一、T样条函数空间的局部支集基（论文文献综述）
罗炯兴,王华桥[1]（2020）在《关于二元三次样条函数空间的维数》文中研究表明研究平面上单连通闭区域Ω的任意三角剖分△上的二元样条函数空间S31（△）,依据一定规则对三角剖分△中个数不超过内网点个数的三角形胞腔进行HCT加密,形成新三角剖分△*,并利用B网方法通过递推方式构造样条函数空间S31（△*）一个最小决定集,显示其维数S31（△*）具有非奇异性且等于Schumaker的维数下界.
包园[2]（2020）在《任意四边形上的几种非协调有限元方法》文中研究指明有限元方法是现今求解微分方程的成熟有效的数值方法之一,被广泛的应用于科学计算和工程领域中。其中非协调有限元法在解决固体力学以及流体力学的实际问题时能够获得稳定的数值解,例如求解与弹性力学相关的问题、Darcy-Stokes以及Stokes问题等。使用有限元方法去求解微分方程时,单个有限元的三要素为:单元的几何形状、形状函数空间以及自由度。无论从理论分析上还是实践上有限元方法都离不开对求解区域的网格剖分,其中三角形剖分是一种广泛适用的剖分,且网格生成比较简单。然而,对于四边形剖分却鲜有学者深入研究。对于某些特殊区域,相较于三角形剖分,采用四边形剖分可以减少单元的个数,且每个顶点连结的单元个数也将显着降低。本文主要对四阶奇异摄动问题、Darcy-Stokes问题和Stokes问题,在任意四边形上构造了三个非协调有限元,并从理论上证明了其收敛性,最后通过具体的数值实验,验证了此三种有限元的收敛性。具体内容如下:（1）针对四阶奇异摄动问题,我们提出了一个新的四边形单元。对任意凸四边形Q,形状函数空间由二次一阶光滑的样条函数空间S21（Q*）和四个泡沫函数组成。自由度定义为四条边的顶点和中点处的函数值,以及四条边上的法向导数积分均值。每个四边形单元上定义了十二个局部基函数,然后通过引入新的参考单元Q和仿射变换,可以将局部基函数显式表达而无需求解线性方程组。此外,所有积分都可以在参考单元上完成,因为雅可比行列式是常数,所以计算效率更高。更具体来说,我们可以计算出每个四边形单元的局部刚度矩阵。对于四阶奇异摄动问题,我们的C0有限元方法对于摄动参数是一致收敛的。（2）对于Darcy-Stokes问题,在任意凸四边形网格上我们构建了一种新的混合有限元方法。基于经典的速度-压强公式,同时利用了样条的方法,我们着重研究了符合H（div）-协调的有限元方法。其中速度空间是基于四边形上的样条空间,并且采用分片常数元来逼近压强。由于此单元是H（div）-协调的,我们需要保证Darcy-Stokes问题右端项的低正则性。得到收敛结果之后,本文结合四阶奇异摄动单元和新混合元的有限元空间构造了离散de Rham复形。此外,局部基函数可以通过Piola变换显式表达。（3）首先构造了一个四阶椭圆问题的非C0非协调高阶收敛理论框架。基于此框架,本文构造了一个高阶收敛的双调和四边形单元。在此基础上,我们在四边形网格上构造了一种新的混合有限元求解Stokes问题。所涉及的速度空间仅由多项式组成,且采用分片常数元去逼近压强。对于Stokes单元的速度空间,所有自由度都在边上,这种自由度选择可使我们的单元有较低的带宽。离散速度在离散H1半范数下是二阶收敛的,并且通过后处理可以将压强解的收敛阶提高到二阶。
王鹏霄[3]（2019）在《有关层次网格上的样条方法的研究》文中研究指明在数值逼近,几何造型,工程计算等领域中,样条是一种普遍适用的方法.这些领域的研究给多元样条方法的理论提出了新的问题.例如,对标准的NURBS方法引入局部修改算法以突破矩形网格的限制,完善新提出的T网格上的样条方法的理论基础,并进一步扩展和完善不规则网格剖分下的可局部加细的样条方法.对这些问题的分析并结合多元样条的方法,我们发现基于层次网格的自适应加细的样条方法具有很好的适用性并能得到满意的曲面拟合结果.与之相关的多元样条理论研究的主要问题和难点在于分析样条空间维数的奇异性和具有局部支集的基函数的构造.本文将从样条空间的维数,尤其是维数奇异性情况,显式维数公式,基函数构造,样条插值等问题入手,对可以局部加细的矩形网格和任意四边形网格上的样条的理论展开系统的研究.并基于这些理论成果,研究其在数值逼近、曲面造型中的应用.着重讨论和解决矩形网格和任意四边形网格上的自适应局部细分的样条曲面拟合问题.逐步形成基于层次网格细分的样条方法.具体工作主要包括以下几个方面:1.维数是样条空间研究中的一个基本且困难的问题,研究了带嵌套T圈的T网格上样条空间维数的不稳定性问题,修正了带嵌套T圈的T网格上样条空间维数公式,并且给出了一个并行T圈的T网格上网格结构退化的例子.2.提出一种基于层次T网格的S（3,3,1,1,Υ）多项式样条空间的曲面重构算法.该算法由任意层次T网格上每个小矩形单元对应4个节点上的16个参数的孔斯曲面插值形式给出.在散乱数据点的曲面拟合应用中,我们还给出了该曲面的自适应加细算法.数值算例显示,该算法能够有效的拟合散乱数据点.3.提出了一种基于局部加密的层次四边形网格上的3次样条空间的曲面重构算法.该算法由任意层次四边形网格上插值于每个小四边形单元对应4个节点处12个参数的3次样条曲面形式给出.通过该四边形网格上12参数的3次样条函数,使得曲面表达十分简单.与此同时,我们也给出了基于散乱数据点的自适应曲面加细算法.数值算例显示,该算法能够有效的拟合散乱数据点.
