一、有界对称区间上微分算子谱点的个数（论文文献综述）
邢钦[1]（2021）在《拉格朗日系统异宿轨的莫尔斯指标理论》文中研究表明本文主要分为两个部分,在第一部分我们研究了一般拉格朗日系统异宿轨和半宿轨的莫尔斯指标理论。为建立这一理论,我们首先给出了定义在全直线或者半直线上施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）算子是弗雷德霍姆（Fredholm）算子的充分必要条件,进而给出异宿轨的莫尔斯指标和Maslov指标之间的关系,同时给出了一般自伴边值条件下半宿轨的莫尔斯指标和Maslov指标之间的关系。另外,我们计算了半宿轨在一般自伴边值条件下和在狄利克雷（Dirichlet）边值条件下莫尔斯指标之差。在第二部分,我们建立了具有Skew-Gradient结构的反应扩散方程的行波解的指标理论。对于这一类的系统,因为对应的线性化算子是非自伴的并且缺乏哈密顿结构,所以第一部分的处理技巧不能直接应用,为了克服这一点,我们首先给出一个合适的辛空间,同时证明在这个辛内积下,对应的稳定空间和不稳定空间都是拉格朗日子空间,从而我们可以定义行波解的Maslov指标,进而给出行波解不稳定特征值和Maslov指标之间的关系。作为应用,我们通过这一指标给出了 FitzHugh-Nagumo方程行波解的不稳定特征值的精确个数。
刘乙萱[2]（2019）在《两类高阶正则微分算子的谱问题》文中研究表明常微分算子的谱问题广泛应用于各个学科以及众多工程技术领域,因而越来越多的学者致力于这一问题的研究.其中,特征值关于参数的依赖性问题以及逆谱问题是谱问题中两个重要课题,它们在电子学以及量子力学等领域具有实际应用价值,同时也对特征值的数值计算以及数学物理中非线性发展方程的求解起到关键作用.本文主要针对复三阶测度微分方程和区间内部具有转移条件的非自伴Sturm-Liouville算子展开研究,包括耦合型边值条件下的复三阶测度微分方程的解和特征值关于测度系数在不同拓扑下的连续依赖性问题;耦合型边值条件下复三阶测度微分方程的Ambarzumyan-型定理问题;区间内部具有转移条件的非自伴Sturm-Liouville算子的唯一性以及重构问题.全文共分六章.第一章为绪论,叙述本文的研究背景,选题意义,研究现状以及本文的主要工作.第二章介绍了测度,Lebesgue-Stieltjes积分,弱*拓扑的基本定义和相关性质.此外,给出复三阶测度微分方程解的定义和基本性质.第三章系统地研究了有限区间上复三阶测度微分方程的解关于测度系数在不同拓扑下的连续依赖性问题,证明了解关于测度系数在弱*拓扑下是连续的以及在有界变差范数诱导的强拓扑下是连续可微的.其次,分析了复三阶测度微分方程的基本解关于参数λ的渐近性质以及解析性质.第四章考虑了耦合型边值条件下复三阶测度微分方程的特征值关于测度系数以及边值条件的连续依赖性问题.通过分析特征值的重数与边值条件的关系以及方程的解关于测度系数的连续依赖性,借助隐函数定理,证明了特征值关于测度系数在弱*拓扑下是连续的以及在强拓扑下是连续可微的.此外,我们还证明了特征值关于边值条件的连续可微性.特别地,针对特殊边值条件,利用解的渐近估计以及特征值的计数引理,证明了第n个特征值关于测度系数在强拓扑和弱*拓扑下均为连续的,并且第n个特征值关于测度系数在强拓扑下是可微的.第五章研究了耦合型边值条件下复三阶测度微分方程的Ambarzumyan-型定理问题.借助解的渐近估计,特征值的分布以及特征函数零点的分布,证明了一组特征值可以唯一确定复三阶测度微分方程中的测度系数和边值条件.第六章考虑区间内部具有转移条件的非自伴Sturm-Liouville算子的逆谱问题.首先给出与多重谱对应的广义谱数据的定义.然后,讨论了广义谱数据与Weyl函数之间的唯一确定性问题,并证明了Weyl函数可以唯一确定势函数,边值条件及转移条件.最后,运用谱映射的方法给出用广义谱数据重新构造算子的算法.
赵迎春[3]（2018）在《内部具有不连续性Sturm-Liouville算子的研究》文中研究指明本文主要围绕内部具有不连续性Sturm–Liouville算子展开研究.微分算子是线性算子中有着非常深刻应用背景的一类无界线性算子.数学物理及其它应用科学中许多问题都可归结为确定微分算子的特征值和特征函数以及将任意函数按特征函数展开成级数（或积分）的问题,其中很多实际问题,例如具有叠层的热传导问题、带有结点的弦振动问题、势函数是广义函数的微分算子等,都可以转化为内部具有不连续性的微分算子问题.广为被关注的“弹子动力系统”也可以从微分算子谱理论的角度来观察和研究,即:考虑一类与其相关的微分算子（带有无穷多个不连续点的微分算子）,在不连续点附加转移条件来刻画质点的碰撞运动.因此内部具有不连续性微分算子的研究受到很多本领域数学工作者的广泛关注.本文将围绕内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子以及内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子展开研究,并且把研究重点放在内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的亏指数、自共轭扩张域刻画、谱的离散性,内部具有不连续性左定Sturm–Liouville算子的谱分析,内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的非实特征值存在性及其个数等方面的问题上.本文前半部分考虑了内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子.首先,我们研究了此类算子的自共轭扩张描述问题.我们注意到:亏指数为无穷的对称微分算子需要无穷多个函数来描述其自共轭扩张域且这一组函数须满足“最大选取”条件.我们结合不连续点附加的转移条件给出了新的内积,建立了新的Hilbert空间,把问题放在这个新空间框架中去考虑,引入了新的概念,即与转移条件相关的最大算子max和最小算子min,证明了min在新建立的Hilbert空间中是具有有限亏指数的闭对称算子,且与max是相互共轭的,从而在新的空间框架下,很巧妙地将无穷亏指数问题转化成了有限亏指数问题,去掉了“最大选取”的限制.再利用微分方程的参数解,给出了min的所有自共轭扩张直接而完全的描述,进而讨论了最小算子min自共轭扩张的构造问题.在此基础上,我们进一步研究了某一类内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的亏指数、Friedrichs扩张、谱的离散性等问题.我们把问题放在一个与转移条件相关联的新空间框架中,给出了此类问题的亏指数取值范围,进一步给出了这类微分算子亏指数为（1,1）的充分条件,即系数函数,、不连续点及其转移条件的系数矩阵应满足的条件,讨论其下有界性,进而刻画了它的Friedrichs扩张.之后,我们利用算子分解方法给出了这类微分算子谱是离散的充分条件.本文后半部分考虑了内部具有不连续性的不定Sturm–Liouville算子.首先,我们利用特征曲线和Krein空间中的线性算子谱理论研究了内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的谱分析问题,证明了内部具有不连续性左定Sturm–Liouville问题的谱是实的、离散的、没有有限聚点、且上下无界,进一步讨论了内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的非实特征值存在性及其个数问题,给出了若干判断其问题的非实特征值是否存在及其个数的充分条件.之后,我们进一步研究了分离型边界条件情形下的内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子,证明了其特征曲线的解析性质,讨论了此类微分算子的非实特征值个数问题,并给出了具体的两个例子.全文共分为六章:第一章为绪论部分,主要给出了本文所考虑问题的研究背景、研究意义及其国内外研究进展和本文主要研究结果及创新点;第二章简单介绍了本文中所涉及的一些基本概念和重要引理;第三章建立了与微分算子内部不连续性相关联的新内积空间,研究了内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的自共轭扩张描述问题;第四章研究了一类内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的亏指数、Friedrichs扩张、谱的离散性等问题;第五章研究了内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的谱分析问题;第六章研究了分离型边界条件情形下的内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的非实特征值问题.
