一、关于Caratheodory不等式的注记（论文文献综述）
王谢平[1]（2017）在《关于slice正则函数与强拟凸域的全纯自映射的研究》文中研究指明本论文主要致力于四元数与八元数slice正则函数的研究,以及Cn中强拟凸域的全纯自映射在正则边界点处几何性质的研究.该文共分为四章,主要内容如下:第一章为绪论部分,主要介绍slice正则函数理论诞生的历史背景、研究现状、以及本文的主要结果和研究方法.第二章研究四元数slice正则函数的几何性质.首先,我们对保持某个slice的正则函数证明了一个新的凸组合恒等式,并以其为主要工具对复平面单位圆盘上单叶函数在四元数单位球上的正则延拓证明了相应的增长、偏差与掩盖定理.事实证明,该凸组合等式是一个非常重要的工具,其在slice正则函数理论的研究中扮演着非常重要的角色.接着,我们利用slice正则函数的Schwarz-Pick引理详细地研究了四元数单位球以及右半空间的slice正则自映射的边界行为.特别地,我们给出了四元数右半空间的slice正则自映射在无穷远处精确的渐近行为,进而得到了一个Burns-Krantz型刚性定理.此外,我们意外地发现Gentili与Vlacci于2008年证明的边界Schwarz引理一般是错误的.最后,我们利用一个全新的方法得到了边界Schwarz引理的正确版本,并改进了一个经典的Osserman估计.第三章的主要目的是深入研究八元数slice正则函数,主要侧重于其分析性质与几何性质.首先,我们利用着名的Cayley-Dickson过程证明了一个新的splitting引理,再借助于该引理定义了八元数slice正则函数的正则乘积、正则共轭以及对称化.我们的定义能有效地将八元数slice正则函数与单复变中的全纯函数以及全纯映射联系起来.然后,我们利用证明四元数单位球上边界Schwarz引理时引进的方法结合多复变中经典的内部Schwarz引理以及一些新的技巧证明了一般对称slice域上的边界Schwarz引理.接着,我们给出了该结果在八元数slice正则函数几何性质与刚性研究中的一些应用,主要包括关于正则直径与slice直径的Landau-Toeplitz型定理以及一个很有趣的Cauchy型估计.最后,我们利用新的工具证明八元数slice正则函数满足一定的开性以及特殊情形下的极小模原理.在第四章（最后一章）中.我们证明了Cn中强拟凸域上全纯自映射的边界Schwarz引理,其推广了之前刘太顺、王建飞以及唐笑敏在单位球Bn（?）Cn上得到的结果.这一结果也被刘太顺与唐笑敏独立得到。
蔡龙生[2]（2018）在《基于泛函分析方法的几类非线性系统解的研究》文中进行了进一步梳理这篇论文主要应用泛函分析中的不动点理论和变分法来研究六类非线性系统（方程）解的性质.具体地,先将所研究的非线性系统（方程）纳入合适的Banach空间,并在其上定义相应的算子和泛函,通过研究算子的不动点性质和泛函的极值性质,我们可以得到这些非线性系统（方程）解的性质.全文由七章组成.第一章,阐述论文的研究背景和我们所得到的新的结果.第二章,研究一类非线性分数阶积分方程解的存在性:（?），其中（?）是关于函数h的α（0<α<1）次分数阶积分,其定义如下:（?）在合适的函数空间上将上述方程转化成一个乘积算子方程后,我们对此乘积算子应用Darbo不动点定理,进而得到了原非线性方程解的存在性.鉴于Darbo不动点定理的广泛应用,通过构造合适的压缩函数,我们推广了单值映射下的Darbo不动点定理.第三章,我们讨论如下积分包含耦合系统解的存在性:（?）其中G是Caratheodory集值映射.在定义合适的函数空间后,我们将上述方程解的存在性问题转化为一个集值型算子的不动点问题.通过定义一类压缩函数,我们推广了集值型的Darbo不动点定理,并且应用此定理得到了该积分包含系统解的存在性.第四章,我们讨论如下带有1/2-Laplace算子的非线性方程解的存在性:（?）,其中势函数V（x）符号不定,函数Q（x）可能无界,非线性项f（s）可能是不连续的且可能满足指数次临界或者临界增长条件.此时该方程对应的能量泛函不再是可微的,因此变分方法不能直接用来证明解的存在性.通过位势函数V的正部和负部,我们定义了合适的算子,并将原方程转化成了一个算子方程.在合适的函数空间上引入偏序结构后,我们应用Banach半格上的不动点定理证明了原方程解的存在性.第五章,我们开始应用变分方法来讨论如下一类分数阶耦合系统解的性质:（?）其中λ>0是一个实参数,p,q>1且（?）经过某种局部化技巧后,我们将上述非局部化问题转化成一个局部问题.应用变分学中的山路引理和临界点理论研究该局部问题解的性质,我们即可获知原问题解的性质.值得指出的是原问题的耦合性允许我们考虑位势函数不是下有界的情形.我们甚至允许当|x| → ∞时,其中一个位势函数可以趋向于0而另一个位势函数以合适的速率趋向于无穷大.另外我们须对位势函数a（x）和b（x）零点的交集做仔细的分析,以便在全空间中得到所想要的性质.第六章,我们讨论如下RN中拟线性问题多包正解的存在性:（?）其中（?） 算子，即（?） 是一个实参数.通过构造相应的辅助方程和极限方程,应用山路引理和形变流理论,我们得到了原方程在intV-1（0）附近具有多包解的性质.从而正面回答了如下问题:当在RN中考虑含有N-Laplace算子的临界指数增长的拟线性问题时,是否仍有多包解的存在性和多重性现象.第七章,我们讨论如下IRN上的Schrodinger-Kirchhoff型方程解的存在性和集中性:其中（?）并且带有电磁场的p-Laplace算子Δp，A定义为其中（?）是带有电磁场B=▽ × A的实位势向量,并且对所有的（?）借用复分析的一些基本结论,类似第六章的论证,我们可得到方程在intV-1（0）附近具有多包解的性质.我们要说明的是,在|x| →∞时我们并没有对位势函数V附加任何假设.
