一、无单位元环上的自由模（论文文献综述）
于增海,赵建立[1]（1993）在《无单位元环上的自由模》文中认为本文证明了含正则元的交换环,左 ore 整环具有维数不变性,从而推广了含单位元的交换环、除环具有维数不变性的着名结果.
范一凡[2]（2020）在《基于Coq的“模”观点下线性代数机器证明系统 ——特例：模分解定理的机器证明》文中研究说明近年来人工智能发展迅速,已经上升为国家级重大战略,夯实人工智能的基础理论尤为重要。数学定理的机器证明是人工智能基础理论研究的深刻体现,是计算机科学和数学的完美结合,其主要通过计算机对数学理论进行形式化描述并验证定理证明的正确性。随着Coq、Isabella、HOL Light等证明辅助工具的出现,定理的机器证明取得了长足的进展。法国布尔巴基学派认为现代数学由序、代数、拓扑三大母结构组成。线性代数在各种代数分支中占据首要地位,线性代数中仅仅讨论向量空间的结构性质是片面的,还要考虑线性变换在其上的作用,这正是模观点的独到之处。用近世代数中的模理论来研究线性代数,使得线性代数从古典走向现代,带有线性变换的向量空间可以看做主理想整环上的模,因此模分解定理对向量空间的分解具有重要作用。本文基于证明辅助工具Coq,从本实验室的科研成果——“公理化集合论”形式化系统出发,初步实现了模观点下线性代数系统的形式化,并在此基础上完成了模分解定理的机器证明。主要工作如下:1、利用Coq,以“公理化集合论”形式化系统为基础,龚升的《线性代数五讲》为理论依据,形式化构建了群、环、体、域、主理想整环等代数结构,并完成了主理想整环上素元分解定理的机器证明。2、实现了向量空间和模两种代数结构的形式化,并用代码阐述了两者主要的联系与区别。至此,初步建立了代数结构的形式化框架。3、完成了主理想整环上有限生成模分解定理的机器证明,包括有限生成模分解定理的机器证明、准素唯一分解定理的机器证明和循环分解唯一性定理的机器证明。此定理可看做是向量空间与模之间的桥梁,这对线性代数后续的形式化研究意义重大。本文所有形式化过程已被Coq验证,体现了基于Coq的数学定理机器证明具有可靠性和严谨性的特点,证明过程规范、可读、智能。
于增海[3]（1990）在《挠自由模的秩》文中研究说明本文讨论了无单位元环上挠自由模的极大无关子集,证明了左 ore 整环上挠自由模的极大无关子集都有相同的势,推广了文献的许多结果.
张俊,王芳贵[4]（2010）在《有零因子的交换环上w-理想的升链条件》文中研究说明讨论了一般交换环上w-模的性质,进一步刻画了w-Noether环,证明了w-Noether环上有限型的GV-无挠模只有有限个极大素理想,且每一个都是其中某个非零元素的零化子.推广了Orzech定理,得到了更一般形式的Vasconcelos定理.
谢雅静[5]（2019）在《关于交换分次完全环的一些刻画》文中研究说明设G是交换群,R=σ∈G（?）Rσ是交换G-分次环.本文给出了交换分次半完全环与分次完全环的一些等价刻画.首先,本文证明了分次局部环上任何有限生成分次模有分次投射盖.其次,我们证明了R是分次半完全环当且仅当R是有限个分次局部环的直积.并得到了分次完全环的等价刻画,即R是分次完全环当且仅当R/Jg（R）是分次半单环,且每个非零分次模都有极大分次子模,当且仅当每个分次模有关于分次循环子模的及R是分次Artin环当且仅当R既是分次凝聚环,又降链条件.最后,我们证明了若R是强分次环,则R是分次完全环当且仅当Re是完全环,是分次完全环.
