一、綫性齐次微分方程內e~(kx)型解的探求（论文文献综述）
倪林安[1]（1992）在《关于一类变系数齐次线性微分方程的求解》文中认为一般的变系数齐次线性微分方程的求解是一个困难问题。本文给出求多项式系数的齐次线性微分方程的xvekx型解的一种方法。
馬凤歧[2]（1965）在《綫性齐欢方程內xvekx型解的探求》文中指出 1.引言。《数学通报》1963年第11期发表的刘赐臣同志的“线性齐次微分方程內ekx型解的探求”一文,証明了线性齐次微分方程（其中u1,…,um为一组线性无关的函数）有ekx型解的充要条件是k为特征方程组的公根。本文推广了上述结果:若是是（1.2）的v0重公根,則方程（1.1）有v0个特解ekx,xekx,x2ekx,…,xv0-1ekx。为讨论方便计,令则（1.2）可改记为 L0,s（k）=0,s=1,2,…,m。（1.2′）同时将（1.1）改记为微分算子形式。为此,令
周传忠,曾子平[3]（1994）在《线性齐次微分方程的xrekx型解》文中研究说明线性齐次微分方程的ｘｒｅｋｘ型解周传忠，曾子平（华南师大５１０６３１）设。ｕ１，ｕ２……，ｕｍ是线性无关的２的函数组，ａｉｊ（ｉ＝０，１，……，ｎ；ｊ＝１，２，…，ｍ）都是常数，且ａｎ１，ａｎ２……，ａｎｍ不全为零．对于方程（１）ｉ＝０ｊ＝１的...
卢锷[4]（1985）在《一类变系数线性微分方程的xrekx型解的探求》文中研究指明 在（1）中,对于方程 给出了一个求特解的方法: 定理1 若u1,u2,…,um是一组线性无关的函数组,则方程（1）存在ex型解的充要条件为k是特征方程组
张学元[5]（2004）在《高阶变系数线性齐次微分方程内xveλx型解的探求》文中研究指明高阶线性微分方程解的结构理论已很完善,但对一般变系数线性齐次微分方程至今尚未见到探求特解的有效方法。为了更多地得到在理论上和应用上占有重要地位的高阶线性微分方程的通解,对一般变系数高阶线性齐次微分方程引入特征多项式和特征方程的概念,运用高阶导数法则及高次代数方程的重根理论,得到了高阶变系数线性齐次微分方程内有xvelx型解的一个新的、实用的充分判据,为探求一般变系数线性齐次微分方程内xvelx型解提供了一个有效的方法,推广了经典的高阶常系数线性齐次微分方程的解法及一些近代的可解结果。
林晔智[6]（2013）在《非线性微分系统解析解的符号计算研究》文中研究指明数学机械化研究是我国数学家吴文俊先生于上世纪70年代末开始倡导的一个研究领域.国际上在上世纪80年代就积极推进基于符号的计算机处理方法,发展利用计算机进行分析、演算和推理的理论与实践,随之也先后诞生了几个优秀的符号计算软件,如Reduce、MACSYMA、Mathematica和Maple等.特别是Mathematica和Maple已经在数学和工程领域中被广泛使用.我国在该领域的应用研究（尤其是计算软件）起步较晚,目前水平也远远落后于西方发达国家.因而,国家十二五发展规划将计算软件列为重点支持的研究方向.科学研究和工程技术中很多问题的研究,最终都可以归结为非线性微分方程的求解问题.因此,非线性微分方程的解法研究始终是数理科学中核心的课题.本文以微分方程为研究对象,在吴文俊数学机械化思想的指引下,主要研究构造非线性微分方程（特别是非线性微分初、边值问题）解析解的机械化算法,进而研发自动推导非线性微分系统特定类型解析解的软件包.本文的创新之处在于首次将双重分解法及二步分解法等嵌入到经典的Adomian分解法中,发展出构造非线性微分初、边值问题解析近似解的新算法,并研制出相应的符号推演软件包.