一、稀疏线性方程组的一种新解法及其应用（论文文献综述）
李子强[1]（2019）在《IGA与多重网格法联合求解雷诺方程的研究》文中进行了进一步梳理作为流体力学的基本方程,雷诺方程的求解对于很多工程设计有非常重要的参考价值。目前,对于雷诺方程的求解已经有很多数值算法,如有限差分法和有限元法,这些算法经过验证都是可行的。差分法是一种比较快的数值计算方法,然而在精度上却存在一定的缺陷;有限元法求解精度比较高,但是其计算效率比较低。虽然很多学者对其进行了改进,但是依然难以很好解决计算精度和求解效率的问题。为了在满足计算精度的同时提高线性方程组的求解效率,本文对等几何分析（IGA）以及多重网格法进行研究,将两种方法结合起来对雷诺方程进行求解。相比于很多传统数值算法,等几何分析能以较少的自由度实现较高的计算精度,并且这种数值算法避开了有限元法中区域离散化的过程,实现CAD与CAE的无缝对接。因此在保证计算精度的同时,等几何分析的求解效率相较于其他数值算法有很大提升,再配以多重网格法进行加速求解,可以进一步有效提高其求解效率。为了让雷诺方程与等几何分析适配,文中对雷诺方程基本形式进行推导,建立适于等几何分析的求解模型。根据等几何分析的特点,由于其NURBS基函数的非插值性,其边界条件的处理不能用有限元法中常规方法进行加载。为了在等几何分析中有效地对边界条件进行加载,本文提出用配点法加载边界条件。在此基础之上,针对线性方程组的求解,文中先对高斯赛德尔迭代法和SOR迭代法进行研究,然后重点研究多重网格法。文中建立基于h细化的多重网格求解模型,提出基于h细化的网格层间映射矩阵的求解方法,并基于此来对线性方程组进行加速求解。引入算例进行验证计算,发现多重网格法求解效率明显快于高斯赛德尔方法。但在多重网格法迭代过程中,其误差的减小速度在某一误差值处突然变慢,文中对这一现象进行分析和研究,提出自动调整多重网格法,该方法明显改善了收敛速度变慢的现象,使得多重网格法收敛速度变得更快。在这一基础之上,将其与SOR迭代法进行对比,发现大多数情况下多重网格法的求解效率明显优于SOR迭代法,只有当松弛因子的值接近于最佳松弛因子时,SOR迭代法的收敛速度略快于多重网格法。但鉴于目前没有一种行之有效的方法来对最佳松弛因子进行求解,因此多重网格法的求解效率总体上优于SOR迭代法。
蒋攀[2]（2019）在《病态问题的谱修正迭代改进算法的研究及其应用》文中提出在大地测量与地球物理数据处理中,当模型法方程矩阵条件数过大,即法方程呈现病态性时,无论采用经典最小二乘平差原理还是近代总体最小二乘平差原理,如果观测向量发生了微小扰动,必将导致解的最终估值发生较大变动,使得解的均方误差较大,与真值的偏离程度较远,精度降低。病态问题在测绘数据处理中广泛存在,例如控制网平差解算、GRACE卫星重力反演等方面,其带来的不利影响是比较严重的,所以如何采取有效的措施和方法对病态性进行削弱或消除就显得尤为重要。本文系统地介绍了当前国内外测绘领域中病态问题的解算原理和方法,分析并总结现有方法的优点与缺陷。重点对病态问题的谱修正迭代法及其改进算法进行研究分析,在总结和分析这些算法优缺点基础上引入岭参数和泛函矩阵,得到一种最小二乘谱修正迭代改进算法。对于总体最小二乘谱修正迭代改进算法,通过残差控制谱修正因子的取值,得到一种自适应病态总体最小二乘谱修正迭代改进算法,并将其应用到大地测量与地球物理数据处理中。主要研究内容和创新点如下:针对大旋转角三维空间直角坐标转换模型法方程矩阵病态性,基于四元数构造旋转矩阵,采用本文得到的方法,引入岭参数和泛函矩阵改进谱修正迭代法,这样可以有效地降低法方程病态性带来的不利影响,使得方程求解达到稳定,而且方程迭代求解时,未知参数解的最终估计值更接近于真值。利用模拟数据和实测数据对该算法进行验证,并与其它方法进行对比,结果表明本文算法具有不依赖转换参数初值、收敛速度快、全局收敛、解是无偏、便于程序实现等特点;从而为通用坐标转换提供了一种新途径。针对高速铁路CPIII平面控制网数据处理中忽略高级控制点（CPI点或CPII点）本身的误差而造成的整体性变形扭曲的情况,同时顾及模型法方程矩阵病态性,利用总体最小二乘原理,得到一种基于四参数平面坐标转换的总体最小二乘改进谱修正迭代算法的数据处理方法。通过实测数据进行验证,结果表明该方法采用四参数坐标转换原理,考虑尺度因子的影响,更加符合实际情况;并且同时考虑系数矩阵和观测值存在误差的情况,理论上更加合理,结果的精度更好。在利用GRACE卫星观测数据计算地球重力场模型时,针对现有方法忽略系数矩阵含有误差的情况,采用总体最小二乘原理,得到一种卫星重力反演时基于总体最小二乘的参数求解方法。通过实测数据进行验证,结果表明该方法同时考虑系数矩阵和观测值存在误差,理论上更加合理,结果的精度更好。
