一、关于常微分方程中解的存在唯一性簡介（论文文献综述）
陈小艳[1]（2015）在《几类Filippov系统与光滑微分系统的定性理论及应用研究》文中研究表明由于数学分析工具的缺乏,右端不连续微分方程理论的发展相当缓慢.至今,右端不连续微分方程理论的发展仍处于初级阶段,很多理论都没有得到完善.为此,本学位论文首先发展了有关右端不连续非自治广义齐次微分方程的稳定性理论,主要讨论了右端不连续非自治广义齐次微分方程以及一类具有不连续扰动项的齐次系统解的收敛方式.然后,我们根据现实生活中一些食饵和捕食者之间的接触特征,建立了一个具有不连续功能反应函数的食饵捕食模型,并应用右端不连续微分方程定性理论对该模型进行了深入的研究.在本学位论文的最后两部分,我们通过构造Lyapunov函数的方法分别讨论了一类光滑的HIV双仓室模型和一类具有不连续激励函数的神经网络模型平衡态的稳定性.值得一提的是,在研究具有不连续激励函数的神经网络模型平衡态的稳定性时,我们获得了在一定的条件下,平衡态是有限时间收敛的.该收敛方式在光滑的HIV仓室模型中是不可能具有的.具体地说,本学位论文主要分为六章.在第一章中,我们首先回顾了右端不连续微分方程和稳定性理论的研究历史和发展概况.随后,我们逐一地介绍了不连续生物动力学、HIV动力学和不连续神经网络动力学的研究历史和发展现状.在第二章中,我们简要地介绍了本学位论文所需的一些数学理论知识,主要包括Filippov系统的定性理论,如解的存在唯一性、解对初值和右端函数的依赖性、平面Filippov系统中不连续曲面上解的特性、∑-奇异点附近解的拓扑结构.同时,一些有关光滑动力系统和Filippov系统的稳定性理论也在此处被列出.在第三章中,我们完善了右端不连续非自治广义齐次微分方程的稳定性理论.利用齐次微分方程的特性（收缩解仍是原方程的解）和一些运算上的处理技巧,得到了右端不连续非自治广义齐次微分方程解的收敛特征：齐次度为零和正的非自治广义齐次系统,全局渐近稳定的平衡点分别是指数稳定和1/t型稳定的.同时,我们分析了一类具有内外扰动项的扰动系统的动力学行为,并将其与原系统进行了对比研究.结果显示该扰动系统与原系统具有类似的动力学行为,当扰动充分小时,解的收敛方式在该扰动下是稳定的.在第四章中,我们根据在现实生活中一些具有比率依赖的食饵与捕食者之间的接触特性,建立了一个比率依赖的Filippov食饵捕食模型.主要运用右端不连续微分方程定性理论中有关∑-奇异点拓扑结构的相关知识,对该模型所有∑-奇异点的局部结构进行了详细的分析.此外,对于不同的参数,我们得到了该模型具有14种不同的全局动力学行为.特别地,对于一定范围内的参数,全局稳定的伪平衡点和全局有限时间稳定的周期解是存在的,并且所得的部分动力学行为能合理地解释部分实验和现实中的现象.在第五章中,我们将构造Lyapunov函数的方法与LaSalle不变原理相结合,分别讨论了一类光滑的七维和八维HIV仓室模型平衡态的渐近稳定性.通过对这两个模型的分析,我们得到了:当基本再生数小于等于1时（即感染平衡点不存在）,无病平衡点是全局渐近稳定的;当基本再生数大于1时（即感染平衡点存在）,感染平衡点是全局渐近稳定的.在第六章中,根据周期解是否与不连续曲面相切,我们研究了一类具有不连续激励函数的Hopfeld神经网络模型周期解的有限时间收敛性.当周期解和不连续曲面相切时,周期解一定是有限时间稳定的.当周期解和所有不连续曲面横截相交时,在一定的条件下,通过构造Lyapunov函数法可得周期解的有限时间收敛性.
王金凤[2]（2014）在《浅谈解的存在唯一性定理在《偏微分方程数值解》中的应用》文中研究指明从一个新的角度讨论常微分方程中解的存在唯一性定理在偏微分方程数值解法中的重要应用。给出一类伪双曲型偏微分方程的新的分裂混合有限元数值格式,将该格式转化成常微分方程系统,利用解的存在唯一性定理证明该系统是存在唯一解的。通过简短的讨论、概述明确解的存在唯一定理在偏微分方程数值解中的应用方法,并希望能够在教学科研未来的发展中有新的观念。
徐宇锋[3]（2014）在《广义分数阶微积分中若干问题的研究》文中研究表明摘要：研究了几类分数阶常微分方程边值问题的存在性.介绍了广义分数阶微积分的基本理论,研究了广义分数阶谐振子的动力学,研究了广义分数阶对流-扩散方程的数值解和扩散特征,以及广义分数阶变分问题.全文由7部分组成.第1章介绍了分数阶微积分的起源和历史,以及近代分数阶微积分理论的创新与发展.主要从分数阶常微分方程的边值问题,分数阶微分方程的数值计算,广义分数阶导数及其分数阶变分问题等四个方面对现代分数阶微积分理论的发展进行了综述.最后介绍了全文的主要工作.第2章介绍了Banach空间和拓扑度理论基础,Riemann-Liouville分数阶积分,Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数的定义和基本性质.第3章研究了分数阶常微分方程边值问题.利用拓扑度理论中的经典不动点定理研究了Banach空间中带有非正则型边界条件、积分型边界条件和反周期边界条件的分数阶边值问题,获得了上述边值问题普通解和正解存在的充分条件.第4章介绍了第一类广义分数阶算子：K-算子,A-算子和B-算子.研究了这类广义分数阶算子的基本性质以及在扩散波动方程和谐振子方程中的应用.研究了带有指数型核函数的B-算子定义的广义分数阶扩散波动方程的数值解.通过选取指数型核函数,分数次幂核函数和弱奇异型核函数等不同类型的核函数,定义了不同的广义分数阶谐振子方程和广义van der Pol振子.利用有限差分法求解了上述广义谐振子方程,发现广义谐振子具有十分复杂的动力学行为,且不同的动力学性质依赖于核函数的选择.经典van der Pol振子的混沌行为依赖于合适的外力驱动,且极限环在没有外力作用时不会与自身交叉.但是在广义vander Pol振子中,即使没有外力作用,当核函数为弱奇异型时,仍然可以观察到混沌现象以及极限环自身的交叉.第5章介绍了第二类广义分数阶微积分理论,研究了这类分数阶算子的基本性质和在偏微分方程中的应用.广义分数阶积分和微分算子依赖于尺度函数和权重函数,许多已有的分数阶积分和导数可视为广义分数阶算子的特殊情形.首先研究了带有广义分数阶导数的时间分数阶Burgers方程的数值格式和数值解.发现尺度函数和权重函数对Burgers方程的解的扩散特征有显著的影响.考虑了四种不同的尺度函数和两类不同的权重函数,比较了不同的尺度函数和权重函数对扩散速度的具体作用.其次,研究了带有广义分数阶导数的时间分数阶对流一扩散方程的数值解.通过选取一些典型的尺度函数和权重函数,研究了对流-扩散方程解的扩散特征对方程参数,尺度函数,权重函数以及源项函数的依赖性.最后,推导了常系数广义时间分数阶对流-扩散方程的解析解.广义分数阶算子和带权重的Caputo型分数阶算子之间可以建立等价关系.利用分离变量法,可以方便地求得时间分数阶线性偏微分方程的解析解.从解析解可以看出尺度函数和权重函数的位置以及对扩散过程的影响.当权重函数为周期函数时,方程的解在长时间演化中将呈现周期性行为.第6章研究了分数阶变分问题.运用变分学基本原理研究了分数阶泛函极小值问题,分数阶等周问题,分数阶最优控制问题等经典变分问题.研究了固定边界条件的分数阶泛函极值问题和不确定右端边界条件的分数阶泛函极值问题,分别建立了这两类变分问题对应的Euler-Lagrange方程和横截条件.推广了分数阶变分原理,利用第一类广义分数阶导数定义了广义分数阶变分问题.分别研究了固定边界和边界不确定的广义分数阶变分问题,得到了极值的必要条件即广义分数阶Euler-Lagrange方程和一般意义下的横截条件.在一般的平面凸区域上建立了广义分数阶偏导数,定义了二维广义分数阶泛函极值问题和二维广义分数阶等周问题,利用多项式逼近方法求解了上述广义分数阶变分问题的近似解.第7章回顾了全文内容,并展望了分数阶微积分领域未来的若干工作.