杨浩[4]（2017）在《变系数光波导中特征模求解及其在传播计算中的应用》文中研究指明谱元方法（Spectral Element Method （SEM））,类似于谱方法（Spectral Method （SM））,把解展开成一组基函数,这些基函数大多是高阶多项式;同时类似于有限元方法（Finite Element Method （FEM））,把计算域分解成多个更加简单的区域,在这些区域中定义局部基函数。而网格适应算法,在自适应有限元中具有至关重要的地位,它主要通过研究解的收敛即“光滑性”以及相应的误差估计即“残差”来进行的。在光波导结构中,特征模式分析具有重要的地位。本论文中将给出一种带网格适应的谱元方法（即改进的谱元方法MSEM）,以此来计算变折射率的无界光波导结构中的特征模问题;另一方面,对于三维无界光波导中波的传播问题,本文给出了一个三维的算子步进算法,并验证其有效性,这里主要关注于三维标量的Helmholtz方程,其中特征模的求解也用到了上述的MSEM。具体地来说:本文给出了一种基于网格适应的改进的谱元方法MSEM,对折射率面是不断变化的无界光波导进行特征模求解,这里光波导的折射率面对应于一个二维函数,不再是仅仅依赖于一个方向。首先,对一个一维无界光波导的特征模问题进行研究,在这里波导的横向折射率面是一个连续函数。对于无界区域,用完美匹配层（Perfectly Matched Layer （PML））进行截断,这样就把一个无界特征问题转化为有界特征问题。通过MSEM,有效给出了这种一维问题的特征模分布（包括波导中传播模、泄漏模以及Berenger模）。然后MSEM对折射率面是二位函数的波导结构也给出了有效的特征模解法。事实上,MSEM可以应用于折射率面剧烈变化的波导结构,不再局限于缓慢变化或者均匀的折射率面。文中为了验证MSEM的有效性,与其他经典的求解偏微分方程的数值方法:切比雪夫谱配点法（Chebyshev Spectral Collocation Method （CSCM））,FEM以及SEM进行比较,MSEM做到了利用更少的插值点而得到相近的精度。对于三维无界光波导中的传播问题,本文将以前只关注于二维介质的算子步进算法推广到三维无界区域。这里首先关注一个带散射边界条件的三维标量的Helmholtz方程。三维的算子步进算法基于二维的方法,假定波在传播方向是缓慢变化的,然后运用MSEM求解其二维区域Helmholtz算子的特征值和特征向量,通过局部特征截断,分片进行算子步进。这种三维的算子步进算法一方面利用了MSEM在求解特征模方面的良好性质,另一方面又保持了算子步进方法的优点:大步长和快速计算。
宋树枝[5]（2016）在《含非局部算子的椭圆方程共振和近共振问题》文中进行了进一步梳理本文利用临界点理论研究了含有非局部算子的椭圆型方程在共振和近共振条件下解的存在性及多重性.全文共由下面四部分组成.第一章为绪论,主要介绍了相关问题的背景及必要的预备知识.第二章考虑Kirchhoff方程其中Ω是RN（N=1,2,3）中有足够光滑边界（?）Ω的有界开区域,a≥0,b>0是实值常数,f：Ω×R→R是Caratheodory函数具有次临界增长.注意,这里项fΩ|▽|2dx的出现使方程不再是逐点成立.我们考虑了三种共振和近共振条件下解的存在性和多重性：（ⅰ）当f（x,u）=μu3+g（x,u）+h（x）时,运用山路引理和Ekeland’s变分原理得到了μ从左边趋近非线性主特征值μ1时多解的存在性；（ⅱ）运用G-环绕定理证明了比值4F（x,t）/bt4在特征值μk和μk+1之间振荡并可能等于μk+1时解的存在性；（ⅲ）运用鞍点定理及对泛函值的仔细估计找到了比值4F（x,t）/bt4在特征值μ1和μ’2之间振荡并可能等于μ’2时非平凡解的存在性.这里μ’2是本文重新定义出的第二个非线性特征值.第三章研究分数阶椭圆方程其中Ω（?）RN,p∈（1,+∞）,s∈（0,1）且sp<N.（-△）ps被称作分数阶的p-Laplacian算子,为非局部非线性算子,具体定义如下：由分数阶椭圆算子的定义知分数阶椭圆方程解存在性问题也属于非局部问题.假设非线性项f满足次线性增长条件.首先,我们模拟第二章的相关部分的证明,找到了分数阶p-Laplacian方程关于主特征值近共振条件下多重解的存在性结论.当p=2时,我们证明了λ从上方和下方趋近非主特征值情形下多重解的存在性.一方面,当λ从下方趋近非主特征值时,连续两次使用鞍点定理证明两个鞍点解的存在性并利用能量水平的不同进行区分.另一方面,当λ从上方趋近非主特征值时,我们在一列有限维空间上考虑此类问题,并模拟前一种情形找到了固定维数时的两个不同解.随后,通过Galerkin逼近技巧,对找到的解关于有限问题的维数取极限找到原问题的两个解.最后一章我们顺带考虑了p-Laplacian方程关于Fucik谱关于平凡谱线共振问题的解.