王秋月[3]（2020）在《关于两类非线性椭圆型方程组的非平凡解》文中研究说明首先,本文研究了带权的非线性椭圆型方程组#12其中Ω（?）Rn（N≥3）是有界光滑区域,权函数ai,ωi∈C（Ω,R0+）,R0+=（0,+∞）,函数fi,hi（i=1,2）满足Caratheodory条件,并且存在函数H（x,u,v）,使得▽Ⅱ（x,u,v）=（（?）/（?）uⅡ（x,u,v）,（?）/（?）vH（x,u,v））=（h1（x,u,v）,h2（x,u,v））.通过建立乘积空间上的环绕结构,然后利用极小极大原理和乘积空间上抽象的环绕定理得到该问题三个非平凡解的存在性.其次,考虑了带权的退化椭圆型方程组#12其中Ω（?）RN（N≥3）是有界光滑开区域,0∈Ω,0≤a≤b<a+1<N/2,c=bq/α+β,1<q<2,α>1,β>1 满足 2<α+β<2a,b*（2a,b*=min{N2/2N,2（N-2b）/N2（1α））}),并且权函数f1,f2以及h满足一定条件.利用Nehari流形和纤维映射得到当参数（λ1,A2）属于R2的某个子集时该问题至少存在两个非平凡的非负解.
刘都超[4]（2012）在《非线性椭圆方程的若干问题研究》文中研究指明本文主要研究近些年在一些具体问题中出现的两类非线性椭圆型偏微分方程解的存在性问题.其中一类是Kirchhoff椭圆型偏微分方程,另一类是变指数椭圆型偏微分方程；全文共分四章.在第1章中,我们首先介绍了本文所研究问题的具体背景,进而综述了该领域的研究进展和本文所得到的主要结论.在本文第2章第2.1节中,我们主要运用环绕与Morse理论的方法给出了下面p-Kirchhoff椭圆型方程在有界光滑区域Ω（?）RN中非平凡解存在性的几个结论;在这里,我们对方程给出的是Dirichlet边界条件其中,△pu=div（|▽u|p-2▽u）是通常的p-Laplace算子,满足1<p<N；而M：R十→R+是一个有正下界、正上界的连续函数.在本文第2章第2.2节中,我们主要运用喷泉定理和对偶喷泉定理的方法给出了下面p-Kirchhpff椭圆型方程在有界光滑区域Ω（?）RN中非平凡解存在性的几个结论；在这里,我们对方程给出的是Neumann边界条件其中（?）是单位外法向导数；△pu是p-Laplacian算子,满足1<p<N.在第3章中,我们虑了一类p（x）-Kirchhoff椭圆型方程无穷多正解的存在性问题.通过运用变指数Sobolev空间理论,在非线性项某种震荡性假设条件下,我们得到了下面方程存在一列无穷多的、互不相同的正解,其中Ω（?）RN是一个光滑有界区域.并且得到这列解的W0NP（x）（Ω）范数和L∞范数趋于零.在第4章中,我们引入（p1（x）,p2（x））-Laplace算子,给出了对应的积分泛函的性质.我们证明了这类算子对应的积分泛函的导函数是（S+）型的,并且是到对偶空间的同胚映射.作为这些结论的应用,我们给出了如下Dirichlet边值问题-△P1（x）u-△p2（x）u=f（x:u）:（?）x∈Ω, u（x）=0,（?）x∈aQ.和Neumann边值问题的解的存在性的一些结论；其中Ω（?） RN是一个光滑有界区域,△p（x）u=div（|▽u|p（x）-2▽u）是p（x）-Laplace算子.这篇论文的创新点和主要贡献是,使用Morse理论的方法讨论了p-Kirchhoff算子方程的多解性（定理2.1、2.2和2.3）；使用喷泉定理和对偶喷泉定理讨论了p-Kirchhoff算子方程的多解性（定理2.16和定理2.17）；通过对非线性项的震荡性条件给出了一类p（经）-Kirchhoff型方程的多解性（定理3.7）;首次讨论了（p1（x）,p2（x））-Laplace算子的性质,并且给出了一些解的存在性结论.
侍述军[5]（2012）在《一类椭圆偏微分方程解的凸性估计及其应用》文中研究说明解的几何性质是偏微分方程理论中的一个基本问题,而凸性作为一个重要的几何特征,长期以来一直是椭圆偏微分方程研究中的重要主题.本文的主要研究对象是椭圆偏微分方程解的凸性估计.利用经典的极大值原理,本文给出了有界凸区域上Saint-Venant扭转问题解的凸性估计以及Laplace算子第一特征函数和格林函数的凸性估计.另一方面,本文还研究了Monge-Ampere方程解的水平集的高斯曲率和平均曲率估计.具体地说,本文的主要结果如下.Ⅰ. Saint-Venant扭转问题解的凸性估计定理0.1.设Ω是Rn中的光滑有界凸区域,n≥2,u是Saint-Venant扭转问题的解.如果v=-（?）是严格凸函数,那么函数满足如下的微分不等式:Δψ1≤0mod （（?ψ1） in Ω,这里我们模掉了含有局部有界系数的梯度项.进而,函数φ1在边界aQ达到其最小值并有如下估计.其中K是（?）Ω的高斯曲率.最后,函数φ1在Ω内部达到其最小值当且仅当Ω是椭球（圆）.推论0.2.设Ω是Rn中的光滑有界严格凸区域,kmin,kmax和Kmin分别是边界aQ的最小主曲率,最大主曲率和最小高斯曲率.如果u是Saint-Venant扭转问题的解且v=-（?）,那么v的图的高斯曲率KG满足如下的最佳估计:当Ω是Rn的标准单位球时,上式中的等号在原点处成立.Ⅱ. Laplace算子第一特征函数的凸性估计定理0.3.设Ω是Rn中的光滑有界凸区域,n≥2,u>0是Laplace算子第一特征值问题的解.