一、证明恒等式的一种思路方法（论文文献综述）
彭翕成[1]（2020）在《基于点几何的几何定理机器证明与自动发现》文中研究表明智能解答是人工智能中的重要研究领域。随着教育信息化的深入发展,要求教育资源智能化,而不是简单的“电子化”。教育软件缺少智能性或智能化程度不高,导致难以满足教学需求。研发高智能的教育软件已成为解决问题的关键,智能解答是其中的核心技术。本文研究的几何自动推理属于智能解答的分支。通过文献梳理和调研,我们发现几何自动推理领域研究成果丰富,但已有推理算法对产生的证明是否足够简短易于理解掌握,其几何意义是否足够丰富易于揭示几何关系、发现新的定理,关注还不够。因此有必要探索新的推理算法,主要围绕两个目标努力,一是提高机器解答的可读性,实现“明证”（即一目了然的证明）;二是更多地发现新的几何定理。本文具体研究内容和主要贡献如下:一、提出了点几何恒等式算法。在学习吴方法的基础上,用点几何运算方式简明地表示几何关系,并转化为向量多项式,通过待定系数法解方程,探寻能关联命题条件和结论关系的恒等式。生成的代数恒等式,有明显的几何意义,在数形之间架构了一座新的桥梁。此方法原理简单,计算简便,给出的证明易于理解,读者需要的基础知识少,基本实现“明证”的目标。多数证明甚至比原题更简短,且清楚展现了条件和结论之间的关系,因此既能由一题扩展到多题,还能从低维扩展到高维。二、提出了基于点几何恒等式的混合推理算法。为了更好地利用不同解答方法的优势,结合代数计算和搜索思想,提出两种挖掘隐藏关系的算法,大大扩展了恒等式方法的解题范围。对长期讨论的某些有序几何问题,给出简短的恒等式证明,指出命题成立的充要条件,并将命题多角度扩展;而以往的解决方案需要引入较多的新概念,复杂运算,还达不到这样的效果。开发了点几何解答系统,针对可构图几何问题,能生成有详细步骤的可读证明,其中的遍历搜索功能与延伸作图功能相结合,可批量发现并证明几何定理,所发现的结论为恒等式算法提供补充。三、提出了向量方程消元算法。基于复数形式的欧拉公式,将几何关系转化成向量方程组,然后利用线性方程组的基础性质消去向量,从而抽取出含有边长和角度关系的系数矩阵,计算行列式并化简,调用消元法消去不感兴趣的变量,得到一些几何意义鲜明的关系式。这是将代数方法和不变量相结合的新思路。应用此方法研究一些经典几何图形,不但能重现经典结论,还能发现图形中蕴藏但前人疏漏的结论。此方法擅长发现和证明多项式形式的边角关系,这是以往研究所欠缺的。特别是对单个三角形的研究,能自动生成或强制生成大量三角恒等式。四、建立了一个几何题库。为检验算法的有效性,我们整理研究了 1000余例有代表性的几何问题。这些典型案例经本文算法处理之后,发现了许多新的结论,使得题目的内涵变得丰富,题目质量大大增强。有助于学生实行变式练习,加强巩固重点难点。为方便一线师生使用,我们基于题库出版了系列文章和着作,其中的题目,大部分来自人工收集,少部分由计算机自动生成,解答则几乎由机器完成,人只在其中增加少量连词和分析,使得读起来更加顺畅。而这些主要由计算机自动生成的命题和解答,审稿人和读者都没察觉是机器所为,充分说明能被教育领域理解和接受。同时也表明本文给出的机器解答,从某种程度上可认为通过了图灵测试。本文研究了基于点几何的自动推理方法,并指出它在数学教育上的种种应用,为基础数学教育内容的改进提供了一种新的途径。此外,本文研究也引人思考,人类的解答未必最佳,计算机可能给出让人惊讶的解答。计算机给出解答甚至比题干还短,这看似“有悖”常识,但又引起思考,如何知识表示才能尽量简洁而又方便推理。知识的创新表示,要尽量符合信息时代的要求,同时也可能造成原有知识体系的重新定位。
王中平[2]（2016）在《二项式恒等式与分拆恒等式的组合证明》文中研究表明在组合数学中,有很多不同种类的恒等式,它们共同构成组合数学中不可或缺的部分,有许多的专家和学者都对它们的性质、证明等进行研究,其中,对恒等式的证明的研究一直都是非常热门的课题。我们知道组合数学中恒等式的种类很多,证明方法也很多,本学位论文主要针对二项式恒等式与分拆恒等式这两类组合数学中最具代表性的恒等式进行了研究,与以往不同的是,这里都用组合的方法去较为系统地研究了一些常见的两类恒等式的证明,需要我们好好去体会组合证明的思想。具体而言,本文主要做了以下工作:在绪论部分,主要介绍了有关组合恒等式证明的研究的国内外现状,对前人所做的一些主要工作以及所获得的一些重要结果进行了回顾。在第二章中,介绍了与二项式恒等式和分拆恒等式的组合证明有关的基本概念、性质和定理,如映射、二项式定理、二项式系数、组合数、可重组合、整数分拆、分拆恒等式、组合证明等。在第三章中,对二项式恒等式的组合证明进行了较为系统的研究。具体而言,对它们的研究工作分三类进行,即无重组合恒等式的组合证明,可重组合恒等式的组合证明,以及交错二项式恒等式的组合证明。此外我们运用证明了的一个交错二项式恒等式去证明了着名的容斥原理,这个证明也可以认为是二项式恒等式的一个重要应用。在第四章中,主要介绍了一些常见的整数分拆恒等式的组合证明,我们把它们分成两块内容来研究,其中第一节主要对有关整数分拆的一些基本性质和定理进行了组合证明,第二节给出了有关整数分拆的其它一些常见的分拆恒等式的组合证明。在第五章中,总结了本学位论文所做的一些主要工作,并对研究中得出的结论或者独创性工作进行了回顾和总结,并提出了自己的一些展望。