周健萍[4]（2018）在《二元样条函数中的某些问题》文中进行了进一步梳理样条函数在计算几何、数值逼近、计算机图形学、计算机辅助几何设计等诸多领域有着广泛的应用。1946年,I.J.Schoenberg系统地建立了一元样条函数的相关理论基础。随着科技日新月异的发展,许多问题已不能用简单的一元样条函数来刻画。然而多元样条并不是一元样条的简单推广,两者之间存在着本质的差别。1975年,王仁宏提出了光滑余因子协调法,建立了任意剖分下多元样条函数的理论框架,解决了贯穿剖分,拟贯穿剖分,1型三角剖分和2型三角剖分上的样条函数的维数和基函数的问题,并且也在应用方面取得了一些成果。由于高维空间的复杂性,二元样条还有很多问题并未得到很好地解决。鉴于此,开展二元样条函数的研究工作十分必要。利用光滑余因子协调法,本文对二元样条的维数和基底问题进行了深入研究,全文分为四章,具体安排如下:1.第一章,介绍样条函数的基本理论框架,样条基函数稳定性的发展历程,和可局部加细的样条函数的研究进展。2.第二章,利用光滑余因子方法讨论三角剖分上样条空间的维数。我们讨论了Morgan-Scott三角剖分上的样条空间Sk2（△MS）（k ≥ 4）的维数和S42（△MS）维数不稳定的几何特征。我们证明了当非退化三角剖分△的任意内点的度不小于6,那么S2rr（△）（r≥1）的维数是稳定的并仅由剖分边界点的个数决定,并通过一个例子说明对于剖分非退化的限定是必要的。3.第三章,考察了 B样条基和截断分层B样条基关于Lp范数的稳定性,即对于截断误差的敏感性。张量积型的截断分层B样条具有单位分解性和较小的支集,在诸多领域有着广泛的应用。Giannelli等人在2014年讨论了这种样条关于L∞范数的稳定性,但关于Lp（1 ≤ p<∞）范数的稳定性并不十分明朗。我们通过考察样条系数变化和函数值变化之间的联系来讨论B样条基和截断分层B样条基关于Lp范数的稳定性。其中截断分层B样条基是Lp弱稳定的,这意味着截断分层B样条基的Lp稳定性是依赖于分层的层数的。4.第四章,研究了基于三角剖分的分层样条空间。三角剖分上的样条函数对于相同的连续性比张量积样条具有更低的多项式次数,并且不像张量积样条那样仅局限于矩形区域。我们给出了基于任意的三角剖分的截断分层B样条的构造方法以及一些性质的证明,这种截断分层B样条满足单位分解性并具有较小的支集,将其应用在拟插值中也得到了比较好的效果。
郭庆杰[5]（2015）在《多元样条若干理论与应用研究》文中指出函数是数学最基本的研究对象,而连续函数又是其中十分重要的一类。Weierstrass逼近定理保证了闭区间上任意连续函数都可以用多项式来逼近。由于多项式的整体性太强,使得其在实际应用中出现诸多不便,分段光滑多项式一样条函数应运而生。1946年,数学家I. J. Schoenberg系统地建立了一元样条函数的相关理论基础。近几十年来,针对样条函数的研究越来越广泛与深入,许多现实问题已不能用简单的一元样条函数来刻画、描述,于是开展多元样条函数的研究变得十分必要。1975年,王仁宏先生利用函数论与代数几何的方法开创性地建立了任意剖分下多元样条函数的理论框架,提出了光滑余因子协调法。到目前为止,有关多元样条的理论与应用研究已经取得了丰硕的成果。本文对多元样条的某些理论和应用问题进行研究,主要有带T圈的T网格上样条函数空间维数不稳定性问题,三维四方向四面体剖分上的样条空间的局部支集样条函数,平面封闭曲线的符号距离函数逼近问题,平面数据点的样条函数隐式曲线拟合问题,空间散乱数据点的曲面重构研究。本文包含六章内容,具体安排如下：1.第一章,介绍多元样条基本理论框架及其在数学多个领域的广泛应用,曲线曲面造型的背景知识和主要研究进展。2.第二章,维数是样条空间研究中的一个基本且困难的问题,研究了带T圈的T网格上样条空间维数的不稳定性问题,修正了带T圈的T网格上样条空间维数公式,并且给出了一些特殊剖分上维数不稳定性的例子。3.第三章,研究了三维四方向四面体剖分上的样条函数空间,利用光滑余因子方法计算出1-型四面体剖分上样条空间A41（△（1）lmm）的局部支集样条函数,并分析了B样条函数的一些性质。4.第四章,符号距离函数能够提供有效地距离估计,广泛应用在多种几何处理上,如光滑化和形状重构等。利用二元样条函数来逼近平面简单闭曲线的符号距离函数,给出了一种自适应的利用2-型三角剖分上B样条函数来逼近给定曲线的符号距离函数方法,同时得到了给定曲线的裁剪偏移曲线。5.第五章,研究对平面散乱数据点的曲线拟合问题,利用二元样条函数进行曲线的隐式重构。对于封闭曲线情形,利用样条函数重构目标曲线的符号距离函数的方法,实现了曲线的隐式重构。对于一般曲线情形,采用分片代数曲线最小二乘拟合,同时对数据点的法向量、切向量及曲线能量进行约束,得到最终的隐式拟合曲线。6.第六章,考虑三维散乱数据点的曲面重构问题,构造了一类多层非张量积型B样条拟插值算子,并将其应用于空间数据点的曲面重构。该方法具有计算简单、计算量小及能够自适应的加细剖分的优点。
