一、变系数綫性齐次微分方程的求解（论文文献综述）
高焕江,徐迅迅,张翠丽[1]（2019）在《一类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解》文中研究表明通过在二阶变系数非齐次线性微分方程两边同乘以某个积分因子将该方程转化为常系数非齐次线性微分方程,进而得出二阶变系数非齐次线性微分方程的通解公式.
谭述君[2]（2009）在《精细积分方法的改进及其在动力学与控制中的应用》文中研究表明常微分方程组的数值计算一直是备受人们关注的领域,对此已发展了丰富的数值方法。近年来,精细积分方法得到广泛关注,已扩展到时变、非线性微分方程、偏微分方程的求解,并成功地应用到结构动力响应、随机振动、波导、热传导以及最优控制等领域,为不同领域的数值计算提供了一个高精度、高稳定性的算法平台,值得深入研究。另一方面,控制领域对数值计算的关注度和重要性意识正在加强,而合适的理论框架对于构造高性能算法有重要意义。现代控制论所奠基的状态空间法的起点至少也应回溯到Hamilton正则方程体系,表明经典力学与现代控制论有共同的数学形式和理论基础,两个学科的问题是相互对应的。因此,借鉴力学中成熟的有限元、子结构分析等方法,展开对最优控制领域数值方法和控制系统设计的研究是有意义的。本论文以发展高效、可靠的数值算法为主线,改进了精细积分算法平台的性能,研究了时滞、时变、非线性系统最优控制的数值计算和控制器设计等问题,开发了最优控制系统设计工具箱并将其应用于卫星编队飞行控制的研究。主要工作如下:（1）采用矩阵函数逼近理论,提出了基于Pade级数逼近的矩阵指数精细积分方法中加权参数N和级数展开项数q的递推自适应选择算法,提高了精细积分方法的计算效率。并与MATLAB内置函数expm（）进行了比较,表明本文方法在达到相同的效率的同时具有更高的精度和稳定性。（2）提出了动力初值问题中非齐次项产生的Duhamel积分响应矩阵的扩展精细积分方法（EPIM）,该方法不需对系统矩阵（或相关动力矩阵）求逆。当非齐次项为多项式函数、指数函数、正/余弦函数及其组合函数的形式时,可以得到计算机意义上的精确解。并推广应用于:1)与虚拟激励法结合,应用于随机振动响应的计算;2)结合传统数值积分技术（如Taylor级数单步法和Adams多步法）,构造了求解非线性微分方程的显式/隐式算法;3)利用系数周期性变化的特点,导出了周期时变Floquet转移矩阵和一类非线性周期系统响应的计算格式;等。算例表明,基于扩展精细积分方法构造的算法提高了数值稳定性和适用范围,具有高效、高精度、高稳定性的优点。（3）提出了两点边值问题中非齐次项产生的区段响应矩阵的扩展精细积分方法（EPIM）,当非齐次项为多项式函数、指数函数、正/余弦函数及其组合函数的形式时,可以得到计算机意义上的精确解。在此基础上,研究了一般非齐次项的处理方法以及在无限长区段和变系数两点边值问题中的应用。还结合周期时变Floquet转移矩阵的扩展精细积分方法,导出了周期变系数Riccati、Lyapunov、Sylvester等矩阵微分方程的保结构算法,数值算例验证了算法的有效性。（4）对时滞系统的H∞最优控制和滤波进行了研究。首先采用扩展精细积分方法对连续时滞系统方程和性能指标离散化,以最大程度地保证与原系统的等价性。然后引入合适的增维向量,化为不显含时滞的标准离散形式,采用区段混合能方法和扩展W-W算法进行计算分析,增强了增维方法的可行性,从而为时滞H∞最优控制和滤波系统的分析和设计提供了一套精确、稳定的算法。并导出了含输入时滞的H∞全信息控制器,应用于建筑结构的减振控制,仿真显示对于不同的时滞量和地震激励形式,结构的振动响应都得到了有效抑制,验证了控制器的有效性。