赵佳[6]（2016）在《无穷度量图上Sturm-Liouville算子的谱性质》文中认为度量图上的微分算子是研究介观物理与化学结构问题的抽象数学模型,在化学、粒子物理及纳米技术等学科中应用十分广泛.经过近几十年的发展,度量图上微分算子理论已经成为微分方程理论以及微分算子谱理论的重要组成部分.本文主要研究无穷度量图上Sturm-Liouville算子的自伴性以及无穷正则度量树上Sturm-Liouville算子的谱性质,全文分为六个部分,内容如下:第一章为绪论,介绍了度量图上的微分算子的研究背景、研究现状以及本文的主要工作.第二章介绍了本文所涉及的基本概念以及相关定理.第三章主要研究了三类局部顶点条件:系数矩阵秩为δ（v）的顶点条件、自伴顶点条件和J-自伴顶点条件.给出了这三类顶点条件的性质并且讨论了它们分别确定的定义域所构成空间的几何结构.当微分形式对称时,给出了紧致度量图上Sturm-Liouville算子的自伴条件和非紧致度量图上Sturm-Liouville算子的Glazman-Povzner-Wienholtz型自伴条件.当微分形式J-对称时,详细描述了度量图上局部Sturm-Liouville算子的J-伴随算子及J-自伴扩张.第四章主要研究了无穷正则度量树上带有δ-型条件的Schr?dinger算子的自伴性及其谱性质.首先,给出了该算子的本质自伴判定条件,且证明了该算子酉等价于一列带有转移条件的辅助算子的直和.其次,构造了带有转移条件的辅助算子所对应的二次型,给出了辅助算子的Molchanov谱离散判定准则.基于树上Schr?dinger算子与其辅助算子谱之间的关系,得到了树上带有δ-型条件的Schr?dinger算子谱纯离散的充分必要条件.最后,根据二次型扰动的紧性,得到了树上带有δ-型条件的Schr?dinger算子本质谱稳定的判定条件和负谱下半有界且离散的判定条件.第五章主要考虑了无穷正则度量树上带有δ’-型条件的Schr?dinger算子.因为该算子的定义域包含于直和空间（?）,并不包含于树上Sobolev空间（?）,所以构造了一列带有转移条件的辅助算子及其所对应的二次型,并证明了一系列嵌入不等式,进而通过嵌入算子的紧性研究了树上Schr?dinger算子谱的纯离散性.所得结果将Molchanov离散谱判定准则推广至具有转移条件的Schr?dinger算子.基于树上带有δ’-型条件的Schr?dinger算子与辅助算子谱之间的关系得到了树上带有δ’-型条件的Schr?dinger算子谱纯离散的充分必要条件和本质谱稳定的判定条件.第六章讨论了边长下确界为0的无穷度量树上Sturm-Liouville算子的自伴性及其谱性质.本章证明了树上Sturm-Liouville算子酉等价于一列带有转移条件的辅助算子的直和,借助于这一列辅助算子,证明了树上算子的自伴性.然后利用无穷区间覆盖定理,证明了加权函数空间上的不等式,得到了带有转移条件的Sturm-Liouville算子谱离散的充分必要条件,进而得到了无穷度量树上Sturm-Liouville算子的Molchanov离散准则。
闫军[7]（2015）在《具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质》文中研究指明作为常微分算子理论的起源,Sturm-Liouville问题已经发展成为数学界和物理学界的一个非常重要的研究领域.众所周知,经典的Sturm-Liouville理论是量子力学中描述微观粒子状态的主要数学工具,在量子力学中,为了描述微观粒子之间的相互作用,Schr?dinger方程中的势函数可以为广义函数（例如,Diracδ函数）,而此类问题超出了经典的Sturm-Liouville理论的研究范围.因此,研究具有分布势函数（势函数为广义函数）的Sturm-Liouville问题就显得尤为必要.本文主要研究具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质,全文分为五个部分,内容如下:第一章为绪论部分,叙述了问题的研究背景,研究现状以及本文的主要工作.第二章介绍了本文所涉及的基本概念以及相关性质.第三章讨论了有限区间上具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质,主要围绕自伴边界条件下的第n个特征值关于算子的依赖性问题以及特征函数的振荡性质展开讨论.首先,研究第n个特征值关于边界条件的连续性,以及第n个特征值关于算子系数的连续性和可微性.其次,讨论不同自伴边界条件下特征值之间的不等式关系,并由此分析特征函数的振荡性质.本章将构造一个经典Sturm-Liouville算子序列,使其在预解算子逼近的意义下收敛到具有分布势函数的Sturm-Liouville算子,从而得到该算子序列的特征值与具有分布势函数的算子特征值之间的关系.本文利用这一新的思路展开研究,推广了经典Sturm-Liouville算子的相关结果.此外,本章最后一节还将利用所得结果研究一类具有转移条件的Sturm-Liouville问题的谱性质.第四章主要研究具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的有限谱理论.首先,本章在减弱的算子系数条件下,对分离型边界条件下特征值的存在性以及特征函数的振荡性质进行研究.其次,对区间进行分割并且使得系数在每个子区间上满足一定的条件,从而构造具有有限多个特征值的Sturm-Liouville问题,并且分析不同边界条件下特征值之间的不等式关系.最后,探讨具有有限谱的Sturm-Liouville问题与矩阵特征值问题之间的关系.第五章主要考虑无穷区间上具有δ-作用（δ势函数）的Sturm-Liouville算子的谱性质.本章讨论了算子谱为纯离散的充分必要条件,以及不含δ-作用的Sturm-Liouville算子在δ-作用的扰动下本质谱的稳定性.为了研究此类算子的谱性质,本章构造了具有δ-作用的Sturm-Liouville算子所对应的二次型,证明了一系列嵌入不等式,进而讨论嵌入算子的紧性.所得结果将Molchanov离散谱判定准则推广至具有δ-作用的Sturm-Liouville算子.
