一、求解数理方程中边界条件齐次化的某些技巧（论文文献综述）
韩秀芹[1]（1993）在《求解数理方程中边界条件齐次化的某些技巧》文中认为 用分离变量法求解数理方程,须先将边界条件齐次化。即将问题的解分解为两个,其中一个满足非齐次边界条件,另一个满足齐次边界条件,再利用线性方程的叠加原理,则可得到原问题的解。具体地讲.就是要构造一个函数ω,使它满足非齐次边界条件。文[1]讨论了将边界条件齐次化的一般方法。但显然这样的ω不是唯
王洪信[2]（2000）在《论分离变量法》文中进行了进一步梳理分离变量法是求解数理方程的一种重要方法。其可将偏微分方程分离为常微分 方程，使得一些偏微分方程变得可解。其应用范围很广泛，但是不可避免地存 在着局限性。
王晶[3]（2014）在《数学物理方程中的分离变量法》文中认为分离变量法是数学物理方程中求解有限域上的初边值问题的主要方法。本文首先给出了分离变量法的思想,进一步讨论了不同类型的初边值问题的求解。通过举例说明加深了我们对分离变量法的理解。
刘德朋[4]（2006）在《边界条件齐次化辅助函数的统一形式》文中研究说明用分离变量法求解数理方程混合问题时,要求其第一、二、三类边界条件必须是齐次的.若为非齐次的,必须寻求恰当的辅助函数w（x,t）,进行变换将其化为齐次的.本文从稳定条件下的线性非齐次边界条件出发,给出了w（x,t）的统一形式,进而将其推广到非稳定条件下的非齐次边界条件,得到w（x,t）的一般的结果.
刘礼书[5]（2001）在《边界条件的齐次化方法》文中提出在求解数理方程过程中，常遇到非齐次边界条件的定解问题，本文介绍使边界条件齐次化的一般方法。
刘德朋,孙启美[6]（2004）在《W（x,t）普遍结果的推导》文中指出用分离变量法求解数理方程定解问题时,要求其第一、二、三类边界条件必须是齐次的。若为非齐次的,必须寻求恰当的辅助函数w（x,t）,进行变换,将其化为齐次的。从稳定条件下的线性非齐次边界条件出发,给出了w（x,t）的统一形式,进而将其推广到非稳定条件下的非齐次边界条件,得到w（x,t）的一般的结果。
蔡睿贤,刘启斌[7]（2008）在《求解数理方程解析解的一种新方法——混合分离变量法》文中研究说明各种反映物理现象的基本数理方程的解析解,既有其无可替代的理论意义,也可作为标准解来校核各种数值计算,甚至可以发展各种计算技巧.我们提出求解数理方程的一种新方法——混合分离变量法,即采用常规的乘法分离变量法与第一作者发展的加法分离变量法相结合的途径来求解数理方程.以多孔介质中具有温度与浓度梯度耦合的自然对流方程为例,得到多组简明的显式解,并给出了其简单情况下的物理内涵.
