一、“ab＋cd＝mn”型几何题的证明方法（论文文献综述）
甘文斌[1]（2018）在《平面几何题目的自动解答研究》文中提出平面几何题目的自动解答,是人工智能和智能化教育领域中长期存在的重要研究问题。该问题旨在研究智能的算法来自动理解并求解出平面几何题目,并给出解答的过程。近年来在自然语言理解和机器推理等领域的相关技术进步和智能化教育需求的合力推动下,该问题已成为热点的研究问题。解答平面几何题目是人工智能研究中智力劳动机械化一个重要问题,同时该问题的研究成果在教育上又有着巨大的应用前景。随着教育信息化和个性化智能化教育的发展,很多个性化智能教育辅导系统开始实际应用到教学服务中,而自动解答技术作为智能化教育辅导系统中的一个核心技术,将大大促进系统的个性化和智能化程度,从而提高教育服务质量和效果。由于该问题巨大的的研究和应用价值,前人已经提出了很多自动求解平面几何题目的方法,这些方法被广泛应用到几何求解系统中来进行自动推理进而给出求解的过程。这一数学机械化的研究工作大大提高了数学家发现和证明几何定理的效率。然而,这些工作大量集中在几何自动推理研究中,对几何题目自动理解的研究相对较少,而题目自动理解是自动求解题目的关键问题也是很多智能辅导系统提供教育服务的基础。一方面自然语言处理对表述多样的题目文本的处理还不成熟,尚缺乏专门针对几何学科题目文本的语言分析和理解方法;另一方面很多几何题目包含对应的几何图形,图形中包含着丰富的解题信息,为了理解题目则需要对图形进行理解,而理解图形则需要计算机视觉领域的相关技术,因此几何题目的自动理解需要计算机视觉和自然语言处理等多领域技术手段的融合。如何深入全面的自动理解平面几何题目并给出解答过程是几何自动求解中的关键问题。为了解决几何自动求解中的题目自动理解这一难点问题,本文开展了平面几何题目自动解答的理论研究,提出了基于关系抽取的题目理解和解答理论,基于这一理论,进一步提出了平面几何题目自动解答的新方法,并开发了智能交互式几何辅导系统。具体的研究内容包括:（l）完全自动化的平面几何自动解答理论:（2）纯文本描述的平面几何题目的自动解答;（3）同时包含文本和图形的平面几何题目的自动解答:（4）智能交互式几何辅导系统。本文的主要贡献有:（1）鉴于当前自动解答领域缺乏系统全面的理论框架支撑的现状,开展解答理论基础的研究,并创立平面几何题目的自动解答理论,它包括等价表示法、等价转换原理和类人解答生成方法。该理论将平面几何题目理解的问题转化为从题目中进行几何关系抽取的问题。通过将几何题目转换成几何关系组表示,进而进行自动求解,从而实现完全自动化的机器解答。（2）提出了一种句法语义混合模型的方法来提取纯文本描述的平面几何题目中的几何关系,该模型包含了语义信息和句法信息,能够高效的提取出文本中包含的几何关系。在平面几何应用题和平面几何证明题数据集上分别进行了测试,结果显示本文提出的方法在几何关系提取上具有较好的效果,应用这些几何关系来求解纯文本描述的平面几何题目也取得了较高的准确率。（3）提出了一种基于机器学习的纯文本描述平面几何题目的求解方法,该方法采用机器学习算法来自动学习出不同几何关系在题目文本表述中的潜在结构,该方法主要分为两个过程:候选几何关系生成和几何关系识别。首先对文本中的几何实体和几何关系词进行抽取,进而通过不同的组合生成候选的几何关系;然后采用机器学习算法对所有候选关系进行分类,找出所有正确的几何关系作为最终几何题目的理解结果,进而进行后续的几何推理和解答,从而实现了纯文本描述的平面几何题目的自动解答。（4）提出一种基于文本和几何图形双模态信息理解的平面几何题目解答方法来对同时包含文本和几何图形的平面几何题目进行自动理解和解答。将这两种模态中的信息单独表示成几何关系,进而采用信息融合的方法来提取出两部分高置信度的几何关系作为几何题目理解的结果,进而进行几何推理解答。在包含平面几何图形的几何题目数据集上测试,结果表明了该双模态理解方法在几何关系抽取中具有较高的鲁棒性,提高了通过单个模态进行信息提取的准确率。同时结合两个模态的信息,能够理解一些通过单个模态所不能理解的题目,进一步扩大了本文进行题目理解和解答的范围。（5）设计了一个智能交互式几何辅导系统,该系统采用学习者开始的辅导模型（leamer-initiating instruction）来接受学习者自主输入的几何题目,并能够自动理解和解答该几何题目,从而给出解答的过程和解题交互。为了与用户更自然的交互,系统采用手绘图形界面来模拟纸笔环境,同时建立文本中几何实体和图形中几何基元之间的对应关系,并将几何关系可视化的动态呈现,从而更好的让用户来进行个性化几何学习。