秦小蓉[3]（2017）在《关于正定Toeplitz线性方程组定常迭代法的研究》文中指出Toeplitz和Toeplitz相关的线性方程组在数学和工程中的应用越来越广泛,包括信息与图像处理、排队论与控制论、微分方程与积分方程的数值解等,所以系统地考察Toeplitz线性方程组的有效算法,具有重大的科学价值.直接法及迭代法是目前求解此类型线性方程组的两种主要的方法,一般来说直接解法数值不稳定,而迭代解法较之更稳定,并且在实际的Toeplitz线性方程组求解过程中,一个有效的迭代格式能够为Krylov子空间法提供有效的预处理子.这些都极大地鼓舞着科学工作者去探讨快速有效的算法来得到Toeplitz线性方程组的解.本论文主要研究Hermitian正定Toeplitz线性方程组Tx = b的迭代解法.众所周知,若T是一个Toeplitz矩阵,那么T存在一个循环与反循环分裂T = C-S,其中C为循环矩阵,S为反循环矩阵（记为CSCS）.基于该CSCS分裂,本文首先构造了古典的CSCS分裂方法,然后进一步提出了带位移的CSCS分裂方法来求解Hermitian正定Toeplitz线性方程组,我们对各种方法的收敛性做了理论分析,为了证明收敛性结论的有效性,我们做了大量数值实验,实验结果表明:（1）若Toeplitz矩阵T分裂形成的的循环反循环矩阵T= C-S为P-正则分裂,则迭代矩阵的谱半径小于1,且原线性方程组收敛于唯一解,另外,与Gauss-Seidel（记为GS）迭代法相比,CSCS迭代具有更快的收敛速度;（2）无论CSCS分裂迭代法是否具有收敛性,都存在一个参数α,使得带位移的CSCS分裂解法收敛速度明显快于Gauss-Seidel法和古典CSCS迭代法,这些更加凸显了我们方法的优越性.本论文总共分为六章,章节介绍如下:第一章是绪论,简要介绍了 Toeplitz线性方程组的研究背景、研究现状、本论文的研究内容以及创新之处.第二章为预备知识,简要介绍文中经常用到的定义、引理及基本性质.第三章主要阐述几种基本的迭代法,有古典迭代法中的Gauss-Seidel、Jacobi、SOR和SSOR迭代法.第四章第一部分主要研究Hermitian正定Toeplitz线性方程组的循环和反循环分裂（CSCS）迭代法,第二部分是关于古典Gauss-Seidel迭代法,并对二者的算法进行了比较.第五章针对Hermitian正定Toeplitz线性方程组提出了一种新的的解法——带位移的循环和反循环分裂迭代法,并分析了其收敛性质.第六章为数值实验,针对不同形式的分裂矩阵,分析数值实验结果并将各种算法进行比较,最后得出结论.
顾先明[4]（2017）在《大型线性系统与分数阶方程求解及在电磁计算中的应用》文中研究指明科学计算中的大量问题都与如何高效地求解大型线性系统有关。如电磁散（辐）射数值仿真,材料力学中的近场动力学特征建模,模拟物质的反常（对流）扩散过程中的分数阶微分方程求解等。因此,线性方程组的高性能算法研究也成为科学计算中活跃的分支之一。通常情况下,许多工程仿真所涉及的线性方程组的系数矩阵都是具有某些特定的结构,如何科学合理地挖掘和利用这些结构性质来构造快速稳健的线性系统解法是一个重要的课题。本文针对几类具有特殊结构的大型线性方程组的高性能解法进行了系统的研究,特别是研究了复对称线性系统的Krylov子空间算法、求解具有Toeplitz矩阵结构的线性系统的预处理迭代法以及求解位移线性方程组的迭代法。研究内容与主要成果可以归纳如下:1.针对求解大型复对称线性系统问题,两种流行的Krylov子空间算法（即COCG和COCR）都是基于斜投影的原理创建的,在实际计算中常常出现不规则的收敛行为,甚至发生停滞或中断。为了改善这一数值不足,推导出两类新的Krylov子空算法,即QMRCOCG算法和QMRCOCR算法,改善了COCG算法和COCR算法法的数值行为,消除了残差收敛行为不规则的现象。最后,将新导出的两类算法应用于三组典型的电磁仿真模型问题的求解中,数值实验表明,这两种新方法可有效的平滑残差曲线,保证了数值计算的稳健性。2.对Clemens等在1996年提出的SCBiCG（Γ,n）算法的回溯研究发现,该算法实际上包含了van der Vorst和Melissen提出的COCG算法,Clemens等提出的BiCGCR算法以及Sogabe和Zhang提出的COCR算法。将SCBiCG类算法的原理等做了系统的数学阐述,证明了BiCGCR算法和COCR算法是数学上等价的,但由于后者只需要两次内积运算而略具优势。最后,通过求解三组典型的电磁计算模型问题产生的离散线性系统实验,对比了COCG,BiCGCR,COCR和SQMR四种Krylov子空间算法的数值表现。BiCGCR和COCR在数值收敛行为也非常相似,且比COCG算法的收敛行为要更平滑。此外针对准静磁场数值离散系统建立了一种两步预处理技术。数值实验证实了该预处理技术特别适合处理上述准静磁场仿真问题。3.材料科学中的近场动力学建模中常用到伪积微分方程,由于算子的非局部性,使得该类方程的数值离散产生稠密线性方程组。