刘勇[8]（2020）在《间断有限元方法和随机偏微分方程的缩减基方法的研究》文中研究表明本文研究间断有限元（discontinuous Galerkin,简称DG）方法求解偏微分方程的数值分析,及其在可压缩磁流体动力学（Magnetohydrodynamic,简称MHD）中的数值模拟,以及利用缩减基方法（reduced basis method,简称RBM）加快对随机偏微分方程的数值求解。论文主要分成两个部分。第一部分包括DG方法的数值分析和MHD数值模拟的研究。数值分析上,我们主要利用一种平移技术构造了一种全新的特殊投影算子,并分析了投影算子的有界性,证明了对于线性的双曲守恒律方程,交错网格上的中心间断有限元（central DG,简称CDG）方法的半离散格式的最优误差估计。在均匀交错的网格下,对于一维情形,基于分片pk元（k次多项式有限元空间）,我们证明了 k+1阶L2范数的误差估计。对于多维情形,证明了在均匀的笛卡尔交错网格下,有限元空间采用分片Qk元（每个分量k次多项式的张量积）,L2范数同样有最优收敛阶。利用这种投影算子,帮助我们处理CDG的空间离散部分获得最优收敛阶的证明。数值算例同样验证了我们理论结果的最优性。我们继续利用这种平移技术证明了在二维的均匀矩形网格下,基于分片pk元的经典半离散DG格式对于标量双曲方程有最优k+1阶收敛。我们分别对于三种情形给出证明,分别是线性常系数,线性变系数和非线性情形。除了最优误差估计的研究,我们对一种具有最优阶的能量守恒DG方法,研究其超收敛性质。利用构造修正函数的技巧证明了半离散的数值解在节点的数值流通量和单元平均值具有2k+1阶的超收敛,以及数值解k+2阶地超收敛于真解的一种特殊投影。我们还发现DG的近似解的导数值和函数值在某些特殊点处分别以k+1和k+2阶的精度超收敛。此外,数值计算上,我们研究了DG方法对可压缩磁流体动力学的数值模拟。我们发展了两种数值格式,分别是笛卡尔坐标系下的熵稳定的节点DG格式和柱坐标下的局部磁场散度为零的DG格式。在笛卡尔坐标系下,针对结构网格,我们考虑可对称化Godunov形式的MHD方程,分析了半离散格式的熵稳定性质。通过设计合适的积分公式,熵守恒的数值流通量以及单元边界的熵稳定数值流通量,使得数值格式满足熵稳定。对于MHD方程另一个重要的物理性质,磁场散度为零,我们针对柱坐标（r,φ,z）下的MHD方程设计了 3维的满足局部磁场散度为零的谱-DG方法。由于特殊的物理问题的性质,我们对于φ方向采用傅里叶谱方法进行数值近似,使用DG方法离散（r,z）空间。我们构造了磁场的局部散度为零的函数集合保证每个单元内部磁场的散度为零。数值算例验证了我们算法的有效性。第二部分是关于缩减基方法对于随机微分方程的应用。我们针对线性（常微和偏微）的任意类型噪声（不一定是Gaussian噪声）驱动的随机微分方程提出,分析并实现了一种新的缩减基方法。我们的算法主要有四个特点。首先,我们提出了一种新的时空处理方法对于时间依赖的ODE和PDE数值格式。第二个是一种保证精度的高效空间分量压缩技术用于RBM的基函数。第三个是对于非参数化问题提出一种非常规的参数化方法。最后是RBM是没有明显的离线过程的,但是仍然有高效的在线过程处理得到的参数化问题。数值结果表明我们的算法的有效性和鲁棒性。
刘喜斌[9]（2011）在《关于非齐次边界条件的处理》文中研究说明在求解数理方程的定解问题时,常常遇到非齐次边界条件的情形.本文就几种常见的非齐次边界的定解问题分别加以讨论,指出如何选择一个适当的未知函数的替换,使原定解问题化为关于新的未知函数含齐次边界条件的定解问题.
