一、一个乘法公式的应用（论文文献综述）
杨翠丽[1]（2018）在《初中生代数学习的认知建构研究》文中进行了进一步梳理初中生进入代数学习要经历从算术思维到代数思维的转换,必须从数的符号运算到字母符号演绎运算。在此过程逐步获得抽象思维的提升。代数思维的核心是一般化,本质是形式符号操作,或说基于规则的推理,关键是发现一般化关系,并将这些关系符号化。这对刚进入代数学习的初中生来说是思维要求的一大挑战,需要教师采取策略进行有效指导。首先,通过收集初中生（包括六、七、八、九年级）代数学习错误,发现学生经常发生以下错误:（1）代数式程序性错误,如忽视括号的存在、混淆正负性质符号和加减运算符号、分不清代数式的运算符号和运算顺序等;（2）代数运算错误,如代数式的化简中去括号错误、因式分解中提取公因式错误、解方程和解不等式中同解变形错误、解不等式中的不等号方向错误等;（3）关于基本概念和基本规则的特殊形式的辨别错误,如无法解答除数为零或被除数为零的除法、不能判断单个字母或数字是不是代数式等;（4）公式结构性错误,如乘法公式选择错误,完全平方公式漏项错误等。其次,选择七年级学生作为实验对象,是因为七年级第一学期处于代数学习的初始阶段。学生正式开始学习“代数式”、“整式”和“分式”的相关概念及其运算。通过对七年级学生出错时的认知调查,发现出现以上错误的七年级学生的认知特点为:（1）没有建立符号的代数意义。最容易被学生解读错误的符号主要包括运算符号(+、-、?、（?）、（an）、性质符号（+、-）、关系符号（等号、不等号）和结合符号（小括号）。（2）没有建立代数运算规则。学生最容易犯错的代数运算规则主要包括乘法分配律、正负号法则、方程和不等式的同解变形规则。（3）没有建立代数约束规则,主要包括除数不能为零、分母不能为零。（4）没有建立公式的结构性,主要包括乘法公式的结构特征。再次,基于学生对数学知识的建构顺序为先“程序性”后“结构性”的特点,本文先研究学生对代数符号表达程序问题,后研究学生对公式结构化认知问题。通过比较中小学教材关于“代数式”、“解一元一次方程”、“不等式及其性质”的内容安排,找出中小学教材中对相同内容的处理差异和思维要求的差异,找到中小学衔接的对策,并提出关于这些内容的初始课时的教学设计。然后通过研究乘法公式的中学教材安排,比较平方差公式和完全平方公式两种不同顺序的教学实验效果,重构乘法公式教学设计。从而得出三大对策:（1）代数式学习需要建立代数程序性表达,（2）方程和不等式学习需要建立代数变换规则,（3）乘法公式学习需要建立代数结构性表达。最后,根据实验结论对初中教材安排提出了三点建议,并得出了有助于代数学习认知建构的教学策略。（1）抓关键词,正反实例,建构代数基本概念;（2）经历“文字语言”（?）“符号语言”的互化过程,建立符号的代数意义;（3）借助直观生活工具,建立等号的对称性和不等号的方向性;（4）“模仿-变式-拓展”分层推进,提高对代数概念的认知水平。（5）经历概念形成过程,深度理解方程和不等式的同解变形规则;（6）对比概念之间的联系和差异,建立知识的认知结构网络;（7）分类讨论把握整体,头脑风暴,理解代数约束规则;（8）经历规律发现过程,理解代数公式结构内涵,形成代数的准确演绎。
武丽虹,葛余常[2]（2020）在《第2讲:乘法公式与恒等变形》文中研究说明1课标要求与命题趋势课标要求:（1）能推导乘法公式:（a+b）（a-b）=a2-b2;（a±b）2=a2±2ab+b2。了解公式的几何背景,并能利用公式进行简单的整式、分式和二次根式的加、减、乘、除运算。（2）能用提公因式法、公式法（直接利用乘法公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。命题趋势:乘法公式与恒等变形是数学的基础知识,在中考中始终占有一席之地。试卷中多以选择题、填空题、化简题或计算题的形式出现,分值约占