（5）时变、非线性最优控制系统设计导出Hamilton系统两点边值问题,其数值算法应该保辛。本文在区段分析的框架下,提出了时变Hamilton两点边值问题基于常值精细积分的保辛摄动方法,导出了零阶、摄动系统分别基于区段混合能矩阵和区段传递矩阵的组合公式以及对应关系,指出前者具有内在的稳定性从而是更好的选择。进一步提出了时变非齐次Hamilton两点边值问题的保辛摄动方法,并应用于非线性最优控制问题的迭代计算,结果表明,迭代过程中关键算法的改进显著地提高了收敛速度,降低了对初始迭代值的敏感性,说明保辛摄动方法是一种高精度和稳定的算法。（6）传统终端控制器往往存在终端高增益或奇异现象,只好在靠近终端区段采用开环控制。本文引入终端“软约束项”改进了性能指标,并利用Lagrange乘子的常数本质,构造了非奇异的、两个区段都具有反馈-前馈控制结构的终端控制器。分析了引入的“软约束项”对构造反馈结构控制器的重要影响,对于最小能量控制问题尤为重要。进一步利用区段混合能矩阵构造了反馈增益矩阵和控制系统方程的闭合解,导出了保结构递推算法,方便了控制器的设计与实现。并将该方法推广应用于离散时间系统的终端控制器设计。（7）针对当前主流商业控制系统设计软件MATLAB缺乏有限长时间时变最优控制器设计功能的现状开发了PIMCSD Toolbox;在此基础上研究了典型双星编队重构的时变最优控制方案,研究成果为航天器编队控制系统的工程设计和应用提供了重要参考。
夏敦行[3]（2009）在《二阶变系数线性微分方程的解法》文中进行了进一步梳理二阶线性齐次微分方程在微分理论中占有重要位置,在科学研究、工程技术中有着广泛的应用,其中有很多应用类型的问题都归结为二阶线性常微分方程的求解问题,而常系数微分方程根据线性常微分方程的一般理论是可解的.然而变系数二阶线性常微分方程的求解却十分困难,至今还没有一个普遍有效的方法,通常采用的级数解法只能得到某点领域内的局域解或者近似解,不便于科学研究的分析。因此探讨它们的解法具有重要的理论和应用价值。在微分方程理论中,一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究,它们总是可解的.但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。如果通过某些适当的变换将给定的二阶变系数微分方程化为常系数微分方程,则该二阶变系数微分方程就可以求解.问题在于怎么样才能知道该二阶变系数微分方程能化为可解的二阶常系数线性微分方程,以及通过什么样的变换才能化为常系数线性微分方程.本文通过对微分方程理论的研究,用不同的方法探讨这类问题,扩展了变系数线性微分方程的可积类型,借助变量变换等方法将给定的变系数线性微分方程化为常系数方程求解,提出二阶变系数线性常微分方程的求解基本方法和步骤。二阶变系数微分方程有齐次与非齐次之分,本文分别对这两种类型的求解方法做了研究与探讨,为以后的方程求解工作奠定了基础.
李高,常秀芳[4]（2010）在《关于二阶变系数线性微分方程求解法的研究》文中提出求二阶变系数线性微分方程的解,至今为止没有一种成规的方法.推导二阶变系数线性微分方程的一般解法.从特殊型和一般型的二阶变系数线性微分方程进行研究,从方程的自身特点出发,巧妙构造结构,利用降阶法把二阶变系数线性微分方程的求解问题转嫁为求一阶线性微分方程的解.只须构造结构系数函数即可解决二阶变系数线性微分方程通解或特解.利用构造结构的系数函数,再用降阶法可以求得二阶变系数线性微分方程通解或特解的一般方法.
贾庆菊[5]（2014）在《一类高阶变系数线性非齐次微分方程的解》文中提出利用高阶变系数之间的关系,通过适当的线性变换,得到了五阶变系数线性非齐次方程常系数化的条件,给出了一类高阶变系数线性非齐次微分方程的新解法.