王法磊[4]（2014）在《非线性Feynman-Kac公式及其应用》文中提出1990年Pardoux-Peng[94]首次引入了如下形式的倒向随机微分方程：其中B是标准维纳空间（Ω,F,P）上的d-维布朗运动。与正向随机微分方程不同,倒向随机微分方程（0.0.1）的解为一对适应过程（Y,Z）。[94]建立了倒向随机微分方程在标准Lipschitz条件下的解的存在唯一性定理。这一结果推广了Bisrmut[6]中的线性结果。基于这一开创性工作,倒向随机微分方程理论在各个领域迅速发展,譬如,偏微分方程,数理金融,随机控制与微分博弈,泛函分析,数值分析等。在过去的20多年中涌现出大量的工作研究解的存在唯一性理论来进一步推广[94]中的结果,例如,Pardoux-Peng[96],Lepeltier-San Martin[76],Jia[69],Kobylanski [72],El Karoui-Kapoudjian-Pardoux-Peng-Quenez[42],Situ[132],Barles-Buckdahn-Pardoux[3],Tang-Li[141],Antonelli[1],Ma-Protter-Yong[84],Hu-Peng[64],Peng-Wu [122],Pardoux-Tang[91],Delarue[33],Peng-Shi[120],Hamadene[50],Peng-Xu[124], Buckdahn-Djehiche-Li-Peng[9]等。从而倒向随机微分方程理论成为了随机分析领域中的一独特分支。特别地,Peng[106]引入了g-期望理论。这一理论是非线性随机分析理论研究的有力工具（更详尽的结果请参阅Peng[107,108,109,110],Chen-Tao-Matt[17], Coquet-Hu-Memin-Peng[19],Delbaen-Peng-Rosazza Gianin[28],Hu-Ma-Peng-Yao[62]等）。基于这一观点,在马尔科夫情形下g-鞅是一半线性偏微分方程的唯一解,这就是著名的非线性Feynman-Kac公式。更精确的说,如果ξ=φ（B（T））以及f=f（t,B（t）,y,z）,那么倒向随机微分方程（0.0.1）的解满足Y（t）=u（t,B（t））与Z（t）=▽u（t,B（t））,其中u为如下半线性偏微分方程的解：这一研究给一大类半线性偏微分方程提供了概率解释（见Peng[100.104],Pardoux-Peng [95,97],Pardoux[92,93],Barles-Buckdahn-Pardoux[3],Buckdahn-Peng[14],Buckdahn-Hu-Peng[11],Fuhrman-Tessitore[45],Royer[130],Crisan-Delarue[24],Wu-Yu[143], Pham[126]等）。这一非线性Feynman-Kac公式同样给出了半线性偏微分方程的一新的数值解法（见Douglas-Ma-Protter[34],Zhang[149],Bouchard-Touzi[7],Peng-Xu[123], Gobet-Lemor-Warin[49],Zhao-Chen-Peng[150]等）。并且倒向随机微分方程理论逐渐成为了一研究数理金融问题的基本工具（见El Karoui-Peng-Quenez[40],Chen-Epstein[16], Delbaen-Peng-Rosazza Gianin[28],Duffie-Epstein[35].El Karoui-Quenez[41],Cvitanic-Karatzas[25],Jiang[70],Hu-Imkeller-Muller[60]等）。倒向随机微分方程理论也给出一研究效用最大化与微分博弈问题的新思路（见Peng[105],Pham[125],Buckdahn-Li[12]以及相关文献）。g-期望理论是一研究概率模型不确定问题的有力工具,其中不确定性包含的概率测度族关于维纳测度P是绝对连续的（见Chen-Epstein[16]）.但是金融中的波动率不确定性模型包含不可数个概率测度,且这些概率测度互相奇异。基于这一问题Peng引入了一种时间相容的全非线性数学期望理论（请参阅[111]）。作为一重要情形,Peng[112]通过如下的全非线性偏微分方程提出了G-期望理论（可参阅[113,114,116]）：（?）tu-G（Dxx2u）=0,（t,x）∈（0,T）×Rd,其中G:S（d）→R为一给定的有界次线性单调函数,S（d）为所有的d×d对称矩阵组成的集合。特别地,经典的线性期望可以看做G-期望的一个特例。在G-期望框架下Peng通过容度分析理论构造了相应的G-布朗运动,并且建立了关于G-布朗运动的随机积分（见Peng[116],Denis-Hu-Peng[29],Hu-Peng[56.57], Denis-Martini[30],Li-Peng[77],Soner-Touzi-Zhang[135],Song[136,137,138,139]等）。在这一基础上,Gao[46]以及Peng[116]建立了标准Lipschitz条件下的G-随机微分方程解的存在唯一性。特别地,Hu-Ji-Peng-Song[51]得到了G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程的存在唯一性结果。最重要的一点是,通过Peng[116]以及Hu-Ji-Pen-Song[51]在马尔科夫情形下的研究结果,G-SDE以及G-BSDE对应着一大类全非线性偏微分方程。同样也是基于这一问题,Cheritdito-Soner-Touzi-Victoir[18]与Soner-Touzi-Zhang[134]建立了二阶倒向随机微分方程理论。关于非线性随机分析理论的进一步发展请参阅Chen [15],Epstein-Ji[43],Hu-Ji[53],Hu-Ji-Yang[54],Bai-Lin[2],Lin[78,79],Lin[80]. Gao-Hui[47],Gao[48],Dolinsky-Nutz-Soner[31],Dolinsky[32],Nutz[89],Nutz-Van Handel[90],Xu-Zhang[144],Zhang-Xu-Kannan[148],等。通过上面的结果我们知道在马尔科夫情形下具有确定时刻终端的倒向随机微分方程给半线性抛物偏微分方程提供了概率解释,而具有随机时刻终端的倒向随机微分方程给半线性椭圆偏微分方程提供了概率解释。因此偏微分方程可以看成是状态依赖情形的倒向随机微分方程,Peng这一深刻的思想给了许多问题新的思路。我们知道倒向随机微分方程的终端ξ一般是一个布朗运动轨道的函数。在这种情形下,（Y,z）被认为是倒向随机微分方程（0.0.1）的轨道依赖解,此时倒向随机微分方程的解可否认为是一轨道依赖偏微分方程的解?这一问题首先被Peng在其2010年数学家大会的报告上提出（请参阅[117,1.3]）。本论文的第1章与第2章将重点研究这一问题并且给出了非马尔科大情形下的非线性Feynman-Kac公式。其中我们用到的主要工具是Dupire[36]所建立的泛函Ito公式（更进一步的发展请参阅Cont-Fournie[20,21,22]）。在不同的框架下,Peng-Song[120]建立了轨道偏微分方程的Sobolev-解。为了进一步研究全非线性Feynman-Kac公式,我们首先在第3章系统地研究了G-布朗运动驱动的随机微分方程解的性质。在经典随机分析框架下,Doss[33], Sussmann[140]与Huang-Xu-Hu[66]（Huang[65]以及Pardoux-Talay[98]）研究了随机微分方程的样本解,这一方法可以将随机微分方程按照每一条轨道分解成常微分方程。我们将要证明G-期望框架下的Doss变换仍然成立。我们进一步研究了G-随机微分方程解的可测性质以及Krylov估计,这一结果对G-随机分析理论的进一步发展非常有用。接着第4章研究了非马尔科夫情形下的全非线性Feynman-Kac公式。在第5章中,我们将要研究G-遍历倒向随机微分方程与全非线性遍历偏微分方程之间的关系。经典情形下,Fuhrman-Hu-Tessitore[44]（同样见Debussche-Hu-Tessitore[26],Richou[129]）给出了遍历倒向随机微分方程的概念。