胡育旭[3]（2020）在《抓住结构特征,实施整体设计,促进深度学习——“乘法公式”单元教学的建构与实践》文中认为就乘法公式的案例谈谈利用公式结构特征,实施整体教学设计的深度思考.一、乘法公式的整体教学设计背景1. 知识结构的关系链数学知识并不是孤立的点,知识之间具有横向的联系、纵向的关联[1].乘法公式是多项式乘法的特例,从图1中可以发现平方差公式和完全平方公式结构特征、图形表征具有很强的知识关系链.这种关系链主要体现在:（1）获得对象的一致性.乘法公式的获得都是经历计算、观察、归纳、验证、图形解释等过程,
李真[4]（2017）在《浅谈《概率论与数理统计》中乘法公式的教学体会》文中研究指明《概率论与数理统计》中的乘法公式是由条件概率引申出来的,它用于求解积事件的概率,体现了分步讨论、化繁为简的思想,在生活中有广泛应用。文章呈现乘法公式的教学设计、教学过程和教学反思,强调乘法公式蕴含的思想,通过精心创设的问题情景和设计精密的引导策略,带领学生主动思考和探索,培养学生利用乘法公式解决实际问题的能力。
雍亚波[5]（2015）在《运算更高效,题型更丰富,思考更深入——以“乘法公式的再认识”习题课教学为例》文中提出最近有机会在一次教学研讨活动中执教"乘法公式"的习题课,几经磨课,对乘法公式理解也渐趋深刻,本文记录该课的教学流程,并阐释相关教学立意,与更多同行分享教研心得.一、"乘法公式"习题课教学流程环节（一）:运算与分解,感受相反变形例1计算:（1）（2x+3）（2x-3）;（2）y（x+2）（x-2）;（3）（m-2n）（2nm）;（4）（x+y-4）2.例2因式分解:（1）4m2-9;（2）a2b-4b;（3）-a2+4ab-4b2;（4）（m+n）2-8（m+n）+16.
蒲淑萍,汪晓勤[6]（2011）在《法国数学教材中的“乘法公式与零积方程”》文中研究指明乘法公式是初中代数的重要内容,是一元二次方程解法的基础.在法国初中四年级数学教材Math 3e中,"乘法公式与零积方程"这一知识点安排在第5章.在内容的编排顺序、风格、呈现方式等方面,法国教材都与我国教材存在差异.本文考察其中的章头、预备知识、活动、习题和阅读材料等栏目中的内容,试图寻找其中的数学历史元素,分析历史材料的运用水平,以便为我国的教材编写和课堂教学提供借鉴.
张桂芳[7]（2013）在《整式乘法运算的几何背景图形及其教学应用》文中认为1一个教学实例引发的思考义务教育数学课程标准对于"整式乘法公式"的教学内容提出了要让学生"了解公式的几何背景"的要求[1].这样对乘法公式的几何背景和直观意义的强调,旨在通过数形结合增强学生的数学联系能力和培养学生多角度思考问题的习惯,同时也增进他们对乘法公式的理解与记忆.但是,在课堂调研过程中,我们发现个别教师对于乘法公式几何背景的看法有些偏差、对引进几何
杜杰,顾海霞[8]（2018）在《q-Schur超代数》文中认为本文总结了近期在q-Schur超代数、量子一般线性超群和它们的典范基以及不可约（多项式）表示方面的研究.首先给出了q-Schur超代数在三种不同背景下的定义和相应的基,并且刻画了这三组基之间的关系,接着描述了q-Schur超代数中的某些乘法公式及其在量子一般线性超群的新实现、q-Schur超代数的正则表示和量子一般线性超群的正部分的典范基的构造中的应用,同时给出了q-Schur超代数的半单性的判别条件.通过对Alperin的权猜想和Scott的置换表示理论的推广,本文得到了q-Schur超代数的不可约模分类.本文最后提到了在不引入量子坐标代数情形下构造无穷小和小q-Schur超代数的新方法.