Tian和Wang于2013年发现了该离散线性系统具有Toeplitz结构,并利用了快速Toeplitz矩阵-向量乘法来提升CG算法的计算效率。为了提高CG算法处理该病态Galerkin离散系统的效率,本文挖掘了系数矩阵具有Toeplitz结构加对称三对角部分的信息之后改进了经典的循环预处理子,并分析了预处理矩阵的特征值几乎都聚集在1附近。最后,数值实验说明了所提出的新循环预处理子在加速CG算法的计算效率上是有效的。4.将Sogabe提出的BiCR算法和Abe及Sleijpen提出的BiCRStab算法推广到求解位移线性系统问题,并成功导出了两种新的Krylov子空间算法,即位移BiCR算法和位移BiCRStab算法。因为这两种算法法保持了Krylov子空间的位移不变性,从而在求解位移线性方程组时需要的矩阵-向量乘法个数等价于求解单个系统时的矩阵-向量乘法次数,而且新算法大大减少了计算量和存储量。数值实验表明,这两个新方法都分别比位移BiCG和位移BiCGStab算法收敛的快,而且通常比后两者具有更光滑的残差收敛行为。5.针对空间分数阶扩散方程,设计了一种新的数值求解格式。首先对分数阶扩散方程做空间半离散,将原问题转化为求解一个常微分方程组。最后利用无条件稳定的时间离散方法将离散问题转化为一个大型结构线性系统。因其系数矩阵具有Toeplitz结构,则Krylov子空间算法并不需要存储系数矩阵来快速地求解该离散线性系统。为了加快算法的收敛速度,构造了块循环（block circulant,BC）及带循环块的块循环（block circulan with circulant block,BCCB）两种预处理子。并通过理论和数值实验分析了所设计的快速算法能比较有效地处理分数阶扩散方程,同时避免经典的显隐式格式所面临的复杂稳定性分析等问题。
万新儒[5]（2016）在《电力系统动态有功功率优化算法研究》文中研究说明如今,随着电力系统及电力网络的发展壮大,电力系统动态有功优化调度占据着无可替代的地位。本文主要在电力系统计算和动态有功优化领域进行了新的探索和研究,内容主要包括电力系统潮流计算、网损微增率、优化调度等方面。首先,本文主要针对潮流计算中导纳矩阵的存储、线性方程组的求解进行改进优化,提出相应的快速方法,通过算例分析,证明快速方法的可行性及高效性。其次,介绍了三种快速潮流计算的方法,通过算例与传统的方法相比较,新方法计算速度大幅提高,达到快速求取潮流的目的。再次,着重介绍了两种常用的网损微增率算法:直角坐标导纳矩阵法和雅可比矩阵法。在对这两种算法法进行简要推导的同时,并对其进行改进优化。通过算例纵向对比,改进算法大幅提高了网损微增率的求解速度,这为之后网损微增率算法应用到动态有功优化奠定了基础。然后,简单介绍了从静态有功优化过渡到动态有功优化的模型和经典算法,并运用导纳矩阵网损微增率方法进行动态有功优化,可使优化结果更加精确,目标函数更小,经济效益得到最大的提升。最后,文章将各个部分的改进算法融入整个动态有功优化过程中,与未进行改进的动态有功优化算法进行计算时间对比,验证改进算法的可行性和快速性。
仲红秀[6]（2016）在《几类非线性问题的迭代解法及其应用》文中指出本文主要研究了以下内容：非线性方程组F（x）=0求解；带有多右端项的线性方程组AX=B求解;阻尼陀螺系统Q（λ）≡λ2M+λ（D+G）+K的二次反特征值问题求解;线性响应特征值问题求解.具体如下：1.对于求解带有大型稀疏复对称Jacobian矩阵的非线性方程组问题,以修正Newton法作为外迭代,预条件修正HSS方法作为内迭代,提出MN-PMHSS算法,并给出新方法在Holder连续条件下的局部收敛特性,该条件要比许多文献中使用的Lipschtiz连续条件适用范围更广泛.2.对于求解Banach空间上的非线性方程组问题,调和中值Newton算法是一种高效的Newton类算法.采用优函数方法给出该算法的Newton-Kantorovich类收敛分析,扩大和提高了其在递推关系收敛性分析中的收敛半径和R-阶收敛阶数.3.由于基底的病态条件数,在求解带有多右端项的大型稀疏非Hermitian线性方程组时,块Simpler GMRES数值上存在不稳定特性,本文理论分析了此特性,并提出改进方法,即自适应块Simpler GMRES算法.更进一步,本文对新算法采用重启动以及预条件策略,提出高速有效的压缩重启动块FAdSGMRES法.4.给定k≤n对特征对,构造出阻尼陀螺系统二次反特征值问题的所有参数矩阵的一般解,同时给出了无阻尼陀螺系统的一般解形式以及在K<0时的一个特解.5.提出加权Golub-Kahan-Lanczos双对角化算法,用来求解两个对称正定矩阵乘积KM的特征值问题,并给出在求极端特征值时的收敛分析.同时应用新算法求解线性响应问题的极端特征值,并分析新算法与经典CG法之间的联系.