解兵[8]（2014）在《非对称微分算子的谱问题》文中提出算子谱理论的研究主要以对称算子为主,这些谱理论的成果已经得到了成功的应用,解决了量子力学、科学技术中的许多重要问题。但在实际应用和数学理论本身也会产生大量的非对称问题,例如,自伴算子在非实数点处的预解算子就是非对称的,利用复系数方法研究对称算子时会产生非对称问题,地球流体力学中的位涡动力系统稳定性研究中导出的Rayleigh方程的特征值问题也是非对称的。这自然需要对非对称算子的谱的性质有较全面的了解。这不仅对数学理论本身的发展有重要意义,也会为其它科技领域的发展提供坚实的理论基础和有效工具。在数学理论上,关于对称算子谱理论的研究比较完善,特别是自伴算子的谱分解定理、对称微分方程解的Sturm零点比较定理、零点分解定理、Priifer变换等。相比之下,非对称算子的谱理论还不够系统和完善,其研究的方法和工具还在不断的探索总结和发展中。本文将研究两类非对称微分算子的谱问题：一类是关于非对称Sturm-Liouville（记作S-L）微分方程和系统的分类及其边界条件的刻画以及算子的实现。另一类是带不定权微分算子的非实特征值的相关问题,包括不定S-L算子、p-Laplace算子以及椭圆微分算子。下面将简要介绍本文研究的学术背景、研究方法和主要结论。本文首先研究的是非对称S-L微分方程按照其所对应的微分算子的亏指数进行的分类问题。微分算子的亏指数分类是常微分方程谱理论中最基本的问题,也是微分算子谱问题的基础。它很大程度上决定了相应问题谱点的类型和性质。例如,极限圆型的问题仅有特征值,谱点类型复杂性仅产生于极限点型的问题。Weyl早在1910年就开创了奇异S-L微分方程的研究,将形式对称,即系数函数为实值的S-L微分方程分为极限点型和极限圆型两类。在1968年和1969年,Everitt首先研究了四阶对称微分方程极限点型的判定；接着Walker在1971年,Devinatz在1972年,作了进一步的研究；并且1972年,Hinton将其推广到2n阶对称微分算子。关于非对称微分方程,直到1957年,Sims才研究了一类形式非常特殊的非对称S-L微分方程的分类问题。又过了近半个世纪,Brown, McCormack, Evans和Plum在1999年给出了系数函数满足一般条件的复值系数函数的S-L微分方程的分类。在文中,Brown等将其分为三类,但是并没有给出其不同分类中边界条件的刻画.2003年,Brown, Evans和Plum又在较强的条件下研究了偶数维非对称哈密顿系统的性质,但是没有给出其分类的结果。基于以上成果,本文的前半部分研究了复值系数函数的S-L微分方程分类的充分必要条件,利用其最大定义域中元素的渐近性给出了Brown等在1999年得到的非对称S-L微分方程分类的边界条件的刻画。本文对高阶非对称S-L型微分系统也进行了分类,并且研究了此分类的充分必要条件,然后得到了此非对称系统的J-自伴算子的实现。这部分内容采用的主要研究方法如下：首先利用容许旋转角将非对称复值系数S-L微分方程转化成一族对称的哈密顿系统,并建立了它们之间在适当权下的线性无关平方可积解个数的关系；然后利用此关系和对称哈密顿系统的性质给出了Brown分类的一个充分必要条件。此方法被进一步应用到高维,利用正交变换,将非对称S-L型微分系统转化为对称哈密顿系统。然后利用对称哈密顿系统的性质给出了按照非对称S-L系统以及其共轭系统线性无关加权平方可积解个数的分类。并且利用原系统以及共轭系统定义域中元素的渐近性得到了此分类的一个刻画。最后,作为应用,给出了非对称S-L系统的J-自伴算子的实现。上述方法中,关于非对称问题的对称转化思想和利用原系统的共轭系统进行分类的方法是本文在这一部分解决相关问题的技术关键。本文的第二部分研究了不定微分算子的非实特征值问题。对于带权函数的S-L边值问题,权函数不变号时称作右定或Orthogonal（由Hilbert给出）问题；权函数变号时称作右不定或Polar（Hilbert）问题.带有自伴边界条件的右定问题已经有非常完善的谱理论,但是右不定问题,尤其是左右都不定的问题（称为不定问题）的谱结构与右定问题有很大区别,并且远比后者复杂。例如,不定S-L边值问题的实特征值上下无界,更关键的是会出现非实特征值。Hilb在1907年,Richardson在1912年,Bocher在1912年Haupt在1915年最先研究了不定S-L问题谱的性质。Haupt在1915年,Richardson在1918年最先提到不定问题可能存在非实特征值；其中Richardson研究了带有Dirichlet边界条件的Richardson方程,权函数为符号函数的不定S-L问题。1982年,Mingarelli在一般条件下得到了非实特征值个数的有限性。1986年,Mingarelli对正则的、具有分离型边界条件、带有不定权函数的S-L问题的研究作了总结,并且在文章中提出了一系列关于非实特征值的Open Problem,其中包括：Open Problem1:分别给出非实特征值的实部和虚部上下界的预先估计。Open Problem2:给出不定S-L问题非实特征值存在的充分条件。Kong, Muller, Wu和Zettl在2003年,Zettl在2005年又提出了类似的关于非实特征值上下界的问题。Binding和Volkmer则在1996年再次提到了不定问题非实特征值存在性问题.2009年,Behrndt, Katatbeh与Trunk得到了权函数为符号函数的奇异不定S-L问题非实特征值存在性的充分条件；进一步,Behrndt, Philipp与Trunk在2013年给出了权函数为符号函数、势函数本性有界条件下的奇异不定S-L问题非实特征值的上界。但是他们的方法要求本质谱为整个实数轴,因此无法应用到正则不定S-L问题。而对于正则不定S-L问题,直到2013年,Qi和Chen才在Dirichlet边界条件以及权函数变号一次或绝对连续的条件下,分实部和虚部给出了不定问题非实特征值上界的估计。他们还在相应的右定问题只有一个负特征值、其余的都大于零,以及势函数和权函数分别满足对称性条件下,得到了非实特征值存在性的一个充分条件。Xie和Qi在2013年,在具有一般分离型边界条件以及权函数更弱的条件下,分实部和虚部给出了不定S-L问题非实特征值的上界估计。