秦兰兰[6]（2020）在《对称环、*-对称环与*-斜多项式环》文中认为近年来,关于一般环（未必有1）和具有对合映射的环已经成为代数学上重要的研究对象,主要研究方向有三个:一、将有单位元的环上的性质推广到一般环上,并研究;二、对于某种环论性质,将其推广到具有对合映射的环上,并研究;三、研究*-斜多项式环的性质和结构.本文主要就这三种方向进行研究,主要研究了一般对称环、*-对称环与其相关环的关系,讨论了*-对称环的扩张以及探讨了交换环上的*-斜多项式环的性质.本文主要由以下几个部分组成:第一章:介绍对称环、*-对称环和*-斜多项式环的历史背景、发展过程和研究现状,简要总结了本文的主要工作和重要结果;第二章:主要介绍本文所用的定义和常用结论;第三章:主要在一般环（未必有1）范畴中引入一般对称环的概念,拓展右（左）对称环的概念。讨论一般对称环与相关环的关系,研究一般对称环的扩张。第四章:本章主要研究*-对称环与其相关环的关系,讨论了*-对称环的扩张.得到以下结果:（1）给出了*-对称环成为*-可逆环的一些条件;（2）如果环R是*-对称环,则R的某些扩张也是*-对称环;（3）设R是约化环,则R是*-对称环当且仅当R[x;*]是*-对称环.第五章:本章首先主要研究的是拟-Baer*-环和*-右主拟-Baer环上的*-斜多项式环.引入了*-右主拟-Baer环的定义,证明了:（1）设*是R上的对合映射,且R是*-可逆环,若环R是拟-Baer*-环,那么R[x;*]也是拟-Baer*-环.（2）设*是R上的真对合映射,R是*-可逆环,若R[x;*]是拟-Baer*-环,那么R是拟-Baer*-环.（3）设*是R上的真对合映射,R是*-右主拟-Baer环,如果对任意e∈Sl*（R）满足对任意r ∈ R,若re=0则re*=0,那么,R[x;*]是*-右主拟-Baer环.其次研究了研究*-斜多项式环的其它性质.证明了:（4）设R是*-斜Armendariz环且是*-可逆环,若R是右zip环,则R[x;*]为右zip环;（5）设R是*-可逆环,那么R[x;*]是McCoy环当且仅当R是*-McCoy环;（6）设R是*-斜Armendariz的Abel环且幂等元都是自伴的,那么R[x;*]是p.p.-环当且仅当R也是p.p.-环.第五章:综述本文所研究的一般对称环、*-对称环以及*-斜多项式环上的性质,并对这些环的研究做了进一步的展望。
谢雅静,王芳贵,吴小英[7]（2019）在《分次投射盖和交换分次完全环》文中认为设G是交换群,■是交换G-分次环.给出了交换分次半完全环与分次完全环的一些等价刻画.证明:1)分次局部环上任何有限生成分次模有分次投射盖.2) R是分次半完全环当且仅当R是有限个分次局部环的直积.3) R是分次完全环当且仅当R/Jg（R）是分次半单环,且每个非零分次模都有极大分次子模;当且仅当每个分次模有关于分次循环子模的降链条件;当且仅当R是分次局部环Ri的直积,且每个Jg（Ri）是T-幂零的.4)若R是强分次环,则R是分次完全环当且仅当Re是完全环.