李寒阳[3]（2018）在《三角函数恒等式与不等式在中学数学中的应用》文中研究表明三角函数是基本初等函数中的一种超越函数,它在初等数学体系中有着不可小觑的地位,是历年高考和数学竞赛的考查热点。三角函数恒等式与不等式的研究是两个重要的分支方向。本文主要是对三角恒等式与不等式及其应用进行了较为系统的分类和总结,同时进行了一些基础应用创新的尝试,以期对三角恒等式和不等式有一个比较全面的认识和实质性的理解,进而灵活运用三角恒等式和不等式来解决相关问题。首先介绍了三角函数恒等式的相关知识,包括三角函数及三角函数恒等式的定义、无条件三角恒等式与条件三角恒等式及其证明、三角函数的有限级数和以及在中学代数与几何中的应用,给出了常见的“证明条件恒等式、证明代数不等式、解三角方程、解三角形”等四个方面问题应用研究的基本方法,着重强调利用三角恒等式进行三角代换的解题思路,进而拓宽思维,提高解题能力。其次对三角函数不等式及其应用也进行了较为详细介绍,包括基本定义、常见的三角不等式类型以及应用,进行了三角函数不等式的若干应用性和创新性的研究,主要探讨了三角不等式在几何中的应用,特别是在“求圆与椭圆内接三角形及多边形面积的最值”以及解决平面几何中的不等问题这两类问题上的应用研究,提出了一些较为新颖的三角代换的解题思路。最后对三角恒等式与不等式在中学数学当中所具有的教育价值进行了较为详细的阐述,着重在“培养数学思维、了解数学史及数学文化、提升创新意识、感受数学美”等四个方面进行了许多有益的探讨。
高岳[4]（2018）在《各向异性多孔材料的强度与断裂问题研究》文中研究说明在页岩气开采过程中,定向钻井与水力压裂是两个关键工程步骤,而它们都是在页岩这种各向异性材料中完成的。页岩在宏观上由于沉积作用表现出本构、强度与断裂的各向异性,在微观上则呈现出多孔介质材料的特征。因而对于页岩这种各向异性多孔材料的强度性质和断裂行为研究具有重要的科学意义和工程价值。多孔充液弹性本构模型将固体骨架与含有流体的连通孔隙在宏观上看作一种均匀材料,避免了讨论复杂的微观结构,同时可以描述介质中耦合的固体变形和流体扩散过程。本文对于各向异性多孔充液弹性本构模型建立统一的框架,澄清各向异性多孔充液弹性本构中独立的材料常数个数,并讨论在固体骨架中不连通的孔隙流体（液岛）带来的非均匀性对于本构模型的影响。在分析了不同的本构模型基本假设后,本文将多孔弹性中的基本假设区分为四个水平,并证明了这些假设所带来的影响都只出现在一个独立的材料常数中。而这个材料常数也包含了很多不用测或是不可测的其它材料常数。在所构建的各向异性多孔充液弹性本构的基础上,本文讨论了在多孔充液弹性介质中钻井时许可的钻井液压力范围。本文提出了瞬时、短时、长时解的概念,并对于这三个时刻给出了井眼问题分别使用各向同性和横观各向同性多孔弹性本构模型下的解析解。进一步地,本文分别使用两种拉伸破坏准则和六种剪切破坏准则,得到了对应情况下的井眼破坏临界压力的代数表达式、对应的破坏位置与时间、以及井眼压力是过高还是过低了的判断,方便工程师直接应用。结果表明,目前石油工业界所使用的基于经典广义虎克定律的井眼安全校核准则可能偏于危险了,本文推荐在多孔性质显着的岩石中使用多孔充液弹性本构进行安全校核。对于页岩这种具有各向异性断裂韧性的岩石,本文也从理论和数值上分析了裂纹在其中的扩展规律。针对页岩的特性,本文构造了一种弱面模型,以表征页岩在层理面方向上断裂韧性低于其他方向的特征。通过将最大能量释放率准则应用在弱面模型上,本文给出了弱面模型中裂纹扩展方向的理论预测方法,并阐释了裂纹扩展禁止区的现象。本文也将弱面模型引入到扩展有限元方法中,并发展网格无关的分段线性裂纹算法高精度地捕捉裂纹路径,实现各向异性断裂韧性材料中裂纹扩展路径的模拟。本文还分析了裂纹在弱面材料中周期性振荡扩展的现象。
张先波[5]（2019）在《中学数学思想的培养研究 ——基于深度教学的视角》文中进行了进一步梳理从原始的结绳记事,到对于数与形的重视;从楔形文字、象形文字的表达,到初等数学符号的出现;从面向生活实践的零散数学规律,到系统性的数学学科体系。数学这门古老的学科,在迈过其漫长的发展历史之后,在学校教学的过程中继续生根发芽。作为学校教育中的一门基础性学科,数学不仅致力于传递古今中外的数学知识和定律,更重要的是在与学校生活中其他学科的交融过程中,使学生通过知识的学习,领会数学思想,感悟数学之美。曾有学者指出,数学是关于美的学科,数学是关于艺术的学科,数学是不断反思发展的学科。数学之美,体现在其数字的变幻之美,体现在数学公式的平衡之美,体现在数学发现的探索之美,同时也蕴含在学生学习数学过程中所体会到的获得之美。数学同时还是关于思想的学科,历代数学家根据自己对相关数学领域的研究,不断充实数学思想库,在传承与创新的过程中实现数学学科的不断发展。关于数学是一门艺术还是一门科学性学科的争论至今仍然存在,数学是一门艺术体现在数学通过艺术化的语言、简练的公式表达,使得数学思想得以发展,数学学科也称为学科发展史上的一朵奇葩。数学是一门科学,数学的语言及表达要求精确而凝练地指出相应的意图,要求数学学习者和研究者对于相应数学思想的深刻化理解,并在此基础上做到运用时的精准化。数学同时是一门生活化的学科,原始的数学便发端于人们对于生活问题的解决过程。如古埃及数学文明的发展,便是由于尼罗河三角洲的河道淤积以及洪水泛滥等问题,迫使数学家开始研究淤积的面积,并提供相应的预测。数学的发展往往受到社会经济发展的影响,数学发展的每一个重要阶段必然伴随着社会发展的需要,并且也在顺应社会的需求。这一点在近现代数学发展史中得到了印证,尤其是在现代社会中数学与信息技术的融合,以及基础数学研究的日益专门化和数学教育的大众化等趋势,均是数学与社会经济发展相适应的表现。无论是古典时期阿基米德的几何《原本》,还是现代数学家所取得的重要成就和关键突破,均为数学的发展画上了浓墨重彩的一笔。当前数学的发展,除了需要数学家和相关研究者持续不断的努力,同时需要学校教育培养出对数学感兴趣、能够领悟数学之美的人才。学校教育的产生,在人类历史上无疑是具有划时代意义的事件,它使得人类文明的传承有了相对规范化和制度化的途径。学校教育的产生以及与之相伴随的学科教育的发展,使得人类发展史上的重要成果能够分门别类的进行传递和发展。正如学者所言,我们的数学教育并非是使每个孩子的都成为数学家,而是要在他们心中埋下数学的种子,使他们感悟和理解数学之美。学科教学的过程,不应当只是知识的传递过程,更重要的是学科教学应该成为思想领悟的过程,成为数学知识向数学思想跨越的过程。数学知识的学习是数学思想领悟与获得的基础,是数学深度学习达成的必要前提。基于深度教学的视角探讨中学数学思想的培养过程意味着,从知识观、学习观和教学观等方面进行中学主要数学思想进行培养。从深度教学的视角而言,知识的结构分为符号表征、逻辑结构和意义系统三个层次。