具体工作如下：1.解析近似解Adomian分解法是构造非线性微分系统解析近似解的有效方法之.该方法因其计算过程简单且能求解强非线性问题,被广泛应用于各种非线性问题的求解中.在经典Adomian分解法的基础上,Adomian及其合作者还提出了改进的Adomian分解法、加速的Adomian分解法、二步分解法、双重分解法等.特别是由Adomian和Rach发展起来的双重分解法,可大大简化求解非线性微分边值问题的计算过程.二步分解法的实质是在经典分解法的基础上增加了尝试构造微分方程精确解的环节.2008年Rach借助于截断算子重新定义了Adomian多项式,其新算法不仅涵盖了已有的Adomian多项式计算算法,而且新算法的计算效率明显提高.本文基于Rach的新算法、二步分解法和Pade近似技术,提出了构造非线性微分初值问题解析近似解的ADM-Pade新算法；并将双重分解法嵌入到求解初值问题的ADM-Pade算法中,进而提出了构造非线性微分边值问题解析近似解的新算法.然后将这两个算法推广到分数阶微分方程情形.在上述三个新算法的基础上,本文还在计算机代数系统Maple平台下研发了软件包ADMP该软件包可自动推导出非线性微分初、边值问题（包括分数阶非线性微分初、边值问题）的解析近似解.该软件包对具有Robin等复杂边界条件的非线性微分系统和具有分数阶初始条件的非线性微分系统同样也有效.2.精确解：不变子空间方法是构造非线性微分方程精确解的有效方法之一.本文应用不变子空间方法构造了一个一维反应扩散方程的精确解,并深入分析了其行为特征.在一维方程不变子空间的基础上,由二维反应扩散方程的特征,进一步构造出二维方程的不变子空间,从而获得了二维反应扩散方程的精确解.最后,通过斑图和时空序列图,成功解释了一系列自然现象.不变子空间方法的原理虽然简单,但是其计算过程相当繁复.本文也在Maple平台下完全实现了不变子空间方法,其中包括软件包ISM.它可以自动推导出输入方程的精确解和相应的参数约束条件,现己成功求解了三十多个非线性微分方程.需要注意的是,利用该软件包还可推导出输入方程一系列的特解,其中包括多项式解、有理函数解、三角函数解、指数函数解及不同函数的混合型解,如文中（4.72）表示的complexitions解就是由指数函数与三角函数混合表达的,又如文中（4.25）表示的positons解就是由不同三角函数混合表达的解等等.
郑格于[7]（1989）在《关于线性齐次微分方程有xiekx型解的判定定理的推广》文中研究说明本文用一个很简捷的证法将它改进成。[定理]设u1、u2……um为一组线性无关的函数组,则方程（1）有一组特解y=ekxxekx、x2ekx……xrekx的充要条件是k为特征方程组（2）的r重公根。 证:一、先设k=0是（2）的r重公根,由（2）必有aj,i=0,i=1,2……m
刘春平[8]（2011）在《非线性发展方程求精确解若干问题的研究》文中提出非线性发展方程是非线性偏微分方程的重要组成部分,该类方程通常用于描述随时间而演变的过程,其研究对象源自物理学、化学、信息科学、生命科学等诸多领域.对具体的非线性发展方程,如果能够得到它们的精确解,将有助于人们搞清被研究对象在非线性作用下的运动规律,准确地解释自然界中的许多非线性现象以及发现自然现象新的规律.近年来,随着计算机符号计算的发展,非线性发展方程精确求解问题成为一个活跃的研究领域,许多求精确解的直接代数方法已经呈现.