一、关于Rieman可积的Lebesgue定理的一个初等证明（论文文献综述）
王丽[1]（2019）在《比较教学法在《实变函数》教学中的应用——与《数学分析》的比较教学浅析》文中指出本文根据《实变函数》的课程特点,提出利用比较教学法进行教学的思想,并且从不同的角度去比较,深入浅出、由浅入深,让学生在数学分析的基础上潜移默化地领会实变函数知识的精髓,达到由简驭繁的效果。
马金月[2]（2016）在《勒贝格积分定义的历史探究》文中提出勒贝格积分是数学发展过程中的里程碑,经典与现代分析的分水岭,20世纪结构数学的重要组成部分.这一理论的提出最早要归功于法国数学家勒贝格,且他先后给出了积分的数种不同定义.然而，勒贝格却并不是该理论唯一的创造者,英国数学家杨继而就用完全不同的方式独立提出了与之等价的积分理论.此后数学家们更是对其展开了深入探究,在几十年的时间里就相继提出了勒贝格积分的数十种定义.而且随着现代数学的发展,勒贝格积分的新定义仍在不断涌现.本文在原始文献的基础上,辅以相关研究文献,以时间为序,应用比较分析研究法,对勒贝格积分的定义进行历史探究：探索了勒贝格积分产生的历史背景、勒贝格积分的各种定义方式、勒贝格积分的应用以及对现代数学的影响等.主要内容如下：1.全面梳理了20世纪之前积分论以及测度论的发展.从积分与测度这两个角度对勒贝格积分产生的背景进行了剖析.2.详致探究了勒贝格积分的定义.首先考察了勒贝格关于积分的几何的、解析的、公理化的以及以微分为基础的等几种不同形式的定义；然后研究了杨通过推广达布积分定义和利用单调序列的方法所给出的另外两种全新的定义方式；对于勒贝格积分的其它定义,则着重选取了基于经典积分的定义角度介绍了几种具有代表性的定义方法；最后对勒贝格积分的所有定义进行了分类,并对这两类定义的优劣进行了对比.3.系统阐述了勒贝格积分的应用及影响.重点考察其在三角级数问题、原函数问题上的应用以及对泛函分析、概率论等的影响,明确了勒贝格积分理论在现代数学中的重要地位.
张昌斌,王向东[3]（1993）在《关于Rieman可积的Lebesgue定理的一个初等证明》文中研究表明 学过实变函数论的学生都知道Lebesgue 定理:f（x）在[a,b]上Riemann 可积的充要条件是f（x）有界且几乎处处连续。但只学过数学分析而未学过实变函数的学生就难以理解这一着名结果了,原因是这一定理的证明似乎需要较多的测度论知识。这里我们将靴述定理的一
朱莉红[4]（2014）在《分形上函数的积分》文中研究指明近年来有关分数阶微积分的研究引起了人们的广泛关注。目前用得最多的分数阶微积分是基于Gamma函数定义的Riemann-Liouville导数和Riemann-Liouville积分,其次有Caputo导数、Weyl-Marchaud导数等。由于这些分数阶积分的定义本身与分形没有直接的联系,对分形的研究作用意义不大。所以,为了得到分形上特有的积分性质和计算方法,本论文从分形自身所具有的分数维Hausdorff维数和相应的Hausdorff测度出发,来定义专门用于研究直线上分形函数的分数阶积分,我们称之为Hs-积分。第一章介绍分形上函数的分数阶Hs-积分产生的背景和本论文所用到的基本知识：Hausdorff准数和Fubini定理。第二章我们提出了Hs-积分的概念。第一节根据Riemann积分和测度论中可测函数积分的定义方式分别得到Hs-Riemann积分的定义和Hs-Lebesgue积分的定义。第二节讨论了紧的s-集E上的函数f（x）的Hs-Riemann:积分和Hs-Lebesgue积分可积的条件。第三章我们讨论了Hs-积分的性质。第一节从几何上讨论了Hs-Lebesgue积分的意义.第二节对紧的s-集E上函数的Hs-积分的将要用到的一些积分性质作简要的概述,并对其中一些涉及分形专有的性质加以证明。第四章作为主要内容,我们研究了Hs-积分的计算。第一节给出了包含E的闭区间上的初等函数在E上Hs-Riemann积分的理论计算公式：其中s=Inr/ln N为E的Hausdorff维数,Sm（n）=∑x∈TmXn,这里是由表示系统（N,T）所能够表示的所有m位整数集。同时,给出包含E的实数集R上的初等函数在E上Hs-Riemann积分的具体计算方法：其中对任意i,j=1,…,n,当i>j时aij=bij=0,当i≤j时,令有第二节研究了Hs-积分的实例,针对直线上常见的cantor三分集E上的初等函数f（x）,给出f（x）在E上的Hs-Riemann积分（R）∫（x）dHs的计算方法。第五章讨论紧的s-集E上函数f（x）的广义Hs-Riemann积分以及它在求分形集的局部Hausdorff维数方面的应用,即E的Hausdorff维数s是广义Hs-Riemann积分从收敛到发散的α分界点。