龚东山[6]（2009）在《几类常差分方程精确解的研究》文中提出差分方程研究的主要内容包括两个问题:差分方程的精确解和方程解的定性分析。其中对于解的定性分析研究,一般以差分模型为基础,具体讨论差分方程的稳定性、有界性、振动性、渐近性、周期性和概周期性等问题,相关的研究在过去几十年中取得了许多重要的成果。然而对于差分方程精确解的研究则相对滞后。尽管许多学者在寻找差分方程的精确解方面取得了一定的进展,但仍有许多结论还不太成熟:在线性差分方程中,有些论证还不是很完善,一般函数的和分不易得到;常系数齐次线性方程的多重特征根所对应特解的线性无关性并非显然;变系数线性方程的主要结论还停留在解的结构与形式上,缺乏一个普适性的方法;在非线性差分方程中,即使是一阶的离散黎卡提方程,也很难得到精确解。本文重点讨论了定义在整数集Z或它的子集D上的几类常差分方程精确求解方法与解的显式表达。所得的主要结论如下:Ⅰ)对于线性齐次差分方程可以得到方程（1）的解结构,指出其通解为y（k）=c1y1（k）+c2y2（k）+...+cnyn（k）的形式,其中c1,c2,…,cn是独立的任意常数,y1（k）, y2（k）,...,yn（k）是方程（1）的一个基本解组。通过运用参数待定法（阮炯,2002）,论证了常系数线性齐次差分方程的多重特征根所对应的全部特解存在线性无关性,并推导出该差分方程的通解表达式。Ⅱ)对于线性非齐次差分方程证明了方程（2）的通解等于它的一个特解与相应的齐次方程（1）的通解之和。如果已知齐次方程的一个基本解组,可运用常数变异法与函数和分计算,得到非齐次方程的一个特解的形式表达。1.对于常系数线性非齐次差分方程,利用特征函数法（李自珍,龚东山,2009）得到非齐次项f（k）为多项式、指数函数、三角函数、多项式与指数函数的乘积、对数函数以及它们的线性组合时的公式化特解。该方法简便易行,克服了常数变异法（Paul Mason Batchelder,1927）、比较系数法（Saber Elaydi,2005）及拉普拉斯变换法（张广,张高英,2001）等传统方法计算工作量过大的缺陷,且特解形式非常直观。2.对于几类可精确求解的变系数线性差分方程,利用构造函数法,将某些变系数方程化为常系数差分方程:通过引入变上限定和分,给出了一阶变系数线性差分方程的通解;运用函数积分法,得到了系数为线性函数时方程的通解:利用观察法找到方程的一个特解,并以此特解为基础,得出二阶变系数线性齐次方程的通解;借助降阶法,当差分方程的系数函数满足一定条件时,将复合差分方程问题化成若干个一阶变系数线性差分方程的求解问题。Ⅲ)对于线性差分方程组得到了该方程组有解的一个充要条件,加强了王联（1991）关于一阶线性差分方程组与高阶线性差分方程同解的充分性结论,完善了线性差分方程精确解的理论体系,并利用线性代数与矩阵理论,推导出常系数线性差分方程组精确解的显式表达。Ⅳ)对于两类非线性差分方程通过引入独立通解（龚东山,2008）,得到了（4）与（5）相应齐次方程的通解表示。研究表明：这两类齐次差分方程的通解由若干个独立通解共同构成,且独立通解的个数与差分方程的阶数无关；当非齐次项为某些特殊函数时,给出了方程的若干个特解,且特解的个数与方程的次数有关,并论证了这些特解的线性相关性。
冯曼[7]（2018）在《二阶常微分方程的若干求解方法》文中提出探讨了二阶常微分方程的求解方法与解题技巧,总结了求解该类方程的几种方法,以便开拓解题思路,提高计算效率,提高学生的计算能力.
俞强[8]（2018）在《小波同伦方法及其在非线性力学和海洋工程中应用》文中提出非线性问题广泛存在于海洋工程中力学中,本论文在分析同伦分析方法和小波方法基础上,将广义正交Coiflets小波函数基应用于同伦分析方法框架,提出了一种求解满足非齐次边界非线性边值问题的小波同伦方法。通过选取合适的控制收敛参数、初始解和辅助线性算子,将非线性方程组转化为一系列线性方程组,对变量基于广义正交Coiflets小波逼近展开,选取合适的权函数利用小波伽辽金方法得到耦合迭代方程,求解得到广义正交Coiflets小波级数系数,最后重构出高精度的广义正交Coiflets小波解。并应用上述方法求解海洋工程中力学问题,研究了悬臂梁大几何变形,矩形板大挠度弯曲,弹性基础上方板大挠度弯曲,经典方腔驱动粘性流动、混合传热方腔流动、纳米流动复杂耦合物理场质量输运传热问题。论文主要工作如下:1.列出了求解非齐次高阶Neumann边值问题的小波同伦方法基本框架,系统性阐述求解步骤,并基于函数论观点进行了数学可行性分析。