唐念歧[8]（2019）在《基于有限环的量子纠错码研究》文中认为量子计算超越经典计算机的强大潜力使其成为了现代信息科学中的研究热点。量子计算有两个突出的优点,首先是它能够实现量子并行计算,加快了计算速度,提高了信息存储能力;其次,量子计算能够模拟量子通信系统,这是经典计算机无法胜任的。无论并行计算还是模拟量子通信系统,本质上都是利用了量子相干性。然而,在实际环境中,量子计算机的量子比特并不是孤立的,外部环境的作用会破坏量子相干性,导致量子消相干。量子纠错编码是对抗量子消相干效应的重要手段,是保证量子计算和量子通信有效运行的关键技术。和经典纠错编码理论不同的是,量子纠错编码需要保证任意维度量子系统的可靠性。由于有限域的阶必然是素幂次,因此基于有限域的量子纠错码是有局限性的。有限环是对量子系统最自然的一种刻画,基于有限环的量子纠错码适用于任意维度的量子系统。本论文就基于有限环的量子纠错理论展开了一系列的研究,并取得了如下的研究成果。（1）定义了基于模m剩余类环Zm的量子纠错码,并建立了其与Zm上的加码之间的一一对应关系。随后将Zm上的加码与扩展环上的加码相关联,简化了Zm上量子纠错码的构造。定义了扩展环上的伴随运算。当m为素数时,伴随运算等价于Hermitian运算。通过选择特定的扩展环,伴随对偶包含码适用于构造Zm上的量子纠错码,进一步优化了构造量子纠错码的过程。（2）研究了Zm上量子纠错码的重量枚举子,并证明了MacWilliams恒等式。给出了基于Zm的量子Hamming界、量子Singleton界和量子Gilbert-Varshamov界。针对非退化稳定子码,通过分析Zm中的理想,提出了加强的量子Gilbert-Varshamov界,并给出了该界的渐近形式。加强的量子Gilbert-Varshamov界的渐近形式证明了基于任意维度量子系统的量子渐近好码的存在性。（3）讨论了扩展环上伴随对偶包含循环码的结构。通过选择特定的扩展环,伴随对偶码的生成多项式和定义集有良好的代数性质。随后,基于循环码的生成多项式和定义集,给出了几个简单的条件用以判断循环码是否为伴随对偶包含码,继而简化了基于Zm的量子循环码的构造。当量子系统的维度是素幂次时,比较了基于有限域的和基于有限环的量子循环码构造方法,证明了基于有限环的构造方法可以获得基于有限域的构造方法所不能构造的量子循环码,进一步说明了环上量子纠错编码的实用性和重要性。（4）给出了若干基于域Fq的、码长为（?）的量子BCH码的构造方法。同已有构造方法相比较,在码长和维度确定的情况下,新的构造方法可以获得更大的最小距离。此外,这些构造方法也能够构造若干新参数的量子BCH码。对形式为4r+1或4r+3的素数p,当r为奇数时,构造了基于Z4的、码长为p量子二次剩余码。最后,分别讨论了基于Zm的量子BCH码和量子RS码,给出了相应的最大设计距离的界,并列出了一些Zm上的量子BCH码和量子RS码。
于增海[9]（1992）在《挠自由模的秩》文中研究说明此文全文发表于《新疆大学学报》1990年第1期,被《中国数学文摘》1991年第1期摘要,中国科技情报所情报部索用.
牛明芝[10]（2014）在《唯一分解环上的矩阵分解》文中研究说明唯一分解环上矩阵的分解问题在符号计算与控制论、网络编码、电路、信号处理、多维系统等工程计算方面起着重要的作用。许多环R上矩阵分解问题与环R是否具有Hermite性质密切相关,研究唯一分解环上矩阵分解问题时先要研究了它的Hermite性质,我们对唯一分解环的Hermite性质,唯一分解环上矩阵的分解等问题进行了一些有意义的探讨,取得了一些初步的结果。其中重要而有意义结果；1.因K-Hermite环上可能存在零因子,所以此环上矩阵分解问题的研究较为不便,本文主要根据K-Hermite环的定义得出此环上互素的两个元素b,v,对此环上任意c,若有b|（Vc）,则b|c,从而得出若M=p（G）,则M有核表示的充分条件。2.对于K-Hermite环R,A∈Rl×n（l≤n）, rank（A）≥l-1,d是A的所有,×,级子式的任一极大公因式,则A可嵌入到矩阵（A N）,且det（A N）=d。3.对于d-Hermite环R,F∈Rl×m（l≤m）是ZLP矩阵,则F可嵌入一个m×m阶可逆矩阵A中,这些结论为此环上矩阵分解的研究打下基础。前人研究了多元（变）多项式环上矩阵分解问题,而多元多项式环是一类特殊的唯一分解环,我们探讨了对于唯一分解环,关于非正则因子是否也可以得出矩阵分解的相关结论,通过努力,举出了一个反例,同时也得到了一些其它有价值的结果。对于Lin-Bose问题,在满秩情况下Li u给出简单易懂的证明方法,本文最后研究了在唯一分解环上非满秩情况下的Lin-Bose问题。