许美珍[5]（2011）在《常微分算子理论的发展》文中研究说明常微分算子理论是以量子力学为应用背景,综合常微分方程、泛函分析、算子代数及空间理论等理论、方法发展起来的一门系统的、内容广泛的数学分支.它是解决数学物理方程以及大量科学技术应用问题的重要数学工具.常微分算子理论所研究的主要内容包括：自共轭域、谱分析、亏指数及逆谱问题等.本文在查阅了大量的原始文献和有关研究文献的基础上,利用文献分析研究与文献比较研究的方法,从以下几个方面较系统地研究了常微分算子理论的发展历程.一、通过对Sturm和Liouville的工作及其它关于记载这些成果的史料进行分析与研究,从以下几个方面探寻了常微分算子理论的源流：（1）Sturm和Liouville成果的研究背景；（2）分析Sturm和Liouville的工作；（3） Sturm-Liouville理论的意义；（4） Sturm和Liouville工作的后续发展.二、通过对20世纪早期的一些关于二阶奇异边值问题的文献进行系统分析与考察,从以下几个方面论述了Weyl（1910）, Dixon （1912） Stone （1932）和Titchmarsh （1940-1950）的工作对常微分算子理论发展的贡献.我们发现Weyl和Titchmarsh的成果基本上源于经典的实分析和复分析,而Stone的研究工作是Hilbert函数空间抽象理论中自共轭算子与线性常微分方程理论结合的产物.1.1910年,Weyl不仅开创了奇异S-L微分方程的研究,而且首次考虑了微分方程的分析特征.特别是一些新概念和新成果的提出,使S-L理论在20世纪的发展步入了一个新的发展阶段,也为后来的von Neumann和Stone在微分算子理论方面的研究以及为Titchmarsh应用复变换技巧提供了思想渊源.2.1912年,Dixon第一次将系数函数p,q,w的连续性条件由Lebesgue可积条件来代替,此Lebesgue可积性条件也是现代微分算子研究中对系数要求最低的条件.3.1932年,Stone首次在Hilbert函数空问上讨论具有Lebesgue可积系数的二阶微分算子的一般理论.4. Titchmarsh应用单个复变量函数的展开理论研究了正则情形和奇异情形的S-L边值问题.三、通过分析与研究关于常微分算子自伴域描述的已有成果,系统地总结了常型和奇异常微分算子自伴域描述的发展脉络.1.高阶常型微分算子自伴域的描述问题于20世纪50年代彻底解决,1954年Coddington利用矩阵理论和共轭边条件的有关结论,给出了以边条件形式表示的自伴域,这是一个直接的描述结果；同年,Naimark给出了拟微分算子自伴域的描述；1962年,Everitt用微分方程的线性独立解来描述算子的自伴域,在系数足够光滑的条件下,这三个结论是等价的.2.通过分析奇异微分算子自伴域描述的一些重要成果,比如,Weyl-Titchmarsh自伴域,Everitt自伴域,曹之江-自伴域和孙炯-自伴域,论述了曹之江-自伴域的重要性,它是一种直接而完全的自伴域描述,使得奇异微分算子自伴域描述的问题彻底解决.四、通过分析和考察大量的关于谱分析方面的文章,主要以离散谱和本质谱的判别为核心梳理了实自伴微分算子,加权的奇异微分算子及J-自伴微分算子离散谱的判别工作和几类特定微分算子本质谱的判别结果.五、通过挖掘和考察大量的关于亏指数方面的第一手文献,系统地论述了奇异实对称微分算子和复对称微分算子在二阶和高阶情形下极限点型和圆型的判别工作