遍历倒向随机微分方程理论提供了一研究遍历最优控制的有效方法。此外,应用这一理论,Hu-Madec-Richou[63]研究了半线性偏微分方程解的渐进行为。同样,Pham在第7届“倒向随机微分方程国际研讨会”上做了题为“全非线性Bellman方程解的渐进行为”的报告。接下来我们将列出本论文的主要结果。1.倒向随机微分方程,轨道偏微分方程以及非线性Feynman-Kac公式与Dupire[36]一样,我们引入空间（Ad,d∞）其中Λd=Ut∈[0,T]Λtd,Λtd为所有[0,t]上的Rd-值右连左极函数组成的集合,以及每一0≤t≤t≤T,ωt,ωt∈Λd,本章中将一直用到如下空间。定义0.1.称u在集合Cl,lip1,2（Λd）中,如果函数u的Dupire路径导数Dtu,Dxu,Dxxu存在且满足对φ=u,Dtu,Dxu,Dxxu有|φ（ωt）-φ（ωt）|≤c（1+||ωt||k+||ωt||k）d∞（ωt,ωt）,（?）ωt,ωt∈Λd成立,其中C以及k为只与u有关的常数。我们首先概述下主要的想法。由于倒向随机微分方程（0.0.1）的解Y是一循序可测过程,因此存在一Ω上的函数u使得Yt（ω）=u（ωt）。假设u∈Cl,lip1,2（Λd）以及d=1。应用泛函Ito公式,我们可以得到du（Bt）=[Dtu（Bt）+1/2Dxxu（Bt）]dt+Dxu（Bt）dB（t）.因此我们有（Yt,Zt）=（u（Bt）,Dxu（Bt））以及Dtu（Bt）+1/2Dxxu（Bt）+f（Bt,u（Bt）,Dxu（Bt））=0,（0.0.3）其中这里的导数为Dupire导数。在这一方程中,区间[0,t]上的轨道ωt将作为研究的基本变量,这类似于经典框架下的变量（t,x）∈[0,T]×Rd。因此非马氏的倒向随机微分方程（0.0.1）给半线性轨道偏微分方程（0.0.3）提供了一概率解释。但是这里假设了u∈Cl,lip1,2（Λd）,因此我们需要证明这一论断。本章后面的内容就是基于这一论断。对每一ωt∈Ad,考虑如下的倒向随机微分方程：其中Bωt（u）:=ω（u）1[0,t]（u）+（ω（t）+B（u）-B（t））1（t,T]（u）。应用Pardoux-Peng[95]中同样的证明方法,可以证明Yωtx（s）关于x具有连续的二阶导数。定理0.1.假设（H1.1）以及（H1.2）成立,则对每一ωt∈Λd,{Yωtx（s）,s∈[0,T],x∈Rd}存在一a.e.C0,2（[0,T]×Rd）版本。定义函数u（ωt）:=Yωt（t）其中ωt∈Ad。推论0.1.假设（H1.1）与（H1.2）成立,则Dupire垂直导数Dxu（ωt）与Dxxu（ωt）存在.且u∈Cl,lip0,2（Λd）。在Pardoux-Peng[95]中,当倒向随机微分方程的生成元是状态依赖时,在适当的假设下可以证明Z与Y满足下面的关系式：Zωt（s）=（?）xu（s,ω（t）+B（s）-B（t））.在非马氏情形下,我们有如下的公式刻画Z与Y之间的关系。定理0.2.在假设条件（H1.1）以及（H1.2）下,对每一固定的ωt∈Ad,随机过程（Zωt（s））s∈[t,T]存在一连续版本,Dxu（Bsωt）=Zωt（s）,对每一s∈[t,T]a.s.现在将倒向随机微分方程和如下形式的多维轨道偏微分方程联系起来：其中u:=（u1,...,um）:Λd→Rm为Λd上的函数。应用泛函Ito公式,可以证明轨道偏微分方程（0.0.5）的解的唯一性。定理0.3.假设（H1.1）以及（H1.2）成立。如果函数u∈Cl,lip1,2（Λd）为轨道偏微分方程（1.3.1）的解,则对每一ωt∈Λd,u（ωt）=Yωt（t）,其中（Yωt（s）,Zωt（s））t≤s≤T为倒向随机微分方程（0.0.4）的唯一解。因此,轨道偏微分方程（0.0.5）至多存在一个Cl,lip1,2-解。应用这一定理以及倒向随机微分方程的比较定理（引理1.3）,可以得到轨道偏微分方程的比较定理成立。推论0.2.假设m=1以及f=fi,Φ=Φi,i=1,2满足定理0.3中的条件。并且.（ⅰ）.f1（ωt,y,z）≤f2（ωt,y,z）,其中（ωt,y,z）∈Λd×R×Rd.（ⅱ）Φ1（ωT）≤Φ2（ωT）,其中ωT∈ATd。若ui∈Cl,lip1,2（Λd）为轨道偏微分方程（0.0.5）相应于（f,Φ）=（fi,Φi）,i=1,2的解,则我们有对每一ωt∈Λd,u1（ωt）≤u2（ωt）。在本章的最后,我们通过随机计算的方法证明了轨道偏微分方程（0.0.5）解的存在性。定理0.4.假设（H1.1）-（H1.2）成立,那么函数u是轨道偏微分方程（0.0.5）唯一的Cl,lip1,2（Λd）-解。2.带跳的倒向随机微分方程与轨道抛物积分-微分方程受第1章的结果启发,本章将研究带跳的倒向随机微分方程与轨道抛物积分-微分方程之间的关系。在第一章中,泛函Ito公式在证明过程中起了关键作用。但是一般的函数u∈Cl,lip1,2（Λd）并不满足Cont-Fournie[20]给出的半鞅泛函Ito公式中的条件,因此我们将首先去掉一些额外的假设条件给出更一般半鞅泛函Ito公式,但是我们只处理了可数跳的情形。定理0.5.假设（Ω,F，（F）t∈[0,T],P）是一概率空间。半鞅X=M+A,其中M为一连续局部鞅,A为一有限变差过程。如果函数u在空间Cl,lip1,2（Λd）中,则对每一f∈[0,T）,然后考虑如下非耦合的带跳的正倒向随机微分方程,对每一ωt∈Λd我们定义函数u（ωt）:=Yωt（t）。经过一些计算,可以得到函数u具有如下性质。定理0.6.在假设条件（H2.1）以及（H2.2）下,对每一ωt∈Λd,{Yωtx（s）,s∈[0,T],x∈Rd}存在一C0,2（[0,T]×Rd）a.e.版本。特别地,Dxu（ωt）,Dxxu（ωt）存在且u∈Cl,lip0,2（Λd）。在这一章中,非马尔科夫带跳的倒向随机微分方程的解Z,K与Y存在如下形式的关系。与第一章不同,由于跳的存在,这一问题的证明更加复杂。定理0.7.在假设条件（H2.1）以及（H2.2）下,对每一固定的ωt∈Ad,随机过程（Zωt,Kωt）存在一a.8.左连续版本：在上一章中我们建立了倒向随机微分方程与拟线性轨道偏微分方程方程的一一对应关系。现在我们将带跳的倒向随机微分方程和如下形式的轨道抛物积分-微分方程联系起来：（0.0.8）其中u=（u1,…,un）:Ad→Rn为Λd上的函数,Cul（ωt）:=Dxul（ωt）b（ω（t））+1/2tr[（σσT）（ω（t））Dxxul（ωt）]最后给出这一章的主要结果,它给出了带跳的倒向随机微分方程与轨道抛物积分-微分方程之间的一一对应关系。定理0.8.假设（H2.1）-（H2.2）成立,则函数u是轨道积分-微分方程（0.0.8）唯一的Cl,lip1,2（Λd）-解。3.G-布朗运动驱动的随机微分方程在3.2节中,我们将首先利用在Lbp（Ω）空间中推广的G-Ito公式研究G-随机微分方程与常微分方程之间的关系。我们通过一族带有参数的常微分方程来研究G-随机微分方程的解,将G-随机微分方程的解表示成了一G-布朗运动与一有限变差过程的函数。考虑如下区间[0,T]上的G-随机微分方程,其中σ（t,x,y）∈Cb,lip1（[0,T]×R2）以及b（t,x,y）,h（t,x,y）∈Cb,lip（[0,T]×R2）下面的常微分方程存在唯一解y=φ（t,x,v）∈C1,2,1（[0,T]×R×R）。记g（t,T,v）=（?）vφ-1（t,x,v）（b（t,x,φ（t,x,v））-（?）tφ（t,x,v））,则可以推断出：以及然后考虑带有参数ω的常微分方程：应用G-Ito公式以及G-随机微分方程（0.0.9）的存在唯一性结果,可以得到X（t）=φ（t,B（t）,V（t））为G-随机微分方程（0.0.9）的唯一解。利用上这一结果可以得到G-随机微分方程的比较定理。并且我们得到了比较定理成立的充分必要条件。定理0.9.考虑如下形式的G-布朗运动驱动的随机微分方程其中σi,bi,hi∈Cb,lip（R）以及i∈{1,2}。那么对每一x1≤x2,X1,x1（5）≤X2,x2（5）成立当且仅当b1（x）-b2（x）+2G（h1（x）-h2（x））≤0,σ1（x）=σ2（x）,（?）x∈R.在3.3节中,我们将要讨论G-随机微分方程的数值方法,其中包括逐轨道逼近以及均方逼近,并且给出各数值方法相应的收敛速度。