如果v=-log u是严格凸函数,那么函数满足如下的微分不等式:Δψ2≤0mod （（?）ψ2） in Ω,这里我们模掉了含有局部有界系数的梯度项.进而,函数φ2在边界达到其最小值.因而,我们得到这一问题解的如下估计其中K是aQ的高斯曲率.Ⅲ.格林函数的凸性估计定理0.4.设Ω是Rn中的光滑有界凸区域,n≥2, x0∈Ω, u>0是Ω上奇点位于x0的格林函数,即如下问题的正解,其中δ（x-x0）是在点x0的Dirac测度.当n=2时,令u=e-αu,α>2π,当n≥3时,令v=u1/2-n.如果v是严格凸函数,那么函数ψ=v2-n2det D2v,即,或满足如下微分不等式:△ψ≤0mod（（?）ψ） in Ω{x0）,这里我们模掉了含有局部有界系数的梯度项.进而,函数φ在边界aQ上达到最小值.对n≥3,我们有如下估计其中K是（?）Ω的高斯曲率.推论0.5.设Ω是Rn中的光滑有界严格凸区域,n≥3,x0∈Ω,u>0是Ω上奇点位于x0的格林函数且v=u1/2-n.那么v在Q{x0}上是严格凸的.Ⅳ. Monge-Ampere方程解的水平集的高斯曲率和平均曲率估计定理0.6.设Ω是Rn中的有界凸区域,n≥2.若u是如下Monge-Ampere方程Dirichlet （?）问题的严格凸解,则函数在边界aQ达到它的最大值.定理0.7.在上述定理相同的假设下,函数在边界（?）Ω上达到它的最大值.而且,φ在Ω内部达到它的最大值当且仅当n=2时,Ω是椭圆而n≥3时,Ω是球.推论0.8.设Ω是Rn中的有界光滑严格凸区域,n≥2.若u是上述定理中Monge-Ampere方程Dirichlet问题的严格凸解,则函数K|（?）u|n+1和H|▽u|3仅在边界aQ上达到它们的最大值.从而对x∈ΩΩ’,我们有估计其中Ω’={x∈Ω|u（x）<c,c∈（minΩ u,0）为常数},K,H,Km,KM分别是水平集上一点的高斯曲率,平均曲率,最小主曲率和最大主曲率.
朱英俊[6]（2021）在《时标随机最优控制问题》文中提出为了统一处理连续时间问题和离散时间问题,1988年,Hilger在他的博士论文中创建了 Time Scales（以下称为时标）理论。在此之后,时标理论凭借其优良的时间结构特性及广阔的应用前景,得到了人们的持续关注及深入研究。现实中有许多过程的时间变量既不是经典的连续时间,也不是均匀离散时间,例如,一个由电阻、电容及自感线圈所组成的简单串联电路,当电容以固定频率作周期闭合时,电路中电流的变化率正好可以用时标上的导数来描述。时标理论所定义的时间尺度适用范围更广,可行性更强,近年来受到了广泛关注。同时,实际控制系统都带有随机因素,在很多情况下,这些因素不可忽略。因此,研究时标框架下的随机最优控制问题具有重要意义,尤其是处理时间变量结构复杂的问题。本文首次较为深入和系统地在时标体系下研究随机Δ-微分系统的最优控制问题。相比于经典连续时间和离散时间情形,时标最优控制问题的研究,不仅有助于统一建立包含连续时间和离散时间情形在内的最优控制理论,从而避免连续时间和离散时间之间的重复性研究以及更好地了解这两类不同系统之间的区别及联系,而且对实际优化问题中遇到的时间尺度既包含连续时间区间又包含离散时间孤立点集的动力控制系统提供一定的理论指导。我们主要研究了两类随机最优控制问题,一类是时标随机线性系统的最优控制问题,分别研究了随机线性二次最优控制问题和平均场型随机线性二次最优控制问题。另一类是时标非线性随机系统的最优控制问题,建立了动态规划原理和最大值原理。关于本文的主要内容,概要如下:第一章,主要就本论文所涉及问题的研究背景及研究内容展开深入介绍。第二章,主要介绍时标理论体系的有关内容,为后面研究内容做数学准备。第三章,由时标随机线性控制系统出发,探讨二次型代价泛函的最优控制问题。为解决此问题,在时标体系下建立了关于随机过程的乘积法则,且通过完全平方方法引入Riccati Δ-微分方程（RΔE）及一个辅助的线性方程,在一定条件下,给出了最优控制的线性反馈形式。受此启发,进一步研究了时标平均场随机线性二次最优控制问题。相较于已有的时标最优控制问题所不同的是,控制系统及代价泛函中均包含状态和控制的期望项。针对状态方程,用迭代法证明了其解的存在唯一性。通过耦合RΔEs的解,给出了该问题最优控制的反馈表达形式。另外,我们对RΔEs解的存在唯一性问题进行了讨论,并给出了 RΔEs可解性的充要条件。第四章,我们研究了随机非线性Δ-微分系统最优控制问题的动态规划原理。为解决该问题,在时标体系下给出了复合函数链式导数的定义并建立了多元函数的链式法则。以此为基础,重建了关于时标随机过程的伊藤公式,进而借助伊藤公式得到随机最优控制问题的最优性原理和值函数满足的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。值得注意的是,本文得到的HJB方程比以往研究中出现的相关HJB方程,在形式上要更加复杂,其是一个带期望的二阶偏Δ-微分方程,原因是离散点出现的时间间断导致此方程包含期望。进一步,将所得时标动态规划原理的结果应用在时标随机线性二次最优控制问题的研究中。第五章,考虑了两类时标随机非线性控制系统,并分别给出了对应的最大值原理。一类是随机Δ-微分系统的最优控制问题。在假设控制域是凸集的情况下,通过乘积法则建立对偶关系,从而推导出伴随方程的合适形式,进一步利用变分法并给出时标最优控制问题的最大值原理。