通过关于均一悬臂梁几何大变形和非线性弹性基础上板小挠度变形两个例子,进一步验证小波同伦方法的有效性。2.选取由双正交算子控制的线性方程和F（?）ppl-von K（?）rm（?）n方程组作为对比算例,包括四周简单支持、四周刚性固定和混合简支刚固的不同齐次边界。F（?）ppl-von K（?）rm（?）n方程组非线性只与无量纲载荷,边长比和材料的泊松比有关。板挠度计算结果与精确解或数值解非常一致。对于线性理论计算只能适用于弱非线性,但小波同伦方法对强非线性算例均能给出收敛的小波级数解,且具有很好计算效率。3.研究了不同弹性基础上方板强非线性大挠度弯曲与满足非齐次边界的非均匀弹性基础方板弯曲,进行了极限承载载荷非线性分析。弹性基础包括线性、非线性Winkler基、Pasternak基以及Winkler-Pasternak混合弹性基。获得了与先前文献结果非常一致不同工况下的板变形和中面应力高精度广义Coiflets解。与传统方法不同,该小波解对板极限大变形工况依然有效。扩展小波同伦方法来求解变系数偏微分方程组,成功解决了实际应用中以往忽略的变系数弹性基础板弯曲问题。4.研究了经典方腔驱动流动问题。在一维边值算例中,无需寻找最优齐次化函数,利用边界Coiflets小波直接展开,表现出很好的精度。在二维边值算例中,满足非齐次Neumann边界条件,也能成功给出高精度小波级数解而无法引入齐次化函数。在计算经典方腔流动,提出一种克服边界奇点的小波逼近方法。给定相对很少的小波基（64×64）,得到高精度小波级数解,与解析解或者标准FVM、FEM、FDM、LBM、Spectral、Wavelet BEM-FEM数值解对比,获得非常一致结果。5.研究了满足非齐次边界经典混合传热方腔流动问题,在相同温度幅值比下,比较均一、线性、指数温度分布边界,三角形分布温度边界展示出更好的传热性质,很大程度改变了流场和温度场;当温度幅值比从0增加到1,上边界传热速率逐渐增加,但底部边界保持不变,且传热方向转点位置保持固定;增加倾斜角有效减少浮力效应和减弱传热速率。但对流体从边界吸收能量速率变化无关;不同相位差导致温度幅值比周期性变化,同时引起方腔边界传热速率分布呈现近似周期变化。6.研究了倾斜方腔中无热源带有纳米粒子粘性混合传热方腔流动。在研究中发现Grashof数,方腔壁面运动方向、纳米粒子相关系数、边界温度和浓度幅值比与相位差,对纳米耦合场物理特征有着重要的影响。对复杂流场、温度场与浓度场进行了参数分析,验证了该纳米模型的有效性。
文武[9]（2016）在《二阶变系数线性微分方程通解的进一步研究》文中指出针对求二阶变系数线性微分方程的解未给出详细的研究,而在实际中有时要用到一般的求解法的情况,经过变量替换和算子理论以及恰当方程的处理方法来达到降阶,通过降阶法转化为求一阶线性微分方程的通解,从而达到对二阶变系数线性微分方程通解的进一步研究的目的.
陈趋庭[10]（2019）在《直接约化方法、齐次平衡法与非线性偏微分方程的精确解》文中提出本文主要应用直接约化方法和齐次平衡法求解非线性偏微分方程.根据直接约化方法的基本思想和步骤,首次加入了分解函数的想法,成功求出多个非线性偏微分方程的精确解.又结合最新的文献思想,使用齐次平衡法给出了几个变系数非线性偏微分方程的精确解.全文分为如下七章内容:第一章为绪论,简要介绍了非线性偏微分方程的历史背景、研究现状与发展趋势,概要总结了近几十年来求解非线性偏微分方程精确解的主要方法,具体给出了直接约化方法和齐次平衡法的研究背景和应用过程,并详细说明了本文的主要内容和研究目的.第二章运用直接约化方法对短脉冲方程求相似解,求出了包含行波约化的一般形式相似约化和一个新的相似约化,在这章后面求出了短脉冲方程的一个复数形式精确解.第三章通过直接约化方法求出Rosenau方程的几个相似约化和一个新的相似约化,并针对新的相似约化求出了原方程的一个显式精确解.第四章利用直接约化方法和分析假设处理Thomas方程,求得了一个新的相似约化.第五章沿用直接约化方法,得到了Vakhnenko方程的新相似约化以及含有行波约化的一般形式相似约化,并在后面得到了Vakhnenko方程的幂形式行波约化精确解.第六章针对最近的一篇文献讨论了带有可变阻尼的变系数BoussinesqBurgers方程精确解,证明了文献中一个假设的合理性.并给出了柱状BoussinesqBurgers方程的精确解.第七章,通过齐次平衡法将带有时空变系数的Burgers-Fisher方程化成了经典热方程,给出了时空变系数下的Burgers-Fisher方程与热方程定解问题之间的关系以及球状Burgers-Fisher方程的显式精确解.