数学知识教学过程中,应当是超越知识的符号性教学和表层化教学,进而深入到知识的内部结构之中,使学生在领悟数学学科知识的结构的基础之上,获得数学思想的熏陶。从数学知识到数学思想,不仅是数学教学的飞跃式发展,同时也是教学走向深度的必然要求。当前对于学生关键能力和核心素养培养的重视,最终需要回归到各个学科教学的过程中来,通过学科教学逐步渗透相应的学科思想,培养学生优秀的学科思维,进而促使学科能力和学科素养的提升。尤其是对于中学数学教学而言,中学处于义务教育阶段是学生相应学科思想学习的黄金时期,这一阶段的数学思想学习尤其需要引起教师和学生的重视,课堂教学应当以学科思想,即重要的数学思想为线索,将数学知识串点成线成面。学生的数学学习过程,经由学科思想的浸润,通常能够加深对于数学学科的认识,加深对数学知识的理解以及促进其对于学科结构的把握。因而,数学思想的教学之于数学教学过程而言至关重要,从数学知识到数学思想的跨越是当前课堂教学应当关注的重点。同时,如何在中学教学过程中培养学生的数学思想以及数学思维品质,也是一线教师及研究者应关注的的问题之一。
陈海云[6]（2019）在《HPM视角下中美高中数学教材的比较研究 ——以人教A版与加州McGraw Hill版教材函数内容为例》文中研究说明函数思想贯穿着整个数学学习过程,数学史对数学教育具有重要意义。本文在历史发生原理、“再创造”原理、历史相似性原理的指导下,以函数为载体,在HPM视角下,对中、美高中数学教材进行比较,具体分为以下几个部分:首先,从教材版面设计与知识点两方面,通过内容分析法,对中、美教材函数内容的安排进行比较。两国教材目录都以“章节条目—总结—测试题”为主线,栏目结构都以“正文前—正文—正文后”为主线,但“正文前”的“章开头”,中国A版教材以“文化背景知识”为主,美国M版教材则提出“学习目标”;知识编写方面,中国A版以“直线型”为主,注重形成系统性知识,美国M版教材则以“螺旋型”为主,侧重知识的实际运用。其次,通过比较维度的探讨,采用软件Excel与统计分析软件SPSS20.0对数据进行录入分析,研究两国教材函数部分数学史的运用情况。利用Pearson卡方检验以及Fisher精确检验,分析数学史知识模块分布、栏目分布、运用方式、呈现方式的异同。总体上,两国教材数学史知识模块分布、栏目分布总体差异不显着,但运用方式、呈现方式都有显着差异。显着差异体现在,运用方式上中国A版教材没有“重构式”数学史,且每种运用方式的频数差异较大,美国M版教材五种方式都有涉及,且每种运用方式频数差异不大;呈现方式上,中国A版教材中显性数学史的占比稍多,相对中国而言,美国教材函数内容中显性数学史和隐性数学史的频数相差不大。然后,采用文献分析法和内容分析法,结合历史上对“函数概念”、“指数函数”、“三角函数”的扩充顺序,绘制历史和教材的结构图、散点图,根据图形结构及变化趋势,分析中、美两国教材的编写顺序与历史发生顺序的异同及相似程度。美国M版教材“函数概念”、“指数函数”的编写顺序更接近历史扩充顺序,中国A版教材“三角函数”的编写顺序则更接近历史扩充顺序。最后,基于以上研究结果,本文对高中数学教材的编写提出了一些建设性意见。适当调整数学史栏目分布,重新审视教材数学史的运用方式。基于历史相似性,适当调整知识内容顺序。
关雅靓[7]（2020）在《关于二阶线性递归多项式性质及应用的研究》文中指出斐波那契多项式、卢卡斯多项式及斐波那契序列、卢卡斯序列等,是数论领域最常见的二阶线性递归多项式与序列,它们的算术性质在经济,物理,科学方面发挥着重要的作用,因此对二阶递归多项式及其对应数列的研究一直以来是数论工作探讨的基础与重点。日本学者Ohtsuka和Nakamura曾巧妙的运用不等式的关系,发现了斐波那契数列的倒数和取整的公式,但是这个方法并不具有推广性。随后,很多学者展开了更一般的研究,例如其他二阶线性递推数列、多项式的倒数求和公式,及高次无限和的倒数公式计算。一直到现在,学者们致力于斐波那契多项式、两类切比雪夫多项式、卢卡斯多项式等二阶线性递归多项式的诸多算术性质研究,包括高次幂的降幂公式,卷积的简便计算公式,积分和的计算等,并得到许多有趣的结论。本文通过借助多项式的生成函数的表示和性质,计算各种多项式的卷积、组合公式等,对相关研究逐步深入,运用初等计算方式,研究了一些二阶线性递推多项式的卷积、高次幂和及相关倒数和的计算问题。实际上,在二阶线性递推多项式中取一些特殊值,就立刻可以得到一些特殊的二阶线性递推数列的相关计算公式,为研究二阶线性递推数列的恒等式计算提供了更一般的方法,因此很有必要研究。此外,解析数论中的算术函数一系列性质讨论也是数论探讨工作的热点。本文运用解析方法,借助高斯和的性质,研究了与Dedekind和相关的一个新和式的恒等式,并给出其在特殊点的值。第二章由于多项式的卷积、高次幂和、倒数和可以用最简单的计算公式表达出来,即把抽象难懂的公式最简化,因此,用初等方法研究了新型多项式的卷积、高次幂和、倒数和的恒等式,从而得出几个定理。第三章主要运用解析方法,发现了与Dedekind和相关的新和式的计算性质,其在特殊条件下可与Dedekind和相互转化,解释了两者的内在联系,并求解了在特殊值下的新型和式的恒等式。
曹道民,彭双阶,王庆芳[8]（2016）在《Pohozaev恒等式及其在非线性椭圆型方程中的应用》文中进行了进一步梳理在非线性椭圆型偏微分方程的研究中,Pohozaev恒等式在研究非平凡解的存在性和非存在性时起着十分重要的作用.本文旨在介绍Pohozaev恒等式及其在非线性椭圆型问题研究中的应用.首先介绍有界区域和无界区域上几种典型的Pohozaev恒等式,并得到几类非线性椭圆型方程存在解的必要条件,进而得到对应的方程非平凡解的非存在性和存在性结果.其次将介绍非线性椭圆型方程的局部Pohozaev恒等式,由此证明非线性椭圆型微分方程近似解序列的紧性,并得到几类典型非线性椭圆型方程的无穷多解存在性.最后利用非线性椭圆型方程的局部Pohozaev恒等式来研究其波峰解,得到波峰解的局部唯一性,并由此判断波峰解的对称性等特征.