其结果退化到离散时间情形下,形式上与传统离散时间情形的结果并不一致,针对这种不一致现象,我们分析并证明了两种结果的等价性。此外,给出了所得时标随机最大值原理在时标随机线性二次最优控制问题中的应用。另一类是受控系统由一个带有条件期望的随机Δ-微分方程（SΔE）给出。我们先由迭代法给出了此类SΔE解的存在唯一性,相较于已有的此类方程的结果,我们研究的方程包含更复杂的条件期望项。用凸变分方法给出了控制系统的变分方程以及一些相关估计,这就使得我们可以推导出变分不等式。随后,利用对偶关系给出了变分不等式其等价形式的伴随方程,借助变分不等式的等价形式及其等价形式的伴随方程,本文就得到了最优控制满足的必要条件—最大值原理,其结果退化到离散时间情形下,也是一个新的结果。第六章,我们将得到的理论结果应用于金融数学问题和季节性种群模型。在金融数学中的一个基本问题是投资策略的构建,其中均值-方差投资组合模型是一类被广泛研究的投资策略。对经典连续时间和离散时间的均值-方差投资组合模型,重构在时标体系下的模型。季节性蚊虫数量的变化规律兼具连续和离散特征,因此在时标体系下建立蚊虫种群密度的控制模型。结果显示,在休眠期开始时施加脉冲控制能够减少来年蚊虫的种群密度。
李珊珊[7]（2019）在《几类分数阶微分方程解的存在性》文中研究说明本文利用算子半群理论,非紧测度,不动点理论,上下解及单调迭代理论等研究了几类分数阶微分方程解的存在性问题.第一章为引言部分,简明介绍本文的研究背景和研究现状并阐述本文研究的主要内容.第二章为预备知识部分,主要介绍分数阶积分和导数的定义以及主要性质,Mittag-Leffler函数,非紧测度理论及不动点定理,概扇形算子,conformable导数.第三章研究两类分数阶发展方程mild解的存在性.3.2节讨论Banach空间无穷区间上带有无穷时滞的发展方程,其中发展算子A产生一致有界的C0-半群,并利用Schauder不动点定理和Kuratowskii非紧测度理论得到方程mild解的存在性.3.3节,考虑发展算子A为概扇形算子,并产生解析半群,利用Schauder不动点定理得到方程mild解的存在性.第四章研究一类带有广义conformable导数线性扩散方程解的存在性.首先,证明广义conformable算子的逐项积分和逐项求导定理.然后利用广义conformable算子的性质得到带有广义conformable分数阶导数扩散方程解的存在性.最后给出解的渐近行为.第五章研究一类带有变量阶conformable导数非线性扩散方程解的存在唯一性.基于conformable导数的定义,重新定义变量阶conformable导数.相比较于经典的分数阶导数,conformable导数为局部算子,因而保留了诸多整数阶导数的良好性质.首先证明变量阶conformable导数的相关性质,然后讨论带有变量阶conformable导数的齐次及非齐次线性扩散方程初值问题的基本解.最后利用上下解方法和单调迭代方法讨论带有变量阶conformable导数的非线性扩散方程初值问题解的存在性及唯一性.
张伟[8]（2011）在《一类椭圆偏微分方程解的水平集的高斯曲率估计》文中研究表明凸性作为一个重要的几何特征,长期以来一直是椭圆偏微分方程研究中的重要主题.本文的主要研究对象是椭圆偏微分方程解的水平集的凸性.利用经典的极大值原理,本文给出了p-调和函数水平集高斯曲率的最佳正下界估计,也给出了Rn：极小曲面水平集高斯曲率的最佳正下界估计和一类半线性方程解的水平集高斯曲率的正下界估计.另一方面,本文还研究了p-调和函数水平集的高斯曲率关于函数高度的凹性.具体地说.本文的主要结果如下Ⅰ.p-调和函数水平集高斯曲率的正下界估计定理0.0.1.设Ω（?）Rn（n≥2）是一个有界光滑区域,u∈C4（Ω）∩C2（Ω）是定义在Q上的p-调和函数,即u满足p-调和方程div（|▽u|p-2▽u）=0in Ω.设1<p<+∞,在Ω上|▽u|≠0.记u的水平集的高斯曲率为K.若u的水平集相对于梯度▽u的方向是严格凸的,那么我们有下面的论断.情形1:若n≥2,1<p<+∞,则函数|▽u|n+1-2pK在边界上取到最小值.情形2:若n=2,1<p<+∞或n≥3,1+2/n≤p≤n则函数|▽u|1-pK在边界上取到最小值.情形3:若杀n:2,3/2≤p≤3;n=3,2≤p<+∞或n≥4,p=n=1/2则函数K边界上取到最小值.根据定理0.0.1,我们可以得到p-调和函数水平集高斯曲率的正下界估计推论0.0.2.设Ω0和Ω1是Rn（n≥2）中有界光滑凸区域,并且Ω1（?）Ω0.设u满足下述Dirichlet（?）问题其中1<p<+∞.记u的水平集的高斯曲率为K.那么我们有下面的曲率估计.情形1a:若1<p≤（n+1）/2,情形1b:若n+1)/2<p<+∞,情形2:若n=2,1<p<+∞或n≥3,1+2/n≤p≤n,情形3:若n=2,3/2≤p≤3;n=3,2≤p<+∞或n≥4,p=n=1/2, ΩminK≥δΩmin K.特别地,对于调和函数,我们有下面的命题.命题0.0.3.设Ω是Rn（n≥2）中的区域,u是定义在Ω上的调和函数,并且u在Ω内没有临界点.记u的水平集的高斯曲率为K.定义函数ψ=|▽u|-1K.设u的水平集相对于梯度▽u的方向是严格凸的.那么,在模掉梯度项▽Ψ的意义下函数Ψ是Ω上的上调和函数,即成立下面的微分不等式△ψ≤C|▽ψ|inΩ,其中正常数C依赖于n和||u||C3（Ω）.Ⅱ.