康红梅[6]（2014）在《适合于分析和建模的若干样条的研究》文中研究说明伴随着NURBS技术的成熟,计算机辅助几何设计走过了其辉煌的二十世纪下半叶。进入二十一世纪,随着3D数字获取技术的不断成熟,几何模型逐渐变得复杂,传统的NURBS造型技术面临着挑战。主要原因是NURBS的控制顶点必须拓扑地位于一个矩形网格上,从而导致大量冗余控制点的出现,同时也难以做到局部加细。2003年,Sederberg等人提出了T样条的概念,通过T型控制点的引入克服了NURBS的缺陷。然而T样条的混合函数（blending functions）不一定具有线性无关性并且局部加细时加细单元无限制地扩展。这就促使人们开始寻找一种更加适合于分析和建模的可局部加细的样条。本文第二章、第三章和第四章就是结合这种背景,从几何和分析对样条的需求出发,展开了一系列有关局部可加细且适用于几何和分析的样条的研究,包括任意T网格上样条的构造和其他特殊三角剖分上的层次样条的推广。特别是对于一些规则三角剖分上的样条,如Ⅰ-型剖分和Ⅱ-型剖分这两类贯穿剖分上的样条以及更广意义上的箱样条,都具有很好的性质,也被应用于许多领域。本文第三、四章先将最自然的局部加细方式—层次样条—的模式推广到了这两类三角剖分上的样条及其箱样条,我们将其应用于曲面拟合和椭圆偏微分方程的求解中,得到了比较好的结果。曲线是计算机辅助几何设计最基本的研究的对象,曲线的拟合的重要性自不待言。随着样条的出现和发展,样条自然也就成为了曲线拟合的一个重要的工具。早期的样条拟合方法也开始将节点位置及控制顶点作为自由变量,不过节点的个数总是被事先指定。近年来随着压缩感知的稀疏理论的发展,稀疏优化模型开始应用到样条拟合中,并将节点的个数和节点的位置同时优化。但是得到的节点还是会有冗余。尽管有些策略如迭代、有选择的删除可以去掉一些多余的节点,但并没有从根本上解决此问题。本文第五章给出了一种计算样条拟合中节点的新方法,该方法从根本上解决了冗余节点的问题,即如果数据点是从一个样条采样得到的,且初始采样点足够多的话,给定样条的节点可以在一定的误差范围内恢复出来。
郝永霞[7]（2013）在《极小曲面造型中的相关问题研究》文中研究指明现代的产品设计和制造过程11]的很多问题都可以转化为曲线曲面造型问题,例如汽车外形设计、飞机机身设计、服装的设计和加工以及建筑物的外形设计等.而曲线曲面设计也是当前计算机辅助几何设计的核心的研究内容.特别是在实际应用中,满足某种性质和功能的曲线曲面的设计更是尤其重要的.本文重点研究了一类在微分几何和计算几何中尤为重要的曲面-极小曲面,同时也给出了一种简单的曲线细分格式,并考虑将极小曲面与细分格式这两种曲面造型方法有效地结合起来.具体工作主要包括以下几个方面：1.多项式是计算几何辅助设计中曲线曲面的一种重要的表示形式,但是在CAGD领域中我们可以见到的参数多项式形式的极小曲面是非常少的,因此寻求参数形式的多项式极小曲面并将其引入到CAGD领域具有重要的意义.利用微分几何中的一个经典结论,我们给出了等温参数多项式极小曲面的一般形式,得到了其系数需要满足的充要条件,分析了它们具有的对称性质并给出了其共轭极小曲面的一般形式,同时也具体构造了6、7、8、9次的参数多项式极小曲面.2.Bezier曲线曲面是计算机图形学和计算机辅助几何设计的一种基本的表示工具,而quasi-Bezier表示是Bezier表示的一种推广,它所张成的函数空问不仅包含了多项式空间也包括了三角函数空间和双曲函数空间.利用Dirichlet能量来代替面积泛函,我们考虑了在quasi-Bezier表示下的Plateau问题,即Plateau-quasi-Bezier司题,这时的边界曲线不仅可以是多项式曲线也可以圆弧曲线和悬链线.同时,我们也讨论了调和与双调和的quasi-Bezier曲面.3.Plateau司题一直是极小曲面领域的一个重要问题.而在Plateau司题中,要求给定的曲线是曲面的整个边界,但在实际应用中我们获取的边界信息可能只是部分边界曲线.基于这一点,我们考虑了quasi-Plateau问题：在所有以给定的曲线为边界且定义在矩形域的参数曲面中,找一个而积最小的曲面,这里的‘给定的曲线’可以是曲面的整个边界亦可是部分边界.利用Dirichlet泛函来代替面积能量，并利用Ritz-Galerkin方法,这个问题转化为了一个简单的稀疏线性方程组的求解问题,并最终根据不同的边界条件归结为了四个算法.具体实例表明了我们的算法是简单有效的.4.在许多的曲面设计问题中，比如汽车车身、飞机外壳以及机器零部件设计,都要求构造的曲面在给定的边界处满足一定的连续性条件.鉴于此,我们来考虑C1和C2的quasi-Plateau问题,即要求极小曲而不仅以给定的曲线为边界曲线,同时在这些曲线处也要满足C1或C2的连续性.同样地利用Dirichlet能量和Ritz-Galerkin方法，我们得到了对应于不同边界条件的六种算法来求得该问题在不同层的逼近解.具体实例表明了这些算法是简单有效的.5.细分格式也是CAGD领域中曲线曲面的一种重要的表示方法.我们提出了一种形式简单的二进制六点的曲线细分格式,这种细分格式不仅形式简单,而且同时具有很多良好的几何性质,如多项式再生性、保凸性以及高阶连续性.6.基于细分格式与极小曲面在曲面造型中的重要性,我们考虑将两者结合起来,利用Dirichlet能量,通过极小曲面的思想来优化细分曲面的初始网格使得构造的细分极限曲面是满足给定的初始边界控制顶点的拟极小曲面.得到了一般细分格式下的内部控制顶点需要满足的条件,同时通过Loop细分格式作用于几个具体的实例说明了我们的方法.