于成鹏[9]（2020）在《表面等离子体切伦科夫辐射源的理论研究》文中研究表明太赫兹科学技术在现代科技界和产业界占有越来越重要的地位,具有广泛的应用前景。为了推进太赫兹科学技术的进一步发展,急需填平“太赫兹空隙”,而表面等离子体切伦科夫辐射源（Surface Polariton Cherenkov Light Source,SPCLS）正是解决这一问题的有力途径之一,因为这种结合了电子学和光子学原理的新型辐射源,可产生太赫兹甚至更高频率的电磁辐射。为了推进SPCLS相关科学技术的发展,急需对它进行系统的理论研究,透彻地、定量地解释其中的物理机制。按照由浅入深、循序渐进的原则,从经典到量子、从现象到本质,本学位论文对SPCLS的理论研究从以下四个层面进行:场匹配方法、动力学理论、经典电子束的光子激发理论、电子束—光子相互作用的相对性理论。场匹配方法:基于电子束等效电荷、电流和麦克斯韦方程组,求解SPCLS的场分布,本学位论文导出了电子束以激励表面等离子体激元为中介,可产生相干、强度较高、由电子束速度调谐的切伦科夫辐射的结果。同时,本学位论文基于并矢格林函数这一有力的数学工具,大大简化了场匹配方法的数学结果,使这一理论可以更方便地推广到不同结构中去,并且更适合处理电子束做复杂运动的情况。动力学理论:在电磁理论的基础上,本学位论文进一步引入波尔兹曼方程来描述电子的运动,得到的动力学理论能够研究场匹配方法未涉及的、电磁场对电子束反作用的问题。动力学理论预言,当电子束的电子数密度足够大时,SPCLS的演化规律将偏离场匹配方法的预言,进入“强耦合”状态。此时,根据SPCLS系统参数的不同,电子束和电磁场有两种可能的相互作用状态,分别称为o状态和m状态。o状态下,电子束做周期性扰动,使输出信号增强;m状态下,电子束的运动速度单调下降,使输出信号频谱展宽。基于o状态,有望在强流电子束的应用场景下显着提高SPCLS的输出。经典电子束的光子激发理论:本学位论文进一步将电磁场看作光子,但仍将电子束看作经典电荷、电流场,基于“半量子”的耦合哈密顿量研究系统的演化。这一理论研究了动力学理论未涉及的、低密度电子束和电磁场相互作用的问题。研究发现,无论电子束的电子数密度取何值,当SPCLS受到激励时,输出信号的上升速度总比经典理论（场匹配方法和动力学理论）的预言更快。这在传感器设计方面有一定优势。同时,该理论由于考虑了电磁场的量子性,还能用于研究SPCLS输出信号的涨落规律。研究发现,SPCLS的输出信号中,存在一个源于电子束和表面等离子体激元的相互作用的激发态涨落。基于这一涨落,有望对SPCLS的输出做随机共振增强。电子束—光子相互作用的相对性理论:在量子化电磁场的基础上,本学位论文引入量子化的狄拉克旋量场来描述电子束,进而基于完全量子化的耦合哈密顿量来描述SPCLS的演化。这一理论研究了经典电子束的光子激发理论所不能研究的诸多物理效应,包括电子束的相对论效应、位置—动量不确定性、自旋等。该理论发现,当电子束的速度接近切伦科夫门限时,SPCLS的输出信号会受到不确定性原理的影响,强度显着削弱,但同时仍保持相干性和可调谐性。这一结果既解决了电子束速度越过切伦科夫门限时,SPCLS信号所面临的连续性悖论,又提供了一种测量切伦科夫辐射量子性的实验方案。当理论研究探讨到第四层面时,就能较为完备地描述SPCLS中的物理过程,揭示经典理论所无法解释的隐藏信息。以上四个层面的理论,作为一个整体,既可以从不同角度加深人们对SPCLS的认识,也可研究不同应用场合下基于SPCLS的系统。从广义上讲,SPCLS的理论就是电子束平行激发某种系统、通过系统的局域响应使电子能量转化为电磁能量的理论。上述物理现象在各类电子学和光子学器件中普遍存在,而SPCLS的理论是研究这些物理现象的有力工具。例如,SPCLS的理论可用于研究非对称SPCLS、基于拓扑绝缘体双曲超材料的反向切伦科夫源、电子束激发的自旋电子学太赫兹源,以及基于石墨烯量子切伦科夫效应的X射线源等,并且,能够正确预测这些辐射源的场分布和输出、阐明其中的物理过程。总之,SPCLS的理论研究实际上涵盖了一系列应用于不同场合、工作于不同频率的新型辐射源。
薛展充[10]（2007）在《竞赛数学中的组合恒等式》文中研究说明本文论述了竞赛数学与组合数学，特别是组合恒等式之间的关系，综述了竞赛数学中证明组合恒等式的几种常用方法与技巧，对组合恒等式在竞赛数学中的应用进行分类讨论和综述，并就竞赛数学中有关组合恒等式的问题的发展进行前景预测和推广，提出了一些个人见解。
二、证明恒等式的一种思路方法（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、证明恒等式的一种思路方法（论文提纲范文）
（1）基于点几何的几何定理机器证明与自动发现（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 研究历史与现状 |
| 1.2.1 几何推理的代表性方法 |
| 1.2.2 几何推理的可读性研究 |
| 1.2.3 几何定理自动发现 |
| 1.3 主要工作和组织结构 |
| 第二章 相关理论基础 |
| 2.1 几何题的题意理解 |
| 2.2 吴方法理论与实例 |
| 2.3 教育数学与点几何 |
| 2.4 实验平台Mathematica |
| 第三章 基于点几何的恒等式算法 |
| 3.1 几何命题代数化 |
| 3.1.1 几何知识的重新表示 |
| 3.1.2 点几何基本几何关系构造 |
| 3.2 基于恒等式的命题证明算法和示例 |
| 3.2.1 点几何恒等式算法 |
| 3.2.2 点几何恒等式算法的补充:引入参数 |
| 3.2.3 点几何恒等式算法的补充:引入复数 |
| 3.2.4 点几何恒等式与向量方法的转换算法 |
| 3.2.5 恒等式的解读和一题多解 |
| 3.3 教育应用案例 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 基于点几何恒等式的混合推理算法 |
| 4.1 命题真假判定 |
| 4.2 点几何恒等式搜索算法 |
| 4.2.1 搜索条件的恒等式算法 |
| 4.2.2 教育应用案例 |
| 4.3 点几何解答系统 |
| 4.3.1 基本函数 |
| 4.3.2 扩展函数 |
| 4.3.3 教育应用案例 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 基于向量方程的消元算法 |
| 5.1 研究背景 |
| 5.2 向量方程消元算法 |
| 5.3 教育应用案例 |