极小曲面方程解的水平集的高斯曲率正下界估计定理0.0.4.设Ω是Rn（n≥2）中的有界光滑区域,u∈C4（Ω）∩C2（Ω）（?）茜足下述极小曲面方程设在Ω上|▽u|≠0.记u的水平集的高斯曲率为K.若u的水平集相对于梯度▽u的方向是严格凸的,那么我们有下面的结论.最小值.类似地,我们可以得到极小曲面方程解的水平集的高斯曲率正下界估计推论0.0.5.设Ω0和Q1是Rn（n≥2）中的有界光滑凸区域,并且Ω1（?） Ω0.记Ω=Ω0Ω1.设u满足Dirichle（?）问题记u的水平集的高斯曲率为K.那么,我们有下述估计Ⅲ.半线性方程解的水平集的高斯曲率正下界估计定理0.0.6.设Ω是Rn（n≥2）中的有界光滑区域,u∈C4（Ω）∩C2（Ω）；满足半线性方程△u=f（x,u,▽u） inΩ,其中f≥0,f∈C2（Ω×R×Rn）设在Ω上|▽u|≠0.记u的水平集的高斯曲率为K.设u的水平集相对于梯度Vu的方向是严格凸的.为表述方便,我们记下述两个断言分别为（A1）和（A2）,即（A1）函数|▽u|-2K在边界上取到最小值（A2）函数|▽u|n-1K在边界上取到最小值.那么我们有如下结论.情形1:f=f（u）.当fu≥0时,（A1）成立;当fu≤0时,（A2）成立.情形2:f=f（x）.如果映射F:（0,+∞）×Ω→R,（t,x）→t3f（x）是凸的（当f>0时,等价于f-1/2是凹的）,那么（A2）成立.情形3:f=f（x,u）设对每一个固定的u∈（0.1）,映射Fu:（0,+∞）×Ω→R,（t,x）→t3f（x,u）是凸的.如果fu≤0,那么（A2）成立情形4:f=f（u,▽u）设对每一个固定的u∈（0,1）,映射Fu:（0,+∞）×Sn-1→R,（t,p）→t3f（u,p/t）是凸的.当.九≥0时,（A1）成立;当fu≤0时,（A2）成立,情形Jf=f（x,u,▽u）设对每一个固定的u∈（0,1）,映射Fu:（0,+∞）×Ω×Sn-1→R,（t,x,p）→t3f（x,u,p/t）是凸的.当fu≤0时,（A2）成立.推论0.0.7.设Ω0和Ω1是Rn（n≥2）中的有界光滑凸区域,并且Ω1（?）Ω0.记Ω=ΩuΩ1设u满足Dirichlet边值问题这里f∈C2（R）,单调递增,并且f（0）=0.记u的水平集的高斯曲率为K.那么,我们有下述估计Ⅳ.p-调和函数水平集的高斯曲率关于函数高度的凹性定理0.0.8.设u满足Dirichlet（?）司题其中Ω0和Ω1是Rn（n≥2）中的有界光滑严格凸区域,并且Ω1（?）Ω0,1<p<+∞.对t∈（0,1）,记Ωt={x∈Ω:u（x）=t}.设u的水平集的高斯曲率为K.对t∈[0,1],定义函数f（t）=x∈Ωtmin（|▽u|n=1-2pK）1/n-1（x）.那么,f（t）是区间[0,1]上的凹函数.即对任意的x∈Ωt,我们有下面的不等式（|▽u|n=1-2pK）1/n-1（x）≥（1-t）δΩ0max（|▽u|n+1-2pK）1/n-1+tδΩ1（|▽u|n+1-2pK）1/n-1.进一步,当u为球上的p-Green函数时,相应的f（t）是仿射函数.
何日高[9]（2011）在《现代凸几何在信息论和概率论中的应用》文中进行了进一步梳理本文隶属于凸几何的应用领域,该领域是近几十年来在国际上发展非常迅速而重要的一个几何学分支.本学位论文利用几何分析中的凸体理论,积分变换方法和解析不等式理论,致力于研究凸体在概率论和信息论中的应用问题.本文第二章推广了随机集的强大数定理[7].利用简单随机序列的逼近方法,建立了关于随机星体的调和p组合的强大数定理.令人惊奇的是,在调和p组合和Firey组合之间也存在着密切的联系.根据随机星体的调和p组合的强大数定理,结合极对偶的思想方法和Hausdorff逼近,我们能够获得Firey组合的强大数定理.此外,通过调和p组合的强大数定理,我们将证明对偶Brunn-Minkowski不等式的概率形式.本文第三章主要建立了均质积分Brunn-Minkowski不等式的概率形式.根据Polish空间的Hausdorff逼近和Kolmogorov强大数定理,我们证明了Hausdorff度量下的Firey组合的强大数定理.为了更好地理解随机凸体X的选取p期望EpX,根据cressie[20]的思想和方法,接下来我们给出了Firey组合的强大数定理的另外一个证明,最后建立了均质积分Brunn-Minkowski不等式的概率形式.本文第四章的内容是推广Shapley-Folkman-Starr定理.Shapley-Folkman-Starr定理是数理经济中基本而又重要的结果.它与Caratheodory定理（数学家众所周知的凸几何结果）密切相关.在第四章中,我们工作的目的是利用凸几何的思想和方法（例如Minkowski和,仿射组合,凸组合,Hausdorff度量）,推广Shapley-Folkman-Starr定理到一个Kp版本,当p=1时就是起始的定理.这涉及定义两个集合的p和——经典Minkowski和的推广在第五章,我们首先引进了一个新的概念——关于星体的随机向量的径向p矩,这是标准p矩的推广形式.然后我们建立了径向p矩的一些属性,并给出了一些相关的应用.在最后一章,我们给出了λ-Renyi熵幂和等高体为K的广义Gaussian--bG（?）的径向p矩.进一步,通过λ-Renyi熵幂和径向p矩的关系我们获得了矩熵不等式的一般形式以及一些相关的应用.