薛帅帅[6]（2019）在《非线性薛定谔方程的KAM理论》文中研究表明我们关心的问题是加了哈密顿扰动后的线性方程或可积方程的拟周期解的存在性。在哈密顿偏微分方程的KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）理论中已经有许多显着的结果。哈密顿偏微分方程的KAM理论,主要有两种方法。一种是由经典KAM理论发展来的[1,9,11,12,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,30,31,32,35],另一种是由Craig,Wayne,Bourgain通过牛顿迭代技巧,发展完善而来的CWB方法[2,3,4,5,6,7,8,10,29]。前者的方法优点是在拟周期解附近,一局部的Birkhoff标准形获得从而得到拟周期解的线性稳定性和零Lyapunov指数,这对于理解拟周期解附近的动力学性态是非常有用的。而CWB方法长处在于,它通过解和角变量有关的同调方程避免了繁琐的第二Melnikov条件,使得它相比于KAM理论更适于解重法频共振的情况,从而对周期边界条件的哈密顿偏微分方程及高维偏微分方程很有效,而缺点是它不能给出拟周期解附近的动力学性态,使得我们无从获知以拟周期解附近点为初值的解的长时间行为。这些方法对于一维哈密顿偏微分方程都有很好的应用。尽管如此,这些方法在处理高维哈密顿偏微分方程中却遇到困难。Bourgain[2]证明了二维非线性薛定谔方程有小振幅拟周期解。后来,他在[5]中,改进了他的方法,证明了高维非线性薛定谔方程和波方程有小振幅拟周期解。通过有限维KAM理论构造高维哈密顿偏微分方程的拟周期解的方法后来才出现。Geng-You[16,17]证明了高维非线性梁方程和非局部薛定谔方程有小振幅线性稳定拟周期解。Eliasson-Kuksin[12]通过修改的KAM方法构造了更有趣的高维非线性薛定愕方程的小振幅线性稳定的拟周期解。对于在周期边界条件下的二维的三次薛定谔方程iut—△u+｜u｜2u=0,x ∈T2,t ∈R,Gcng-Xu-You[14]给了拟周期解的证明。他们通过小心选择切点集合｛i1,…,ib｝∈Z2,他们证明了上述非线性薛定谔方程有一族小振幅拟周期解（也看[28]）。在本论文中,通过一个改进的KAM机制和非线性项的衰减性,我们致力于研究非线性薛定谔方程（NLS）的拟周期解的存在性。我们关注非线性项是否与外频或者空间变量相关。更详细的说,本文给出了下面的结果:1.有外力驱动的高维非线性薛定谔方程iut—△u+Mu+f{ωt)｜u｜2u=0,t ∈ R,x∈Td在周期边界条件下,这里Mε是傅里叶乘子,f(θ（θ=ωt）是实解析的,驱动频率ω是固定的丢番图向量。我们证明方程存在一族实解析小振幅线性稳定拟周期解。2.有非扰的外力驱动的二维非线性薛定谔方程iut—△u+φ（ωt）u+φ（ωt）｜u｜2u=0,t ∈ R,x∈T2在周期边界条件下,这里φ以（ωt）对于θ=ωt以是实解析的,驱动频率ω是固定的丢番图向量,并且满足我们这里强调φ（ωt）不是小的扰动。通过一个无限维的KAM定理,我们获得这个方程一族Whitney光滑的部分双曲的小振幅拟周期解。3.二维非线性五次薛定谔方程iut—△u+｜u｜4u=0,t ∈R,x ∈T2在周期边界条件下,我们证明一个无限维的KAM定理。作为应用,我们获得这个方程一族Whitney光滑的部分双曲的小振幅拟周期解。4.二维非线性薛定谔方程在周期边界条件下,这里非线性项f（x,u,u）=∑j,lj+l≥6αjl（x）uju-l,ajl=alj在原点的一个邻域内是实解析的。我们证明这个方程一族Whitney光滑的小振幅拟周期解。