| 5.3.1 经典案例再探究 |
| 5.3.2 自动发现多种情况 |
| 5.3.3 自动发现逆命题 |
| 5.3.4 强制法打磨生成结论 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 算法测试与比较 |
| 6.2 主要工作和创新 |
| 6.3 教育应用与思考 |
| 6.4 进一步研究与展望 |
| 参考文献 |
| 附录1 吴方法的实质是恒等式 |
| 附录2 访谈提纲和测试案例 |
| 攻读博士学位期间完成的科研成果 |
| 致谢 |
（2）二项式恒等式与分拆恒等式的组合证明（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 1 绪论 |
| 1.1 选题背景与文献概述 |
| 1.2 研究目的和意义 |
| 1.3 主要研究内容 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 映射及组合证明 |
| 2.2 二项式系数与组合恒等式 |
| 2.3 整数分拆与分拆恒等式 |
| 3 二项式恒等式的组合证明 |
| 3.1 无重集上二项式恒等式的证明 |
| 3.2 可重集上二项式恒等式的证明 |
| 3.3 交错二项式恒等式的证明 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 分拆恒等式的组合证明 |
| 4.1 分拆的基本性质、定理的证明 |
| 4.2 一些常见分拆恒等式的证明 |
| 4.3 本章小结 |
| 5 结论与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| A. 作者在攻读硕士学位期间发表的论文目录 |
（3）三角函数恒等式与不等式在中学数学中的应用（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究意义 |
| 1.3 研究现状 |
| 1.4 研究内容 |
| 2 三角函数恒等式及其应用 |
| 2.1 三角函数与三角恒等式基本定义的回顾 |
| 2.2 无条件三角恒等式 |
| 2.2.1 同角恒等式——十个基本公式 |
| 2.2.2 余弦和角恒等式——重要的母公式 |
| 2.2.3 由母公式可推出的恒等式——二十余个子公式 |
| 2.3 条件三角恒等式——三角形中的恒等式 |
| 2.3.1 角元素三角恒等式 |
| 2.3.2 角与线元素三角恒等式 |
| 2.3.3 面积元素恒等式 |
| 2.4 三角函数的有限级数的和 |
| 2.5 三角恒等式在中学数学中的应用 |
| 2.5.1 三角恒等式在代数中的应用 |
| 2.5.2 三角恒等式在几何中的应用 |
| 3 三角函数不等式及其应用 |
| 3.1 对称三角函数不等式 |
| 3.1.1 正弦对称不等式 |
| 3.1.2 余弦对称不等式 |
| 3.1.3 正切对称不等式 |
| 3.2 其它三角不等式 |
| 3.3 三角函数不等式在中学数学中的应用 |
| 3.3.1 三角函数不等式在代数中的应用 |
| 3.3.2 三角函数不等式在几何中的应用 |
| 4 三角函数恒等式与不等式具有的教育价值 |
| 4.1 培养学生的数学思想 |
| 4.1.1 数形结合的思想 |
| 4.1.2 化归的思想 |
| 4.1.3 分类讨论的思想 |
| 4.2 了解数学史及数学文化 |
| 4.3 提升创新意识 |
| 4.4 感受数学之美 |
| 4.4.1 对称和谐美 |
| 4.4.2 简洁统一美 |
| 5 回顾与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简介 |
（4）各向异性多孔材料的强度与断裂问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景及意义 |
| 1.2 多孔弹性本构模型的发展 |
| 1.3 井眼安全校核问题 |
| 1.4 各向异性断裂韧性材料中的断裂问题 |
| 1.5 本文主要内容 |
| 第2章 多孔充液弹性本构模型 |
| 2.1 各向异性多孔弹性本构模型 |
| 2.1.1 全渗状态与无渗状态 |
| 2.1.2 各向异性多孔弹性本构关系中的一些重要等式 |
| 2.2 特殊情形下本构模型的退化 |
| 2.2.1 横观各向同性多孔弹性本构模型 |
| 2.2.2 各向同性多孔弹性本构模型 |
| 2.3 关于本构模型中骨架材料常数的更多讨论 |
| 2.3.1 四种假设水平 |
| 2.3.2 关于微观均匀与微观各向同性假设 |
| 2.3.3 无封套体积模量K'_s、无封套孔隙模量K''_s与固体骨架材料体积模量K_s |
| 2.3.4 与Cheng的骨架材料常数处理方法的对比 |
| 2.4 场方程 |
| 2.4.1 基本方程 |
| 2.4.2 横观各向同性本构模型中平面问题的场方程 |
| 2.4.3 各向同性本构模型中的场方程 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 基于多孔弹性本构的井眼安全校核 |
| 3.1 井眼校核问题的力学描述 |
| 3.2 强度准则 |
| 3.2.1 Terzaghi等效应力 |
| 3.2.2 拉伸破坏准则 |
| 3.2.3 剪切破坏准则 |
| 3.3 各向同性本构模型中的井眼安全校核 |
| 3.3.1 载荷分解 |
| 3.3.2 瞬时与长时状态下的全场解 |
| 3.3.3 短时解的提出 |
| 3.3.4 靠近井壁处瞬时、长时、短时解的叠加结果 |
| 3.3.5 拉伸破坏 |
| 3.3.6 剪切破坏 |
| 3.3.7 井眼许可工作压力 |
| 3.3.8 与他人结果对比 |
| 3.4 横观各向同性本构模型中的井眼安全校核 |
| 3.4.1 等效各向同性模型 |
| 3.4.2 横观各向同性井眼问题中的全场解 |
| 3.4.3 横观各向同性井眼问题中靠近井壁处的瞬时、长时、短时解 |
| 3.4.4 拉伸破坏 |
| 3.4.5 剪切破坏 |
| 3.4.6 与弹性解分析结果对比 |
| 3.4.7 井眼许可工作压力 |
| 3.5 数值结果分析 |
| 3.6 井眼校核设计分析软件 |
| 3.7 本章小结 |
| 第4章 各向异性断裂韧性材料中的裂纹扩展规律 |
| 4.1 最大能量释放率准则 |
| 4.2 弱面模型与双弱面模型 |
| 4.2.1 弱面模型 |