他们同时在势函数和权函数满足一般条件下得到了非实特征值存在性和不存在性的充分条件。同年,Behrndt, Chen, Philipp和Qi得到了权函数可以无穷次变号的不定S-L问题非实特征值的上界估计。然而值得注意的是,上述所有结论都需要对权函数加可积性条件以外的要求,并且都没有给出非实特征值的下界估计。针对上述成果的局限性,本文的第二部分主要进行了如下研究：首先在系数函数及权函数只满足基本条件下,分实部和虚部,给出了正则不定S-L问题非实特征值的上界估计。从而彻底解决了由Mingarelli在1986年提出的Open Problem1中的上界部分。然后,在右定问题有负特征值的条件下（这是不定问题存在非实特征值的必要条件）按照非实特征值的范数给出了其下界估计。此外,本文在基本条件下得到了非实特征值的存在性以及不存在性的充分条件,从而解决了Mingarelli Open Problem2.关于不定p-Laplace边值问题,本文分实部和虚部得到了非实特征值的上界估计以及不存在性的充分条件。关于不定椭圆算子,本文则给出了其非实特征值的上下界估计、存在性和不存在性的充分条件。这一部分主要采用的研究方法如下：首先利用纯分析及测度论作为工具,给出了非实特征值的上界估计；然后,利用Krein空间中的算子理论,给出了一般算子不定问题非实特征值的下界估计；通过引入能够刻画变号权函数振动性的量,给出了不定S-L问题非实特征值下界更精确的估计。并举例说明得到的上界与下界的精确程度。然后,在非实特征值存在性问题的研究中,采用了双谱参数方法,利用实谱曲线和虚谱曲线的关系进行研究；给出了实谱曲线单调性与局部极值点的判定定理,并解决了实谱曲线和虚谱曲线在三维空间的连接问题；从而获得了非实特征值存在性的充分条件。本文进而将上述处理不定问题的方法应用到一维正则不定p-Laplace边值问题,分实部和虚部得到了不定p-Lapace算子非实特征值的上界估计以及不存在性的充分条件。进一步,将上述方法更进一步应用到高维不定椭圆微分算子。由于维数的增加,许多在处理一维常微问题时常用的方法和工具难以奏效,例如在常微边值问题中可利用初值问题的理论和方法。而且涉及到积分和微分的许多不等式不仅与维数有关,也与所考虑的区域形状有关。因此,在给出其非实特征值上界估计时,除了上述工具外又用到了Sobolev空间理论。另外,同样利用了Krein空间算子理论,得到了在定义域、势函数及权函数满足对称性条件下,非实特征值存在性的充分条件。在第二部分的内容中,关于Mingareli Open Problem的解决是这一部分的最大特点,而将双谱参数法成功的运用到不定谱问题的研究也是本文的技术特点之一。本文共分六章,第一章引言,介绍了所研究问题的背景、主要方法和结论。第一部分包括第二、三章,第二章给出了复值系数S-L微分方程分类的充分必要条件。第三章得到了非对称S-L微分系统的分类以及此分类的一个刻画；并且给出了其J-自伴算子的实现.第二部分包括第四、五、六章,第四章得到了不定S-L问题非实特征值的上下界估计,存在性和不存在性的充分条件。第五章给出了不定p-Laplace算子非实特征值的上界估计和不存在性的充分条件。第六章,得到了不定椭圆微分算子非实特征值的上下界估计,存在性和不存在性的充分条件。
徐丽阳[9]（2014）在《两类特殊的2n阶实系数微分算子的谱分析》文中认为本文首先研究了一类定义在（-∞,∞）上带有常系数的微分算子.应用嵌入定理和Fourier变换,证明了这类微分算子是本质自共轭的,并且给出了这类微分算子自共轭扩张本质谱的分布范围.然后进一步研究了一类具有三角函数系数的微分算子,得出了这类算子是本质自共轭的.
葛素琴[10]（2014）在《乘积微分算子的自伴性及特征值对边界的依赖性》文中研究说明本文主要围绕乘积微分算子的白伴性及特征值对边界的依赖性展开研究.微分算子从本质来说是无界可闭的线性算子,无界闭的线性算子的定义域一定不能是全空间,因此定义域的选择始终是微分算子研究中的一个十分重要而困难的问题.在微分算式给定的前提下,对所研究的算子提出的具体要求最终体现在对定义域的限制上.定义域不同的微分算子,其谱分解,特别是离散谱会有很大不同.在这些定义域的选择中,自伴域的选择就是其中重要之一.自伴微分算子因其有重要的应用背景,不仅使得它的谱与反谱问题成为数学家研究的热门课题,同时白伴性的识别与描述问题也被提到了重要位置.本文首先研究了微分算式乘积的自伴域的实参数解描述问题,在适当条件的假设下,利用互为相反数的一对值所对应的解刻画了微分算式乘积的自伴域,使得自伴边界条件中矩阵的确定只与这些解在正则点的初始值有关.其次,对于四阶奇型对称微分算式而言,会出现中间亏指数情形.本文接着研究了由具有任意亏指数的对称常微分算式生成的两个四阶及高阶奇型微分算子的积的自伴性问题.通过在半直线上使用实参数解对自伴域的刻画定理及分析技巧,以矩阵形式给出了,具任意亏指数的奇型对称微分算式产生的两个微分算子的积自伴的充要条件,并获得了与积算子自伴性有关的一些结果.再次,人们在工程实践中发现：一根材料均匀的,横截面积与长度相比可忽略不计的,有弹性的杆,两端以一定的有意义的方式固定住,然后去弹奏它,会发现杆发出的音会随其长度的缩短而逐渐变强,即杆的固有频率在逐渐增高,这一现象更为力学家所熟知.用数学的语言将这一问题翻译出来就是四阶边值问题的特征值对边界的依赖性问题.结合Dauge, Q. Kong （[38],[51],[87]）等人的工作,借助微分算子的谱理论这一有利工具我们研究了两类四阶及高阶边值问题的特征值对边界的依赖性.给出了第n个特征值关于其中一端点的一阶微分表达式,并证明了当区间长度趋于零时,在本文所考虑的边界条件情形下,所有的特征值会趋于无穷.并给出了具体的例子.最后本文研究了具有周期边界条件的四阶边值问题的矩阵表示,并考虑了它的逆过程即矩阵特征值问题的四阶边值问题表示.全文共分六个部分：一、介绍本文所研究问题的背景及本文的主要结果；二、文中所涉及相关符号、概念以及性质；三、微分算式乘积的自伴域的实参数解刻画；四、两个奇型微分算子乘积的自伴性；五、微分方程边值问题的特征值对边界的依赖性；六、具有周期边界条件的四阶边值问题的矩阵表示.