二、无单位元环上的自由模（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、无单位元环上的自由模（论文提纲范文）
（2）基于Coq的“模”观点下线性代数机器证明系统 ——特例：模分解定理的机器证明（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.1.1 研究背景 |
| 1.1.2 研究意义 |
| 1.2 国内外发展现状 |
| 1.3 模观点下的线性代数简介 |
| 1.4 交互式定理证明工具Coq简介 |
| 1.5 本文研究内容及结构安排 |
| 第二章 Coq的基础内容 |
| 2.1 Coq的基本语法 |
| 2.1.1 构造演算 |
| 2.1.2 归纳构造 |
| 2.2 公理化集合论形式化系统 |
| 第三章 基本代数结构的Coq形式化 |
| 3.1 群、环、域等代数结构的形式化 |
| 3.2 素元因子分解定理的机器证明 |
| 第四章 模及其分解定理的形式化 |
| 4.1 线性代数与其上模的形式化 |
| 4.1.1 向量空间与线性变换 |
| 4.1.2 模的基本概念与性质 |
| 4.1.3 向量空间与模的差异 |
| 4.2 主理想整环上有限生成模分解定理的机器证明 |
| 4.2.1 有限生成模分解定理的机器证明 |
| 4.2.2 准素唯一分解定理的机器证明 |
| 4.2.3 循环分解唯一性定理的机器证明 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 研究总结 |
| 5.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（4）有零因子的交换环上w-理想的升链条件（论文提纲范文）
| 1 关于w-模的一些性质 |
| 2 w-Noether环的刻画 |
| 3 w-Noether环的准素分解 |
（5）关于交换分次完全环的一些刻画（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 引言 |
| 1.1 研究背景及主要结果 |
| 1.2 符号说明与预备知识 |
| 2 分次多余子模与分次投射盖 |
| 2.1 分次模的分次Jacobson根与分次多余子模 |
| 2.2 分次模的分次投射盖 |
| 3 分次半完全环与分次完全环 |
| 3.1 分次半完全环的定义及等价刻画 |
| 3.2 分次T-幂零理想和分次完全环的等价刻画 |
| 3.3 分次Artin环同分次完全环的等价刻画 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在校期间的科研成果 |
（6）对称环、*-对称环与*-斜多项式环（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 历史背景 |
| 1.2 主要结果 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.2 常用结论 |
| 第三章 一般对称环 |
| 3.1 一般对称环与相关环 |
| 3.2 多项式环、幂级数环与经典商环 |
| 第四章 ~*-对称环 |
| 4.1 ~*-对称环与相关环 |
| 4.2 ~*-对称环、~*-可逆环与~*-斜多项式环 |
| 第五章 ~*-斜多项式环 |
| 5.1 拟-Baer ~*-性和~*-右主拟-Baer性 |
| 5.2 zip性、McCoy性和p.p.-性 |
| 第六章 结论与展望 |
| 6.1 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 附录一 个人简介 |
| 附录二 致谢 |
（7）分次投射盖和交换分次完全环（论文提纲范文）
| 1 引言与预备知识 |
| 2 分次多余子模 |
| 3 分次投射盖 |
| 4 分次完全环 |
（8）基于有限环的量子纠错码研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号对照表 |
| 缩略语对照表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及研究意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 论文主要研究工作及内容安排 |
| 1.4 文中所用的标号和概念 |
| 第二章 基于有限环的量子纠错码基础理论 |
| 2.1 量子纠错码的基本原理 |
| 2.2 基于有限环的量子纠错码 |
| 2.3 基于有限环的加码 |
| 2.4 基于扩展环的加码 |