周犇犇[9]（2021）在《基于初中数学运算学困调查的教学设计 ——以七年级为例》文中进行了进一步梳理“运算能力”作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十大核心概念之一,是学生在初中数学学习过程中须要掌握的基础性能力,对于初中数学的学习起着至关重要的作用。学生在运算能力的习得过程中不免会出现学习困难的情况。数学运算知识点本应成为学生掌握运算能力的垫脚石,然而部分知识点却成为学生掌握运算能力的绊脚石。有些教师会将运算学习困难简单归因为“粗心”,这将导致采用的策略无法针对运算学习困难起到显著效果。在初中数学运算学习困难研究中,学者大多从教学现状、教学存在问题和教学策略的角度切入,对初中学生数学运算学习困难提供了改善的路径。但是路径描绘的线条仍然较粗,对于具体指导教师在日常教学中处理数学运算学习困难仍然存在一定的距离。本研究以七年级为例来探索数学运算学习困难的教学改良路径。研究问题如下:（1）造成七年级学生数学运算学习困难点有哪些?（2）如何将这些运算学习困难点进行分类?（3）有哪些有效的教学策略?（4）如何结合教学策略对典型数学运算学习困难进行教学设计?具体来说,本研究的研究步骤分为四个阶段:（1）通过文献分析法总结学者对初中数学学习困难的相关研究。（2）通过作品分析法梳理七年级学生数学运算学习困难点,并根据文献综述将困难点以两级类目进行划分,编制相应编码表并进行分析。（3）对五位一线教师采用半结构化访谈,制作访谈结果内容总结表,并将访谈结果结合文献研究,整理提出针对初中数学运算学习困难的策略。（4）结合前期研究,选择典型学习困难点开展教学设计。研究主要结果:（1）造成七年学生数学运算学习困难点有68个。（2）根据文献,将初中数学运算学习困难的类型分为“概念理解”、“理解算理”、“简单运算”和“综合运算”四类。通过数据分析,其中综合运算类学习困难发生情况显著高于概念理解、简单运算和理解算理类;部分高错误量运算学习困难点之间的相关性显著,呈正强相关性;（3）根据一线教师的半结构化访谈结果,归纳得到初中数学运算学习困难的教学策略,其可以分为“课堂导入策略”、“课堂讲授策略”、“课堂激励策略”和“课后管理策略”四类。（4）根据数学运算学习困难点错误量分布情况,选择“乘法公式的复习课”进行教学设计。在教学设计中融入前期研究所得的错题导入、不跳步骤讲明算理和创设成功等教学策略。教学设计融合相关教学策略,对解决典型数学运算学习困难提供了一条有效的路径。
黄月兰[10]（2020）在《概率乘法公式教学研究与实践》文中研究表明乘法公式是概率论与数理统计系列公式之一,应用广泛,对此知识点进行教学研究有重要意义.本文首先就乘法公式的化繁为简思想、一一对应与条件事件逐项增多特点、优先发生原则等四方面展开论述,再进行教学设计,此教学设计在多年的课堂实践中得到较高评价.
二、一个乘法公式的应用（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一个乘法公式的应用（论文提纲范文）
（1）初中生代数学习的认知建构研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 绪论 |
| 第一节 研究问题 |
| 一、研究背景 |
| 二、关键问题 |
| 第二节 文献综述 |
| 一、数学认知结构 |
| 二、理解 |
| 三、学生错误 |
| 四、教学策略 |
| 第一章 研究设计 |
| 第一节 研究目标与相关概念 |
| 一、研究目标 |
| 二、相关概念 |
| 第二节 研究内容与研究方法 |
| 一、研究内容 |
| 二、研究方法 |
| 第三节 研究步骤与研究框架 |
| 一、研究步骤 |
| 二、研究框架 |
| 第二章 初中生代数学习的常见错误分析 |
| 第一节 常见错误的表现与成因 |
| 一、未建立符号的代数意义导致无法读懂代数式的程序性 |
| 二、未建立代数变形规则导致变形不等价 |
| 三、未建立乘法公式的结构性导致变形不等价 |
| 四、小结 |
| 第二节 核心概念界定 |
| 一、符号的代数意义 |
| 二、代数式的结构性和程序性 |
| 三、代数运算规则 |
| 四、乘法公式的结构性 |
| 第三章 代数学习需要建立新的符号表达程序 |
| 第一节 中小学“字母表示数”教材比较 |