齐爽[8]（2010）在《求解偏微分方程的二元样条有限元方法》文中研究表明多元样条在函数逼近、计算几何和有限元等诸多领域都有广泛的应用.在有限元方法中,样条函数主要是用作有限元的形状函数空间,进而在此空间中寻找解偏微分方程的数值解.样条有限元法具有传统有限元法的许多优点,例如系数阵的对称、正定和稀疏性,以及不计自然边界条件等,又有精度高、计算量少的特点.其缺点是通用性比较差,只适用于特殊剖分区域及边界条件,如适用于矩形区域的张量积样条等.因此,在实际应用中把它看成是有限元法的一种补充.本文第一章中,简单介绍了多元样条的光滑余因子方法、B网方法及有限元方法中变分原理等基础知识.光滑余因子方法是第二章中构造样条基函数的理论基础,在用样条有限元方法编程计算时,会用到B网形式的内积算法.第二章中,首先简单介绍了一元三次B样条.其次引入文献[2]中构造的带齐次边界条件的S21,0（Δmn（2））空间.在此基础上,我们利用光滑余因子方法,构造了带齐次边界条件的二元三次样条空间S32,1,0（Δmn（2））空间,同时我们讨论了两组带重节点的二元三次B样条,给出了基函数的显式表达式,使之满足单位分解性.第三章首先用第二章中讨论的二元三次样条空间作为有限元的形状函数空间,求解偏微分方程.分别求解了第一齐次边值条件的椭圆型方程和抛物型方程,通过与双三次样条方法进行了比较,说明了此方法的有效性.其次,我们用带齐次边界条件的二元四次B样条求解了一类重调和方程.理论上可以用二元二次B样条求解四阶方程,但由于样条次数过低,很难很快地达到很好的精度.应用比较广泛的求解重调和方程的方法是张量积型双三次B样条有限元法以及混合有限元方法等.本章用二元四次B样条求解重调和方程,同时将二元二次B样条与四次B样条及双三次样条有限元法的数值解做了比较,数值算例表明了四次样条方法的有效性.最后是对本文工作的总结和对未来工作的展望.
曹敦虔[9]（2010）在《两类非多项式样条及在求微分方程数值解方面的应用》文中研究表明传统的多项式样条函数为具有整体光滑度的分段多项式,通常,分段多项式的次数较低.由于它们具有计算简单、稳定和好的光滑性等优良性质,在许多领域都得到了广泛的应用。本学位论文致力于研究非多项式样条函数,它们是传统多项式样条函数的进一步推广。我们首先研究了两类非多项式样条函数空间:指数样条函数空间和三角双曲样条函数空间.分别给出了两个空间的维数,构造了它们具有局部支集的基底,并推导了节点处若干非多项式样条关系式,包括节点处函数值与二阶导数值之间的关系式、函数值与一阶导数值之间的关系式及函数值与一、二阶导数值之间的关系式。然后我们构造了基于这两类非多项式样条函数求解二阶常微分方程数值解的各种方法,即指数样条差分法,指数样条配置法,三角双曲样条差分法和三角双曲样条配置法.另外我们根据本论文推导得到的非多项式样条关系式,给出了一种时间复杂度为O（n）的快速Hermite插值算法.由于在求解某些实际问题时使用非均匀剖分能得到较高的精度,故本文在以上讨论的方法中都保留了子区间长度信息,兼容了各种剖分方法.特别地,为了在各种不同类型问题中选择不同的方法,本文第五章还给出了几种非均匀剖分格式.