二、变系数綫性齐次微分方程的求解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、变系数綫性齐次微分方程的求解（论文提纲范文）
（1）一类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解（论文提纲范文）
| 1 引 言 |
| 2 主要结果 |
| 3 应 用 |
（2）精细积分方法的改进及其在动力学与控制中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 选题背景与意义 |
| 1.2 研究历史与现状 |
| 1.2.1 精细积分方法研究进展 |
| 1.2.2 时滞控制系统设计的研究进展 |
| 1.2.3 最优控制系统数值计算方法的研究进展 |
| 1.2.4 终端控制器设计的研究进展 |
| 1.2.5 计算机辅助控制系统设计软件的研究进展 |
| 1.3 论文的结构框架 |
| 2 矩阵指数计算的精细积分方法及其改进 |
| 2.1 精细积分方法简介 |
| 2.2 基于Pade级数的逼近 |
| 2.3 参数(N,q)的自适应选择 |
| 2.3.1 自适应选择算法的推导 |
| 2.3.2 数值算例 |
| 2.4 结论 |
| 3 初值问题的扩展精细积分方法及其应用 |
| 3.1 基于精细积分方法的一般数值方法 |
| 3.1.1 钟、林解析格式 |
| 3.1.2 增维齐次化方法 |
| 3.1.3 直接数值积分方法 |
| 3.2 扩展精细积分方法(EPIM) |
| 3.2.1 加法定理 |
| 3.2.2 精细区段初始值的计算 |
| 3.2.3 扩展精细积分算法的元语言描述 |
| 3.2.4 计算量分析 |
| 3.2.5 数值算例 |
| 3.3 EPIM在虚拟激励法中的应用 |
| 3.3.1 虚拟激励法简介 |
| 3.3.2 基于扩展精细积分方法的递推格式 |
| 3.3.3 数值算例 |
| 3.4 非线性微分方程数值方法的构造 |
| 3.4.1 非线性微分方程数值积分的基本格式 |
| 3.4.2 单步法格式 |
| 3.4.3 多步法格式 |
| 3.4.4 精度分析 |
| 3.4.5 数值算例 |
| 3.5 周期变系数系统的响应 |
| 3.5.1 周期时变系统Floquet转移矩阵的计算 |
| 3.5.2 一类非线性周期系统的响应 |
| 3.6 结论 |
| 4 两点边值问题的扩展精细积分方法及其应用 |
| 4.1 线性两点边值问题的扩展精细积分方法 |
| 4.1.1 增维齐次化方法简介及其局限性 |
| 4.1.2 基于区段分析的求解框架 |
| 4.1.3 区段量的扩展精细积分方法 |
| 4.1.4 进一步应用 |
| 4.1.5 数值算例 |
| 4.2 周期变系数矩阵微分方程的求解 |
| 4.2.1 基于区段分析的求解框架 |
| 4.2.2 周期变系数系统的区段矩阵 |
| 4.2.3 在特殊矩阵方程中的应用 |
| 4.2.4 数值算例 |
| 4.3 结论 |
| 5 时滞系统的H_∞鲁棒控制和滤波 |
| 5.1 时滞最优控制系统的离散化 |
| 5.1.1 离散格式的导出 |
| 5.1.2 含矩阵指数函数积分的计算 |
| 5.2 输入时滞系统的H_∞全信息控制 |
| 5.2.1 问题描述 |
| 5.2.2 增维标准化 |
| 5.2.3 可控性分析 |
| 5.2.4 H_∞全信息控制器的导出 |
| 5.2.5 最优H_∞范数的计算 |
| 5.2.6 在含控制输入时滞的结构减振主动控制的应用 |
| 5.3 时滞系统的H_∞滤波 |
| 5.3.1 问题描述 |
| 5.3.2 增维标准化 |
| 5.3.3 H_∞滤波器的导出 |
| 5.3.4 最优H_∞范数的计算 |
| 5.3.5 数值算例 |
| 5.4 结论 |
| 6 最优控制计算问题的保辛摄动方法 |
| 6.1 时变LQ最优控制问题 |
| 6.1.1 基本方程 |
| 6.1.2 基于区段混合能的保辛摄动方法 |
| 6.1.3 基于传递矩阵的保辛摄动方法 |
| 6.1.4 区段混合能和传递矩阵方法之间的联系 |
| 6.1.5 数值算例 |
| 6.2 时变LQ最优预测问题 |
| 6.3 非线性最优控制问题 |
| 6.3.1 基本方程 |
| 6.3.2 迭代方程的构造 |
| 6.3.3 基于区段混合能的保辛摄动方法 |
| 6.3.4 数值算例 |
| 6.4 结论 |
| 7 LQ终端控制器设计的新方法 |
| 7.1 最优调节器和终端控制器概述 |
| 7.2 两区段终端控制器的设计方法 |
| 7.2.1 终端控制器与奇异性 |
| 7.2.2 性能指标的改进 |
| 7.2.3 非奇异终端控制器的构造 |
| 7.2.4 控制器结构分析 |
| 7.2.5 广义Riccati变换矩阵和控制系统状态的闭合解 |
| 7.2.6 数值算例 |
| 7.3 离散系统的终端控制器设计 |
| 7.3.1 非奇异终端控制器的构造 |
| 7.3.2 计算效率的改进 |
| 7.4 结论 |
| 8 时变控制器在卫星编队飞行中的应用 |