高淑环[7]（2014）在《模糊积分发展现状的研究》文中研究表明众所周知,严谨的概率论与数理统计理论是建立在测度论的基础之上的,所以本文将首先综述测度论目前的发展状况,接下来再对模糊积分的发展现状进行总结和综述,在现有的模糊积分理论的基础上,对模糊积分进行完善。1965年,美国自动控制专家L.A.Zadeh教授提出Fuzzy集合论,标志着模糊数学的诞生。四十几年来,这个理论在国际上已经引起巨大的关注,而且已经渗透到了各个领域,形成很多新的数学分支,诸如模糊分析学、模糊拓扑学、模糊代数学、模糊系统、模糊程序等等。1974年,日本学者Sugeno博士在他的博士论文中首次提出模糊测度和模糊积分的概念。与概率测度相比,模糊测度放弃了可加性,但是得到了更广泛的单调性,因此,模糊测度是概率测度的特例。模糊积分与Lebesgue积分相比已经有了本质的区别,模糊积分主要把Lebesgue积分中的运算“+,·”更改为“V,八”,因此,积分的性质中自然丢掉了可加性。模糊积分最早被Sugeno教授应用于主观评判过程,并且取得了非常好的效果,这一理论也因此受到了人们的重视。模糊数学一经产生之后,就显示出了异常旺盛的生命力,其应用遍及聚类分析、图像识别、数据结构、系统评价、自动控制、决策、优化、人文科学、社会科学等诸多领域,在处理模糊性上已经体现出很大的优越性。本文在原有的模糊积分理论及应用的基础上,主要做了以下工作：（1）针对模糊分析学中模糊测度与模糊积分进行综述,系统的总结了模糊测度和模糊积分。（2）完善了现有的模糊积分理论。给出了集值函数的Fubini定理；模糊集值函数控制收敛定理；广义Fatou定理；区间集值函数关于区间模糊测度的积分单调收敛定理。（3）根据现有的模糊积分理论,给出了各模糊积分间的关系,并加以总结。（4）实数域上模糊积分的应用已经很广泛了,本文尝试给出了（Y）复模糊积分在信息融合中的应用。
吕阳阳[8]（2020）在《两类连续抛物Anderson模型的精确几乎必然渐近》文中研究说明在本文中,我们考虑了下列两类连续抛物Anderson模型.首先,我们研究了由时间独立Gauss场V（x）驱动的抛物Anderson模型（?）其中参数0 ∈ R{0},V（x）为Rd上的中心化广义Gauss场,即{<V,φ>;φ ∈S（Rd）}为中心化Gauss随机变量簇,且具有协方差（?）在上式中,k（x,y）是Rd × Rd上的一个正定核.对于Gauss场V的协方差k（x,y）,我们分别考虑如下两种情况:（Ⅰ）k（x,y）是平稳的,即存在一个广义函数γ使得γ（x-y）=k（x,y）,其中γ在Rd{0}上是逐点存在的,在0点的每个邻域之外都有界,并且满足（?）（Ⅱ）k（x,y）满足（?）其中（?）是Rd × Rd上的一个有界函数,参数T>0称为相关长度.设模型（1）中的初值u0（x）属于加权Besov空间（?）,并且满足（?）我们得到了下列两个结果.1.精确几乎必然长时渐近:在情况（Ⅰ）或（Ⅱ）下,设u（t,x）是模型（1）的逐轨道mild解,则对于任意的x ∈ Rd,有下式成立（?）2.精确空间渐近:在情况（Ⅰ）或（Ⅱ）下,设u（t,x）是模型（1）的逐轨道mild解,则对于任意的t>0,有下式成立（?）在上述两个式子中,λ（x）为R+上的函数,并且当x足够大时满足λ（x）>e和方程（?）其次,我们还研究了时间相依Gauss场V（t,x）驱动的抛物Anderson模型（?）在上述方程中,参数0∈R{0},V（t,x）为R+× Rd上的中心化广义Gauss场,即{<V,φ>;φ ∈ S（R+× Rd）}为中心化Gauss随机变量簇,且具有协方差（?）其中F是关于空间变量的Fourier变换.我们假设Gauss场V（t,x）的空间协方差g和时间协方差γ0分别满足下列两个条件:（H1）Rd上的函数q（ζ）=Cq|ζ|α-d,这里常数Cq>0且α∈（0,2）.（H2）正定函数γ0是非负的,并且存在满足1/α0>2/2-α的正的常数α0,使得对于任意的（?）成立.在模型（2）中,我们仍然假设u0（x）满足如下初值条件:（?）定义变分（?）（?）其中函数集合（?）然后,我们得到了下列结果.精确空间渐近:对于任意的t>0和θ∈R/{0},模型（2）的解uθ（t,x）满足（?）
牛健人,马继钢[9]（1995）在《一个实函定理的初等证明及其应用》文中研究表明本文给出了一类Ｒｉｅｍａｎｎ积分等价定义的初等证明，作为应用，在通过对函数定义域进行可测子集分割而引入Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可积的概念时，可直接从定义得出“Ｒｉｅｍａｎｎ可积一定Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可积”这一着名结果，从而弥补了许多教科书按上述方法证明中所忽略的问题。在本文的证明中，我们引入了实值函数的一类新跳跃点概念。