彭翕成[2]（2020）在《基于点几何的几何定理机器证明与自动发现》文中指出智能解答是人工智能中的重要研究领域。随着教育信息化的深入发展,要求教育资源智能化,而不是简单的“电子化”。教育软件缺少智能性或智能化程度不高,导致难以满足教学需求。研发高智能的教育软件已成为解决问题的关键,智能解答是其中的核心技术。本文研究的几何自动推理属于智能解答的分支。通过文献梳理和调研,我们发现几何自动推理领域研究成果丰富,但已有推理算法对产生的证明是否足够简短易于理解掌握,其几何意义是否足够丰富易于揭示几何关系、发现新的定理,关注还不够。因此有必要探索新的推理算法,主要围绕两个目标努力,一是提高机器解答的可读性,实现“明证”（即一目了然的证明）;二是更多地发现新的几何定理。本文具体研究内容和主要贡献如下:一、提出了点几何恒等式算法。在学习吴方法的基础上,用点几何运算方式简明地表示几何关系,并转化为向量多项式,通过待定系数法解方程,探寻能关联命题条件和结论关系的恒等式。生成的代数恒等式,有明显的几何意义,在数形之间架构了一座新的桥梁。此方法原理简单,计算简便,给出的证明易于理解,读者需要的基础知识少,基本实现“明证”的目标。多数证明甚至比原题更简短,且清楚展现了条件和结论之间的关系,因此既能由一题扩展到多题,还能从低维扩展到高维。二、提出了基于点几何恒等式的混合推理算法。为了更好地利用不同解答方法的优势,结合代数计算和搜索思想,提出两种挖掘隐藏关系的算法,大大扩展了恒等式方法的解题范围。对长期讨论的某些有序几何问题,给出简短的恒等式证明,指出命题成立的充要条件,并将命题多角度扩展;而以往的解决方案需要引入较多的新概念,复杂运算,还达不到这样的效果。开发了点几何解答系统,针对可构图几何问题,能生成有详细步骤的可读证明,其中的遍历搜索功能与延伸作图功能相结合,可批量发现并证明几何定理,所发现的结论为恒等式算法提供补充。三、提出了向量方程消元算法。基于复数形式的欧拉公式,将几何关系转化成向量方程组,然后利用线性方程组的基础性质消去向量,从而抽取出含有边长和角度关系的系数矩阵,计算行列式并化简,调用消元法消去不感兴趣的变量,得到一些几何意义鲜明的关系式。这是将代数方法和不变量相结合的新思路。应用此方法研究一些经典几何图形,不但能重现经典结论,还能发现图形中蕴藏但前人疏漏的结论。此方法擅长发现和证明多项式形式的边角关系,这是以往研究所欠缺的。特别是对单个三角形的研究,能自动生成或强制生成大量三角恒等式。四、建立了一个几何题库。为检验算法的有效性,我们整理研究了 1000余例有代表性的几何问题。这些典型案例经本文算法处理之后,发现了许多新的结论,使得题目的内涵变得丰富,题目质量大大增强。有助于学生实行变式练习,加强巩固重点难点。为方便一线师生使用,我们基于题库出版了系列文章和着作,其中的题目,大部分来自人工收集,少部分由计算机自动生成,解答则几乎由机器完成,人只在其中增加少量连词和分析,使得读起来更加顺畅。而这些主要由计算机自动生成的命题和解答,审稿人和读者都没察觉是机器所为,充分说明能被教育领域理解和接受。同时也表明本文给出的机器解答,从某种程度上可认为通过了图灵测试。本文研究了基于点几何的自动推理方法,并指出它在数学教育上的种种应用,为基础数学教育内容的改进提供了一种新的途径。此外,本文研究也引人思考,人类的解答未必最佳,计算机可能给出让人惊讶的解答。计算机给出解答甚至比题干还短,这看似“有悖”常识,但又引起思考,如何知识表示才能尽量简洁而又方便推理。知识的创新表示,要尽量符合信息时代的要求,同时也可能造成原有知识体系的重新定位。
葛强,张景中,陈矛,彭翕成[3]（2014）在《基于向量的几何可读自动证明》文中认为几何定理机器证明已经成功发展了多种新方法,但其中对中学几何中向量的机器证明研究没有抓住其回路的基本特征.文中以向量的回路为出发点,提出了基于回路的向量可读证明新方法,开发了机器证明新程序.该程序对常见的构造类型欧氏几何题目能快速作图,并依据题目类型的不同,分别用不同的向量方法对其进行自动推理,证明结果简短可读.经过大量实例测试,证明将向量用于几何自动推理是可行和高效的.与《超级画板》等中的证明器相比,文中算法在自动推理能力和证明过程可读性方面有较大提高.文中给出的基于向量的几何可读证明算法丰富了几何定理自动推理方法,并且具有应用于几何教学实践的价值.
饶莎[4]（2020）在《初中生平面几何解题能力及其培养研究》文中认为《义务教育课程标准》将“图形与几何”作为数学学科四个学习模块之一,表明了平面几何在初中数学中的重要性。初中阶段是学生逻辑思维能力提升的飞跃时期,学习平面几何是提高学生数学抽象、逻辑推理、数学运算能力的最有效方式。对学生来说,平面几何的学习也是一个巨大的挑战:首先几何概念的抽象加大学生的理解难度;其次几何语言的表达难以规范;再者复杂图形分析难度高;最后逻辑推理能力提高困难。这种现状下,本研究具有重要意义。研究围绕“平面几何解题能力”概念展开,对国内外关于主流数学、初中平面几何教学及解题进行了研究,将平面几何解题能力定义为:对同一学习阶段的学生,学生解答平面几何解题速度的快慢或在相同情况下学生能够解决平面几何方面问题的难易程度,文中将两种表现结合起来进行研究。