李好[7]（2016）在《改进的参数化水平集拓扑优化方法与应用研究》文中进行了进一步梳理结构拓扑优化是指在给定的设计空间内,寻找满足约束条件并使结构某项或多项性能达到最优的优化设计方法。结构拓扑优化应用领域涵盖了航空航天、汽车工业、生物工程、材料工程、土木水利以及能源工业等,其不仅可以提高结构性能,减轻结构重量,缩短研发周期,还可以应用于传统设计方式无法解决的复杂结构的创新性设计问题。随着计算机技术、有限元方法和力学理论的迅速发展,结构拓扑优化方法得到了一定的发展。基于水平集的拓扑优化方法与传统拓扑优化方法相比,能够实现拓扑和形状的同时优化,且设计结果具有光滑的结构边界和清晰的几何信息,因此得到了广泛的关注和研究。然而传统水平集方法存在的一些缺陷,影响其进一步应用与发展。本文针对传统水平集方法存在的数值计算困难,提出相应的解决措施,并将所提出的方法推广并应用到多工况结构拓扑优化、结构频率响应拓扑优化、挤压成型结构拓扑优化以及多孔材料/结构一体化拓扑优化中。首先,研究了基于参数化水平集的结构拓扑优化方法。为克服传统水平集方法的数值计算困难,提出了基于紧支径向基函数（CSRBF）和离散小波分解（DWT）的参数化水平集方法,构建了基于参数化水平集的结构刚度拓扑优化模型,开展了基于形状导数的敏度分析,设计了基于优化准则法的优化算法,实现了基于参数化水平集的结构拓扑优化设计。在所提出的方法中,紧支径向基函数用于对水平集函数进行插值,保留了传统水平集方法的优点,有效避免了直接求解复杂的Hamilton-Jacobi偏微分方程所导致的数值计算困难,离散小波分解用于压缩紧支径向基函数的插值矩阵,进一步提高了求解效率。其次,研究了参数化水平集方法在多工况结构拓扑优化中的应用。针对该问题的研究现状,结合参数化水平集方法,提出了基于归一化指数加权准则（NEWC）的多目标优化建模方法,消除了载荷病态问题,保证了在Pareto前端非凸时也能找到Pareto最优解。针对子目标权重的确定,提出了基于模糊多属性群体决策（FMAGDM）的权重计算方法,减少了主观因素的影响。首次提出了考虑扩展最优性的多工况结构拓扑优化设计,实现了各子工况下结构柔度和结构体积分数的同时优化,得到了重量更轻的结构。第三,研究了参数化水平集方法在结构频率响应拓扑优化中的应用。针对不同类型的结构频率响应,分别提出了基于参数化水平集的结构全局和局部频率响应拓扑优化方法,保证了光滑的结构边界,并有效地提升了结构的动态性能。针对频带激励下结构频率响应的有限元分析过程,引入了多频拟静力Ritz向量（MQSRV）进行有限元模型降阶,减少了反复调用有限元分析所产生的计算成本。第四,研究了参数化水平集方法在挤压成型结构拓扑优化中的应用。以结构边界和截面两个方面为切入点,研究挤压成型结构拓扑优化技术。针对结构边界问题,采用所提出的参数化水平集方法构建了面向挤压成型工艺的结构拓扑优化模型,保证了最优拓扑结构具有完整的边界几何信息。针对相同截面的设计要求,引入了挤压成型约束,并提出了截面投影法处理挤压成型约束,确保了优化设计结果的可制造性,提高了方法的优化效率。第五,研究了参数化水平集方法在多孔材料/结构一体化拓扑优化中的应用。针对当前材料/结构一体化拓扑优化在计算效率和加工成本方面的问题,提出了一种两阶段的设计方法。在宏观结构布局优化阶段,采用SIMP材料密度插值模型,获得了结构域内的分层材料密度分布;在材料微结构拓扑优化阶段,采用参数化水平集方法描述微结构边界,获得了边界光滑且宏观等效性能各异的材料微结构构型。通过组合两阶段的优化结果,得到了具有多种功能特性的最优材料/结构。第六,将所提出的方法应用于两个实际工程案例。结果表明,所提出方法极大地简化了结构设计流程,提升了结构性能,实现了工程产品的轻量化设计,有效地支持了工程产品的结构优化设计。最后,总结了本文的研究成果及主要创新点,展望了未来的研究工作。
李国重,焦玉兰,贾利新[8]（2015）在《一种解线性方程组的新方法》文中研究说明利用初等行变换给出了线性方程组的一种新解法,此方法可以直接得到齐次线性方程组的一个基础解系;对于非齐次线性方程组,此方法不仅可以判断方程组是否有解,而且在有解时还可以同时得到方程组的一个特解和对应的齐次线性方程组的基础解系.
叶潇潇[9]（2015）在《求解线性方程组的预处理方法》文中进行了进一步梳理本文主要研究求解线性方程组4x=b的预处理方法.当系数矩阵A是大型矩阵或者它的条件数很大的时候,运用避免求逆的牛顿迭代法,切比雪夫迭代法,以及本文新加的基于预处理牛顿的迭代格式和基于修正牛顿的迭代格式来得到预处理子G,这个G是矩阵A逆的逼近.在此基础上,将得到的预处理子G运用到.Jacobi迭代中,得到迭代格式,用来求解线性方程组.本文的迭代格式在稳定性,收敛性和精确性方面与GMRES方法和Matlab自带求逆方法比较具有一定的优势.本文一共分为四章内容：第一章,主要介绍了本文的研究背景和研究内容,引入本文所涉及的一些概念,定理.第二章,首先介绍避免求逆的牛顿迭代法和切比雪夫迭代法.接着给出本文新加的基于预处理牛顿的迭代格式和基于修正牛顿的迭代格式,并分析了他们的收敛性.第三章,将第二章中给出的四个迭代格式得到的预处理子G运用到Jacobi迭代中,构成求解线性方程组的预处理方法.第四章,分别将本文所给的方法运用到具体的数值例子中.在例一和例二中将所得的结果和GMRES方法进行比较,在例三中将所得的结果与Matlab自带求逆的结果进行比较.
