一种求矩阵秩的新算法

一、求矩阵秩的一个新算法（论文文献综述）

李传正^[1]（1991）在《关于整数矩阵的初等变换》文中研究说明 《数学通报》1990年第1期刊登译文《求矩阵秩的一个新算法》（原载美国数学月刊）。该方法的优点,其一解决了住用行初等变换化阶梯形矩阵的过程中,“不知用那一行为基准行更为合适”,这样一个不确定性因素,其二,保证当A是整数矩阵时,变换过程中只需进行整数运算,

LARRY J.GERSTlN,小苗^[2]（1990）在《求矩阵秩的一个新算法》文中研究表明 为了求出矩阵A的秩和它的行空间的一个基,学生总是被告知使用行初等变换方法把矩阵A变成阶梯形矩阵。于是该阶梯形矩阵的非零行的个数即为矩阵A的秩,而该阶梯形矩阵的各行则构成矩阵A的行空间的一个基。上述方法肯定是正确的,但在实践中,相应的运算却可能并不灵便。例如,对于一个整数矩阵A,有两个标准步骤来进行第一步,我们利用（基于除法的）行初等变换把矩阵A的第一列元素除第一项以外全部消成零。第二步,首先我们把第一行各元素分别除以该左手第一项a11(假定A11≠0)然后从除第一行以外的其余各行中减去现在新的第一行元素的适当倍数。无论那一种情况,下一步运算要考虑的对象均是（m-1）×（n-1）阶矩阵。因此,再重复上述步骤。

陶思俊^[3]（2011）在《基于拟牛顿修正技术的两类修正梯度法》文中研究说明众所周知,共轭梯度法和拟牛顿法是求解无约束优化问题的两类非常重要且有效的梯度法.共轭梯度法的优点是其存储量小、计算简单,适合于求解大规模问题,而拟牛顿法的优点是其快速收敛性,并且被改善后能有效求解较大规模问题.因此对这两类方法的研究一直受到国内外许多学者的极大关注.在本文中,基于拟牛顿修正技术,对上述的两类梯度法进行了修正,提出了修正HS共轭梯度法及混合谱尺度BFGS方法.在第一章,我们首先简单介绍了最优化的一些基础知识、下降算法的结构以及共轭梯度法和拟牛顿法的研究现状.在第二章,基于拟牛顿法中MBFGS的修正技术,我们首先对HS共轭梯度法中搜索方向的计算公式进行了修正,其优点是所产生的搜索方向总是下降的,而且能结合更弱的线性搜索技术来计算步长.在较弱的条件下,结合非单调Armijo线性搜索技术我们证明了所提出的修正HS共轭梯度法具有全局收敛性,最后通过数值实验验证了所提出的算法的有效性.在第三章,基于已有的MBFGS方法、CBFGS方法及谱尺度技术,提出了一类混合谱尺度BFGS方法,其优点是能有效阻止拟牛顿矩阵趋于病态,而且拟牛顿矩阵总是被有效校正.在较弱的条件下,我们证明了所提出的混合谱尺度BFGS方法在Armijo线性搜索和Wolf-Powell线性搜索下是全局收敛的,最后通过数值实验比较了该算法与MBFGS算法、CBFGS算法及传统的BFGS算法的数值表现,数值结果表明所提出的方法具有较好的数值效果.

唐廷锋^[4]（2015）在《结合空间信息的高光谱遥感图像分类方法研究》文中研究指明高光谱遥感技术在遥感科学中占有十分重要的地位,是现代遥感科学发展的前沿领域。它利用成百上千的波长范围从可见光到红外线的电磁波波段从我们感兴趣的物体中获取有用的信息。高光谱图像中的每一个像素点可以表示为一个光谱维向量,构成这个向量的的各个分量与高光谱图像的各个波段相对应。不同的地物通常对相同波长电磁波的反射存在差异,这样就可以利用丰富的光谱信息对不同的地物加以区分。高光谱遥感系统已经在农业、军事和矿物学等诸多领域得到了广泛的应用。相较于传统的多光谱遥感图像而言,高光谱遥感图像在光谱分辨率方面有了很大提高,承载地物信息量非常大,这很大程度上提高了其在地物类别方面的区分能力,可以对地物的光谱信息进行精确分析与处理。但是高光谱图像具有的波段数目一般很大,导致其数据维度较高且图像中往往混有不同程度噪声。如何从高光谱数据繁杂的信息中准确快速地挖掘出对分类有利的特征信息,提高图像的分类精度,仍是一个棘手的问题。现有的大部分高光谱分类模型都只考虑了光谱信息,而没有对图像的空间信息加以利用。本文在现有算法分析的基础上,以提高图像分类精度为出发点,充分利用高光谱数据的特征,对高光谱图像的分类算法进行了深入研究。本文提出了一种结合上下文信息的高光谱图像联合稀疏分类模型。由于高光谱图像中一个图像块包含的光谱向量通常都具有很高的相关性,如果把这个图像块展开成一个矩阵,这个矩阵就存在一个潜在的低秩结构,可以采用低秩分解将它分解为一个低秩矩阵、稀疏矩阵与噪声矩阵的和。通过分析分解后得到的低秩矩阵,就可以找到与中心像素相似的邻域像素。通过结合这个中心像素和与其相似的邻域像素,就构成了一个联合稀疏问题。联合稀疏模型假设这些相似的像素都可以由字典中相同训练样本的不同权重来加以表达。通过对稀疏度加以限制就可以得到一个行稀疏的解。然后利用这个行稀疏的解来解决样本标签的归属问题。实验中使用了两幅广泛在高光谱图像分类中使用的数据来验证所提出算法的有效性,并与其它基于稀疏的分类算法进行了对比。实验证明本文提出的算法在基于稀疏的分类算法中不仅精度高,而且效果稳定。