| 8.1 PIMCSD Toolbox简介 |
| 8.1.1 为什么需要PIMCSD Toolbox |
| 8.1.2 PIMCSD Toolbox的功能 |
| 8.1.3 PIMCSD Toolbox的特色与优越性 |
| 8.1.4 展望 |
| 8.2 在卫星编队飞行控制中的应用 |
| 8.2.1 相对运动动力学方程的建立 |
| 8.2.2 控制系统模型的建立 |
| 8.2.3 控制方案设计 |
| 8.2.4 工程验证 |
| 8.2.5 结论 |
| 9 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 附录A 广义Riccati变换矩阵和控制系统状态闭合解的证明 |
| 附录B 两区段时变终端控制器闭环稳定性的证明 |
| 附录C 测试Riccati方程求解器的Benchmarks |
| 攻读博士学位期间发表学术论文情况 |
| 创新点摘要 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（3）二阶变系数线性微分方程的解法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 微分方程的发展和应用 |
| 1.2 二阶变系数线性常微分方程的重要性 |
| 1.3 二阶变系数线性常微分方程求解所面临的问题 |
| 1.4 本文的研究内容及意义 |
| 第二章 二阶变系数线性常微分方程的常系数化法 |
| 2.1 线性常微分方程的常见的保线性变换 |
| 2.2 化变系数微分方程为常系数微分方程 |
| 2.3 通过自变量和未知联合变换实现常系数化 |
| 2.4 变系数方程常系数化求解的步骤 |
| 第三章 二阶变系数线性微分方程的解法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 待定函数法 |
| 3.3 自变量变换法 |
| 3.4 常数变易法 |
| 第四章.变系数非齐次线性微分方程的求解 |
| 4.1 常数变易法 |
| 4.2 变量代换法 |
| 第五章 总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 硕士期间发表的论文 |
（4）关于二阶变系数线性微分方程求解法的研究（论文提纲范文）
| 1 二阶变系数线性微分方程的一般求解法 |
| 2 应 用 |
（5）一类高阶变系数线性非齐次微分方程的解（论文提纲范文）
| 1 引言 |
| 2 主要结果及证明 |
| 3 主要结论的应用 |
| 4 结束语 |
（6）几类常差分方程精确解的研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 前言 |
| 1.1 差分方程研究的现状 |
| 1.2 本文主要研究内容 |
| 第二章 差分、和分与差分方程 |
| 2.1 差分 |
| 2.1.1 一阶差分 |
| 2.1.2 高阶差分 |
| 2.1.3 初等函数的差分 |
| 2.2 和分 |
| 2.2.1 原函数与不定和分 |
| 2.2.2 定和分 |
| 2.3 差分方程 |
| 第三章 高阶线性差分方程的解结构 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 齐次方程的解的性质与结构 |
| 3.3 非齐次线性差分方程与常数变异法 |
| 第四章 常系数差分方程的精确解 |
| 4.1 复值函数与复值解 |
| 4.2 常系数齐次线性差分方程的精确解 |
| 4.3 一类特殊的常系数齐次方程——对称型齐次差分方程 |
| 4.4 常系数非齐线性差分方程的精确解 |
| 第五章 变系数线性差分方程的解 |
| 5.1 一阶变系数线性差分方程 |
| 5.1.1 一阶变系数齐次线性差分方程 |
| 5.1.2 一阶变系数非齐次线性差分方程 |
| 5.2 可化成常系数线性差分方程的情形 |
| 5.3 系数为线性函数的差分方程的积分解法 |
| 5.4 已知一个非零特解的二阶变系数齐次线性差分方程的通解 |
| 5.5 降阶法在高阶变系数差分方程中的应用 |
| 第六章 线性差分方程组的解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 齐次方程组的解的性质与结构 |
| 6.3 非齐次差分方程组的通解与常数变异法 |
| 6.4 常数矩阵的线性差分系统的精确解 |
| 6.4.1 齐次系统Eψ(k)=Qψ(k)的情形 |
| 6.4.2 非齐次系统Eψ(k)=Qψ(k)+ξ(k)的情形 |
| 第七章 非线性差分方程的解 |
| 7.1 一类特殊的一阶常系数非线性差分方程 |
| 7.2 一类特殊的高阶常系数非线性差分方程 |
| 7.3 其它三类非线性差分方程 |
| 第八章 主要结论与展望 |
| 参考文献 |
| 在学期间参加项目 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（7）二阶常微分方程的若干求解方法（论文提纲范文）