本文对近年来求非线性发展方程精确解的一些方法以及若干具体方程的精确解进行研究,全文共分六章.第一章,简要地介绍与本文研究问题有关的背景知识和发展概况,回顾非线性发展方程的若干经典求解方法,如反散射变换方法、Painleve分析、Backlund变换法、Darboux变换法、Hirota双线性方法等.第二章,通过改进齐次平衡法和拓展的齐次平衡法中的一些关键步骤,首先给出了修正的齐次平衡法（Ⅰ）、（Ⅱ）.然后,以广义Boussinesq方程、KP方程和MKdV方程为例,说明了用修正的齐次平衡法（Ⅰ）可以导出非线性发展方程的双线性方程.进而,以（3+1）-维Jimbo-Miwa方程和（2+1）-维变系数KP方程为例,说明了用修正的齐次平衡法（Ⅱ）可以导出非线性发展方程新的自Backlund变换,从两个多维方程新的自Backlund变换出发,我们用摄动方法给出了方程的两孤了解.第三章,对用（G′/G）-展开法、新辅助方程方法、广义Riccati方程方法得到的若干多参数行波解进行分析.首先证明（G′/G）-展开法等价于拓展的tanh函数方法,用（G′/G）-展开法不能够得到非线性发展方程新的行波解.其次证明了Sirendaoreji给出的新辅助方程的十四个解与原辅助方程的解波形波速相同仅是相位不同.最后对Xie等人用符号计算给出的广义Riccati方程的二十七个解进行研究,证明了它们和Riccati方程已知的解是等价的.第四章,分析了求非线性发展方程精确解的两种直接代数法Sirendaoreji的辅助方程方法以及tanh-coth方法.第一节回顾了一些常用的直接代数方法以及用它们求精确解的一般步骤.第二节对Sirendaoreji的辅助方程的解按照个参数进行重新分类,这一分类给出了方程的孤波解和奇异解与三个参数值的关系.利用这一分类修正了文献中给出的MKdV方程第三类孤立波解的存在条件,也得到（2+1）-维色散长波方程组丰富的精确解.第三节证明了平衡数m≤2时,tanh-coth方法等价于双曲函数展开法.第五章,给出一个新的试探函数,构造了三个有重要背景的非线性发展方程的精确解并分析了解之间的关系.三个方程中一个是Burgers方程、KdV方程、KdV-Burgers方程和Benney方程组合起来的方程,另外两个是广义Fisher方程和广义FitzHugh-Nagumo方程.用我们给出的新的试探函数求得的解呈现了一个有趣的现象：扭形孤波解和复值解总是一起出现.基于这一现象,我们证明了对一般的非线性发展方程,tanh θ形式的解一定和tanh2θ±isech2θ形式的解成对出现.第六章,提出了适用于求耦合方程组精确解的广义射影Riccati方程方法.首先引入广义射影Riccati方程,利用它的解包含了几种最常见的Jacobi（?）椭圆函数的事实,说明该方法可以在统一的方法下求得用Jacobi椭圆正弦函数展开法、Jacobi（?）椭圆余弦函数展开法以及其它Jacobi椭圆函数展开法所能得到的方程的解.然后我们具体研究了耦合Klein-Gordon方程组,构造出方程的八种双周期解.
王培良[9]（1987）在《高阶变系数线性微分方程的Xα1nMX、Xαekx型解的求法》文中研究说明对具有多项式系数的高阶线性微分方程,本文给出了具有形如xlnx,xe型解的求法。
黄湛崇[10]（1988）在《变系数线性微分方程的求解》文中研究说明对于变系数线性微分方程,至今尚无一个一般的有效解法.本文对利用变量代换将方程降阶或变形来求解以及寻求方程特解进行一些探讨.