张俊显,赵丽琴,陈兰新[10]（2006）在《一致收敛及保持极限函数分析性质的深入研究》文中认为一致收敛概念是为深入研究极限函数的分析性质而提出的.运用一致收敛概念深入研究了极限函数的分析性质,并探讨了一系列比一致收敛弱、仍能保留极限函数良好分析性质的收敛性态,研究了这些收敛性态之间的关系.
二、关于Rieman可积的Lebesgue定理的一个初等证明（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、关于Rieman可积的Lebesgue定理的一个初等证明（论文提纲范文）
（1）比较教学法在《实变函数》教学中的应用——与《数学分析》的比较教学浅析（论文提纲范文）
| 一、引言 |
| 二、理论背景的比较 |
| 三、理论思维的比较 |
| 四、知识结构体系的比较 |
| 五、研究方法的比较———从师法自然到道法自然 |
（2）勒贝格积分定义的历史探究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 引言 |
| 第一章 勒贝格积分产生的背景 |
| 1.1 勒贝格之前积分的发展 |
| 1.1.1 柯西积分 |
| 1.1.2 狄利克雷的工作 |
| 1.1.3 黎曼积分 |
| 1.1.4 黎曼积分在19世纪的发展 |
| 1.1.5 19世纪数学家对黎曼积分的态度 |
| 1.2 勒贝格之前测度的发展 |
| 1.2.1 早期的容量理论 |
| 1.2.2 皮亚诺与若尔当的容量理论 |
| 1.2.3 波莱尔的测度论 |
| 第二章 勒贝格积分的定义 |
| 2.1 新积分理论的开创——勒贝格 |
| 2.1.1 勒贝格生平 |
| 2.1.2 勒贝格关于积分的定义方式 |
| 2.2 勒贝格积分的独立创造——杨 |
| 2.2.1 杨生平 |
| 2.2.2 杨关于积分的定义方式 |
| 2.3 勒贝格积分的其它定义方式 |
| 2.4 勒贝格积分定义的分类与对比 |
| 第三章 勒贝格积分的应用及影响 |
| 3.1 勒贝格对新积分理论的应用 |
| 3.1.1 勒贝格积分在三角级数问题上的应用 |
| 3.1.2 勒贝格积分在原函数问题上的应用 |
| 3.2 勒贝格积分的影响 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（4）分形上函数的积分（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 分形上函数的分数阶H~s-积分产生的背景 |
| 1.2 本论文所用到的基本知识 |
| 1.2.1 Hausdorff维数 |
| 1.2.2 Fubini定理 |
| 2 H~s-积分的概念 |
| 2.1 H~s-积分的定义 |
| 2.2 H~s-积分可积的条件 |
| 3 H~s-积分的性质 |
| 3.1 H~s-积分的几何性质 |
| 3.2 H~s-积分的积分性质 |
| 4 H~s-积分的计算 |
| 4.1 H~s-积分的计算方法 |
| 4.2 H~s-积分的实例 |
| 5 广义H~s-Riemann积分 |
| 参考文献 |
| 硕士期间参与的科研项目和发表的论文 |
| 致谢 |
（5）常微分算子理论的发展（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题目的和意义 |
| 1.2 本课题研究现状 |
| 1.3 研究方法及创新点 |
| 1.4 研究内容 |
| 第2章 常微分算子理论的起源(1836-1910) |
| 2.1 边值问题 |
| 2.2 Sturm的简介及其主要工作 |
| 2.2.1 Sturm的简介 |
| 2.2.2 Sturm的工作 |
| 2.3 Liouville的简介及其主要工作 |
| 2.3.1 Liouville的简介 |
| 2.3.2 Liouville的工作 |