在3.4节中我们研究了G-扩散过程的可测性质以及Krylov估计。最后在3.5节中,我们证明了一类全非线性偏微分方程的解是一G-随机微分方程解的期望。它将Peng[116]中的非线性Feynman-Kac公式推广至了更一般的情形。与[4]相比,本节的主要困难在于G-期望框架下并不存在停时定理,为了克服这一困难我们给出了一G-鞅更加严格的定义。4.全非线性轨道偏微分方程的比较定理以及G-期望理论为了研究全非线性轨道偏微分方程的比较定理,我们将本章分为了两部分。在4.1中,我们首先建立了在LGp（Ω）空间中的关于G-Ito随机过程的泛函Ito公式。它将Peng建立的G-Ito公式推广至了泛函情形。通过它我们给出了泛函情形下的全非线性Feynman-Kac公式,这一公式建立了G-随机微分方程与全非线性轨道偏微分方程之间的对应关系。定理0.10.设u∈Hγ（Ωn）,其中γ∈（0,1）,αv,βvij,σvj为空间MG2（0,T）中的有界随机过程,这里v=1,…,n以及i,j=1,…,d,则对每一l∈[0,T],在空间LG2（Ωt）有,在本节的最后,应用G-布朗运动的泛函Ito公式（定理0.10）,可得如下形式的比较定理。推论0.3.设uv∈Hγ（Ωn）（v=1,2）是非线性轨道偏微分方程（4.1.11）的解,其中γ∈（0,1）,对每一（ωt,r,p,Q）∈Qn×R×Rn×S（n）, Gv（ωt,r,p,Q）=<p,α（ωt）>+Gv（（<Qσi（ωt）,σj（ωt））+<p,βi,j（ωt）+βj,i（ωt>）i,j）.如果对所有ωT∈ΩTn有u1（ωT）≤u2（ωT）以及G1（ωt,r,p,Q）≤G2（ωt,r,p,Q）,则对每-ωt∈Ωn,u1（ωt）≤u2（ωt）。在4.2节中,我们将用经典偏微分方程的分析方法而不是随机计算的方法建立轨道偏微分方程的部分比较定理,这一方法有助于深入地研究轨道偏微分方程。定理0.11.设u1是轨道偏微分方程（4.2.1）的一粘性下解,其中对应的G=G1,u2是轨道偏微分方程（4.2.1）的一粘性上解,其对应的G=G2,且对每一（ωt,r,p,X）∈Λd×R×Rd×S（d）,G1（ωt,r,p,X）≤G2（ωt,r,p,X）。如果函数u1与u2分别为上有界和下有界且其中一个为C1,2（Λd）函数,则最大值原理成立：若对所有ωT∈ΛTd有u1（ωT）≤u2（ωT）,则对每一ωt∈Λd,不等式u1（ωt）≤u2（ωt）成立。5.G-布朗运动驱动的遍历倒向随机微分方程及其应用本章的目标是研究如下形式的G-布朗运动驱动的遍历倒向随机微分方程：对所有的0<s<T<∞,其中（B（t））t≥0为一G-布朗运动,Xx为一初始值为x的G-随机微分方程的解。首先我们引入了一新的线性化方法证明了无穷区间上的G-倒向随机微分方程（0.0.15）的解的存在唯一性理论,其中定理0.12.假设（H5.1）-（H5.4）成立,则无穷区间上的G-倒向随机微分方程（0.0.15）存在一个解（Y,Z,K）∈（?）G2（0,∞）满足Y是有界过程。特别地,这一解在所有Y是有界的过程中是唯一的。接着我们得到了全非线性椭圆型偏微分方程的Feynman-Kac公式并且给出了新的方法证明Rn上的椭圆型偏微分方程粘性解的唯一性。定理0.13.函数u（x）为全非线性椭圆偏微分方程G（H（Dx2u,Dxu,u.x））+<b（x）,Dxu)+f（x,u.<σ1（x）,Dxu>,...,（σd（x）:Dxu））=0唯一的有界粘性解。然后我们利用这一理论我们建立了G-布朗运动驱动的遍历倒向随机微分方程（0.0.14）解的存在性理论。定理0.14.假设（B5.1）,（B5.2）,（B5.4）以及（B5.5）成立。则对每一x,G-遍历倒向随机微分方程（0.0.14）存在解（Yx,Zx,Kx,λ）∈（?）G2（0,∞）×R且|Yx（s）|≤M|Xx（s）|。在本章最后我们讨论了这一方法的实际应用。对任意的Lipschitz函数φ：Rn→R,考虑如下形式的全非线性抛物型偏微分方程：定理0.15.在假设条件（B5.1）,（B5.2）,（B5.4）与（B5.5）下,存在常数C使得对每一T>0,特别地,
郭中凯[5]（2019）在《年龄结构传染病模型的动力学分析与最优控制问题》文中提出借助数学模型研究传染病是传染病理论研究的重要方向之一.由于不同的传染病具有不同的传播机理,因此,针对不同的传染病建立不同的数学模型在传染病模型研究中得到认可.许多慢性传染病（如艾滋病）的传染率大小可能与人感染的时间长短有关,而且康复或死亡的可能性也取决于感染后经历的时间.对此,很早就有研究人员建立年龄结构数学模型来描述这个过程,但是这类模型理论研究的快速发展得益于近年来无穷维空间的相关理论研究的深入.基于这些理论,本文研究几类特殊传染病的分支和平衡态的全局渐近稳定性问题,并结合实际数据对模型的参数进行拟合,从而在已有模型假设条件下,对传染病的传播进行预测,结合模型给出合理的控制措施.同时,研究一类具有终生免疫的传染病在不同控制策略下的最优控制问题.本文的主要工作如下:一、长期的病例观察和病理研究发现,HIV在人体内具有非常强的鲁棒性,本文第二章将借助数学模型的动力学分析验证HIV在人体内的这一特性.本章研究一个易感CD4+T淋巴细胞受到艾滋病毒刺激后会进行有丝分裂的年龄结构HIV模型的Hopf分支问题.由于是在无穷维空间中建立的模型,因此,常微分方程中的Hopf分支定理已经不适用,本章将使用Liu等人最近给出的非稠定Cauchy问题的Hopf分支定理对模型进行动力学分析.首先将模型改写成等价的非稠定的Cauchy问题,然后通过严密的理论分析证明建立的模型满足定理的假设,并给出模型唯一正平衡态存在的充分条件.通过对模型在平衡态处的线性化,研究了相关的特征方程,分析模型在平衡态处的局部渐近稳定性.证明当分支参数穿过某些阈值时HIV模型会出现分支现象,并给出数值模拟.最后分析发现有丝分裂对模型出现Hopf分支是必要的,并且从稳定的平衡态到稳定的周期解正是HIV在人体内高度鲁棒性的一种体现.二、疟疾每年会造成全球上亿人感染,几十万人死亡,是世卫组织重点关注的传染病之一.本文第三章研究一个易感人群具有预防期、感染人群和雌性按蚊都具有潜伏期的年龄结构疟疾模型的稳定性问题.无穷维空间稳定性的分析是一个非常复杂的过程,包括解半流的渐近光滑性、一致持续性和几类全局吸引子的存在性.本章详细的分析了这些理论结果.从生物学相关角度定义了模型的基本再生数R0,并证明了在发生疟疾传播的情况下,R0完全决定了模型的无病平衡态和地方病平衡态全局渐近稳定性,当R0<1无病平衡态是全局渐近稳定的,当R0>1地方病平衡态是全局渐近稳定的.最后通过数值模拟验证本章的理论结果.通过与常微分模型作比较发现年龄结构的疟疾模型得到的阈值R0更小,这说明相比较常微分模型,从年龄结构模型角度看,疟疾控制的难度要小.三、由于感染肺结核到出现肺结核症状的可能性会随时间而变化,大量的研究表明,随着时间的推移出现肺结核症状的可能性慢慢变小.因此,本文第四章研究一个包含潜伏期和复发期的年龄结构肺结核模型.给出模型的基本再生数R0,并证明R0就是模型的动力学阈值,当R0<1,则无病平衡态是全局渐近稳定的,这意味着肺结核将消失;如果R0>1,则存在唯一的地方病平衡态,并且在发生肺结核传播的情况下,它是全局渐近稳定的.接下来,将优化控制中的灰狼算法（GWO）引入到年龄结构模型中,根据2007-2018年中国肺结核新增病例数据,对模型中的参数和初值进行估计.此外,对估计的部分参数进行不确定性分析和敏感性分析,找出对阈值最具影响力的参数.最后,基于建立的模型提出了一些可行性的建议,包括增强媒体报道、公共教育和延长强制隔离时间,以期让中国能够实现世卫组织的肺结核控制目标,即到2030年将肺结核发病率相比2015年降低80%.四、在传染病的控制过程中,控制成本是一个非常重要的考虑因素.本文第五章研究一类带有接种和治疗并且染病者具有年龄结构的SIR模型的最优控制问题.利用Banach压缩映射原理和Gronwall引理,证明了该年龄结构传染病模型非负解的唯一性以及对选取的控制变量的连续依赖性.借助切锥法锥方法给出无条件约束下最优接种和治疗策略的必要条件.根据Ekeland变分原理给出最优接种和治疗策略存在性和唯一性的充分条件.利用Dubovitskii-Milyutin定理,研究在有限时间内具有终端约束的最优接种和治疗问题.给出模型最优接种和治疗策略的必要条件.