二、有界对称区间上微分算子谱点的个数（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、有界对称区间上微分算子谱点的个数（论文提纲范文）
（1）拉格朗日系统异宿轨的莫尔斯指标理论（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号设定 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 拉格朗日系统异宿轨和半宿轨的指标理论 |
| 1.2 具有Skew-Gradient结构的反应扩散方程行波解的指标理论 |
| 1.3 文章结构 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 谱流 |
| 2.2 Maslov指标 |
| 2.3 H?rmander指标以及Maslov三重指标 |
| 第三章 拉格朗日系统异宿轨和半宿轨的指标理论的证明 |
| 3.1 弗雷德霍姆性(Fredhomness)和双曲性(Hyperbolicity) |
| 3.1.1 极限矩阵的双曲性 |
| 3.1.2 一些泛函分析结果 |
| 3.2 施图姆-刘维尔算子的弗雷德霍姆性的等价条件分析 |
| 3.2.1 施图姆-刘维尔算子弗雷德霍姆性的证明 |
| 3.2.2 算子谱流等价性分析 |
| 3.2.3 非退化性结果和指标的适定性 |
| 3.3 主要结论的证明 |
| 3.3.1 异宿轨指标理论的证明 |
| 3.3.2 半宿轨指标理论的证明 |
| 3.3.3 关于不同边值条件的莫尔斯指标差值的分析 |
| 第四章 具有Skew-Gradient结构的反应扩散方程行波解的指标理论的证明 |
| 4.1 谱流公式 |
| 4.2 谱流公式的应用 |
| 4.2.1 谱流和行波解不稳定特征值的关系 |
| 4.2.2 主要定理的证明 |
| 第五章 总结和展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 博士期间完成的论文 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（2）两类高阶正则微分算子的谱问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与选题意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 逆谱问题的研究现状 |
| 1.2.2 连续依赖性问题的研究现状 |
| 1.3 本文主要内容与创新点 |
| 1.3.1 本文主要内容 |
| 1.3.2 本文创新点 |
| 第二章 三阶测度微分方程的预备知识 |
| 2.1 测度, Lebesgue-Stieltjes积 分和弱*拓扑 |
| 2.2 测度微分方程的符号解释以及解的基本性质 |
| 第三章 三阶测度微分方程的解关于测度系数的依赖性 |
| 3.1 解关于系数p, q的 依赖性 |
| 3.2 解的渐近估计以及解析性质 |
| 第四章 三阶测度微分方程的特征值关于系数的依赖性 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 φ ∈ [0, 2π) 时特征值的性质 |
| 4.2.1 特征值的分布 |
| 4.2.2 特征值关于系数p, q, φ 的依赖性 |
| 4.3 φ = 0, π 时特征值的性质 |
| 4.3.1 特征值的分布 |
| 4.3.2 第n个 特征值关于系数p, q的 依赖性 |
| 第五章 三阶测度微分方程的Ambarzumyan-型定理 |
| 5.1 解和特征值 |
| 5.2 三阶测度微分方程的Ambarzumyan-型 定理 |
| 第六章 区间内部具有转移条件的非自伴的Sturm-Liouville算子的逆谱问题 |
| 6.1 预备知识 |
| 6.2 广义谱数据 |
| 6.3 Weyl函 数 |
| 6.4 逆谱问题 |
| 6.4.1 唯一性定理 |
| 6.4.2 逆谱问题的解 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 发表论文和参加科研情况说明 |
| 符号说明 |
| 致谢 |
（3）内部具有不连续性Sturm-Liouville算子的研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 内部具有无穷多个不连续点的Sturm–Liouville问题 |
| 1.2 权函数变号的Sturm–Liouville问题 |
| 1.3 自共轭域的描述问题 |
| 1.4 亏指数理论 |
| 1.5 微分算子谱的定性分析 |
| 1.6 本文的主要结果和创新点 |
| 第二章 基本概念及重要引理 |
| 2.1 Hilbert空间内的线性算子及其谱理论 |
| 2.1.1 基本概念及性质 |
| 2.1.2 经典Sturm–Liouville算子理论 |
| 2.2 Krein空间内的线性算子及其谱理论 |
| 第三章 内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的自共轭域 |
| 3.1 新内积空间的建立 |
| 3.2 与问题相关联的最大、最小算子 |
| 3.3 min的自共轭扩张域描述 |
| 3.3.1 LP/LP情形 |
| 3.3.2 LC/LP或LP/LC情形 |
| 3.3.3 LC/LC情形 |
| 3.4 最小算子min自共轭扩张的构造 |
| 3.4.1 LP/LP情形 |
| 3.4.2 LC/LP或LP/LC情形 |
| 3.4.3 LC/LC情形 |
| 第四章 一类内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的亏指数和谱分析 |
| 4.1 与问题有关的新空间、最大最小算子 |
| 4.2 亏指数 |
| 4.3 Friedrichs扩张的刻画 |
| 4.4 谱的离散性 |
| 第五章 内部具有不连续性的不定Sturm–Liouville算子的谱分析 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 具有转移条件的左定问题 |
| 5.3 具有转移条件的不定问题 |
| 第六章 具有分离型边界条件和内部具有不连续性的不定Sturm–Liouville算子 |
| 6.1 非实特征值的存在性 |
| 6.2 例子 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 主要符号表 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间已完成的学术论文 |
（4）变系数光波导中特征模求解及其在传播计算中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 谱元方法及网格适应 |
| 1.1.1 谱元方法(SEM) |
| 1.1.2 网格适应算法 |
| 1.2 光波导的数学模型以及相关问题 |
| 1.2.1 物理中的光波导 |
| 1.2.2 光波导的数学模型 |