文中分线与角、三角形、平行四边形、圆、四部分总结了初中平面几何解题的基本方法策略,为调查第四章总结的解题策略是否切真有效起到帮助,文中采取实验调查研究法:对同一水平层次的两个班级,一个班级为实验组、另一为对照组,在试验期间,教师对被试班级在教学中强调解题技巧与策略,侧重学生数学思想方法的灌输,而另一班级正常秩序教学。一个月后,再次比较两个班学生学习成绩,实验班级成绩确实得到大幅提升。由此得出结论:培养初中生平面几何解题能力,首先要培养学生良好的审题习惯,其次启发学生在解题过程中要积极运用解题策略、解题之后要引导学生回顾反思、形成解题模型,最后基于以上研究,给出解题策略教学案例作为示范,给教师提供参考。
邹宇[5]（2010）在《几何代数基础与质点几何的可读机器证明》文中提出自吴法发表至今三十余年间,几何定理机器证明的研究和实践有了很大的进展.对无序几何命题而言,代数方法、数值并行方法均能有效地判定其真假,消点法、搜索法更能生成可读的证明.就几何定理可读机器证明而言,在面积法之后,又有了向量法、全角法并发展为几何代数方法和高级不变量方法.这些方法处理的主要是几何不变量而非基本的几何点,故不易于扩展和融合.且除面积法外,均尚未见形成具有完全性的算法.质点几何为发展基于几何点的几何证明方法提供了可操作的模型,其基本思想是建立几何点而不仅是坐标或不变量之间的代数运算.质点几何支持对点直接进行线性组合运算,也能表达向量和面积,其运算表达式有明显的几何意义和物理意义,是一种基本的“几何代数”.本文论证了质点几何对于几何代数的基本的重要性,并发展了一种基于几何点的几何定理可读机器证明方法——质点法,先后建立了能处理希尔伯特交点类命题和线性构造型几何命题的机器证明算法,并实现为Maple程序.由于可以直接对点进行运算,质点法的算法和编程比面积法简明.对几百个非平凡命题运行的结果显示,这种方法不仅效率高,多数证明的可读性令人满意.全文共分为五章:第一章简要回顾了几何定理可读机器证明的各种方法及几何代数的概况,并阐明了本文研究的主要目标.第二章从新视角探讨了几何代数基础.结果表明,质点几何和向量空间的出现绝非偶然,它们在某种意义上是几何代数发展过程中必然经历的一个阶段.第三章基于质点几何的基本法则,发展了能自动证明几何定理的质点几何方法,建立了能处理希尔伯特交点类命题的仿射几何机器证明算法MPM（Mass-Point-Method）,并在Maple中实现为MPM证明器.第四章在质点几何的基础上,发展了复系数质点几何,基于导出的复系数质点几何的基本性质,发展了复系数质点几何方法,建立了对无序几何中可构造命题类有效的完全的算法CMPM（Complex-Mass-Point-Method）,并在Maple中实现为CMPM证明器.第五章统计了410个运行例子的实验数据,总结了本文的工作,并指出了进一步研究的问题.
刘桂顺[6]（2013）在《高一学生理解立体几何证明困难的原因及对策研究》文中研究说明立体几何证明是高中数学教学中的一项重要内容，而高一是学生学习立体几何的初学阶段，对于立体几何的证明题学生理解起来往往比较困难，这严重制约了学生的学习积极性。特别是在新课标颁布之后，新课标对高一立体几何证明不仅做了内容上的调整，而且对于其教学要求也做了新的规定，表面上看对于证明题的要求有所降低，但实际上教学要求不仅没有降低，反而有所升高，所以高中数学教师必须要更加重视高一对于立体几何证明的教学，必须要改革传统立体几何证明教学，结合新的教学方式和手段进行教学，从而让学生能够深入了解立体几何证明的本质。本文就是在这个基础上展开研究的，共有五章内容。第一章主要是提出本文所要研究的问题。首先，介绍了研究的背景，主要包括立体几何的教育价值与地位以及国内外立体几何教学改革的情况，然后给出了该研究的目的和意义，最后提出了本文所要研究的问题：高一学生在理解立体几何证明方面到底存在哪些困难？造成学生理解立体几何证明困难的原因的有哪些？采取哪些策略可以帮助学生解决这个问题？第二章主要论述了几何证明理解困难的相关理论分析。首先结合“数学理解”和“数学理解困难”的概念，给出了“理解立体几何证明困难”的涵义，然后分析了高一立体几何的特点及基本内容、高一学生所处的思维阶段和学习特点以及关于立体几何学习障碍已经取得的研究成果。第三章主要论述了为了找出高一学生在理解立体几何证明方面存在的困难和原因所做的调查研究。首先采用了问卷法、测试法、观察法、访谈法来寻找学生存在的困难和原因，然后通过对调查结果的系统的分析，得出了高一学生在理解立体几何证明方面存在的困难有：一是学生在识别立体几何图形方面存在困难；二是学生在阅读理解题目的时候存在困难；三是学生对于证明的推导过程存在理解上的困难；四是学生对于辅助线的添加存在理解上的困难；五是学生对于证明过程的整体思路存在理解上的困难。