| 4.2.2 双弱面模型 |
| 4.3 弱面模型中的裂纹扩展规律 |
| 4.3.1 纯I型及纯II型加载下的裂纹扩展规律 |
| 4.3.2 任意加载模式下的裂纹扩展规律 |
| 4.4 裂纹扩展禁止区 |
| 4.4.1 已知弱面方向下的裂纹扩展禁止区 |
| 4.4.2 任意弱面方向下的裂纹扩展禁止区 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 各向异性断裂韧性问题的数值模拟研究 |
| 5.1 扩展有限元方法简介 |
| 5.2 基于XFEM的网格无关的分段线性裂纹 |
| 5.2.1 网格无关的分段线性裂纹 |
| 5.2.2 水平射线法 |
| 5.2.3 网格射线跟踪法 |
| 5.3 数值算例 |
| 5.3.1 网格无关性验证 |
| 5.3.2 弱面材料中的三点弯测试数值模拟 |
| 5.3.3 裂纹路径在多层介质中的捕获 |
| 5.3.4 含有弱界面圆形夹杂材料中的裂纹路径 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 主要结论 |
| 6.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录A 弹性本构模型与多孔弹性本构模型中的Betti定理与Betti逆定理 |
| 附录B 横观各向同性多孔弹性本构中的材料常数与柔度张量M及刚度张量L之间的关系 |
| 附录C 横观各向同性平面问题中各向同性平面上的 ?~2ζ 与 ?~2p之间的转换关系 |
| 附录D 基于拉普拉斯变换方法的井眼问题解 |
| 附录E 瞬时、短时、长时井眼安全压力顺序的补充证明 |
| E.1 各向同性本构水平截面拉伸破坏 |
| E.2 横观各向同性本构剪切破坏情况c) σ_(θ θ)≥ σ_(rr)≥ σ_(zz) |
| E.3 横观各向同性本构剪切破坏情况f) σ_(zz)≥ σ_(rr)≥ σ_(θ θ) |
| 附录F 裂纹偏折后的应力强度因子 |
| 附录G 对Nuismer、He与Hutchinson、Amestoy与Leblond的裂纹偏折后应力强度因子结果的对比 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 |
（5）中学数学思想的培养研究 ——基于深度教学的视角（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 导论 |
| 第一节 问题的提出 |
| 一、数学育人价值实现与当前课堂教学实施的矛盾 |
| 二、数学学科思想教学与当前教学变革的错位 |
| 三、学生深度学习达成与课堂教学效果的偏离 |
| 第二节 研究意义 |
| 第三节 国内外研究综述 |
| 一、国内研究综述 |
| (一) 关于数学课程的研究 |
| (二) 关于数学知识及其教学的研究 |
| (三) 关于学科思想方法的研究 |
| (四) 关于数学思想的研究 |
| 二、国外文献综述 |
| 第四节 研究方法 |
| 第五节 研究内容 |
| 第一章 数学思想:内涵与意义 |
| 第一节 数学思想的发展回溯 |
| 一、数学思想的发展历史及阶段 |
| 二、我国数学思想在教学中的发展 |
| 第二节 数学思想的含义 |
| 第三节 数学思想的特征分析 |
| 一、内隐性 |
| 二、连续性 |
| 三、可迁移性 |
| 第四节 数学思想的价值分析 |
| 一、数学思想的教学价值 |
| 二、数学思想的发展价值 |
| 三、数学思想的应用价值 |
| 第二章 中学主要数学思想及相关概念辨析 |
| 第一节 数学发展史上的主要数学思想 |
| 第二节 中学数学教学中的数学思想 |
| 一、数形结合思想 |
| 二、分类讨论思想 |
| 三、转化或化归思想 |
| 四、类比或递推思想 |
| 五、构造或建模思想 |
| 第三节 相关概念辨析 |
| 一、数学知识与数学思想 |
| 二、数学能力与数学思想 |
| 三、数学方法与数学思想 |
| 四、数学素养与数学思想 |
| 第三章 当前中学数学思想教学现状分析 |
| 第一节 中学数学思想教学现状调查的描述分析 |
| 一、中学数学教师思想教学的基本情况 |
| 二、中学教师数学思想教学现状 |
| 第二节 中学教师数学思想教学的影响因素分析 |
| 一、教师自身对于数学思想的认知 |
| 二、学生数学学习的阶段性与连续性 |
| 三、教材与学生发展之间的关联性 |
| 四、教学活动组织的适切性 |
| 第三节 问题与讨论 |
| 第四章 基于深度教学的中学生数学思想建立过程 |
| 第一节 中学生数学思想的形成过程 |
| 一、以观察能力为基础 |
| 二、以猜想能力为辅助 |
| 三、论证思维的建立 |
| 第二节 深度学习以培养学生的数学思想 |
| 一、深度学习之内涵 |
| 二、深度学习与数学思想的建立 |
| 三、深度学习以培养学生的数学思想 |
| 第三节 深度教学以促进数学思想的培养 |
| 一、深度教学之意涵 |
| 二、深度教学与数学思想的建立 |
| 三、深度教学以促进数学思想的培养 |
| 第五章 中学数学思想及其培养策略 |
| 第一节 学科思想的特性与数学思想的价值 |
| 一、学科思想的普遍性与特殊性 |
| 二、数学思想的学科意蕴 |
| 第二节 中学主要数学思想的形成过程 |
| 一、中学数学思想培养所必备的学习经历 |
| 二、中学数学思想培养的教学过程 |
| 三、中学主要数学思想的培养 |
| 第三节 中学主要数学思想的培养策略 |
| 一、分类讨论思想的培养策略 |
| 二、数形结合思想的培养策略 |
| 三、转化或化归思想的培养策略 |
| 四、递推或类比思想的培养策略 |
| 五、构造或建模思想的培养策略 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
（6）HPM视角下中美高中数学教材的比较研究 ——以人教A版与加州McGraw Hill版教材函数内容为例（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究的背景和意义 |
| 1.1.1 从ICME看 HPM |
| 1.1.2 问题的提出 |
| 1.1.3 研究的意义 |
| 1.2 核心名词界定 |
| 1.3 研究的内容 |
| 1.4 阶段性计划与技术路线 |
| 1.4.1 阶段性计划 |
| 1.4.2 研究的技术路线 |
| 1.5 文章的结构 |
| 1.6 创新点 |