于茜茜^[5]（2020）在《稀疏低秩子空间聚类算法研究》文中提出稀疏子空间聚类（Sparse Subspace Clustering,SSC）算法和基于低秩表示（Low-Rank Representation,LRR）的子空间聚类算法是近些年来非常流行的两种聚类方法。SSC算法的基本原理是利用数据自表示的稀疏性建立关联矩阵,然后对该关联矩阵使用谱聚类算法来获得比较好的聚类结果;而LRR算法则是利用数据自表示的低秩性建立关联矩阵。两种算法的关键步骤都是从数据出发来建立关联矩阵,以便确保属于同一子空间的数据点可用该空间内其它的点线性表示;但目标却是分别寻求尽可能稀疏的表示矩阵或尽可能低秩的表示矩阵。然而,对于数据量较大且含有未知噪声的样本,始终难以得到很好的聚类结果。本文对稀疏和低秩子空间聚类算法做了进一步探讨,提出了以下三种新的聚类方法,以提高聚类的准确率。（1）稀疏子空间聚类算法（SSC）通过最小化l1范数来建立目标函数,SSC可能一定程度上忽视了数据之间的联系,表现为关联矩阵的块对角结构较差。低秩子空间聚类算法（LRR）则从数据集的全局结构出发,通过矩阵秩最小化来建立目标函数,但矩阵秩最小化很难求解,因而人们通常采用核范数最小化来逼近秩最小化。为能同时考虑数据集的局部和全局结构,使关联矩阵兼具稀疏性和块对角结构,借助CLAR算法中用Logdet函数逼近矩阵秩的思想,本文将Logdet函数与F范数相结合,提出了加强局部结构和全局结构的有效子空间聚类（LSGS）算法。改进后的LSGS算法可以有效地改善分组效果,特别是在数据集规模较大的情况下,可以获得具有明显块对角结构的关联矩阵。（2）具有块对角结构的关联矩阵是得到理想聚类效果的重要保证。为了尽可能使得关联矩阵达到块对角结构,最小二乘回归（LSR）子空间聚类算法定义了集群效应来度量块对角结构的程度,并利用F范数最小化来增强关联矩阵的集群效应。本文在上述提出的LSGS算法基础上,通过引入描述集群效应的正则项建立数学模型,提出了加强集群效应的稀疏子空间聚类（ELSGS）算法。该算法不仅可以在数据集规模较大的情况下保留数据的局部结构和全局结构,同时更加加强了关联矩阵的块对角结构。（3）大量的实验证明,如果对l1范数进行合理的加权并且进行不断地迭代更新,可使基于l1范数最小化的子空间聚类算法的性能大大提高。因此,近年来人们提出了许多基于重加权（即迭代加权）的稀疏子空间聚类（RSSC）算法,特别是结构性重加权稀疏子空间聚类（SRSSC）算法,将结构性稀疏范数引入到RSSC算法中获得了很好的效果。此外,基于重加权l1最小化的噪声稀疏子空间聚类（TSRSSC）算法则将RSSC算法和两步l1范数最小化算法相结合,解决了先验信息未知的噪声数据聚类问题。结合SRSSC算法和TSRSSC算法的思想,本文提出的第三个算法为改进的结构性重加权子空间聚类（RSSCN）算法,推广了两步l1范数最小化算法及其改进算法。该算法即使不知道噪声的类型及相关参数,仍然可以执行出理想的聚类效果。

二、求矩阵秩的一个新算法（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、求矩阵秩的一个新算法（论文提纲范文）

（3）基于拟牛顿修正技术的两类修正梯度法（论文提纲范文）

（4）结合空间信息的高光谱遥感图像分类方法研究（论文提纲范文）

（5）稀疏低秩子空间聚类算法研究（论文提纲范文）

四、求矩阵秩的一个新算法（论文参考文献）

• [1]关于整数矩阵的初等变换[J]. 李传正. 数学通报, 1991(07)
• [2]求矩阵秩的一个新算法[J]. LARRY J.GERSTlN,小苗. 数学通报, 1990(01)
• [3]基于拟牛顿修正技术的两类修正梯度法[D]. 陶思俊. 湖南大学, 2011(03)
• [4]结合空间信息的高光谱遥感图像分类方法研究[D]. 唐廷锋. 电子科技大学, 2015(03)
• [5]稀疏低秩子空间聚类算法研究[D]. 于茜茜. 大连海事大学, 2020(01)

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