而究其原因主要有四方面：一是高一学生现有的认知结构存在缺陷；二是高一学生的空间想象能力严重不足；三是高一学生的逻辑思维能力较弱；四是高一学生对于立体几何的基本知识掌握的不扎实，存在理解上的障碍。第四章主要论述的是为了促进学生对于立体几何证明的理解而进行的一系列的教学探索。首先给出了教学的基本要求，然后提出了一些教学的策略，主要包括：切实了解学生现有认知结构和知识经验水平，找出其缺陷和错误观念，并且及时的给予弥补和改正；逐步提高学生的空间想象能力；努力提高学生的逻辑思维能力；加强推理论证的训练；改变传统的上课模式，加强师生之间、学生之间的交流；要引导学生学会反思学习,对于立体几何的证明过程要多进行反思,从而理解其本质；多运用变式训练的方式进行教学，突出立体几何证明方法的本质特征；引导学生将立体几何与平面几何的相关知识进行类比和对比，让学生既能知道它们的联系，又能了解它们的区别。第五章主要论述的是为了检验上一章中的教学策略的有效性而进行的试验。笔者所教的班级为实验班，采取了上述的教学策略，然后挑选了另外一个班作为对照班，仍然采用传统的教学方法，最后做同样一份测试题，通过成绩来检验教学策略的有效性。实验结果说明上述的教学策略确实是有效的。
邓云春[7]（2020）在《点几何线性运算的教学研究 ——以高中数学为例》文中进行了进一步梳理点几何是近期张景中院士提出的一种新的几何代数系统,它兼顾了向量法、坐标法和质点几何的优点又避免其缺点,可以改善平面几何与平面向量难学的现状。本研究选取了点几何的线性运算在高中数学教学中进行应用研究,主要是想通过教学实践来验证点几何是否适合教学和学习。在教学研究之前,先对点几何的线性运算进行理论研究,通过研究结论进一步说明点几何的线性运算对学生思维和核心素养的提高有较大的帮助,教学设计研究之后采用教学实践和问卷调查的方法来检验点几何的线性运算在教学上的应用效果,所以,本研究主要包括三个方面的内容:（1）点几何的线性运算理论研究,主要对点几何的线性运算的理论进行了介绍以及它在平行或相等、共线和相交三种题型中的应用,分析点几何方法对提高学生的思维和核心素养的帮助。（2）点几何的线性运算教学设计研究,首先对教学内容、学习者、教学目标和教学过程进行了分析,在此基础上进行了点几何的线性运算教学设计,分为了两个课时。（3）教学实验研究,教学实验后为检测教学效果设计测试卷和调查卷,对结果进行详细的分析。考察了学生对点几何的线性运算的理解和掌握情况、应用点几何方法解题的效果以及实验组学生对点几何知识的看法与态度等。通过上述研究之后得到以下结论:学生对点几何的线性运算理解和掌握情况比较好,点几何方法解题步骤简洁,几何意义明显,降低了解题难度,对学生思维和素养的培养都有一定的帮助,另外调查中学生普遍表示喜欢、能够接受点几何的相关知识,认为点几何的线性运算定义和性质比较容易理解和掌握。总之,点几何的线性运算在高中数学教学中的应用效果较好,检验了点几何教学实施的可行性,也为点几何的进一步推广起到了参考与借鉴的作用。
孙凤[8]（2019）在《巧用三角函数证几何题》文中提出引例如图1所示,在正方形ABCD中,点M为CD边的中点,点N为BC边靠近点C的四等分点,连接AM、MN.试判断AM、MN的位置关系并说明理由.解答本题的常规方法是连接AN,如图2所示,利用勾股定理的逆定理求解.为了证明简捷,不妨设正方形
陈德青[9]（2020）在《数学竞赛中平面几何解题的模式识别研究》文中研究说明数学竞赛是发现、选拔和培养数学人才的重要举措之一,而平面几何一直是数学竞赛的重要组成部分.因此,对数学竞赛中平面几何的解题过程进行系统地研究是丰富数学竞赛理论的一个重要途径.我国对数学解题的模式识别理论已有深入研究,鉴于此,本文采用文献分析法和访谈法,结合国内外数学竞赛中的平面几何试题,根据模式识别理论对数学竞赛中平面几何的解题过程进行研究和探讨.本研究主要包含以下方面:首先,对相关理论进行概述.梳理了国内外学者对数学竞赛中的平面几何和模式识别方面的研究成果.另外,基于本研究的角度整理了与本研究相关的理论,界定了数学竞赛中平面几何解题的模式与模式识别的概念.其次,对数学竞赛中平面几何解题的模式识别进行了理论研究.给出了数学竞赛中平面几何解题的模式分类和其模式识别的操作过程,并得出了掌握平面几何解题模式识别的方法,即学会辨认模式与积累模式.积累模式主要有三个基本途径:一是竞赛教学中模式的构建;二是解题过程的分析提炼;三是把图形、方法、类型、定理作为整体来记忆.对于第二个基本途径,笔者整理分析了近几年国内外数学竞赛中的平面几何竞赛试题,在解题过程中分析提炼出三种经验性图形模式,利用几何画板深入挖掘这三个经验性图形模式的性质,并发现了一些结论,并将它们取名为极点构型、萨蒙构型和泰博构型.最后,通过访谈考察学生在数学竞赛中对平面几何解题不同层次模式识别的具体认知过程,也就是学生对直接识别、转化识别、整合识别的认知过程进行研究.
