f（y′）有一个特解,在f″（y′）≠0条件下该特解就是一个奇解,并对应一个包络.本文假设这一条件不成立,在其他一些条件之下讨论特解的性质,我们特别给出了广义包络的概念,并研究其存在条件.
布仁满都拉[4]（2018）在《奇解的判别法》文中研究说明本文主要讨论微分方程奇解的判别法.如果方程有奇解一般用P-判别曲线法和C-判别曲线法判定微分方程的奇解,本文用实例介绍了这两个方法.
刘冬冬[5]（2017）在《牛顿运动方程组的拟齐次分类》文中进行了进一步梳理常微分方程是伴随着微积分发展起来的,其成长于生产实践和数学的发展进程,蕴含着丰富的数学思想方法.它在天体力学和其它力学领域显示出巨大的功能.牛顿通过解微分方程证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆;海王星的存在是天文学家先通过微分方程的方法推算出来,然后才实际观测到的.常微分方程的形成和发展与力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展也有着密切的联系.数学的其他分支的新发展,如复变函数、李群、组合拓扑学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的影响.目前,常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用.可以预测随着社会技术的发展和需求,常微分方程会有更大的发展.常微分方程的发展经历了四个阶段:第一阶段是以求通解为主要内容的经典理论阶段.1690年,Bernoulli James研究了与钟摆运动有关的“等时曲线问题（在相等的时间内,使摆沿着这条曲线作一次完全的振动（不考虑摆所经历的弧长的大小））”.他通过分析建立了常微分方程的模型,并用分离变量法解出了这条摆线的方程.1690年,Bernoul-1i James 提出了“悬链线问题（绳子悬挂于两固定点而形成的曲线（绳子是柔软的但不能是伸长的））”.Bernoulli John和Leibniz用微积分的方法解决了悬链线问题.后来又研究了等角轨线问题,正交轨线问题等等.1691年,Leibniz给出了变量分离法.1694年,他使用了常数变易法把一阶常微分方程化成积分,又发现了方程的一个解族的包络也是解.1695年,Bernoulli John给出着名的Bernoulli方程.Leibniz用变换将其化为线性方程.1715-1718年,Taylor讨论微分方程的奇解、包络和变量代换公式.1734年,Clairaut研究了 Clairaut方程,发现这个方程的通解是直线族,而直线的包络线就是奇解,Clairaut和Euler对奇解进行了全面的研究,给出从微分方程本身求奇解的方法.1734年,Euler给出了恰当方程的定义.他与克莱罗各自找到了方程是恰当方程的条件,并发现若方程是恰当的,则方程是可积的.1739年克莱罗提出了积分因子的概念,Euler确定了可采用积分因子的的方法求解方程.1772年,Laplace将奇解概念推广到高阶方程和三个变量的方程.1774年,Lagrange对奇解和通解的联系作了系统的研究,他给出了一般的方法及奇解是积分曲线族包络的几何解释等等.第二阶段是以定解问题为研究内容的适定性理论阶段.此时期是数学发展史上的一个转变时期,数学分析的基础、群的概念、复变函数的开创等都在这个时期,常微分方程深受这些新概念和新方法的影响,进入了它发展的第二个阶段.这一阶段的主要结果有:19世纪20年代,柯西建立了柯西问题解的存在唯一性定理.1873年,李普希兹提出着名的“李普希兹条件”,对柯西的存在唯一性定理作了改进.1875年和1876年柯西、李普希兹、皮亚拿和比卡先后给出常微分方程的逐次逼近法等等.第三阶段是常微分方程发展的解析理论阶段.这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法,求出一些重要的二阶线性方程的级数解,并得到极其重要的一些特殊函数,Riemann-Fuchs奇点理论也是这一阶段非常重要的成果.第四阶段是常微分方程的定性理论阶段,庞加莱和李雅普诺夫分别开创了微分方程定性理论和微分方程运动稳定性理论.多项式微分系统是一类简单而又重要的常微分方程,极限环问题的研究在微分方程的定性理论中占有很重要的地位,1900年,Hilbert提出的第十六个问题的后半部分就是讨论平面多项式系统的极限环的最多个数和相对位置.齐次多项式微分系统作为多项式系统中重要的一类.到目前为止,齐次多项式微分系统已有不少的成果,Markus研究了P,Q互质的二次齐次多项式向量场（P,Q）的分类.Algaba得到了齐次多项式微分系统的标准型以及系统有效的不变量理论.Cima得到实数域上四阶二元型的分类定理和代数特征的分类形式.拟齐次多项式微分系统是齐次多项式微分系统的推广.近年来,拟齐次系统受到众多学者的关注,例如:拟齐次分解,拟齐次多项式系统的可积性,中心问题,极限环,标准型等都取得了丰富的成果.2013年,Garcia给出了一种对平面拟齐次多项式系统进行拟齐次分类的算法,并利用该算法得到了平面2次和3次多项式系统的所有拟齐次分类.本文考虑牛顿运动方程组其中f（q1,q2）和g（q1,q2）分别是q1,q2的n阶和m阶多项式.我们首先探讨方程组（1）的一些拟齐次性质,然后给出（1）的拟齐次分类算法,最后利用算法给出当m ≤ n = 4时（1）的拟齐次分类,记权向量ω =（s1,s2,s3,s4,d）,拟齐次向量场为（P1,p2,f,g）.分类结果列表如下:
徐丽君,廖永志[6]（2016）在《一阶常微分方程的奇解和包络的研究》文中研究表明微分方程F（x,y,y’）=0的奇解与包络等概念比较抽象,关系复杂,难以理解。利用包络和奇解的定义及有关定理,通过具体实例,用不同的方法研究方程F（x,y,y’）=0的奇解与包络,研究求曲线的奇解与包络的方法,讨论解的唯一性是如何被破坏的。
姜曼[7]（2015）在《浅谈常微分方程奇解与包络》文中研究指明对常微分方程教科书中采用的不同方式来定义奇解,进行了讨论,指出了用包络定义奇解的不相容性,和用唯一性破坏定义奇解的合理性。给出了求常微分方程以已知函数求奇解的多种方法 ,方法和实例表明,这对有奇解的常微分方程以及同一奇解的常微分方程都是非常多的.