| 2.4 Sturm和Liouville合作的工作及其意义 |
| 2.4.1 Sturm和Liouville合作的工作 |
| 2.4.2 Sturm和Liouville工作的意义 |
| 2.5 Sturm-Liouville理论的后续发展 |
| 第3章 常微分算子理论早期的重要工作(1910-1950) |
| 3.1 Weyl的简介及其重要成果 |
| 3.1.1 Weyl的简介 |
| 3.1.2 Weyl的重要成果 |
| 3.2 Dixon的工作 |
| 3.3 Stone的工作 |
| 3.4 Titchmarsh的工作 |
| 3.4.1 正则型问题 |
| 3.4.2 奇异型问题 |
| 3.5 The Titchmarsh-Weyl的贡献 |
| 3.5.1 正则情形 |
| 3.5.2 奇异情形 |
| 第4章 常微分算子自伴扩张理论的发展 |
| 4.1 微分算式的描述 |
| 4.2 常型对称微分算子自伴域描述的成果 |
| 4.2.1 Coddington自伴域(1954) |
| 4.2.2 Naimark自伴域(1954) |
| 4.2.3 Everitt自伴域(常型) |
| 4.3 奇型对称微分算子自伴域描述的成果 |
| 4.3.1 Weyl-Titchmarsh自伴域 |
| 4.3.2 Everitt自伴域 |
| 4.3.3 曹之江-自伴域和孙炯-自伴域 |
| 4.3.4 自伴域描述的新进展 |
| 4.4 其它类型微分算子自伴域的描述 |
| 4.4.1 直和空间上的自伴域 |
| 4.4.2 J-对称微分算子的J-自伴域 |
| 4.4.3 向量值函数空间的自伴域 |
| 4.5 微分算子乘积的自伴域 |
| 4.6 常微分算子自伴域的几何刻画 |
| 4.7 Friedrichs扩张 |
| 第5章 常微分算子谱分析的发展 |
| 5.1 谱的基本概念 |
| 5.2 定性分析的数学思想和研究方法 |
| 5.2.1 定性分析的数学思想 |
| 5.2.2 定性分析的研究方法 |
| 5.3 常微分算子离散谱的判别准则 |
| 5.3.1 实自伴微分算子离散谱的判别 |
| 5.3.2 加权的奇异实自伴微分算子离散谱的判别 |
| 5.3.3 J-自伴微分算子离散谱的判别 |
| 5.4 常微分算子本质谱的判别 |
| 5.5 常微分算子的定量分析 |
| 5.5.1 常微分算子的数值解法 |
| 5.5.2 SLEIGN2及其它软件包的的介绍 |
| 5.5.3 常微分算子数值算法进展的概述 |
| 第6章 常微分算子亏指数理论的发展 |
| 6.1 亏指数的基本概念和理论 |
| 6.2 奇异实对称微分算子亏指数判定的成果 |
| 6.2.1 二阶情形的判定工作 |
| 6.2.2 高阶情形的判定工作 |
| 6.3 复系数对称微分算子亏指数的判别成果 |
| 6.4 亏指数的取值范围 |
| 6.5 算子幂的亏指数 |
| 第7章 常微分算子逆问题的发展 |
| 7.1 早期的工作(1929-1979) |
| 7.2 近三十年来的研究工作(1980-2010) |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 附录1:常微分算子理论发展的年表 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表或待发表的学术论文 |
（6）非线性薛定谔方程的KAM理论（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 致谢 |
| 第一章 导论:KAM理论与偏微分方程 |
| 1.1 经典的KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser)定理 |
| 1.2 哈密顿偏微分方程的无穷维KAM理论 |
| 第二章 高维的外力驱动薛定谔方程的KAM定理 |
| 2.1 主要结果 |
| 2.2 哈密顿偏微分方程的无穷维KAM定理 |
| 2.3 KAM迭代 |
| 2.3.1 解同调方程 |
| 2.3.2 估计与性质验证 |