郭瑞[10]（2019）在《启发性提示语下初中数学课堂教学中提问用语的应用研究》文中研究表明课堂提问是数学教学的重要手段,是初中数学课堂教学的重要组成部分,具有较强的艺术性。然而,当前课堂教学中,教师对课程标准理念的理解存在误区,不能有效地组织实施启发式教学,仍以注入式教学为主,课堂提问多以简单判断、机械回忆为主,导致提问有效性低,缺乏启发性,忽视了对学生学习能力和思维能力的培养。因此,研究启发性提示语在初中数学课堂教学的应用,不仅对教师的专业成长具有重要意义,而且还可以提高课堂提问的有效性,激发学生的学习兴趣,训练学生的思维,启发学生的智慧。基于以上背景,本文综合运用文献分析法、课堂观察法、课例研究法、经验总结法等方法,进行了以下工作:1.总结概述关于启发性提示语的研究成果;2.借助数学课堂提问编码表和记录表,对初中数学课堂教学各环节中启发性提示语的应用情况进行调查,总结调查结论;3.结合相关理论基础和应用情况,提出启发性提示语的应用原则和策略;4.以启发性提示语的应用原则和策略为依据,结合具体课例分析概念课、习题课、定理课、复习课、试卷讲评课中启发性提示语的应用。通过研究,得到以下结论:第一,在课堂教学中,专家型教师善于应用启发性提示语引导、提示学生思考问题,注重引导学生思考问题的目标、方向;第二,专家型教师在课堂教学中善于采取启发式教学;第三,不论是新手型教师,还是专家型教师,方法论提示语的应用呈不相关关系;第四,引入新知时,教师善于应用启发性提示语启发学生下一步所学的知识,注重新旧知识之间的引导;第五,讲授新知和巩固练习两个教学环节启发性提示语的应用较为稳定;第六,课堂教学中提示语的应用没有得到重视;第七,不重视对知识的总结、提炼,对学生所学新知和方法缺乏指引、提示,忽视了对学生认知结构的再重组。结合初中数学课堂教学中启发性提示语的应用情况及结论,提出五条应用原则:尊重性原则;适度性原则;思维性原则;时机性原则;梯度化原则。其策略为:第一,充分了解学生;第二,课前预设启发性问题情境;第三,增强启发性提示语的应用意识;第四,及时反思总结经验;第五,基于学生的认知基础构建启发性提示语链;第六,深入挖掘题目信息构建启发性提示语链。该项研究的创新之处:课堂教学提问用语中以启发性提示语为切入点进行研究,研究视角和主题新;以课堂观察的方式对五位教师课堂教学环节中启发性提示语的应用情况进行分析,并结合相关理论基础提出启发性提示语的应用原则和策略。在此基础上,给出概念课、命题课、习题课、复习课、试卷讲评课五个类型的应用课例,研究内容新。
二、“ab＋cd＝mn”型几何题的证明方法（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、“ab＋cd＝mn”型几何题的证明方法（论文提纲范文）
（1）平面几何题目的自动解答研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 研究目标 |
| 1.3 研究内容 |
| 1.4 本文的创新点 |
| 1.5 论文的结构安排 |
| 第2章 相关研究现状综述 |
| 2.1 自动解答的一般流程 |
| 2.2 题目自动解答研究综述 |
| 2.2.1 数学题目自动解答方法和系统 |
| 2.2.2 本节小结 |
| 2.3 题目理解方法综述 |
| 2.3.1 基于自然语言题目文本的题目理解方法 |
| 2.3.2 基于图形的题目理解方法 |
| 2.3.3 基于多模态信息融合的题目理解方法 |
| 2.3.4 本节小结 |
| 2.4 自然语言文本关系抽取算法综述 |
| 2.5 平面几何自动推理方法综述 |
| 2.6 几何辅导系统综述 |
| 2.7 本章小结 |
| 第3章 基于关系抽取的平面几何自动解答理论 |
| 3.1 初等数学典型平面几何题目的求解过程分析 |
| 3.2 平面几何题目的自动解答理论 |
| 3.2.1 等价表示理论 |
| 3.2.2 等价转换理论 |
| 3.2.3 类人解答理论 |
| 3.3 基于关系抽取的平面几何题目的理解方法 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 基于句法语义混合模型的纯文本平面几何题目的自动解答 |
| 4.1 求解方法概述 |
| 4.2 基于句法语义混合模型的纯文本几何应用题目的解答 |
| 4.2.1 算法流程 |
| 4.2.2 S~2模型创建 |
| 4.2.3 题目文本的语言分析 |
| 4.2.4 使用S~2模型提取直陈述关系 |
| 4.2.5 隐含关系添加 |
| 4.2.6 实例化方程组并求解 |
| 4.2.7 答案文本生成 |
| 4.3 基于句法语义混合模型的纯文本平面几何证明题目的解答 |
| 4.3.1 算法流程 |
| 4.3.2 分词和标注 |
| 4.3.3 几何实体识别 |
| 4.3.4 几何关系提取 |
| 4.3.5 推理和解答 |
| 4.4 几何应用题目的解答实验 |
| 4.4.1 数据集 |
| 4.4.2 S~2模型构建 |
| 4.4.3 基线(baseline)算法 |
| 4.4.4 评估标准 |
| 4.4.5 实验结果和分析 |
| 4.5 平面几何证明题目的解答实验 |
| 4.5.1 数据集 |
| 4.5.2 基线(baseline)算法 |
| 4.5.3 评估标准 |
| 4.5.4 实验结果和分析 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 基于机器学习的纯文本平面几何题目的自动解答 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 问题描述 |
| 5.3 基于机器学习的几何关系抽取 |
| 5.3.1 算法描述 |
| 5.3.2 候选关系生成 |
| 5.3.3 几何关系识别 |
| 5.4 实验和分析 |
| 5.4.1 数据集 |
| 5.4.2 实验设置 |
| 5.4.3 实验结果和分析 |
| 5.4.4 基于几何关系的题目求解 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 基于文本和几何图形双模态理解的平面几何题目解答 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 问题的形式化描述 |
| 6.3 平面几何图形理解 |
| 6.3.1 几何基元的检测 |
| 6.3.2 基本几何关系的挖掘 |
| 6.3.3 派生几何关系的生成 |
| 6.4 基于双模态信息融合的题目理解 |
| 6.5 基于双模态题目理解的平面几何题目解答 |
| 6.6 实验和分析 |