| 一、小学阶段的“字母表示数” |
| 二、初中阶段的“字母表示数” |
| 第二节 学生“代数符号表达”学习的认知情况调查 |
| 一、被试情况与测试卷设计 |
| 二、学生认知情况 |
| 三、小结 |
| 第三节 代数式学习建立新的符号表达实验 |
| 一、学生代数式学习的认知特点 |
| 二、中小学教材“字母表示数”衔接问题 |
| 三、根据学生认知特点重构“代数式”教学 |
| 四、代数式的教学策略 |
| 第四章 方程和不等式学习需要建立代数变换规则 |
| 第一节 方程的同解变形规则实验 |
| 一、学生方程学习的常见错误 |
| 二、中小学“方程”的教材比较 |
| 三、学生方程学习的认知特点 |
| 四、根据学生认知特点重构“解一元一次方程”教学 |
| 五、解一元一次方程的教学策略 |
| 第二节 不等式的同解变形规则实验 |
| 一、学生不等式学习的常见错误 |
| 二、解不等式的错误干预 |
| 三、初中阶段“不等式”教材安排 |
| 四、根据学生认知特点重构“不等式及其性质”教学 |
| 五、不等式及其性质的教学策略 |
| 第五章 乘法公式学习需要建立代数结构化认知 |
| 第一节 乘法公式的教材安排和学生学习的认知特点 |
| 一、乘法公式教材安排 |
| 二、学生乘法公式学习的认知特点 |
| 第二节 先“完全平方公式”后“平方差公式”学生错误调查 |
| 一、被试情况与测试卷设计 |
| 二、学生认知情况 |
| 三、教师的教学设计 |
| 四、小结 |
| 第三节 先“平方差公式”后“完全平方公式”学生错误调查 |
| 一、被试情况与测试卷设计 |
| 二、学生认知情况 |
| 三、教师的教学设计 |
| 四、小结 |
| 第四节 乘法公式错误个别干预实验 |
| 一、被试情况与干预假设 |
| 二、干预过程 |
| 三、干预结果 |
| 第五节 重构乘法公式教学设计实验 |
| 一、实验假设 |
| 二、乘法公式教学实验 |
| 三、乘法公式的教学策略 |
| 第六章 结论与展望 |
| 第一节 研究结论 |
| 一、初中生代数学习的常见错误类型 |
| 二、初中生代数学习的认知特点 |
| 三、中学数学教材安排的建议 |
| 四、代数学习认知建构的教学策略 |
| 第二节 未来展望 |
| 第三节 创新之处 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 附录1 解读代数式的程序性 |
| 附录2 七年级代数式小测试 |
| 附录3 七年级等式小测试 |
| 附录4 七年级不等式小测试 |
| 附录5 七年级幂运算小测试 |
| 附录6 七年级乘法公式小测试 |
| 附录7 七年级因式分解小测试 |
| 附录8 乘法公式的结构干预实验 |
| 附录9 乘法公式教学实验前测 |
| 附录10 乘法公式教学实验后测 |
| 攻读学位期间发表的文章 |
| 后记 |
（3）抓住结构特征,实施整体设计,促进深度学习——“乘法公式”单元教学的建构与实践（论文提纲范文）
| 一、乘法公式的整体教学设计背景 |
| 1. 知识结构的关系链 |
| 2. 学生认知的结构网 |
| 3. 深度学习的支撑点 |
| 二、乘法公式的整体教学设计分析 |
| 三、 乘法公式的整体教学设计说明 |
| 1. 整体教学设计应立足学生实际 |
| 2. 整体教学设计应基于知识结构 |
| 3. 整体教学设计应着眼思维发展 |
（5）运算更高效,题型更丰富,思考更深入——以“乘法公式的再认识”习题课教学为例（论文提纲范文）
| 一、“乘法公式”习题课教学流程 |
| 环节(一):运算与分解,感受相反变形 |
| 环节(二):公式妙变形,突破求值问题 |
| 环节(三):公式正反用,解决不同题型 |
| 环节(四):公式大家族,链接数学史话 |
| 1.梳理教材上出现的一些“乘法公式” |
| 2.其他“乘法公式”的简单应用 |
| 3.引出“杨辉三角” |
| 二、教学立意的进一步阐释 |
| 1.运算教学除了严守法则,还需要追求运算更加高效 |
| 2.乘法公式题型丰富多样,引导学生透过现象看本质 |
| 3.链接讲解乘法公式史话,促进学生思考得更加深入 |
（7）整式乘法运算的几何背景图形及其教学应用（论文提纲范文）
| 1 一个教学实例引发的思考 |