贺启[10]（2012）在《基于仿射算法的隧道衬砌承载区间分析》文中进行了进一步梳理近些年，随着大规模地对地下工程进行开发与建设，如何确保地下工程的结构安全是一个至关重要的问题。由于岩土体的形成非常复杂以及人们对岩土体认知的有限性，从而导致隧道衬砌结构内力分析只能提供输入参数的变化范围。针对地下工程的特点，选取区间模型对地下结构进行内力区间分析。然而区间运算不可避免的产生区间扩张，为了限制由于相关性导致的区间扩张，引入仿射算法抑制区间扩张。（1）首先分析了区间数学和仿射算术的基本理论、区间有限元的基本理论。针对有限元的求解过程中导致的区间扩张问题，分析了运算顺序处理方法、截断处理方法、区间摄动法等几种求解区间有限元模型的方法。最终选定子区间摄动法作为求解区间有限元的方法，然而子区间摄动法在集成刚度矩阵过程中存在的区间扩张问题，而仿射算术能够抑制区间扩张。为此，将仿射算法引入至集成刚度矩阵中，提出了基于仿射算法的子区间摄动法。本文在有限元的基础上，利用matlab语言编写了相应的计算程序。（2）地下工程的参数变异范围较大，为了达到子区间摄动法的收敛条件，势必要求子区间划分数目较多，计算量较大，为此引入了均匀实验设计对子区间组合进行设计，并采用算例验证该方法的可行性。（3）地下工程的弹性支承法模型有着适用面广，计算简单等优点，因此选取其作为区间有限元计算的结构力学模型，形成了基于仿射算法的子区间摄动法在地下工程中的应用；并以某隧道的一段截面进行计算为例，进行了不同方法的比较。结果显示，本文方法比其他方法更高效。（4）基于矩阵形式的仿射算法采用矩阵形式描叙能够有效避免仿射算法本身的局限性，而响应面法却能提供适合于矩阵形式的仿射算法的结构功能函数形式。因此本文将基于矩阵形式的仿射算法与响应面法相结合，提出了一种求解隧道衬砌内力的简便方法。在应用响应面法求解结构功能函数中，采用均匀实验设计构造样本点，并用响应面法构造结构功能函数。以一个工程实例进行验证，可知两者结合本文方法，可以快速简便的处理地下工程中的内力区间分析。
二、稀疏线性方程组的一种新解法及其应用（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、稀疏线性方程组的一种新解法及其应用（论文提纲范文）
（1）IGA与多重网格法联合求解雷诺方程的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景 |
| 1.2 雷诺方程数值解法研究现状 |
| 1.3 等几何分析研究现状 |
| 1.4 线性方程组解法研究现状 |
| 1.5 论文的研究内容与结构 |
| 1.5.1 论文的研究内容 |
| 1.5.2 文章结构 |
| 第2章 雷诺方程的等几何分析求解模型的建立 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 样条基本理论 |
| 2.2.1 B样条 |
| 2.2.2 NURBS样条 |
| 2.3 基于NURBS等几何分析基本理论 |
| 2.3.1 偏微分方程的边值问题 |
| 2.3.2 等效积分弱形式及伽辽金法 |
| 2.3.3 矩阵方程 |
| 2.3.4 矩阵组装及高斯积分 |
| 2.3.5 等几何分析流程 |
| 2.4 求解雷诺方程的等几何分析 |
| 2.4.1 雷诺方程的推导 |
| 2.4.2 雷诺方程的弱形式 |
| 2.4.3 刚度矩阵的推导及其组装 |
| 2.5 等几何分析求解效果 |
| 2.5.1 求解模型 |
| 2.5.2 求解精度比较 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 边界条件的加载方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 边界条件的非常规加载方法 |
| 3.2.1 控制点的分类 |
| 3.2.2 线性方程组的变换 |
| 3.3 求解效果及分析 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 线性方程组的快速求解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 迭代法 |
| 4.2.1 迭代形式的建立 |
| 4.2.2 计算效果 |
| 4.3 SOR迭代法 |
| 4.3.1 SOR迭代形式的建立 |
| 4.3.2 收敛性判据 |
| 4.3.3 松弛因子的选取 |
| 4.3.4 SOR迭代法的求解效果 |
| 4.4 多重网格法 |
| 4.4.1 多重网格法的基本思想及种类 |
| 4.4.2 多重网格法的基本流程 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 基于IGA的多重网格法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 多重网格的生成 |
| 5.3 多重网格法映射矩阵 |
| 5.4 重网格法的求解效果 |
| 5.4.1 多重网格法求解效果 |
| 5.4.2 结果分析 |
| 5.4.3 自动调整多重网格法 |
| 5.4.4 自动调整多重网格法与SOR迭代法收敛速度比较 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 结论与展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录1 攻读硕士学位期间发表的论文 |
（2）病态问题的谱修正迭代改进算法的研究及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 有偏估计方法研究现状 |
| 1.2.2 无偏估计方法研究现状 |
| 1.2.3 智能搜索算法研究现状 |
| 1.2.4 其他方法研究现状 |
| 1.3 现有病态问题求解方法的优缺点 |
| 1.4 本文主要内容和结构 |
| 第2章 谱修正迭代法及其改进算法基本理论 |
| 2.1 最小二乘谱修正迭代法 |
| 2.1.1 谱修正迭代法 |
| 2.1.2 谱修正迭代法的无偏性和收敛性 |
| 2.1.3 改进谱修正迭代法 |
| 2.1.4 算例与分析 |
| 2.2 总体最小二乘谱修正迭代法 |
| 2.2.1 总体最小二乘问题 |
| 2.2.2 总体最小二乘谱修正迭代法 |
| 2.2.3 改进的总体最小二乘谱修正迭代法 |
| 2.2.4 一种总体最小二乘谱修正迭代改进算法 |
| 2.3 算例与分析 |
| 2.3.1 算例1 |
| 2.3.2 算例2 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 最小二乘谱修正迭代改进算法在大旋转三维坐标转换中的应用 |
| 3.1 三维空间直角坐标转换的基本原理和方法 |