曲凯[10]（2010）在《多元样条及其某些应用》文中提出计算几何是一门新兴的几何分支学科,是几何学、计算数学与计算机科学的交叉学科.样条是计算几何的基本理论工具和基础.自1946年I. J. Schoenberg建立了一元样条的基础以来,多元样条的研究一直没有取得实质性的进展.1975年,王仁宏教授开创了以光滑余因子协调方法为核心的多元样条的代数几何方法,得到了任意剖分下多元样条的充分必要条件,把任意剖分下的多元样条归结为求解以多项式为系数的方程组,从而建立了任意剖分下多元样条的基本理论框架.本文主要利用研究多元样条的光滑余因子协调方法,对多元样条的理论及应用进行了研究.本文的主要工作如下：1.本文回顾了王仁宏教授建立的研究多元样条的基本理论框架,介绍了光滑余因子协调方法及其在相关领域中取得的成果.2.1980年,G.Farin在多元样条的基本理论框架下考虑了三角形剖分上的的分片多项式的：Bezier坐标和光滑拼接条件之间的关系,建立了B网方法的理论基础.需要指出的是,B网方法只适用于研究单纯形剖分上的多元样条,而光滑余因子协调方法可以进行任意剖分上的多元样条的研究,本文证明了这样一个事实：B网方法是建立在王仁宏教授建立的研究多元样条的基本理论框架之上的,它可由光滑余因子协调方法直接导出.3.利用多元样条进行散乱数据拟合是计算几何中一个非常重要的课题.本文讨论了2-型三角剖分上的2元样条空间S21（△m,n（2））的结构和性质,并利用S21（△m,n（2））中的基函数对给定的散乱数据点进行拟合,提出了BS2算法.该算法避开了适定结点组的选取.数据实验表明BS2算法能够达到较好的拟合效果.为了构造出精确度更高,光顺性更好的拟合函数,本文对BS2算法进行了改进：提出了一种新的算法：MBS算法.该算法利用多重拟合的思想,对前一步用BS2算法得到的拟合函数的误差进行拟合,这样形成了一组拟合函数,最终的拟合函数是这组拟合函数的和.4.本文利用2-型剖分上带有边界条件的样条空间S21;0（△m,n（2））和S42,3;0（△m,n（2））对线性抛物型方程求数值解,并提出了一种自适应的非连续伽略金有限元方法（简称ADB方法）.数据实验表明,利用ADB方法得到的线性抛物型方程的数值解具有较高的精确度.样条函数基底具有对称性,可存储性和可计算性等优点,这些优点使得ADB方法在实现上也更为方便.
二、T样条函数空间的局部支集基（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、T样条函数空间的局部支集基（论文提纲范文）
（2）任意四边形上的几种非协调有限元方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及研究进展 |
| 1.1.1 非协调有限元 |
| 1.1.2 四阶奇异摄动问题 |
| 1.1.3 Darcy-Stokes问题 |
| 1.1.4 Stokes问题 |
| 1.2 预备知识 |
| 1.2.1 Sobolev空间 |
| 1.2.2 有限元基本知识 |
| 1.3 本文的主要工作和结构 |
| 2 四阶奇异摄动问题的C~0非协调四边形单元 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 新非协调四边形单元 |
| 2.2.1 参考单元 |
| 2.2.2 新单元 |
| 2.3 单元Q上的基函数和刚度矩阵 |
| 2.3.1 形状函数空间P_Q的基函数 |
| 2.3.2 单元Q上的刚度矩阵 |
| 2.4 收敛性分析 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.6 总结 |
| 3 四边形上新的H(div)-协调Darcy-Stokes元 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 任意凸四边形网格上一种新的Darcy-Stokes单元 |
| 3.2.1 收敛性分析 |
| 3.2.2 离散de Rham复形 |
| 3.3 基函数显式表达 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 总结 |
| 4 四边形上二阶收敛的非协调多项式Stokes元 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 双调和问题的一个收敛性定理 |
| 4.3 四边形上新的多项式元 |
| 4.3.1 辅助标量有限元 |
| 4.3.2 新向量值单元 |
| 4.4 应用于Stokes问题 |
| 4.4.1 离散Stokes复形 |
| 4.4.2 上下确界条件和误差估计 |
| 4.4.3 压强后处理 |
| 4.5 计算实现 |
| 4.6 数值实验 |
| 4.6.1 双调和问题的数值实验 |
| 4.6.2 Stokes问题的数值实验 |
| 4.7 总结 |
| 5 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 创新点 |
| 5.3 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（3）有关层次网格上的样条方法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 CAGD中的曲线曲面简介 |
| 1.2 多元样条简介 |
| 1.3 多元样条空间维数 |
| 1.4 多元样条空间基函数 |
| 1.5 本文的主要工作 |
| 2 带有嵌套T圈的T网格上样条空间维数的不稳定性 |
| 2.1 研究背景 |
| 2.2 T网格的相关概念和符号记法 |
| 2.3 S(2,2,1,1.T_1)维数奇异性 |
| 2.4 S(2,2,1,1,T_2)维数奇异性 |
| 2.5 S(2,2,1,1,T_3)维数奇异性 |
| 2.6 带有N-嵌套T圈的T网格维数稳定公式 |
| 2.7 并行T圈的T网格实例 |
| 2.8 本章小节 |
| 3 基于任意层次T网格剖分的分片孔斯插值曲面重构 |
| 3.1 研究背景 |
| 3.2 PHT样条 |
| 3.2.1 层次T网格 |
| 3.2.2 层次T网格上的样条空间维数 |
| 3.2.3 PHT样条基函数 |
| 3.3 任意层次T网格上的分片孔斯曲面 |
| 3.3.1 孔斯曲面 |
| 3.3.2 层次T网格上的分片孔斯曲面及其求值算法 |
| 3.3.3 层次T网格的几何信息转换矩阵M的算法 |
| 3.4 层次T网格上的分片孔斯曲面重构 |
| 3.4.1 基于最小二乘法的分片孔斯曲面拟合 |
| 3.4.2 自适应层次T网格上的分片孔斯曲面逼近算法 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.5.1 无噪声数值算例 |