李丹丹[10]（2019）在《两类带有退化算子的耗散系统的长时间动力学行为》文中研究指明本篇博士论文中我们主要考虑两类耗散型退化方程解的渐近动力学行为:退化抛物方程和退化双曲方程。我们运用无穷维动力系统的吸引子理论,结合方程的特征和困难对方程建立了一些新的先验估计,得到一系列新颖的结果。对于带有退化算子△λ的抛物方程,当方程的非线性项满足临界增长时,我们考虑方程解的长时间行为。该问题的难点在于退化算子△λ的性质以及临界的非线性项导致的紧性缺失。我们利用紧性的理论,对非线性项进行分解,针对不同的分解方程得到其解的先验估计从而得到其渐近紧性,并最终运用吸引子理论得到方程解对应半群在空间Wλ1,2（Ω）的全局吸引子存在性。对于退化双曲方程,我们分别考虑了带有退化算子X-椭圆算子的阻尼项系数是常值的双曲方程和带有时间相关的阻尼系数的双曲方程。由于双曲方程具有弱耗散性,其解算子缺乏正则化效应,因此双曲方程比抛物方程更具有本质性的困难。在第四章,我们研究带有退化算子的阻尼波方程在临界非线性项下的解的长时间行为。在利用算子半群的理论得到方程弱解的存在唯一性之后,为了克服波方程的弱耗散性,我们利用闸函数的方法得到方程对应弱解吸收集的存在性;然后我们用算子分解的方法克服了临界的非线性项带来的困难从而证明了渐近紧性,进而证明了该方程在X1/2× L2（Ω）上存在全局吸引子。在第五章,我们研究了带有时间相关的阻尼系数的双曲方程在临界非线性项下解的长时间行为。该问题的难点主要在于退化算子X-椭圆算子带来的空间本身性质的变化、可以为负的阻尼系数使得方程的耗散性难以判定以及临界非线性项导致的紧性缺失。特别地,因为可以为负的阻尼系数使得方程难以用一般的方法去证明耗散性,所以我们在文中关于阻尼系数提出额外的技巧性假设。据我们所知,这是第一次用无穷维动力系统的理论研究阻尼系数依赖于时间且部分为负的弱阻尼波方程。针对可以为负的阻尼系数带来的困难,我们将时间分段后对解的能量范数分部估计得到有界吸收集,然后再将方程分解为两部分,一部分得到其耗散性,而另一部分得到其光滑性,从而说明方程的解具有渐近紧性。这样我们就证明了方程在X1/2×L2（Ω）上存在拉回吸引子,并且根据方程分解得到的性质进一步证明了拉回吸引子分形维数的有限性。
二、关于Caratheodory不等式的注记（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、关于Caratheodory不等式的注记（论文提纲范文）
（1）关于slice正则函数与强拟凸域的全纯自映射的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 背景介绍 |
| 1.2 主要结果与研究方法 |
| 第二章 四元数正则函数 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 增长、偏差与掩盖定理 |
| 2.2.1 凸组合等式及其成立的充要条件 |
| 2.2.2 主要结果及其证明 |
| 2.3 Julia-Wolff-Caratheodory定理 |
| 2.3.1 单位球B上的结果 |
| 2.3.2 右半空间H~+上的结果 |
| 2.4 单位球上的边界Schwarz引理 |
| 2.4.1 主要结果及其证明 |
| 2.4.2 一些推论及注记 |
| 第三章 八元数正则函数 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.1.1 八元数 |
| 3.1.2 八元数正则函数 |
| 3.2 对称slice域上的边界Schwarz引理 |
| 3.2.1 一些引理 |
| 3.2.2 主要结果的证明及其推论 |
| 3.3 边界Schwarz引理的应用 |
| 3.4 极小模原理与开映射定理 |
| 第四章 C~n中强拟凸域上的边界Schwarz引理 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 主要结果及其证明 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（2）基于泛函分析方法的几类非线性系统解的研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 概述 |
| 1.2 主要结果 |
| 1.3 符号说明与论文结构 |
| 第二章 一类分数阶积分方程解的存在性 |
| 2.1 研究背景和主要结果 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 存在性证明 |
| 2.4 Darbo不动点定理的单值推广 |
| 第三章 一类积分包含耦合系统解的存在性 |
| 3.1 研究背景和主要结果 |
| 3.2 存在性证明 |
| 3.3 Darbo不动点定理的集值推广 |
| 第四章 含有1/2-Laplace算子的非线性方程解的存在性 |
| 4.1 研究背景与主要结果 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 主要结果的证明 |
| 第五章 含有分数阶Laplace算子的不同位势函数的耦合系统解的性质 |
| 5.1 研究背景和主要结果 |
| 5.2 变分设定 |
| 5.3 嵌入引理 |
| 5.4 主要结果的证明 |
| 第六章 含N-Laplace算子的临界指数增长的拟线性方程多包解的性质 |
| 6.1 研究背景和主要结果 |
| 6.2 变分设定 |
| 6.3 一个辅助问题 |
| 6.4 辅助泛函的紧性 |
| 6.5 辅助泛函的多重正解 |
| 第七章 带电磁场算子的Schrodinger-Kirchhoff方程多包解的性质 |
| 7.1 研究背景和主要结果 |
| 7.2 变分设定和辅助问题 |
| 7.3 辅助问题解的存在性 |
| 7.4 辅助问题解的性质 |
| 7.5 极限问题解的存在性 |
| 7.6 主要结果的证明 |
| 参考文献 |
| 发表论文 |
| 致谢 |
（3）关于两类非线性椭圆型方程组的非平凡解（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 研究背景及本文工作 |
| 1.2 本文的结构 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.2 基本引理 |
| 第三章 一类带权的非线性椭圆型方程组(1.1)的三个非平凡解 |
| 3.1 带权的半线性椭圆方程(3.1)非平凡解的存在性 |
| 3.1.1 Nehari流形的球面性质 |
| 3.1.2 带权的半线性椭圆方程(3.1)的非平凡解 |
| 3.2 带权的非线性椭圆型方程组(1.1)的三个非平凡解 |
| 第四章 一类带权的退化椭圆型方程组(1.2)非平凡非负解的存在性 |
| 4.1 基本引理 |
| 4.2 带权的退化椭圆型方程组(1.2)非平凡非负解的存在性 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（4）非线性椭圆方程的若干问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 研究背景与进展 |