| 3.1.1 数学模型 |
| 3.1.2 现有方法及其分析 |
| 3.2 基于四元数的三维坐标转换的谱修正迭代改进算法 |
| 3.2.1 单位实四元素与三维坐标转换 |
| 3.2.2 三维坐标转换模型求解 |
| 3.3 算例与分析 |
| 3.3.1 算例1 |
| 3.3.2 算例2 |
| 3.3.3 算例3 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 总体最小二乘谱修正迭代改进算法的应用 |
| 4.1 CPIII平面网数据处理的应用 |
| 4.1.1 现有方法及其分析 |
| 4.1.2 四参数坐标转换模型 |
| 4.1.3 四参数模型的总体最小二乘改进谱修正迭代解法 |
| 4.1.4 CPIII平面控制网数据处理新方法 |
| 4.1.5 算例1 |
| 4.1.6 算例2 |
| 4.2 GRACE卫星重力反演的应用 |
| 4.2.1 现有方法及其分析 |
| 4.2.2 基于总体最小二乘原理的参数估计新方法 |
| 4.2.3 算例及其分析 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 结论与展望 |
| 结论 |
| 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 发表的论文及科研成果 |
（3）关于正定Toeplitz线性方程组定常迭代法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与现状 |
| 1.2 论文的研究内容 |
| 1.3 本文的创新之处 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 相关定义的介绍 |
| 2.2 相关引理的介绍 |
| 第三章 常用迭代法介绍 |
| 3.1 迭代法介绍 |
| 3.2 几类常见的古典迭代法 |
| 第四章 Toeplitz线性方程组的古典CSCS迭代法和GS迭代法 |
| 4.1 古典的CSCS迭代解法 |
| 4.2 古典的GS迭代解法 |
| 第五章 Toeplitz线性方程组带位移的CSCS迭代解法及其收敛性分析 |
| 第六章 数值实验 |
| 6.1 当分裂(?)=C~*+S正定时,CS迭代vs GS迭代 |
| 6.2 当分裂(?)=C~*+S不是正定矩阵时,CS(α)迭代vs GS迭代 |
| 6.3 当分裂(?)=C~*+S是正定矩阵时,CS(α)迭代vs CS迭代vs GS迭代 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录(攻读学位期间所发表的学术论文) |
（4）大型线性系统与分数阶方程求解及在电磁计算中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究工作的背景与意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 复对称线性系统的Krylov子空间迭代解法 |
| 1.2.2 Toeplitz类线性系统的求解方法 |
| 1.2.3 位移线性方程组的求解 |
| 1.2.4 分数阶扩散方程的数值解法 |
| 1.3 本文的主要内容和方法 |
| 1.4 基本符号 |
| 第二章 求解电磁仿真中复对称线性系统COCG算法和COCR算法的两个QMR型变形 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 COCG算法和QMR SYM算法 |
| 2.2.1 COCG算法 |
| 2.2.2 QMR SYM算法 |
| 2.3 COCR算法和QMR CA算法 |
| 2.3.1 COCR算法 |
| 2.3.2 QMR CA算法 |
| 2.4 QMRCOCG算法和QMRCOCR算法 |
| 2.4.1 QMRCOCG算法 |
| 2.4.2 QMRCOCR算法 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 求解复对称线性系统的SCBiCG型算法及在几个电磁学模型仿真中的应用 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 CBiCG算法 |
| 3.3 求解复对称线性系统的SCBiCG型算法 |
| 3.3.1 SCBiCG型算法之一：COCG算法 |
| 3.3.2 SCBiCG型算法之二：BiCGCR/COCR算法 |
| 3.4 预处理CBiCG算法 |
| 3.4.1 预处理COCG算法 |
| 3.4.2 预处理COCR算法 |
| 3.4.3 BiCGCR和COCR两种算法的数学等价性 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 求解近场动力学模型仿真问题的循环预处理迭代算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数学模型及其有限元离散 |
| 4.3 创建循环预处理子的过程 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 求解一类位移线性系统的BiCR型算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 BiCR型算法 |
| 5.2.1 BiCR算法 |
| 5.2.2 BiCRStab算法 |
| 5.3 BiCR型算法的位移版变形算法 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.4.1 关于位移BiCR和位移BiCG两种算法的结果 |
| 5.4.2 关于位移BiCRStab和位移BiCGStab两种算法的结果 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 基于Strang型预处理的BVM方法求解分数阶扩散方程 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 FDEs的半离散化形式和边值方法 (BVM) |
| 6.2.1 使用有限差分方法半离散FDEs |
| 6.2.2 边值方法 (BVMs) |
| 6.3 预处理子的创建和算法收敛性分析 |
| 6.3.1 预处理子的创建 |
| 6.3.2 收敛性和计算复杂度分析 |
| 6.4 数值实验 |
| 6.5 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录A 位移BiCGStab算法 |
| 攻读博士学位期间取得的研究成果 |
（5）电力系统动态有功功率优化算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 电力系统有功优化国内外研究现状 |