| 6.6.1 数据集 |
| 6.6.2 评估标准 |
| 6.6.3 实验结果和分析 |
| 6.7 本章小结 |
| 第7章 智能交互式几何辅导系统 |
| 7.1 几何题目理解模块 |
| 7.1.1 手绘平面几何图形的理解 |
| 7.2 几何题目求解模块 |
| 7.3 可视化交互模块 |
| 7.3.1 手绘平面几何图形的规整化 |
| 7.3.2 文本-图形对应关系的建立 |
| 7.3.3 可视化效果呈现 |
| 7.4 基于手绘几何图形的交互式人机界面 |
| 7.5 系统的初步评估 |
| 7.5.1 平面几何题目理解和求解的性能评估 |
| 7.5.2 系统在学生进行几何学习中的初步评估 |
| 7.6 本章小结 |
| 第8章 总结和展望 |
| 8.1 本文的研究总结 |
| 8.2 进一步的研究和展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士期间发表的论文和科研成果 |
| 致谢 |
（2）基于点几何的几何定理机器证明与自动发现（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 研究历史与现状 |
| 1.2.1 几何推理的代表性方法 |
| 1.2.2 几何推理的可读性研究 |
| 1.2.3 几何定理自动发现 |
| 1.3 主要工作和组织结构 |
| 第二章 相关理论基础 |
| 2.1 几何题的题意理解 |
| 2.2 吴方法理论与实例 |
| 2.3 教育数学与点几何 |
| 2.4 实验平台Mathematica |
| 第三章 基于点几何的恒等式算法 |
| 3.1 几何命题代数化 |
| 3.1.1 几何知识的重新表示 |
| 3.1.2 点几何基本几何关系构造 |
| 3.2 基于恒等式的命题证明算法和示例 |
| 3.2.1 点几何恒等式算法 |
| 3.2.2 点几何恒等式算法的补充:引入参数 |
| 3.2.3 点几何恒等式算法的补充:引入复数 |
| 3.2.4 点几何恒等式与向量方法的转换算法 |
| 3.2.5 恒等式的解读和一题多解 |
| 3.3 教育应用案例 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 基于点几何恒等式的混合推理算法 |
| 4.1 命题真假判定 |
| 4.2 点几何恒等式搜索算法 |
| 4.2.1 搜索条件的恒等式算法 |
| 4.2.2 教育应用案例 |
| 4.3 点几何解答系统 |
| 4.3.1 基本函数 |
| 4.3.2 扩展函数 |
| 4.3.3 教育应用案例 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 基于向量方程的消元算法 |
| 5.1 研究背景 |
| 5.2 向量方程消元算法 |
| 5.3 教育应用案例 |
| 5.3.1 经典案例再探究 |
| 5.3.2 自动发现多种情况 |
| 5.3.3 自动发现逆命题 |
| 5.3.4 强制法打磨生成结论 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 算法测试与比较 |
| 6.2 主要工作和创新 |
| 6.3 教育应用与思考 |
| 6.4 进一步研究与展望 |
| 参考文献 |
| 附录1 吴方法的实质是恒等式 |
| 附录2 访谈提纲和测试案例 |
| 攻读博士学位期间完成的科研成果 |
| 致谢 |
（4）初中生平面几何解题能力及其培养研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究意义 |
| 1.3 研究问题 |
| 1.4 研究方法 |
| 1.5 研究过程 |
| 2 文献综述 |
| 2.1 国外研究现状 |
| 2.2 国内研究现状 |
| 2.3 总体研究现状 |
| 3 研究中相关概念及其涵义 |
| 3.1 问题解决 |
| 3.2 数学解题能力 |
| 3.3 平面几何题解题能力 |
| 4 初中平面几何解题的基本方法 |
| 4.1 线与角部分 |
| 4.2 三角形部分 |
| 4.3 平行四边形部分 |
| 4.4 圆性质的应用 |
| 5 初中生平面几何解题调查研究 |
| 5.1 调查对象 |
| 5.2 调查过程 |
| 5.3 数据的收集 |
| 5.4 数据的分析 |
| 5.4.1 前测数据分析 |
| 5.4.2 后测数据分析 |
| 5.5 调查研究结果分析 |
| 6 教学建议及案例 |
| 6.1 教学建议 |
| 6.2 解题策略的教学案例分析 |
| 7 研究结果及展望 |
| 7.1 研究结果 |
| 7.2 研究不足及展望 |
| 7.2.1 研究不足之处 |
| 7.2.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 附录一 |
| 附录二 |
| 附录三 |
| 致谢 |
| 在读期间公开发表论文(着)及科研情况 |
（5）几何代数基础与质点几何的可读机器证明（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 几何定理可读机器证明研究的历史与现状概述 |
| 1.1.1 几何不变量方法 |
| 1.1.2 基于数据库的搜索法 |
| 1.2 几何代数发展概述 |
| 1.2.1 什么是几何代数 |
| 1.2.2 已有的几何代数 |
| 1.2.3 作为几何代数的向量几何和质点几何 |
| 1.3 本文内容概述 |
| 第二章 几何代数基础新视角 |
| 2.1 欧氏平面点集上“平等”的加法 |
| 2.2 加法在Ω_1 上的确定 |
| 2.3 将Ω_1 扩充为阿贝尔群 |
| 2.4 第二章小结 |
| 第三章 质点几何的可读机器证明——希尔伯特交点类命题 |
| 3.1 实系数质点几何初步 |
| 3.1.1 实系数质点几何的基本原理 |
| 3.1.2 实系数质点几何解题的例子 |
| 3.1.3 实系数质点几何的消点方法 |
| 3.2 实系数质点几何方法描述 |
| 3.2.1 希尔伯特交点类命题的构图语句 |
| 3.2.2 结论的形式和检验语句 |
| 3.3 消点算法MPM 的实现 |
| 3.3.1 MPM 的设计思想 |
| 3.3.2 MPM 的完全性 |
| 3.3.3 MPM 的结构 |
| 3.4 算法MPM 的Maple 实现及例子 |
| 3.4.1 MPM的Maple实现 |
| 3.4.2 运行希尔伯特交点类命题的例子 |
| 3.5 第三章小结 |
| 第四章 质点几何的可读机器证明——线性构造型几何命题 |