王烨[10]（2008）在《基于矢量有限元的高频大地电磁法三维数值模拟》文中研究指明由于中深度工程地球物理勘探的迫切需要,以美国EH-4电导率成像系统为代表的高频率大地电磁法在我国地球物理勘探行业应用越来越广泛。高频大地电磁法属于采集天然场信号的被动源电磁方法,采集的信号频率范围为10Hz～100KHz,研究深度从地下的十几米至上千米。论文研究的基于矢量有限元的高频率的被动源电磁测深法,紧密结合当前我国中深度地球物理勘探中电磁法大量应用的实际情况,不仅具有学术意义,对指导工程实践也有一定的价值。论文研究的重点是以标量有限元和矢量有限元为核心的、以高频率电磁波为对象的正演数值模拟方法。主要包括四部分:建立与高频大地电磁法边值问题相等价的变分问题,为有限元数值计算奠定数理基础;标量/矢量有限元方法的研究;加速标量/矢量有限元矩阵系统方程迭代求解技术的研究;实现高频大地电磁参数精确快速正演模拟的研究。希望给后续的正反演研究工作提供科学的依据和参考,在减少地球物理多解性方面做一些有益的探索和实践。本文的主要内容和创新成果如下:1.在前人工作的基础上,从麦克斯韦电磁场双旋度方程出发,分别利用广义变分原理和加权余量法推导了高频大地电磁场在有耗介质中边值问题的稳定泛函,建立了变分方程,为有限元的计算的稳定性和准确性提供了数理保证。2.传统的标量有限元在解决矢量电磁场边值问题时,需要将未知量转化为标量场问题,然后进行求解。这种基于标量基函数处理矢量电磁场问题时,会造成非物理解或伪解问题的出现、异常体表面强加边界条件的不方便以及处理介质或导体边缘及角的困难性。本文利用了一种新型的矢量插值基函数来近似未知函数,将自由度赋给单元的棱边而不是节点,避免了传统标量有限元的困难,所做的工作证明,矢量有限元在高频大地电磁数值模拟中应用的非常成功,得到了较好的结果。3.论文研究了一种新型的大型病态线性方程组的求解方法——改进的威尔金森方法。应用这种方法进行求解不仅加速了有限元线性方程组的迭代收敛速度,而且大大降低了矩阵方程的求解时间,特别是在求解大地电磁场矩阵方程的情况下,此时矩阵方程的性态极差,一般的数值求解方法很难收敛到比较满意的截断门限,但该方法依然能够取得较好的效果。4.以典型的模型,计算并详细分析了三维情况下,标量有限元和矢量有限元高频大地电磁的响应特征、精度和速度,分别探讨了山谷地形、山脊地形和复杂地形条件下电磁异常的特点和变化规律。在本文的结论部分还指出了一些不足和今后工作的建议。
二、求解数理方程中边界条件齐次化的某些技巧（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、求解数理方程中边界条件齐次化的某些技巧（论文提纲范文）
（4）边界条件齐次化辅助函数的统一形式（论文提纲范文）
| 1 引言 |
| 2 稳定的线性非齐次边界条件齐次化的辅助函数的统一形式 |
| 2.1 当k=0时, 得 |
| 2.2 当k≠0时, 得: |
| 2.3 由2.1及2.2得线性非齐次边界条件齐次化辅助函数w (x) 的统一形式为: |
| 3 非稳定的线性非齐次边界条件齐次化的辅助函数的统一形式 |
| 4 推广 |
（7）求解数理方程解析解的一种新方法——混合分离变量法（论文提纲范文）
| 1 控制方程 |
| 2 第一组解析解 (所有变量均采用加法分离变量法) |
| 3 第二组解析解 (ψ和p采用加法分离变量法, θ采用常规分离变量法) |
| 4 第三组解析解 (ψ和θ采用加法分离变量法, p采用常规分离变量法) |
| 5 第四组解析解 (ψ采用加法分离变量法, p和θ采用常规分离变量法) |
| 6 第五组解析解 (ψ采用常规分离变量法, p和θ采用加法分离变量法) |
| 7 第六组解析解 (ψ和θ采用常规分离变量法, p采用加法分离变量法) |
| 8 第七组解析解 (ψ和p采用常规分离变量法) |
| 9 结论 |
（8）间断有限元方法和随机偏微分方程的缩减基方法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 DG方法的国内外发展现状 |
| 1.2.1 交错网格上的中心DG方法 |
| 1.2.2 能量守恒的DG方法 |
| 1.2.3 熵稳定的DG方法 |
| 1.2.4 保磁场散度为零的DG方法 |
| 1.2.5 时间离散方法 |
| 1.3 自由分布的随机分析 |
| 1.4 缩减基方法 |
| 1.5 常用记号 |
| 1.6 本文的主要内容 |
| 第2章 交错网格上中心DG方法的最优误差估计 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 一维交错网格上中心DG方法 |