二、綫性齐次微分方程內e~(kx)型解的探求（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、綫性齐次微分方程內e~(kx)型解的探求（论文提纲范文）
（6）非线性微分系统解析解的符号计算研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 本文的选题和主要工作 |
| 第二章 Adomian分解法 |
| 2.1 Adomian分解法理论基础 |
| 2.1.1 经典的Adomian分解法 |
| 2.1.2 双重分解法 |
| 2.1.3 二步分解法 |
| 2.1.4 Rach新定义的Adomian多项式算法 |
| 2.1.5 Pade近似技术 |
| 2.2 构造非线性微分初值问题的解析近似解 |
| 2.2.1 非线性微分初值问题的ADM-Pade新算法 |
| 2.2.2 应用举例 |
| 2.3 构造非线性微分边值问题的解析近似解 |
| 2.3.1 非线性微分边值问题的ADM-Pade新算法 |
| 2.3.2 应用举例 |
| 2.4 构造非线性分数阶微分系统的解析近似解 |
| 2.4.1 预备知识 |
| 2.4.2 非线性分数阶微分系统的ADM-Pade新算法 |
| 2.4.3 应用举例 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 解析近似解的自动推导软件包 |
| 3.1 软件包ADMP的实现细节 |
| 3.2 软件包ADMP的应用接口 |
| 3.3 软件包ADMP的使用说明 |
| 3.4 应用举例 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 不变子空间方法 |
| 4.1 不变子空间方法的理论基础 |
| 4.2 基于不变子空间方法构造反应扩散方程的精确解 |
| 4.2.1 构造一维反应扩散方程的精确解 |
| 4.2.2 构造二维反应扩散方程的精确解 |
| 4.3 不变子空间方法和软件包ISM |
| 4.3.1 构造非线性演化方程精确解的算法 |
| 4.3.2 软件包ISM的接口和功能介绍 |
| 4.4 应用举例 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 在读期间发表或将到发表的学术论文情况 |
| 在读期间参与的科研项目情况 |
（8）非线性发展方程求精确解若干问题的研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 序言 |
| 1.1 研究工作的背景及发展概况 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 第二章 修正的齐次平衡法及其应用 |
| 2.1 齐次平衡法和它的一些拓广 |
| 2.2 修正的齐次平衡法 |
| 2.3 三个重要方程的双线性方程 |
| 2.4 两个方程新的自Backlund变换和精确解 |
| 第三章 多参数行波解之分析 |
| 3.1 (G'/G)-展开法得到的行波解 |
| 3.2 新辅助方程方法得到的行波解 |
| 3.3 广义Riccati方程方法得到的行波解 |
| 第四章 辅助方程方法和tanh-coth方法 |
| 4.1 一些常用的直接代数方法 |
| 4.2 辅助方程解的分类及其应用 |
| 4.2.1 MKdV方程的三类孤立波解 |
| 4.2.2 (2+1)-维色散长波方程的精确解 |
| 4.3 tanh-coth方法的注记 |
| 第五章 广义幂-指函数法以及所揭示的解的关系 |
| 5.1 广义幂-指函数法 |
| 5.2 广义幂-指函数法应用实例 |
| 5.3 扭形孤波解和扭-钟形孤波解之间的关系 |
| 第六章 耦合Klein-Gordon方程的双周期解 |
| 6.1 广义射影Riccati方程方法 |
| 6.2 Klein-Gordon方程的八种双周期解 |
| 参考文献 |
| 读博期间发表文章目录 |
| 致谢 |
四、綫性齐次微分方程內e~(kx)型解的探求（论文参考文献）
- [1]关于一类变系数齐次线性微分方程的求解[J]. 倪林安. 西安建筑科技大学学报(自然科学版), 1992(02)
- [2]綫性齐欢方程內xvekx型解的探求[J]. 馬凤歧. 数学通报, 1965(02)
- [3]线性齐次微分方程的xrekx型解[J]. 周传忠,曾子平. 数学通报, 1994(04)
- [4]一类变系数线性微分方程的xrekx型解的探求[J]. 卢锷. 河南大学学报(自然科学版), 1985(04)
- [5]高阶变系数线性齐次微分方程内xveλx型解的探求[J]. 张学元. 上海第二工业大学学报, 2004(02)
- [6]非线性微分系统解析解的符号计算研究[D]. 林晔智. 华东师范大学, 2013(10)
- [7]关于线性齐次微分方程有xiekx型解的判定定理的推广[J]. 郑格于. 郧阳师专学报, 1989(01)
- [8]非线性发展方程求精确解若干问题的研究[D]. 刘春平. 扬州大学, 2011(04)
- [9]高阶变系数线性微分方程的Xα1nMX、Xαekx型解的求法[J]. 王培良. 山东矿业学院学报, 1987(03)
- [10]变系数线性微分方程的求解[J]. 黄湛崇. 武汉粮食工业学院学报, 1988(04)