| 2 在整式乘法运算教学中常用的一些几何背景图形 |
| 3 这些几何背景图形的用法及学习响应 |
| 4 不同用法产生不同的认知难度 |
| 4.1 图形的用法及其对学习的影响 |
| 4.2 认知难度层次 |
| 5 使用整式乘法运算的几何背景图形的建议 |
（9）基于初中数学运算学困调查的教学设计 ——以七年级为例（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究问题 |
| 1.3 研究意义 |
| 1.3.1 理论意义 |
| 1.3.2 实践意义 |
| 1.4 研究方法 |
| 第2章 文献综述 |
| 2.1 数学运算概念的内涵演变 |
| 2.2 数学运算水平划分 |
| 2.3 数学学习困难概念界定 |
| 2.4 国内数学运算学习困难的相关研究 |
| 2.4.1 初中数学运算素养培养的现状调查研究 |
| 2.4.2 初中数学运算学习困难的归因研究 |
| 2.4.3 初中数学运算的培养策略研究 |
| 2.4.4 其他因素对于初中数学运算素养培养的影响研究 |
| 2.4.5 评述 |
| 第3章 研究设计与实施 |
| 3.1 研究的总体思路 |
| 3.2 作品分析样本的构成 |
| 3.3 访谈对象的选取 |
| 3.4 编码表的建立 |
| 3.5 访谈提纲的建立 |
| 3.6 数据的统计和分析 |
| 第4章 研究分析结果 |
| 4.1 学习困难点类目各参数描述性分析 |
| 4.1.1 二级类目学习困难点数量分布情况 |
| 4.1.2 一级类目学习困难点平均值分布情况 |
| 4.2 类目间的差异性分析 |
| 4.2.1 一级类目平均错题量差异性分析 |
| 4.2.2 二级类目平均错题量差异性分析 |
| 4.3 高错误类目相关性分析 |
| 4.4 访谈结果分析 |
| 第5章 改善初中数学运算学困的教学策略 |
| 5.1 课堂导入策略 |
| 5.2 课堂讲授策略 |
| 5.3 课堂激励策略 |
| 5.4 课后管理策略 |
| 第6章 教学设计 |
| 6.1 选题依据 |
| 6.2 设计思路 |
| 6.2.1 课堂导入策略 |
| 6.2.2 课堂讲授策略 |
| 6.2.3 课堂激励策略 |
| 6.2.4 课后管理策略 |
| 6.3 《乘法公式复习课》教案 |
| 6.4 专家访谈评估 |
| 第7章 结论与展望 |
| 7.1 研究的主要结论 |
| 7.2 研究的创新之处 |
| 7.3 研究的局限之处 |
| 7.4 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（10）概率乘法公式教学研究与实践（论文提纲范文）
| 一、教学内容分析 |
| 二、教学过程设计 |
| (一)创设问题情境 |
| (二)新知传授 |
| (三)实战演练 |
| (四)精讲多练 |
| (五)归纳总结 |
| (六)课后作业 |
| 三、结束语 |
四、一个乘法公式的应用（论文参考文献）
- [1]初中生代数学习的认知建构研究[D]. 杨翠丽. 华东师范大学, 2018(11)
- [2]第2讲:乘法公式与恒等变形[J]. 武丽虹,葛余常. 中学数学教学参考, 2020(Z2)
- [3]抓住结构特征,实施整体设计,促进深度学习——“乘法公式”单元教学的建构与实践[J]. 胡育旭. 初中数学教与学, 2020(18)
- [4]浅谈《概率论与数理统计》中乘法公式的教学体会[J]. 李真. 大众科技, 2017(03)
- [5]运算更高效,题型更丰富,思考更深入——以“乘法公式的再认识”习题课教学为例[J]. 雍亚波. 中学数学, 2015(22)
- [6]法国数学教材中的“乘法公式与零积方程”[J]. 蒲淑萍,汪晓勤. 数学教学, 2011(10)
- [7]整式乘法运算的几何背景图形及其教学应用[J]. 张桂芳. 数学通报, 2013(02)
- [8]q-Schur超代数[J]. 杜杰,顾海霞. 中国科学:数学, 2018(11)
- [9]基于初中数学运算学困调查的教学设计 ——以七年级为例[D]. 周犇犇. 上海师范大学, 2021(07)
- [10]概率乘法公式教学研究与实践[J]. 黄月兰. 数学学习与研究, 2020(03)