| 2.3 高维交错网格上中心DG方法 |
| 2.4 数值算例 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 二维双曲方程笛卡尔网格上的DG方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 线性常系数方程 |
| 3.2.1 最优误差估计的结果 |
| 3.2.2 最优误差估计的证明 |
| 3.3 线性变系数方程 |
| 3.3.1 最优误差估计的结果 |
| 3.3.2 最优误差估计的证明 |
| 3.4 非线性方程 |
| 3.4.1 最优误差估计的结果 |
| 3.4.2 最优误差估计的证明 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 能量守恒DG方法的超收敛性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 能量守恒DG格式 |
| 4.3 格式的超收敛性 |
| 4.3.1 插值函数的超收敛性 |
| 4.3.2 数值流通量和单元平均的超收敛性 |
| 4.3.3 特殊点的超收敛性 |
| 4.4 数值算例 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 理想MHD方程的熵稳定DG方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 理想MHD方程 |
| 5.2.1 理想MHD的熵函数 |
| 5.3 熵稳定的高阶DG格式 |
| 5.3.1 Gauss-Lobatto积分及分部求和 |
| 5.4 数值算例 |
| 5.4.1 一维黎曼问题 |
| 5.4.2 扭转Alfven脉冲波 |
| 5.4.3 Orszag-Tang涡问题 |
| 5.4.4 转子测试 |
| 5.4.5 光滑Alfven波 |
| 5.4.6 旋转的激波管问题 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 柱坐标下理想MHD方程局部散度为零的谱-DG方法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 柱坐标下的MHD方程 |
| 6.3 数值方法 |
| 6.3.1 谱-DG格式 |
| 6.3.2 散度为零限制 |
| 6.4 数值算例 |
| 6.5 本章小结 |
| 第7章 无离线阶段的RBM方法 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 随机偏微分方程模型 |
| 7.3 COFRB算法 |
| 7.3.1 SODE问题 |
| 7.3.2 SPDE问题 |
| 7.4 COFRB算法的复杂度分析 |
| 7.4.1 COFRB_ODE的计算复杂度 |
| 7.4.2 COFRB_PDE的计算复杂度 |
| 7.5 数值算例 |
| 7.6 本章小结 |
| 第8章 总结和展望 |
| 8.1 总结 |
| 8.2 展望 |
| 参考文献 |
| 部分引理和命题的证明 |
| A.1 第2章引理和命题的证明 |
| A.1.1 引理2.3的证明 |
| A.1.2 命题2.4的证明 |
| A.1.3 引理2.7的证明 |
| A.1.4 引理2.8的证明 |
| A.2 第3章引理和命题的证明 |
| A.2.1 引理3.3的证明 |
| A.2.2 引理3.4的证明 |
| A.2.3 命题3.5的证明 |
| A.2.4 引理3.8的证明 |
| A.2.5 命题3.10的证明 |
| A.3 第4章引理和命题的证明 |
| A.3.1 引理4.2的证明 |
| A.3.2 定理4.4的证明 |
| A.3.3 定理4.6的证明 |
| A.3.4 定理4.7的证明 |
| 算法的实现细节 |
| A.4 算法2的实现 |
| A.4.1 步骤5 |
| A.4.2 步骤6 |
| A.4.3 步骤10 |
| A.5 算法3的实现 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（10）基于矢量有限元的高频大地电磁法三维数值模拟（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 高频大地电磁测深法研究意义及发展概况 |
| 1.2 被动源电磁测深数值模拟概况 |
| 1.2.1 地球物理正演问题研究方法概述 |