| 3.5.2 带噪声数值算例 |
| 3.6 本章小结 |
| 4 基于局部加密的层次四边形网格上的3次样条曲面重构 |
| 4.1 研究背景 |
| 4.2 层次四边形网格 |
| 4.3 任意层次四边形网格上的3次样条曲面 |
| 4.3.1 三角形域上的B网方法 |
| 4.3.2 16节点平面四边形样条 |
| 4.3.3 12参数的四边形样条 |
| 4.3.4 层次四边形网格上的3次样条曲面及其求值算法 |
| 4.3.5 层次四边形网格的几何信息的转换矩阵M的算法 |
| 4.4 层次四边形网格上的3次样条曲面重构 |
| 4.4.1 基于最小二乘法的3次样条曲面拟合 |
| 4.4.2 自适应层次四边形网格上的3次样条曲面逼近算法 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.5.1 无噪声数值算例 |
| 4.5.2 带噪声数值算例 |
| 4.6 本章小结 |
| 5 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间科研项目及科研成果 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（4）二元样条函数中的某些问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 样条函数简介 |
| 1.1.1 一元样条空间 |
| 1.1.2 张量积样条空间 |
| 1.1.3 二元样条空间 |
| 1.1.3.1 二元样条空间的基本定理 |
| 1.1.3.2 二元样条空间的维数 |
| 1.1.3.3 二元B样条与拟插值算子 |
| 1.2 可局部加细的样条函数 |
| 1.2.1 T样条 |
| 1.2.2 T网格上的多项式样条 |
| 1.2.3 分层样条 |
| 1.3 样条基函数的稳定性 |
| 1.4 主要内容及章节安排 |
| 2 三角剖分上二元样条函数空间的维数 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 关于三角剖分的一些讨论 |
| 2.3 Morgan-Scott三角剖分上样条空间S_k~2(△_(MS))(k≥4)的维数 |
| 2.3.1 样条空间S_k~2(△_(MS))(k≥4)的维数 |
| 2.3.2 样条空间S_4~2(△_(MS))维数不稳定的几何特征 |
| 2.4 维数稳定的样条空间 |
| 2.4.1 维数稳定的样条空间S_2~1(△) |
| 2.4.2 维数稳定的样条空间S_(2r)~R(△)(r≥2) |
| 2.5 本章小结 |
| 3 截断分层B样条基函数的L_p稳定性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识与引理 |
| 3.3 B样条基函数的L_p稳定性 |
| 3.4 截断分层B样条基函数的L_p稳定性 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 基于三角剖分的分层样条空间 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 基于三角剖分的截断分层B样条 |
| 4.3 基于1型三角剖分的截断分层样条基 |
| 4.4 基于2型三角剖分的截断分层样条生成集 |
| 4.5 分层样条空间的拟插值 |
| 4.5.1 拟插值算子的构造 |
| 4.5.2 数值试验 |
| 4.6 本章小结 |
| 5 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 创新点 |
| 5.3 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间科研项目及科研成果 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（5）多元样条若干理论与应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| CONTENTS |
| 插图目录 |
| 表格目录 |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 样条函数 |
| 1.1.1 样条的起源 |
| 1.1.2 多元样条 |
| 1.1.3 光滑余因子方法 |
| 1.1.4 B网方法 |
| 1.1.5 多元B样条方法 |
| 1.2 曲线曲面造型 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 2 带有T圈的T网格上样条空间维数 |
| 2.1 背景介绍 |
| 2.2 T网格一些相关的定义和记号 |
| 2.3 维数公式 |
| 2.3.1 双次数的T网格上样条函数空间维数公式 |
| 2.3.2 整体次数的T网格上样条函数空间维数公式 |
| 2.4 样条空间维数的不稳定性 |
| 2.5 例子 |
| 2.6 本章小结 |
| 3 三维1-型四面体剖分上样条空间 |
| 3.1 背景介绍 |
| 3.2 四面体剖分 |
| 3.3 S_4~1(△_(lmn)~((1)))基函数的计算 |
| 3.4 S_4~1(△_(lmn)~((1)))B样条性质 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 样条函数逼近曲线的符号距离函数 |
| 4.1 研究背景 |
| 4.1.1 符号距离函数 |
| 4.1.2 相关工作 |
| 4.2 二元2-型三角剖分上样条函数空间简介 |
| 4.2.1 均匀2-型三角剖分上样条函数空间S_2~1(△_(mn)~((2))) |
| 4.2.2 非均匀2-型三角剖分上的样条函数空间S_2~1(△_(mn)~((2))) |
| 4.3 符号距离函数的逼近计算 |
| 4.4 数值算例 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 基于样条函数的平面散乱点曲线拟合 |
| 5.1 背景介绍 |
| 5.2 曲线重构中的隐式方法和参数方法 |
| 5.2.1 隐式方法 |
| 5.2.2 参数方法 |
| 5.3 带能量距离约束的最小二乘拟合曲线 |
| 5.3.1 拟合分片代数曲线 |
| 5.3.2 数据点的代数距离约束 |
| 5.3.3 数据点的法向量与切向量 |
| 5.3.4 数据点的约束 |
| 5.3.5 能量约束 |
| 5.3.6 最终的优化模型 |
| 5.4 封闭曲线的样条函数隐式重构 |