高俊磊[6]（2021）在《二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析》文中研究表明本文用数学方法研究亚音速流与跨音激波的稳定性.我们在二维直管道中,分别考虑热交换效应对跨音激波稳定性的影响,以及带添质效应亚音速流的稳定性.本文首先研究二维管道中热交换效应对跨音激波稳定性的影响.跨音激波在超音速喷管的气动设计中起着至关重要的作用.以往的研究表明,对于恒定截面直管道中的定常可压缩Euler流,在对管道进口处的超音速来流和出口处压强的扰动下,得到的跨音激波是不稳定的.但是在物理实验中观察到的跨音激波却是稳定的.若将直管道改换成扩张形或在流动过程中考虑摩擦力的影响,则按照上述方式扰动下的跨音激波却有稳定性.我们以瑞利流1为模型,进一步探究在二维直管道中具有热交换效应的定常可压缩Euler流,在上述扰动下的跨音激波是否也具有稳定性?我们证明了对于给定单位质量气体的热交换,当上游管道进口处超音速来流和下游出口处压强的扰动满足一定的对称条件时,可以得到几乎所有对应的一维跨音激波都是稳定的,而对于给定单位体积气体的热交换,由此确定的一维跨音激波是不稳定的.数学上,我们研究了双曲-椭圆复合型守恒律方程组的非线性自由边界问题.通过特征分解将亚音速Euler系统的椭圆部分和双曲部分在Lagrange坐标系中解耦.由于热交换效应在流场中具有更加复杂的相互作用,我们通过Fourier分析和对常微分方程边值问题的细致分析,研究了一类具有非局部边界条件的较一般的线性变系数一阶椭圆双曲强耦合系统的适定性.本文还研究二维直管道中具有添质效应亚音速流的稳定性.研究添质问题的目的是为了进一步探究在对管道进口处的超音速来流和出口处压强的扰动下,添质效应对跨音激波是否也具有稳定性做准备工作.我们在二维等截面直管道中构建一类只依赖管道轴向x的亚音速特解,通过证明这种特殊的亚音速流关于进出口适当边界条件的二维扰动的亚音速解的稳定性,表明该边值问题提法的合理性.由于亚音速Euler方程组是拟线性椭圆-双曲复合型的,处理这类问题一般的方法是将方程组的椭圆与双曲模式分离.然而,在添质问题中的质量守恒方程含有源项,导致通常在二维情形采用Lagrange坐标变换和特征分解将椭圆与双曲模式分离的办法失效.为此,我们构建了一种新的将Euler方程组的椭圆模式与双曲模式主部分离,低阶项耦合的分解方式.由于添质效应使得流场具有更强的相互作用,进而诱导了一类含有多个积分非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题.我们综合利用Fourier分析、线性代数、解析函数理论和二阶椭圆型方程正则性理论,得到了该类问题的适定性.特别地,我们在一类x向异性Holder空间与通常的Holder空间中分别研究输运方程组与二阶椭圆方程型的正则性,并以此为基础设计非线性迭代格式,得到的所有物理量具有一样的正则性.下面简单介绍本文的结构安排.第一章是绪论,介绍本文的研究背景,提出了本文关心的问题以及主要结果.在第二章,给出了本文所需要的一些基础知识.在第三章,利用隐函数定理分别构造一维情形瑞利流的亚音速、超音速、跨音激波特解和添质问题的亚音速特解.在第四章,我们在第4.1节将原问题在Lagrange坐标中重新表述,通过线性化将其转化成一个具有非局部边界条件的一阶线性双曲-椭圆耦合型方程组固定边界问题和一个用于更新激波形状的常微分方程Cauch场问题.第4.2节,研究一类具有非局部边界条件的一阶线性双曲-椭圆耦合型方程组的适定性.在第4.3节中,构造非线性映射,通过映射压缩性来证明本文第一个主要结果.在第五章,我们在第5.1节,给出了带添质效应的Euler方程组在二维管道中的一个新的等价分解方式,其中包括熵与总焓的输运方程组Cauchy问题、压强满足的二阶椭圆型方程混合边值问题和切向速度在任意截面上沿着y轴方向的常微分方程两点边值问题.在第5.2节,由新的分解方式得到的方程与边界条件分别在背景解处作线性化,得到对应的线性化问题.在第5.3节,给出了三类典型问题——沿着x轴方向的变系数输运方程组Cauchy问题,具有多个积分型非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题和任意截面上沿着y轴方向的常分方程两点边值问题解的适定性与正则性定理.在第5.4节,证明具有添质效应的亚音速流的稳定性,完成本文第二个主要结果的证明.第六章包含了本文所用数学工具的细节.在第6.1节,证明了线性常微分方程组在Holder空间中解的正则性.在第6.2节,给出了x向异性Holder空间的一些性质.在第6.3节,给出了输运方程组在x向异性Holder空间中解的适定性定理的证明.第七章是对后续工作的设想.