| 第2章 文献综述 |
| 2.1 文献搜集的途径 |
| 2.2 数学史融入数学教育的研究 |
| 2.2.1 国外有关数学史融入数学教育的研究 |
| 2.2.2 国内有关数学史融入数学教育的研究 |
| 2.3 数学教材比较研究概况 |
| 2.3.1 国外数学教材比较研究 |
| 2.3.2 国内数学教材比较研究 |
| 2.4 小结 |
| 第3章 研究方案设计 |
| 3.1 研究对象 |
| 3.1.1 比较国家的选择 |
| 3.1.2 比较版本的选择 |
| 3.1.3 比较内容的选择 |
| 3.2 研究理论 |
| 3.2.1 历史发生原理 |
| 3.2.2 “再创造”原理 |
| 3.2.3 历史相似性原理 |
| 3.3 研究方法及数据处理 |
| 3.3.1 函数内容安排的比较 |
| 3.3.2 HPM视角下函数内容数学史运用的比较 |
| 3.3.3 HPM视角下三个函数相关知识模块历史发展与编写顺序的比较 |
| 3.4 研究框架 |
| 第4章 中、美教材函数内容安排比较 |
| 4.1 教材版面设计的比较 |
| 4.1.1 教材目录的比较 |
| 4.1.2 教材栏目结构的比较 |
| 4.2 知识点的比较 |
| 4.2.1 知识点涵盖面的比较 |
| 4.2.2 知识点呈现方式的比较 |
| 4.3 小结 |
| 第5章 HPM视角下函数内容数学史运用的比较 |
| 5.1 比较维度的探讨 |
| 5.1.1 教材维度 |
| 5.1.2 历史维度 |
| 5.2 HPM视角下各知识模块数学史运用的比较 |
| 5.2.1 HPM视角下“集合与函数概念”的比较 |
| 5.2.2 HPM视角下“基本初等函数(Ⅰ)”的比较 |
| 5.2.3 HPM视角下“函数的应用”的比较 |
| 5.2.4 HPM视角下“三角函数”的比较 |
| 5.2.5 HPM视角下“三角恒等变换”的比较 |
| 5.2.6 HPM视角下“解三角形”的比较 |
| 5.2.7 HPM视角下“数列”的比较 |
| 5.3 各维度数学史频数总分布的比较 |
| 5.3.1 维度1：函数知识模块总分布 |
| 5.3.2 维度2：数学史栏目总分布 |
| 5.3.3 维度3：数学史运用方式总分布 |
| 5.3.4 维度4：数学史呈现方式总分布 |
| 5.4 小结 |
| 第6章 HPM视角下三个函数相关知识历史发展与编写顺序的比较 |
| 6.1 函数概念的比较 |
| 6.1.1 函数概念的历史发展 |
| 6.1.2 HPM视角下函数概念编写顺序的比较 |
| 6.2 指数函数的比较 |
| 6.2.1 指数符号的历史发展 |
| 6.2.2 HPM视角下指数函数编写顺序的比较 |
| 6.3 三角函数的比较 |
| 6.3.1 三角函数发展史 |
| 6.3.2 HPM视角下三角函数编写顺序的比较 |
| 6.4 小结 |
| 第7章 总结与展望 |
| 7.1 结论 |
| 7.1.1 函数内容的安排 |
| 7.1.2 数学史的运用 |
| 7.1.3 三个函数相关知识点历史发展与编写顺序 |
| 7.2 建议 |
| 7.3 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士期间发表的论文 |
| 致谢 |
（7）关于二阶线性递归多项式性质及应用的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 选题背景与意义 |
| 1.2 主要研究内容及成果 |
| 第二章 关于新型二阶递归多项式的恒等式 |
| 2.1 新型二阶递归多项式的恒等式 |
| 2.2 相关引理及证明 |
| 2.3 定理的证明 |
| 2.4 推论及证明 |
| 第三章 关于与Dedekind和相关的新和式的恒等式 |
| 3.1 与Dedekind和相关的新和式 |
| 3.2 引理及证明 |
| 3.3 定理的证明 |
| 第四章 总结及展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（9）表面等离子体切伦科夫辐射源的理论研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究的背景和目的以及意义 |
| 1.1.1 研究的背景 |
| 1.1.2 研究的目的 |
| 1.1.3 研究的意义 |
| 1.2 国内外研究历史与现状 |
| 1.2.1 研究历史 |
| 1.2.2 经典理论研究现状 |
| 1.2.3 量子理论研究现状 |
| 1.2.4 理论和实验研究之间的关系 |
| 1.3 本文的主要贡献与创新 |
| 1.3.1 本文的创新点 |
| 1.3.2 本文的主要贡献 |
| 1.4 本文的结构安排 |
| 第二章 经典理论 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.1.1 爱因斯坦求和记号 |
| 2.1.2 电磁理论及其动力学基础 |
| 2.1.3 并矢格林函数 |
| 2.1.4 电子在电磁场中的运动 |
| 2.1.5 表面等离子体激元 |
| 2.2 基于并矢格林函数的场匹配方法 |
| 2.2.1 理论推导 |
| 2.2.1.1 并矢格林函数 |
| 2.2.1.2 色散方程 |
| 2.2.1.3 电子束激励的电磁场 |
| 2.2.2 结果分析 |
| 2.2.2.1 色散曲线 |
| 2.2.2.2 辐射信号和频谱 |
| 2.2.2.3 电磁场空间分布 |
| 2.3 动力学理论 |
| 2.3.1 理论推导 |
| 2.3.1.1 运动方程 |
| 2.3.1.2 电子束的速度扰动 |
| 2.3.1.3 电子束激励的电磁场 |
| 2.3.1.4 数值计算中的离散化 |
| 2.3.2 结果分析 |
| 2.3.2.1 相互作用的两种状态 |
| 2.3.2.2 系统参数对相互作用状态的影响 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 量子理论 |
| 3.1 基本概念 |
| 3.1.1 量子场论的基本概念 |
| 3.1.2 电磁场的量子表述 |
| 3.1.3 电子的量子表述 |
| 3.2 经典电子束的光子激发理论 |
| 3.2.1 理论推导 |
| 3.2.1.1 关于并矢格林函数的两个恒等式 |
| 3.2.1.2 介质中的矢量势—电场强度对易关系 |
| 3.2.1.3 SPPs的量子化 |