| 1 二阶常系数线性微分方程 |
| 1.1 微分算子法 |
| 1.2 变量变换法 |
| 1.3 降阶法 |
| 2 二阶变系数线性微分方程[5-9] |
| 2.1 二阶变系数齐线性微分方程:特定指数函数法 |
| 2.2 二阶变系数非齐线性微分方程 |
| 3 结束语 |
（8）小波同伦方法及其在非线性力学和海洋工程中应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景与意义 |
| 1.2 同伦分析方法发展历史和研究现状 |
| 1.2.1 同伦分析方法发展历史 |
| 1.2.2 同伦分析方法应用现状 |
| 1.3 小波研究与应用现状 |
| 1.3.1 小波理论的发展 |
| 1.3.2 小波应用发展现状 |
| 1.4 发展新方法的动机 |
| 1.5 本论文主要研究工作 |
| 1.6 主要创新点 |
| 第二章 小波同伦方法及其基本理论 |
| 2.1 同伦分析方法基本框架 |
| 2.2 数学可行性分析 |
| 2.2.1 解表达准则数学基础 |
| 2.2.2 传统正交基函数应用局限与小波基函数 |
| 2.2.3 广义正交Coiflets小波 |
| 2.3 小波同伦方法基本理论框架 |
| 2.3.1 基于同伦分析方法线性化非线性边值方程 |
| 2.3.2 Coiflets小波边界修正 |
| 2.3.3 构造迭代代数方程与解的重构 |
| 2.3.4 张量运算符号定义与逼近引理 |
| 2.3.5 广义正交Coiflets误差定义与分析 |
| 2.4 两个基本例子 |
| 2.4.1 例子1: 均一悬臂梁大几何变形分析 |
| 2.4.2 例子2: 带有强制弯矩与转角非线性弹性基础方板弯曲 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 求解矩形板大挠度弯曲问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 矩形板大挠度弯曲方程小波同伦方法求解过程 |
| 3.2.1 控制方程的无量纲化 |
| 3.2.2 方程组的封闭性和边界条件 |
| 3.3 小波同伦方法求解过程 |
| 3.3.1 耦合控制方程组线性化 |
| 3.3.2 广义Coiflets小波近似 |
| 3.3.3 代数迭代方程的构造 |
| 3.4 计算结果分析与讨论 |
| 3.4.1 线性算例对比分析 |
| 3.4.2 非线性算例对比分析 |
| 3.4.3 非线性分析与应用 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 求解非线性弹性基础上方板极限弯曲问题 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 弹性基础上方板弯曲方程 |
| 4.3 小波同伦分析方法求解过程 |
| 4.3.1 耦合方程组的线性化 |
| 4.3.2 广义正交Coiflets小波选取与函数逼近 |
| 4.3.3 代数耦合迭代方程组构造 |
| 4.4 计算结果分析与讨论 |
| 4.4.1 无弹性基础方板大挠度弯曲 |
| 4.4.2 不同弹性基础上方板大挠度弯曲 |
| 4.4.3 极限承载载荷非线性分析 |
| 4.4.4 满足非齐次边界条件的非均匀弹性基础方板弯曲 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 求解稳态方腔驱动流动问题 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 线性算例中的应用 |
| 5.2.1 一维线性算例验证 |
| 5.2.2 二维线性算例验证 |
| 5.3 基于小波同伦方法求解稳态方腔流动 |
| 5.3.1 稳态方腔流动控制方程 |
| 5.3.2 小波同伦分析方法求解过程 |
| 5.3.3 收敛性验证与误差分析 |
| 5.3.4 带有数学奇点经典方腔流动 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 求解非均匀热边界混合传热问题 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 数学问题描述 |
| 6.3 小波同伦方法求解过程 |
| 6.3.1 线性化过程 |
| 6.3.2 广义正交Coiflets小波基函数选取与逼近 |
| 6.4 结果验证与分析 |
| 6.5 可选温度分布对复合场影响 |
| 6.6 无量纲参数影响 |
| 6.6.1 温度分布幅值比影响 |
| 6.6.2 温度分布相位差的影响 |
| 6.6.3 方腔倾斜角的影响 |
| 6.7 本章小结 |
| 第七章 求解纳米流体混合传热流动问题 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 数学问题描述 |
| 7.3 Coiflets小波选取与求解过程 |
| 7.3.1 耦合方程组线性化过程 |
| 7.3.2 构造迭代方程 |
| 7.3.3 非线性项逼近 |