殷哲[7]（2020）在《一类具有年龄结构的传染病模型的分析》文中研究说明近年来,流行病学一直是生态学中的一个重要分支。人口动力学的发展十分迅速,许多数学模型被用来分析各种传染病。随着传染病的进化发展,可以发现一些传染病仅在儿童中传播,而一些传染病仅在成人中传播,还有一些传染病病毒携带者在早期潜伏期具有较高的感染风险,因此,研究个体的年龄结构使得传染病模型更与实际相符。针对具有年龄结构的传染病模型,本文主要讨论两种情况:其中一种是具有垂直传播和时滞的易感-暴露-感染-恢复-易感（SEIRS）传染病模型;另一种是具有脉冲接种的易感-感染-隔离-恢复（SIQR）传染病模型,主要工作如下:1.研究了具有垂直传播和时滞的年龄结构SEIRS传染病模型。首先,建立并描述传染病模型,利用特征线法求解出该系统的行波解。在一定假设条件下,得到连续行波解的存在唯一性。此外,通过一些简化,将年龄结构SEIRS系统简化为具有时滞的常微分方程,之后给出传染病模型中存在一个无病平衡点和一个地方病平衡点的无量纲指标,从而得到无病平衡点和地方病平衡点对于时滞τ=0和τ>0的局部稳定性。最后,利用一些数值模拟来说明理论结果。2.研究了具有脉冲接种的年龄结构SIQR传染病模型。首先,建立并描述传染病模型,对于疾病传播函数的一种特殊形式,并且通过利用一种还原方法,对模型进行简化,进一步得到了一个具有脉冲的六维常微分方程。最后采用脉冲微分比较定理的方法,得到模型无病周期解全局吸引性以及疾病一致持久性的充分条件。
任瑞芳[8]（2008）在《常微分方程理论的形成》文中研究指明常微分方程理论从创立至今已有300多年的历史了,作为一门理论意义和实际应用并重的学科,现已与其他学科不断交叉融合形成一些新的分支和增长点。本文在前人研究的基础上,利用历史分析、比较研究的方法,兼顾思想内容和具体方法,对常微分方程理论的形成进行研究,主要成果为:（1）考察了微分方程理论产生的社会、生产和科学背景,分析了17世纪力学、物理学、几何学和声学等自然科学与数学的紧密结合对微分方程学科萌芽的刺激作用。（2）深入探究了常微分方程在微积分创立过程中的原始形态和研究状况。牛顿是第一位开始求解微分方程的数学家,莱布尼茨则首次提出数学名词“微分方程”。本文重点考察了牛顿首创的级数法和他最先提出并应用于三体问题求解的参数变易思想,剖析了莱布尼茨解决与曲线有关的问题过程中微分三角形与微分方程的巧妙联合。指出:正是这些工作使微分方程从微积分研究中初露端倪,预示它即将作为一门新的分析分支登上数学舞台。（3）集中论述了17、18世纪数学史上兴起的五大公开挑战问题在常微分方程理论起源中的重要作用,分别指出:等时问题的提出使“积分”第一次被赋予数学意义而开始使用于微分方程求解;悬链线问题标志着探寻微分方程求解技术的发端;双曲线积分的成功表示从形式到实质上推进了求解技术的提高;最速降线问题是微分方程思想成功运用的最好范例;正交轨线问题增强了微分方程研究的理论色彩。（4）系统分析了常微分方程从微积分中分离的过程,对求解一阶特殊类型微分方程各种特殊解法的形成进行溯源,指出:从伯努利时代起,微分方程开始被作为独立的对象进行研究,微分方程学科逐步从微积分中分离出来,并为理论的形成作出铺垫。（5）对常微分方程理论的最终形成进行了深入研究,探讨了18世纪常微分方程研究模式发生的转变及其与常微分方程理论形成的关系,明确提出了常微分方程理论形成的标志。本文认为:刺激微分方程理论形成的关键表现在四个方面:欧拉在1728年着手处理的降阶问题、克莱洛在1734年深入研究的奇解问题、拉格朗日发现的伴随方程以及1743年对常系数线性微分方程求解的突破;1740年后,微分方程的研究转向寻求满足一整类方程通解的方法;18世纪末,研究重点又从求通解转向考虑“定解问题”。本文对证明存在性定理的三种方法形成的历程作了详细论述,提出了存在性定理的诞生是常微分方程理论形成的标志。（6）对常微分方程存在性定理形成后的理论扩展作了研究;分5个时期考察了鸦片战争到建国十年来我国微分方程理论的传播和发展情况,对每一时期主要的传播途径作了详细考察。
尹坤[9]（2020）在《带有反常扩散的非局部动力系统的惯性流形》文中研究说明本文主要研究了如何证明非局部发展方程以及耦合系统的惯性流形的存在性。第一部分,简单介绍了惯性流形的定义、发展、应用、我们的研究背景和研究意义,以及在证明过程中用到的偏微分方程、算子半群、索伯列夫空间、无穷维动力系统等相关知识。第二部分,考虑带有非局部Laplacian算子（-△）2（0<α<2）的非局部发展方程,在1≤α<2时,在满足“谱间隙条件”下证明了惯性流形的存在性,但空间维数是1维。第三部分,我们研究了由偏微分方程和常微分方程组成的耦合系统的惯性流形存在性。利用“空间平均原理”和“抽象不变流形定理”找出我们所需要的Lipschitz函数,再证明指数追踪性质,以此得到耦合系统惯性流形的存在性,证明过程中我们并未使用“谱间隙条件”,并且空间维数是3维。第四部分,对研究课题进行回顾和展望,指出空间平均原理的局限性以及非局部发展方程中的算子（-△）α/2在0<α<1时,由于谱的分布而无法使用空间平均原理,因此无法证明惯性流形在0<α<1时的存在性。同时,我们分析了惯性流形与控制理论的联系,并给出了一些可继续研究的方向。
周路艳[10]（2020）在《非线性偏微分方程的一些分支问题》文中研究表明本文研究了非线性偏微分方程的分支理论及其应用.主要包含两方面:一是以动力系统,Conley指标理论为工具研究局部半流与非线性发展方程的全局动态分支理论及其应用;二是以变分方法,静态分支理论为工具研究耦合非线性Schr（?）dinger方程组的正解的性质和结构.在全局动态分支理论及其应用方面,我们首先从不变集分支的角度对完备度量空间上的局部半流建立了两个新的全局动态分支定理.这两个定理的条件易验证且自然,因而它们可以有效地处理非线性发展方程中的动态分支问题.特别地,其中一个定理给出了全局动态分支是无界的充分条件.接下来,对非线性发展方程应用这些全局动态分支定理,无须假设“跨奇数重特征值”的条件,我们建立了Rabinowitz的全局分支定理的动态版本.并且,对一类特殊但重要的非线性发展方程,我们证明了其全局动态分支一定是无界的.此外,应用局部半流的全局动态分支定理,我们讨论了一类椭圆问题,得到了一些全局的结果.对耦合非线性Schr（?）dinger方程组的研究分为两部分.首先,我们研究了一类带Neumann边值条件的耦合非线性Schr（?）dinger方程组的正解的局部和全局分支结构.我们的结果表明,与相应的Dirichlet系统相比,Neumann系统有更丰富的分支结构.原因是Neumann系统有许多不同的同步解曲线,而这也给研究Neumann系统的全局分支带来了本质困难.我们需要采取新的技术证明源自不同的同步解曲线的全局分支是相互独立的.当空间是一维时,我们对系统的全局分支结构给出了详细的刻画.粗略地讲,Neumann系统有多个“分支树”结构.而相应的Dirichlet系统只有唯一的“分支树”结构.其次,我们研究了一些带有线性耦合项和非线性耦合项的Schr（?）dinger系统的正解的唯一性.在几种情形下,我们利用系统的局部及全局分支信息证明了新的正解的唯一性结果,特别是解决了系统完全对称时的一种退化情形,从而补充了文献中的相关结果.
二、关于常微分方程中解的存在唯一性簡介（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、关于常微分方程中解的存在唯一性簡介（论文提纲范文）
（1）几类Filippov系统与光滑微分系统的定性理论及应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 右端不连续微分方程的研究历史 |
| 1.2 稳定性理论发展的介绍 |
| 1.3 不连续生物动力系统的发展状况 |
| 1.4 HIV 动力学简介 |
| 1.5 不连续神经网络动力学简介 |
| 第2章 基础知识 |
| 2.1 不连续微分方程的介绍 |
| 2.2 Filippov 系统的定性理论 |
| 2.2.1 Filippov 解的定义和解的存在性与唯一性 |
| 2.2.2 平面 Filippov 系统中, 不连续曲面上解的特性 |
| 2.2.3 Σ-奇异点的拓扑结构 |
| 2.3 稳定性理论 |
| 2.3.1 光滑系统的稳定性理论 |
| 2.3.2 右端不连续动力系统的稳定性理论 |
| 第3章 右端不连续广义齐次非自治系统的动力学行为 |
| 3.1 基本介绍 |
| 3.2 解的收敛方式 |
| 3.3 扰动系统的动力学行为 |
| 3.4 举例 |
| 第4章 比率依赖的 Filippov 食饵捕食模型的动力学行为 |
| 4.1 模型 (4.0.2) 和模型 (4.0.4) 的动力学行为 |
| 4.2 不连续曲面上的动力学行为 |
| 4.3 系统 (4.2.7) 的全局动力学行为 |
| 4.3.1 极限环的存在性 |
| 4.3.2 系统 (4.2.7) 的渐近行为 |
| 4.4 生物意义 |
| γ + 1'>4.4.3 高增长率: μ > γ + 1 |
| 第5章 两类 HIV 仓室模型的动力学行为 |
| 5.1 模型 (5.0.2) 的全局动力学行为 |
| 5.1.1 模型的优良定义性、平衡点、基本再生数 |
| 5.1.2 无病平衡点 E_0的全局稳定性 |
| 5.1.3 感染平衡点 E_1的全局稳定性 |
| 5.2 模型 (5.0.3) 的全局动力学行为 |
| 5.2.1 模型的优良定义性和平衡点 |
| 5.2.2 E_0和 E_1的全局稳定性 |
| 5.3 数值模拟 |
| 第6章 具有不连续激励函数的 Hopfeld 神经网络模型 |
| 6.1 模型的介绍 |
| 6.2 主要结论 |
| 6.3 数值模拟 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 攻读学位期间所发表的学术论文目录 |
（2）浅谈解的存在唯一性定理在《偏微分方程数值解》中的应用（论文提纲范文）