孔志宏[8]（2013）在《包络排除方法及奇解排除定理》文中提出讨论包络和奇解的判断问题,通过分析c-判别曲线上切线斜率的存在性,明确p-判别曲线中p的含义,得出通解曲线族中的曲线只有在c-判别曲线上每一点处存在切线斜率时,c-判别曲线才有可能是包络,否则c-判别曲线必定不是包络,另外在求奇解时,p-判别曲线中的p必须等于p-判别曲线的斜率,否则p-判别曲线必定不是奇解.
王嘉谋,石琳,何莉敏[9]（2012）在《关于一阶常微分方程奇解的讨论》文中提出对几个典型一阶常微分方程的通解进行分析,得出高等数学中定义的微分方程通解并不包含该方程的所有解.从而说明一阶常微分方程奇解的存在性.
孔志宏,王辉[10]（2010）在《求微分方程奇解时p的相容性问题》文中指出在利用p-判别式寻求及判别奇解时,必不可少的一个步骤,也是必须考虑的一个问题,就是对p的相容性（或合理性）进行检验,而此点却常常被人们所忽视.事实上,p-判别式中求得或涉及到的p自始至终都应当等于由p-判别曲线y=φ（x）相应得到的dφ（x）/dx.否则,接下去的逻辑演算必然是错误或徒劳重复的.
二、常微分方程奇解的讨论（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、常微分方程奇解的讨论（论文提纲范文）
（1）基于Matlab的常微分方程辅助教学设计（论文提纲范文）
| 1 Matlab在微分方程辅助教学中的具体应用 |
| 1.1 利用Matlab求非线性微分方程的解析解 |
| 1.2 利用Matlab解释奇解的几何意义 |
| 1.3 利用Matlab理解方向场应用 |
| 1.4 Matlab在一阶微分方程（组）初值问题的数值求解方面的应用 |
| 1.5 利用Matlab绘制非线性方程组在相空间的轨线 |
| 1.6 利用Matlab判断微分方程系统零解的稳定性 |
| 2 课堂实现方式及意义 |
（2）MATLAB在常微分方程上的应用（论文提纲范文）
| 1 引 言 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 奇解定义 |
| 2.2 奇解存在性的充分条件 |
| 2.3 一阶线性微分方程组奇点分类的直观判断依据 |
| 2.4 极限环概念 |
| 2.5 零解稳定性的概念 |
| 3 MATLAB在常微分方程中的具体应用 |
| 3.1 运用MATLAB判断奇解的存在性 |
| 1) 理论分析验证.由(5)与(6)得到方程(4)的通积分 |
| 2) 在判断奇解中MATLAB优缺点的分析. |
| 3.2 运用MATLAB绘图判断奇点类型 |
| 3.3 运用MATLAB绘图判断动力系统是否存在极限环 |
| 3.4 运用MATLAB判断动力系统零解是否具有稳定性 |
| 4 结 语 |
（4）奇解的判别法（论文提纲范文）
| 1 奇解的定义 |
| 2 P-判别曲线法 |
| 3 C—判别曲线法 |
（5）牛顿运动方程组的拟齐次分类（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 本文的主要结果 |
| 第二章 牛顿运动方程组的拟齐次分类 |
| 2.1 拟齐次系统 |
| 2.2 牛顿运动方程组 |
| 2.3 拟齐次分类算法 |
| 2.4 应用举例 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（9）关于一阶常微分方程奇解的讨论（论文提纲范文）
| 1 一阶微分方程的通解 |
| 2 关于一阶微分方程奇解的讨论 |
| 3 结束语 |
四、常微分方程奇解的讨论（论文参考文献）
- [1]基于Matlab的常微分方程辅助教学设计[J]. 师向云,周学勇. 四川职业技术学院学报, 2020(05)
- [2]MATLAB在常微分方程上的应用[J]. 赵亚琪,范进军. 山东师范大学学报(自然科学版), 2019(03)
- [3]关于克莱罗方程的奇解与包络概念之拓展[J]. 刘姗姗,韩茂安. 大学数学, 2018(03)
- [4]奇解的判别法[J]. 布仁满都拉. 赤峰学院学报(自然科学版), 2018(03)
- [5]牛顿运动方程组的拟齐次分类[D]. 刘冬冬. 吉林大学, 2017(01)
- [6]一阶常微分方程的奇解和包络的研究[J]. 徐丽君,廖永志. 西昌学院学报(自然科学版), 2016(02)
- [7]浅谈常微分方程奇解与包络[J]. 姜曼. 山东工业技术, 2015(16)
- [8]包络排除方法及奇解排除定理[J]. 孔志宏. 高等数学研究, 2013(04)
- [9]关于一阶常微分方程奇解的讨论[J]. 王嘉谋,石琳,何莉敏. 高师理科学刊, 2012(01)
- [10]求微分方程奇解时p的相容性问题[J]. 孔志宏,王辉. 高等数学研究, 2010(03)