| 1.2.1 导纳矩阵的存储 |
| 1.2.2 线性方程组的求解 |
| 1.2.3 电力系统潮流计算 |
| 1.2.4 网损微增率 |
| 1.2.5 动态有功优化 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 电力系统中导纳矩阵的快速存储 |
| 2.1 导纳矩阵的传统存贮方法 |
| 2.2 导纳矩阵的快速存贮方法 |
| 2.2.1 只存储上三角导纳矩阵的非零元素 |
| 2.2.2 只存储上下三角导纳矩阵的非零元素 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 电力系统中线性方程组的求解 |
| 3.1 高斯消元法 |
| 3.1.1 高斯消元的矩阵描述 |
| 3.1.2 快速高斯消元法 |
| 3.1.3 计算举例及结论 |
| 3.2 LR三角分解法 |
| 3.2.1 LR三角分解法的矩阵描述 |
| 3.2.2 快速LR三角分解法 |
| 3.2.3 计算举例及结论 |
| 3.3 因子表法 |
| 3.3.1 因子表法的矩阵描述 |
| 3.3.2 快速因子表法 |
| 3.3.3 计算举例及结论 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 电力系统潮流计算 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 电力系统基本潮流算法 |
| 4.3 高斯-赛德尔法 |
| 4.3.1 高斯-赛德尔法 |
| 4.3.2 快速高斯-赛德尔法 |
| 4.3.3 计算举例及结论 |
| 4.4 牛顿-拉夫逊法 |
| 4.4.1 牛顿-拉夫逊法 |
| 4.4.2 快速牛顿-拉夫逊法 |
| 4.4.3 计算举例及结论 |
| 4.5 PQ分解法 |
| 4.5.1 PQ分解法 |
| 4.5.2 快速PQ分解法 |
| 4.5.3 计算举例及结论 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 网损微增率 |
| 5.1 直角坐标导纳矩阵法 |
| 5.1.1 导纳矩阵法 |
| 5.1.2 快速导纳矩阵法 |
| 5.1.3 计算举例及结论 |
| 5.2 雅克比矩阵法 |
| 5.2.1 雅可比矩阵法 |
| 5.2.2 快速雅可比矩阵法 |
| 5.2.3 计算举例及结论 |
| 5.3 本章小结 |
| 第六章 经典法动态有功优化 |
| 6.1 静态有功优化模型 |
| 6.2 动态有功优化模型 |
| 6.3 快速动态有功优化算法 |
| 6.4 计算分析 |
| 6.5 本章小结 |
| 第七章 结论与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 攻读学位期间的研究成果 |
（6）几类非线性问题的迭代解法及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景与意义 |
| 1.2 本文的结构与主要工作 |
| 1.3 本文的创新点 |
| 第二章 求解带有复对称Jacobian矩阵的非线性方程组的MN-PMHSS算法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 修正Newton-PMHSS(MN-PMHSS)迭代方法 |
| 2.3 局部收敛性分析 |
| 2.4 数值算例 |
| 第三章 关于优函数方法求证调和中值Newton法的半局部收敛特性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 收敛分析 |
| 3.3 数值算例 |
| 第四章 求解带有多右端项线性方程组的FAd-SBGMRES-DR算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 块Simpler GMRES算法 |
| 4.3 自适应块Simpler GMRES算法 |
| 4.4 自适应块Flexible Simpler GMRES的压缩重启动算法 |
| 4.5 数值算法 |
| 第五章 关于求解阻尼陀螺系统的二次反特征值问题 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 问题1的一般解 |
| 5.3 D=0情形时的解 |
| 5.5 数值算例 |
| 第六章 加权Golub-Kahan-Lanczos算法及其应用 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 预备知识 |
| 6.3 加权Golub-Kahan-Lanczos算法 |
| 6.4 对线性响应特征值的应用 |
| 6.5 数值算例 |
| 6.6 与CG法的联系 |
| 第七章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 博士在读期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（7）改进的参数化水平集拓扑优化方法与应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 课题的来源、背景、目的及意义 |
| 1.2 结构拓扑优化方法的国内外研究综述 |
| 1.3 结构拓扑优化应用的国内外研究综述 |
| 1.4 现状总结与问题分析 |
| 1.5 本文的主要工作和结构 |
| 2 基于CSRBF和DWT的参数化水平集拓扑优化方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 参数化水平集方法 |
| 2.3 基于参数化水平集的结构拓扑优化模型 |
| 2.4 形状导数与敏度分析 |
| 2.5 基于OC的优化算法研究 |
| 2.6 实例计算与结果分析 |
| 2.7 本章小结 |
| 3 基于参数化水平集的多工况结构拓扑优化设计 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 考虑扩展最优性的多工况结构拓扑优化问题 |
| 3.3 基于参数化水平集的多工况结构拓扑优化模型 |
| 3.4 敏度分析与优化算法 |
| 3.5 考虑扩展最优性的多工况结构拓扑优化设计流程 |
| 3.6 实例计算与结果分析 |
| 3.7 本章小结 |
| 4 基于参数化水平集的结构频率响应拓扑优化设计 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 结构频率响应拓扑优化问题 |
| 4.3 基于参数化水平集的结构频率响应拓扑优化模型 |
| 4.4 有限元模型降阶策略 |