| 2.4.1 基于环Qi的加码 |
| 2.4.2 基于环Q的加码 |
| 2.5 基于扩展环的伴随对偶包含码 |
| 2.5.1 基于环Q_i的伴随对偶包含码 |
| 2.5.2 基于环Q的伴随对偶包含码 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 基于有限环的量子纠错码的界 |
| 3.1 基于有限环的量子重量枚举子 |
| 3.2 基于有限环的量子纠错码的上界 |
| 3.3 基于有限环的量子Gilbert-Varshamov界 |
| 3.4 加强的量子Gilbert-Varshamov界 |
| 3.5 加强的量子Gilbert-Varshamov界的渐近形式 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 基于有限环的量子循环码 |
| 4.1 基于环Q_i的伴随对偶包含循环码 |
| 4.2 基于环Q的伴随对偶包含循环码 |
| 4.3 基于有限环的量子循环码的优势 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 几类量子循环码的构造 |
| 5.1 几类基于有限域的量子BCH码 |
| 5.1.1 码长为(?)的量子BCH码 |
| 5.1.2 码长为(?)的量子BCH码 |
| 5.1.3 码长为(?)的量子BCH码 |
| 5.1.4 码长为2(q~2-1)的量子BCH码 |
| 5.1.5 码长为(?)的量子BCH码 |
| 5.2 基于Z_4的量子二次剩余码 |
| 5.3 基于Z_m的量子BCH码 |
| 5.3.1 基于Ri的量子BCH码 |
| 5.3.2 基于R的量子BCH码 |
| 5.4 基于Z_m的量子RS码 |
| 5.4.1 基于R_i的量子RS码 |
| 5.4.2 基于R的量子RS码 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 成果总结 |
| 6.2 未来的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（10）唯一分解环上的矩阵分解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 历史背景及研究现状 |
| 1.2 本文主要工作 |
| 第二章 基础知识 |
| 2.1 代数学中的基本概念 |
| 2.2 K-Hermite环上相关知识 |
| 2.2.1 基本概念 |
| 2.2.2 基本推论 |
| 第三章 K-Hermite环上矩阵分解问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 主要结论及证明 |
| 第四章 唯一分解环上矩阵分解的性质 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 基本概念 |
| 4.3 相关结论及证明 |
| 第五章 非满秩情况下的Lin Bose问题 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 主要结果及证明 |
| 第六章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录：攻读硕士学位期间获奖情况及主持项目 |
四、无单位元环上的自由模（论文参考文献）
- [1]无单位元环上的自由模[J]. 于增海,赵建立. 黄淮学刊(自然科学版), 1993(S4)
- [2]基于Coq的“模”观点下线性代数机器证明系统 ——特例：模分解定理的机器证明[D]. 范一凡. 北京邮电大学, 2020(05)
- [3]挠自由模的秩[J]. 于增海. 新疆大学学报(自然科学版), 1990(01)
- [4]有零因子的交换环上w-理想的升链条件[J]. 张俊,王芳贵. 四川师范大学学报(自然科学版), 2010(02)
- [5]关于交换分次完全环的一些刻画[D]. 谢雅静. 四川师范大学, 2019(01)
- [6]对称环、*-对称环与*-斜多项式环[D]. 秦兰兰. 南京信息工程大学, 2020(02)
- [7]分次投射盖和交换分次完全环[J]. 谢雅静,王芳贵,吴小英. 四川师范大学学报(自然科学版), 2019(06)
- [8]基于有限环的量子纠错码研究[D]. 唐念歧. 西安电子科技大学, 2019(02)
- [9]挠自由模的秩[J]. 于增海. 黄淮学刊(自然科学版), 1992(S2)
- [10]唯一分解环上的矩阵分解[D]. 牛明芝. 湖南科技大学, 2014(04)