| 1.1 椭圆型偏微分方程的研究背景、类型和方法 |
| 1.1.1 椭圆型偏微分方程简介 |
| 1.1.2 椭圆型方程的类型和一些研究方法 |
| 1.2 本文主要研究的两类方程的背景与进展 |
| 1.2.1 Kirchhoff问题研究背景与进展 |
| 1.2.2 变指数问题研究背景与进展 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 两类p-Kirchhoff型方程的非平凡解 |
| 2.1 一类p-Kirchhoff型方程的非平凡解：Morse理论的方法 |
| 2.1.1 引言 |
| 2.1.2 主要定理 |
| 2.1.3 一些准备工作 |
| 2.1.4 主要定理的证明 |
| 2.2 一类p-Kirchhoff型方程的非平凡解：喷泉定理和对偶喷泉定理的方法 |
| 2.2.1 引言 |
| 2.2.2 主要定理 |
| 2.2.3 一些准备工作 |
| 2.2.4 主要定理的证明 |
| 2.3 结束语 |
| 第三章 一类p(x)-Kirchhoff方程的无穷多正解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 主要定理 |
| 3.2.1 变指数空间简介 |
| 3.2.2 结论 |
| 3.3 定理的证明 |
| 3.4 结束语 |
| 第四章 一类(p_1(x),p_2(x))-Laplace方程的解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 Dirichlet边界条件问题 |
| 4.2.1 空间W_0~(1,p_1(x))(Ω)∩W_0~(1,p_1(x))(Ω)中的(p_1(x),p_2(x))-Laplace算子的性(?) |
| 4.2.2 Dirichlet边界条件下方程弱解的存在性结论 |
| 4.3 Neumann边界条件问题 |
| 4.3.1 空间W~(1,p_1(x))(Ω)∩W~(1,p_2(x))(Ω)中的(p_1(x),p_2(x))-Laplace算子的性质 |
| 4.3.2 Neumann边界条件下方程弱解的存在性结论 |
| 4.4 结束语 |
| 参考文献 |
| 在读期间完成的主要论文 |
| 致谢 |
（5）一类椭圆偏微分方程解的凸性估计及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 目录 |
| 第1章 椭圆偏微分方程解的各种凸性的研究历史和现状 |
| 1.1 水平集的凸性 |
| 1.1.1 Gabriel方法,凹性极值原理 |
| 1.1.2 拟凹包络 |
| 1.1.3 常秩定理 |
| 1.2 解的凸性 |
| 1.2.1 凹性极值原理 |
| 1.2.2 凹包络 |
| 1.2.3 解的常秩定理 |
| 1.3 曲率估计 |
| 1.4 本文的主要结果 |
| 第2章 Saint-Venant扭转问题解的凸性估计 |
| 2.1 主要结果 |
| 2.2 定理2.1的证明 |
| 2.3 推论2.2的证明 |
| 2.4 几个注记 |
| 第3章 Laplace算子第一特征函数的凸性估计 |
| 3.1 主要结果 |
| 3.2 定理3.1的证明 |
| 第4章 格林函数的凸性估计 |
| 4.1 主要结果 |
| 4.2 定理4.1及推论4.2 的证明 |
| 第5章 Monge-Ampere方程解的水平集的高斯曲率和平均曲率估计 |
| 5.1 主要结果 |
| 5.2 定理5.1的证明及注记 |
| 5.3 定理5.2的证明 |
| 5.4 推论5.3的证明及注记 |
| 第6章 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的其他研究成果 |
（6）时标随机最优控制问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究综述 |
| 1.3 研究内容 |
| 第二章 时标理论体系 |
| 2.1 时标理论的基础知识 |
| 2.2 时标上的随机分析 |
| 第三章 时标随机线性控制系统优化问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 时标随机线性二次最优控制问题 |
| 3.2.1 问题描述 |
| 3.2.2 乘积法则 |
| 3.2.3 RΔE与最优控制 |
| 3.3 时标平均场随机线性二次最优控制问题 |
| 3.3.1 问题描述 |
| 3.3.2 状态方程解的存在唯一性 |
| 3.3.3 RΔEs与最优控制 |
| 3.4 RΔEs解的存在唯一性 |
| 第四章 时标随机控制动态规划原理 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 问题描述 |
| 4.3 链式法则和伊藤公式 |
| 4.4 动态规划原理与HJB方程 |
| 4.5 从HJB方程推导RΔE |
| 第五章 时标随机控制最大值原理 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 随机最大值原理Ⅰ |
| 5.2.1 问题描述 |
| 5.2.2 变分不等式 |
| 5.2.3 伴随方程与最大值原理Ⅰ |
| 5.3 最大值原理Ⅰ与离散时间最大值原理 |
| 5.4 最大值原理Ⅰ推导RΔE |
| 5.5 随机最大值原理Ⅱ |
| 5.5.1 预备知识和问题描述 |
| 5.5.2 变分不等式 |
| 5.5.3 伴随方程与最大值原理Ⅱ |
| 第六章 时标随机最优控制理论的应用 |
| 6.1 均值-方差投资组合 |
| 6.2 季节性蚊虫种群模型 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（7）几类分数阶微分方程解的存在性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 研究背景和研究现状 |
| 1.2 本文的主要内容 |
| 1.3 符号说明 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 分数阶算子及相关性质 |
| 2.2 Mittag-Leffler函数 |
| 2.3 非紧测度及不动点定理 |
| 2.4 概扇形算子 |
| 2.5 conformable导数 |
| 3 Banach空间无界区域上分数阶发展方程mild解的存在性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 带无穷时滞的分数阶发展方程mild解的存在性 |
| 3.2.1 半群Q(t)为紧半群 |
| 3.2.2 半群Q(t)非紧 |
| 3.3 带无穷时滞和概扇形算子的分数阶发展方程mild解的存在性 |
| 4 带广义conformable导数线性扩散方程解的存在性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 解的存在性及渐近行为 |