| 0引言 |
| 1数值方法简述 |
| 2混合元格式解的存在唯一性定理及证明 |
| 3结语 |
（3）广义分数阶微积分中若干问题的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 1 绪论 |
| 1.1 分数阶微积分的起源 |
| 1.2 现代分数阶微积分的发展与应用 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 完备赋范空间与拓扑度理论 |
| 2.2 分数阶积分与分数阶导数的基本性质 |
| 2.3 本章小结 |
| 3 分数阶常微分方程边值问题的存在性 |
| 3.1 带有非正则边界条件的分数阶边值问题 |
| 3.2 带有积分边界条件的分数阶边值问题 |
| 3.3 带有反周期边界条件的分数阶边值问题 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 第一类广义分数阶算子的基本理论及应用 |
| 4.1 定义与基本性质 |
| 4.2 广义分数阶扩散-波动方程的数值解 |
| 4.3 广义分数阶振子的动力学分析 |
| 4.3.1 广义分数阶谐振子的动力学 |
| 4.3.2 广义分数阶van der Pol振子的动力学 |
| 4.4 本章小结 |
| 5 第二类广义分数阶算子的基本理论及应用 |
| 5.1 定义与基本性质 |
| 5.2 广义分数阶对流-扩散方程的数值解 |
| 5.3 广义分数阶Burgers方程的扩散特征 |
| 5.4 齐次广义扩散方程与广义对流-扩散方程的解析解 |
| 5.5 本章小结 |
| 6 广义分数阶变分问题 |
| 6.1 变分学基本原理 |
| 6.2 分数阶古典变分问题 |
| 6.2.1 确定边界的分数阶极值问题 |
| 6.2.2 不确定边界的分数阶极值问题 |
| 6.3 广义分数阶变分问题 |
| 6.3.1 确定边界的广义分数阶泛函极值问题 |
| 6.3.2 不确定边界的广义分数阶泛函极值问题 |
| 6.4 二维平面凸区域上的广义分数阶变分问题 |
| 6.4.1 二维平面凸区域上的广义分数阶积分和广义分数阶导数 |
| 6.4.2 广义分部积分公式 |
| 6.4.3 广义分数阶泛函极值问题 |
| 6.5 本章小结 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 工作总结 |
| 7.2 分数阶微积分领域的若干问题 |
| 参考文献 |
| 附录1 分数阶积分和导数的Laplace变换 |
| 附录2 分数阶常微分方程初值问题 |
| 附录3 凸区域上的广义分数阶Gauss公式和Stokes公式 |
| 攻读学位期间主要的研究成果 |
| 攻读学位期间参与的科研项目与学术经历 |
| 致谢 |
（4）非线性Feynman-Kac公式及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 倒向随机微分方程,轨道偏微分方程以及非线性Feynman-Kac公式 |
| 1.1 准备知识 |
| 1.1.1 泛函Ito公式 |
| 1.1.2 倒向随机微分方程 |
| 1.2 倒向随机微分方程解的性质 |
| 1.2.1 倒向随机微分方程解的可微性 |
| 1.2.2 过程Z的正则性 |
| 1.3 倒向随机微分方程与轨道偏微分方程 |
| 第二章 带跳的倒向随机微分方程与轨道抛物积分-微分方程 |
| 2.1 准备知识 |
| 2.1.1 泛函Ito公式 |
| 2.1.2 带跳的倒向随机微分方程 |
| 2.2 离散泛函情形下的Feynman-Kac公式 |
| 2.3 泛函情形下的非线性Feynman-Kac公式 |
| 2.3.1 倒向随机微分方程解的可微性 |
| 2.3.2 随机过程Z与K的正则性 |
| 2.3.3 轨道积分-微分方程 |
| 附录 |
| 第三章 G-布朗运动驱动的随机微分方程 |
| 3.1 准备知识 |
| 3.1.1 次线性期望 |
| 3.1.2 G-布朗运动 |
| 3.1.3 G-随机积分 |
| 3.2 G-随机微分方程与常微分方程 |
| 3.2.1 简单情形 |
| 3.2.2 一般情形 |
| 3.2.3 G-扩散过程 |
| 3.2.4 G-随机微分方程的比较定理 |
| 3.2.5 G-Ito公式 |
| 3.3 G-随机微分方程的数值解 |
| 3.3.1 逐轨道逼近 |
| 3.3.2 均值平方逼近 |
| 3.4 G-随机微分方程的容度分析 |
| 3.5 随机Perron方法 |
| 3.5.1 解的构造 |
| 3.5.2 解的验证 |
| 第四章 全非线性轨道偏微分方程的比较定理以及G-期望理论 |
| 4.1 G-随机分析与全非线性轨道偏微分方程 |
| 4.1.1 泛函G-Ito公式 |
| 4.1.2 全非线性Feynman-Kac公式 |
| 4.2 经典分析方法 |
| 第五章 G-布朗运动驱动的遍历倒向随机微分方程及其应用 |
| 5.1 准备知识 |
| 5.2 无穷区间上的G-倒向随机微分方程 |
| 5.3 全非线性椭圆偏微分方程 |
| 5.4 G-布朗运动驱动的遍历倒向随机微分方程 |
| 5.5 应用 |
| 5.5.1 全非线性偏微分方程的渐进行为 |
| 5.5.2 模型不确定下的遍历控制问题 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表及完成的论文 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（5）年龄结构传染病模型的动力学分析与最优控制问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号对照表 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 传染病的介绍及其危害 |
| 1.1.2 传染病的数学建模 |
| 1.2 研究现状及本文主要工作 |
| 1.2.1 年龄结构模型Hopf分支问题 |
| 1.2.2 年龄结构模型全局稳定性问题 |
| 1.2.3 年龄结构模型的最优控制问题 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.3.1 强连续半群与谱 |
| 1.3.2 无穷维空间相关概念 |
| 1.3.3 锥的相关概念 |
| 第2章 具有年龄结构的HIV模型的Hopf分支 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 非稠定Cauchy问题的Hopf分支定理 |
| 2.3 平衡态的稳定性和Hopf分支的存在性 |
| 2.3.1 平衡态的存在性和系统线性化 |
| 2.3.2 无病平衡态的稳定性 |
| 2.3.3 地方病平衡态的稳定性和Hopf分支 |
| 2.4 数值模拟 |
| 2.5 进一步讨论 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 带有预防的年龄结构疟疾模型的全局稳定性分析 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 疟疾模型和基本性质 |
| 3.2.1 模型的建立 |
| 3.2.2 模型的适定性 |
| 3.2.3 解半流的渐近光滑性 |
| 3.3 平衡态的存在性及其局部稳定性 |
| 3.3.1 平衡态的存在性 |
| 3.3.2 平衡态的局部稳定性 |
| 3.4 解半流的一致持续性和平衡态的全局稳定性 |
| 3.4.1 解半流的一致持续性 |
| 3.4.2 平衡态的全局稳定性 |
| 3.5 疟疾模型的数值模拟 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 带有治疗和复发的年龄结构肺结核模型分析 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 肺结核模型的建立 |
| 4.2.1 模型的适定性 |
| 4.2.2 解半流的渐近光滑性 |
| 4.3 平衡态的存在性及其局部稳定性 |
| 4.3.1 平衡态的存在性 |
| 4.3.2 平衡态的局部稳定性 |
| 4.4 解半流的一致持续性和平衡态的全局稳定性 |
| 4.4.1 解半流的一致持续性 |
| 4.4.2 平衡态的全局稳定性 |
| 4.5 中国肺结核新增病例研究 |
| 4.5.1 数值模拟 |
| 4.5.2 基本再生数的不确定性分析和敏感性分析 |
| 4.5.3 实现肺结核控制目标的可行性措施 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 带有接种和治疗的年龄结构 SIR 传染病模型的最优控制 |
| 5.1 年龄结构SIR传染病模型的建立 |
| 5.2 模型的适定性 |
| 5.3 最少染病人数及最小成本问题 |
| 5.4 最优控制的存在性 |
| 5.5 最小成本及最小偏差问题 |
| 5.6 具有终端约束的最优控制问题 |
| 5.7 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录A 攻读学位期间发表的学术论文以及参加的科研项目 |
| A.1 发表的学术论文 |
| A.2 参加的科研项目 |
（6）二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题来源 |
| 1.2 二维等截面直管中瑞利流的跨音激波稳定性问题及主要结果 |
| 1.2.1 瑞利流的跨音激波稳定性问题 |
| 1.2.2 主要结果 |
| 1.3 二维等截面直管道中带添质效应的亚音速定常可压缩Euler流稳定性问题及主要结果 |