| 1.2.3 光波导的模式分析 |
| 1.2.4 光波导中的PML |
| 1.2.5 光波导中的传播问题 |
| 1.3 本文研究内容梗概 |
| 第二章 光波导中的特征模求解问题 |
| 2.1 特征模求解中常用的数值方法 |
| 2.1.1 有限差分法FDM |
| 2.1.2 有限元方法FEM |
| 2.1.3 级数展开方法 |
| 2.2 谱元方法(SEM)基础 |
| 2.3 MSEM求解特征模问题 |
| 2.3.1 带PML无界波导数学模型 |
| 2.3.2 构建SEM |
| 2.3.3 谱元离散 |
| 2.3.4 数值例子和讨论 |
| 2.4 二维的特征模问题 |
| 2.5 本章小节 |
| 第三章 光波导中的传播问题 |
| 3.1 问题的描述及数学模型 |
| 3.2 3DOMM的构建 |
| 3.3 局部基变换 |
| 3.4 数值例子和讨论 |
| 3.4.1 二维传播问题中的MSEM |
| 3.4.2 三维传播问题 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 总结与展望 |
| 4.1 总结 |
| 4.2 未来研究方向和展望 |
| 参考文献 |
| 发表文章目录 |
| 简历 |
| 致谢 |
（5）含非局部算子的椭圆方程共振和近共振问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景介绍 |
| 1.2 预备知识 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 Kirchhoff方程的共振和近共振问题 |
| 2.1 预备知识及文献综述 |
| 2.2 第二个非线性特征值的定义 |
| 2.3 在μ_1近共振情况下多解的存在性 |
| 2.4 μ∈(μ_k,μ_(k+1)]的情况下解的存在性 |
| 2.5 μ∈(μ_1,μ'_2]的情况下非平凡解的存在性 |
| 第三章 分数阶椭圆方程近共振问题解的存在性 |
| 3.1 文献综述及预备知识 |
| 3.1.1 文献综述 |
| 3.1.2 预备知识 |
| 3.2 分数阶p-Laplacian方程关于主特征值近共振问题 |
| 3.3 分数阶椭圆型方程关于非主特征值近共振问题 |
| 3.3.1 主要结论 |
| 3.3.2 定理3.4的证明 |
| 3.3.3 定理3.5的证明 |
| 第四章 p-Laplacian方程关于Fucik谱共振问题 |
| 4.1 算子-△_p的Fucik谱的相关知识 |
| 4.2 p-Laplacian方程解的存在性 |
| 第五章 分析与思考 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的科研成果 |
| 致谢 |
（6）无穷度量图上Sturm-Liouville算子的谱性质（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 度量图上微分算子的研究 |
| 1.1.1 图上微分算子定义域 |
| 1.1.2 紧致度量图上微分算子谱问题 |
| 1.1.3 非紧致度量图上微分算子谱问题 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 Hilbert空间上的线性算子 |
| 2.2 度量图上Sturm-Liouville算子 |
| 2.2.1 图的基本概念 |
| 2.2.2 度量图上的函数空间 |
| 2.2.3 度量图上Sturm-Liouville算子 |
| 2.3 二次型的基本结果 |
| 第三章 度量图上局部Sturm-Liouville算子的顶点条件 |
| 3.1 局部Sturm-Liouville算子及其伴随算子 |
| 3.2 顶点条件空间 |
| 3.3 自伴顶点条件空间 |
| 3.4 自伴Sturm-Liouville算子 |
| 3.5 J-对称Sturm-Liouville算子 |
| 3.6 J-自伴顶点条件空间 |
| 第四章 正则度量树上带有δ-型条件的Schr?dinger算子的谱性质 |
| 4.1 正则度量树Γ和空间L_2(Γ)的基本分解 |
| 4.2 正则树上带有Dirichlet边界条件的Schr?dinger算子 |
| 4.3 算子(?)_(δ,Q,k)对应的二次型 |
| 4.4 正则度量树上算子谱纯离散的判定条件 |
| 4.4.1 区间上算子(?)_(δ,Q,k)谱纯离散的判定条件 |
| 4.4.2 正则度量树上带有Dirichlet边界条件的Schr?dinger算子谱纯离散的条件 |
| 4.4.3 正则度量树上带有一般自伴边界条件的Schr?dinger算子的谱纯离散判定准则 |
| 4.5 正则度量树上算子连续谱稳定的条件 |
| 4.6 图上算子负谱的性质 |
| 第五章 正则度量树上带有δ'-型条件的Schr?dinger算子的谱性质 |
| 5.1 带有Neumann边界条件的Schr?dinger算子 |
| 5.1.1 算子L_(δ',Q)~O的本质自伴性 |
| 5.1.2 算子L_(δ',Q)~O的分解 |
| 5.2 算子(?)所对应的二次型 |
| 5.3 正则度量树上算子谱纯离散的判定条件 |
| 5.3.1 区间上算子(?)的谱纯离散判定条件 |
| 5.3.2 带有Neumann边界条件的Schr?dinger算子的谱纯离散判定准则 |
| 5.3.3 正则度量树上带有自伴边界条件的Schr?dinger算子的谱纯离散判定准则 |
| 5.4 正则度量树上算子连续谱稳定的条件 |
| 第六章 正则度量树上Sturm-Liouville算子的谱性质 |
| 6.1 预备知识 |
| 6.2 正则度量树上自伴Sturm-Liouville算子 |
| 6.3 正则度量树上Sturm-Liouville算子谱纯离散的判定条件 |
| 6.3.1 区间上算子(?)_0谱纯离散的判定条件 |
| 6.3.2 正则度量树上算子H谱纯离散的判定条件 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 发表论文和参加科研情况说明 |
| 符号说明 |
| 致谢 |
（7）具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 常微分算子理论简述 |
| 1.2 具有分布势函数的Sturm-Liouville算子理论的发展 |
| 1.2.1 具有 δ 势函数的Schr ?dinger算子的研究背景及现状 |
| 1.2.2 具有一般分布势函数的Sturm-Liouville算子的研究背景及现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 算子理论的基本知识 |
| 2.1 Hilbert空间上的线性算子 |
| 2.2 Hilbert空间上的微分算子 |
| 第三章 具有分布势函数的Sturm-Liouville算子的特征值问题 |
| 3.1 基本结果与引理 |
| 3.2 经典Sturm-Liouville算子与具有分布势函数的Sturm-Liouville算子之间的关系 |
| 3.3 分离型边界条件下的第n个特征值关于参数 α, β 的依赖性 |