| 5 带变量阶conformable导数非线性扩散方程解的存在唯一性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 变量阶conformable导数 |
| 5.3 带有变量阶conformable导数线性扩散方程的基本解 |
| 5.4 解的存在性及唯一性 |
| 6 结论和展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（8）一类椭圆偏微分方程解的水平集的高斯曲率估计（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 椭圆偏微分方程解的水平集凸性的研究历史和现状 |
| 1.1 Gabriel方法 |
| 1.2 拟凹包络 |
| 1.3 常秩定理 |
| 1.4 解的凸性 |
| 1.4.1 凹性极值原理 |
| 1.4.2 包络 |
| 1.4.3 解的常秩定理 |
| 1.5 曲率估计 |
| 1.5.1 水平集曲率的正下界估计 |
| 1.5.2 水平集的曲率关于函数高度的凹性 |
| 1.6 本文的主要结果 |
| 第二章 水平集的曲率矩阵 |
| 2.1 关于图的经典微分几何及其凸性 |
| 2.2 函数水平集凸的定义 |
| 2.3 函数水平集的对称曲率矩阵 |
| 第三章 p-调和函数水平集高斯曲率的正下界估计 |
| 3.1 主要结果 |
| 3.2 推导公式(3.2 .26) |
| 3.3 推导公式(3.3 .17) |
| 3.4 完成定理3.1.2的证明 |
| 3.4.1 利用一阶条件化简(3.4.1 )式 |
| 3.4.2 处理三阶导数项 |
| 3.4.3 选择参数θ |
| 3.5 推论3.1.3的证明 |
| 3.6 一个注记 |
| 第四章 极小曲面方程和半线性方程解的水平集的高斯曲率正下界估计 |
| 4.1 主要结果 |
| 4.2 测试函数的计算 |
| 4.3 极小曲面方程解的水平集的高斯曲率正下界估计 |
| 4.4 半线性方程解的水平集的高斯曲率正下界估计 |
| 4.4.1 定理4.1.4的证明 |
| 4.4.2 推论4.1.5的证明 |
| 第五章 凸体的支撑函数 |
| 5.1 凸体支撑函数的定义 |
| 5.2 p-调和方程的支撑函数表示 |
| 5.3 流形上协变导数的交换公式 |
| 第六章 p-调和函数水平集的高斯曲率关于函数高度的凹性 |
| 6.1 主要结果 |
| 6.2 定理6.2 .1的证明 |
| 6.2.1 推导公式(6.2.1 7) |
| 6.2.2 推导公式(6.2.2 3) |
| 6.2.3 完成定理6.2.1的证明 |
| 6.3 定理6.1.1的证明 |
| 6.4 一个注记 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的其他研究成果 |
（9）现代凸几何在信息论和概率论中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究的背景 |
| §1.2 研究的问题与成果 |
| §1.3 论文结构安排 |
| 第二章 调和p组合的强大数定理 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 记号和预备知识 |
| §2.3 调和p组合的强大数定理 |
| 第三章 均质积分Brunn-Minkowski不等式的概率形式 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 记号和预备知识 |
| §3.3 均质积分Brunn-Minkowski不等式的概率形式 |
| 第四章 Shapley-Folkman-Starr定理的推广 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 记号和预备知识 |
| §4.3 L_p-Shapley-Folkman-Starr定理 |
| 第五章 随机向量的径向p矩 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 记号和预备知识 |
| §5.3 径向p矩 |
| 第六章 随机向量的Moment-Entropy不等式的注记 |
| §6.1 引言 |
| §6.2 记号和预备知识 |
| §6.3 λ-Renyi熵幂和径向p矩 |
| 参考文献 |
| 博士期间的主要工作 |
| 致谢 |
（10）两类带有退化算子的耗散系统的长时间动力学行为（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 无穷维动力系统 |
| 1.2 X-椭圆算子 |
| 1.3 研究背景及进展 |
| 1.4 本文工作 |
| 第二章 准备知识 |
| 2.1 退化算子(?) |
| 2.2 无穷维动力系统的基本概念与定理 |
| 2.3 常用不等式 |
| 第三章 带临界非线性项的退化抛物方程的全局吸引子 |
| 3.1 解的存在唯一性 |
| 3.2 全局吸引子的存在性 |
| 3.2.1 方程的分解 |
| 3.2.2 算子Y_λ(t)的指数耗散性 |
| 3.2.3 算子Z_λ(t)的紧性 |
| 第四章 带有退化算子的阻尼双曲方程的全局吸引子 |
| 4.1 解的全局存在性与唯一性 |
| 4.2 V上的吸收集 |
| 4.3 渐近紧性 |
| 4.3.1 算子{C(t)}_(t≥0)的耗散性 |
| 4.3.2 算子{S(t)}_(t≥0)的紧性 |
| 4.4 全局吸引子的存在性 |
| 第五章 和时间相关阻尼的双曲方程的拉回吸引子 |
| 5.1 解的全局存在性和耗散性 |
| 5.1.1 全局适定性 |
| 5.1.2 有界耗散性 |
| 5.2 拉回吸引子 |
| 5.3 结论注记 |
| 第六章 展望 |
| 参考文献 |
| 在学期间研究成果 |
| 致谢 |
四、关于Caratheodory不等式的注记（论文参考文献）
- [1]关于slice正则函数与强拟凸域的全纯自映射的研究[D]. 王谢平. 中国科学技术大学, 2017(09)
- [2]基于泛函分析方法的几类非线性系统解的研究[D]. 蔡龙生. 上海交通大学, 2018(01)
- [3]关于两类非线性椭圆型方程组的非平凡解[D]. 王秋月. 兰州大学, 2020(01)
- [4]非线性椭圆方程的若干问题研究[D]. 刘都超. 兰州大学, 2012(04)
- [5]一类椭圆偏微分方程解的凸性估计及其应用[D]. 侍述军. 中国科学技术大学, 2012(03)
- [6]时标随机最优控制问题[D]. 朱英俊. 山东大学, 2021(11)
- [7]几类分数阶微分方程解的存在性[D]. 李珊珊. 中国矿业大学(北京), 2019(09)
- [8]一类椭圆偏微分方程解的水平集的高斯曲率估计[D]. 张伟. 中国科学技术大学, 2011(01)
- [9]现代凸几何在信息论和概率论中的应用[D]. 何日高. 上海大学, 2011(12)
- [10]两类带有退化算子的耗散系统的长时间动力学行为[D]. 李丹丹. 兰州大学, 2019(08)