| 3.2.1.4 电子束激励的电磁场 |
| 3.2.1.5 信号涨落 |
| 3.2.2 结果分析 |
| 3.2.2.1 辐射信号 |
| 3.2.2.2 信号涨落 |
| 3.3 电子束和光子相互作用的相对性理论 |
| 3.3.1 理论推导 |
| 3.3.1.1 电子束的量子表述 |
| 3.3.1.2 演化算子 |
| 3.3.1.3 电子束激励的电磁场 |
| 3.3.2 结果分析 |
| 3.3.2.1 两种量子理论之间的关系 |
| 3.3.2.2 电子束动量涨落的选择 |
| 3.3.2.3 辐射信号和频谱 |
| 3.3.2.4 近门限反常切伦科夫辐射信号的解释 |
| 3.3.2.5 具有自旋的电子束激发的场 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 表面等离子体切伦科夫辐射源理论的应用举例 |
| 4.1 非对称表面等离子体切伦科夫辐射源 |
| 4.1.1 结构概述 |
| 4.1.2 理论推导 |
| 4.1.2.1 平面型非对称表面等离子体切伦科夫辐射源 |
| 4.1.2.2 圆柱型非对称表面等离子体切伦科夫辐射源 |
| 4.1.3 结果分析 |
| 4.1.3.1 平面型非对称表面等离子体切伦科夫辐射源 |
| 4.1.3.2 圆柱非对称表面等离子体切伦科夫辐射源 |
| 4.1.3.3 总结 |
| 4.2 基于拓扑绝缘体双曲超材料的反向切伦科夫源 |
| 4.2.1 结构概述 |
| 4.2.2 基本概念 |
| 4.2.2.1 拓扑绝缘体 |
| 4.2.2.2 双曲超材料 |
| 4.2.3 理论推导 |
| 4.2.3.1 场匹配方法 |
| 4.2.3.2 电磁能量传播方向 |
| 4.2.4 结果分析 |
| 4.2.4.1 电磁场分布 |
| 4.2.4.2 电场频谱和色散曲线之间的关系 |
| 4.2.4.3 拓扑绝缘体双曲超材料和传统双曲超材料的对比 |
| 4.2.4.4 双曲超材料中的反向切伦科夫效应是否是一种无门限切伦科夫辐射 |
| 4.2.4.5 总结 |
| 4.3 电子束激发的自旋电子学太赫兹源 |
| 4.3.1 结构概述 |
| 4.3.2 理论推导 |
| 4.3.2.1 电子束激发热电子 |
| 4.3.2.2 热电子超扩散 |
| 4.3.2.3 反向自旋霍尔效应 |
| 4.3.2.4 周期结构对电流的散射 |
| 4.3.3 结果分析 |
| 4.3.3.1 热电子的时空分布和反向自旋霍尔效应产生的电荷电流 |
| 4.3.3.2 辐射场频谱和空间分布 |
| 4.3.3.3 辐射功率和效率 |
| 4.3.3.4 电子束激发的自旋电子学太赫兹源与传统自旋电子学太赫兹源的对比 |
| 4.3.3.5 总结 |
| 4.4 基于石墨烯量子切伦科夫效应的X射线源 |
| 4.4.1 石墨烯的性质 |
| 4.4.1.1 石墨烯哈密顿量与狄拉克费米子 |
| 4.4.1.2 石墨烯的杜鲁德电导率 |
| 4.4.2 结构概述 |
| 4.4.3 理论推导 |
| 4.4.3.1 电子束在石墨烯中激发热载流子 |
| 4.4.3.2 热载流子通过量子切伦科夫效应激发高度局域化表面等离子体激元 |
| 4.4.3.3 工作效率 |
| 4.4.3.4 X射线的产生 |
| 4.4.4 结果分析 |
| 4.4.4.1 热载流子分布 |
| 4.4.4.2 高度局域化表面等离子体激元的频谱和工作点 |
| 4.4.4.3 高度局域化表面等离子体激元的发射方向 |
| 4.4.4.4 X射线的产生 |
| 4.4.4.5 总结 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 全文总结与展望 |
| 5.1 全文总结 |
| 5.2 后续工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（10）竞赛数学中的组合恒等式（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一节 组合恒等式与竞赛数学的关系 |
| 1.1 竞赛数学 |
| 1.2 组合数学 |
| 1.3 组合恒等式 |
| 1.4 组合恒等式与竞赛数学的关系 |
| 第二节 竞赛数学中证明组合恒等式的基本方法 |
| 2.1 利用已有的基本组合恒等式及二项式定理 |
| 2.2 复数方法 |
| 2.3 母函数法 |
| 2.4 组合模型法 |
| 2.5 概率法 |
| 2.6 递推法 |
| 2.7 数学归纳法 |
| 2.8 微积分方法 |
| 2.9 利用组合互逆公式 |
| 2.10 WZ 方法 |
| 第三节 组合恒等式在竞赛数学中的应用 |
| 3.1 集合问题 |
| 3.2 路径问题 |
| 3.3 其它计数问题 |
| 3.4 整除问题 |
| 3.5 整式问题 |
| 3.6 不等式问题 |
| 第四节 竞赛数学中有关组合恒等式的问题的发展前景预测与编拟 |
| 4.1 竞赛数学中有关组合恒等式的问题的发展前景预测 |
| 4.2 竞赛数学中有关组合恒等式的问题的编拟 |
| 第五节 结束语 |
| 参考文献 |
| 铭谢词 |
四、证明恒等式的一种思路方法（论文参考文献）
- [1]基于点几何的几何定理机器证明与自动发现[D]. 彭翕成. 华中师范大学, 2020(01)
- [2]二项式恒等式与分拆恒等式的组合证明[D]. 王中平. 重庆大学, 2016(03)
- [3]三角函数恒等式与不等式在中学数学中的应用[D]. 李寒阳. 五邑大学, 2018(05)
- [4]各向异性多孔材料的强度与断裂问题研究[D]. 高岳. 清华大学, 2018(04)
- [5]中学数学思想的培养研究 ——基于深度教学的视角[D]. 张先波. 华中师范大学, 2019(01)
- [6]HPM视角下中美高中数学教材的比较研究 ——以人教A版与加州McGraw Hill版教材函数内容为例[D]. 陈海云. 云南师范大学, 2019(01)
- [7]关于二阶线性递归多项式性质及应用的研究[D]. 关雅靓. 西北农林科技大学, 2020
- [8]Pohozaev恒等式及其在非线性椭圆型方程中的应用[J]. 曹道民,彭双阶,王庆芳. 中国科学:数学, 2016(11)
- [9]表面等离子体切伦科夫辐射源的理论研究[D]. 于成鹏. 电子科技大学, 2020(07)
- [10]竞赛数学中的组合恒等式[D]. 薛展充. 华南师范大学, 2007(01)