| 5.4.1 平面封闭曲线 |
| 5.4.2 简单封闭曲线样条隐式拟合算法 |
| 5.5 数值实验 |
| 5.6 本章小结 |
| 6 基于多层样条拟插值的散乱点曲面重构 |
| 6.1 背景介绍 |
| 6.1.1 曲面重构简介 |
| 6.1.2 拟插值算子的研究现状 |
| 6.2 多层样条拟插值散乱数据曲面重构 |
| 6.3 数值实验 |
| 6.4 本章小结 |
| 7 结论与展望 |
| 结论 |
| 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间科研项目及科研成果 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（6）适合于分析和建模的若干样条的研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 计算机辅助几何设计的回顾 |
| 1.2 可局部加细的样条的发展和应用 |
| 1.2.1 概述 |
| 1.2.2 层次样条 |
| 1.2.3 T样条 |
| 1.2.4 T网格上的多项式样条 |
| 1.2.5 非张量积形式的多元样条 |
| 1.3 单变量样条节点的优化 |
| 1.4 本文内容及结构安排 |
| 第二章 任意T网格上样条的构造 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.2.1 单变量样条的节点删除 |
| 2.2.2 T网格 |
| 2.2.3 T样条 |
| 2.3 改进的T样条的构造 |
| 2.3.1 概述 |
| 2.3.2 构造方法 |
| 2.3.3 算法分析 |
| 2.3.4 基函数性质 |
| 2.3.5 逼近性质 |
| 2.4 应用 |
| 2.4.1 改进的T样条和张量积B样条之间的转化 |
| 2.4.2 曲面拟合 |
| 2.4.3 NURBS简化 |
| 2.5 小结 |
| 第三章 规则三角剖分上的层次样条 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 相关工作 |
| 3.3 预备知识 |
| 3.3.1 Ⅰ-型三角剖分上的样条空间 |
| 3.3.2 Ⅱ-型三角剖分上的样条空间 |
| 3.4 层次二元B样条的构造过程 |
| 3.4.1 记号 |
| 3.4.2 层次二元B样条 |
| 3.4.3 性质 |
| 3.5 曲面拟合 |
| 3.6 求解椭圆微分方程 |
| 3.6.1 模型问题 |
| 3.6.2 层次样条空间H_2~(1,0) |
| 3.6.3 有限元离散 |
| 3.7 小结 |
| 第四章 层次箱样条 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.2.1 箱样条 |
| 4.2.2 箱样条的性质 |
| 4.2.3 箱样条的计算 |
| 4.3 层次箱样条的构造过程 |
| 4.3.1 三方向上的箱样条 |
| 4.3.2 层次箱样条的构造 |
| 4.3.3 层次箱样条的性质 |
| 4.4 曲面拟合 |
| 4.5 小结 |
| 第五章 基于稀疏优化的样条拟合 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.2.1 B样条 |
| 5.2.2 B样条的最小二乘逼近 |
| 5.3 样条拟合中节点的计算 |
| 5.3.1 算法概述 |
| 5.3.2 稀疏拟合 |
| 5.3.3 局部调整节点的位置 |
| 5.4 数值试验 |
| 5.4.1 真解为单重节点的B样条 |
| 5.4.2 真解为包含多重节点的B样条函数 |
| 5.4.3 Titanium数据 |
| 5.5 小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 本文工作总结 |
| 6.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 作者攻读博士期间完成论文 |
（7）极小曲面造型中的相关问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| CONTENTS |
| 表格目录 |
| 插图目录 |
| 1 绪论 |
| 1.1 曲线曲面造型 |
| 1.2 极小曲面方法简介 |
| 1.2.1 极小曲面的研究背景 |
| 1.2.2 CAGD中极小曲面的研究 |
| 1.3 细分造型方法 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 2 多项式极小曲面 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 等温参数多项式曲面为极小曲面的充要条件 |
| 2.3 多项式极小曲面的性质 |
| 2.3.1 共轭极小曲面 |
| 2.3.2 例子 |
| 2.4 本章小结 |
| 3 Quasi-Bezier形式下的极小曲面 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 Quasi-Bezier基和quasi-Bezier曲面 |
| 3.3 Dirichlet能量的极值曲面 |
| 3.4 调和quasi-Bezier曲面 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 Quasi-Plateau问题 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 B样条的多分辨率表示 |
| 4.3 四条边界均已知的情况 |
| 4.3.1 例子 |
| 4.4 只有三条边界已知的情况 |
| 4.5 只有两条边界已知的情况 |
| 4.5.1 S=S_2,V_n=V_n~((2)) |
| 4.5.2 S=S_3,V_n=V_n~((3)) |
| 4.6 小结 |
| 5 C~κ(k=1,2)quasi-Plateau问题 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 二次B样条和三次B样条的多分辨率分析 |
| 5.3 二次B样条处理C~1 quasi-Plateau问题 |
| 5.3.1 四条边界已知的情况 |
| 5.3.2 只有三条边界已知的情况 |
| 5.3.3 只有两条边界已知的情况 |
| 5.4 三次B样条处理C~2 quasi-Plateau问题 |
| 5.4.1 四条边界已知的情况 |
| 5.4.2 只有三条边界已知的情况 |
| 5.4.3 只有两条边界已知的情况 |
| 5.5 本章小结 |