| 2.3.3 迭代引理和收敛性 |
| 2.3.4 测度估计 |
| 2.4 无穷维KAM定理的应用 |
| 第三章 非扰的外力驱动的二维非线性薛定谔方程的不变环面 |
| 3.1 主要结果 |
| 3.2 哈密顿偏微分方程的无穷维KAM定理 |
| 3.3 KAM迭代 |
| 3.3.1 解同调方程 |
| 3.3.2 估计与性质验证 |
| 3.3.3 迭代引理和收敛性 |
| 3.3.4 测度估计 |
| 3.4 无穷维KAM定理的应用 |
| 第四章 二维非线性五次薛定谔方程的KAM环面 |
| 4.1 主要结果 |
| 4.2 哈密顿偏微分方程的无穷维KAM定理 |
| 4.3 KAM迭代 |
| 4.3.1 解同调方程 |
| 4.3.2 估计与性质验证 |
| 4.3.3 迭代引理和收敛性 |
| 4.3.4 测度估计 |
| 4.4 无穷维KAM定理的应用 |
| 第五章 二维显含空间变量的非线性薛定谔方程 |
| 5.1 主要结果 |
| 5.2 哈密顿偏微分方程的无穷维KAM定理 |
| 5.3 KAM迭代 |
| 5.3.1 解同调方程 |
| 5.3.2 估计与性质验证 |
| 5.3.3 迭代引理和收敛性 |
| 5.3.4 测度估计 |
| 5.4 无穷维KAM定理的应用 |
| 附录 |
| 附录A |
| 附录B |
| 参考文献 |
| 研究成果与发表论文 |
（7）模糊积分发展现状的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 国内外模糊积分的研究现状 |
| 1.2 本文研究的目的和意义 |
| 1.3 本文主要研究内容及创新点 |
| 第2章 模糊测度 |
| 2.1 非可加模糊测度的定义及其性质 |
| 2.2 λ-可加模糊测度 |
| 2.2.1 λ-可加模糊测度 |
| 2.2.2 2-可加模糊测度 |
| 2.3 拟测度与拟可加测度 |
| 2.3.1 拟测度 |
| 2.3.2 拟可加测度 |
| 2.4 距离空间上的模糊测度 |
| 2.5 模糊值模糊测度 |
| 2.5.1 模糊数及其性质 |
| 2.5.2 模糊值模糊测度 |
| 2.6 基于三角模的模糊测度 |
| 2.7 其他几种重要的模糊测度 |
| 2.7.1 格值模糊测度 |
| 2.7.2 以广义模糊积分定义的测度 |
| 2.7.3 信任测度和似然测度 |
| 2.7.4 复模糊测度 |
| 第3章 单值函数的模糊积分 |
| 3.1 Sugeno模糊积分 |
| 3.1.1 Sugeno模糊积分的定义与性质 |
| 3.1.2 模糊数值的Sugeno模糊积分 |
| 3.2 广义模糊积分 |
| 3.2.1 (N)模糊积分 |
| 3.2.2 (T)模糊积分 |
| 3.2.3 (H)模糊积分 |
| 3.2.4 不定(H)模糊积分 |
| 3.2.5 (Y)模糊积分 |
| 3.3 初等泛积分 |
| 3.3.1 泛积分的定义及其性质 |
| 3.3.2 泛积分转化定理 |
| 3.4 Choquet模糊积分 |
| 3.4.1 Choquet模糊积分的定义与性质 |
| 3.4.2 复模糊值Choquet积分 |
| 3.5 格值模糊积分 |
| 3.6 一般可测函数的模糊积分 |
| 3.7 拟可加积分 |
| 第4章 集值函数的模糊积分 |
| 4.1 集值函数的模糊积分的定义与性质 |
| 4.2 集值函数的收敛性定理 |
| 4.2.1 Egoroff定理 |
| 4.2.2 Lebesgue定理 |
| 4.2.3 Riesz定理 |
| 4.3 Fubini定理 |
| 4.4 模糊集值函数模糊积分 |
| 4.5 复模糊集值函数 |
| 第5章 模糊值函数的模糊积分 |
| 5.1 模糊值积分的定义以及其性质 |
| 5.2 模糊值函数的收敛性定理 |
| 5.2.1 Egoroff定理 |
| 5.2.2 Lebesgue定理 |
| 5.2.3 Riesz定理 |
| 5.3 区间值函数关于区间模糊测度的模糊积分 |
| 5.4 复模糊值模糊积分的定义及性质 |