| 3.4 不同边界条件下特征值之间的比较关系式 |
| 3.5 λ_n关于自伴边界条件的依赖性 |
| 3.6 特征函数的振荡性质 |
| 3.7 λ_n关于算子系数的依赖性 |
| 3.8 一类具有转移条件的Sturm-Liouville问题 |
| 第四章 具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的有限谱理论 |
| 4.1 基本结果与引理 |
| 4.2 具有有限谱的Sturm-Liouville问题 |
| 4.3 分离型边界条件下特征值的存在性以及特征函数的振荡性质 |
| 4.4 不同边界条件下有限多个特征值之间的比较关系式 |
| 4.5 具有有限谱的Sturm-Liouville问题的矩阵表示 |
| 4.6 矩阵特征值问题的Sturm-Liouville问题表示 |
| 第五章 无穷区间上具有 δ-作用的Sturm-Liouville算子的谱性质 |
| 5.1 基本结果与引理 |
| 5.2 算子H_(X,α,q)对应的二次型 |
| 5.3 算子谱纯离散的判定条件 |
| 5.4 算子本质谱稳定的条件: 情形I |
| 5.5 算子本质谱稳定的条件: 情形II |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 发表论文和参加科研情况说明 |
| 符号说明 |
| 致谢 |
（8）非对称微分算子的谱问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 记号 |
| 第一章 引言 |
| §1.1 复值系数Sturm-Liouville微分方程分类的充分必要条件 |
| §1.2 非对称Sturm-Liouville型微分系统的分类 |
| §1.3 不定Sturm-Liouville边值问题的非实特征值 |
| §1.4 不定p-Laplacian边值问题的非实特征值 |
| §1.5 不定椭圆边值问题的非实特征值 |
| 第二章 复值系数Sturm-Liouville微分方程分类的充分必要条件 |
| §2.1 基础知识 |
| §2.2 容许角集E的性质 |
| §2.3 最大定义域中元素的渐近性 |
| 第三章 非对称Sturm-Liouville型微分系统的分类及其算子实现 |
| §3.1 预备知识 |
| §3.2 Titchmarsh-Weyl-Sims分类 |
| §3.3 最大定义域中元素的渐近性 |
| §3.4 J-自伴算子实现 |
| 第四章 不定Sturm-Liouville边值问题的非实特征值 |
| §4.1 非实特征值上界的两种特殊情况 |
| §4.2 非实特征值的上界估计 |
| §4.3 非实特征值的下界估计 |
| §4.4 非实特征值的存在性 |
| §4.5 两个例子 |
| §4.6 附录 |
| 第五章 不定p-Laplacian边值问题的非实特征值 |
| §5.1 非实特征值的上界估计 |
| §5.2 非实特征值的不存在性 |
| 第六章 不定椭圆边值问题的非实特征值 |
| §6.1 预备知识 |
| §6.2 非实特征值上界的两种特殊情况 |
| §6.3 一般情况下非实特征值的上界估计 |
| §6.4 非实特征值的下界估计 |
| §6.5 非实特征值的存在性 |
| §6.6 非实特征值上、下界的例子 |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表和完成论文情况 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（9）两类特殊的2n阶实系数微分算子的谱分析（论文提纲范文）
| 目录 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 引言 |
| 1.1 前言 |
| 1.2 内容介绍 |
| 第二章 一类2n阶常系数微分算子自共轭扩张的本质谱 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 主要结果 |
| 第三章 一类具有三角函数系数的微分算子 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 主要结果 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
（10）乘积微分算子的自伴性及特征值对边界的依赖性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 引言 |
| 第二章 基本概念以及重要引理 |
| 2.1 基本概念及相关引理 |
| 2.2 对称微分算式及相关引理 |
| 第三章 微分算式乘积的自伴域的实参数解描述 |
| 3.1 一端奇异微分算式乘积的自伴域 |
| 3.2 两端奇异微分算式乘积的自伴域 |
| 3.3 具有内部奇异点的微分算式乘积的自伴域刻画 |
| 第四章 两个奇型微分算子乘积的自伴性 |
| 4.1 两个四阶奇异微分算子乘积的自伴性 |
| 4.2 两个高阶奇异微分算子乘积的自伴性 |
| 第五章 微分方程边值问题的特征值对边界的依赖性 |
| 5.1 带有简支边界条件的四阶边值问题的特征值对边界的依赖性 |
| 5.2 带有固定边界条件的四阶边值问题的特征值对边界的依赖性 |
| 5.3 六阶边值问题的特征值对边界的依赖性 |
| 5.4 高阶边值问题的特征值对边界的依赖性 |
| 第六章 具有周期边界条件的四阶边值问题的矩阵表示 |
| 6.1 边值问题的矩阵表示 |
| 6.2 特征值问题的边值问题表示 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 主要符号表 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间已完成的学术论文 |
四、有界对称区间上微分算子谱点的个数（论文参考文献）
- [1]拉格朗日系统异宿轨的莫尔斯指标理论[D]. 邢钦. 山东大学, 2021(11)
- [2]两类高阶正则微分算子的谱问题[D]. 刘乙萱. 天津大学, 2019(06)
- [3]内部具有不连续性Sturm-Liouville算子的研究[D]. 赵迎春. 内蒙古大学, 2018(02)
- [4]变系数光波导中特征模求解及其在传播计算中的应用[D]. 杨浩. 浙江大学, 2017(02)
- [5]含非局部算子的椭圆方程共振和近共振问题[D]. 宋树枝. 西南大学, 2016(01)
- [6]无穷度量图上Sturm-Liouville算子的谱性质[D]. 赵佳. 天津大学, 2016(12)
- [7]具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质[D]. 闫军. 天津大学, 2015(08)
- [8]非对称微分算子的谱问题[D]. 解兵. 山东大学, 2014(10)
- [9]两类特殊的2n阶实系数微分算子的谱分析[D]. 徐丽阳. 内蒙古大学, 2014(09)
- [10]乘积微分算子的自伴性及特征值对边界的依赖性[D]. 葛素琴. 内蒙古大学, 2014(09)