| 1.3.1 带添质效应的亚音速定常可压缩Euler流的稳定性问题 |
| 1.3.2 主要结果 |
| 第二章 符号说明与基础知识 |
| 2.1 符号说明 |
| 2.2 基础知识 |
| 第三章 一维定常特解及其性质 |
| 3.1 热交换问题的一维定常特解 |
| 3.1.1 求解情形(A)的热交换问题一维定常特解的常微分方程组 |
| 3.1.2 求解情形(B)的热交换问题一维定常特解的常微分方程组 |
| 3.2 求解添质问题一维定常亚音速特解的常微分方程组 |
| 3.2.1 亚音速特解 |
| 第四章 热交换对跨音激波稳定性的影响 |
| 4.1 问题(P)的转化 |
| 4.1.1 在Lagrange坐标中的问题(P) |
| 4.1.2 特征分解 |
| 4.1.3 自由边值问题(FB)的线性化 |
| 4.2 具有非局部边界条件的线性椭圆-双曲耦合型方程组 |
| 4.2.1 唯一性和S-条件 |
| 4.2.2 先验估计 |
| 4.2.3 解的存在性 |
| 4.3 定理4.1的证明 |
| 4.3.1 迭代集合 |
| 4.3.2 非线性映射τ |
| 4.3.3 τ的压缩性 |
| 第五章 添质对亚音流稳定性的影响 |
| 5.1 分解引理 |
| 5.1.1 添质问题的分解引理 |
| 5.2 压强的方程与边界条件和等价问题Ⅱ |
| 5.2.1 化简压强p的方程和进口处的边界条件 |
| 5.2.2 线性化和等价问题Ⅲ |
| 5.3 典型问题 |
| 5.3.1 典型问题1: 总焓和熵满足的变系数输运方程组的Cauchy问题 |
| 5.3.2 典型问题2: 压强p的带有多个积分型非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题 |
| 5.3.3 典型问题3: 在截面上切向速度v满足的常微分方程两点边值问题 |
| 5.4 迭代格式 |
| 5.4.1 构造迭代映射τ |
| 5.4.2 τ的压缩性 |
| 5.4.3 映射τ在X_(Mε)中存在唯一不动点 |
| 5.4.4 提升切向速度v关于法向的正则性 |
| 第六章 附录 |
| 6.1 线性常微分方程组在Holder空间中解的正则性 |
| 6.2 x向异性Holder空间 |
| 6.3 定理5.1的证明 |
| 第七章 后续工作的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者在学期间的科研成果 |
（7）一类具有年龄结构的传染病模型的分析（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 传染病的研究背景及意义 |
| 1.2 传染病模型的研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.4.1 特征线法 |
| 1.4.2 脉冲微分方程定理 |
| 第2章 具有垂直传播和时滞的年龄结构SEIRS传染病模型 |
| 2.1 模型的建立 |
| 2.2 行波解的存在唯一性 |
| 2.3 系统的稳定性分析 |
| 2.4 数值模拟 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 具有脉冲接种的年龄结构SIQR传染病模型 |
| 3.1 模型的建立 |
| 3.2 无病周期解的存在性 |
| 3.3 无病周期解的全局吸引性 |
| 3.4 系统的持久性 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 结论与展望 |
| 4.1 结论 |
| 4.2 展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（8）常微分方程理论的形成（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 引言 |
| 1.选题目的 |
| 2.研究综述 |
| 3.文章编排 |
| 第1章 微分方程理论产生的总体背景 |
| 1.1 生产背景 |
| 1.2 科学背景 |
| 1.3 学科背景 |
| 第2章 微积分创立中的常微分方程 |
| 2.1 牛顿与莱布尼茨之前的微分方程 |
| 2.2 牛顿的微积分与微分方程 |
| 2.3 莱布尼茨的微积分与微分方程 |
| 第3章 与常微分方程理论起源相关的5大问题 |
| 3.1 等时问题 |
| 3.2 悬链线问题 |
| 3.3 双曲线的积分问题 |
| 3.4 最速降线问题 |
| 3.5 正交轨线问题 |
| 第4章 常微分方程与微积分的分离 |
| 4.1 伯努利时代的前驱性贡献(1690-1740) |
| 4.2 欧拉时代在求解微分方程方面的贡献(1730-1740) |
| 第5章 常微分方程理论的形成 |
| 5.1 欧拉时代的理论奠基(1740-1790) |
| 5.2 拉格朗日时代的理论拓展(1780-1820) |
| 5.3 研究模式的转化及原因探析—从求通解到考虑“定解问题” |
| 5.4 存在性定理的诞生 |
| 第6章 常微分方程理论的扩展概况及其在中国的传播与发展 |
| 6.1 常微分方程理论的扩展概况 |
| 6.2 常微分方程理论在中国的传播与发展(1840-1959年) |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（9）带有反常扩散的非局部动力系统的惯性流形（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究意义 |
| 1.3 研究内容 |
| 2 预备知识 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 准备知识 |
| 3.3 局部和全局解 |
| 3.4 惯性流形的存在性 |
| 4 带有二阶常微分方程的耦合方程组的惯性流形 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 空间平均原理 |
| 4.3 抽象不变流形定理 |
| 4.4 耦合系统的惯性流形存在性 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（10）非线性偏微分方程的一些分支问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 引言 |
| 1.1 全局动态分支 |
| 1.2 耦合非线性Schr(?)dinger方程组 |
| 1.3 本文的安排及主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 拓扑学中的一些记号及基本引理 |
| 2.2 定点空间的Wedge积 |
| 2.3 局部半流 |
| 2.4 Conley指标 |
| 2.5 扇形算子和分数幂空间 |
| 2.6 具有紧预解式的扇形算子的扰动 |
| 2.7 Rabinowitz的全局分支定理 |
| 第三章 局部半流和非线性发展方程的全局动态分支 |
| 3.1 动态分支 |
| 3.2 局部半流的全局动态分支定理 |
| 3.2.1 第一个全局动态分支定理 |
| 3.2.2 第二个全局动态分支定理 |
| 3.3 非线性发展方程的全局动态分支定理 |
| 第四章 全局动态分支理论在椭圆问题中的应用 |
| 4.1 主要结果 |
| 4.2 非经典的抛物流 |
| 4.3 流的渐近紧性 |
| 4.4 流在无穷远处的稳定性 |
| 4.5 定理4.1.1的证明 |
| 第五章 非线性Schr(?)dinger方程组的全局分支: Neumann问题 |
| 5.1 准备工作和主要结果 |
| 5.1.1 单个方程的正解的一些性质 |
| 5.1.2 一维情形 |
| 5.1.2.1 已知的结果 |
| 5.1.2.2 正解的非退化性 |
| 5.1.3 主要结果 |
| 5.2 局部分支 |
| 5.3 全局分支 |
| 5.3.1 定理5.1.6的证明 |
| 5.3.2 定理5.1.7的证明 |
| 5.3.2.1 系统(5-1)的正解的一些性质 |
| 5.3.2.2 定理5.1.7的证明 |
| 第六章 一些Schr(?)dinger系统的正解的唯一性 |
| 6.1 主要结果 |
| 6.2 定理6.1.1的证明 |
| 6.3 定理6.1.2的证明 |
| 6.4 定理6.1.3的证明 |
| 第七章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 发表论文和参加科研情况说明 |
| 致谢 |
四、关于常微分方程中解的存在唯一性簡介（论文参考文献）
- [1]几类Filippov系统与光滑微分系统的定性理论及应用研究[D]. 陈小艳. 湖南大学, 2015(09)
- [2]浅谈解的存在唯一性定理在《偏微分方程数值解》中的应用[J]. 王金凤. 现代计算机(专业版), 2014(02)
- [3]广义分数阶微积分中若干问题的研究[D]. 徐宇锋. 中南大学, 2014(02)
- [4]非线性Feynman-Kac公式及其应用[D]. 王法磊. 山东大学, 2014(04)
- [5]年龄结构传染病模型的动力学分析与最优控制问题[D]. 郭中凯. 兰州理工大学, 2019(02)
- [6]二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析[D]. 高俊磊. 华东师范大学, 2021(08)
- [7]一类具有年龄结构的传染病模型的分析[D]. 殷哲. 北京交通大学, 2020
- [8]常微分方程理论的形成[D]. 任瑞芳. 西北大学, 2008(08)
- [9]带有反常扩散的非局部动力系统的惯性流形[D]. 尹坤. 中国矿业大学, 2020(01)
- [10]非线性偏微分方程的一些分支问题[D]. 周路艳. 天津大学, 2020(01)