| 1.2.2 被动源电磁测深有限单元法正演数值模拟国内外研究现状 |
| 1.2.3 矢量有限单元法数值模拟国内外研究现状 |
| 1.3 被动源电磁测深数值模拟目前存在的问题 |
| 1.4 本文的研究内容和结构安排 |
| 第二章 高频大地电磁有限元泛函方程 |
| 2.1 高频大地电磁场的边值问题 |
| 2.1.1 二维边值问题 |
| 2.1.2 三维边值问题 |
| 2.2 与边值问题等价的变分问题 |
| 2.2.1 电磁变分原理 |
| 2.2.1.1 里兹变分方法 |
| 2.2.1.2 加权余量法 |
| 2.2.2 变分方程 |
| 2.2.2.1 二维变分方程 |
| 2.2.2.2 三维变分方程 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 标量、矢量基函数及单元矩阵分析 |
| 3.1 网格剖分 |
| 3.2 二维标量和矢量基函数 |
| 3.2.1 基于标量基函数的双线性插值 |
| 3.2.2 基于标量基函数的双二次插值 |
| 3.2.3 矢量基函数 |
| 3.3 三维标量和矢量形函数 |
| 3.3.1 标量六面体基函数 |
| 3.3.2 矢量六面体基函数 |
| 3.4 二维单元分析 |
| 3.4.1 标量双线性插值单元分析 |
| 3.4.1.1 区域剖分 |
| 3.4.1.2 双线性插值 |
| 3.4.1.3 单元分析 |
| 3.4.2 标量双二次插值单元分析 |
| 3.4.2.1 区域剖分 |
| 3.4.2.2 双二次插值 |
| 3.4.2.3 单元分析 |
| 3.5 三维标量和矢量单元分析 |
| 3.5.1 标量双线性插值单元分析 |
| 3.5.1.1 区域剖分 |
| 3.5.1.2 单元插值 |
| 3.5.1.3 单元分析 |
| 3.5.2 矢量单元分析 |
| 3.5.2.1 区域剖分 |
| 3.5.2.2 单元插值 |
| 3.5.2.3 单元分析 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 大型病态线性方程组的高效快速求解 |
| 4.1 大型稀疏矩阵元素的压缩存储 |
| 4.1.1 大型稀疏矩阵的特点 |
| 4.1.2 压缩存储方法 |
| 4.2 大型病态线性方程组威尔金森(Wilkinson)求解方法 |
| 4.2.1 大型线性方程组的求解方法 |
| 4.2.2 威尔金森方法 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 正演模拟算例及分析 |
| 5.1 基本参数的设置 |
| 5.2 程序正确性检验及误差分析 |
| 5.2.1 二维标量高频大地电磁有限元程序验证 |
| 5.2.2 三维标量、矢量高频大地电磁有限元程序验证 |
| 5.3 复杂二维介质正演计算 |
| 5.4 标量与矢量有限元三维介质模型计算及分析 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 结论与建议 |
| 6.1 本文主要研究成果 |
| 6.2 论文的主要创新点 |
| 6.3 进一步的研究方向和建议 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表的论文和参加科研情况 |
四、求解数理方程中边界条件齐次化的某些技巧（论文参考文献）
- [1]求解数理方程中边界条件齐次化的某些技巧[J]. 韩秀芹. 工科数学, 1993(04)
- [2]论分离变量法[J]. 王洪信. 沧州师范专科学校学报, 2000(04)
- [3]数学物理方程中的分离变量法[J]. 王晶. 中国校外教育, 2014(12)
- [4]边界条件齐次化辅助函数的统一形式[J]. 刘德朋. 高等数学研究, 2006(03)
- [5]边界条件的齐次化方法[J]. 刘礼书. 江西教育学院学报(自然科学), 2001(03)
- [6]W（x,t）普遍结果的推导[J]. 刘德朋,孙启美. 杭州电子工业学院学报, 2004(03)
- [7]求解数理方程解析解的一种新方法——混合分离变量法[J]. 蔡睿贤,刘启斌. 中国科学（G辑:物理学 力学 天文学）, 2008(09)
- [8]间断有限元方法和随机偏微分方程的缩减基方法的研究[D]. 刘勇. 中国科学技术大学, 2020(01)
- [9]关于非齐次边界条件的处理[J]. 刘喜斌. 湖南理工学院学报(自然科学版), 2011(02)
- [10]基于矢量有限元的高频大地电磁法三维数值模拟[D]. 王烨. 中南大学, 2008(03)