| 4.1 复系数质点几何 |
| 4.1.1 复系数质点几何的基本思想 |
| 4.1.2 复系数质点几何的基本性质 |
| 4.1.3 复系数质点几何解题的例子 |
| 4.1.4 复系数质点几何的消点方法 |
| 4.2 复系数质点几何方法描述 |
| 4.2.1 线性构造型几何命题的构图语句 |
| 4.2.2 结论的形式和检验语句 |
| 4.3 消点算法CMPM 的实现 |
| 4.3.1 CMPM 的设计思想 |
| 4.3.2 CMPM 的完全性 |
| 4.3.3 CMPM 的结构 |
| 4.4 算法CMPM 的Maple 实现及例子 |
| 4.4.1 CMPM 的Maple 实现 |
| 4.4.2 运行线性构造型几何命题的例子 |
| 4.5 算法 CMPM 与 MPM 的比较 |
| 4.6 质点法与面积法初步比较 |
| 4.7 第四章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.1.1 经验数据统计 |
| 5.1.2 本文工作总结 |
| 5.2 进一步的问题和拟开展的工作 |
| 5.2.1 几何代数基础方面 |
| 5.2.2 基于质点几何的可读机器证明方面 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（6）高一学生理解立体几何证明困难的原因及对策研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 问题的提出 |
| 第一节 研究的背景 |
| 第二节 研究的目的和意义 |
| 第三节 研究的问题 |
| 第二章 几何证明理解困难相关理论分析 |
| 第一节 “理解立体几何证明困难”的涵义 |
| 第二节 高一立体几何的特点及基本内容 |
| 第三节 高一学生所处的思维阶段和学习特点 |
| 第四节 关于立体几何学习障碍已经取得的研究成果 |
| 第三章 高一学生理解立体几何证明存在的困难及其原因的调查研究 |
| 第一节 调查的目的及方法 |
| 第二节 调查结果统计与分析 |
| 第三节 高一学生理解立体几何证明存在的困难及原因 |
| 第四章 教师对促进高一学生理解立体几何证明的教学探索 |
| 第一节 教学的基本要求 |
| 第二节 促进学生理解的教学方式 |
| 第五章 高一理解立体几何证明困难的学生转化试验 |
| 第一节 试验设计 |
| 第二节 实验过程 |
| 第三节 实验结果分析 |
| 第四节 思考与建议 |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 附录一 |
| 附录二 |
| 附录三 |
| 致谢 |
（7）点几何线性运算的教学研究 ——以高中数学为例（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.1.1 研究背景 |
| 1.1.2 研究意义 |
| 1.2 文献综述 |
| 1.2.1 几何学科的地位 |
| 1.2.2 几何课程改革历程 |
| 1.2.3 点几何的教育价值 |
| 1.2.4 点几何的解题研究 |
| 1.3 研究内容及创新之处 |
| 1.3.1 研究内容 |
| 1.3.2 创新之处 |
| 2 理论分析 |
| 2.1 点几何理论的知识结构 |
| 2.2 几何体系的对比分析 |
| 3 点几何的线性运算理论及应用 |
| 3.1 点几何理论的起源与发展 |
| 3.2 点几何的线性运算的理论 |
| 3.2.1 点的加法运算理论 |
| 3.2.2 点的数乘运算理论 |
| 3.2.3 点的线性运算理论 |
| 3.3 点几何的线性运算的应用 |
| 3.3.1 平行或相等题型 |
| 3.3.2 共线题型 |
| 3.3.3 相交题型 |
| 4 《点几何的线性运算》的教学设计研究 |
| 4.1 《点几何的线性运算》教学设计分析 |
| 4.1.1 教学内容分析 |
| 4.1.2 学习者分析 |
| 4.1.3 教学目标的设计 |
| 4.1.4 教学过程的设计 |
| 4.2 《点几何的线性运算》教学设计方案 |
| 《点几何的线性运算》第一课时 |
| 《点几何的线性运算》第二课时 |
| 5 《点几何的线性运算》教学实验调查与分析 |
| 5.1 研究对象 |
| 5.1.1 实验对象的选择 |
| 5.1.2 实验对象的学情介绍 |
| 5.2 研究方法 |
| 5.2.1 实践教学 |
| 5.2.2 问卷调查 |
| 5.3 研究实施 |
| 5.3.1 实践教学的实施 |
| 5.3.2 问卷调查的实施 |
| 5.4 研究结果的统计与分析 |
| 5.4.1 测试卷的统计与分析 |
| 5.4.2 问卷调查结果及分析 |
| 5.5 研究小结 |
| 6 研究结论与展望 |
| 6.1 研究的结论 |
| 6.2 研究局限 |
| 6.3 研究展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
（9）数学竞赛中平面几何解题的模式识别研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究问题 |
| 1.3 研究意义 |
| 1.4 研究方法 |
| 1.5 本章小结 |
| 第二章 国内外文献研究综述 |
| 2.1 平面几何研究综述 |
| 2.1.1 国内平面几何研究综述 |
| 2.1.2 国外平面几何研究综述 |
| 2.2 数学解题的模式识别研究综述 |
| 2.2.1 基于数学解题认知过程角度 |
| 2.2.2 基于数学解题策略角度 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 概念界定与理论基础 |
| 3.1 概念界定 |
| 3.1.1 模式与模式识别 |
| 3.1.2 数学解题中的模式与模式识别 |
| 3.1.3 数学竞赛中平面几何解题的模式与模式识别 |
| 3.2 理论基础 |
| 3.2.1 波利亚解题理论 |
| 3.2.2 现代认知心理学 |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 数学竞赛中平面几何解题的模式识别 |
| 4.1 数学竞赛中平面几何解题的模式分类 |
| 4.1.1 图形模式 |
| 4.1.2 方法模式 |
| 4.1.3 类型模式 |
| 4.1.4 定理模式 |
| 4.2 数学竞赛中平面几何解题的模式识别的操作过程 |
| 4.3 数学竞赛中平面几何解题的模式识别的掌握方法 |
| 4.3.1 学会辨认模式 |