| 7.3.4 待求物理量广义正交Coiflets小波展开 |
| 7.4 结果分析与讨论 |
| 7.4.1 Grashof无量纲数影响 |
| 7.4.2 纳米粒子相关系数影响 |
| 7.4.3 方腔倾斜角影响 |
| 7.4.4 温度分布幅值比和相位差影响 |
| 7.5 本章小结 |
| 第八章 结论与展望 |
| 8.1 主要结论 |
| 8.2 展望 |
| 附录A 不同边界条件下弯曲载荷测试函数定义 |
| 附录B 矩形板弯曲方程推导与定义测试函数 |
| 附录C 弹性基础板测试函数定义 |
| 附录D 混合传热流动测试函数与方程推导 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间撰写的学术论文目录 |
（9）二阶变系数线性微分方程通解的进一步研究（论文提纲范文）
| 1研究结论 |
| 1.1准备知识 |
| 1.2二阶变系数线性微分方程通解的一般求解法 |
| 结论1 |
| 结论2 |
| 结论3 |
| 2举例 |
| 3结束语 |
（10）直接约化方法、齐次平衡法与非线性偏微分方程的精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 非线性偏微分方程的研究现状与方法综述 |
| 1.2 本文的研究目的和主要内容 |
| 第2章 直接约化方法与短脉冲方程的精确解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 短脉冲方程的相似约化 |
| 2.3 短脉冲方程的精确解 |
| 2.4 小结 |
| 第3章 直接约化方法与Rosenau方程的精确解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 Rosenau方程的相似约化 |
| 3.3 Rosenau方程的精确解 |
| 3.4 小结 |
| 第4章 直接约化方法与Thomas方程的精确解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 Thomas方程的相似约化 |
| 4.3 Thomas的精确解 |
| 4.4 小结 |
| 第5章 直接约化方法与Vakhnenko方程的精确解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 Vakhnenko方程的相似约化 |
| 5.3 Vakhnenko方程的精确解 |
| 5.4 小结 |
| 第6章 关于《Decay mode solution of nonlinear boundary–initial value problems for the cylindrical (spherical) Boussinesq–Burgers equa-tions》的注记 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 带有可变阻尼的Boussinesq-Burgers方程的齐次平衡法 |
| 6.3 带有可变阻尼的Boussinesq-Burgers方程的非线性变换 |
| 6.4 小结 |
| 第7章 齐次平衡法与带有时空变系数Burgers-Fisher方程的精确解 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 齐次平衡法与带有时空变系数Burgers-Fisher方程的非线性转换 |
| 7.3 带有时空变系数Burgers-Fisher方程在半无限直线上的初边值问题 |
| 7.4 例子 |
| 7.5 小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间所发表的论文 |
| 致谢 |
四、变系数綫性齐次微分方程的求解（论文参考文献）
- [1]一类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解[J]. 高焕江,徐迅迅,张翠丽. 大学数学, 2019(06)
- [2]精细积分方法的改进及其在动力学与控制中的应用[D]. 谭述君. 大连理工大学, 2009(11)
- [3]二阶变系数线性微分方程的解法[D]. 夏敦行. 武汉科技大学, 2009(S2)
- [4]关于二阶变系数线性微分方程求解法的研究[J]. 李高,常秀芳. 河北北方学院学报(自然科学版), 2010(06)
- [5]一类高阶变系数线性非齐次微分方程的解[J]. 贾庆菊. 纯粹数学与应用数学, 2014(03)
- [6]几类常差分方程精确解的研究[D]. 龚东山. 兰州大学, 2009(12)
- [7]二阶常微分方程的若干求解方法[J]. 冯曼. 阴山学刊(自然科学版), 2018(02)
- [8]小波同伦方法及其在非线性力学和海洋工程中应用[D]. 俞强. 上海交通大学, 2018(01)
- [9]二阶变系数线性微分方程通解的进一步研究[J]. 文武. 四川文理学院学报, 2016(05)
- [10]直接约化方法、齐次平衡法与非线性偏微分方程的精确解[D]. 陈趋庭. 广州大学, 2019(01)