| 5.4.1 复模糊积分 |
| 5.4.2 复模糊值模糊积分的定义及性质 |
| 第6章 模糊积分的应用及各积分间的关系 |
| 6.1 预备知识 |
| 6.1.1 复模糊测度的确定 |
| 6.1.2 (Y)复模糊积分 |
| 6.1.3 模糊积分与复模糊积分的融合过程 |
| 6.2 算例 |
| 6.3 模糊积分间的关系 |
| 第7章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士期间发表的论文及科研活动 |
（8）两类连续抛物Anderson模型的精确几乎必然渐近（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 文中部分缩写及符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究的问题和证明难点 |
| 1.3 文章组织结构 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 基本定义以及引理 |
| 2.2 一些广义Gauss场的介绍 |
| 第三章 由时间独立Gauss场驱动的抛物Anderson模型的精确时空渐近 |
| 3.1 主要结果 |
| 3.2 Feynman-Kac表达式和方程解的存在唯一性 |
| 3.2.1 Feynman-Kac表达式 |
| 3.2.2 模型(3.0.1)的解的存在唯一性 |
| 3.3 空间渐近与几乎必然长时渐近之间的转化关系 |
| 3.4 精确高阶矩渐近 |
| 3.5 空间渐近上界 |
| 3.6 几乎必然长时渐近上界 |
| 3.7 几乎必然长时渐近下界 |
| 3.8 空间渐近下界 |
| 第四章 由时间相依Gauss场驱动的抛物Anderson模型的精确空间渐近 |
| 4.1 主要结果 |
| 4.2 Feynman-Kac表达式 |
| 4.3 精确高阶矩渐近 |
| 4.4 空间渐近上界 |
| 4.5 空间渐近下界 |
| 第五章 结论 |
| 参考文献 |
| 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（10）一致收敛及保持极限函数分析性质的深入研究（论文提纲范文）
| 0 引言 |
| 1 一致收敛概念的导出与判敛准则 |
| 2 保证极限函数连续的条件研究 |
| 3 保证极限函数可微的条件研究 |
| 4 保证极限函数可积的较佳结果 |
| 5 极限函数保留函数序列固有性质的进一步研究 |
| 5.1 一致收敛的极限函数保留函数序列的良好性质，而不保留函数序列的不良性质的例子 |
| 5.2 实变函数中关于极限函数可积性的更深刻的讨论 |
| 6 Halmos的几乎处处一致收敛与几乎一致收敛 |
| 7 同等连续与一致收敛的关系 |
四、关于Rieman可积的Lebesgue定理的一个初等证明（论文参考文献）
- [1]比较教学法在《实变函数》教学中的应用——与《数学分析》的比较教学浅析[J]. 王丽. 教育教学论坛, 2019(09)
- [2]勒贝格积分定义的历史探究[D]. 马金月. 河北师范大学, 2016(01)
- [3]关于Rieman可积的Lebesgue定理的一个初等证明[J]. 张昌斌,王向东. 工科数学, 1993(04)
- [4]分形上函数的积分[D]. 朱莉红. 海南大学, 2014(08)
- [5]常微分算子理论的发展[D]. 许美珍. 内蒙古师范大学, 2011(10)
- [6]非线性薛定谔方程的KAM理论[D]. 薛帅帅. 南京大学, 2019(01)
- [7]模糊积分发展现状的研究[D]. 高淑环. 东北大学, 2014(03)
- [8]两类连续抛物Anderson模型的精确几乎必然渐近[D]. 吕阳阳. 吉林大学, 2020(08)
- [9]一个实函定理的初等证明及其应用[J]. 牛健人,马继钢. 四川师范大学学报(自然科学版), 1995(06)
- [10]一致收敛及保持极限函数分析性质的深入研究[J]. 张俊显,赵丽琴,陈兰新. 石家庄学院学报, 2006(06)