| 4.3.2 学会积累模式 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 访谈考察学生在数学竞赛中对平面几何解题模式识别的认知过程 |
| 5.1 研究一直接识别的认知过程分析 |
| 5.1.1 访谈设计 |
| 5.1.2 访谈结果 |
| 5.1.3 访谈分析与结论 |
| 5.2 研究二转化识别的认知过程分析 |
| 5.2.1 访谈设计 |
| 5.2.2 访谈结果 |
| 5.2.3 访谈分析与结论 |
| 5.3 研究三整合识别的认知过程分析 |
| 5.3.1 访谈设计 |
| 5.3.2 访谈结果 |
| 5.3.3 访谈分析与结论 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 结论 |
| 6.1 研究结论 |
| 6.2 研究创新 |
| 6.3 研究不足 |
| 附录 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间承担的科研任务和主要成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（10）启发性提示语下初中数学课堂教学中提问用语的应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究的背景 |
| 1.1.1 义务教育课程标准实施的要求 |
| 1.1.2 初中数学课堂提问现状评析 |
| 1.2 研究的意义 |
| 1.3 核心概念界定 |
| 1.4 研究的目的 |
| 1.5 研究的内容和论文结构 |
| 1.5.1 研究的内容 |
| 1.5.2 论文结构 |
| 第二章 文献综述 |
| 2.1 文献检索方法与收集途径 |
| 2.2 相关的研究综述 |
| 2.2.1 启发性提示语的研究综述 |
| 2.2.2 启发性提示语在数学教学中的应用综述 |
| 2.2.3 数学课堂提问中启发性语言的相关研究综述 |
| 2.3 研究现状评述与小结 |
| 第三章 研究设计 |
| 3.1 研究方法 |
| 3.2 研究工具 |
| 3.3 研究思路 |
| 3.3.1 研究计划 |
| 3.3.2 研究的技术路线 |
| 3.4 研究的伦理 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 理论基础 |
| 4.1 启发性提示语的哲学论基础 |
| 4.2 启发性提示语的学习论基础 |
| 4.2.1 建构主义学习理论 |
| 4.2.2 有意义学习理论 |
| 4.2.3 元认知理论 |
| 4.2.4 最近发展区理论 |
| 4.3 启发性提示语的教学论基础 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 初中数学课堂教学中启发性提示语的应用调查 |
| 5.1 研究对象的选取与确定 |
| 5.2 启发性提示语在课堂提问中的应用情况 |
| 5.2.1 Z教师课堂提问中的启发性提示语 |
| 5.2.2 Y1 教师课堂提问中的启发性提示语 |
| 5.2.3 G教师课堂提问中的启发性提示语 |
| 5.2.4 L教师课堂提问中的启发性提示语 |
| 5.2.5 Y2 教师课堂提问中的启发性提示语 |
| 5.3 启发性提示语在课堂教学中的应用分析 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 启发性提示语的应用原则和策略 |
| 6.1 启发性提示语下初中数学课堂教学中提问用语的应用原则 |
| 6.1.1 尊重性原则 |
| 6.1.2 适度性原则 |
| 6.1.3 思维性原则 |
| 6.1.4 时机性原则 |
| 6.1.5 梯度化原则 |
| 6.2 启发性提示语下初中数学课堂教学中提问用语的应用策略 |
| 6.2.1 充分了解学生 |
| 6.2.2 课前预设启发性问题情境 |
| 6.2.3 增强启发性提示语的应用意识 |
| 6.2.4 及时反思总结经验 |
| 6.2.5 基于学生的认知基础构建启发性提示语链 |
| 6.2.6 深入挖掘题目信息构建启发性提示语链 |
| 6.3 小结 |
| 第七章 启发性提示语在初中数学课堂教学中的应用课例 |
| 7.1 概念课教学中启发性提示语的应用课例 |
| 7.2 命题课教学中启发性提示语的应用课例 |
| 7.3 习题课教学中启发性提示语的应用课例 |
| 7.4 复习课教学中启发性提示语的应用课例 |
| 7.5 试卷讲评课中启发性提示语的应用课例 |
| 7.6 小结 |
| 第八章 总结与思考 |
| 8.1 研究的结论 |
| 8.2 研究的创新点 |
| 8.3 研究的反思与不足 |
| 8.4 后续研究的展望 |
| 8.5 结束语 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 附录A 课堂提问中启发性提示语记录表 |
| 附录B 课堂提问中启发性提示语统计表 |
| 附录C Z教师课堂提问语 |
| 附录D Y1教师课堂提问语 |
| 附录E G教师课堂提问语 |
| 附录F L教师课堂提问语 |
| 附录G Y2教师课堂提问语 |
| 附录H 七年级上学期期末考试数学试题 |
| 攻读硕士学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
四、“ab＋cd＝mn”型几何题的证明方法（论文参考文献）
- [1]平面几何题目的自动解答研究[D]. 甘文斌. 华中师范大学, 2018(01)
- [2]基于点几何的几何定理机器证明与自动发现[D]. 彭翕成. 华中师范大学, 2020(01)
- [3]基于向量的几何可读自动证明[J]. 葛强,张景中,陈矛,彭翕成. 计算机学报, 2014(08)
- [4]初中生平面几何解题能力及其培养研究[D]. 饶莎. 江西师范大学, 2020(11)
- [5]几何代数基础与质点几何的可读机器证明[D]. 邹宇. 广州大学, 2010(02)
- [6]高一学生理解立体几何证明困难的原因及对策研究[D]. 刘桂顺. 山东师范大学, 2013(09)
- [7]点几何线性运算的教学研究 ——以高中数学为例[D]. 邓云春. 贵州师范大学, 2020(07)
- [8]巧用三角函数证几何题[J]. 孙凤. 中学数学, 2019(16)
- [9]数学竞赛中平面几何解题的模式识别研究[D]. 陈德青. 福建师范大学, 2020(12)
- [10]启发性提示语下初中数学课堂教学中提问用语的应用研究[D]. 郭瑞. 云南师范大学, 2019(06)