| 6 一种六点二进制逼近细分格式及其性质分析 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 连续性分析 |
| 6.3 保凸性分析 |
| 6.4 多项式再生性分析 |
| 6.5 本章小结 |
| 7 满足给定边界条件的拟极小细分曲面 |
| 7.1 问题描述 |
| 7.2 利用Loop细分格式来求解 |
| 7.3 例子 |
| 7.4 本章小结 |
| 8 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（8）求解偏微分方程的二元样条有限元方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 多元样条函数简介 |
| 1.1.1 光滑余因子方法简介 |
| 1.1.2 B网方法 |
| 1.2 有限元方法及变分原理 |
| 1.3 样条有限元研究概况及本文主要工作 |
| 2 样条函数空间的构造 |
| 2.1 一元三次B样条简介 |
| 2.2 均匀2-型三角剖分下的S_2~(1,0)(Δ_(mn)~((2))) |
| 2.3 均匀2-型三角剖分下的S_3~(2,1,0)(Δ_(mn)~((2))) |
| 2.4 两组带有重节点的三次样条基函数的显式表达式 |
| 2.5 本章小结 |
| 3 样条有限元方法求解偏微分方程 |
| 3.1 二元三次样条有限元求解偏微分方程 |
| 3.1.1 二阶椭圆型方程 |
| 3.1.2 抛物型方程 |
| 3.2 应用四次B样条有限元求解重调和方程 |
| 3.2.1 二元四次B样条有限元与重调和方程 |
| 3.2.2 数值算例 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（9）两类非多项式样条及在求微分方程数值解方面的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 引言 |
| 2 多项式样条函数 |
| 2.1 多项式样条函数空间 |
| 2.2 多项式样条函数关系式 |
| 3 指数样条函数 |
| 3.1 指数样条函数空间 |
| 3.2 节点处指数样条与其一阶导数间的关系式 |
| 3.3 节点处指数样条与其二阶导数间的关系式 |
| 3.4 指数样条求解边值问题 |
| 3.4.1 指数样条差分法 |
| 3.4.2 指数样条配置法 |
| 3.5 指数样条快速Hermite插值 |
| 4 三角双曲样条函数 |
| 4.1 三角双曲样条函数空间 |
| 4.2 三角双曲样条关系式 |
| 4.3 三角双曲样条求解边值问题 |
| 4.3.1 三角双曲样条差分法 |
| 4.3.2 三角双曲样条配置法 |
| 5 非均匀剖分方法 |
| 6 算例 |
| 7 总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（10）多元样条及其某些应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 多元样条函数简介 |
| 1.1.1 多元样条函数的基本理论框架 |
| 1.1.2 多元样条函数的一般表达式 |
| 1.1.3 多元样条函数空间S_κ~μ(△) |
| 1.2 本文的选题和主要工作 |
| 2 B网方法可由光滑余因子协调方法导出 |
| 2.1 2元样条函数空间的基本理论框架 |
| 2.1.1 光滑余因子协调方法 |
| 2.1.2 B网方法 |
| 2.2 相邻两个三角形胞腔之间的光滑拼接条件 |
| 2.2.1 样条空间S_3~1(△)上相邻两个三角形胞腔之间的光滑拼接条件 |
| 2.2.2 样条空间S_κ~μ(△)上相邻两个三角形胞腔之间的光滑拼接条件 |
| 2.3 样条空间S_κ~μ(△)上星型域的三角形胞腔之间的光滑拼接条件 |
| 2.4 本章小结 |
| 3 多元样条在散乱数据拟合中的应用 |
| 3.1 引言 |
| 3.1.1 问题的来源和应用背景 |
| 3.1.2 问题的描述 |
| 3.1.3 前人的工作 |
| 3.1.4 本章的主要内容 |
| 3.2 2-型三角剖分上的2元样条空间S_2~1(△_(m,n)~(2)) |
| 3.3 能量函数 |
| 3.4 样条空间S_2~1(△_(m,n)~(2))在散乱数据拟合中的应用 |
| 3.4.1 S_2~1(△_(m,n)~(2))空间中样条支集的能量函数 |
| 3.4.2 基本思想 |
| 3.4.3 BS2算法 |
| 3.5 多重算法 |
| 3.5.1 基本思想 |
| 3.5.2 MBS算法 |
| 3.6 数据实验 |
| 3.7 本章小结 |
| 4 多元样条在微分方程数值解中的应用 |
| 4.1 引言 |
| 4.1.1 研究对象 |
| 4.1.2 前人的工作 |
| 4.1.3 本章的主要内容 |
| 4.2 变分原理 |
| 4.3 Discontinuous Galerkin方法 |
| 4.4 2-型三角剖分上具有边界条件的2元样条空间 |
| 4.4.1 S_2~(1;0)(△_(m,n)~(2)) |
| 4.4.2 S_4~(2,3;0)(△_(m,n)~(2)) |
| 4.5 解具有齐次边界条件的抛物型方程 |
| 4.5.1 主要思想 |
| 4.5.2 算法 |
| 4.6 解具有非齐次边界条件的抛物型方程 |
| 4.6.1 特解 |
| 4.6.2 主要思想 |
| 4.7 数值实验 |
| 4.8 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
四、T样条函数空间的局部支集基（论文参考文献）
- [1]关于二元三次样条函数空间的维数[J]. 罗炯兴,王华桥. 四川师范大学学报(自然科学版), 2020(05)
- [2]任意四边形上的几种非协调有限元方法[D]. 包园. 大连理工大学, 2020
- [3]有关层次网格上的样条方法的研究[D]. 王鹏霄. 大连理工大学, 2019(01)
- [4]二元样条函数中的某些问题[D]. 周健萍. 大连理工大学, 2018(12)
- [5]多元样条若干理论与应用研究[D]. 郭庆杰. 大连理工大学, 2015(07)
- [6]适合于分析和建模的若干样条的研究[D]. 康红梅. 中国科学技术大学, 2014(10)
- [7]极小曲面造型中的相关问题研究[D]. 郝永霞. 大连理工大学, 2013(05)
- [8]求解偏微分方程的二元样条有限元方法[D]. 齐爽. 大连理工大学, 2010(06)
- [9]两类非多项式样条及在求微分方程数值解方面的应用[D]. 曹敦虔. 广西民族大学, 2010(06)
- [10]多元样条及其某些应用[D]. 曲凯. 大连理工大学, 2010(09)