| 4.5 敏度分析与优化算法 |
| 4.6 实例计算与结果分析 |
| 4.7 本章小结 |
| 5 基于参数化水平集的挤压成型结构拓扑优化设计 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 挤压成型结构拓扑优化问题 |
| 5.3 挤压成型结构拓扑优化模型 |
| 5.4 敏度分析与优化算法 |
| 5.5 实例计算与结果分析 |
| 5.6 本章小结 |
| 6 基于参数化水平集的多孔材料/结构一体化拓扑优化设计 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 基于均匀化法的材料等效性能计算简介 |
| 6.3 多孔材料/结构一体化拓扑优化问题 |
| 6.4 多孔材料/结构一体化拓扑优化模型 |
| 6.5 敏度分析与优化算法 |
| 6.6 多孔材料/结构一体化拓扑优化设计流程 |
| 6.7 实例计算与结果分析 |
| 6.8 本章小结 |
| 7 工程案例应用 |
| 7.1 卫星推进舱主承力结构拓扑优化设计 |
| 7.2 水陆两栖飞机起落架加强框及其关键零件拓扑优化设计 |
| 7.3 本章小结 |
| 8 总结与展望 |
| 8.1 全文总结 |
| 8.2 创新之处 |
| 8.3 工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录1攻读博士学位期间发表学术论文目录 |
（9）求解线性方程组的预处理方法（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研宄背景 |
| 1.2 研究内容 |
| 2 线性方程组预处理子的求解 |
| 2.1 牛顿迭代法和切比雪夫迭代法 |
| 2.2 基于预处理牛顿的迭代格式 |
| 2.3 基于修正牛顿的迭代格式 |
| 3 求解线性方程组的预处理方法 |
| 3.1 求解预处理线性方程组的Jacobi迭代法 |
| 3.2 收敛性分析 |
| 4 数值实验模拟与分析 |
| 4.1 一个三对角矩阵 |
| 4.2 Poisson方程离散的矩阵 |
| 4.3 热传导反问题的求解 |
| 4.3.1 一个空间变量的热传导反问题 |
| 4.3.2 两个空间变量的热传导反问题 |
| 参考文献 |
（10）基于仿射算法的隧道衬砌承载区间分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 概述 |
| 1.2 地下结构的不确定性 |
| 1.2.1 地下岩体固有的不确定性 |
| 1.2.2 统计所带来的不确定性 |
| 1.2.3 模型不准确引起的不确定性 |
| 1.3 处理不确定性问题的模型 |
| 1.3.1 概率模型 |
| 1.3.2 模糊模型 |
| 1.3.3 区间模型 |
| 1.4 区间分析方法的研究现状 |
| 1.4.1 工程结构的区间有限元静力分析 |
| 1.4.2 工程结构的区间有限元动力分析 |
| 1.4.3 基于区间分析的结构优化设计 |
| 1.5 本文研究的内容及方法 |
| 第2章 区间数学和仿射算术基础 |
| 2.1 区间数学基础 |
| 2.1.1 区间数的基本概念 |
| 2.1.2 区间变量四则运算及代数性质 |
| 2.1.3 区间线性方程组的求解方法 |
| 2.1.4 区间相关性的概念 |
| 2.1.5 区间扩张问题 |
| 2.1.6 区间扩张的几种处理方法 |
| 2.2 仿射理论基础 |
| 2.2.1 变量的仿射表达 |
| 2.2.2 区间模型的仿射转换 |
| 2.2.3 仿射运算规则 |
| 2.2.4 仿射算术的限制 |
| 2.3 本章小结 |
| 第3章 区间有限元理论及其方程的几种解法 |
| 3.1 区间有限元模型 |
| 3.1.1 有限单元法简介 |
| 3.1.2 区间有限单元法 |
| 3.2 区间有限元分析求解方法 |
| 3.2.1 线性方程组的摄动法 |
| 3.2.2 线性区间方程的区间摄动法 |
| 3.2.3 线性区间方程的子区间摄动法 |
| 3.2.4 准确解法 |
| 3.2.5 迭代解法 |
| 3.3 本章小结 |
| 第4章 基于仿射算法的子区间摄动解法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 地下结构计算模型 |
| 4.3 弹性支承法计算原理 |
| 4.3.1 弹性支承法的基本假定 |
| 4.3.2 弹性支承法的矩阵位移法求解 |
| 4.4 实验设计方法的选择 |
| 4.4.1 概述 |
| 4.4.2 实验设计方法 |
| 4.5 基于仿射算法的子区间摄动方法 |
| 4.6 误差分析 |
| 4.7 算例分析 |
| 4.7.1 桁架 |
| 4.7.2 地下结构 |
| 4.8 本章小结 |
| 第5章 基于仿射算法的衬砌结构力学状态区间求解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 响应面方法 |
| 5.3 基于矩阵理论的仿射算法 |
| 5.4 衬砌结构力学参量区间离散仿射求法 |
| 5.4.1 基于仿射矩阵的衬砌状态函数表达 |
| 5.4.2 衬砌力学状态函数区间离散仿射计算 |
| 5.5 工程实例 |
| 5.5.1 工程概况 |
| 5.5.2 分析过程简介 |
| 5.5.3 计算精度比较 |
| 5.6 本章小结 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 A 攻读学位期间所发表的学术论文 |
| 附录 B 程序 |
四、稀疏线性方程组的一种新解法及其应用（论文参考文献）
- [1]IGA与多重网格法联合求解雷诺方程的研究[D]. 李子强. 武汉科技大学, 2019(09)
- [2]病态问题的谱修正迭代改进算法的研究及其应用[D]. 蒋攀. 西南交通大学, 2019(03)
- [3]关于正定Toeplitz线性方程组定常迭代法的研究[D]. 秦小蓉. 长沙理工大学, 2017(01)
- [4]大型线性系统与分数阶方程求解及在电磁计算中的应用[D]. 顾先明. 电子科技大学, 2017(01)
- [5]电力系统动态有功功率优化算法研究[D]. 万新儒. 南昌大学, 2016(03)
- [6]几类非线性问题的迭代解法及其应用[D]. 仲红秀. 华东师范大学, 2016(08)
- [7]改进的参数化水平集拓扑优化方法与应用研究[D]. 李好. 华中科技大学, 2016(08)
- [8]一种解线性方程组的新方法[J]. 李国重,焦玉兰,贾利新. 河南科学, 2015(02)
- [9]求解线性方程组的预处理方法[D]. 叶潇潇. 杭州师范大学, 2015(03)
- [10]基于仿射算法的隧道衬砌承载区间分析[D]. 贺启. 湖南大学, 2012(02)